椭圆综合专题整理(供参考)

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椭圆知识点以及题型总结

椭圆知识点以及题型总结一、椭圆的定义与基本性质椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中的定点F1和F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。

椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。

1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。

其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的焦半径和半短轴椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。

而椭圆的半短轴的长度等于b。

3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。

即PF1+PF2=2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。

离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。

5. 椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。

其中θ的取值范围一般为0≤θ≤2π。

二、常见椭圆的题型及解题方法1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的长度。

解题方法:根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之间的关系，可以求出半短轴的长度b。

2. 椭圆的标准方程题这类题目一般给定椭圆的焦点、长轴的长度和中心坐标，要求写出椭圆的标准方程。

解题方法:根据给定的信息，可以用(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的形式写出椭圆的标准方程。

3. 椭圆的参数方程题这类题目一般给定椭圆的中心坐标、长半轴、半短轴的长度，要求写出椭圆的参数方程。

椭圆综合练习知识点总结

椭圆综合练习知识点总结1. 椭圆的基本性质椭圆是一种闭曲线，其定义是平面上距离两个固定点的距离之和等于常数的轨迹。

这个点到两个固定点的距离分别为d1和d2，那么椭圆的定义可以表示为d1+d2=2a，其中a为椭圆的半长轴。

根据这个定义，我们可以得到椭圆的一些基本性质：a) 椭圆的离心率e满足0<e<1；b) 椭圆的中心C是两个焦点的连线的中点；c) 椭圆的两条对称轴互相垂直，且相交于中心；d) 椭圆的短轴长为2b，满足b^2=a^2*(1-e^2)；e) 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的连线在该点处的角度等于这条连线的斜率。

2. 椭圆的方程式椭圆的方程式可以分为标准方程和一般方程两种形式。

标准方程是指椭圆的中心在坐标原点，且长轴平行于坐标轴的方程。

一般方程是指椭圆的中心不在坐标原点，且长轴不平行于坐标轴的方程。

标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a为长轴的半径，b为短轴的半径；一般方程为A(x-h)^2+B(y-k)^2=1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中t为参数，a和b分别为长轴和短轴的半径。

参数方程可以描述椭圆上的任意一点的坐标，并且可以方便地进行参数方程曲线的相关计算。

4. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是指两个固定点F1和F2，这两个点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴的长度之比，满足e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。

5. 椭圆的焦距和直径椭圆的焦距是指两个焦点之间的距离，等于2ae。

椭圆的直径是指椭圆上任意两个对称点之间的距离，满足等于2a或2b。

6. 椭圆的焦准线椭圆的焦准线是指通过两个焦点的直线，它们与椭圆的交点为椭圆上所有点的切线。

焦准线的斜率与椭圆上各点处的切线的斜率成反比关系，即斜率的乘积为-1。

在实际的应用中，椭圆可以描述行星、卫星、电子轨道、轮廓设计等许多现实世界中的问题。

(完整word版)椭圆总结(全),推荐文档

椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 2a F1 F2的动点P 的轨迹，即点集M={P||PF|+|PF |=2a ， 2a＞ |F F |} ；（2a F1 F2时为线段 F1F2，2a F1F2无轨迹）。

此中两定1212点 F1， F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和必定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF e， 0＜ e＜ 1 的常数。

（ e1为抛物线； e1为双曲线）d（利用第二定义 , 能够实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转变，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（ 1）焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y 21 （a＞b＞0）；a2 b 2焦点 F （－ c， 0）， F（ c，0）。

此中c a2b2（一个 Rt 三角形）12（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y 2x 21（a＞b＞0）；a2b2焦点 F1（ 0，－ c）， F2（ 0， c）。

此中c a 2 b 2注意：①在两种标准方程中，总有a＞ b＞ 0，c a 2b2而且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞ 0，B＞ 0，A≠ B），当 A＜ B 时，椭圆的焦点在 x 轴上， A＞ B 时焦点在 y 轴上。

3 参数方程：焦点在 x 轴，x a cos（为参数）y b sin4 一般方程：Ax2By 21( A0,B 0)5. 性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ a＞ b＞ 0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质：①范围： |x|≤a， |y|≤b；② 对称性：对称轴方程为x=0， y=0，对称中心为O（0， 0）；③极点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（ a 半长轴长，b半短轴长）；④ 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线 l 1 : x a 2；右准线 l 2 : x a2a 2b 2c c对于 y 2x 21，下准线 l1 : y a 2；上准线 l 2 : y a 2a 2b 2c c焦点到准线的距离 pa 2 a 2 c 2b 2 cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外面，与短轴平行，且对于短轴对称⑤ 焦半径公式： P （ x 0，y 0）为椭圆上任一点。

高考椭圆题型总结（最新整理）

高考椭圆题型总结（最新整理）椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:PA+PB=2a>2c1.命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹P B A ,);,0(2常数>=+a a PB PA P 是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹1F 2F 421=F F P 421=+PF PF P 是（）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3.已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得1F 2F P P F 1Q ,那么动点的轨迹是( )2PF PQ =Q A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4.已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且1F 2F α)0(221>=c c F F M α,判断动点的轨迹.a MF MF 221=+M 5.椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中192522=+y x M 1F N 1MF O 心，则的值是。

ON (二)标准方程求参数范围若方程表示椭圆，求k 的范围.（3，4）U （4，5）13522=-+-k y k x 2.( )轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数m 的范围是.112522=-+-m y m x 4.已知方程表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 .222=+ky x 5.方程所表示的曲线是.231y x -=6.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。

222=+ky x y k 7.已知椭圆的一个焦点为，求的值。

06322=-+m y mx )2,0(m 8.已知方程表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是.=+ky x (三)待定系数法求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；P （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求)2,3(),1,6(21--P P 椭圆方程.2.以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程)0,2(1-F )0,2(2F )2,0(A 为。

椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。

高中数学椭圆知识题型总结,高二升高三的你们复习必备

高中数学椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备
高中数学：椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备！-
或许，这就是数学的魅力吧，只需一二定理，三四公式，就可以制出成百上千道不同的题目。

