相似三角形的判定证明题
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理
初中数学例题：相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q 同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由△B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，△AB=8cm，BC=16cm，△BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，△△B是公共角，△①当=，即=时，△PBQ△△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP △△ABC ，解得：x=1.6，△经4或1.6秒钟△PBQ 与△ABC 相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF ．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC ∽△DEF ．【答案与解析】证明：∵AC=2，BC=221031=+，AB=4，DF=222222=+，EF=2202621=+，ED=8，∴12AC BC AB DF EF DE ===， ∴△ABC ∽△DEF ．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理．相似三角形相似的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题是在网格状中的两个三角形，优先考虑三边对应成比例的方法去考虑.举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．2BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．。
微专题四 相似三角形的性质与判定
= .∴
=
= .
7.如图所示,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,∠ABC=
∠AED=90°,CD与BE,AE分别交于点P,M.
(1)求证:△BAE∽△CAD;
(1)证明:∵在等腰直角三角形 ABC 和等腰直角三角形 ADE 中,∠ABC=∠AED=90°,
∴△ABE≌△CBF.∴BE=BF.
∴AB-BF=CB-BE.∴AF=CE.
(2)延长CF,DA交于点G,若∠B=30°,求AG∶AD的值.
(2)解:设 AE=m,
由(1),得△ABE≌△CBF.∴CF=AE=m.
∵∠AEB=∠CFB=90°,∠B=30°,∴CB=AB=2AE=2m.
∴BF= -= () - = m.∴AF=AB-BF=2m- m.
FC,若 = ,求
的值.
解:∵DE∥BC,∴
= .
∵
=
,∴ =
.
又∵∠AED=∠CEF,
∴△AED∽△CEF,∴
= .
∵ = ,∴ =2.∴
=2.
=
,连接
5.如图所示,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,AB=3,AD=2,CE=1.求DF的长度.
解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴DC=AB=3,∠ADC=∠C=90°.
∵CE=1,∴DE= + = .
∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°=∠C,∠ADF+∠DAF=90°.
《相似三角形的判定定理》练习题
15.(导学号 40134043)(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝ AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长.
九年级下册数学（人教版）
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3
知识点1：相似三角形的判定定理3
1.如图在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，
则一定有(
)C
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF
DP·BD＝AD·BC，∴AB2＋AD·BC＝DB·PB＋DP·BD＝DB(PB＋DP)＝
DB2，即BD2＝AB2＋AD·BC.
2.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三 角形有( B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是( A ) A.AADB＝AACE B.ABEE＝CADD C.AADC＝AAEB D.DBCE＝AADC
8 4.如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BA＝5，AE＝2，则DE＝__3__.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∴A︵B＝D︵C.∴AB＝DC.
(2)易证△ADP∽△DBC，∴ABDD＝BDCP.∴DP·BD＝AD·BC.
相似三角形的判定(证明题)
相似三角形的判定1 •如图，锐角A4BC的髙CD和BE相交于点0,图中与△OD3相似的三角形有(A4个 B3个 C2个 D1个3•已知：AACB为等腰直角三角形，ZACB=90°延长BA至E,延长AB至F, ZECF二135°求证:CBF5・、如图，点C、D在线段AB上，且APCD是等边三角形.(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时，AACP S APDB：⑵当A PDBs A ACP时，试求ZAPB的度数.6•如图，Z1 = Z3, ZB = Z£>, AB = DE = 5, EC = 4(1)AABC- AADE吗？说明理由。
(2)求AD的长。
7.已知：如图,CE是RtAABC的斜边AB上的髙,BG丄AP・求证:CE:=ED €P.9 •如图，D为A ABC内一点，E为AABC外一点，且Z1=Z2, Z3：⑴AABD与4CBE相似吗？请说明理由.(2) A ABC与ADBE相似吗?请说明理由.AA EACs AB C判断题:⑴两个顶角相等的等浸三角形是相似的三角形。
((2)两个等腰直角三角形是相似三角形。
((3)底角相等的两个等艮三角形是相似三角形，((4)两个直角三角形一定是相似三角形。
((5)—个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似n ((6)有一个角相等的两个宜角三角形是相似三角形n ((7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。
