定性数据的统计描述、正态分布以及应用(normaldistribution)
正态分布的理论原理及应用
正态分布的理论原理及应用正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的连续概率分布之一、正态分布在理论研究和实际应用中都起到了重要的作用。
1.中心极限定理：中心极限定理是正态分布理论的基础，它指出，独立同分布的随机变量的和的极限分布依近似于正态分布。
这意味着，对于大量独立随机变量的和，即使这些变量的分布不同，其总体分布也会接近于正态分布。
2.正态分布的概率密度函数：正态分布的概率密度函数由两个参数决定，即均值（μ）和标准差（σ）。
其概率密度函数可以表示为：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2/(2σ^2)))3.正态分布的特性：-均值μ是分布的中心，标准差σ决定了分布的离散程度。
-68%的观测值在均值左右一个标准差范围内，95%的观测值在均值左右两个标准差范围内，99.7%的观测值在均值左右三个标准差范围内。
1.统计分析：正态分布广泛应用于统计分析中。
很多统计模型都需要基于正态分布的假设。
例如，参数估计、假设检验、方差分析等都需要基于正态分布进行推断。
2.质量控制：质量控制中常常使用正态分布。
通过收集样本数据，计算平均值和标准差，可以对产品的质量进行控制和评估。
例如，正态分布常用于确定产品的上下公差。
3.自然科学：正态分布在自然科学中也有应用。
例如，生物学中研究身高、体重等指标时可以使用正态分布。
物理学中粒子运动的速度和位置分布也可以近似为正态分布。
4.金融与经济学：金融市场和经济领域中，许多变量的分布近似为正态分布。
例如，股票收益率、利率、汇率等可以建模为正态分布。
这使得研究人员能够使用正态分布的属性来做出预测和决策。
5.归一化处理：正态分布是进行归一化处理的常用工具之一、通过将数据转化为标准正态分布，可以对不同数据进行比较和分析。
医学统计学课件之正态分布(Normal Distribution)
Ⅱ类错误 本质为不拒绝实际上不成立的H0 犯该类错误的最大概率为 “存伪”、“假阴性”、“漏诊”
两类错误此消彼长，欲同时减少他们的唯 一手段——增大样本含量
返回
严密的科研设计是保证假设检验结论正确性 的前提
选用合适的检验方法，必须以符合其适用条 件为前提
正确理解假设检验的统计意义
假设检验与可信区间的联系与区别
返回
计量资料的t检验 计量资料的ANOVA 计数资料的卡方检验 非参数的秩和检验
Example
从
总体中重复随机抽样10000次，
每次抽取n为9的样本
其中，2个样本的观测值及其均数和标准差：
身高观测值
均数 标准差
1 125 124 117 116 125 132 122 118 115 121.56 5.55
准差进行反映的，也叫标准误。
结论
只要抽样，则必定存在抽样误差
标准误越小，意味着抽样误差越小；反之，则大
抽样误差的大小反映的就是样本统计量对总体参 数的偏离程度
尽量减少抽样误差的最佳方法——增大样本含量 均为反映离散程度的统计指标
不同
定义 单个原始观测值对均数 样本均数对总体均数
正态分布（Normal Distribution）
u变换
标准正态变换
目的
标准正态分布曲线下面积规律
双侧95%或99%面积（1.96与2.58）
单侧95%或99%面积（1.645与2.32）
正态性检验（Normality test）
符合正态概率密度函数 矩法 偏度系数与峰度系数 W检验或D检验 原始目测法 P-P plot Q-Q plot
返回
可信区间
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用
概率与统计中的正态分布与标准化与概率与统计中的假设检验与置信区间的应用在概率与统计领域中，正态分布是一种重要的概率分布。
它具有许多重要的特性，广泛应用于各种统计分析中。
本文将介绍正态分布的概念、特性及其在概率与统计中的应用，同时探讨假设检验与置信区间的相关内容。
一、正态分布正态分布，又称为高斯分布，是一种对称的连续概率分布。
其概率密度函数的形状呈钟形曲线，两头趋于无穷远，中间部分是对称的，呈现出一个峰值。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ，分别表示分布的中心位置和离散程度。
正态分布的重要特性包括：1. 均值与中位数相等：正态分布的均值等于中位数，呈现出对称性。
2. 68-95-99.7法则：约68%的观测值位于均值的一个标准差内，约95%的观测值位于均值的两个标准差内，约99.7%的观测值位于均值的三个标准差内。
3. 标准正态分布：当均值为0，标准差为1时，正态分布称为标准正态分布。
它的概率密度函数可用标准正态分布表查找。
二、正态分布的标准化在实际问题中，我们常常需要将正态分布转化为标准正态分布进行分析。
这一过程被称为标准化。
标准化的方法是通过下式进行变换：Z = (X - μ) / σ其中，Z为标准正态随机变量，X为原始随机变量，μ为原始随机变量的均值，σ为原始随机变量的标准差。
标准化的目的是为了简化计算和比较不同正态分布的数据。
通过标准化，我们可以使用标准正态分布表来查找概率值，进行相关的统计推断。
三、假设检验假设检验是统计学中一种常用的推断方法，用于验证一个假设关于总体参数的真实性。
其基本步骤包括：1. 建立零假设和备择假设：零假设（H0）是对总体参数进行假设的初始假设，备择假设（H1或Ha）则是我们要验证的假设。
2. 选择显著性水平：显著性水平α是在进行假设检验时事先确定的，代表了对犯错误的容忍程度。