今天来说说高中数学重要章节——圆锥曲线椭圆相关知识点。

椭圆题在高中数学中占据比较重要的位置，占的分数也比较多。

分析历年高考题可知，选择题、填空题、大题中都有椭圆相关的题型。

所以一定要系统的掌握知识，对各类题型和基本解题方法有一定的了解。

关于椭圆的复习指导：
1、熟悉椭圆的定义及其几何性质，能求出椭圆的标准方程。

2、掌握常见的几种数学思想方法—函数与方程、数形结合、转化与回归等。

体会解析几何的本质问题（用代数的方法解决几何问题）
为了帮助同学们更好地复习，边肖为大家整理了高中数学椭圆中的几种题型汇总。

高二高三的孩子就趁这个假期好好复习。

相信对你的数学会有帮助。

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专题10 椭圆及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题10椭圆及其性质【知识梳理】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数2a （122||a F F >）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：{}1212|||||2(2||20)P PF PF a a F F c +=>=>注意：当22a c =时，点的轨迹是线段；当22a c <时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>>()222210y x a b a b +=>>统一方程221(m 0,n 0,)mx ny m n +=>>≠参数方程cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）cos ,[0,2]sin x a y b θθθπθ=⎧∈⎨=⎩为参数（）第一定义到两定点21F F 、的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >）范围a x a -≤≤且b y b-≤≤b x b -≤≤且a y a-≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A①2max 12122cos 1,b F BF r r θθ=-=∠，（B 为短轴的端点）②1202012|s |,1tan 2|in 2|,PF F c y x S x r b r c y θθ∆⎧⎪===⎨⎪⎩焦点在轴上焦点在轴上12()F PF θ=∠考点1：椭圆的定义与标准方程考点2：椭圆方程的充要条件考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：椭圆上两点距离的最值问题考点5：椭圆上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：椭圆的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹【典型例题】考点1：椭圆的定义与标准方程1．（2021·湖北·高二期中）椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F ，2F ，与y 轴的一个交点为A ，若12π3F AF ∠=，则m =（）A ．1B CD ．2【答案】C 【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a =，b m =，1c =.易知12AF AF a ==.又12π3F AF ∠=，所以12F AF 为等边三角形，即112AF F F =2=，即m =.故选：C.2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆2251162x y +=上点P 到上焦点的距离为4，则点P 到下焦点的距离为（）A ．6B ．3C ．4D ．2【答案】A【解析】椭圆2251162x y +=，所以225a =，即5a =，设上焦点为1F ，下焦点为2F ，则12210PF PF a +==，因为14PF =，所以26PF =，即点P 到下焦点的距离为6；故选：A3．（2021·山东山东·高二期中）已知椭圆的两个焦点为(10,F ，(2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22194x y +=B ．22149x y +=C ．22127x y +=D ．22172x y +=【答案】B【解析】由212PF PF a +=，得()222121222124PF PF PF PF PF F a P ++⋅+==，又因为12MF MF ⊥，所以()22212220PF PF c +==，由22121220,8PF PF PF PF +=⋅=，得222121242201636a PF PF PF PF =++⋅=+=，所以29,3a a ==，又2c b =∴=.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的方程是22149x y +=.故选：B.4．（2021·四川·遂宁中学高二期中（文））与椭圆229436x y +=有相同的焦点，且短半轴长为）A ．2212520x y +=B ．2212520y x +=C ．2214520y x +=D ．2218580y x +=【答案】B【解析】椭圆229436x y +=的标准方程为22194y x +=，该椭圆的焦点坐标为(0,，设所求椭圆的长半轴长为a ，则5a =，故所求椭圆的标准方程为2212520y x +=.故选：B.5．（2021·全国·高二期中）设1F 、2F 分别是椭圆E ：2221y x b+=（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，且222AB AF BF =+，则AB 的长为______．【答案】43【解析】由椭圆的定义得：122AF AF a +=，122BF BF a +=，又222||||||AB AF BF =+，11AB AF BF =+，所以43AB a =，由椭圆222:1y E x b+=知1a =，所以43AB =.故答案为：436．（2021·江苏省南通中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点()3,2M ；(2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26．【解析】（1）由焦距是4可得2c =，又焦点在y 轴上，所以焦点坐标为()0,2-，()02,，由椭圆的定义可知28a ==，所以4a =，所以22216412b a c =-=-=，所以椭圆的标准方程为2211612y x +=；（2）由题意知226a =，即13a =，又513c e a ==，所以5c =，所以22222135144b a c =-=-=，当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的方程为221169144x y +=；当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为221169144y x +=，所以椭圆的方程为221169144x y +=或221169144y x +=7．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为(0,3),(0,3)-，且过点16(,3)5P 的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点11(,33P 、1(0,)2Q -的椭圆标准方程.【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为22221y x a b+=由椭圆定义，210a ==故5,3,4a cb ===故椭圆的标准方程为：2212516y x +=（2）不妨设椭圆的方程为：221mx ny +=经过两点11(,)33P 、1(0,2Q -故11199114m n n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5,4m n ==即22541x y +=故椭圆的标准方程为：2211145y x +=8．（2021·吉林油田高级中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)与椭圆22184x y +=有相同的焦点，且经过点()2,3-；(2)点A，B-，(2,C -，()3,0D 中恰有三个点在椭圆上.【解析】(1)椭圆22184x y +=的焦点坐标为()2,0-，()2,0.所以设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意得()222222231,4,a ba b ⎧-⎪+=⎨⎪-=⎩解得2216,12.a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2211612x y +=.(2)根据椭圆的对称性，A，B-两点必在椭圆上，因为点A 和点C的纵坐标为A ，C 两点并不关于y 轴对称，故点C 不在椭圆上.所以点A，B-，()3,0D 三点在椭圆上.设椭圆方程为()2210 ,0mx ny m n +=>>，代入A ，D 两点得381,91,m n m +=⎧⎨=⎩解得1,91.12m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为221912x y +=.考点2：椭圆方程的充要条件9．（2021·安徽·芜湖一中高二期中）若方程22191x y k k +=--表示椭圆C ，则下面结论正确的是（）A ．()1,9k ∈B ．椭圆C的焦距为C ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()1,5k ∈D ．若椭圆C 的焦点在x 轴上，则()5,9k ∈【答案】C【解析】因方程表示椭圆，则有90k ->，10k ->，且91k k -≠-，即()()1,55,9k ∈，A 错误；焦点在x 轴上时，910k k ->->，解得()1,5k ∈，D 错误，C 正确；焦点在x 轴上时，则()291102c k k k =---=-，焦点在y 轴上时，()219210c k k k =---=-，B 错误.故选：C10．（2021·北京工业大学附属中学高二期中）设22:1p mx ny +=表示的是椭圆；:0,0q m n >>，则p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若221mx ny +=表示的是椭圆，则0,0m n >>且m n ≠，即p q ⇒成立；反例：当1m n ==时，221mx ny +=表示的是圆，即q p ⇒不成立；即p 是q 成立的充分不必要条件，故选：A.11．（2021·上海·高二期中）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当0mn >时，方程221mx ny +=的曲线不一定是椭圆，例如：当1m n ==时，方程221mx ny +=的曲线不是椭圆而是圆；或者是m ，n 都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程221mx ny +=的曲线是椭圆时，应有m ，n 都大于0，且两个量不相等，得到0mn >；由上可得：“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.12．（多选题）（2021·江苏·无锡市第一女子中学高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=（）A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确，故B 错误；对于C ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半的圆，故C 不正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，y n=，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：AD.13．（2021·上海市宝山中学高二期中）已知方程22164x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______；【答案】61m -<<-【解析】由于方程22164x y m m +=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，所以4660m m m ->+⎧⎨+>⎩，解得61m -<<-.故答案为：61m -<<-14．（2021·广西·钦州一中高二期中（文））若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，则实数k的取值范围是___________.【答案】(1,2)【解析】因为椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，所以313010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩，解得12k <<，即实数k 的取值范围为(1,2).故答案为：(1,2)考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题15．（2021·全国·高二期中）已知椭圆2214x y +=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 为椭圆上动点，则12PF PF +的值是______；12PF PF ⋅的取值范围是______．【答案】4[]2,1-【解析】对椭圆2214x y +=，其2224,1,3a b c ===，焦点坐标分别为())12,F F ，由椭圆定义可得：12PF PF +24a ==；设点P 的坐标为(),x y ，则2214x y =-，且[]2,2x ∈-，故12PF PF ⋅())222123,,324x y x y x y x =-⋅-=+-=-，又[]2,2x ∈-，故[]2322,14x -∈-，即12PF PF ⋅的取值范围为：[]2,1-.故答案为：4；[]2,1-.16．（2021·安徽滁州·高二期中）已知1F 、2F 是椭圆22110020x y +=的两个焦点，M 是椭圆上一点，且12MF MF ⊥，则12F MF △的面积为______．【答案】20【解析】由22110020x y +=，得2100a =，220b =，所以10a =，c ==所以122F F c ==1MF m =，2MF n =，所以220m n a +==，因为12MF MF ⊥，所以22320m n +=，所以()()222280mn m n m n =+-+=，所以12F MF △的面积为12mn 20=．故答案为：20.17．（2021·安徽·高二期中）设12,F F 是椭圆22:1167x yC +=的左，右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，且||3OP =，则12PF F △的面积为___________.【答案】7【解析】由题意得，4a =，3c =，12132OP F F ==，∴P 在以线段12F F 为直径的圆上，∴12PF PF ⊥，∴222121236PF PF F F +==①，由椭圆的定义知，128PF PF +=②，由①②，解得1214PF PF ⋅=，∴1212172PF F S PF PF =⋅=△.