以圆为背景的相似三角形的计算与证明
专题提升(13) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明
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(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明人教版九下P58复习题第8题)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝PA·PB.【思想方法】证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，一般要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中的相似三角形时，要充分运用切线的性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识点．1．[2019·宜宾]如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．2．[2019·苏州节选]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F.求证：(1)DO∥AC；(2)DE·DA＝DC2.3．[2019·聊城]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作DO⊥AB于点O，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．4．[2018·泸州]如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点P ，⊙O 的弦DE 交AB 于点F ，且DF ＝EF .(1)求证：CO 2＝OF ·OP ；(2)连接EB ，交CD 于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，若PC ＝42，PB ＝4，求GH 的长．5．[2019·绵阳]如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．6．[2019·黄石]如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，C ，E 是⊙O 上的两点，CE ＝CB ，∠BCD ＝∠CAE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE ＝CF ；(3)若BD＝1，CD＝2，求弦AC的长．7．[2018·遂宁]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O 于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM，交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证：CM2＝MN·MA；(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．8．[2019·泰州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，且OD ⊥BC ，垂足为F ，OD 交⊙O 于点E .求证：(1)∠D ＝∠AEC ； (2)OA 2＝OD ·OF .参考答案【教材母题】 略【中考变形】 1.(1)略 (2)1 (3)3772．略 3.(1)略 (2)16554．(1)略 (2)425 5.(1)略 (2)2 36．(1)略 (2)略 (3)637．(1)略 (2)2 28．(1)DE 为⊙O 的切线，理由略． (2)254【中考预测】 略关闭Word 文档返回原板块。
相似三角形汇总4 圆背景下的相似问题
相似三角形汇总第四部分圆背景下的相似问题【知识理解】圆背景下的相似问题是综合性比较强的一类专题，不仅要充分运用圆的有关知识找到边与边、角与角、边与角之间的关系，还要寻找或者构造相似三角形的基本图形，再利用相似三角形的性质定理去探求更多的边与角。
【经典例题】1.如图，AB是⊙O的直径，C，P是弧AB上两点，AB=13，AC=5。
（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长。
（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
2.如图，已知点E在Rt△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边AC相交于点F，与直角边BC相切与点D，若AB=10，AC=6，试求线段AF的长。
4.⊙O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D．求证：BC＝2DE5.如图，PC与⊙O交于B，点A在⊙O上，且∠PCA=∠BAP.（1）求证：PA是⊙O的切线. （2）△ABP和△CAP相似吗？为什么？（3）若PB:BC=2:3，且PC=20，求PA的长.6.已知：如图， AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）点F是弧ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．7.如图所示，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E。
（1）求证：DE是⊙O的切线。
（2）求DE的长。
8.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB。
（1）求证：△ADE∽△CDF。
（2）当CF:FB=1:2时，求⊙O与平行四边形ABCD的面积之比。
9.如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连接PO交⊙O于点F。
2020届中考数学总复习课件：微专题十三 以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (共28张PPT)
(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BF.
图 Z13－3
证明：(1)∵AC＝BC，CD 是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线； (2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠DCB＝90°， ∴∠BDF＝∠DCB，∴△BCD∽△BDF， ∴BBDF＝BBDC，∴BD2＝BC·BF， ∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF.
图 Z13－7
解：(1)如答图①，连结 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴A︵C＝A︵D，CE＝DE＝12CD＝3， ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB， ∴△ACE∽△CBE，∴ACEE＝CBEE，∴13＝B3E， ∴BE＝9，∴AB＝AE＋BE＝10， ∴⊙O 的半径为 5；
图 Z13－5
解：(1)证明：如答图，连结 OC. ∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC 平分∠BAD；
中考变形4答图
(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴PPAC＝PPBC，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
图 Z13－8
解：(1)如答图，连结 OC， ∵CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；
相似三角形与三角形的外切圆的关系
相似三角形与三角形的外切圆的关系相似三角形和三角形的外切圆是初中数学中比较重要的概念。
在学习这个概念之前，我们需要先了解一下相似三角形和三角形外接圆的定义。
相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，对应边长度之比相等。
而三角形的外切圆是指可以完全包含三角形三个顶点的圆。
这个圆的圆心叫做三角形的外心。
了解了以上定义之后，就可以开始探讨相似三角形与三角形外接圆之间的关系。
我们可以通过以下两个方面来分析它们之间的关系。
一、相似三角形的三角形外接圆半径之比等于它们对应边长之比在相似三角形中，所有的对应边长之比都相等。
因此，它们的外接圆半径之比也相等。
设相似三角形ABC和DEF的对应边长之比为k，则它们的外接圆半径之比也是k。
具体来说，设三角形ABC的外接圆半径为R，则三角形DEF的外接圆半径为kR。
