第四讲 远期与期货的定价原理
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证明 （反证法）
现货－远期平价公式
例：A股票现在的市场价格是25美元，年 平均红利率为4％，无风险利率为10％， 若该股票6个月的远期合约的交割价格为 27美元，求该远期合约的价值及远期价 格:
远期合约多头的价值
远期价格
f Seq(T t) Ker(T t)
F Se(rq)(T t )
F=(450－I) e0.071
其中，I=－2 e 0.071=－1.865，故：
F=(450+1.865) e0.071=484.6美元/盎司
支付已知收益率资产远期合约的 定价
构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为Ker(T t) 的现金
组合B：eq(Tt) 单位证券并且所有收入都再投资于该证
金融工程概论
史英哲 中央财经大学金融学院
第四讲 远期与期货的定价原理
远期价格和期货价格的关系 远期的定价 远期和期货的定价模型
基本假设
没有交易费用和税收 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 远期合约没有违约风险 允许现货卖空行为 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率
券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率
f Ke r(T t) Se q(T t)
f Se q(T t ) Ke r (T t )
支付已知收益率资产远期合约的 定价
现货－远期平价公式
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零 的交割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F Se(rq)(T t)
现无风险套利 。反之同理
现货－远期平价定理
例如：考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。 合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元， 连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合 理交割价格应该为：
F 30e0.040.25 30.30
如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可以 卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可 以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上的远 期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱买入股 票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利润。
当利率变化无法预测时，远期价格和期货 价格就不相等
远期价格和期货价格的差异幅度还取决于 合约有效期的长短。
风险收益模型
● F E(ST ) 例如，市场预期某一不易保存的商品3个月后
的现货市场价格为$10，而当前市场上3个月后 到期的该商品的期货价格为$12。假设市场预 期是准确的，则投机者可以通过卖出该期货合 约，等合约到期时再从现货市场上买入该商品 进行实物交割，从而获得$2的投机利润。反之 ，如果当前市场上该商品期货合约的价格为$8 ，则投机者可以通过买入该期货合约，待合约 到期时接受实物交割，再拿到现货市场上去卖 ，从而获得$2的投机利润。
25e0.040.5 27e0.10.5
25e0.060.5
1.18美元
25.67美元
远期和期货的定价模型
持有成本模型 风险收益模型
持有成本模型
完全市场假设下的期货定价 投资性资产期货合约的定价 消费性资产期货合约的定价
非完全市场情况下的期货定价 存在交易成本的时候 借贷存在利差的时候 存在卖空限制的时候
消费性资产期货合约的定价
对于消费性的资产，持有人可能并不愿意通过主 动出售商品并买入期货合约进行套利，因此对于
消费性资产，期货定价： F Sec(T t)
z为商品的便利收益，即投资者持有此类商品比持 有期货合约所获得的好处
如果我们用C表示持有成本，那么，消费性资产的 期货价格就为：F������������ ������−������ = ������������������ ������−������
支付已知现金收益资产远期合约的 定价
支付已知现金收益资产远期合约定价的一 般方法
例：构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为 K er(T t) 的现金；
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、 期限为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债。
e f+ K r(T t) =S－I
远期的定价
无收益资产远期合约的定价 支付已知现金收益资产远期合约的定价 支付已知收益率资产远期合约的定价
无收益资产远期合约的定价
无收益资产远期合约多头的价值
例：构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头f 加上一笔数额为K er(Tt) 的现金 组合B：一单位标的资产S
根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相 等
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价 格区间应该是：
（ 1 X）S 1Y erlT , S 1Y erbT
完全市场可以看成是 X 0,Y 0, rl rb r 的特 殊情况。
远期和期货的价格关系
罗斯等证明：当无风险利率恒定，且对所 有到期日都不变时，交割日相同的远期价 格和期货价格应相等
期货倒价（远期升水）：期货价格高于预 期即期价格
远期（期货）价格与现货价格的关系
同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 标的资产的现货价格对同一时刻的远期（
期货）价格起着重要的制约关系 远期（期货）与现货的相对价格只与持有
成本有关，与预期未来现货的涨跌无关。 价格的领先滞后关系（价格发现功能）。
当期货标的资产存在系统性风险，期货价 格并非预期即期价格的无偏估计
标的资产 无系统风险
资产期望收益率k与 无风险收益率r
k=r
期货价格F与预期即 期价格E(S)
F=E(S)
正系统风险
k>r
F>E(S)
负系统风险
K<r
F<E(S)
期货价格与预期即期价格
正常期货溢价（远期贴水）:期货价格低于 预期即期价格
F Se(cz)(T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在交易成本的时候： 假定每一笔交易的费率为Y，那么
