初中数学《圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系》学案

【基础知识精讲】

1.基本概念

(1)顶点在圆心的角叫圆心角. (2)从圆心到弦的距离叫弦心距.

(3)1°的圆心角所对的弧叫1°的弧. 2.定理

(1)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等. (3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.

3.应注意的问题

(1)解题时作圆心的弦心距是常用辅助线.

(2)等弧的度数一定相等，相等度数的弧不一定是等弧.

【重点难点解析】

本节的重点是掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算题，难点在于选择适当的辅助线，运用这几个量的相等关系解题.

例1 如图7-20，O 是Rt △ABC 三条角平分线的交点，∠C=90°，⊙O 经过C 点分别交AC 、BC 于D 、E ，交AB 于F 、G ，求证⌒

CD =⌒

CE =⌒

FG

证明：作弦CD 、CE 、FG 的弦心距OM 、ON 、OP ， ∵O 是△ABC 的三条角平分线的交点， ∴OM=ON=OP ， 则：⌒

CD =⌒

CE =⌒

FG

说明：证明弧相等通常证明弧所对的弦或圆周角相等，此题由角平分线定理得三条弦的弦心距相等，从而知道这三条弧相等.

图7-20 图7-21

例2 如图7-21，OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过M 作MC

∥OA ，交⌒

AB 于C ，求证⌒

AC =3

1⌒

AB .

证明：过M 、C 作ME ⊥AO 于E ，CF ⊥AO 于F ，连OC

∵M 为AB 的中点，∴ME=

2

1

OB,易证MEFC 为矩形 ∴CF=21OB=21OC ，∠COF=30°，则⌒AC =3

1⌒

AB

说明：若⌒

AC =31⌒AB ，则∠COF=3

1

∠BOA ，由题目条件知，须证明∠COF=30°即可.

例3 已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP ∥CD ，求证BD=DP

证明：如图7-22，∵AP ∥CD ，∴⌒

AC =⌒

PD ， ∵AB 、CD 是两直径，∴∠COA=∠BOD ， ∴⌒

CA =⌒BD ，则⌒BD =⌒

PD 故BD=DP

说明：此题用到“夹在两平行弦之间的弧相等”，“圆心角相等弧相等”，“弧相等弧所

对的弦相等”等结论.

例4 如图7-23，MBA 与MDC 是⊙O 的二割线，已知弦AB=CD ，求BM=DM.

证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，

∵AB=CD ，∴OE=OF ，则Rt △MEO ≌Rt △MFO ， ∴ME=MF ，又AE=

21AB=2

1

CD=FC ∴MB=MC

说明：本题通过作弦心距将问题转化为证ME=MF ，再通过三角形全等达到目的，在全等的证明过程中用到“弦相等弦心距相等”这一结论.

【难题巧解点拨】

例1 如图7-24，⊙O 中弦AB=CD ，⌒

AB 与⌒

CD 的中点分别是M 和N ，MN 与AB 、CD 分别交于E 和F ，求证：ME=NF.

证明：连结AM 、BM 、CN 、DN ∵AB=CD ，∴⌒

AB =⌒

CD

∵M 、N 的分别为⌒AB 、⌒

CD 的中点 ∴⌒AM =⌒MB =⌒CN =⌒

DN ∴AM=BM=CN=DN ，⌒MD =⌒

NB

∴∠FND=∠EMB ，∠MBE=∠NDF ，∴△MEB ≌△NFD ，∴ME=FN

说明：此题通过弧、弦相等关系的互换证得MB=DN ，从而得△MEB ≌△FND ，得出结论. 例2 如图7-25，已知⊙O 的两弦AB 和CD 相交于P ，且∠BPO=∠DPO ，求证：⌒

AD =⌒

BC .

证明：作OE ⊥CD 于E ，OF ⊥AB 于F ， ∵∠BPO=∠DPO ，

∴OE=OF ，CD=AB ，⌒AB =⌒CD ，⌒AD =⌒

BC

说明：本题通过角平分线定理得弦心距相等，从而弦相等，进而弧相等，再去掉公共部分⌒

AC 得命题成立.

【课本难题解答】

1.如图7-26，在⊙O 中，弦AB=CD ，延长AB 到E ，延长CD 到F ，使BE=DF ，求证：EF 的垂直平分线经过点O.

分析：由角平分线定理的逆定理知，只须证明OE=OF ，又由条件弦相等得弦心距OM=ON ，从而得△FOM ≌△EON ，证出OF=OE ，命题成立.

2.如图7-27，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于D ，求⌒

AD 的度数.

分析：要求弧AD 的度数就是求∠DCA 的度数，由条件易求出∠A=65°，再考虑△CDA ，易求得∠DCA=50°，∴⌒

AD =50°

【典型热点考题】

例1 如图7-28，已知⊙O 中⌒

AB =2⌒

CD ，求证明：AB ＜2CD.

证明：取⌒

AB 的中心M ，连结BM 、AM ∵⌒

AB =2⌒

CD ∴⌒AM =⌒BM =⌒

CD

从而有AM=BM=CD

在△AMB 中，AB ＜BM+AM=2AM=2CD 故AB ＜2CD

说明：本题主要考察弦、弧之间的关系，定理告诉我们等弧对等弦，此题告诉我们长不相等的弧的比值与其所对的弦的比值不等.

例2 如图7-29，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点D 作弦EF ∥AB ，求证∠ABE=15°.

证明：作EH ⊥AB 于H ，则EHOD 为矩形 ∴EH=OD ，又D 为CO 的中点，∴EH=OD=

2

1CO