证明如下：我们设三角形ABC和DEF为相似三角形，k为它们的对应边长之比。
尺规作图，将三角形ABC和DEF的外接圆圆心连接起来，得到线段OA和OD，如图所示。
同时，连接AC和DF分别与AO和DO相交于点E和F。
因为三角形ABC和DEF是相似三角形，所以它们的对应角度相等。
因此，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
根据正弦定理，有：sin∠BAC/AB=sin∠ACB/BCsin∠EDF/DE=sin∠DFE/DF由于三角形ABC和DEF是相似三角形，所以它们的对应边长之比为k。
因此，AB=k×DE，BC=k×DF。
将上式代入正弦定理中得：sin∠BAC/k×DE=sin∠ACB/k×DFsin∠EDF/DE=sin∠DFE/DF整理得：sin∠BAC/sin∠EDF=DF/DEsin∠ABC/sin∠DEF=DF/DEsin∠ACB/sin∠DFE=BC/AB上面三式中第一个式子除以第二个式子得到：sin∠BAC/sin∠ABC=DF/DE再乘以二边得到：sin∠BAC/DF=sin∠ABC/DE因此，根据正弦定理：sin∠OAC/AC=sin∠OAD/OAsin∠ODF/DF=sin∠ODE/OD整理得：sin∠OAC/sin∠ODF=AC/DFsin∠OAD/sin∠ODE=BC/DE因为OA=OD=R，所以：sin∠OAC/sin∠ODF=R/DFsin∠OAD/sin∠ODE=R/DE进一步得到：R/DF=AC/DF=sin∠OAC/sin∠ODF=sin∠BAC/sin∠EDF=k×BC/k×D E=BC/DER/DE=BC/DE=sin∠OAD/sin∠ODE=sin∠ABC/sin∠DEF=k×AC/k×DF=AC/DF因此，有：R/DF=BC/DER/DE=AC/DF两边乘以k得到：kR/k×DF=k×BC/kkR/k×DE=k×AC/k即：kR/DEF=BC/DEkR/ACB=AC/DF因此，相似三角形的三角形外接圆半径之比等于它们对应边长之比。
圆中的相似三角形
圆中的相似三角形1、AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC 的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．(1)求证：△CDQ是等腰三角形；(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．2、⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF＝FG．3. 已知：，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点.求证：ET = EDD C B A O M NE H A B C P E D HF O4．如图，弦EF ⊥直径MN 于H ，弦MC 延长线交EF 的反向延长线于A ，求证：MA •MC ＝MB •MD5、如图，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为劣弧AC 上一点，弦ED 分别交⊙O 于点E ，交AB 于点H ，交AC 于点F ，过点C 的切线交ED 的延长线于点P ．（1）若PC=PF ，求证：AB ⊥ED ； （2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ，为什么？D C B A OE F6．如图，⊿ABC 内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，AB ＝6，AC ＝8，求CD ，DE ，及EF 的长。
7． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，4AC =，43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）求EF ：FD 的值．8．如图，A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O 的切线； （3）若FG BF =，且O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．A B C DE F O O D GC AE F B P。
以圆为背景的相似三角形的计算与证明
.以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】EACDBABD，为半圆的直径，延长线上的一点，，为切半圆于点如图Z13－1AOBCFACACBCC，求，⊥的长．于点＝，交半圆于点9.已知＝12经典母题答图Z13 图－1ROOEOBROE. ＝解：如答图，连结，设⊙的半径是，则＝ACB在Rt中，由勾股定理，得△22BCABAC15.＋＝＝文档Word.ACOEOEAC，于点⊥∵，∴切半圆OEACOEBC，∥，∴∴∠∠＝90°＝AEOACB，∽△∴△OEAORR4515－R＝，，∴＝，解得∴＝BCAB915875AOABOBR＝.∴＝＝15－－8【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得AO的长．到相似三角形，利用比例线段求【中考变形】ACBACBOAC是△90中，∠°，＝Rt1．如图Z13－2，在OOCAB相切为圆心，边上的一点，以为半径的圆与DOD.于点，连结图Z13－2ACBADO∽△(1)求证：△；BCACADO. ＝，求证：⊙·的半径为1(2)若ABODABO⊥是⊙，的切线，∴证明：(1)∵AACADO∠°，∵∠，∴∠＝＝∠90＝ACBADO∴△；∽△ADODADOACB.∴＝(1)知，△，∽△(2)由ACBCADBCACODODACADBC.，∴＝·＝，∵·＝∴·1ABCCDBCAC为°，为RtZ13如图－3，已知△的中点，以，∠＝90][20172．·OABE. 于点直径的⊙交DEO的切线；⊙(1)求证：是文档Word.AEEBBCAE的长．，求，＝(2)若6∶2＝1∶图Z13－3 中考变形2答图OEECACO的直径，证明：如答图，连结是，，∵⊙解：(1)AECBECDBC的中点，为＝90°，∵∴∠＝∠EDDCBD，∴∠1＝∠2∴，＝＝OEOC，∴∠3＝∠∵4＝，OEDACB，＝∠∠＋31＋∠＝∠2∠4，即∴∠ACBOEDDEO的切线；⊙9090∵∠＝°，∴∠＝°，∴是文档Word.BEC 90(1)知∠°，＝(2)由BCABBECBECBCAB，∠△与Rt，中，∠＝＝∠∠∵在Rt△BCBEBCABEC＝，∴∴△∽△，BABC2EBBCAEBEBA，·1，∵∶∶∴2＝＝xBExBAxAE＝23，设，＝，则＝2AExxBCx 6.，即6 ＝23·6，解得＝＝∵6＝，∴BCABOABOCADOC，直，连结，弦－3．如图Z134，已知是⊙∥的直径，⊥ECDBA. 线的延长线于点交OCD的切线；求证：直线(1)是⊙OCBCADDE的值．，求若(2)＝2∶文档Word.图Z13－4中考变形3答图DO. 证明：如答图，连结解：(1)OCAD∥，∵CODADODAOCOB. ＝∠∠∴∠，∠＝ADODAOOAOD＝，∴∠∵∠＝，COBCOD.∠∴∠＝SASCOODOBCODCOBCO，)＝(＝，∴△，≌△又∵CDCDOCBOOD. ∴∠°，即＝∠⊥＝90OCDDO在⊙⊙点上，∴直线的切线；是又∵CBCOBCDCOD. ，∴(1)知，△＝≌△(2)由OCADBCDEDECD∥，∵.＝2，∴∵＝2ADDEDE2EDAECO，∴＝＝∴△＝∽△.CDCEDEOC3＋OABCBCOABC＝⊙是△的直径，∠的外接圆，是5]4．[2016·如图Z13－，⊙BOBDCADAO的延长的延长线交于点.30°过点⊙作，与半径的切线，与EAOAFBCF.的延长线交于点过点线交于点.作⊙的切线，与直径文档Word.DAEACF∽△；(1)求证：△3DES的长；(2)若＝，求AOC△4EFEFO的切线．⊙连结，求证：是(3)4答图－5中考变形图Z13BCOBAC＝90°，∵⊙为的直径，∴∠证明：解：(1)ABCACB＝60°，＝30°，∴∠又∵∠OAOC，＝∵又OACOACAOC＝60°，∠∴△为等边三角形，即∠＝文档Word.OAFAFO为⊙90∵的切线，∴∠°，＝AFCCAF∴∠30＝∠°，＝OBEDBCODE ＝∠°，⊙的切线，∴∠＝∵90为AFCDEADDEADCAF＝∠∠∴∠，∠＝∠30＝°，∴∠，＝DAEACF∽△；∴△332OASAOC＝∵△＝为等边三角形，∴，(2)AOC△44BEOOBDOABC＝∠°，∴＝＝1，30＝2，＝1，又∵∠DEBEBD；＝＝3∴，∴2＝3，33MEFOOM作于点⊥，证明：如答图，过点(3)AOFBOEOAFOBEOAOB∠90∵°，∠＝，，∠＝∠＝＝OFSASOBEOEOAF )，∴∴△，≌△(＝OFMEOFOEM 30＝∠∵∠°，＝120°，∴∠＝BEFOEMOEOEB ∠平分＝∠，＝30°，即∴∠OMEOBE°，＝又∵∠90＝∠OEFOMOB＝⊙，∴的切线．为∴ECABABO为为劣弧Z13如图－6，的中点，为⊙的一条弦，点·5．