故答案为：7.18．（2021·山东师范大学附中高二期中）已知椭圆221126x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，P 在椭圆上，且12PF F △是直角三角形，这样的P 点有______个【答案】6【解析】当P 不是直角顶点时，P 为过焦点与x 轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个；当P 是直角顶点时，P 在以12F F为直径的圆上，c =故圆方程为226x y +=，联立方程：222211266x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.综上所述：共有6个点满足条件.故答案为：6.19．（2021·上海市控江中学高二期中）设1F ､2F 分别是椭圆22:12516x yC +=的左､右焦点，点P在椭圆C 上，且满足120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=___________.【答案】32【解析】由题意，椭圆22:12516x y C +=，可得5,4a b ==，则3c =，根据椭圆的定义，可得1210PF PF +=，又由120PF PF ⋅=，可得12PF PF ⊥，所以22212436PF PF c +==，因为()2221212121221002PF PF PF PF PF PF PF PF +=+-=-，即12100236PF PF -=，解得1232PF PF =.故答案为：32.20．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:1123x y C +=的两个焦点，点P 在椭圆上，120PF PF ⋅=，则12PF F △的面积是（）A ．3B ．6C．D．【答案】A【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，2221212PF PF F F +=，则()221212122PF PF PF PF F F +-⋅=，所以222122226PF PF a c b ⋅=-==，所以1212132PF F S PF PF =⋅=△，故选：A21．（多选题）（2021·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆22:14x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A ．若12PF PF =，则1230PF F ∠=B ．12F PF △C ．12PF PF -的最大值为D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个【答案】ABC【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =，c =12F F =对于A 选项，当12PF PF =时，则122PF PF a ===，由余弦定理可得222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅因为120180PF F <∠<，所以，1230PF F ∠=，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，所以，12F PF △面积的最大值为122c b bc ⨯⨯==B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+，即222PF ≤≤，所以，()12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==C 对；对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-，()100F P x y =，()200F P x y =，222120003130F P F P x y y ⋅=-+=-=，所以，0y =03x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选：ABC.22．（多选题）（2021·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M ：2212520x y +=的左右焦点分别为12F F 、，左右顶点分别为12A A 、，P 是椭圆上异于12A A 、的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F △周长为10B ．12PF F △面积最大值为10C ．存在点P 满足：1290F PF ︒∠=D ．若12PF F △面积为P横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F，2F，短轴一个端点2B，由题知12210PF PF a +==，故12PF F △周长为10+A 错误；利用椭圆的性质可知12PF F △面积最大值为1102⨯=，故B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，故C 错误；因为121212PF F P P S F F y y =⋅=△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确．故选：BD ．23．（2021·湖南·长沙市明德中学高二期中）椭圆221169x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B ，则2ABF 的周长为（）A ．32B ．16C ．8D ．4【答案】B【解析】在椭圆221169x y +=中，4a =，则2ABF 的周长为1212416AF AF BF BF a +++==.故选：B.24．（2021·广东·广州市番禺区实验中学高二期中）已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C【解析】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号），12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.考点4：椭圆上两点距离的最值问题25．（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆22:14x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为________.【答案】3【解析】根据题意，易知()0,1B ，设(),P x y ，则2214xy +=，即2244x y =-，故PB =因为11y -≤≤，所以当13y =-时，max PB ==26．（2021·福建宁德·高二期中）点P 为椭圆22159x y +=上一点，F 为焦点，则PF 的最大值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【解析】22159x y +=，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：C27．（2021·河北·正定一中高二期中）椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为（）AB ．152C ．2D ．3【答案】B【解析】设点P 的坐标为(),m n ，其中[3,3]∈-m ，由22195m n +=，可得22559m n =-，又由PQ ====，当94m =时，PQ 取得最小值，最小值为min 2PQ =.故选：B.28．（2021·上海市行知中学高二期中）设1F 、2F 是椭圆2216416x y+=的左右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则22AF BF +的最大值为______.【答案】28【解析】由题意，椭圆2216416x y +=，可得2264,16a b ==，即8,4a b ==，根据椭圆的定义，可得121216,16AF AF BF BF +=+=，则22112232AF BF AF BF AF BF AB +++=++=，所以2232AF BF AB +=-，当AB 垂直于x 轴时，AB 取得最小值，此时22AF BF +取得最大值，此时2221648b AB a ⨯===，所以22AF BF +的最大值为32428-=.故答案为：28.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题29．（2021·四川·树德中学高二期中（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y+=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB +的最大值为______．【答案】10+221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC +=-+=+-，MB MC BC -≤==，所以MA MB +的最大值为10+故答案为：10+30．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，点(4,4)A -，则2||PA PF -的最小值为__________．【答案】1【解析】依题意，椭圆22143x y +=的左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，点P 为椭圆上一点，点A 在此椭圆外，由椭圆的定义得21||4||PF PF =-，因此，211||||4||4PA PF PA PF AF -=+-≥-41=-=，当且仅当点P 是线段1AF 与椭圆的交点时取“=”，所以2||PA PF -的最小值为1.故答案为：131．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C 的方程为221,(2,0),(4,2)95x y B A +=-，M 为C 上任意一点，则||||MA MB -的最小值为___________.【答案】6【解析】由题意，3,a b ==2c =，所以(2,0)B -为左焦点，(2,0)D 为右焦点，所||||||(2||)||||2||26MA MB MA a MD MA MD a AD a -=--=+-≥-=，当且仅当M ､D ､A 共线时取等号.故答案为：6.32．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高二期中）设F 1，F 2分别是椭圆225x +216y=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为____.【答案】15【解析】如图所示：在椭圆225x +216y=1中，a =5，b =4，c =3，所以焦点坐标分别为F 1(-3，0)，F 2(3，0).|PM |+|PF 1|=|PM |+(2a -|PF 2|)=10+(|PM |-|PF 2|).∵|PM |-|PF 2|≤|MF 2|，当且仅当P 在直线MF 2上时取等号，∴当点P 与图中的点P 0重合时，有(|PM |-|PF 2|)max =|MF 222(6-3)(40)+-=5，此时|PM |+|PF 1|取最大值，最大值为10+5=15.故答案为：1533．（多选题）（2021·河北·石家庄市第四中学高二期中）已知椭圆22x y E :13620+=的左、右点分别为1F ，2F ，定点()1,4A ，若点P 是椭圆E 上的动点，则1PA PF +的值可能为（）A ．7B ．10C ．18D ．20【答案】AB【解析】由椭圆方程得6,25,4a b c ===，则由椭圆定义可得1212PF PF +=，∴1221212PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，()24,0F ，()2221445AF ∴-+=，255PA PF ∴-- ，则1717PA PF + .故选：AB.34．（2021·河北·石家庄二十三中高二期中）设P 是椭圆2212516x y +=上一点，M ，N 分别是圆221:(3)1C x y ++=和222:(3)4C x y -+=上的点，则PM PN +的最大值为（）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】A【解析】根据题意作出如图所示的图象，其中1F 、2F 是椭圆的左，右焦点，在1PMF 中可得：1111PF PM PF -≤≤+①，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：2222PF PN PF -≤≤+②，当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由①+②得：121233PF PF PM PN PF PF +-≤+≤++，由椭圆方程2212516x y +=可得：225a =，即5a =，由椭圆定义可得：12210PF PF a +==，所以，713PM PN ≤+≤.故选：A.考点6：离心率的值及取值范围35．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设P 是椭圆C ：2221(6x y a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，PF C 的离心率为_________．【答案】12【解析】P 是椭圆222:1(6x y C a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，||PF 的最，可得a c -=所以a =即a 所以(226a a =-，解得a =所以12c e a =．故答案为：12．36．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高二期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上有一点P ，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若使得12F PF △为直角三角形的点P 有8个，则椭圆的离心率的范围是______．【答案】⎫⎪⎪⎝⎭【解析】由椭圆的对称性，1221,PF F PF F ∠∠为直角，共有4个位置，12F PF ∠为直角，共有4个位置，于是以12F F 为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点P 在y轴上时，2,2c b c e a ==,12e ⎫∈⎪⎪⎝⎭.故答案为：2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.37．（2021·广西柳州·高二期中（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（）A3B ．12C ．25D【答案】A【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的斜率为12121y y x x -=-，又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22460a b -=，即2223b a =，所以椭圆C的离心率33e a ==.