实验十三 二项分布的计算与中心极限定.
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
中心极限定理的内涵和应用
中心极限定理的涵和应用在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1：定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记nn XY ni in σμ-=∑=1则对任意实数y ，有{}⎰∞--∞→=Φ=≤yt n n t y y Y P .d e π21)(lim 22（1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ϕ，则n Y 的特征函数为nY n t t n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(σϕϕ又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0ϕ'=0，2)0(σϕ-=''。
于是，特征函数)(t ϕ有展开式)(211)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σϕϕϕϕ从而有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+∞→+∞→nn Y n n t o nt t n )(21lim )(lim 22ϕ22t e -而22t e-正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
这个中心极限定理是由林德贝格和勒维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们，对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。
《二项分布》知识点整理【DOC可编辑范文】
《二项分布》知识点整理二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验二：超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有件次品，抽检n件时所得次品数X=，则P此时我们称随机变量X服从超几何分布）超几何分布的模型是不放回抽样）超几何分布中的参数是,N,n上述超几何分布记作X~H。
二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B，并记。
独立重复试验：独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率．独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的．独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，的意义，才能正确运用公式．二项分布的判断与应用：二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布．当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列．求独立重复试验的概率：在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即…，n)是第i次试验的结果．独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，的意义。
中心极限定理
1 n P{0.09 ≤ ∑Xk ≤ 0.11 } n k=1
欲使 即 查表得
n 2Φ( ) −1 ≥ 0.95 30 n Φ( ) ≥ 0.975 30 即至少应取球3458次 即至少应取球 次 才能使“ 出现的频 才能使“0”出现的频 n ≥ 1.96 率在 率在0.09-0.11之间的 之间的 30 概率至少是0.95. 概率至少是
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题. 特有的规律性问题 无限增大时， 当n无限增大时，这个和的极限分布是 无限增大时 什么呢？ 什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 由于无穷个随机变量之和可能趋于 ， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑 故我们不研究 个随机变量之和本身而考虑 它的标准化的随机变量
于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N)
N −120 −120 ≈ Φ( ) − Φ( ) 48 48 N −120 ≈ Φ( ) 48
N −120 )≥0.999， 查正态分布函数表得 由 Φ( ， 48 Φ(3.1) = 0.999 N −120 故 ≥ 3.1, 48
从中解得N≥141.5, 从中解得
千瓦， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦， 由于每台车床在开工时需电力 千瓦 N台工作所需电力即 千瓦 ） 台工作所需电力即N千瓦 台工作所需电力即 千瓦.）
由德莫佛-拉普拉斯极限定理 由德莫佛 拉普拉斯极限定理
X − np 近似N(0,1), 近似 np(1− p)
这里 np=120, np(1-p)=48
定理1（独立同分布下的中心极限定理） 定理 （独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 是独立同分布的随机 变量序列， 变量序列，且E(Xi)=µ ，D(Xi)= σ 2 ， i=1,2,…，则 ，