[2017株洲]ABCEAEBEEFABF于点的延长线上，且交弦在＝优弧上一点，点，线段D.BFCE (1)求证：；∥BCDECBDEAEB的面积．△5∶，且若(2)＝2∶∶＝31∶，求文档Word.答图中考变形56图Z13－ACBEOC，解：(1)证明：如答图，连结，作直线，BEEF，＝∵FEBF，∠∴∠＝AEBEBFF，＋∠∵∠∠＝1FAEB，∴∠∠＝2︵︵︵CABACBC，的中点，∴∵＝是AECBECAEBAECBEC，∠∠∴∠＝，∵∠＝∠＋文档Word.1BFFAECCEAECAEB，∴；，∴∠＝∴∠∠＝∠∥2CEBDCBAEDDAE，∠，＝∠＝(2)∵∠∠ADADAE3CBEADE∽△，，∴＝，即＝∴△CBCECB5ECBCEBBCDCBD，∠，＝∠∵∠∠＝CDBCBE∴△，∽△BEBD12 ，∴＝，即＝CBCBCE5ABADCB，＝＝6∴，∴＝25，∴8ABC∵点的中点，为劣弧1ABAGBGOCABG 4⊥＝，设垂足为，，则＝∴＝222BGCBCG＝2∴，＝－11SBDCG＝×2×＝·2＝∴2.BCD△22ABOCOAEC的切线互相⊙7，和过点是⊙上一点，的直径，为－6．如图Z13EAEODECABPAC，，交的延长线于点垂直，垂足为，连结交⊙于点直线，BCPBPC＝1∶∶2. ，ACBAD；∠求证：(1) 平分PBAB之间的数量关系，并说明理由．探究线段(2)，文档Word.中考变形答图6Z13图－7OC. 解：(1)证明：如答图，连结PEOPEOC⊥∵是⊙，的切线，∴AEOCPEAE∥∵，⊥，∴OCADAC＝∠，∴∠OACOCAOCOA，＝∠∵＝，∴∠OACDAC∴∠＝∠，BADAC平分∴∠；文档Word.PBABPBAB 3，理由：之间的数量关系为.＝(2)线段OAB是⊙∵的直径，ABCBACACB°，°，∴∠＝＋∠∴∠90＝90ABCOCBOBOC＝∠，∴∠，∵＝PACPCBPCBOCB，90°，∴∠∵∠＝＋∠∠＝PACPPCB是公共角，∴△，∽△∵∠PBPC2PAPBPC∴＝＝，∴，·PCPAPBPCPBPC＝21∶2，∴∵∶，＝PBABPAPB.＝4＝，∴3∴OOPACOBC外一的弦，是⊙的直径，是是⊙，如图[20167．·枣庄]Z13－8⊙CPBAPAPBAB. ，＝，已知∠点，连结∠，OPB求证：的切线；是⊙(1)BCOPBCOOPOP的长．，求，⊙连结(2)，若∥，且＝8的半径为22文档Word .7答图中考变形图Z13－8OB证明：如答图，连结解：(1)，OAC是⊙∵的直径，BACCABC. ＝∴∠90＝90°，∠＋∠°OBAOAOBBAC＝∠，∴∠∵，＝CPBA∵∠，＝∠OBOBAPBPBA. ＝⊥90＋∠°，即∴∠OPB是⊙的切线；∴ACOBO 422，2(2)⊙的半径为＝22，∴，＝CBOPOBCOPBC＝∠，∵＝∥∠，∴∠PBOABCABCPBO∽△90又∵∠°，∴△＝∠，＝BCBCAC24BC2. ＝，∴＝＝∴，即POBO822OABCOBCBAC边上，∠的外接圆，△，⊙如图[20178．·聊城]Z13－9点在是ODBDCDDBCAB的延作的平行线，与⊙的平分线交于点，连结，，过点P.长线相交于点文档Word.PDO的切线；是⊙(1)求证：PBDDCA；∽△(2)求证：△ABACPB的长．时，求线段，＝8(3)当6＝答图8中考变形9 图Z13－BCO在上，圆心解：(1)证明：∵OBC∴是⊙的直径，ODBAC 90∴∠＝°，如答图，连结，BACAD∠∵平分，文档Word.DACBAC，＝2∠∴∠DACDOC，＝2∠∵∠BCBACODDOC⊥°，即∴∠，＝∠＝90OODPDBCODPD∥为，∴⊙⊥的半径，，∵∵OPD是⊙的切线；∴ABCPPDBC∵(2)证明：＝∥∠，∴∠，ADCPABCADC∵∠＝＝∠∠，∴∠，ABDACDPBDABD＝180＝180°，∠＋∵∠∠＋∠°，DCAPBDACDPBD＝∠∽△，∴△；∴∠ABC∵△为直角三角形，(3)22222BCBCACAB 10＝100＋，∴＝6，＋8∴＝＝DCBCDBOD，∴，＝∵垂直平分BDCBCO°，的直径，∴∠90∵＝为⊙22222BCDBCDBBCDCDC，即2在Rt△，中，＝＋＝100＝DCAPBDDCDB∽△＝，＝52∴，∵△BDDCPBBD252×5·52PB. ＝＝∴＝，即＝ACDCAC84【中考预测】ABOCDOC，⊙为⊙相切于点的直径，与10][2017·黄冈模拟如图Z13－，ODBCFODOE.证明：⊙且⊥于点，垂足为，交DAEC；∠(1)∠＝2ODOFOA. (2)·＝文档Word.中考预测答图图Z13－10OC证明：(1)如答图，连结，COCD，相切于点∵与⊙OCD. ＝90°∴∠DCFOCB. 90∴∠∠＋°＝DOCBDCFD＝，∠∵∠＋∠90＝°，∴∠BOBOCOCB＝，∴∠∵，＝∠AECBAECD∠∵∠＝，∴∠＝∠；文档Word.BAECDB，∠，∴∠(2)∵∠＝∠＝ODBCBFOOCD＝90°，⊥，∴∠＝∠∵OCODOAODDOCBOF＝，即∴△＝∽△，∴，OFOBOFOA2OFOAOD.·∴＝文档Word。
圆与相似三角形相关的证明题
圆与相似三角形相关的证明题1. 在图中，已知PC=PD，PD切圆O于D，PB交圆O于A，连结AC和BC。
要证明AC·PB=PC·BC。
证明：由于PD是圆O的切线，所以∠PDC=∠ACB。
又因为PC=PD，所以∠PCD=∠PDC。
因此，∠ACB=∠PCD。
又因为∠BCP=∠PBD，所以三角形PBD和PBC相似。
因此，PB·PC=PD2。
由于三角形ACD和BDC相似，所以AC·BD=CD2。
将BD替换为PD+PC，得到AC·(PD+PC)=CD2，即AC·PB=PC·BC。
因此，原命题成立。
2. 在图中，已知AB∥CD，DC延长线交EB延长线于F，EB与圆O相交于F，DF交圆O于G。
要证明AD·ED=BE·DF。
证明：由于AB∥CD，所以∠___∠EAD。
又因为EB是圆O的切线，所以∠___∠EDF。
因此，∠___∠EAD。
又因为AB是圆O的直径，所以∠EAB=90°。
因此，三角形EAB和EDF相似。
因此，AD·ED=BE·DF。
因此，原命题成立。
3. 在图中，___于P，PE⊥AB于E，AC⊥CD，BD⊥CD。
要证明①PE：AC=PB：PA，②PE2=AC·BD。
证明：①由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为AC⊥CD，所以∠ACP=90°。
因此，∠APE=∠ACP。
又因为∠APB=90°，所以三角形APE和APB相似。
因此，PE：AC=PB：PA。
②由于PE⊥AB，所以∠APE=90°。
又因为BD⊥CD，所以∠___°。
因此，四边形AEPD和BEPC是直角四边形。
因此，PE2=AE2-AP2=AC·BD。
因此，原命题成立。
4. 在图中，ABC是内接于圆O的三角形，BD是圆O的直径，AF⊥BD于F，AF延长线与BC交于G。
相似三角形与圆的关系
相似三角形与圆的关系相似三角形与圆的关系是几何学中十分重要的一个概念。
在这篇文章里，我们将探讨相似三角形与圆之间的关联以及应用。
一、相似三角形的基本概念相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形。
其特点是对应角相等，对应边成比例。
我们用符号"∼"表示相似关系。
例如，三角形ABC与三角形DEF在形状上相似可以表示为：△ABC∼△DEF。
二、相似三角形与圆的内切关系当一个圆完全内切于一个三角形时，这个三角形与圆的关系是非常特殊的。
我们把这个圆称为三角形的内切圆。
内切圆与三角形的三边都相切，且各切点处的切线互相垂直。
三、相似三角形与圆的外切关系与内切圆相反，当一个三角形完全外切于一个圆时，这个圆称为三角形的外切圆。
外切圆与三角形的三边都有公切线，且切线相交于圆的圆心。
四、相似三角形与圆的面积关系利用相似三角形的性质，我们可以推导出相似三角形与圆的面积关系。
假设有两个相似的三角形，它们的对应边长比为k，那么它们的面积比就是k的平方。
同样地，如果一个小三角形与一个大三角形相似，那么它们的面积比就是两个三角形对应边长的比的平方。
五、相似三角形与圆的应用相似三角形与圆的关系在实际生活中有许多应用。
例如，通过利用相似三角形的特性，我们可以测量无法直接获取的高度，如高楼或者山脉。
通过测量一个影子与其高度的比例，利用相似三角形原理可以得到物体的实际高度。
此外，在工程设计中，相似三角形与圆的关系也有实际应用。
例如，在建筑设计中，我们可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的比例。
圆的外切或内切关系也可以用于定位和绘图。
总结：相似三角形与圆的关系是几何学中重要的一个主题。
通过了解相似三角形的基本概念、内切关系和外切关系，我们可以更好地理解相似三角形与圆的联系。
此外，相似三角形与圆的面积关系以及实际应用也是我们需要探索和学习的内容。
相似三角形的研究对于几何学的发展具有重要的意义，并在实际中有广泛的应用。
中考数学专题总复习-以圆为背景的相似三角形的计算与证明