故选：A38．（2021·宁夏·吴忠中学高二期中（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为C 上一点，若212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．16B．6C ．13D【答案】D 【解析】P 点椭圆C 上的点，12+2PF PF a∴=212PF F F ⊥，且1230PF F ∠=︒2124,33PF a PF a ∴==在12PF F △中，2221221F F PF PF +=即22224(2)()()33c a a +=，整理得：2213c a=即213,33e e =∴=故选：D39．（2021·四川·阆中中学高二期中（文））已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．33(]，B ．32[]，C ．3[312，D ．2[1)2【答案】B【解析】设点(,)P x y ，22212(,)(,)=PF PF c x y c x y x c y ⋅=---⋅---+22222222222b c x c b x x c b a a=-+-=-+，因为220x a ≤≤，所以22212b c PF PF b -≤⋅≤，即2222b c c b -≤≤，结合222=b a c -可得221132c a ≤≤，所以3232e ∈⎣⎦.故选：B.40．（2021·江西赣州·高二期中（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，P 是椭圆C 上的点，()()12,0,,0F c F c -是椭圆C 的左右焦点，若12PF PF ac ⋅≤恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．1,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．(1⎤⎦C ．12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．)1,1【答案】A【解析】设()()()222002001001200,,,,,,P x y PF c x y PF c x y PF PF x c y ac ∴=--=---∴⋅=-+≤，P 在椭圆上，[]2222222000002221,,,x y a b b x x a a y a b a -∴+=∈-∴=，222222222002a b b x x c y x c ac a -∴-+=-+≤，两边都乘以2a 化简后得：22224302c x a c a a c -+≤，3422220220,a a x a x a c c⎡⎤∴≤+-∈⎣⎦，2342222111152,12,24a a a a c c e e e ⎛⎫∴≤+-∴≤+-⇒-≤ ⎪⎝⎭e ∴≥()0,1e ∈，1,12e ⎫∴∈⎪⎢⎪⎣⎭.故选：A.41．（2021·浙江浙江·高二期中）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ．若椭圆C 上有一点P 满足1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的最小值为（）A 22B ．3C ．13D 【答案】A【解析】由椭圆的几何性质知当点P 在短轴顶点时，12F PF ∠最大，设短轴顶点为B ，则1290F BF ∠≥︒，得sin 452c a ≥︒=，故选：A42．（2021·江苏·扬州中学高二期中）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P是椭圆上一点，O 为坐标原点，若2POF V 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1-C D 【答案】A【解析】连接1F P ，根据题意，作图如下：因为2POF V 为等边三角形，即可得：12OF OP OF c ===，则122190,60F PF PF F ∠=︒∠=︒则112sin 603PF F F c =︒⨯=，由椭圆定义可知：21223PF a PF a c c =-==，故可得：3131c a =-+．故选：A.考点7：椭圆的简单几何性质问题43．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）焦点在x 轴的椭圆2214x y m +=的焦距是4，则m 的值为（）A ．8B ．3C ．5或3D ．20【答案】A【解析】因为焦点在x 轴，故4m >，而焦距是442m -=即8m =，故选：A.44．（2021·辽宁·高二期中）已知椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m =（）A ．2B ．1C ．14D ．4【答案】C【解析】因为椭圆()2210x my m +=>的焦点在y 轴上，故01m <<，且椭圆的标准方程为：2211y x m+=，所以221,1a b m==所以141m=⨯，故14m =，故选：C.45．（2021·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C．7D．7【答案】A【解析】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB ==247．故B ，C ，D 错误.故选：A.46．（2021·安徽·高二期中）已知圆()()222x a y b r -+-=经过椭圆C ：22198x y +=的右焦点，上顶点与右顶点，则b =（）A ．8B ．118C ．1124D ．114【答案】A【解析】椭圆C ：22198x y +=，右焦点为()1,0，上顶点为(0,，右顶点为()3,0，代入圆的方程222()()x a y b r -+-=，得()()()()()()22222222210030a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+=⎨⎪⎪-+-=⎩，解得22112815332a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以该圆的方程为()221532832x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A47．（2021·广西玉林·高二期中（理））已知点P (k ，1)，椭圆2294x y +=1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为_____.【答案】∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-【解析】因为点P (k ，1)在椭圆2294x y +=1外，所以2194k +>1，解得k <k >2，故实数k 取值范围为22∞⎛⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，-.故答案为：∞⎛⎫∞⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-考点8：利用第一定义求解轨迹48．（2021·辽宁沈阳·高二期中）已知圆M ：()22236x y ++=，定点()2,0N ，A 是圆M 上的一动点，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则P 点的轨迹C 的方程是（）A ．22143x y +=B ．22195x y +=C ．22134x y +=D ．22159x y +=【答案】B【解析】由题可得圆心()2,0M ，半径为6，P 是垂直平分线上的点，PA PN ∴=，6PM PN PM PA ∴+=+=，∴P 点的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且26,2a c ==，a 3∴=，2225b a c ∴=-=，故P 点的轨迹方程为22195x y +=.故选：B.49．（2021·吉林油田高级中学高二期中（文））已知ABC 的周长是20，且顶点B 的坐标为(0,4)-，C 的坐标为(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)2036x y x -=≠B ．221(0)3620x y x +=≠C ．221(0)2036x y x +=≠D ．221(0)3620x y x -=≠【答案】C【解析】由题意可知20812AC AB BC +=-=>，则点A 的轨迹是焦点在y 轴且中心为原点的椭圆，且点A 不在y 轴上2226,4,6420a c b ===-=，即221(0)2036x y x +=≠故选：C50．（2021·云南省昆明市第十二中学高二期中）一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（）A ．2212516y x +=B ．2212516x y +=C ．221169y x +=D ．221169x y +=【答案】A【解析】设动圆半径为r ，圆心为M ，根据题意可知，2(0,3C ）和1(0,3C -），1||1+MC r =，2||9MC r =-，12|C |3(3)6C =--=12||+||91+106MC MC r r =-+=>，故动圆圆心的轨迹为焦点在y 轴上椭圆，且焦点坐标为2(0,3C ）和1(0,3C -），其中210,5a a ==,122||6,3c C C c ===，所以222=25916b a c -=-=，故椭圆轨迹方程为:2251162x y +=，故选：A.51．（2021·广东·深圳外国语学校高二期中（理））△ABC 的两个顶点坐标A （-4，0），B （4，0），它的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22+1259x y ＝B ．22+1259y x ＝（y ≠0）C ．()22+10169x y y ≠D ．()22+10259x y y ≠【答案】D【解析】因为++18AB AC BC =，所以+10>AC BC AB =，所以顶点C 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，去掉A ，B ，C 共线的情况，即2210,4,9a c b ==∴=，所以顶点C 的轨迹方程是()22+10259x y y ≠，故选：D.52．（2021·安徽·肥东县综合高中高二期中（理））已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C :()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切.所以1213,3MC r MC r =-=+.1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆.则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=故选：D53．（2021·宁夏·贺兰县景博中学高二期中（理））已知动点P 与平面上两定点()A ，)B连线的斜率的积为定值－12．则动点P 的轨迹方程为________【答案】(2212x y x +=≠【解析】设动点(),P x y ，则PA k =PB k =12=-，整理得：2212x y +=，又因为动点P 不能与定点()A ，)B重合，故x ≠综上：动点P 的轨迹方程为(2212x y x +=≠故答案为：(2212x y x +=≠54．（2021·福建福州·高二期中）已知动圆P 过定点(3,0)A -，且在定圆22:(3)64B x y -+=的内部与其相内切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为____________________.【答案】221167x y +=【解析】设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动点P 到定点(3,0)A -和定圆圆心(3,0)B 距离之和恰好等于定圆半径，即||||||||||86PA PB PM PB BM +=+==>，∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4的椭圆，b =∴点P 的轨迹方程为221167x y +=，故答案：221167x y +=．55．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期中）ABC 中，()12,0B -，()12,0C ，AC ，AB 边上的两条中线之和为39，则ABC 的重心的轨迹方程为___________.【答案】()221016925x y y +=≠【解析】根据题意，设ABC 的重心为G ，因为AC ，AB 边上的两条中线之和为39，所以23926243GB GC +=⨯=>，根据椭圆定义可知，点G 轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且13a =，12c =，因此ABC 的重心的轨迹方程为()221016925x y y +=≠.故答案为：()221016925x y y +=≠.56．（2021·安徽·六安一中高二期中）已知圆1C ：()2211x y ++=和圆2C ：()22125x y -+=，动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为________．【答案】22198x y +=【解析】由圆1C ：()2211x y ++=可得圆心()11,0C -，半径11r =，由圆2C ：()22125x y -+=可得圆心()21,0C ，半径25r =，设圆M 的半径为r ，因为动圆M 同时与圆1C 外切和圆2C 内切，所以11MC r =+，25MC r =-，所以12121562MC MC r r C C +=++-=>=，所以点M 的轨迹是以()11,0C -，()21,0C 为焦点，26a =的椭圆，所以3a =，1c =，b ==，所以动圆的圆心M 的轨迹方程为：22198x y +=，故答案为：22198x y +=.57．（2021·四川·雅安中学高二期中）平面上一动点(),P x y满足4=，则P 的轨迹方程为__________．【答案】22143x y +=【解析】动点(,)P x y4=，∴动点(,)P x y 到(1,0)A -和(1,0)B 的距离之和等于4||2AB >=，∴动点P 的轨迹是以点,A B 为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)x ya b a b+=>>，由题得21,24,2,413c a a b ==∴==-=.∴动点P 的轨迹方程是22143x y +=.故答案为：22143x y +=．58．（2021·天津河西·高二期中）动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，则动点M 的轨迹方程是___________.【答案】221259x y +=【解析】因为动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和M 到定直线l ：254x =的距离的比是常数45，45=，即()22225254164x y x ⎛⎫⎡⎤-+=- ⎪⎣⎦⎝⎭，整理可得：22925225x y +=，即221259x y +=，故答案为：221259x y +=.。

