二项分布概念及图表和查表方法
二项分布 卡方检验.ppt
P(
X
)
(
n X
)
X
(1
)nX
X=0，1，2，…，n
二项分布的应用条件
每次试验只会发生相互对立的两种结果之一， 如阳性或阴性，生存或死亡；
每次试验产生某种结果的概率固定不变，已 知发生某一结果（如阳性的概率为π，其对 立结果的概率则为1-π；
重复试验是相互独立的，即每次试验的观察 结果不会影响到其它试验的结果，也不会受 其它试验的结果的影响。
n (b d )(c d )
n
n
a
(ad bc)2 n
bc d a cb
d
四格表2检验的校正公式
2界值表是根据连续性的2分布计算出来的，但原 始数据是分类资料，不是连续的，由此计算的2 值也是不连续的，它仅仅是连续性的2分布的一种 近似。
n≥40&T ≥ 5时，这种近似效果较好。
但在样本例数较少或出现理论频数小于5时，算出 的2值可能偏大，既求出的概率P值可能偏小，此 时须根据具体情况作不同的处理。
u p1 p2 s P1 P2
S p1 p2
X1 X 2 (1 X1 X 2 )( 1 1 )
n1 n2
n1 n2 n1 n2
例：为研究某职业人群颈椎病患病率的性别差异,随 机抽查了该职业人群男性120人和女性110人,检查出 男性中有36人患有颈椎病,女性中有22人患有颈椎病, 试比较不同性别的颈椎病患病率的差异。
பைடு நூலகம்
n=5 π=0.3
.2
.1
0.0
0
1
2
3
4
5
二项分布的图形
.2 n=20 π=0.3
.1
0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
二项分布及Posson分布
（2）Poisson分布的性质
① Poisson分布的总体均数等于总体方差μ=σ2=λ。
② 当n很大，而π很小，且nπ=λ为常数时，二项分
布近似Poisson分布。
③ 当λ增大时，Poisson分布渐近正态分布。一般，
当λ≥20时，Poisson分布可作为正态分布处理。
④ Poisson分布具有可加性。对于服从Poisson
该函数式是二项函数[π+（1-π）]n的通项
且有：
P( X ) 1
X 0
n
2。二项分布的适用条件
若试验符合下面3个特点，则其某一试验结果
发生的次数服从二项分布，此试验称为贝努利
（Bernoulli）试验。
n次贝努利（Bernoulli）试验中研究事件
发生的次数X服从二项分布。
贝努利（Bernoulli）试验的条件： ① 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一 ② 在相同试验条件下，每次试验出现某种结果 （如“阳性”）的概率π固定不变
样本均数与总体均数比较的检验目的 是推断样本均数所代表的总体均数λ与已 知的总体均数λ0是否相等。 可使用的检验方法有：直接计算概率 法和正态近似法
例6-13
有研究表明，一般人群精神发育
不全的发生率为3‰，今调查了有亲缘血统婚 配关系的后代25000人，发现123人精神发育不
全，问有亲缘血统婚配关系的后代其精神发育
第二节
Poisson分布
（Poisson distribution）
一、Poisson分布的概念
Poisson分布最早是由法国数学家SiméonDenis Poisson (西莫恩· 德尼· 泊松 )研究二项
分布的渐近公式是时提出来的。
二项分布
谢谢观看
在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量 （dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的 感染与未感染等。二项分布（binomialdistribution）可以对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规 律性进行描述。
应用
管理学 经济学
医学
在保险业务中，我们经常需要根据实际情况适当调整保费问题，以保证保险公司的利润达到一定要求，同时 保险公司的业务量也达到要求，对于这一类问题，可以对已知实际情况做一定的概率分析。例如某保险公司有客 户购买人身意外保险，该公司规定每人每年付公司120元，若遇意外死亡，公司将赔偿元。若每人每年死亡率为 0.006，从而不难利用二项分布算出公司获利、亏本的各种情形了。实际上对于随机现象，了解其分布非常有意 义，利用概率论讨论得到的结果对保险公司有一定的指导意义。
图形特点
从图1中可以看出，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减 少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且:
注：[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。 图1二项分布概率分布 图2二项分布概率分布
关系