( (3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似.((9)所有的正三角形都相似n ( )(10)两个等艮三角形只要有一个角对应相等就相似. ( ) 2・如圍,AD/J BC, AE平分ZDAB, BE平分ZABC・ EF丄AB•证明：AAEF^AABE.3 •如尿，AABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD^CE, AD与BE相交于点F・<1)试说明△ ABD坐ZkBCEj<2)AEAF与相似吗？说说你的理也.4.如釦在AABC中’ ZBAC=90\ D为BC的中点，AE丄AD, AE交CB的延长纟壬于点E・(1)求证：AEAB^AECA.:(2)4ABE和AADC是否一定相似？妇果相似，加以说明5如杲不相似，那么增加一个怎徉的条件，A.4BE和4ADC-定相似.5・如囲在AABC中,ZC=905, D. E衽BC上,BD=DE=EC=AC,指出團中哪两个三角形棉似,并证明你的结论.A6・如團，ZkABC 申，ZBAC=90% AB=AC, D 在BC 匕 E 在AC 匕 且上ADETS 廈 (1) 求证：△ABD S /XDCE ・ (2) 台D 莊什么位贵时，AABD^ADCE ・7. 如图，在AABC 中，AB ・8cm, BC-16c 叫 点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cE 啲速度移动‘点 Q 从点B 幵弟沿BC 向C 点^4cm,s 的速虔移动.加果P, Q 分别从、B 同时出拓 经过几秒绅ZkPB Q与△ ABC 相似？8. 如囹，已知AABC 中CE 丄AB 干E, BF 丄AC 于F,求证；△AEF S ^ACB.9 •如图、UAABC 中，ZACB=PO% AC=4, BO3,点P 在线段AB 上臥每秽1个单位的速度从点B 问点A 运动，同时点Q 曲圭段A C 上以同样的速虎从点A 向点C 运动，运动的时间用1 (单位：秒)表示.(1)求线股AB 的长；<2)求当t 为何值时，AAPQ 与AABC 相似？10・如虱在MBCD 中’ E 豹BC 边上一点'连接AE 、DE, F 为线段DE 上一点，且ZAFE=ZB .试 说明△ADF S ADEC ・11 ・如釦 已知MBC 中’ AB=2& AC=4js, BC=6? AMN 与AABC 相似，求MN 的长.3A312・如團，点E 是匹边形ABCD 的对角线BD 上一点，SZBAC-Z3DC-ZDAE ・求证：AABE^AAC D.14.已知，如團：在AABC 中，AD=CD, /ADE=ZDCB, 求还；△ABCsACDE.16・已知：D 、ElAABC^j±AB^ AC±^].^, AB=9, AD=4, AC=7.2, AE=5,求证：AABCooAAE D ・18 ・已知：如园.在△ ABC 和△ ADE 中,ZBAC=ZDAE, ZABC=ZADE. 求证：AABIX^AACE・D17 ・ 4±AABC 中，ZBAC=90c , E,求证：AABIX O ADCE ・19・如园.在正万形网格上有6个斜三角形：①②△CDB,③ADEB, @AFBG, ©AHGF,⑥△ERF 请在三角形②〜⑥中，找出与①相佩的三鱼形的序号是_〈把 前序号埴上〉并证明你的结论.20.如冒所示，在A ABC 中，AB=8cm ? BC=16cm ?点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以lens 的速庶移 动，点Q 从点B 幵始沿边BC 向点C 以2cm/啲速庚移动，如果点.P 、Q 同时出紀 经过多长时间后，厶PB ABC 相似?试说明理由■21・将两个全等的等腰宜角三角形摆成如團所示的祥子（團中所有的点、线都在同一平面内〉・ CD 请在图中找出两対相似而不全手的三角形〉话从其中一对说明埋宙.C2）你还能再找一对相似而不全等的三角形吗？请说明遅由.22・如园：己知△ABgZkADE 的边BC 、AD 相交于点0,旦Z1=Z2-Z3.求证：AABCsAADE.23.如园，APQR 罡尊边三角形，ZAPBJ20J I 乩每两个三角形沏一组写出园中所有的相 似三角形，并迭择耳中的一爼加以证明.2S.如图’已知:厶ABC 中〉ZABC-90% AB-BC,延长BC 到E,使得CE-2BC,馭CE 的中点D,连接AE 、 AD ・求iib AACD<7>AECA ・26.如阂.D 是Z\ABC 的边BC 上的一点,AB=2, BD=1, DC=3,求证：AABD^ACBA.5 I D327・已知：AABC为手瑕直角三角形，ZACB=90%延长BA至E,延长AB至F, ZECF=135S求证：AEAC^ACBF.28・如因所示'R仏ABC中’已^DZBAC=O0\ AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B, C),过点D作ZADE=45% DE交AC于点E.(1)求证：△AEIX^XDCE;(2)当AADE是等腰三角形时，求AE的长.29・如團已知AB丄BD, CD丄BD・若・4B=9, CD=4, BD-10,话问在BD上是否存在P点，使以P、4、B三点为页点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似・?若存在，求BP的长：若不存在'请说明理由.30・如臥AABCx ADEPf两个全竽的等腰直毎三角形，ZBAC=ZPDE=90\(1)若将ADEP的顶点.P放在BC上(如图1) , PD、PE分别与AC、AB相交于点F. G.求证：△PBGs^FCP;(2)肴使ADEP的顶点P与顶点A重台〔如图2) , PD-. PE与BC相交干点几G・试问APBG与AFCP还相似吗勺为什么？1・如国,在4ABC和ADEF中ZA=ZD=90\ AB=DE=3, AC=2DF=4 ・(1)判断这两个三角形杲否殆似并说明为什么？(2)能否分别过A, D在这两个三角形中各作一条湘助纵使△ ABC分黑成的两个三角形与ADEFB-割成的两个三角形分别对应相似？证明惋的结论.2 •如團，在A ABC中，AB=AC,若4 ABC^ADEF,且点A往DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M・求证：AABE^AECM・5.己知：如图'AABC中'AD=DB, Zl=/2.求证：AABCxoAEAD.S・如图'在厶ABC中,AB=AC, ZADB=90°, ZCBE=ZCAD；求证：△BECsAADC ・10・?0g.. ZABC=ZBCD,且BC^=AB・CD・ ^15： AABC^ABCD.O11・已务Ih如图，AD是△ ABC的高,BE丄AB, AE交BC于点、F> AB・AC-AD・AE・求证:ABEFcoAACF ・13.妇團所不‘在铁角AABC中，高CD： BE相交于点、F・ <1)拷出图中所有的相似三角形，并证明一对三角形柜似3 (2)连结DE,试说明：AADEccAACB.4・如凰，集一时別一根2米长的竹竿EF嶷长GE为I球'此时，小红测得一棵被凤吹斜的杨树与地面成30。
4.5 相似三角形判定定理的证明(分层练习)(解析版)
第四章 图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级课时练习）ABC V 和A B C ¢¢¢V 符合下列条件，其中使ABC V 与A B C ¢¢¢V 不相似的是（ ）A ．45A A ¢Ð=Ð=°，26B Ð=°，109B ¢Ð=°B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，12A B ¢¢=，8A C ¢¢=，16B C ¢¢=C ．A B ¢Ð=Ð， 1.5AB =，1514AC =，32A B ¢¢=， 2.1B C ¢¢=D ．BC a =，AC b =，AB c =，B C ¢¢=A C ¢¢=A B ¢¢=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．V斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，CD是Rt ABCA．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△AC B．故选D．【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．3．（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．