椭圆知识点总结附例题

圆锥曲线与方程椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}；那个地址两个定点F 1，F 2叫椭圆的核心，两核心间的距离叫椭圆的焦距2c 。

（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

2．标准方程： 222c a b =-①核心在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；核心F （±c ，0） ②核心在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；核心F （0, ±c ）注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，而且椭圆的核心总在长轴上； ②两种标准方程可用一样形式表示：221x y m n+= 或 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，那个地址，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.极点（1）椭圆的极点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 别离叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 别离叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率（1）咱们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10<<e ），22221()b e a a==-c e 0=是圆；e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

椭圆的几何性质及综合问题

椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++ =【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝12.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(3，163)C ．(0，3)∪(163，＋∞) D ．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A ．22B ．12C ．32D ．334.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（）A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（）A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（）A.25B.33C.21D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当A F PF 11⊥，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 313．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝114.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300时，a =16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．17．椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22D ．5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率等于( )A B ．12 C D ．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率21=e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.变式：过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为2,点(在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用m1替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1k2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32 D ． 33．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足57-=，求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且长轴长为12，过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2）设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率；（II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .10．如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q ．(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，（文）求线段AB 长度的最小值．（理）试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、最值问题【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.1.已知椭圆C ：1222=+y ax （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ；（Ⅲ）从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C 上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆144:2222=+b y a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OPOQ 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值。