斯特林公式证明二项分布中心极值
斯特林公式证明二项分布中心极值好的，以下是为您生成的关于“斯特林公式证明二项分布中心极值”的文章：咱先来说说啥是二项分布哈。
想象一下，你扔硬币，正面朝上算成功，反面朝上算失败。
你扔了 n 次，成功的次数 X 就服从一个叫二项分布的家伙。
这二项分布啊，在概率统计里可重要啦。
那斯特林公式又是啥呢？它能帮咱们把一个很大的阶乘给近似地算出来。
咱们来看看怎么用斯特林公式证明二项分布的中心极值。
先把二项分布的概率质量函数写出来：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里的 C(n, k) 就是从 n 个里面选 k 个的组合数。
咱来分析分析这个式子。
当 n 很大的时候，直接算 C(n, k) 可太费劲啦。
这时候斯特林公式就派上用场啦。
斯特林公式说 n! 约等于√(2πn) * (n / e)^n 。
咱把 C(n, k) 用阶乘展开：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) 。
然后把斯特林公式带进去，一通化简，就能发现一些有趣的东西。
我记得有一次给学生讲这个的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这一堆公式到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“就好比你要去一个很远的地方，这些公式就是你的交通工具，能让你更快更准地到达目的地。
”经过一番推导，咱们能发现，当 k 接近 np 时，P(X = k) 取得最大值。
这就是二项分布的中心极值。
比如说，一个班级里有 50 个学生参加考试，及格的概率是 0.8。
那及格的人数大概就在 50 * 0.8 = 40 左右的时候最多。
再深入想想，这在实际生活里用处可大啦。
比如调查某种疾病的发病率，或者估计产品的合格率。
总之，通过斯特林公式证明二项分布的中心极值，让咱们对概率的世界有了更深刻的理解，能更好地解决各种实际问题。
就像有了一把神奇的钥匙，能打开很多未知的大门。
希望大家都能掌握这个有趣又有用的知识，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
二项分布计算公式
二项分布计算公式二项分布是概率论中一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件的次数的概率分布。
该概率分布的计算公式如下：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示事件发生k次的概率；C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功的组合数；p表示每次试验成功的概率；n表示试验的总次数。
接下来，我们将详细解释二项分布的计算公式。
首先，我们来解释组合数C(n,k)的含义。
组合数C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
它的计算公式为：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1；k!表示k的阶乘，即k!=k*(k-1)*(k-2)*...*2*1；(n-k)!表示(n-k)的阶乘。
例如，从5个元素中选择2个元素的组合数为：C(5,2)=5!/(2!*(5-2)!)=5!/(2!*3!)=(5*4)/(2*1)=10计算得到的组合数10表示从5个元素中选择2个元素的组合数有10种可能。
其次，我们来解释p^k和(1-p)^(n-k)的含义。
p^k表示每次试验成功的概率为p，且连续k次试验均成功的概率。
(1-p)^(n-k)表示每次试验失败的概率为1-p，且连续(n-k)次试验均失败的概率。
例如，物体的制造过程中，每次试验成功的概率为0.2，总共进行了5次试验。
那么，连续2次试验成功的概率为：p^k=0.2^2=0.04连续3次试验失败的概率为：(1-p)^(n-k)=(1-0.2)^(5-2)=0.8^3=0.512最后，我们来解释P(X=k)的含义。
P(X=k)表示在n次独立重复的伯努利试验中，发生其中一事件恰好k次的概率。
它的计算公式为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)例如，其中一种病在地区的发生率为0.1，随机选择100个人进行检测。
二项分布的极限分布是正态分布证明
二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在实际应用中，很多事件可以看作是伯努利试验的重复，因此二项分布在实际问题中有着广泛的应用。
而在许多情况下，当伯努利试验的次数n较大时，二项分布的极限分布会近似地服从于正态分布。
本文将就二项分布的极限分布是正态分布进行证明和推导。
1. 二项分布的定义我们先来了解一下二项分布的定义。
设有一独立重复进行n次的伯努利试验，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
在这种情况下，试验成功的次数X服从二项分布，其概率质量函数为：P(X=k)=C(n, k)p^kq^(n-k), k=0, 1, 2, ..., n。
其中C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，其具体定义为：C(n, k)=n!/(k!(n-k)!)。
2. 二项分布的均值和方差二项分布的均值和方差为：E(X)=np,Var(X)=npq。
当n较大时，二项分布的极限分布会近似地服从于正态分布。
下面我们将对此进行证明。