3. 计算检验统计量：根据样本数据计算具体的检验统计量，如z统计量或t统计量。
4. 判断统计显著性：根据检验统计量的值与临界值进行比较，判断结果是否在显著性水平α的拒绝域中。
概率与统计中的正态分布与标准化
概率与统计中的正态分布与标准化正态分布（Normal distribution）是概率论与统计学中一种重要的连续概率分布，也被称为高斯分布（Gaussian distribution）。
正态分布在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
本文将介绍正态分布的特点、标准化以及相关应用。
一、正态分布的特点正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，其特点包括：1. 对称性：正态分布的曲线关于均值对称，即均值左右对称。
2. 唯一性：正态分布由两个参数决定，即均值和标准差。
3. 正态性：大部分实际数据可以近似看作是正态分布，例如身高、体重等。
二、标准化标准化是指将正态分布的随机变量转化为标准正态分布的随机变量的过程。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
标准化的步骤为：1. 假设有一个服从正态分布的随机变量X，其均值为μ，标准差为σ。
2. 标准化公式为Z = (X - μ) / σ，其中Z为标准化后的变量。
标准化后的变量Z可以用来计算正态分布中某个随机变量落入某个区间的概率，而不需要知道具体的正态分布的均值和标准差。
三、正态分布的应用正态分布在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 统计推断：利用正态分布的特性，可以进行假设检验、置信区间估计等统计推断分析，从而帮助研究人员做出科学的决策。
2. 风险分析：正态分布可以用来分析金融市场的风险，帮助投资者做出风险管理和资产配置的决策。
3. 质量控制：正态分布可以应用于质量控制中，通过控制图等方法，对生产过程中的差异进行监控和控制。
4. 教育评估：正态分布可以用来评估学生的智力、能力等指标，帮助教师进行个体化的教育和辅导。
5. 自然科学研究：正态分布在物理、化学、生物等自然科学研究中有着广泛的应用，从而揭示事物的规律和特性。
综上所述，正态分布是概率与统计学中的重要内容，通过对正态分布的了解和应用，可以为实际问题提供科学的分析和解决方案。
标准化是利用正态分布特性的一种方法，可以简化计算和分析过程。
《卫生统计学》考试重点复习资料
卫生统计学Statistics第一章绪论统计学：是一门通过收集、分析、解释、表达数据，目的是求得可靠的结果。
总体：根据研究目的确定的同质（大同小异）的观察单位的全体。
分为目标总体和研究总体。
样本：从总体中随机抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本（sample）。
样本应具有代表性。
所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本。
抽样：从研究总体中抽取少量有代表性的个体。
变量：表现出个体变异性的任何特征或属性。
分定型变量和定量变量。
定型变量:1）分类变量或名义变量:最简单的是二分类变量。
0-1变量也常称为假变量或哑变量。
2）有序变量或等级变量。
定量变量：分离散型变量和连续型变量。
变量只能由高级向低级转化：定量→有序→分类→二值。
常见的三种资料类型1)计量或测量或数值资料，如身高、体重等。
2)计数资料或分类资料，如性别、血型等。
3)等级资料，如尿蛋白含量－、＋、＋＋、＋＋＋、…第一章定量变量的统计描述此章节x即为样本均数（X拔）1.离散型定量变量的取值是不连续的。
累计频数为该组及前面各组的频数之和。
累计频率表示各组累计频数在总例数中所占的比例。
可用直条图表达。
2.编制频数表的步骤与要点步骤：1确定极差2确定组数3确定各组段的上下限4列表要点（注意事项）1）制表是为了揭示数据的分布特征，故分组不宜过粗或过细。
2）为计算方便，组段下限一般取较整齐的数值3）第一组段应包含最小值，最后一个组段应包含最大值。
3.频率分布表（图）的用途1）描述变量的分布类型2）揭示变量的分布特征3）便于发现某些离群值或极端值4）便于进一步计算统计指标和统计分析。
4.描述平均水平的统计指标算术均数（mean）：描述一组数据在数量上的平均水平。
总体均数用μ表示，样本均数用X表示。
适用于服从对称分布变量的平均水平描述，这时均数位于分布的中心，能反应全部观察值的平均水平。
分：直接法和频率表法。
即所有变量值加和除以总数n或所有频数f k乘以组中值X0k后求和再除以总数n。
正态分布及其在统计学中的应用
正态分布及其在统计学中的应用正态分布，也被称为高斯分布或钟形曲线分布，是统计学中最为重要的概率分布之一。
它具有许多重要的性质，使其在统计学中得以广泛应用。
本文将介绍正态分布的定义及其性质，并阐述其在统计学中的重要应用。
一、正态分布的定义及性质正态分布是指在数理统计中，变量的分布呈钟形曲线，其概率密度函数具有如下的形式：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，μ和σ²分别表示分布的均值和方差。
正态分布具备以下重要性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值的对称性，即其曲线在均值处达到峰值，两侧呈现对称的形态。
2. 稳定性：当若干个相互独立的随机变量服从正态分布时，它们的线性组合仍服从正态分布。
3. 唯一性：当均值和方差确定时，整个正态分布曲线也唯一确定。