考点38 高中数学-椭圆-考点总结和习题

考点38椭圆【命题趋势】椭圆是高考考查的重点，难点，可能在小题中出现，也经常出现在高考中的压轴题位置，是高考高分的分水岭.我们复习时必须掌握以下几点：（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解椭圆的简单应用.（4）理解数形结合的思想.【重要考向】一、椭圆定义的应用二、求椭圆的标准方程三、椭圆的几何性质及应用四、直线与椭圆的位置关系椭圆定义的应用平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.【巧学妙记】1.（2020·深圳实验学校高二月考）在ABC 中，点()2,0A -、点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠±【答案】B 【分析】由A 、B 的坐标求出||AB ，代入2||||||AB AC BC =+，可知点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是8的椭圆，由此求出其轨迹方程．【详解】解：点(2,0)A -、点(2,0)B ，||4AB ∴=，||AB 是||AC 和||BC 的等差中项，则2||||||8AB AC BC =+=，∴点C 的轨迹是以(2,0)A -，(2,0)B 为焦点，半长轴长是4的椭圆（去掉长轴上的顶点）．则4a =，2c =，22212b a c ∴=-=．∴点A 的轨迹方程是：221(4)1612x y x +=≠±故选：B ．2.（2021·安徽宿州市·高二期末（理））在ABC 中，已知()3,0B -，()3,0C 且ABC 的周长为16，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．()22102516x y x +=≠B ．()22101625x y x +=≠C ．()22102516x y y +=≠D ．()22101625x y y +=≠【答案】C 【分析】由周长得到106AB AC +=>，利用椭圆定义写出点A 的轨迹方程.【详解】由条件可知16AB AC BC ++=，6BC =，106AB AC ∴+=>，∴点A 是以,B C 为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且210,26a c ==，2225,9a c ∴==，225916b =-=∴顶点A 的轨迹方程是()22102516x y y +=≠.故选：C3.（2021·浙江高二期末）已知12,F F 分别为椭圆2221(010)100x y b b +=<<的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）12PF PF +的值为________；（2）若1260F PF ∠=︒，且12F PF △的面积为6433，求b 的值为________．【答案】208【分析】（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由2221(010)100x y b b+=<<知2100,10a a ==，12220PF PF a +==，（2）设12,PF m PF n ==，21222122cos F F m n F F mn P =+-⋅∠，可得2224()343c m n mn a mn =+-=-，所以243b mn =，所以12122133643sin 2433F PF F PF S mn mm b =⋅∠===，所以8b =，故答案为：（1）20；（2）8.求椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>.【巧学妙记】4.（2021·四川凉山彝族自治州·高三二模）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C ，其长轴长为4，焦距为2，则C 的方程为（）A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=或2211612y x +=C ．22143x y +=D ．22143x y +=或22143y x +=【答案】D 【分析】由椭圆中a ，b ，c 的关系求出短半轴长b 的值，再按焦点位置分别写出所求方程.【详解】因椭圆C 中心在原点，其长轴长为4，焦距为2，则2a =，1c =，b ==当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆方程为：22143x y+=，当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆方程为：22143y x+=．故选：D5.（2021·全国高二单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，由已知可得3c =，由椭圆定义求得a ，由b 2＝a 2－c 2，求得b ，即可得出结果.【详解】解：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．6.（2021·全国高二单元测试）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B (－2，1)两点；（2）a ＝4，c（3）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点．【答案】（1）221155x y +=；（2）22116x y +=或22116y x +=；（3）2211510x y +=．【分析】（1）利用待定系数法求得椭圆方程；（2）求得b ，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；（3）首先求得2c ，然后利用P 点坐标求得22,a b ，由此求得椭圆方程.【详解】（1）设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由)2A-和()B -两点在椭圆上可得2222(2)1(11m n m n ⎧⋅+⋅-=⎪⎨⎪⋅-+⋅=⎩，即341121m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得11515m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故所求椭圆的标准方程为221155x y +=．（2）因为a ＝4，c =所以b 2＝a 2－c 2＝1，1b =所以当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程是22116x y +=；当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程是22116y x +=．（3）因为所求的椭圆与椭圆22194x y +=的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝5．设所求椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>．因为所求椭圆过点P (－3，2)，所以有22941a b +=①又a 2－b 2＝c 2＝5，②由①②解得a 2＝15，b 2＝10．故所求椭圆的标准方程为2211510x y +=．椭圆的几何性质及应用i)图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b +=(0)a b >>x a ≤y b≤(,0)a ±，(0,)b ±(,0)c ±对称轴：x 轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，c e a=22221y x a b+=(0)a b>>y a ≤x b≤(0,)a ±，(,0)b ±(0,)c±【巧学妙记】7.（2020·全国高二课时练习）已知椭圆方程为22916144x y +=，则它的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为______．【答案】8674【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出a 、b 、c 的值，即可得出结果.【详解】把椭圆方程化成标准方程为221169x y +=，所以4a =，3b =，c ==所以椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为74c e a ==.故答案为：8；6；74.8.（2021·福建龙岩市·高二期末）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（）A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C 【分析】利用椭圆的简单几何性质求解．【详解】解：椭圆22212x ya +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ．9.（2021·山西高三三模）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若1ABF 为等边三角形，则C 的离心率为（）A ．3B ．2C ．3D ．12【答案】A 【分析】判断出12AB F F ⊥，利用22ce a=求得离心率.【详解】由于1ABF 为等边三角形，根据椭圆的对称性可知12AB F F ⊥，在12Rt AF F △中，126AF F π∠=，2112::1:2AF AF F F =所以2332123c e a ===+.故选：A直线与椭圆的位关系设直线:0l Ax By C ++=，椭圆22221x y a b+=，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.10.（2021·四川省内江市第六中学高二月考）已知直线:30l x y +-=，椭圆2214x y +=，则直线与椭圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交【答案】C 【分析】将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系【详解】解：由223014x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(3)14x x +-=，化简得2524320x x -+=，因为2244532640∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离，故选：C11.（2020·河南高二月考（理））直线y kx k =-与椭圆22194x y +=的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A 【分析】求得直线y kx k =-恒过的定点，判断定点与椭圆的位置关系，由此可得直线y kx k =-与椭圆的位置关系.【详解】直线y kx k =-可化为(1)y k x =-，所以直线恒过点(1,0)，又2210194+<，即(1,0)在椭圆的内部，∴直线y kx k =-与椭圆22194x y+=的位置关系为相交.故选：A.12.（2021·莆田第十五中学高二期末）直线0x y m --=与椭圆2219x y +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【分析】将直线方程代入椭圆方程，消去x 得到2210290y my m -++=，令0∆=，计算即可求得结果.【详解】解：将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=，消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =一、单选题1．已知椭圆C ：22195x y +=的左焦点为F ，点M 在椭圆C 上，点N 在圆E ：()2221x y -+=上，则MF MN +的最小值为（）A ．4B ．5C ．7D ．82．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，113AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（）A ．716B ．74C ．916D ．343．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：30x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22163x y +=B ．22175x y +=C ．22184x y +=D ．22196x y +=4．已知12,F F 是椭圆22143x y +=的左，右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，则12AF F △的内切圆的半径的最大值是（）A ．1B ．12C ．13D ．335．已知椭圆22:1(0)9x y C m m+=>的长轴长与短轴长之差为2，则C 的焦距为（）A 7B ．5C ．27D ．25276．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上､下顶点分别为12,B B ，右顶点为A ，右焦点为F ，12B F B A ⊥，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．22C ．512-D ．512+7．已知A ，B ，C 是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>上不同的三点，且原点O 是△ABC 的重心，若点C 的坐标为3,22b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为33-，则椭圆Γ的离心率为（）A ．13B ．223C ．3D ．738．已知1F ，2F 是椭圆2222:154x y G +=的两个焦点，过1F 作直线l 交G 于A ，B 两点，若325AB =，则2F AB 的面积为（）A ．245B ．485C ．965D ．16415二、多选题9．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1,2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B ．椭圆C 的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D ．433AB =10．嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为s t ，已知远月点到月球表面的最近距离为km m ，则（）A ．圆形轨道的周长为()2km vt πB ．月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．近月点与远月点的距离为kmt m n νπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．椭圆轨道的离心率为m nm n-+三、填空题11．写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，直线2a x =与C 交于A ，B 两点，若120AFB ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.四、双空题13．椭圆2221x y +=的长轴长为______，焦点坐标是________．五、解答题14．求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．15．已知地球运行的轨道是长半轴长81.5010km a =⨯，离心率0.0192e =的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．16．已知椭圆的长轴在x 轴上，长轴长为4，离心率为32，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.17．地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同．我国古代劳动人民根据长期的生产经验总结创立了二十四节气，将一年（地球围绕太阳公转一周）划分为24个节气，规则是：任意2个相邻节气地球与太阳的连线成15︒．地球在小寒前约三四天到达近日点，在小暑前约三四天到达远日点．（1）从冬至到小寒与从夏至到小暑，哪一段时间更长?并说明理由．（2）以立春为始，排在偶数位的12个节气又称为中气，农历规定没有中气的那个月为闰月．经统计，1931年至2050年间，闰月最多的3个月份是：闰4月7次，闰5月9次，闰6月8次；闰月最少的3个月份是：闰11月1次，闰12月0次，闰1月0次．为什么会出现这种现象?请说明理由一、单选题1．（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．62．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．2,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、多选题4．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、双空题5．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.四、解答题6．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =．7．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．8．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．9．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．10．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．参考答案跟踪训练1．B 【分析】根据椭圆的定义把求MF MN +的最小值转化为求ME MN -的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边即可求得.【详解】易知圆心E 为椭圆的右焦点，且3,2a b c ===，由椭圆的定义知：26MF ME a +==，所以6MF ME =-，所以()66MF MN ME MN ME MN+=-+=--，要求MF MN +的最小值，只需求ME MN -的最大值，显然,,M N E 三点共线时ME MN -取最大值，且最大值为1，所以MF MN +的最小值为615-=.故选：B.2．B 【分析】根据椭圆的对称性可知，21AF BF =，设2AF m =，由113AF BF =以及椭圆定义可得132a AF =，22a AF =，在12AF F △中再根据余弦定理即可得到22744a c =，从而可求出椭圆C 的离心率．【详解】由椭圆的对称性，得21AF BF =.设2AF m =，则13AF m =.由椭圆的定义，知122AF AF a +=，即32m m a +=，解得2a m =，故132aAF =，22a AF =.在12AF F △中，由余弦定理，得122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-，即2222931742442224a a a a a c =+-⨯⨯=，则222716c e a ==，故74e =.故选：B.3．A 【分析】由题意，可得右焦点F 的坐标，联立直线l 与椭圆的方程，利用韦达定理，求出AB 的中点P 的坐标，由直线OP 的斜率可得a ，b 的关系，再由椭圆中a ，b ，c 的关系求出a ，b的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线:0l x y --=中，令0y =，可得x =F 0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 的中点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立222201x y x y ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222222()30a b y y b a b +++-=，所以2122223b y y a b +=-+，212122223x x y y a b +=+++，所以21221212OP y y b k x x a +==-=-+，所以222a b =，又222a b c =+，23c =，所以26a =，23b =，所以椭圆的方程为22163x y +=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出12y y +，12x x +，进而根据12OP k =-由两点间的斜率公式得a ，b 的关系.4．D利用椭圆的定义即可求解.【详解】设12AF F △的内切圆的半径为r ，由22143x y +=，则2a =，b =1c ==所以1224AF AF a +==，1222F F c ==，由12121211112222A F F r AF r AF r F F y ++=，即()121211222A r F F AF AF y ++=⨯，即3A r y =，若12AF F △的内切圆的半径最大，即A y 最大，又A y ≤≤所以max 33r =.故选：D 5．D 【分析】分椭圆的焦点在x 轴上和在y 轴上分别得出,a b ，根据条件先求出m ，再求焦距.【详解】当C 焦点在x 轴上，此时3,a b ==62-=，解得4m =此时焦距为2c ==当C 的焦点在y 轴上，此时3a b ==，则62=，解得16m =此时C 的焦距为=.故选：D .6．C 【分析】求出椭圆的焦点坐标，顶点坐标，利用垂直关系列出方程，转化求解即可.解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点分别为12(0,),(0,)B b B b -，右顶点为A (a ，0)，右焦点为F (c ，0)，12BF B A ⊥，可得b bc a-⋅=﹣1，22a cac -=1，解得e =12-.故选：C.7．B 【分析】根据椭圆的第三定义22OC AB b k k a⋅=-，可求得,a b 的关系，进而求得离心率；【详解】设AB 的中点D ，因为原点O 是△ABC 的重心，所以,,C O D 三点共线，所以OD OC k k =，由于22223133OC AB b b b k k a a a ⎛⎫⋅=-⇒-=-⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以223e =，故选：B.8．C 【分析】判断出AB x ⊥轴，直接由三角形面积公式计算即可.【详解】由2222:154x y G +=知2222543c =-=，所以1(3,0)F -，把3x =-代入椭圆方程可得42425y =，故165y =±，又325AB =，所以AB x ⊥轴，则2113296||22255F AB AB d c ==⨯⨯=△S ，故选：C 9．BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A 、B 的正误，设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，且124y y +=，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k 值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求AB ，即可判断C 、D 的正误.【详解】A ：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0,2)±，错误；B ：28a =，即椭圆C 的长轴长为2a =，正确；C ：由题意，可设直线l 为(2)1x k y =-+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y +=，联立椭圆方程并整理得：222(21)4(12)8860k y k k y k k ++-+--=，M 为椭圆内一点则0∆>，∴1224(21)421k k y y k -+==+，可得1k =-，即直线l 为30x y +-=，正确；D ：由C 知：124y y +=，12103y y =，则433AB ==，正确.故选：BCD.10．BC 【分析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以km/s v 的速度进入距离月球表面km n 的环月圆形轨道，环绕周期为s t ，则可得环绕的圆形轨道周长为vt km ，半径为2vtπkm ，故A 错误；则月球半径为km 2vt n π⎛⎫-⎪⎝⎭，故B 正确；则近月点与远月点的距离为km t m n νπ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故C 正确；设椭圆方程为22221x y a b +=，则,m R a c n R a c +=++=-（R 为月球的半径），22,2a m n R c m n ∴=++=-，故离心率为+2m nm n R-+，故D 错误.故选：BC.【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.11．22143x y +=（答案不唯一）【分析】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为()222210x ya b a b+=>>，进而根据题意得24a c =，再令1c =即可得到一个满足条件的椭圆方程.【详解】不妨设椭圆的焦点在x 轴上，椭圆的标准方程为()222210x ya b a b+=>>因为长轴长等于离心率8倍，故28ca a=，即24a c =不妨令1c =，则224,3a b ==，所以满足条件的一个椭圆方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=（答案不唯一）【点睛】本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解.12．45【分析】先不妨设A的坐标,22a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，利用等腰三角形的性质，列出31202tan 22a c ==-，解出即可.【详解】根据题意，把2a x =代入22221x y a b +=中，得2y =±，不妨设A3,22a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且(),0F c ，则F 到直线2ax =的距离为2a c -，由120AFB ∠=︒，得31202tan22a c ==-，则2b a c =-，平方计算得45c a =.故答案为：45.【点睛】思路点睛：1.不妨设A 的坐标3,22a ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，再求出F 到直线2ax =的距离为2a c -，2.AFB △为等腰三角形，且120AFB ∠=︒，列出1202tan 22a c ==-，解出45c a =.13．220,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】将椭圆化为标准方程可得22112x y +=，从而可求出,,a b c 的值，进而可求出椭圆的长轴长及焦点坐标.【详解】由题意，椭圆方程可化为22112x y +=，则2211,2a b ==，所以22211122c a b =-=-=，即221,,22a b c ===，故椭圆的长轴长为22a =，焦点坐标为220,,0,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；20,2⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.14．长轴长和短轴长分别是8和6，离心率74，焦点坐标分别是(，0)，，0)，顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．【分析】化方程为标准方程，得,a b ，再求得c 后可得结论．【详解】把已知方程化成标准方程为221169x y +=，所以a ＝4，b ＝3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6；离心率e ＝74c a =；两个焦点坐标分别是(，0)，，0)；四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)．15．1.5288×108km ，1.4712×108km【分析】根据地球到太阳的最大距离是a +c ，最小距离是a ﹣c ，即可求得结论．【详解】∵椭圆的长半轴长约为a =1.5×108km ，离心率e ＝0.0192，∴半焦距约为c ae ==2.88×106km ，∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km ，最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km ．16．（1）2214x y +=，短轴长为2，焦距为（2.【分析】（1）由长轴得a ，再由离心率求得c ，从而可得b 后可得椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．【详解】（1）由已知：2a =，32c a =，故c =1b =，则椭圆的方程为：2214x y +=，所以椭圆的短轴长为2，焦距为.（2）联立2222014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1101x y =⎧⎨=-⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)A -，(2,0)B ，故||AB =17．（1）从夏至到小暑的时间长，理由见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同，则在远日点转过相同的角度面积较大，得出答案.（2）由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，从而得出近日点和远日点附近农历一个月内含中气的概率的大小,得出答案.【详解】（1）如图所示，太阳处于地球公转椭圆轨道的一个焦点F ，A ，B ，C ，D 分别为冬至，小寒（最接近近日点），夏至，小暑（最接近远日点）四个节气时地球所在的位置，则FB FA FC FD <<<，因此椭圆轨道内椭圆扇形FCD 的面积大于椭圆扇形FAB 的面积，根据“每单位时间地球公转扫过椭圆内区域的面积相同”可知从夏至到小暑的时间长于从冬至到小寒的时间．（2）农历从朔日到下一个朔日前一日为一个月，大约是月亮围绕太阳地球转一周的时间（约29天半）．由（1）知，远日点附近两个相邻节气之间的时间间隔长于近日点附近两个相邻节气之间的时间间隔，所以远日点附近农历一个月内不含中气的概率较高，出现闰月较多；而近日点附近农历一个月内不含中气的概率较低，出现闰月较少．真题再现1．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤=⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解.2．C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c++≤，化简得，()2220cb-≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．3．B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解.【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．4．ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5．25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出12tan k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，12tan PF F ∠==所以255k =,由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21255PF =，于是122PF a PF +==，即a =，所以5c e a ===．故答案为：5；5．6．（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭22413k=+1k =±，即可得解.【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =且63c e a ==，所以a =又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN==213k=+=化简得()22310k-=，所以1k=±，所以1kb=⎧⎪⎨=⎪⎩或1kb=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:MN y x=或y x=-，所以直线MN过点F，M，N，F三点共线，充分性成立；所以M，N，F三点共线的充要条件是||MN=．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.7．（1）22154x y+=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x yC x y，求出直线,AB AC的方程后可得,M N的横坐标，从而可得PM PN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN+，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A-，故2b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为1222a b⨯⨯=，即a=，故椭圆的标准方程为：22154x y+=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+.直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k+==++，故120x x >，所以0M N x x >又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k kk k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.8．（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.9．（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，。