3. 二项分布的极限分布是正态分布的证明当n较大时，二项分布的极限分布可以使用中心极限定理进行证明。
中心极限定理指出，当独立同分布的随机变量的个数足够多时，它们的和的分布近似地服从于正态分布。
对于二项分布来说，试验成功的次数X可以看作是n次独立重复的伯努利试验的和，因此当n较大时，X的分布近似地服从于正态分布。
为了具体地证明二项分布的极限分布是正态分布，我们令Y=(X-np)/sqrt(npq)，则有：E(Y)=0，Var(Y)=1。
根据中心极限定理，当n较大时，Y的分布近似地服从于标准正态分布。
将Y的定义代入可得：Y=(X-np)/sqrt(npq)，则有：X=np+sqrt(npq)Y。
由于Y近似地服从于标准正态分布，因此X近似地服从于均值为np，方差为npq的正态分布。
4. 证明总结当独立同分布的随机变量的个数足够多时，其极限分布近似地服从于正态分布。
二项分布公式了解二项分布的计算公式
二项分布公式了解二项分布的计算公式二项分布公式是概率论中的一个重要公式，它用来计算在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生 k 次的概率。
本文将介绍二项分布的概念，并详细解释如何使用二项分布公式进行计算。
1. 二项分布概述二项分布是概率论中最基本的离散概率分布之一，它描述了在一系列独立重复的伯努利试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
伯努利试验是指每次试验只有两个可能结果的情况，比如抛硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布公式在二项分布中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q = 1 - p。
那么进行 n 次独立重复的伯努利试验，成功事件发生 k 次的概率可以用二项分布公式来计算：P(X = k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X = k) 表示成功事件发生 k 次的概率，C(n,k) 表示从 n 次试验中取出 k 次成功事件的组合数，p^k 表示成功事件发生 k 次的概率，q^(n-k) 表示失败事件发生 n-k 次的概率。
3. 二项分布计算示例假设有一个骰子，投掷 6 次，每次的成功事件是投出数字 6。
那么我们可以使用二项分布公式计算出投出 6 恰好出现 4 次的概率。
n = 6，k = 4，p = 1/6，q = 1 - p = 5/6根据二项分布公式，我们有：P(X = 4) = C(6,4) * (1/6)^4 * (5/6)^(6-4)计算 C(6,4) 得到：C(6,4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 15将数值代入公式计算得到最终结果：P(X = 4) = 15 * (1/6)^4 * (5/6)^2 ≈ 0.1938所以投掷骰子恰好投出 6 的概率为约 0.1938。
4. 二项分布的应用二项分布广泛应用于实际生活中的概率计算，比如：- 预测某个广告在特定人群中的点击率。
- 检验某种产物是否合格，统计合格品率。
- 研究药物治疗效果，统计患者痊愈率。
二项分布的计算过程
二项分布的计算过程嘿，朋友们！今天咱来唠唠二项分布的计算过程。
这玩意儿啊，就好像是生活中的一场有趣游戏。
咱先说说啥是二项分布。
想象一下，你在扔硬币，每次扔出正面或反面的概率都是一半一半，这就是个简单的例子。
或者说你在抽奖，只有中奖和不中奖两种结果，这也能看作是二项分布。
那怎么算呢？咱就拿扔硬币来说吧。
比如说你扔五次硬币，想知道恰好三次正面的概率是多少。
嘿，这时候就该二项分布出马啦！首先呢，你得知道总共可能出现的情况有多少种，这就好比是有多少个不同的“剧本”。
在这里，就是 2 的 5 次方，等于 32 种。
然后呢，咱要找到恰好三次正面的情况有几种。
这就像在那 32 个“剧本”里挑出符合条件的。
这里可以用组合数来算，算出来是 10 种。
最后，把这符合条件的情况数除以总情况数，不就得到概率啦！是不是挺有意思的？再比如说抽奖，假设有 10 个人抽奖，只有一个奖品，每个人中奖的概率是十分之一。
那你想算某个人恰好第三次抽奖才中奖的概率是多少。
这也能用二项分布来算呀！先算出所有可能的抽奖顺序，就是 10 的 10 次方，那可真是个大数字。
然后找到第三次才中奖的情况有几种，再算概率。
你说这像不像在生活中找一种特定的可能性？就好像你在茫茫人海中找那个对的人，或者在一堆工作机会中找最适合你的那个。
这过程可不简单，但一旦找到了，那种成就感，哇，别提多棒了！二项分布的计算过程其实并不难，只要你掌握了方法，就跟玩游戏一样。
有时候你可能会算错，但那又怎么样呢？谁还没个失误的时候呀，重新再来呗！而且你会发现，通过计算这些概率，你对很多事情的理解会更深刻。
总之，二项分布就是这样一个有趣又有用的东西。
它能帮我们理解生活中的很多随机现象，让我们对不确定的世界有更多的把握。
所以啊，大家可别小瞧了它，好好去研究研究，说不定能给你带来很多惊喜呢！。
二项分布的中心极限定理
二项分布的中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中一项重要而强大的定理，它深刻地阐述了二项分布在特定条件下的极限行为。
本文以生动的方式解释中心极限定理的含义和应用，并为读者提供一些指导意义。
二项分布是离散概率分布的一种形式，它描述了在n次独立重复试验中成功的次数。
例如，在投硬币的实验中，假设我们连续投掷n 次，每次的成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。
如果硬币是公平的，我们可以用二项分布来描述在n次投掷中正面朝上的次数。