二、正态分布在统计学中的应用1. 统计推断：正态分布广泛应用于统计推断中的参数估计和假设检验。
由于中心极限定理的存在，当样本容量较大时，许多统计量的抽样分布近似服从正态分布，从而使得我们能够基于正态分布的性质进行参数估计和假设检验的推断。
2. 质量控制：正态分布在质量控制中具有重要的应用。
通过对产品质量进行抽样检测，并基于正态分布的假设，可以进行合格品率和不合格品率的估计，进而进行质量控制决策。
3. 经济金融：正态分布在经济金融领域广泛用于建模和预测。
许多经济指标和金融资产的波动性往往能够通过正态分布来描述，例如股票收益率、汇率变动等。
4. 人口统计学：正态分布在人口统计学中应用广泛，例如身高、体重等指标常常能够通过正态分布进行描述和分析。
这种应用对于公共卫生、医学研究等领域具有重要意义。
5. 效应分析：在实验研究中，正态分布常用于描述实验处理的效应。
通过对实验样本数据进行分析，可以判断实验处理对于观测指标是否产生显著影响，以及这种影响的大小。
三、结语正态分布作为统计学中最重要的概率分布之一，具有许多重要的性质和应用。
SPC常用术语
SPC常用术语1、高级统计方法（AdvancedStatisticalMethods）-比基本的统计方法更复杂的统计过程分析及控制技术，包括更高级的控制图技术、回归分析、试验设计、先进的解决问题的技术等。
2、计数型数据（AttributesData）可以用来记录和分析的定性数据，例如：要求的标签出现，所有要求的紧固件安装，经费报告中不出现错误等特性量即为计数型数据的例子。
其他的例子如一些本来就可测量（即可以作为计量型数据处理）只是其结果用简单的“是/否”的形式来记录，例如：用通过/不通过量规来检验一根轴的直径的可接受性，或一张图样上任何设计更改的出现。
计数型数据通常以不合格品或不合格的形式收集，它们通过p、np、c和u控制图来分析（参见计量型数据）。
3、均值（Average）（参见平均值Mean）数值的总和被其个数（样本容量）除，在被平均的值的符号上加一横线表示。
例如，在一个子组内的x值的平均值记为X，X（X两横）为子组平均值的平均值，X（X上加一波浪线）为子组中位数的平均值。
R为子组极差的平均值。
4、认知（AwarenesS个人对质量和生产率相互关系的理解，把注意力引导到管理义务的要求和达到持续改进的统计思想上。
5、基本的统计方法（BasicStatisticalMethods）通过使用基本的解决问题的技术和统计过程控制来应用变差理论，包括控制图的绘制和解释（适用于计量型数据和计数型数据）和能力分析。
6、二项分布（BinomialDistribution）应用于合格和不合格的计数型数据的离散型概率分布。
是p和np控制图的基础。
7、因果图（Cause-EffectDiagram）一种用于解决单个或成组问题的简单工具，它对各种过程要素采用图形描述来分析过程可能的变差源。
也被称作鱼刺图（以其形状命名）或石川图（以其发明者命名）。
8、中心线（CentralLine）控制图上的一条线，代表所给数据平均值。
医学统计3-正态分布及其应用
频数
27 169 167
94 81 42 28 14
4 3 1 630
累积频数
27 196 363 457 538 580 608 622 626 629 630
-
累积频率(%)
4.3 31.1 57.6 72.5 85.4 92.1 96.5 98.7 99.4 99.8 100.0
-
PX
LX
求出在4 ×1012/L~5.5 ×1012/L范围内所占的比 例
即求P(4.0≤X≤5.5)
(5.5 4.78 ) ( 4 4.78 ) (1.89) (2.05)
0.38
0.38
[1 (1.89)] (2.05) 0.9504
例3-2 上节课的例题中已计算出101名正常成年 女子的血清总胆固醇均数为4.03mmol/L，标准 差为0.659mmol/L。试估计该单位：正常成年女 子血清总胆固醇在4.00mmol/L以下者占正常女 子总人数的百分比；在4.00~5.00mmol/L之间者 占正常女子总人数的百分比；在5.00mmol/L以 上者占正常女子总人数的百分比。
样本含量一般要较大，如n>120。
（二）对选定的参照样本进行准确的测定
为保证原始数据可靠，要严格控制检测误差， 包括分析仪器的灵敏度、试剂的纯度、操作技术及 标准的掌握等，同时必须对测量条件做出统一的规 定和说明，如临床化验参考值范围的制定，应对收 集样本时的环境和生理条件（温度、季节、体育活 动强度、饮食、妊娠等），收集、转运和储藏样品 的方法及时间有明确的规定。
f (z)
1
z2
e 2 , z
2
即将X~N(μ,σ2)的正态分布转化为z~ N(0,12)的标准 正态分布，z称为标准正态变量，其分布函数为
正态分布的性质及实际应用举例
华北水利水电学院正态分布的性质及实际应用举例课程名称：概率论与数理统计专业班级：电气工程及其自动化091班成员组成：姓名：邓旗学号： 2姓名：王宇翔学号：1姓名：陈涵学号：2联系方式：2012年5月24日1 引言：正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
2 研究问题及成果：正态分布性质；3原则及标准正态分布；实际应用举例说明摘要：正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学研究，故此正态分布又称高斯分布。
在许多实际问题中遇到的随机变量都服从或近似服从正态分布：在生产中，产品的质量指标，如电子管的使用寿命，电容器的电容量，零件的尺寸。
铁水含磷量，纺织品的纤度和强度等一般都服从正态分布。