椭圆综合

椭圆综合【知识要点】椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。

高中数学椭圆专题(经典例题考题练习)附答案

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

椭圆的几何性质及综合问题汇总(供参考)

椭圆的几何性质一、槪念及性质1. 椭圆的"范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、“0,C的关系”；2. 椭圆的通经：3. 椭圆的焦点三角形的概念及而积公式：4. 椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：a-c<∖PF l∖≤a+c.5. 直线与椭圆的位置关系：6・椭圆的中点弦问题：【注L椭圆的几何性质是髙考的热点，髙考中多以小题出现，试题难度一般较大，髙考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围：(2) 由性质写椭圆的标准方程：(3) 求离心率的值或范围・题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范弗I、离心率的值或范【羽.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：3(1) 经过点P(-3,0),β(0-2): (2)长轴长等于20,离心率等于—•【典例2】求椭圆16x2+25y2 =400的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2 2【典例3】已知A, P, Q为椭圆C：∆τ +二= l(α>b>O)上三点，若直线PQ过原点，Cr Zr且直线AP, AQ的斜率之积为-丄，则椭圆C的离心率为()2√2Cl √2r 1AA. ---- B・— C. -------- D・—2 2 4 4【练习】(1)已知椭圆£+张=I(Qb>0)的一个焦点是圆√+^-6x+8=0的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A. (一3, 0)B. (-4, 0)C. (-10, 0)D. (一5, 0)(2) 椭圆曽+£=1的离心率为扌，则k的值为()19 19A. —21 B・21 C.—亏或21 D・牙或21(3) 设椭圆C：£+$=l(“>b>0)的左，右焦点为F∣, Fi,过尺作X轴的垂线与C相交于A,B两点，FlB与y轴相交于点D,若AD丄戸B,则椭圆C的离心率等于___________ .【典例4】已知几，6为椭圆卡+*=l(Qb>0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且∖PF i∖ = 5∖PF2∖,则该椭圆的离心率的取值范围是 _______________2 2练习：如图，把椭圆—+ — = 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作X轴的垂线交椭圆25 16的上半部分与Pι∙P2,∙∙∙.P?七个点,F是椭圆的一个焦点,则IP^I+∣P^∣ + ---+∣P∕⅛∣=_【典例5】若“过椭圆→p=ιω>b>o)的左，右焦点尺，尺的两条互相垂直的直线n/2的交点在椭圆的内部S求离心率的取值范用・【典例6】已知椭圆C： £+¥=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A, B,线段MN的中点在C上，则L4M+IBM= __________ ・【方法归纳】：1 •在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2•求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化匕一左要结合图形进行分析，当涉及顶点.焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理淸它们之间的内在联系，充分利用平而几何的性质及有关重要结论来探寻参数Y之间的关系，以减少运算:⅛∙3・在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化.4.求椭圆的离心率或其范用时，一般是依据题设得出一个关于Gk C的等式(或不等式)，利用√=∕X+c2消去4即可求得离心率或藹心率的范［亂有时也可利用正弦.余弦的有界性求解藹心率的范围.5・在探寻</, /7, C的关系时，若能充分考虑平而几何的性质，则可使问题简化，如典例5・【本节练习】31. 已知椭圆的长轴长是&离心率是歹则此椭圆的标准方程是()V? 牙2 γ2 F 丫2 γ∙2 y2牙2 F 丫2A- ⅛+T= 1 B- ⅛+7^= 1 或7+16=1 C- 16+S=1 D- l6+S= 1 或去+花=12. 设e是椭圆吕+£= 1的离心率，且e∈(*, 1)，则实数k的取值范用是()A. (0, 3)B. (3, y)C. (0, 3)U(γt÷∞) D・(O, 2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B∖, By若四边形BiF1B2Fz是正方形, 则这个椭圆的离心率幺等于()A.*B.*C.半D.半4.如图，焦点在X轴上的椭I^rq-÷P= 1的离心率e=*, F, A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF-M的最大值为5 •已知椭圆G Δv + Z- = l（rt>∕7>O）的左、右焦点为离心率为二.过佗的直cΓ.3线/交C于A.B两点，若AAFiB的周长为4馅，则C的方程为（）7 ? 2 *> 2X"）厂I Jr -> 工.I Jr y" IA.——+ — = 1B. — + V" = 1C.——+ — = 1D. — + — = 13 2 3 12 8 12 4X2 V26•已知戸、鬥是椭圆yθθ+g4=l的两个焦点，P是椭圆上一点，且PFXLPF2.则AFJF J的面积为_______7 •设片，化是椭圆E：二+ L = l(">b>0)的左、右焦点，P为直线X =—上一点，iΓ Zr2^F l PF｝是底角为30。

椭圆常考题型汇总及练习

椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()012222>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab 22.7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。

【总结】椭圆综合专题整理供参考

【关键字】总结椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”>0；③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；④“共线问题”（如：数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

椭圆综合问题

椭圆综合问题例1.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1、F 2，椭圆上一点(,33M 满足120.MF MF ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）若直线y kx =+A 、B ，且1OA OB ⋅>（O是坐标原点），求k 的范围。

例2.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且22=+BF AF ，AB 最小值为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若圆:3222=+y x 的切线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，问：OP 与OQ 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．练习：1.已知椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.（i ）若AB5||=，求直线l 的倾斜角；（ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y 0的值.2.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.例3. 设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.例4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围.练习：1.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．2.已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 经过点)21,26(P ，离心率为2，动点(2)(0)M t t >，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个定值.例5。

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椭圆专题总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

（1）直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x xy y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。

2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。

求：（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值.4、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2OG OD =∙OE求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m 的取值范围．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围. 6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.(3)利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为 3. 求：（1）求椭圆的方程（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.9.如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .求：（1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当PB PA -＜253时，求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型：（1）利用基本不等式求最值，12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。

（2）利用函数求最值，13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y += 上运动时。

（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。

14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.思维拓展训练1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•．（1）求椭圆m 的方程；（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ∙NP ＝0．（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由． 3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：（1）设椭圆方程为22221y x a b +=，由题意可得2,a b c ===22142y x +=则12(0,F F ，设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,),PF x y PF x y =--=-点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=，得0y =P 的坐标为。

（2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k---=-=++ 同理可得222222A k k x k +-=+，则2422A B kx x k-=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值。