具体而言，二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示在n次试验中成功k次的概率，C(n,k)是组合数，p是每次试验成功的概率，(1-p)则是失败的概率。
然而，当我们试图从一个很大的二项分布中计算和理解结果时，面临的计算和解释难题可能会变得非常困难。
这时，中心极限定理的出现就提供了一个非常有用的近似方法。
中心极限定理指出，当n足够大时，二项分布可以近似地由正态分布来描述。
简单地说，中心极限定理表明，当我们进行大量独立试验时，这些试验的和或平均值将呈现出近似正态分布的特性。
这一定理适用于满足一定条件的任何概率分布，不仅仅适用于二项分布。
这个定理的实际含义是什么呢？以一个例子解释可能更容易理解。
假设我们有一个非常大的人群，每个人都独立地做一个有二项分布的任务，而每个任务成功的概率相同。
例如，我们可能在一个足球场上观察所有观众的掌声情况。
如果我们测量来自每个观众的掌声次数，并将这些次数相加，根据中心极限定理，这个总和将近似为一个正态分布。
通过使用正态分布来近似二项分布，我们可以更好地理解和分析问题。
正态分布具有许多有用的性质，例如，我们可以用均值和标准差来描述它，从而更好地理解数据的变异性和趋势。
此外，通过计算正态分布的概率密度函数或使用标准正态分布表，我们可以计算和解释我们感兴趣的事件概率。
二项分布的计算步骤
二项分布的计算步骤嘿，咱今儿来聊聊二项分布的计算步骤哈！你说这二项分布，就像是个神秘的宝盒，得用对钥匙才能打开它的秘密呢。
先来说说啥是二项分布呀。
你就想象有一堆事儿，每次就两种结果，要么成，要么不成，而且每次的结果都相互独立，就跟那自个儿玩自个儿的似的。
那在这种情况下，咱要怎么去算呢？第一步，得先确定好试验次数 n 呀。
这就好比你要走多少步路，得心里有数吧。
比如说你抛硬币十次，那这 n 就是 10 啦。
第二步呢，就是找到每次试验成功的概率 p。
这就好像是知道了走这一步成功的可能性有多大。
比如说抛硬币正面朝上的概率是二分之一。
接下来第三步，就可以开始计算啦！咱就用那个公式，算各种情况出现的概率。
就好像是在拼凑一幅拼图，一块一块地找对位置。
你想想看，这是不是有点像搭积木呀，一块一块地往上堆，最后堆出个漂亮的造型。
二项分布的计算也是这样，一步一步地来，最后得出个结果。
要是你不仔细去算，那可就乱套啦！就像你走路不看路，那不得摔跟头呀。
而且这计算过程中，可不能马虎，一个数错了，那结果可就全错啦，那不就白忙乎啦！咱再举个例子哈，比如说你投篮，投中一次的概率是 0.3，你投十次，那咱就可以用二项分布来算算投中几次的概率分别是多少。
这多有意思呀！其实啊，二项分布在生活中好多地方都能用得到呢。
比如抽奖啊，考试啊，好多好多。
你要是学会了怎么算，那可就像有了个秘密武器，能知道好多事儿的可能性呢。
所以啊，别小瞧了这二项分布的计算步骤，它可是能帮咱解决不少问题的呢。
好好去琢磨琢磨，去实践实践，你就会发现它的奇妙之处啦！怎么样，是不是觉得挺好玩的呀？赶紧去试试吧！。
二项分布精确概率法
二项分布精确概率法想象一下，你有一个神奇的小盒子，盒子里装着好多彩色的小球。
小球只有两种颜色，红色和蓝色。
咱们来做个小实验，从这个盒子里每次拿一个球，拿完之后再把球放回去，这样拿很多次。
我们可以把每次拿球都看成是一次小小的冒险。
拿5次球就像是进行了5次小冒险。
那拿到3个红球的情况呢，就好像是在这5次冒险里，有3次成功（拿到红球就算成功），2次失败（拿到蓝球就算失败）。
那怎么算这个可能性呢？我们可以这样想。
第一次拿到红球的可能性是0.6，第二次也是0.6，第三次还是0.6，那这三次都拿到红球的可能性就是0.6×0.6×0.6啦。
可是还有两次是拿到蓝球的，每次拿到蓝球的可能性是0.4，那这两次拿到蓝球的可能性就是0.4×0.4。
但是呢，这3个红球和2个蓝球出现的顺序是有很多种的。
就像把3个红苹果和2个青苹果排成一排，有好多排法呢。
我们得把所有可能的排法都算进去。
经过聪明的数学家们的研究，这个排法的数量可以用一个组合数来表示。
就拿我们这个例子来说，5次里面选3次拿到红球的组合数是10种。
那最后刚好拿到3个红球的可能性就是10×0.6×0.6×0.6×0.4×0.4啦。
就像前面算小球的例子一样，2次捞到金色鱼的概率是0.3×0.3，3次捞到银色鱼的概率是0.7×0.7×0.7，5天里选2天捞到金色鱼的组合数是10种。
那这个小朋友5天里捞到2次金色鱼的概率就是10×0.3×0.3×0.7×0.7×0.7啦。
二项分布概率公式计算
二项分布概率公式计算二项分布的概率公式，听起来就像是数学课上最无聊的内容，但其实它就像一块美味的蛋糕，里面藏着很多惊喜。
想象一下，你在一次聚会上，拿到了一个装满糖果的袋子。
你兴奋地把手伸进去，想要抓几颗出来。
现在，问题来了：如果你抓了十颗糖果，其中有多少颗是你最喜欢的那种呢？这就是二项分布要解决的问题，简单又有趣，对吧？让我们来看看这个公式。
它是这样的：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1p)^(nk)。
哦，这些字母看起来很复杂，但别怕。
这里的“P(X=k)”就是你想要的结果的概率，比如说你抓到的糖果里有k颗是你喜欢的。
然后“C(n, k)”是组合数，别担心，简单说就是从n个糖果中挑k个的方式有多少种。
“p”是你最喜欢的糖果出现的概率，而“(1p)”则是其他糖果的概率。
听起来像是在说外星语，但只要抓住这几个要点，就能理解了。
我们来聊聊这个公式的应用。
想象一下你在彩票店买了十张票，你的心里满是期待。
你是不是希望能中个大奖呢？那你就可以用这个公式来计算一下，假如你手里的彩票中，有多少张能中奖。
是的，二项分布就能帮助你评估这个中奖的可能性，听起来是不是很酷？当然了，中奖的概率通常是非常低的，但我们人总是怀抱着希望，对吧？说到希望，大家都知道生活不可能总是一帆风顺，二项分布也是如此。