两个二项分布的和 如果X~ B(n,p)和Y~ B(m,p)，且X和Y相互独立，那么X+Y也服从二项分布；它的分布为： 伯努利分布 伯努利分布是二项分布在n= 1时的特殊情况。X~ B(1,p)与X~ Bern(p)的意思是相同的。相反，任何二项分 布B(n,p)都是n次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为p。 泊松近似 当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ=np的泊松分布可以 作为二项分布B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足够大，而p足够小，np不是很小。 正态近似 n=6、p=0.5时的二项分布及正态近似如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适 当的连续性校正，那么B(n,p)的一个很好的近似是正态分布: 当n越大（至少20）且p不接近0或1时近似效果更好。
医学统计学二项分布课件
医学统计学二项分布课件xx年xx月xx日•二项分布概述•二项分布数学模型•二项分布的参数估计•二项分布与其它分布的关系目•二项分布的应用实例•二项分布在SPSS和R语言中的应用录01二项分布概述二项分布是一种离散概率分布，描述了在n次独立的是/非试验中成功的次数的概率分布。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
定义B(n, p) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)公式二项分布的定义二项分布的特点二项分布在n次独立的是/非试验中成功的次数。
二项分布的随机变量取值为0，1，2，…，n。
在n次独立的是/非试验中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
描述病情变化在医学领域中，病情变化是一个二项分布的过程。
病情可能变好也可能变坏，每次试验可以看作是医生对病情的观察和评估。
临床试验设计在临床试验中，通常将二项分布应用于设计试验方案和分析数据。
例如，在随机对照试验中，将患者随机分为试验组和对照组，比较两组的有效率或成功率等指标。
诊断和预后在医学诊断和预后评估中，通常将二项分布应用于计算概率和可信区间。
例如，计算某疾病的发病率、某检查手段的阳性率等指标。
二项分布在医学统计学中的应用02二项分布数学模型二项分布概率函数公式：$P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$其中 $C(n, k)$ 表示组合数，$p$ 表示每次试验成功的概率，$n$ 表示试验次数二项分布概率函数二项分布的均值$E(X) = np$二项分布的方差$D(X) = np(1-p)$二项分布的均值和方差二项分布曲线是一个钟形曲线随着 $n$ 的增大，曲线越来越接近正态分布曲线二项分布曲线的形状03二项分布的参数估计样本大小的选择确定样本量医学研究中，样本量的选择是至关重要的。
通常根据研究目的、研究因素的数量和研究因素的水平数来决定样本量。
考虑变异性和研究因素在选择样本量时，需要考虑研究因素的变异性和水平数。
二项分布课件
概率与置信水平之间存在一定的关系 。在确定置信区间时，需要考虑到概 率的大小。
概率计算公式
根据二项分布的定义，可以使用概率 计算公式来计算某一事件发生的概率 。公式包括成功的次数和试验次数等 参数。
置信区间的确定
置信区间的概念
置信区间是指在一定置信水平下，某一参数可能取值的一个范围。 在二项分布中，置信区间通常用于估计成功概率的区间范围。
03
记录每次试验的结果， 并计算成功次数和概率 。
04
可使用图形化工具（如 matplotlib）绘制理论 概率与模拟结果的对比 图。
利用R语言进行二项分布模拟实验
安装并打开R语言环境。
使用循环结构模拟多次试 验，并记录每次试验的成 功次数。
使用“runif()”函数生成 随机数作为试验结果（成 功或失败）。
决策树分析的例子包括：项目管理、资源分配、市场营销等。在这些场景中，二 项分布可以用来计算在不同情况下发生特定事件的概率，从而帮助决策者制定更 有效的计划和策略。
二项分布的模拟实
06
验
利用Excel进行二项分布模拟实验
打开Excel软件，选择一个工作表。
在第一列输入试验次数，在第二列输 入每次试验成功的概率。
样本量计算公式
根据二项分布的性质，可以通过计算公式来确定样本数量 。公式通常基于预期的置信区间、置信水平和误差率等因 素。
样本量与置信水平的关系
样本数量与置信水平之间存在一定的关系。通常，要达到 一定的置信水平，需要足够的样本数量来支持。
概率计算
基本概念
概率与置信水平的关系
在二项分布中，概率是指某一事件发 生的可能性。在统计学中，概率通常 用小数或百分比表示。
二项分布课件(上课)
医学统计学二项分布课件
二项分布的图形特征与参数影响
• 参数影响 • 试验次数n：随着n的增大，分布趋于正态分布。 • 成功概率p：p越接近0.5，分布越对称；p越小或越大，分布越偏态。 • 应用：了解二项分布的图形特征与参数影响，有助于我们选择合适的统计方法和解释试验结果。在实际医学研究中，我们
二项分布的应用场景
医学研究中，评估某种治疗方法的有效率，可以 看作是伯努利试验，成功率为治疗有效率，通过 二项分布来描述多次试验后治疗有效的次数分布 。