【详解】解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学八年级期中）如图，在ABC V 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：ACP B Ð=Ð①；APC ACB Ð=Ð②；2AC AP AB =×③；AB CP AP CB ×=×④，能满足APC V 与ACB V 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当ACP B Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ,故条件①能判定相似，符合题意；当APC ACB Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ，故条件②能判定相似，符合题意；当2AC AP AB =×，即AC ：AB AP =：AC ，因为A AÐ=Ð所以APC V ∽ACB V ，故条件③能判定相似，符合题意；当AB CP AP CB ×=×，即PC ：BC AP =：AB ，而PAC CAB Ð=Ð，所以条件④不能判断APC V 和ACB V 相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.5．下列各组图形必相似的是（ ）A ．任意两个等腰三角形B ．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形C ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形D ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.【详解】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.故本题选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.6．（2022·河北唐山·九年级期末）图中四个阴影的三角形中与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（ΔABC 与△DEF 中，65A Ð=°，42B Ð=°，65D Ð=°，73F Ð=°，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC ________【答案】相似【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可.【详解】∵65A Ð=°，42B Ð=°，∴∠C =180°-65°-42°=73°.∵65D Ð=°，73F Ð=°，∴∠A =∠D, ∠C =∠F,∴△DEF 与△ABC 相似.故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知，90ACB ADC Ð=Ð=o ，3BC =，4AC =，要使ABC ACD V V ∽，只要CD =________．9．如图所示，D ，E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足________条件时，有△ABC ∽△AE D ．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，8AB =，50A Ð=゜，''4A B =，''3A C =．当AC =________，'A Ð=________时，'''ABC A B C V V ∽．三、解答题11．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′．求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．【答案】证明见解析【分析】在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，可证△ADE ∽△ABC ；再证△ADE ≌△A ′B ′C ′即可．【详解】证明：在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE =∠B ，△ADE ∽△AB C ．∵∠A =∠A ′，∠ADE =∠B =∠B ′，AD =A ′B ′，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．12．（2021·全国·九年级课时练习）已知：如图，在ABC V 和A B C ¢¢¢V 中，,AB AC A A A B A C Ð=Т=¢¢¢¢．求证：ABC A B C ¢¢¢∽△△．一、填空题1．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学九年级阶段练习）ABC D 中，10AB =，6AC =，点D 在AC 上，且3AD =，若要在AB 上找一个点E ，使ADE D 与ABC D 相似，则AE =__．2．已知△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A ＝70°时，∠B ＝34°，∠D ＝70°，则当∠F ＝_____时，△ABC ∽△DEF ．【答案】76°【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【详解】∵△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A =70°时，∠B =34°，∠D =70°，∴∠B =∠E =34°，∴∠C =∠F =76°，故答案为76°【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在ABCD Y 中，点E 在AB 上，CE BD ，交于点F ，若:4:3AE BE =，且2BF =，则DF =_________．4．如图，在△AB C中，点P在AB上，下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有______________.【答案】①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【详解】①、当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；②、当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；③、当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∵∠A=∠A∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；④、∵当AB•CP=AP•CB，即PC：BC=AP：AB，而∠PAC=∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5．如图所示，在△AB C中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？情况讨论，避免漏解而导致出错．二、解答题6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，123Ð=Ð=Ð，求证：ABC D 与ADE D 相似.【答案】证明见解析【分析】两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角相等，从而知道△ABC 与△ADE 相似．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，即∠BAC =∠DAE ，又∵在△AHE 和△DH C 中，∠2=∠3，∠AHE =∠DHC∴∠C =∠E ，在△ABC 和△ADE 中∵∠E =∠C ，∠BAC =∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．