在测量中，如大地测量，天平称量物体，化学分析某物之中某元素的含量等，测量结果一般服从正态分布。
在生物学中，同一群体的某种特性指标，如某地同龄儿童的身高，体重，肺活量，在一定条件下生长的农作物的产量等一般服从正态分布。
在气象学中，某地每年7月份的平均气温，平均温度以及降水量等一般也服从正态分布。
总之。
正态分布广泛存在于自然现象，社会现象以及生产，科学技术的各个领域中。
本文就从正态分布的实际性质应用举例等各个方面进行简单阐述并进行探讨，使同学们能够对所掌握的知识有更清楚地认识。
关键词：正态分布The nature of the normal distribution and the example of practical applicationAbstract：the normal distribution is the probability distribution of one of the most important. Normal distribution concepts is Germany first proposed by mathematician and astronomer Moivre in 1733, but since Germany mathematician Gauss first applied in astronomy, so also called the Gaussian distribution of the normal distribution. In many practical problems encountered in the approximate normal distribution random variables are subject to, or: in production, product quality indicators, such as the life of the tube, the capacitance of capacitors, dimensions of the part. Phosphorus content in hot metal, textile fibers and strength are generally subject to the normal distribution. In surveying, geodesy, weighing scales objects, such as chemical analysis of some of the content of an element, General normal distribution measurement results. In biology, a certain characteristic index of the same group, such as a certain age children's height, body weight, vital capacity, under certain conditions the yield of crops on the growth of General normal distribution. In meteorology, a place every July average temperature, average temperature and precipitation generally normal distribution. All in all. Normal distribution is widely present in natural phenomena, social phenomena, as well as the production, in the various fields of science and technology. This article from the actual properties of the normal distribution apply to explore various aspects, such as for example a simple elaboration and, enable students to acquire knowledge have a better understanding.Key words：Normal distribution Practical application正态分布的性质及实际应用举例概率论在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。
定性数据统计描述正态分布及其应用
2
2
( X )
其中是μ 均数，σ 是标准差。记N (μ ,σ 2)
正态分布的特殊形式：标准正态分布N (0 ,1)；
即μ =0,σ =1时（z分布、u分布） 标准正态变换（变换公式）；u=
xm
特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。
注意
95% 参考范围（ reference range ）或正 常范围（ normal range ）仅仅告知健康者中 95%的人测定值在此范围之内，并非告知凡在 此范围之内皆健康，也非告知凡在此范围之外 皆不健康，所以不可将之作为诊断标准。
3． 正态分布是许多统计方法的理论基 础，如后面要讲的 t 检验、方差分析、相 关回归等， t 分布、二项分布、 Poisson 分布的极限分布也是正态分布。
正态曲线（ normal curve ） 图形特点：
f(X) 1. 2. 3. 4. 5.