公共卫生领域，二项分布可用于描述某种疾病在 人群中患病次数的分布情况，进而评估疾病的流 行程度和控制效果。
临床试验中，病人对某种药物的反应可分为有效 和无效两类，药物疗效评估可通过二项分布进行 统计分析。
二项分布的累积分布函数
定义
二项分布的累积分布函 数表示在n次独立试验 中，成功次数小于或等 于k的概率。
公式
F(x) = sum(P(X=k))， 其中k从0到x。
应用
通过累积分布函数，我 们可以计算在某个成功 次数以下的累积概率， 有助于我们分析试验结 果的分布情况。
二项分布的图形特征与参数影响
不良反应发生率
在药物临床试验中，二项分布也可用于评估药物的不良反应 发生率。通过计算不良反应发生次数与总用药人数的比例， 并利用二项分布进行统计分析，可以判断药物安全性。
流行病学研究中的疾病发病率估计
估计疾病发病率
在流行病学研究中，利用二项分布可以估计某种疾病的发病率。通过观察一段时间内某地区或人群中患病的人数 ，结合二项分布的概率计算，可以得到该疾病的发病率估计值。
软件工具
常用的统计软件如R、SPSS、 SAS等都可以进行二项分布概率
二项分布概念及图表和查表方法
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。
概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
二项分布
例 设某放射性物质平均每分钟放射计数为 5。 X3。则 Xi～P(5)，i=1,2,3。据Poisson分布的可
加性可得X1+X2+X3～P(15)。
现考虑测3个1分钟的放射计数，分别记为X1, X2,
0.2
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16
即该放射性物质平均每 30 分钟脉冲计数 的95%可信区间为322.8～397.2个。
样本均数与总体均数的比较
直接计算概率法 正态近似法
u
X 0
0
直接计算概率法
例5.16
H 0： 此地区患病率与一般患病率相等，即 0
H 1： 此地区患病率高于一般患病率，即 0
从某学校随机抽取 26 名学生，发现有 4 名
感染沙眼，试求该校沙眼感染率 95%可信区间
本例 n=26， X =4，查附表 3 的可信度为 95%的 可信区间为(4%，35%)。
总体率的可信区间(正态近似法）
p u
S , p u S p p
例5.4
估计显效率的95%的可信区间
10
20
Poisson分布的正态近似
当20时已接近正态分布，当50时则非 常接近正态分布。
Poisson分布的性质
当20时已接近正态分布，当50时则 非常接近正态分布。 方差等于均数: 2= 泊松分布资料的可加性
服从Poisson分布也有三个条件
二项分布公开课课件
均值和方差
01
均值和方差是二项分布的两个重 要数学特征，用于描述随机事件 的平均值和波动性。
02
二项分布的均值是n*p，表示在n 次独立重复试验中随机事件平均 发生的次数；方差是n*p*q，表 示随机事件的波动程度，其中q表 示随机事件不发生的概率。
二项分布的参数
二项分布的参数包括试验次数n和随机事件发生的概率p， 它们共同决定了随机事件的分布形态。
试验次数n表示独立重复试验的总次数，随机事件发生的 概率p表示每次试验中随机事件发生的可能性大小。当n和 p一定时，二项分布的形态就确定了。
二项分布在现实生活中的应用
成功率预测
在生产、科研等活动中，可以通过二 项分布来预测多次试验中成功的次数 。
风险评估
生物统计学
在生物统计学中，二项分布被广泛应 用于遗传学、流行病学等领域，例如 研究疾病的发病率、遗传规律等。
在金融、保险等领域，可以通过二项 分布来评估风险和预测未来的结果。
02
二项分布的数学模型
THANKS。
利用Excel或数学软件计算
利用Excel或数学软件计算是一种便捷的二 项分布计算方法，通过利用现成的软件工具 进行计算。
Excel和许多数学软件都提供了二项分布的 计算功能，用户只需要输入相应的参数（如 试验次数、成功的概率等），软件就会自动 计算出二项分布的概率。这种方法省去了手 动计算的繁琐过程，提高了计算的准确性和 效率。同时，对于一些复杂的二项分布问题 ，利用软件进行计算可以避免复杂的数学推
二项分布
一、二项分布的背景以及概率计算的简单介绍。
例：用淋菌培养方法，检查患者是否患有淋病。
该检查方法没有假阳性，只有假阴性。
对于淋病患者，若用该方法检查一次的检出率为0.8，问：1)重复检查3次，检查结果均为阴性的概率是多少？P=(1-0.8)3=0.0082)重复检查3次，检查结果中最少是阳性的概率是多少？P＝1-(1-0.8)3=0.9924) 检查4个患者，每人检查一次，第一个患者和第二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？P=0.820.22=0.02565) 检查4个患者，每人检查一次，其中二个患者为阳性且其他均为阴性的概率是多少？其中2C为4个患者中有2个阳性的各种不同情况总数。
4在医学上，经常需要研究或观察这样一类现象：其结果只有两种可能：如：抢救急性心肌梗塞患者，其结果可分为：抢救成功或失败如：检查幽门螺杆菌(HP)：＋或－。