7．（2022·甘肃酒泉·九年级期末）如图，在△AB C 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．8．如图已知，在△AB C中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE交CD于点O，求证：△ABE∽△OCE.【答案】证明见解析.【分析】要证明△ABE∽△OCE，需先找对证明两三角形相似的条件，根据已知条件找出即可证明.【详解】Q CD⊥AB，BE⊥AC，\∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，\∠ABE＝∠OCE.又Q∠AEB＝∠OEC，\△ABE∽△OCE.【点睛】此题重点考察学生对证明两三角形相似的理解，熟练两三角形相似的证明方法是解题的关键.。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
相似三角形总结(含答案)
相似三角形总结一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ∙AC=BC ∙FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。
求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线， 求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEFGAB CD E M 12A B C DE FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FABCDS PRQOAB CD EFA BCDEF O 123ABCDFE相似三角形总结（答案）例1分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
相似三角形的判定及习题
知识点：相似三角形1、相似三角形1）概念：若是两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形必然相似。
两个等腰直角三角形必然相似。
两个等边三角形必然相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不必然相似。
补充：关于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。
相似比为k。
4）判定：①概念法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所组成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：若是一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，而且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有普遍的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
初中相似三角形经典习题(附答案)
一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。
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分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．分析：由FD∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。
相似三角形判定练习题及答案
相似三角形判定练习题及答案相似三角形一．解答题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．求证：△CDF∽△BGF；当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出中的两个结论是否仍然成立；在的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．写出图中所有相等的线段，并加以证明；图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．求四边形AQMP的周长；写出图中的两对相似三角形；M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．相似三角形的判定练习题1．△ABC和△ABC中，AB=9cm，BC=8cm，CA=5cm，A′B′=4.5cm，B′C′=2.5cm，C?′A′=4cm，则下列说法错误的是．A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与A′B是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1D．BC与B′C′是对应边2．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是． A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似 C．△ABC 与△A1B1C1的相似比为1：D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是． A．∠A=∠A′=45°38′，∠C=26°22′，∠C′=108°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=12，B′C′=8，A′C′=1 C．BC=a，AC=b，AB=c，A′B′B`C`?A`C`? D．AB=AC，A′B′=A′C′，∠A=∠A′=40°4．如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形?与△ABC相似的是．5．△ABCA1B1C1的两边长分别为11B1C1的第三边长为 _______时，△ABC与△A1B1C1相似．6．如图，在正方形网格上，每个小正方形的边长为a，那么△ABC与△A1B1C1?是否相似？7．如图，在网格中画出与已知三角形相似的三角形，并使相似比为8、如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有相似的三角形，并说明你的理由。
相似三角形判定定理的证明(含解析)