就像你每次尝试的事情，有成功也有失败。
但二项分布告诉我们，只要你有足够的尝试，总会有成功的机会。
这就像你在生活中，不管遇到多少次拒绝，总有一次会让你心花怒放。
它鼓励我们勇敢去尝试，因为每一次尝试都是一次新的机会。
二项分布也让我们看到概率的魅力。
你可能会想，概率这东西到底有什么用呢？它能帮助我们做出更好的决策。
比如说，你在选择餐馆时，如果知道某家餐厅的好评率有80%，而另一家只有50%，你一定会选择前者吧？这就是在生活中运用概率的例子，没错，概率让我们的生活更简单、更高效。
我们要提到的一个小秘密就是，二项分布不仅仅是数学的工具，它还在科学研究、金融决策等领域发挥着巨大的作用。
二项分布最大值公式
二项分布最大值公式二项分布这个概念，在咱们数学学习里可算得上是一个挺重要的家伙。
特别是那个二项分布最大值公式，更是关键中的关键。
咱先来说说啥是二项分布。
比如说，你抛硬币，抛 10 次，正面朝上的次数就可能符合二项分布。
假设每次抛硬币正面朝上的概率是0.5，抛 10 次，那正面朝上 5 次左右的可能性最大。
二项分布最大值公式就像是一个神奇的工具，能帮咱们算出在特定情况下，出现次数最多的那种情况。
我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我当时就笑了，跟他们说：“你们想想啊，假如咱们是生产零件的厂家，知道某个工序出现次品的概率符合二项分布，那通过这个最大值公式，就能大概知道最可能出现多少个次品，提前做好准备，是不是能省不少事儿？”那这个公式到底咋用呢？咱们先来看个例子。
假设进行一项实验，成功的概率是 p ，重复 n 次。
那么二项分布最大值就出现在 [ (n + 1) p ] 这个整数附近（这里 [ ] 表示取整）。
比如说，有个抽奖活动，中奖概率是 0.2 ，一共抽 20 次。
那通过公式算一下，[ (20 + 1)×0.2 ] = 4.2 ，取整就是 4 。
所以中奖次数最有可能是 4 次左右。
在实际应用中，二项分布最大值公式用处可大了。
就像搞市场调查，了解某种产品的受欢迎程度；或者是医学研究中，判断某种治疗方法的有效次数等等。
咱们再回到学习上，有些同学刚开始接触这个公式的时候，总是觉得头疼，记不住。
其实啊，多做几道题，多结合实际例子想想，就会发现也没那么难。
我之前教过一个学生小李，他特别聪明，但是一碰到这个公式就犯糊涂。
我就专门给他找了好多实际生活中的例子，让他自己去分析。
比如算一算班级里某次小测验，得满分的最可能人数；或者算一算学校门口小吃摊一天卖出某种热门小吃的最可能份数。
慢慢地，小李就开窍了，后来再遇到相关的题目，做得那叫一个顺溜。
所以啊，同学们，别被这个公式吓住。
初中数学 如何计算二项分布的概率
初中数学如何计算二项分布的概率计算二项分布的概率涉及到组合数学和概率论的知识。
二项分布是描述在n次独立重复实验中，事件发生次数的概率分布。
在每次实验中，事件有固定的概率p 发生，记为P(event) = p，事件不发生的概率记为P(no event) = 1 - p。
现在，让我们来详细讨论如何计算二项分布的概率。
首先，我们需要明确以下三个基本概念：1. 单次实验中事件发生的概率p。
2. 事件不发生的概率q = 1 - p。
3. 总共进行n 次独立实验。
接下来，我们将通过以下步骤计算二项分布的概率：步骤一：确定要计算的事件发生次数k。
在二项分布中，我们通常希望计算事件发生k 次的概率。
这里k 的取值范围是0 到n，即事件不发生到事件发生n 次。
步骤二：计算事件发生k 次的概率。
事件发生k 次的概率可以用二项分布概率公式来计算：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k) 表示组合数，即从n 次实验中选取k 次事件发生的方式数，计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)；p 是事件发生的概率；q 是事件不发生的概率。
步骤三：计算事件发生次数小于等于k 的概率。
如果我们想计算事件发生次数小于等于k 的概率，可以通过累加事件发生k 次及以下的概率来实现：P(X<=k) = Σ P(X=i) (i=0 to k)步骤四：计算事件发生次数大于等于k 的概率。
类似地，如果我们想计算事件发生次数大于等于k 的概率，可以通过累加事件发生k 次及以上的概率来实现：P(X>=k) = Σ P(X=i) (i=k to n)步骤五：计算事件发生次数在区间[a, b] 内的概率。
如果我们想计算事件发生次数在区间[a, b] 内的概率，可以通过累加事件发生次数在 a 到b 之间的概率来实现：P(a<=X<=b) = Σ P(X=i) (i=a to b)通过以上步骤，我们可以计算二项分布中各种事件发生次数的概率，从而更好地理解和应用二项分布的概念。
二项分布最大概率项的取法
二项分布最大概率项的取法哎呀，这可是个难题啊！不过别急，听我慢慢道来。
话说二项分布最大概率项的取法，其实就是让我们在两个选项之间做出选择，而且这个选择会影响到我们的成功率。
那么，我们该如何才能做出最佳决策呢？我们得了解一下二项分布的基本概念。
二项分布是指在一个独立的实验中，有两种可能的结果，而且每种结果发生的概率都是相等的。
这个概率就是成功的概率，而失败的概率就是1减去成功的概率。
比如说，我们抛一个硬币，正面朝上的概率是0.5,反面朝上的概率也是0.5。
这就是一个典型的二项分布。
那么，二项分布最大概率项的取法是什么呢？其实很简单，就是要找到那个能让我们在两种选项之间取得最大概率的决策。
这个决策可能是根据我们的经验和直觉来做出的，也可能是通过计算和分析得出的。
我们要做的就是在这个决策的基础上，尽可能地提高我们的成功率。
那么，如何才能做出这样的决策呢？这里有几个小技巧可以借鉴一下。
我们要了解每个选项的优缺点。
