非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
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非正弦周期信号;周期函数分解 为傅里叶级数;有效值、平均值 和平均功率、非正弦周期电流
电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方 面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
ak 0
f(t)
－T/2
T/2 t
－T/2
f(t) T/2 t
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
14
3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
9
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos(k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
集中在低频谐波中。
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
0
0
3）三角函数的正交性
2
2
0 cos kt sin ptd(t) 0, 0 cos kt cos ptd(t) 0
2
sin kt sin ptd (t) 0
k p
作用下电路的分响应。 最后在时域叠加，得到电路的响应。
谐波分析法
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示： f(t)=f(t+kT) k=0,1,2,…
1. 傅里叶级数 若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解
为傅里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a2 cos(21t) b2 sin( 21t)] [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
0 Imdt
Im 2
ak
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 7
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
k 1
式中：
1
2
T
1T
a0 T 0 f (t)dt
ak
1
2
0 f (t) cos k1td(1t)
0
17
2. 非正弦周期信号的有效值
设 i(t) I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i2dt
T0
1
T
T 0
I0
k 1
I km
cos
k1t
k
2 dt
I
1 T
T 0
I
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u(t)
o
T
脉冲电流
t
t 方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
bk
1
2 0
f (t) sin k1td(1t)
f (t) a0
k 1
ak2
bk2
ak ak2 bk2
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t
)
8
f (t) a0
k 1
ak2 bk2
ak ak2 bk2
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
15
周期性信号频谱的特点：
Um V
1）离散性：离散的线状谱 2）谐波性：各频率均为基 波频率的整数倍，等间隔分 布
3）收敛性：幅度谱随频率 增加而减小，表明信号能量
5 10
10 2
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
3t
1 sin 5
5t
)
12
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
3t
1 sin 5
5t
)
展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减 小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。
13
2. 波形对称性 偶函数： f (t) f (t)
bk 0
奇函数： f (t) f (t)
2 0
2I0
k 1
I
km
cosk1t
电路的计算
1
§13-1 非正弦周期信号
在生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。 在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方 面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 例 半波整流电路的输出信号
2
晶体管放大电路的交直流共存信号 +ECC
ak 0
f(t)
－T/2
T/2 t
－T/2
f(t) T/2 t
奇谐波函数： f (t) f (t T ) f (t) 2
a2k b2k 0
t
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3. 信号的频谱 各次谐波分量的复振幅（振幅相量）随频率变化
的分布图称为信号的频谱。
振幅随频率变化的图形称为幅度谱，初相位随频 率变化的图形称为相位谱。
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
9
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos(k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
集中在低频谐波中。
16
§13-3 有效值、平均值和平均功率
1.三角函数的性质
1）sin、cos在一个周期内的积分为0。
2
sin ktd(t) 0
2
cos ktd(t) 0
k为整数
0
0
2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2 sin 2 ktd(t) 2 cos2ktd(t)
0
0
3）三角函数的正交性
2
2
0 cos kt sin ptd(t) 0, 0 cos kt cos ptd(t) 0
2
sin kt sin ptd (t) 0
k p
作用下电路的分响应。 最后在时域叠加，得到电路的响应。
谐波分析法
6
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
周期信号可以用周期函数（周期为T）f(t)表示： f(t)=f(t+kT) k=0,1,2,…
1. 傅里叶级数 若周期函数f(t)满足狄里赫利条件，则f(t)可分解
为傅里叶级数：
f (t) a0 [a1 cos(1t) b1 sin( 1t)] [a2 cos(21t) b2 sin( 21t)] [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
二次以上谐波分量统称为高次谐波分量 任意周期信号均可分解为直流分量和一系列谐波 分量的代数和。
10
例 周期性方波信号的分解 iS
解
iS
(t
)ຫໍສະໝຸດ Baidu
I
m
0
0tT 2
T t T 2
Im
T/2 T
t
a0
1 T
T 0
iS
(t )
dt
1 T
T /2
0 Imdt
Im 2
ak
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)] k 1 7
f (t) a0 [ak cos(k1t) bk sin( k1t)]
k 1
式中：
1
2
T
1T
a0 T 0 f (t)dt
ak
1
2
0 f (t) cos k1td(1t)
0
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2. 非正弦周期信号的有效值
设 i(t) I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
则有效值:
I 1 T i2dt
T0
1
T
T 0
I0
k 1
I km
cos
k1t
k
2 dt
I
1 T
T 0
I
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
+
uS(t) -
3
电子示波器内的水平扫描电压
锯齿波
4
自动控制、计算机等领域的脉冲电路中 的脉冲信号和方波信号
i (t )
u(t)
o
T
脉冲电流
t
t 方波电压
5
2. 非正弦周期电路的分析 把非正弦周期激励信号分解成一系列正弦信号，
称为非正弦周期信号的各次谐波。 然后根据线性电路的叠加定理，求出各谐波单独
bk
1
2 0
f (t) sin k1td(1t)
f (t) a0
k 1
ak2
bk2
ak ak2 bk2
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t
)
8
f (t) a0
k 1
ak2 bk2
ak ak2 bk2
Um V
5 10
10 2
10 10 3 4
10 5
o 2 3 4 5 k
锯齿波电压的幅度谱
15
周期性信号频谱的特点：
Um V
1）离散性：离散的线状谱 2）谐波性：各频率均为基 波频率的整数倍，等间隔分 布
3）收敛性：幅度谱随频率 增加而减小，表明信号能量
5 10
10 2
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
3t
1 sin 5
5t
)
12
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
3t
1 sin 5
5t
)
展开的傅里叶级数是收敛的，即Ak随k增加而减 小，因而工程上根据精度要求取前几项即可。
13
2. 波形对称性 偶函数： f (t) f (t)
bk 0
奇函数： f (t) f (t)
2 0
2I0
k 1
I
km
cosk1t