m
钟型 中间高 两头低 左右对称 最高处对应 于X轴的值 就是均数 6. 标准差决定 X 曲线的形状 7. 曲线下面积 为1 8. 拐点 m
数学式
正态分布密度函数
1 f (X ) 2
e
( x m )
用
u曲线下面积
0.5
f(X)
0.4
-∞
u 0.3
0.2 0.1 0.0
1 (u) 2
u
e
X2
2
dX
-4
-3
-2
-1
0 X
1
2
3
4
附表（标准正态分布 左侧曲线下面积）就 是根据此公式和图形 制定的
医学统计学重点总结
第一章绪论一、名词解释1.设计(design)：根据研究的问题与目的，从统计学的角度对各步提前做出的周密计划和安排。
2.收集资料(data collection)：获得研究所需要的原始数据的过程。
3.整理资料(data storing)：对收集到的原始资料进行归类整理汇总的过程。
4.分析资料(data analysis)：对整理的资料进行统计分析，获取资料中有关信息的过程。
5.总体(population)：根据研究目的确定的，所有同质研究对象某一（组）指标值的集合6.样本(sample)：从总体中随机抽取的，数量足够的能代表总体特征的部分研究对象某一（组）指标值的集合。
7.参数(parameter)：描述总体特征的指标称为参数。
8.变异(variation)：对同质研究对象某指标值得波动性称为变异。
9.误差(error)：观测值与真实值之差。
10.变量(variable)：描述研究对象某种特征的指标。
11.资料(data)：变量全部或部分测量值构成资料12.计量资料(measurement data)：每个研究对象的变量值为一数值，表现出有量的大小，由这样一组研究对象定量观测值所构成的资料为计量资料。
13.计数资料(enumeration data)：每个研究对象的变量值为互不相同的属性之一，由这样一组研究对象定性变量值组成的资料为技术资料。
14.等级资料(ranked data)：每个研究对象变量值为互不相容的属性之一，且这些属性间有程度的递进或递减关系，有这样一组研究对象变量值组成的资料为等级资料。
15.过失误差：由科研工作者的失误或过错造成的误差。
16.系统误差(systematic error)：在收集资料的过程中，由于研究者或被研究者、仪器设备、检测用材料、检测方法、环境条件等原因，造成观测结果偏大或偏小，称作系统误差。
17.随机误差(random error)：在没有过失误差和系统误差的条件下仍存在大量偶然无法消除的不确定因素所引起的误差为随机误差。
统计学3正态分布及应用
u
X
1 u 2 2 (u) e 2
( X )
1 (u ) 2
e
u
u 2 2
dt ( X )
图3-5 标准正态分布及曲线下面积
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
23.0, 3
20
10 Std. De v = 6. 21 Me a n = 172. 2 0 153. 0 157. 0 161. 0 165. 0 169. 0 173. 0 177. 0 181. 0 185. 0 189. 0 N = 110. 00
X
图2.1 110名男大学生身高的频数分布
f (X ) 1.2
估计19岁男大学生身高在158.0cm以
下者占总数的百分比。
医学参考值范围 (Reference Value Range)
确定95%参考值范围示意图
医学参考值范围的制定
医学参考值范围的制定
界 限 范 围（%） 正态分布法 百分位数法
双侧界限
90 95 99 90 95 99
X 1.64S
X 1.96S
数值变量资料的统计描述
Description of Numerical Variable
第四节
正态分布及应用
Normal Distribution
教学要求：
掌握：正态分布的应用
熟悉：正态曲线的面积的分布规律 了解：正态分布的概念、特征
正态分布（normal distribution)
40 30
Thank you!