相似三角形判定定理的证明一、选择题1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC交DC的延长线于点F，且∠EAF=60°，则∠B等于( ).A .60°B .50°C .70°D .65°2.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标(－2,1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是( )A .(，)、(-，4)B .(，3)、(-，4)C .(，3)、(-，4)D .(，)、(-，4)3.P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？（）A．1条B．2条C．3条D．4条4.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是( )A .B .C .1D .5.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为( )A .（3，2）B .（3，1）C .（2，2）D .（4，2）6.下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，那么这两个三角形一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．若AD•BC=9，则直径AB的长为（）A．3B．6C．9D．8.如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对；B．6对；C．4对；D．2对．9.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为（）A．B．C．D．210.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=3，DC=5，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．3：5C．9：25D．：11.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（-2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（-，4）B．（，3）、（-，4）C．（，）、（-，4）D．（，）、（-，4）12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④13.如图，点D、E、F、G为△ABC两边上的点，且DE∥FG∥BC，若DE、FG将△ABC的面积三等分，那么下列结论正确的是（）A．=B．==1C．=+D．=14.已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（）A．B．2C．D．315.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S416.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是( )A .y=12xB .y=C .y=xD .y=x17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为( )B .1.6C .1.5D .118.如图，已知：△ABC、△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，两条直角边AB、AD重合，把AD绕点A逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），到如图所示的位置时，BC分别与AD、AE相交于点F、G，则图中共有（）对相似三角形．A．1B．2C．3D．419.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是（）A．2B．C．D．2.520.如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列给出的结论中，正确的有（）①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABC与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5；④0＜CE≤6.4．A．1个B．2个C．3个D．4个21.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C 都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．22.如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M，E在AD上，点F在边AB 上，并且DM=1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM的和最小时，ME的长度为（）A．B．C．D．23.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB边上，OM、ON分别交边AC、BC于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为 ______；当时，的值为 ______（用含n的式子表示）．其中正确的选项是（）A．B．C．D．；25.如图，直线l与反比例函数y=在第一象限的图象交于A、B两点，且与x轴的正半轴交于C点．若AB=2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（）A．6B．9C．12D．1826.如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD、AD 上滑动，当DM为时△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似( )A .B .C .或D .或27.在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα= ．有下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；③当△DCE为直角三角形时，BD=8；④3.6≤AE ＜10．其中正确的结论是( )A .①③B .①④C .①②④D .①②③28.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于( )A .B .C .D .29.在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则：为( )A .3：4B .4：3C .7：9D .9：730.如图，▱ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，∠ADC的角平分线DE交BC于点E，交AC于点F，CG⊥D E，垂足为G，DG=cm，则EF的长为( ).A .2cmB .cmC .1cmD .cm二、填空题31.如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F 关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=，则EG=__________．32.如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB到点M，使BM=1，连接AM，过点B作BN⊥AM，垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON，则ON的长为__________．33.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG交BD于点H，连接FO并延长FO交CG 于点P，则PG：PC的值为__________．34.在△ABC中，AB=9，AC=5，AD是∠BAC的平分线交BC于点D（如图），△ABD 沿直线AD翻折后，点B落到点B1处，如果∠B1DC=∠BAC，那么BD=__________．35.如图，在△ABC中，AB=AC=3，高BD=，AE平分∠BAC，交BD于点E，则DE 的长为__________．36.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．若AB=5，AD=8，AE=4，则AF的长为__________．37.如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得的影长是9米，两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是 __________ 米．