不存在套利机会的远期价格就不再是确 定的值，而是一个区间：
S 1Y er(T t) , S 1 Y er(T t)
非完全市场情况下的期货定价
借贷存在利差的时候： 如果用 rb 表示借入利率，用 rl 表示
借出利率，对非银行的机构和个人，一 般是 rb rl 。这时远期和期货的价格区间 为：
Serl (T t) , Serb (T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在卖空限制的时候： 假设保证金比例为X，那么均衡的
远期和期货价格区间应该是：
（ 1 X）Se（r T t) , Ser(T t)
期货价格与预期即期价格
预期即期价格：市场对于在将来某时刻 资产的即期价格的一般观点。
期货价格与预期即期价格
凯恩斯和希克斯：
如果对冲者倾向于持有短头寸而投机者倾 向于持有长头寸，则资产期货价格会低于 预期即期价格。
反之，资产期货价格会高于预期即期价格 。
期货价格与预期即期价格
风险与收益学说：
f+ K er(T t) =S
f=S－K er(T t)
无收益资产远期合约的定价
现货－远期平价定理
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交 割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F=������������������(������−������)
证明 （反证法） ������ > ������������������(������−������) ，卖空组合A，买进组合B，实
e f=S－I－ K r(T t)
支付已知现金收益资产远期合约 的定价
现货－远期平价公式
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零 的交割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F=(S－I) er(T t)
证明 （反证法）
现货－远期平价公式
例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为 每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7% 。则一年期黄金远期价格为：
பைடு நூலகம் 符号
T：远期和期货合约的到期时间 t：现在的时间，T－t代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间 S：标的资产在时间t时的价格 ������������：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量） K：远期合约中的交割价格 f：远期合约多头在t时刻的价值 F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理
论价格 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率
概念
远期价格：使得远期合约价值为零的交割价格
远期价值是指远期合约本身的价值 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形 － 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对 未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交 割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方 的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。
完全市场假设下的期货定价
投资性资产期货合约的定价
F Ser(T t)
持有成本＝保存成本＋利息成本 －标的资产在合约期限内提供的收益
如果我们用C表示持有成本，那么，投资性资产的期货价 格就为：
f Se(cr )(T t ) Ker (T t)
F Sec(T t)
完全市场假设下的期货定价
现货－远期平价公式
例：A股票现在的市场价格是25美元，年 平均红利率为4％，无风险利率为10％， 若该股票6个月的远期合约的交割价格为 27美元，求该远期合约的价值及远期价 格:
远期合约多头的价值
远期价格
f Seq(T t) Ker(T t)
F Se(rq)(T t )
F=(450－I) e0.071
其中，I=－2 e 0.071=－1.865，故：
F=(450+1.865) e0.071=484.6美元/盎司
支付已知收益率资产远期合约的 定价
构建如下两个组合： 组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为Ker(T t) 的现金
组合B：eq(Tt) 单位证券并且所有收入都再投资于该证
金融工程概论
史英哲 中央财经大学金融学院
第四讲 远期与期货的定价原理
远期价格和期货价格的关系 远期的定价 远期和期货的定价模型
基本假设
没有交易费用和税收 市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金 远期合约没有违约风险 允许现货卖空行为 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动 期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率
券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率
f Ke r(T t) Se q(T t)
f Se q(T t ) Ke r (T t )
支付已知收益率资产远期合约的 定价
现货－远期平价公式
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零 的交割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F Se(rq)(T t)
现无风险套利 。反之同理
现货－远期平价定理
例如：考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。 合约的期限是3个月，假设标的股票现在的价格是30元， 连续复利的无风险年利率为4%。那么这份远期合约的合 理交割价格应该为：
F 30e0.040.25 30.30
如果市场上该合约的交割价格为30.10元，则套利者可以 卖出股票并将所得收入以无风险利率进行投资，期末可 以获得30.30－30.10＝0.20元。反之，如果市场上的远 期合约的交割价格大于30.30元，套利者可以借钱买入股 票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利润。
当利率变化无法预测时，远期价格和期货 价格就不相等
远期价格和期货价格的差异幅度还取决于 合约有效期的长短。
风险收益模型
● F E(ST ) 例如，市场预期某一不易保存的商品3个月后