-5 2 .58 -4
1 .96 -3 -2 -1
0
chapter2正态分布及其应用
1. 2770
图1
体模“骨密度”测量值的分布接近正态分布示意图
正态分布
正态分布的概念
其形状为一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并 完全对称的曲线，曲线两端永远不与横轴相交 的钟型曲线 。 根据正态分布的概率密度函数(即方程)，可绘 制出正态分布曲线图，其方程（概率密度函数） 为: 1 f (X ) e ( X ) 2 X～N(,2), 2
正态分布的参数
1
2
3
图9 标准差相同、均数不同的正态分布曲线
正态分布的参数
σ1 σ2 σ3 σ1<σ2<σ3
图10 均数相同、标准差不同的正态分布曲线
正态分布
二、正态概率密度曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1；
正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相 等；
计算z值： 该地正常成年人血液中白细胞计数介于 9.0 6.89 .0 6.89 6.0×109/L 6~ 9.0×109/L 之间的比例66.16% Z2 1.47 Z1 0.62
1.44
1.44
查附表1：确定概率
0.2676 0.6616 0.0708 1.47
x=μ
x
图8 正态分布示意图
正态分布
正态曲线的特征
关于x=μ对称。 位置参数 1 f ( ) 在 在x=μ处取得该概率密度函数的最大值， 2 形状参数 x 处有拐点，表现为钟形曲线。 决定曲线在横轴上的位置， 增大，曲线沿横轴 向右移；反之， 减小，曲线沿横轴向左移。 决定曲线的形状，当 恒定时， 越大，数据 越分散，曲线越“矮胖”’； 越小, 数据越集中， 曲线越‘瘦高’。 曲线下面积为1。
正态分布及其应用
正态分布及其应用在我们的日常生活和众多科学领域中，正态分布是一个极其重要的概念。
它如同一位默默工作的幕后英雄，虽然不常被人们直接提及，但却在各个角落发挥着关键作用。
那什么是正态分布呢？想象一下，我们测量一群人的身高，会发现大多数人的身高都集中在一个中间范围，只有少数人特别高或特别矮。
这种大多数数据集中在中间，两端逐渐减少的分布情况，就是正态分布。
它的形状就像一个对称的钟形，所以也被称为“钟形曲线”。
正态分布具有几个显著的特点。
首先，它是对称的，这意味着数据在均值的两侧分布是相同的。
其次，它的均值、中位数和众数是相等的，都处于曲线的中心位置。
而且，正态分布的概率密度函数具有特定的数学表达式，这使得我们能够进行精确的计算和分析。
为什么正态分布如此常见呢？这是因为许多自然和社会现象都受到多种随机因素的综合影响。
例如，学生的考试成绩，受到他们的学习能力、努力程度、考试当天的状态等多种因素的作用。
这些因素相互交织，最终导致成绩呈现出正态分布的特征。
在教育领域，正态分布有着广泛的应用。
教师可以通过对学生考试成绩的分析，了解整个班级的学习情况。
如果成绩符合正态分布，说明教学效果可能较为正常。
但如果出现偏态分布，比如成绩普遍过高或过低，就可能提示教学中存在问题，需要调整教学方法或难度。
在医学中，正态分布同样重要。
比如，测量人群的血压、身高、体重等生理指标，通常都呈现正态分布。
医生可以通过这些数据来判断一个人的健康状况是否正常。
如果某个人的指标偏离了正态分布的范围，可能就意味着存在健康风险，需要进一步的检查和治疗。
在金融领域，正态分布也被广泛应用于风险评估。
股票的收益率、资产的价格波动等往往近似服从正态分布。
投资者可以利用这一特性，通过计算均值和标准差来评估投资组合的风险和收益。
在工业生产中，正态分布可以用于质量控制。
例如，生产一批零件，其尺寸的误差往往符合正态分布。
通过设定合理的公差范围，企业可以确保大部分零件符合质量标准，同时对超出范围的少数次品进行及时处理和改进生产工艺。
正态分布及其应用 (normal distribution)
➢二．图形 正态分布密度函数
f(X) 21 exp((X 2 2)2)
其中参数 为均值， 为标准差，由此
决定的正态分布记作 N(三．特征
➢ 正态分布是单峰曲线，形状呈钟型，中间高，两
端低，以 X 为对称轴，左右完全对称。
➢ 在 X 处，f (X) 取得最大值。
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
不同均值正态分布示意图
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
➢ 正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
• 根据正态 分布的对称性知，外侧尾部面 积 u2.21与外侧尾部面积 u2.21 相同，查附表1，得对应的概率为0.0136， 体重在50kg以上的12岁儿童占1.36%。
第三节 医学参考值范围的制定
➢医学参考值范围Reference Range 指某 群体“正常人”的解剖、生理、生化等 各种指标大多数个体值的波动范围。
附表1给出了标准正态分布曲线下从的面积根据正态分布的对称性我们可以求出任何一个区间内标准正态分布曲线下的面积也就是落在任何一个区间内的概率
正态分布及其应用
(normal distribution)
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
限和上限，即双侧界值；有些指标如
肺活量通常只以过低为异常，血铅以
2定性数据统计描述正态分布及其应用
95.00%
99.00%