38.ABCD、四边形GFED都是正方形，当AD=4，DG=时，则CH的长为 __________ ．39.如图，在直角三角形ABC中，点E在线段AB上，过点E作EH⊥AC交AC于点H，点F在BC的延长线上，连结EF交AC于点O．若AB=2，BC=1，且，则= __________ ，OH= __________ ．40.如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．41.如图，正方形ABCD的边长为3，E为AD的中点，连接BE、BD、CE，则图中阴影部分的面积是__________.42.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．若AD=6，AB=8，E、F分别是OD、CD的中点，则△DEF的面积为 __________ ．43.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BG⊥AE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF=__________44.如图，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，点B的对应点为B′，AB′的延长线交DC于点F，若FC=2，则正方形的边长为__________45.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN的最小值为 __________ ．46.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，点P为BC的中点，点E、F分别为边AB、AC上的点，若∠EPF=45°，∠FEP=60°，则CF=__________．47.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 __________ ．48.如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是边BC的中点，则点D到AM的距离DE等于 __________ ．49.如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，BE：EC=1：2，连接AE交BD于点F，则△BFE的面积与△DFA的面积之比为 __________ ．50.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是 __________ ．51.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则等于__________52.已知如图：正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC至点F，使CF=CE，BE交DF于点G，若GF=2，DG=3，则BG=__________．53.如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为__________．54.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=8，CB=2，当BD=__________时，△ACB∽△CBD．55.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，△DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于 __________ ．56.如图，边长为20的正方形ABCD截去一角成为五边形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若点P在线段EF上使矩形PMBN有最大面积时，则PE的长度为 __________ ．57.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点M在边上，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．若△ADN的面积等于14，则BM的长等于 __________ ．58.如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE=BD，则CE=__________．59.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=16，BD=20，一动点P从点B向点D运动，当BP的值是__________时，△PAB与△PCD是相似三角形．60.如图，∠ABC=∠ACD，AD=6，BD=2，则AC=__________．三、解答题61.已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF?BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF?AB=BC?DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．62.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC 上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
5.相似三角形判定定理的证明
5 相似三角形判定定理的证明
C 拓广探究创新练
14. 如图 4－5－13,已知直线 l 的函数表达式为 y＝－43x＋8,且 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动,同时动点 P 从点 A 开始在线 段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动,设点 Q,P 移动的 时间为 t 秒. (1)求点 A,B 的坐标； (2)当 t 为何值时,以 A,P,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.721.9.7Tuesday, September 07, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。04:28:5604:28:5604:289/7/2021 4:28:56 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.704:28:5604:28Sep-217-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。04:28:5604:28:5604:28Tuesday, September 07, 2021
图 4－5－11
5 相似三角形判定定理的证明
解：(1)证明：∵AC＝BC,∴∠A＝∠B. ∵∠BEC＝∠ACE＋∠A,∠ACF＝∠ACE＋∠ECF,∠ECF＝∠A,∴∠ACF＝ ∠BEC, ∴△ACF∽△BEC,∴BAEC＝BACF, ∴AC2＝AF·BE. (2)∵∠A＝60°,AC＝BC,∴△ABC 是等边三角形,∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60° ＝∠ECF,∴∠ACE＝∠FCB. 又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE,∠F＝∠ABC－∠FCB,∴∠ECB＝∠F. 又∵∠ABC＝∠A,∴△ACF∽△BEC, ∴ABCE＝ABFC,∴AF＝136, ∴BF＝AF－AB＝43.