比如说，如果我们要在两个工作机会之间做出选择，那么我们就要比较这两个工作的薪资、福利、发展前景等因素，看看哪个更符合我们的需求和期望。
我们要考虑风险和收益的关系。
有时候，一个看似高风险的选项可能会带来更大的收益，而一个看似低风险的选项可能会导致我们的损失加大。
我们还要学会权衡利弊。
在面对多个选项时，我们往往需要在不同的利益之间进行取舍，找到一个平衡点。
当然了，这些技巧并不是一成不变的。
在不同的情境下，我们需要根据具体情况来调整我们的决策策略。
有时候，我们需要更加谨慎小心；有时候，我们需要更加大胆冒险。
关键是要保持清醒的头脑和平和的心态，不要被一时的情绪所左右。
好了，说了这么多，相信大家对二项分布最大概率项的取法已经有了一些初步的认识了。
在实际生活中，我们会遇到各种各样的选择题。
有时候，这些选择题会让我们感到困惑和无助；有时候，它们又会成为我们成长和进步的机会。
无论遇到什么样的选择题，我们都要坚持自己的信念和原则，勇敢地迈出那一步。
与二项分布相关的极限定理
Course Education Research
2018 年第 30 期
与二项分布相关的极限定理
教学窑信息
聂凡皓
渊石家庄二中 河北 石家庄 050000冤
揖摘要铱本文主要介绍了与二项分布相关的一些极限定理袁在第一部分首先介绍了三种常见的离散型随机变量袁他们分别服
从二项分布尧超几何分布和泊松分布曰在第二部分分别介绍了超几何分布与二项分布的极限定理以及二项分布和泊松分布之间
故当 N 足够大时袁超几何分布逼近了二项分布遥
从超几何分布和二项分布所代表的实际意义来看袁我们假
设蓝色小球总数 M 占小球总数 N 的比例一定袁也就是说蓝色
小球的概率是确定的袁并且当小球总数 N 足够多袁抽取的小球
数 n 比较少时袁我们进行有放回的抽取小球和无放回的抽取小
球袁抽到蓝色小球的概率几乎是不变的袁也就是说从所有小球
X2耀H(N袁n袁M). 超几何分布的概率分布:
k n-k
P(X2=k)=
CM CN-M
n
.
CN
. Al其渊l三中冤R泊袁ik沂松g{分h0t袁布1s袁2袁R噎e袁smeinr{nv袁Med}}..
假设随机变量 X3 的可能取值为一切非负整数值袁并且袁
P(X3=k)=
姿k k!
e-姿袁k=0袁1袁2袁噎.
动袁谈一谈微课在小学数学野空间与图形冶教学中的应用策略袁希望能够对有关的教育教学起到一定的参考和启示作用遥
k
pn
(1-pn)n-k
=
n(n-1)噎(n-k+1) k!
k
pn
(1-pn)n-k
注意到袁
lim (n-m)pn=姿
n寅肄
两点分布和中心极限定理(总)
两点分布和中心极限定理1 两点分布伯努利分布(the Bernoulli distribution)，又名两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，为纪念瑞士科学家雅各布·伯努利而命名。
若伯努利试验成功，则伯努利随机变量取值为1。
若伯努利试验失败，则伯努利随机变量取值为0。
记成功的概率为p ，失败的概率为1q p =-。
pdf 为：()()1if 111if 00otherwisexx px f x p p p x -=⎧⎪=-=-=⎨⎪⎩CDF 为：()000111for x F X qfor x for x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩期望为：()()100i i i E X x f x p p ===+=∑方差为：()()()()12i i D X x E X f x pq ==-=∑峰度为：2661p p pq -+信息熵为：ln ln q q p p --2 中心极限定理中心极限定理：设从均值为μ、方差为2σ（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n 的样本，当n 充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为2/n σ的正态分布。
2.1 德莫佛-拉普拉斯(De Movire -Laplace)定理二项分布（两点分布）的中心极限定理，为中心极限定理的特殊形式之一。
2.1.1 定理设n μ为n 重伯努利试验中事件A 出现的次数，已知每次试验事件A 出现的概率为p ，01p <<，则对任意x ，有()2/2lim d xt n P x x et --∞→∞⎛⎫⎪<=Φ=⎪⎭⎰2.1.2 证明随机变量n μ可表示为n 个独立的服从()1,B p 分布的随机变量()1,2,,i X i n =和和，即1nn i i X μ==∑，而()i E X p =，()()1i D X p p =-，1,2,,i n =，由独立同分布的中心极限定理有：2/2lim lim d n i x t n n X np x x t -→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪⎪<=<=⎪⎪⎭⎪⎭∑⎰由此定理可知，正态分布是二项分布（两点分布）的极限分布，因此，当n 很大时，有如下所示的近似计算二项分布的常用方法：()()()()212/2121d m n mm m m t n n m C p p P t P m m e βαμβα-=-=-⎛⎫=<<≈=≤≤Φ-Φ∑ 其中()x Φ为()0,1N 的分布函数，且αβ==2.2 中心极限定理的证明设{}i ξ是独立随机变量序列，i ξ服从相同分布，且()i E ξμ=，()20i D ξσ=>，则当n →∞时，有：()limninnP x xξμ→∞⎛⎫-⎪⎪≤=Φ⎪⎪⎝⎭∑证明：记i iζξμ=-，ninnξμη-=∑iζ独立同分布且()0iEζ=，()2iDζσ=，设iζ的特征函数为()tφ，从而nη的特征函数为：()nntηφφ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦把()tφ展开得到幂级数：()()22212t t O tσφ=-+()222112nntt t On nηφσ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦因此()2/2limntnt eηφ-→∞=由于2/2te-是连续函数，它对应的分布函数为()xΦ，故由逆极限定理，有()limninnP x xξμ→∞⎛⎫-⎪⎪≤=Φ⎪⎪⎝⎭∑证毕。