专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明(人教版九下P58复习题第8题)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝P A·PB.【思想方法】证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，一般要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中的相似三角形时，要充分运用切线的性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识点．1．[2019·宜宾]如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．2．[2019·苏州节选]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC 与AD，OD分别交于点E，F.求证：(1)DO∥AC；(2)DE·DA＝DC2.3．[2019·聊城]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作DO⊥AB于点O，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．4．[2018·泸州]如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF.(1)求证：CO2＝OF·OP；(2)连接EB，交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝42，PB＝4，求GH 的长．5．[2019·绵阳]如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．6．[2019·黄石]如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，C ，E 是⊙O 上的两点，CE ＝CB ，∠BCD ＝∠CAE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE ＝CF ；(3)若BD ＝1，CD ＝2，求弦AC 的长．7．[2018·遂宁]如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM ，交CD 于点N ，连接AC ，CM .(1)求证：CM 2＝MN ·MA ；(2)若∠P ＝30°，PC ＝2，求CM 的长．8．[2019·泰州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O 于点E.求证：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.参考答案（完整答案和解析见PPT 课件之课时作业）【教材母题】 略【中考变形】 1.(1)略 (2)1 (3)3772．略 3.(1)略 (2)16554．(1)略 (2)425 5.(1)略 (2)2 36．(1)略 (2)略 (3)637．(1)略 (2)2 28．(1)DE 为⊙O 的切线，理由略． (2)254【中考预测】 略。
圆和相似三角形的几何模型
圆和相似三角形的几何模型1.引言1.1 概述概述部分的内容可以如下所示：引言圆和相似三角形是几何学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都有广泛的应用。
本文将探讨圆和相似三角形的几何模型，旨在深入研究它们的定义、性质以及构建方法。
本文的结构本文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分将首先介绍圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用领域。
接着，我们将详细说明本文将讨论的内容和结构，以帮助读者更好地理解本文的内容。
正文部分将分为两个章节，分别探讨圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
在这些章节中，我们将介绍圆和相似三角形的基本定义和性质，以及它们在实际应用中的重要性和常见的构建方法。
这些内容将有助于读者更好地理解和应用圆和相似三角形的几何模型。
结论部分将总结圆和相似三角形的几何模型的重要性和应用价值。
我们将展望未来进一步研究的方向和可能的发展，以期推动几何学领域的进一步发展和应用。
本文的目的本文的目的是探讨圆和相似三角形的几何模型，并介绍它们在数学和实际应用中的重要性。
通过深入研究它们的定义、性质和构建方法，我们将能够更好地理解和应用这些几何模型，从而为解决实际问题和推动学科发展提供更多的思路和方法。
我们相信，通过阅读本文，读者将对圆和相似三角形的几何模型有更全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用它们。
在未来的研究中，我们也希望能够进一步探索这些几何模型的更多应用领域，为几何学的发展做出更大的贡献。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为三个章节，分别介绍了圆的几何模型和相似三角形的几何模型。
接下来将详细说明每个章节的目的和要点。
2.1 圆的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍圆的基本定义和性质。
首先解释了什么是圆，并探讨了圆的几何特征和相关概念，比如圆心、半径和直径。
接着，我们将讨论圆的应用领域，例如在建筑设计中的使用，以及如何构建圆的几何模型。
2.2 相似三角形的几何模型在这一章节中，我们将详细介绍相似三角形的基本定义和性质。
相似三角形与三角形的外接圆的关系
相似三角形与三角形的外接圆的关系相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
在几何学中，相似三角形之间存在着一些有趣的性质和关系。
其中之一是相似三角形与其外接圆之间的关系。
本文将探讨相似三角形与其外接圆之间的联系，并分析其实际应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的两个三角形。
它们的内角相等，对应边的比例相等，可以用比例关系表示为：若∆ABC ∼ ∆DEF，表示为∆ABC/∆DEF，则有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、外接圆的定义外接圆是指一个圆恰好与一个三角形的三个顶点都相切于圆上。
在一个三角形ABC中，若存在一个圆O，且圆心O位于∆ABC的外部，且∠BOC = ∠ABC，∠AOC = ∠ACB，∠AOB = ∠BAC，那么这个圆就是∆ABC的外接圆。
三、相似三角形与外接圆的性质1. 外接圆与相似三角形的边的关系在相似三角形ABC和DEF中，它们分别对应的边AB和DE，BC 和EF，AC和DF之间的比例关系和它们对应角的关系是相等的。
由于外接圆与三角形的边都相切于圆上，因此相似三角形及其外接圆之间存在如下关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = R （R为外接圆的半径）2. 相似三角形的外接圆相似在两个相似三角形ABC和DEF中，它们的外接圆亦为相似。
换句话说，如果∆ABC ∼ ∆DEF，并且∆ABC的外接圆的半径为R1，∆DEF 的外接圆的半径为R2，那么R1/R2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 外接圆的面积和周长如果我们知道了相似三角形的外接圆的半径R，那么可以计算出外接圆的面积和周长。
外接圆的面积可以表示为S = πR²，其中π为圆周率。
而外接圆的周长则可以表示为C = 2πR。
四、相似三角形与外接圆的应用相似三角形与外接圆的关系在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. GPS定位GPS定位系统利用相似三角形的原理来确定接收器的位置。
专题圆背景下的相似三角形的计算与证明同步练习
专题“圆背景下的相似三角形的计算与证明”同步练习晋江市锦东华侨学校陈晓曦一、选择题：1．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与BC边和外接圆分别相交于D和E，则图中相似三角形共有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对2．如图2，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是( )A. ∠ACD＝∠DABB. AD＝DEC. AD2＝BD·CDD. AD·AB＝AC·BD3．如图3，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是( )A. ACOR＝OQAB B.AQAB＝BPBC C.ACAP＝OROP D.AQAP＝ACAB(第1题图) (第2题图) (第3题图)二、填空题：4. 如图4，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，已知半径长为4，AC＝42，AB＝6，则AD的长为。