的现货市场价格为$10，而当前市场上3个月后 到期的该商品的期货价格为$12。假设市场预 期是准确的，则投机者可以通过卖出该期货合 约，等合约到期时再从现货市场上买入该商品 进行实物交割，从而获得$2的投机利润。反之 ，如果当前市场上该商品期货合约的价格为$8 ，则投机者可以通过买入该期货合约，待合约 到期时接受实物交割，再拿到现货市场上去卖 ，从而获得$2的投机利润。
25e0.040.5 27e0.10.5
25e0.060.5
1.18美元
25.67美元
远期和期货的定价模型
持有成本模型 风险收益模型
持有成本模型
完全市场假设下的期货定价 投资性资产期货合约的定价 消费性资产期货合约的定价
非完全市场情况下的期货定价 存在交易成本的时候 借贷存在利差的时候 存在卖空限制的时候
消费性资产期货合约的定价
对于消费性的资产，持有人可能并不愿意通过主 动出售商品并买入期货合约进行套利，因此对于
消费性资产，期货定价： F Sec(T t)
z为商品的便利收益，即投资者持有此类商品比持 有期货合约所获得的好处
如果我们用C表示持有成本，那么，消费性资产的 期货价格就为：F������������ ������−������ = ������������������ ������−������
支付已知现金收益资产远期合约的 定价
支付已知现金收益资产远期合约定价的一 般方法
例：构建如下两个组合：
组合A：一份远期合约多头
加上一笔数额为 K er(T t) 的现金；
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、 期限为从现在到现金收益派发日、本金为I 的负债。
e f+ K r(T t) =S－I
远期的定价
无收益资产远期合约的定价 支付已知现金收益资产远期合约的定价 支付已知收益率资产远期合约的定价
无收益资产远期合约的定价
无收益资产远期合约多头的价值
例：构建如下两种组合： 组合A：一份远期合约多头f 加上一笔数额为K er(Tt) 的现金 组合B：一单位标的资产S
根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相 等
如果上述三种情况同时存在，远期和期货价 格区间应该是：
（ 1 X）S 1Y erlT , S 1Y erbT
完全市场可以看成是 X 0,Y 0, rl rb r 的特 殊情况。
远期和期货的价格关系
罗斯等证明：当无风险利率恒定，且对所 有到期日都不变时，交割日相同的远期价 格和期货价格应相等
期货倒价（远期升水）：期货价格高于预 期即期价格
远期（期货）价格与现货价格的关系
同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 标的资产的现货价格对同一时刻的远期（
期货）价格起着重要的制约关系 远期（期货）与现货的相对价格只与持有
成本有关，与预期未来现货的涨跌无关。 价格的领先滞后关系（价格发现功能）。
当期货标的资产存在系统性风险，期货价 格并非预期即期价格的无偏估计
标的资产 无系统风险
资产期望收益率k与 无风险收益率r
k=r
期货价格F与预期即 期价格E(S)
F=E(S)
正系统风险
k>r
F>E(S)
负系统风险
K<r
F<E(S)
期货价格与预期即期价格
正常期货溢价（远期贴水）:期货价格低于 预期即期价格
F Se(cz)(T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在交易成本的时候： 假定每一笔交易的费率为Y，那么
不存在套利机会的远期价格就不再是确 定的值，而是一个区间：
S 1Y er(T t) , S 1 Y er(T t)
非完全市场情况下的期货定价
借贷存在利差的时候： 如果用 rb 表示借入利率，用 rl 表示
借出利率，对非银行的机构和个人，一 般是 rb rl 。这时远期和期货的价格区间 为：
Serl (T t) , Serb (T t)
非完全市场情况下的期货定价
存在卖空限制的时候： 假设保证金比例为X，那么均衡的
远期和期货价格区间应该是：
（ 1 X）Se（r T t) , Ser(T t)
期货价格与预期即期价格
预期即期价格：市场对于在将来某时刻 资产的即期价格的一般观点。
期货价格与预期即期价格
凯恩斯和希克斯：
如果对冲者倾向于持有短头寸而投机者倾 向于持有长头寸，则资产期货价格会低于 预期即期价格。
反之，资产期货价格会高于预期即期价格 。
期货价格与预期即期价格
风险与收益学说：
f+ K er(T t) =S
f=S－K er(T t)
无收益资产远期合约的定价
现货－远期平价定理
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交 割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F=������������������(������−������)
证明 （反证法） ������ > ������������������(������−������) ，卖空组合A，买进组合B，实
e f=S－I－ K r(T t)
支付已知现金收益资产远期合约 的定价
现货－远期平价公式
远期价格（F）就是使合约价值（f）为零 的交割价格（K）
即当f=0时，K=F ， F=(S－I) er(T t)
证明 （反证法）
现货－远期平价公式
例：假设黄金的现价为每盎司450美元，其存储成本为 每年每盎司2美元，在年底支付，无风险年利率为7% 。则一年期黄金远期价格为：
பைடு நூலகம் 符号
T：远期和期货合约的到期时间 t：现在的时间，T－t代表远期和期货合约中以年为单位的剩下的时间 S：标的资产在时间t时的价格 ������������：标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量） K：远期合约中的交割价格 f：远期合约多头在t时刻的价值 F：t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理
论价格 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率
概念
远期价格：使得远期合约价值为零的交割价格
远期价值是指远期合约本身的价值 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形 － 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对 未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交 割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方 的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。
完全市场假设下的期货定价
投资性资产期货合约的定价
F Ser(T t)
持有成本＝保存成本＋利息成本 －标的资产在合约期限内提供的收益
如果我们用C表示持有成本，那么，投资性资产的期货价 格就为：
f Se(cr )(T t ) Ker (T t)
F Sec(T t)
完全市场假设下的期货定价