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实验十三二项分布的计算与中心极限定[实验目的]1.研究用Poisson逼近与正态逼近进行二项分布近似计算的条件2.检验中心极限定理§1 引言二项分布在概率论中占有很重要的地位。
N次Bernoulli实验中正好出现K次成功的概率有下式给出b k;n,p C n k p k1p n k,k=0,1,2,……..n.二项分布的值有现成的表可查，这种表对不同的n及p给出了b(k;n.p)的数值。
在实际应用中。
通常可用二项的Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。
在本实验中，，我们来具体地研究在什么条件下，可用Poisson逼近与正态逼近来进行二项分布的近似计算。
在概率论中，中心极限定理是一个很重要的内容，在本实验中，我们用随即模拟的方法来检验一个重要的中心极限定理——Liderberg-Levi中心极限定理。
§2 实验内容与练习1．1二项分布的Poisson逼近用Mathematica软件可以比较方便地求出二项分布的数值。
例如n=20;p=0,1;Table[Binomial[n,k]*p^k*(1-p)(n-k),{k,0,20}]给出了b(k;20,0.1)(k=0,1,2,…..,20)的值。
联系 1 用Mathematica软件给出了b(k;20,0.1),b(k;20,0.3)与 b (k;20,0.5)(k=0,1,2,…..,20)的值。
我们可用Mathematica软件画出上述数据的散点图，下面的语句给出了b(k;20.0.1)的（连线）散点图（图13。
1）：LISTpOLT[table[Binomi al[20,k]*0.1^k*0.9^(20-k),{k,0,20}],PlotJoined->True]图13.1 b(k;20,0.1)b k;n,p C n k p k1p n k (k=1,1,2,……,20)的散点图练习2绘出b(l;20,0.3)与b(k;20,0.5)(k=0,1,2,…,20)的散点图根据下面的定理，二项分布可用Poisson分布来进行近似计算。
定理13。
1 在Bernoulli实验中，以P n 代表事件A在试验中出现的概率，它与试验总数有关.如果np n→→λ，则当n→∞时，b k;n,pkke。
由定理13，1在n很大，p很小，而λ=np大小适中时，有b k;n.pc kn p k1p n kkke练习 3 用Poisson逼近给出b(k;100,0.01)(k=0,1,2,….,100)与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,…,1000)的近似值，并与它们的精确值比较，表13，1二项分布的Poisson逼近表13。
1给出了b(k;100.0.01)(k=0,1,2,…10)（表中即位b1(k)与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,,,,..10)（记为b2(k)的Poisson逼近的近似值记为p9k）与它们的精确值的比较，其中r1(k)=/b1(k)-p9k）/,r2(k)=/b2(k)-p(k)/从表13。
1可以看出，用Poisson分布来计算b(k;1000,0.001)比b(k;100,0.01)的效果好得多，我们可以画出它们的散点图（图13。
2）来观察近似计算的效果，下面的程序给出了b(k;20,0.1)的Clear n,k,l,p,b;b k_.n_.p_:Binomial n,k p^k l p^n p;l 2.0;n20;p l n;t1Table k,N b k,n,p,k,0,20;g1ListPlot t1,PlotJoined True,PlotStyle GrayLevel0.2,Thicknes0.001,PlotRange0.20,0,0.3pas k_,n_,p_:l^k k Exp1;t2Table k,N pas k,n,p,k,0,20;g2listPlot t2,PlotJoined true,PlotStyle GrayLevel0.1,Dashing0.002,Thickness0.01,PlotRange0,20,0,0.3;Show g1,g2;近似计算的精确值的比较图13。
2b(k;20,0.1)的Poisson近似计算的精确值的比较练习4绘出b(k;100,0.01)与b(k;1000,0.001)的近似计算与精确计算的散点图。
那么n,p,λ。
到底取何值时，我们可以用Poisson分布来近似计算二项分布的值呢？我们可以用误差来作为衡量标准评价缉私的效果若n与p给定，则b(k;n,p)与其Piosson逼近的误差是的k函数；根据上式可以定义二项分布的Poisson逼近的误差定义13。
2若n,p给定，我们定义二项分布b(k;n,p)(k=0,1,……p)的Poisson逼近的误差为；差通过简单的程序运算我们可以求得；p100,0.01=1.85*10-3 p1000,0.001=1.84*10-4练习5通过编程求出在n=10,100,1000与10000,λ=0.1,1与10时，二项分布的Poisson 逼近的误差，填入表13，2；你能从中发现什么规律那？在一定条件下我们可以认为，若绝对误差p<=10-3，则可以接受近似计算结果在λ=1时，若n=100,p=0.01，则p100,0.01=1.85 10-3>10-3，不能接受计算结果，即此时不能用Poisson逼近来缉私计算二项分布的值，若n=1000,p=0.001，则p1000,0.001=1.84 10-4<10-3，此时可用Poisson逼近来缉私计算二项分布的值，对λ=1，我们可以用编程求出n=2,3,…..1000的对应的Poisson二项分布的逼近的误差，图13。