5. 如图5，△ABC中，AB＝AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D，若CD＝3，CO＝4，则AC的长为．6. 如图6，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为．(第4题图) (第5题图) (第6题图)三、解答题：7. 如右图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.(1)求证:△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC=AD·BC8.（2017德州）如右图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径 的⊙O 交AB 于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ：EB=1:2，BC=6，求AE 的长.9.（2018莆田）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为点N ，连接AC 。
以圆为背景的相似三角形的计算与证明
以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点E ，BC⊥AC 于点C ，交半圆于点F.已知AC ＝12，BC ＝9，求AO 的长．图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE ，设⊙O 的半径是R ，则OE ＝OB ＝R.在Rt△ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC2＋BC2＝15.∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO＝AB －OB ＝15－R ＝758.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴ADAC＝ODBC，∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－2图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O 的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O 的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC ＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BEBC＝BCBA，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝6.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴ADOC＝DECE＝DEDE＋CD＝23.4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA ＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝34OA2＝3 4，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．图Z13－6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，∵BE＝EF，∴∠F＝∠EBF，∵∠AEB＝∠EBF＋∠F，∴∠F＝12∠AEB，∵C是AB︵的中点，∴AC︵＝BC︵，∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC，∴∠AEC＝12∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF；(2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴ADCB＝AECE，即ADCB＝35，∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴BDCB＝BECE，即2CB＝15，∴CB＝25，∴AD＝6，∴AB＝8，∵点C为劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，设垂足为G，则AG＝BG＝12AB＝4，∴CG＝CB2－BG2＝2，∴S△BCD＝12BD·CG＝12×2×2＝2.6．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．图Z13－7中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PCPA＝PBPC，∴PC2＝PB·PA，∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC 是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．图Z13－8中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为22，∴OB＝22，AC＝42，∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴BCBO＝ACPO，即BC22＝428，∴BC＝2.8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9中考变形8答图解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝52，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDAC，即PB＝DC·BDAC＝52×528＝254.【中考预测】[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠DCF＝90°.∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；(2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B，∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90°，∴△BOF∽△DOC，∴OCOF＝ODOB，即OAOF＝ODOA，∴OA2＝OD·OF.。
专题37 圆中的三角形相似问题(解析版)
专题37 圆中的三角形相似问题1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC平分∠BAD，过C点作CE⊥AD延长线于E点．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．解：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAO＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，即可得OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD＝6，延长BC交AE的延长线于F，∵∠BAC＝∠FAC，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF＝90°，∴△ACB≌△ACF（ASA），∴FC＝BC＝6，AF＝AB＝10，∵∠CDF＝180°﹣∠ADC，∠ABF＝180°﹣∠ADC，∴∠CDF＝∠ABF，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CFD∽△AFB，∴＝，∴＝，∴AD＝．2、如图，△AOB中，A（﹣8，0），B（0，），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴交于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F．（1）求证：EF为⊙P的切线；（2）求⊙P的半径．（1）证明：连接CP，∵AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA，∵AC平分∠OAB，∴∠PAC＝∠EAC，∴∠PCA＝∠EAC，∴PC∥AE，∵CE⊥AB，∴CP⊥EF，即EF是⊙P的切线；（2）∵AC平分∠OAB，∴∠BAC＝∠OAC，∵PA＝PC，∴∠PCA＝∠PAC，∴∠BAC＝∠ACP，∴PC∥AB，∴△OPC∽△OAB，∴＝，∵A（﹣8，0），B（0，），∴OA＝8，OB＝，∴AB＝，∴＝，∴PC＝5，∴⊙P的半径为5．3、如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tan F＝，BC＝5，求DM的值．