上述类似研究中，我们把观察或治疗一个研究对象统称为一次试验(在上例中，把检查一个患者是否阳性视为一次试验)。
如果研究背景满足下列条件：1)每次试验的可能结果(Outcome)仅为两种(视为成功或失败，在上例中阳性或阴性)。
2)定义试验中其中一个可能的结果成功，另一种可能的结果为失败(在上例中把检查结果为阳性可视为成功，检查结果为阴性为失败)。
3)每次试验的条件相同。
每次试验成功的概率为π，失败的概率为π-1(在上例中把检出阳性的概率为π＝0.8，检查阴性的概率为π-1=0.2)。
3)试验次数为n(上例中n=4)。
则在n 次试验中，有X 次成功的概率(在上例中，4个患者检查，即：n=4;有x 个患者为阳性的)为X n X X n Xx n)1()!x n (!x !n )1(C )x (P --π-π-=π-π=。
n ,,2,1,0x =。
并记为X ～B(n,π)例：英语测试时，每道题有4个答案选择，随机选择答案，每道题正确的概率为0.25，问(1)做8道题，正好有2道题正确的概率是多少？(2)做20道题，正好有5道题正确的概率是多少? 解：(1)n=8，π＝0.25，311462.075.025.0278)2X (P 62=⨯== (2)n=20，π=0.25，202331.075.025.0543211617181920)5X (P 155=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 二、二项分布的图形。
二项分布概念及图表和查表方法
二项分布概念及图表和查表方法二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
本文将介绍二项分布的概念，讨论相关的图表和查表方法。
一、二项分布概念在概率论中，二项分布可用于描述以下类型的实验：进行一系列相互独立的伯努利试验，每次试验只有两种可能结果，成功或失败。
其中，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p。
试验次数为n，成功次数为k。
X表示成功次数的随机变量，二项分布概率质量函数可表达为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)二、图表方法为了更好地理解二项分布的特性，我们可以通过图表的方式来呈现相关的概率分布。
一种常见的图表是概率质量函数图（PMF）和累积分布函数图（CDF）。
概率质量函数图显示了每个可能成功次数的概率，即P(X=k)。
我们可以在横轴上绘制成功次数k，在纵轴上绘制概率P(X=k)，通过连接各点得到离散的概率质量函数曲线。
累积分布函数图显示了成功次数少于或等于某个值k的概率，即P(X≤k)。
我们可以在横轴上绘制成功次数k，在纵轴上绘制概率P(X≤k)，通过连接各点得到逐渐上升的累积分布函数曲线。
三、查表方法对于较大的试验次数n和成功次数k，计算二项分布的概率可能会比较困难。
因此，我们可以利用预先计算好的二项分布查表来快速获取相关概率值。
二项分布查表通常以n和p为参数展示。
表中的数值代表了在不同的n和p值下，对应的概率P(X≤k)或P(X=k)。
用户只需找到相应n和p的表格，并定位到对应的k值，即可得到所需的概率值。
当使用查表方法时，需要注意试验次数n和成功概率p必须与所用表格相对应。
此外，不同的表格可能提供不同的信息，可以根据需要选择适合的表格。
综上所述，本文介绍了二项分布的概念以及相关的图表和查表方法。
了解二项分布的概率分布特性，并熟悉图表和查表方法，将有助于我们在实际问题中的概率计算和决策分析中的应用。
二项分布PPT课件
P X 2 x 2 0P X x 2 0X !n n !X !X 1 n X
P0P1P2
15!00.13010.13150 15!00.13110.13149
0!15!0
1!14!9
15!00.13210.13148
2!14!8
2.31107
2021/6/16
23
至少有2名感染的概率为:
n=3×0.6=1.8（只）
方差为 2 n1
30.60.40.7（ 2 只）
标准差为 n1
30.60.40.85(只）
2021/6/16
18
如果以率表示，将阳性结果的频率记为 p ，X
n
则P的总体均数 p
总体方差为
p2
1
n
总体标准差为
p
1
n
式中 p 是频率p的标准误，反映阳性频率的
卫生统计学（第六版）
卫生统计学与数学教研室
2021/6/16
1
第二节 二项分布
一、二项分布的概念与特征
（一）成败型实验（Bernoulli实验）
在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴
趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实
验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观
察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性
等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为失
败，这类试验就称为成-败型实验。指定性资料中的二