3就是误差的散点图。
在λ=1时，要使绝对误差p>=10-3，必须n>=185练习6在λ=0.1,0.5,2.0,5.0,10.0时，n取何值，可使绝对误差p<=10-3？图13。
3Poisson逼近的误差(λ=1)练习7 若误差标准该为p<=10-4或其它的数据，研究上面对应的问题，练习8 对于n,p,λ到底取何值时，可以用Poisson分布来近似计算二项分布的值，你有什么结论？2．2 二项分布的正态逼近2．1节中讨论了用Poisson逼近来近似计算二项分布的问题。
在实际应用中，我们还可以用正态逼近来近似计算二项分布。
计算的根据是局部极限定理，在n-> 时，有C n k p k q k 1npqexp12k npnpq21.图13.4b(k;20,0.1)的正态逼近近似计算与精确的比较图13。
4是b(k;20,0.1)的正态逼近的近似值与精确的比较的散点图。
图 13。
5用另一种方式更直观地显示出逼近的效果。
图13。
5中，阶梯函数给出概率C n k p k q n-k,而曲线则给出对应的正态分布密度函数。
其Mathematica程序如下：n20;p0.1;q1p;tab Table Binomial n,k p^k1p^n k,k,0.20;f k_:Graphics GrayLevel0.5,Rectangle k0.5,0,k0.5,tab k1;g1Table f k,k,0,20;h x_:1Sqrt2Pi n p qExp x p Sqrt n p q^2 2.0;g2Plot h x,x, 2.0,15,PlotRange2,15,0,0.3;Show g1,g2,PlotRange2,15,0,0.3,Axes True由于n的取值比较小，我们可以看出，近似的效果不是很好。
练习9用正态逼近给出b(k;100,0.01)(k=0,1,2,…,100)与b(k;1000,0.001)(k=0,1,2,…,1000)的近似值，与它们的精确值作比较。
做出近似计算与精确计算的散点图。
练习10做出b(k;100,0.01)与b(k;1000,0.001)的阶梯函数与对应的正态分布密度函=数曲线，观察其效果。
若n与p给定，我们也可以定义二项分布b(k;n,p) (k=0,1,2,…,n)的正态逼近的误差为：N n,,p=maxN n,p(k)=max|C n k p k q n-k-(1/npq) (1/2)exp(-(1/2)[(k-np)/npq]^2)是、式中q=1-p.练习11 若分别取0.1,0.5,1.0,2.0,5.0,10.0,n取何值时，可使绝对误差N<=10^-3？练习12 n ,p取何值时，可以用正态逼近来近似计算二项分布的值。
练习13 比较二项分布的Poisson逼近与正态逼近的优劣。
2．3 中心极限定理的验证1．正态分布的假设检验在实际应用中，有许多随机数据都可以看作来自于正态分布。
那么，如何检验一批数据是否来自于正态分布呢？按照国家标准，我们采用D检验来判断随机数据的正态性。
下面通过一个例子介绍D检验的过程。
例下面是某种刀具生产的合格零件个数（已用Mathematica语句的形式给出），判断它们是否满足正态分布：t={459,362,624,509,584,433,748,815,505,612,452,434,982,640,742,565,706,593,680,926,653,164487,734,608,428,1153,593,844,527,552,513,781,474,388,824,538,862,659,775,859,755,649,697,515,628,954,771,609,402,960,885,610,292,837,473,677,358,638,699,634,555,570,84,416,606,1062,484,120,447,654,564,339,280,246,687,539,790,581,62,724,531,512,577,496,468,499,544,645,764,558,378,765,666,763,217,715,310,851,}解（1）将100个数据按非减次序排列：X(1)<=X( 2)〈=…<=X( 100)(2)计算统计量（其中n=100,X是数据样本的均值）：(3)计算统计量； Y=02998598.0)28209479.0(Dn（4）给定检验水平α =0.05,查表得临界值Zα/2,; =-2.54及Z1-α/2 =1.31.(5)若 Zα/2<Y<Z1-α/2.,则接受正态分布假设，否则拒绝正态分布假设。
经计算得Y=-1.2933,显然-2 .54<-1.2933<1.31,接受正态分布假设.D检验的Mathematica程序如下:F[ata1]:=Module[{z1=-0.54,z2=1.31,dada=Sort[dada1]},N=Length[dada];Mean=Sum[dada[[k]],{k,1,n}]/n;D1=Sum[(k-(n+1)/2)*dada[[k]],{k,1,n}];D2=(Sqrt[n])^Sqrt[Sum[(dada[[k]]-mean)^2,{k,1,n}]];D=d1/d1;Y=Sqrt[n]*(d-0.28209479)/0.02998598;Result=If[z1<y<z2,1,0];Return[result]];F[t]运行该程序(运行程序前已将题给数据t输入)，得f[t]的结果为1，表示通过正态检验。