解：（1）连接OE，则∠OCB＝∠OBC＝α，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝β，∵H是AB的中点，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵CH⊥AB，∴＝∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴BE2＝BG•BF；（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，则sinγ＝，cosγ＝，CH＝BC sinγ＝5×＝3，同理HB＝4；设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，连接DE，则∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，在△FEG中，cosβ＝＝＝，解得：FG＝；∵FH＝FG+GH＝，∴HM＝FH tan∠F＝×＝；∵CM＝HM+CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．4、如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE；（3）若DE＝4，sin C＝，求AD之长．（1）证明：连接OD、BD，∵AB为圆O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：如图，连接BD．由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC．∵E是BC的中点，O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴OE⊥BD．∴OE∥AC，∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠A，∴∠A＝∠2．即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2，∴△ADB∽△ODE．∴＝，即＝．∴r2＝AD•OE；（3）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵点E为BC的中点，∴BC＝2DE＝8，∵sin C＝，∴设AB＝3x，AC＝5x，根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，解得x＝2．则AC＝10．由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10，解得，AD＝3.6．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EFA＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EFA，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．6、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）求证：CG＝BG；（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的长．（1）证明：连接OC，∵∠A＝∠CBD，∴＝，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠CFB＝90°，∵∠ABC＝∠CBF，∴∠A＝∠BCF，∵∠A＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CBD，∴CG＝BG；（3）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，∴＝tan30°＝，∵CE∥BD，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AC＝CE，∴＝，∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝30°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC，∴△CGB∽△CBE，∴＝＝，∵CG＝8，∴BC＝8，∴BE＝8．7、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴＝＝tan30°＝，又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°，BE＝3，∴BG＝2BE＝6，∴BD＝6×＝2；（3）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下，由（2）知＝，＝，∴＝，∵B，E为定点，BE为定值，∴BD为定值，D为定点，∵∠BCD＝90°，∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，∴当点C在线段OM上时，OC最小，此时在Rt△OBM中，＝＝，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．8、如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC、OD、PE．（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；（2）求证：PC2＝P A•PB；（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的平分线；（2）如右图，连接BC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠OBC＝90°，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∴∠CAB＝∠BCP，又∵∠CPB＝∠APC，∴△CPB∽△APC，∴＝，∴PC2＝P A•PB；（3）设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，∵PE＝2DO，∴4DO2＝4r2+PC2，∴4（DO2﹣r2）＝PC2，∴4DC2＝PC2，∴PC＝2CD，∵AD∥OC，∴△PCO∽△PDA，∴＝，∴＝，∴r＝2．9、如图，AB是直经，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．（3）若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．（1）证明：如图1，连接OC，OD，BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵DE⊥AC于E，∴∠E＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴BC∥DE，∵点D是的中点，∴，∴∠COD＝∠BOD，又∵OC＝OB，∴OD垂直平分BC，∵BC∥DE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）AD2＝AE•AB，理由如下：如图2，连接BD，由（1）知，，∴∠EAD＝∠DAB，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠E＝90°，∴△AED∽△ADB，∴＝，即AD2＝AE•AB；（3）由（1）知，∠E＝∠ECH＝∠CHD＝90°，∴四边形CHDE为矩形，∴ED＝CH＝BH＝3，∴OH＝＝＝4，∴CE＝HD＝OD﹣OH＝5﹣4＝1，AC＝＝＝8，∴AE＝AC+CE＝9，∵BF是⊙O的切线，∴∠FBA＝∠E＝90°，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△BAF，∴＝，即＝，∴BF＝．10、如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F.（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）若BC＝6，DE＝4，求EF的长．（1）证明：∵EF⊥OG，BC是⊙O的切线，∴∠CBA＝∠EFC＝90°，∴∠EOF＋∠FEB＝90°，∠BOC＋∠BCO＝90°，∵∠EOF＝∠COB，∴∠FEB＝∠BCO，∵CB，CD是⊙O的切线，∴∠ECF＝∠BCO，∴∠FEB＝∠ECF；（2）解：如解图，连接OD，则OD⊥CE，∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.11、如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．