项分类实验。观察对象的结局只有相互对立的两种结
果。 2021/6/16
3
成-败型（Bernoulli）实验序列：
满足以下三个条件的n次实验构成的序列称为成 -败型实验序列。
1）每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一 （A或非A）。
二项分布的定义和公式二项分布的定义和基本特征
二项分布的定义和公式二项分布的定义和基本特征二项分布（Binomial Distribution）是概率论中一种常见的离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数X的概率分布。
在二项分布中，每次试验只有两种结果，一种为成功（Success），概率为p；另一种为失败（Failure），概率为1-p。
试验独立重复进行n 次，其中成功事件发生的次数X就是我们关心的随机变量。
P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n次试验中成功发生k次的组合数，计算方式为C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!),n!表示n的阶乘。
1. 期望值：二项分布的期望值E(X)等于n乘以成功事件发生的概率p，即E(X) = np。
期望值表示了试验重复进行n次时，成功事件发生的平均次数。
2. 方差：二项分布的方差Var(X)等于n乘以成功事件发生的概率p乘以失败事件发生的概率1-p，即Var(X) = np(1-p)。
方差表示了试验重复进行n次时，成功事件发生次数的离散程度。
3. 归一性：二项分布是归一概率分布，即所有可能的取值k的概率之和等于1，即∑(k=0 to n) P(X=k) = 14.对称性：在二项分布中，如果成功事件的概率p等于失败事件的概率1-p，即p=1-p，那么二项分布具有对称性。
5.可加性：两个相互独立的二项分布的和仍然是二项分布。
也就是说，如果X1和X2分别是n1和n2次独立重复试验中成功事件发生的次数，那么X1+X2也是n1+n2次独立重复试验中成功事件发生的次数，且满足参数p1=p2=p。
6. 正态近似性：当试验次数n很大，且成功事件发生的概率p不接近0或1时，二项分布可以近似为正态分布。
这是由于中心极限定理的推论。
近似后的正态分布的均值和方差分别为μ = np，σ^2 = np(1-p)。
总之，二项分布广泛应用于概率统计的许多实际问题中，如抽样调查、质量控制、假设检验等。
医学统计学二项分布课件
02
二项分布的数学模型
伯努利试验
伯努利试验
在医学统计学中，伯努利试验是一种经典的随机试验，其特点是每 次试验只有两种可能结果，通常表示为成功和失败。
独立性
在伯努利试验中，每次试验的结果都是独立的，即前一次试验的结 果不会影响后一次试验的结果。
概率
在伯努利试验中，每次试验成功的概率是相同的，记为p。
零假设和备择假设
零假设（H0）
样本数据服从二项分布，即样本数据是随机 变量，且每个试验结果都是独立的。
备择假设（H1）
样本数据不服从二项分布，即样本数据不是 随机变量，或者存在某种依赖关系影响试验
结果。
检验统计量和拒绝域
检验统计量
一般采用卡方检验或似然比检验。
拒绝域
根据检验统计量的分布，可以确定一个临界值，当统计量值超过这个临界值时，就拒绝零假设。
成功概率和失败概率
1 2
定义
在伯努利试验中，成功的概率为p，失败的概率 为q，其中q=1-p。
概率函数
在伯努利试验中，成功的概率函数为p^n，其中 n为试验次数。
3
期望值
在伯努利试验中，期望值是n×p，即n次试验中 成功的次数。
二项分布的概率函数
二项分布
在医学统计学中，二项分布是一种连续 概率分布，描述了在n次独立伯努利试
二项分布与正态分布的区别
二项分布是一种离散型概率分布，描述的是在固定次 数的独立试验中成功的次数，而正态分布是一种连续 型概率分布，描述的是在无限次试验中某件事情发生 的频率
二项分布的形状取决于试验次数n和每次试验成功的概 率p，而正态分布的形状则取决于平均值和标准差
二项分布与连续概率分布的区别
健康相关行为监测
二项分布概念
二项分布概念
二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布。
它是由贝努里始创的，所以又叫贝努里分布。
二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。
所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果。
即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的。
因而两项分布又可说是两个对立事件的概率分布。
二项分布的性质：
二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。
因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。
1、当p＝q时图形是对称的
例2 (p + q)6，p=q＝1/2，各项的概率可写作：