1 1.96 2.58 μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ
μ
μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ
标准正态分布 正态分布
-1～1
μ±σ
-1.96～1.96 μ±1.96σ
-2.58～2.58 μ±2.58σ
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正态分布，某指标X~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
2.百分位数法
应用条件 : 任何分布，特别是偏态分布资料 计算公式：
双侧界值：P2.5 ~ P97.5 单侧 上界：P95 单侧 下界：P5 630名正常女性血清甘油三酯含量的资料
注意
95%参考范围（reference range）或正常范围（normal range）仅仅告知健康者中 95%的人测定值在此范围之内，并非告知凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在此范围之外 皆不健康，所以不可将之作为诊断标准。
同期暴露人口数
可能发生该病的人群
不可能发病
1、 发病率（incidence rate）
IR= 某期某人群中某病的新病例数 × K
同期暴露人口数
该时期的平均人口数 （1）年中人口数（2）平均值
分子 观察期内新发生的病人； 同一个体多次患病，应多次计数； 发病时间较难确定的以初次诊断作为发病时间。 分母 应为易感人口，实际大样本调查多用平均人口。
小结 1.描述一组观察值，除需要表示其平均水平外，还要说明它的离散或变异的情况。 2.衡量变异程度大小的指标有多种: 极差、四分位数间距、方差、标准差和变异系数。其中应用最多 的是标准差和变异系数。 3.标准差与均数结合能够完整地描述一个正态分布。对任何参数的正态分布，都可以通过一个简单的 变量变换化成标准正态分布。正态分布可以很容易地确定其数值出现在任意指定范围内的概率。
第四章 定量资料的统计描述_正态分布及其应用
50
（3）确定参考值范围的注意事项
选定同质的正常人作为研究对象； 确定医学参考值范围必须抽取足够例数的 样本； 控制检测误差； 判断是否分组(性别,年龄组) ； 要根据专业知识确定单、双侧问题 ； 要根据资料特点，选用恰当计算方法。
是绝大多数正常人的的解剖、生理、生化等指 标的波动范围
绝大多数：90%，95%，99%等
“正常人”的定义：
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的 同质的人群。
38
确定医学参考值范围的意义
作为判断正常与异常的参考标准
39
确定参考值范围的注意事项
确定观察对象和抽取足够的观察单位
测定方法应统一、准确 应采用得到公认的或权威机构推 荐的标准方法，以利于结果的评价和比较。 判断是否分组(性别,年龄组) 单、双侧问题
43
例4.22 某地调查正常成年男子200人的红 细胞数，得均数 X =55.26×1012/L，标准 差S=0.38×1012/L，试估计该地正常成年 男子红细胞数的95%参考值范围。
44
解：该地正常成年男子红细胞数的95%参考值范围为
下限：
X－1.96S =55.26 － 1.96×0.38=54.52(×1012/L)
-∞<X<+∞
正态分布的参数 ：μ为总体均数，σ为总体 固定常数： π为圆周率，e为自然对数的底
变量：X
11
2.正态分布的特征
图形特点：
f(X) • 钟型、均数处最高
• 均数为中心的左右对称
• 正态分布有两个参数
• 曲线下面积分布有规律
X
2相等, 不等的正态分布图示
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-2.58 -1.96 -1
0
1 1.96 2.58
标准正态分布
-1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
曲线下面积分布规律
68.27%
68.27%
95.00%
95.00%
-2.58 -1.96 -1
99.00%
0
1 1.96 2.58μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ
标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为：μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
一般正态分布为一个分布族:N(m,2) ；标准
正态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应 用
u曲线下面积
0.5
f(X)
1 u X2
0.4
-∞
u0.3
(u)
五． 正态分布的应用
1．许多医学指标服从正态分布或近似 正态分布，如同性别、同年龄儿童的身 高，同性别健康成人的红细胞数、血红 蛋白量等，及实验中的误差。
2. 估计医学参考值范围 医学正常值范围
定义：又称参考值范围，是指特定健康人群的 解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习 惯上是确定包括95%的人的界值。
e 2dX
2
0.2
附表（标准正态分布
0.1
左侧曲线下面积）就
0.0
是根据此公式和图形
-4 -3 -2 -1 0 1 X
2
3
4
制定的
曲线下面积分布规律
查附表
68.27%
( 1 .9 6 ) P (u 1 .9 6 ) ?