（1）证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；（3）解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中，DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB ＝DC·BD CA ＝52×528＝254. 12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .（1）若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（3）求证：2CE 2＝AB ·EF .（1）解：如解图，连接OD ，∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，∴OB ＝5，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π； （2）解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 中点，∴DE ＝12AC ＝EC ， 在△DOE 与△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OC OE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE (SSS)．∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；（3）证明：由（2）知，△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ， ∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .。
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一:圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E。
(1）求证:点E是边BC的中点;(2)求证:BC2＝BD·BA；(3)当以点O,D,E，C为顶点的四边形是正方形时，求证:△ABC是等腰直角三角形．解：(1）连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°。
∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD,∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC。
∵AC为直径,∴∠ADC＝90°,∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB,∴EB＝EC，即点E为边BC的中点（2)∵AC为直径,∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD,∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3）当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G,且D是BC的中点，DE⊥AB,垂足为点E,交AC的延长线于点F.（1）求证:直线EF是⊙O的切线;（2）已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB,∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2）∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A,∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中,∵∠ODF＝90°,∴cos∠FOD＝ODOF＝25。
相似三角形的内切圆半径比例深入分析
相似三角形的内切圆半径比例深入分析相似三角形是几何学中的重要概念之一，它们在形状上相似但大小不同。
而内切圆是指一个圆完全位于一个三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
在本文中，我们将对相似三角形的内切圆半径比例进行深入分析，探讨其性质和应用。
首先，让我们考虑两个相似三角形的内切圆半径比例。
设两个相似三角形为ABC和DEF，它们的内切圆分别为圆O和圆O'。
根据相似三角形的性质，对应边的比例相等，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
我们要求证相似三角形内切圆半径的比例与对应边的比例相等。
设三角形ABC和DEF的内切圆半径分别为r和r'，则根据内切圆的定义，我们可以得到以下三个等式：AB+BC=AC ①DE+EF=DF ②AC=DF ③通过这些等式，我们可以得到以下推导：AB+BC=DE+EF (根据②式)AB+BC=DF (根据③式)r+r'=r (根据内切圆的定义)由上述推导可知，相似三角形的内切圆半径比例等于对应边的比例，即r/r'=AB/DE=BC/EF=AC/DF。
接下来，我们来探讨相似三角形内切圆半径比例的应用。
首先，我们考虑两个三角形的内切圆半径比例已知的情况。
假设我们已知三角形ABC的内切圆半径为r，而三角形DEF的内切圆半径为r'，且已知r/r'=k。
那么我们可以利用这个比例来求解其他未知量。
例如，如果我们已知三角形ABC的底边BC的长度为a，而底边EF的长度为b，则根据相似三角形的性质，我们可以得到BC/EF=a/b。
结合已知的r/r'=k，我们可以得到r'=r*(b/a)*k。
通过这样的计算，我们可以得到三角形DEF的内切圆半径。
其次，我们考虑一个三角形内有一个已知大小的内切圆的情况。
假设我们已知三角形ABC内有一个半径为r的内切圆，我们想要求解相似三角形DEF的内切圆半径。
首先，我们可以使用三角形ABC的边长度计算出三角形ABC的面积S。
相似三角形的内切圆心
相似三角形的内切圆心在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
而内切圆是将三角形内切的圆，该圆与三角形的三条边相切。
本文将探讨相似三角形的内切圆心以及与之相关的性质和定理。
一、相似三角形与内切圆的定义相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
记作∆ABC ~ ∆DEF，其中∆ABC是参考三角形，∆DEF是相似三角形，A、B、C分别为∆ABC的三个顶点，D、E、F分别为∆DEF的对应顶点。
内切圆：在一个三角形内部，有且只有一个与三角形的三边相切的圆，这个圆称为内切圆。
内切圆的圆心称为内切圆心，记作O。
二、相似三角形的内切圆心性质1. 内切圆心O与三角形的顶点A、B、C都分别在一条直线上，并且垂直于对应顶点所在的边。
这一性质可以用来确定内切圆心的位置。
2. 相似三角形的内切圆心O与三角形的重心G和垂心H共线，并且OG : GH = 2 : 1。
重心是一个三角形的三条中线的交点，垂心是三角形的三条高线的交点。
3. △ABC ~ △DEF，内切圆半径的比值等于相似比，即r₁ : r₂ =AB : DE。
4. 内切圆与三角形的三边的切点构成的三角形与原三角形相似。
5. 内切圆与三角形的三边中点构成的三角形为同一个三角形，并且该三角形的形心与内切圆心重合。
6. 内切圆的半径r和三角形的面积S满足关系式r = 2S / (a + b + c)，其中a、b、c为三角形的三条边的长。
三、相似三角形的内切圆心定理1. 内切圆与角平分线的交点为内切圆心。
定理证明：设内切圆的圆心为O，角A的平分线与BC的交点为M，则根据角平分线定理，有AM / MC = AB / BC。
又根据角度对边比例定理，有AM / MC = r / s，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长。
由此可得，r / s = AB / BC，即r = AB * s / BC。
同理可证得，r = BC * s / AC，r = AC * s / AB。
相似三角形与圆的面积比例
相似三角形与圆的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在数学中，我们常常会遇到需要计算相似三角形的面积比例的问题。
而在这些问题中，如果结合了圆形，便会产生一些有趣的性质和定理。
一、相似三角形的面积比例给定两个相似三角形，假设它们的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为(a^2):(b^2)。
这个结论可以通过几何推导或者利用面积的性质来证明。
我们先来看一个简单的例子。
假设有两个相似三角形，它们的两条边的长度比例为2:3，求它们的面积比例。
设相似三角形的面积分别为S1和S2，根据面积的性质，我们有S1/S2=(边长比例)^2=(2/3)^2=4/9。
所以，这两个相似三角形的面积比例为4:9。
二、现在，我们来探讨一下相似三角形和圆的面积比例。