p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6
= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64
= 1
2、当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。
如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。
故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近
似值。
何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq ≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。
统计学复习要点-医学
统计学复习要点-医学总体率的估计（二项分布）：（1）查表法：当样本含量n ≤50，特别是p 很接近于0或1时，按二项分布原理估计总体率的可信区间，可根据样本含量n 和阳性例数X 乾地查表查出总体率的可信区间。
（2）近态近似法：当样本含量n 足够大，且np>5且n(1-p)>5，样本率p 的抽样分布近似正态分布，总体率的可信区间),(2/2/p p S u p S up αα+-已知：n=，p= =-=np p s p )1( np=?>5 n(1-p)=?>5总体率的可信区间)96.1,96.1(pp S p S p +- 实际准备的药物：求出的上下限分别乘以总n 。
正态分布、二项式和泊松分布的关系：二项分布（binomial distribution ）：对只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
Poisson 分布是在π很小，样本含量n 趋于无穷大时，二项分布的极限形式。
当v=∞时，t 分布即为u 分布，趋向正态分布。
正态分布的特征：正态曲线在横轴上方均数处最高；以均数为中心，左右对称；正态分布有两个参数，即均数μ（位置参数）和标准差σ（形状参数），μ越大，曲线沿横轴越向右移动；σ越大，曲张越平阔；正态分布在±1σ处各有个拐点；正态曲线下的面积分布有一定的规律。
t 分布的特征：以0为中心，左右两侧对称的单峰型分布；t 分布曲线的变化与自由度的大小有关，自由度v 越小，则t 值越分散，曲线越低平；自由度v 逐渐增大时，则t 分布逐渐逼近正态分布。
当v=∞时，t 分布即为u 分布。
X s X t/)(μ-= n s s X /= 标准正态分布（u 分布）与t 分布有何异同？答：相同点：t 分布和标准正态分布（u 分布）都是以0为中心的正态分布。
标准正态分布是t 分布的特例（自由度是无限大时）。
不同点：t 分布为抽样分布，u 分布为理论分布；t 分布比标准正态分布的峰值低，且尾部翘得更高；t 分布受自由度大小的影响，随着自由度的增大，逐渐趋近于标准正态分布；t 分布有无数条曲线，而u 分布只有唯一一条曲线。
统计学二项分布
H1：π1≠π2
=0.05
本例 n1=120 ， X1=36 ， p1=X1/n1=36/120=0.30 ；
n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20
查u界值表得0.05<P<0.10。按=0.05水准，不拒绝H0， 即尚不能认为该职业人群颈椎病的发病有性 别差异。
X!(nn !X)!称 为 二 项 系 数 。 总 有 ： x n0P(X)1。
一、二项分布的适用条件和性质
(一) 二项分布的适用条件 1. 每次试验只会发生两种对立的可能结果
之一，即分别发生两种结果的概率之和 恒等于1； 2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的
概率π固定不变；
64.74% ）。
(二)样本率与总体率的比较
1.直接法 在诸如疗效评价中，利用二项分 布直接计算有关概率，对样本率与总体率 的差异进行有无统计学意义的比较。比较 时，经常遇到单侧检验，即“优”或“劣” 的问题。那么，在总体阳性率为π的n次独 立重复试验中，下面两种情形的概率计算 是不可少的。
的估计为:
p
Sp p(1p)/n
2.二项分布的图形 对于二项分布而言， 当π=0.5时，分布是对称的，见图；
图 6 - 1 . = 0 . 5 时 ， 不 同 n 值 下 的 二 项 分 布
当 0.5时，分布是偏态的，但随着n的增
大，分布趋于对称。当n 时，只要π不
10
10
P (X 9 ) P (X )
1!00 .5X ( 5 1 0 .5)15 0 X
二项分布概念及图表和查表方法
目录1 定义▪统计学定义▪医学定义2 概念3 性质4 图形特点5 应用条件6 应用实例定义统计学定义在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)二项分布公式式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况，在此称为二项系数（binomial coefficient）。
所以的含义为：含量为n的样本中，恰好有X例阳性数的概率。