95.00%
99.00%
(1 .9 6 ) P (u 1 .9 6 ) ?
经过标准化转换，就可以利用标准正太
分布求出原始变量X有关的概率值
例如成年男子红细胞数近似服从正太分布,
x~N(4.7,80.382)
,现
想知道在4x1012/L以下所占的比例。
u44.782.05 0.38
查附表1得:
(2.05)0.0202
表明成年男子的红细胞数低于4x1012/L的人约占总 体的2%.
定性数据的统计描述、正态分布以及应用 (normal distribution)
一.概念
正态分布又称高斯（Gaussian distribution） ，是统计学中一种最常见、最重要的连续型变量的 对称分布，医学资料中有许多指标如身高、体重、 红细胞数、血红蛋白、收缩压等频数分布都呈正态 分布。
频数分布逐渐接近正态分布示意图 （若纵轴改为频率）
0.5
0.4
0.3
N (0,12 )
N(1,1.22)
位置参数μ决定曲线的位置，0形.2 态参数σ决定曲线的形态
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
X
4．正态曲线下面积的分布规律
• 横轴上曲线下的面积为1 • 曲线下,横轴上对称于μ的左右两边面积相等
正态分布 μ±σ μ±1.96σ μ±2.58σ
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
正态分布的特殊形式：标准正态分布N (0 ,1)；
即μ=0,σ=1时（z分布、u分布）
标准正态变换（变换公式）；u=
xm
特征
1． 是单峰曲线，x=μ
2． 以均数μ为中心左右对称
3． 有2个参数，μ：位置参数，变异度参数 Nhomakorabeaσ：
σ越大，数据越分散，曲线越平 坦。
N(1,0.82)
0.6
f (X )
99.00%
μ
μ+σ μ+1.96σ
μ+2.58σ
标准正态分布 正态分布
-1～1
μ±σ
-1.96～1.96 μ±1.96σ
-2.58～2.58 μ±2.58σ
面积或概率 68.27% 95.00% 99.00%
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正
态分布，某指标X~N(μ,σ2),则
u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
t
自 由 度 为 1的 t分 布 自 由 度 为 9的 t分 布 标准正态分布
2.百分位数法
应用条件 : 任何分布，特别是偏态分布资料
计算公式： 双侧界值：P2.5 ~ P97.5 单侧 上界：P95 单侧 下界：P5
630名正常女性血清甘油三酯含量的资料
注意
95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知健康者中95% 的人测定值在此范围之内，并非告知凡在此范 围之内皆健康，也非告知凡在此范围之外皆不 健康，所以不可将之作为诊断标准。
正态曲线（ normal curve ） 图形特点：
1. 钟型
f(X)
2. 中间高
3. 两头低 4. 左右对称
5. 最高处对应 于X轴的值
就是均数
6. 标准差决定 X 曲线的形状
m
7. 曲线下面积
为1
8. 拐点 m
数学式
正态分布密度函数
e f(X) 1
2
(xm)2 2 2
( X )
其中是μ均数，σ是标准差。记N (μ,σ2)
3． 正态分布是许多统计方法的理 论基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、Poisson 分布的极限分布也是正态分布。
t分布
随机变量X N（m，2）
均数 X
u变换
标准正态分布
N（0，12）
标准正态分布
N（0，12） Student t分布 自由度：n-1
t分布的概率密度函数
式中
为伽玛函数； 圆周率（Excel函
数为PI( )）
为自由度（degree of freedom），是t 分布的唯一参数；t为随机变量。
以t为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布曲线。
t分布曲线
0.4 f( t) 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0 -4 -3 -2 -1 0 1
单双侧： 根据指标的实际用途，有的 指标有上下界值，过高过低均属异常； 某些指标过高为异常，只需确定上限； 某些指标过低为异常，只需确定下限。
估计的方法： 1、正态分布法（正态分布） 2、百分位数法（任何分布）
1.正态分布法 xu s
应用条件:正态分布或近似正态分布资料
结果稳定，所需样本量不大
计算
95% 正常值(医学参考值）范围公式：
双侧：(x 1.9s， 6x1.9s)6即 x1.96s
单下: x1.64s5 单上: x1.64s5
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数为 10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张压的双侧 95%正常值范围。 10.1±1.96×0.93 即8.28~11.92 kPa