假设有一个固定大小的圆和一个相似于它的三角形，我们想要知道它们的面积比例。
首先，我们需要知道相似三角形的面积比例可以表示为边长比例的平方。
因此，如果可以将这个相似三角形转化为一个带有圆形的问题，我们就可以得到相似三角形与圆的面积比例。
考虑一个等腰直角三角形，它的两条直角边长度为a。
我们可以将这个等腰直角三角形每个直角顶点到斜边的距离定义为圆的半径。
那么，这个等腰直角三角形将与半径为a的圆相似。
根据相似三角形的面积比例定理，这个等腰直角三角形的面积与半径为a的圆的面积的比例为(斜边长度/半径)^2=(a/a)^2=1:1。
这意味着，无论这个等腰直角三角形的大小如何变化，它的面积与半径为a的圆的面积始终保持相等。
三、应用举例在实际问题中，我们可以利用相似三角形与圆的面积比例来解决一些有关面积或者比例的题目。
例1：已知一个半径为4的圆与一个相似三角形的面积比例为1:4，求该相似三角形的面积。
解：根据相似三角形与圆的面积比例，我们可以得到(圆的面积/相似三角形的面积)=1/4。
而已知圆的半径为4，代入圆的面积公式S=πr^2，我们可以得到(π*4^2)/(相似三角形的面积)=1/4。
圆和三角形证明题解题技巧
圆和三角形证明题解题技巧在几何学中，圆和三角形是两个重要的概念。
解决圆和三角形之间的证明题需要一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的解题技巧，帮助读者更好地解决这类问题。
1. 利用圆的性质在处理圆和三角形的证明题时，首先要熟悉圆的基本性质。
例如，圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，而半径则是以圆心为顶点的任意两条线段之间的距离。
还有圆心角、弧长和扇形的关系等。
举例来说，如果一个三角形的一个顶点位于圆上，而另外两个顶点连接圆心，则可以利用圆周角的性质来求解三角形的某些角度。
2. 利用三角形的性质解决圆和三角形证明题时，需要熟悉三角形的基本性质。
比如，三角形的内角和为180度，而外角则等于与之相邻的内角之和。
而且，根据三角形的形状和角度关系，可以运用“相似三角形”、“全等三角形”、“三角形的中位线和高线”等概念，推导出所需的结论。
利用这些概念和性质，能够简化证明过程，并快速找到解决问题的线索。
3. 利用辅助线和构造在解决圆和三角形证明题时，有时需要引入辅助线或构造新的图形来帮助解决问题。
通过巧妙地引入辅助线，可以将原问题转化为更容易解决的几何问题。
举例来说，如果要证明两个三角形全等，可以通过构造一个辅助线段，使得两个三角形形成共边，从而运用全等三角形的性质来得出结论。
4. 运用性质和定理在处理圆和三角形的证明题时，需要熟悉一些常见的性质和定理。
例如，正弦定理、余弦定理、勾股定理等。
利用这些定理和性质，可以建立三角形的关系式，并通过代数方法求解出所需的结果。
因此，除了几何知识外，还需要具备一定的代数求解能力。
5. 根据题目特点选择解题方法在解决圆和三角形证明题时，要根据题目的特点选择合适的解题方法。
有的题目可能适合用反证法，有的题目可能适合用数学归纳法。
此外，还要根据题目的提示和已知条件，选择合适的推理方法和解题策略。
通过多做练习，熟悉各种题型和解题思路，提高解题能力。
综上所述，解决圆和三角形证明题需要掌握圆和三角形的基本性质，灵活运用辅助线和构造，了解常见的定理和性质，并根据题目特点选择合适的解题方法。
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以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝15.∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ，∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758.【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD .(1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ；(2)由(1)知，△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC ，∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC .2．[2017·]如图Z13－3，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线；图Z13－2(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BEBC＝BCBA，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝ 6.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4 中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴ADOC＝DECE＝DEDE＋CD＝23.4．[2016·]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5 中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝34OA2＝34，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．图Z13－6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC ，BE ，作直线OC ， ∵BE ＝EF ， ∴∠F ＝∠EBF ， ∵∠AEB ＝∠EBF ＋∠F ， ∴∠F ＝ 12∠AEB ，∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠AEC ＋∠BEC ，∴∠AEC ＝12∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF ；(2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴AD CB ＝AE CE ，即AD CB ＝35，∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ， ∴△CBE ∽△CDB ，∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝15，∴CB ＝25，∴AD ＝6，∴AB ＝8， ∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，设垂足为G ，则AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2， ∴S △BCD ＝12BD ·CG ＝12×2×2＝2.6．如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连结AC ，BC ，PB ∶PC ＝1∶2. (1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由．图Z13－7 中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PCPA＝PBPC，∴PC2＝PB·PA，∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．图Z13－8 中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为22，∴OB＝22，AC＝42，∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴BCBO＝ACPO，即BC22＝428，∴BC＝2.8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9 中考变形8答图解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝52，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDAC，即PB＝DC·BDAC＝52×528＝254.【中考预测】[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10 中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠DCF＝90°.∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；(2)∵∠B ＝∠AEC ，∴∠D ＝∠B ，∵OD ⊥BC ，∴∠BFO ＝∠OCD ＝90°， ∴△BOF ∽△DOC ，∴OC OF ＝OD OB ，即OA OF ＝OD OA， ∴OA 2＝OD ·OF .。