概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
医学统计学：二项分布及其应用
2
2
其中,
sp
p1 p
n
三、二项分布的应用
（二）假设检验
1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚不能认为该地新生儿 染色体异常率与一般人群不同。
当H0成立时, 100例患者中治愈人数的概率分布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同 H1： > 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规疗法 = 0.05
（2） 计算检验统计量 。
本例, 0 =0.65，n=100， x=80 。
u
X n0
n0 10
死 死 生 0.8 0.8 0.2 0.128
1
死 生 死 0.8 0.2 0.8 0.128
生 死 死 0.2 0.8 0.8 0.128
0
死 死 死 0.8 0.8 0.8 0.512
P（x） (5)
0.008
0.096
0.384 0.512 1.000
二项分布剖析课件
公式：$PGF(z) = E(z^X) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1p)^{n-k} z^k$。
特征函数（CF）
特征函数（CF）是二项分布在离散概率空间上的特征函数 ，表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的特征函 数的和。
公式：$CF(t) = E(e^{itX}) = sum_{k=0}^n C_n^k p^k (1-p)^{n-k} e^{itk}$。
二项分布剖析课件
目录
• 二项分布的概述 • 二项分布的性质 • 二项分布的参数 • 二项分布的计算方法 • 二项分布在统计学中的运用 • 二项分布的假设检验 • 二项分布的实例分析
01
二项分布的概述
二项分布的定义
总结词
二项分布是一种离散概率分布，描述 了在n次独立重复的伯努利试验中成 功的次数。
详细描述
二项分布适用于描述具有两种对立结 果的事件，其中每次试验只有两种可 能的结果，即成功或失败，且每次试 验的成功概率是相同的。
二项分布在现实生活中的应用
总结词
二项分布在金融、生物统计学、可靠性工程等领域有广泛应 用。
详细描述
在金融领域，二项分布用于评估投资风险和预期回报；在生 物统计学中，二项分布用于研究遗传学和流行病学中的事件 ；在可靠性工程中，二项分布用于分析产品的寿命和故障率 。
置信区间的确定
要点一
置信区间的概念
在统计学中，置信区间是指在一定置信水平下，样本统计 量可能取值的一个范围。这个范围越小，置信水平越高。
要点二
置信区间计算方法
在二项分布中，置信区间的计算方法通常采用正态近似法 或精确法。正态近似法适用于样本数量较大时，而精确法 适用于样本数量较小时。通过这些方法，可以计算出在一 定置信水平下，成功的次数可能取值的一个范围。
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二项分布概念及图表
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
目录
1 定义
▪统计学定义
▪医学定义
2 概念
3 性质
4 图形特点
5 应用条件
6 应用实例
定义
统计学定义
在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。
实际上，当
时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
医学定义
在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
二项分布（binomial distribution）就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
考虑只有两种可能结果的随机试验，当成功的概率（）是恒定的，且各次试验相互独立，这种试验在统计学上称为伯努利试验（Bernoulli trial）。
如果进行次伯努利试验，取得成功次数为的概率可用下面的二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)
二项分布公式
二项分布公式
P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。
其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)
期望：Eξ=np；
方差：Dξ=npq；
其中q=1-p
证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
因X(k)相互独立，所以期望：
方差：
证毕。
如果
1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；
2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；
3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
二项分布可
二项分布
若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。
C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。
性质
（一）二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。
因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。
1．当p=q时图形是对称的
例如，，p=q=1/2，各项的概率可写作：
2．当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。
如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。
故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。
何谓n很大呢一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。
（二）二项分布的平均数与标准差
如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。
这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：
即x变量具有μ =np，的正态分布。
式中n为独立试验的次数，p为成功事件的概率，q=1- p。
由于n很大时二项分布逼近正态分布，其平均数，标准差是根据理论推导而来的，故用μ和σ而不用X和S表示。
它们的含意是指在二项试验中，成功的次数的平均数μ =np，成功次数的分散程。
例如一个掷10枚硬币的试验，出现正面向上的平均次数为5次(μ= np=)，正面向上的散布程度为√10×（1/2）×（1/2)= (次)，这是根据理论的计算，而在实际试验中，有的人可得10个正面向上，有人得9个、8个……，人数越多，正面向上的平均数越接近5，分散程度越接近。
图形特点
（1）当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值；
（2）当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
注：[x]为不超过x的最大整数。
应用条件
1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。
2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
二项分布公式
3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。
如要求疾病无传染性、无家族性等。
应用实例
二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。
所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。
比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。
凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。
下面给出一个例子。
已知有正误题10题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素
分析：此题，即猜对猜错的概率各为。
，故此二项分布接近正态分布：
根据正态分布概率，当Z=时，该点以下包含了全体的95%。
如果用原分数表示，则为
它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95%，猜对8、9、10题的概率只5%。
因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。
但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全靠猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。
此题的概率值，还可用二项分布函数直接计算，亦得与正态分布近似的结果：
b(8 10 =10*9/2** = 45/1024
b(9 10 =10** = 10/1024
b(10 10 = 1/1024
根据概率加法，答对8题及其以上的总概率为：45/1024+10/1024+1/1024=56/1024 = 同理，可计算8题以下的概率为 95%。
(近似)
⎜ ⎜
附表 1 二项分布表
P {X x } ⎜ n ⎜
p (1 p )
k
⎜k ⎜
n
x p
2 0 2 1
查表方法：本表对于n、p、x给出二项分布函数P（x；n，p）的数值。
例：对于n=11，p=和x=0，P（x；n，p）=。