复变函数试题2
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
复变函数期末考试题大全(东北师大)
____________________________________________________________________________________________________一、填空题（每小题2分）1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、若01=+z e ,则z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ）A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ）Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、下列积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）A ()∑∞=+-02121n n nn z （z <1） B ()∑∞=+-01221n n n n z（z <1）C ()∑∞=++-012121n n nn z （z <1） D ()∑∞=-0221n n n n z（z <1）8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是（ ）A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （ ）A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（ ）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,22z z =成立2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、（ ）z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、（ ）解析函数的零点是孤立的四、计算题（每小题6分）1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题（每小题7分）1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析（2）在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，（ ,2,1=n ）证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单选题（每小题2分，共20分）1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 （1-z <2） …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1）()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2）1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题（每小题2分）1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、若0<r<1，则积分()⎰==+rz dz z 1ln4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，则m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单选题（每小题2分）1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ）A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是（ ）A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z（ ）A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是（ ）A223i - B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的（ ）A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，则m=( )A 1B 2C 3D 4 7、下列函数是解析函数的为（ ）A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在下列函数中，()0Re 0==z f s z 的是（ ）A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则()=-⎰dz i a zz C2cos （ ）A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是（ ）A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题（每小题2分）1、（ ）幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、（ ）z=∞是函数2cos 1z z-的可去奇点 3、（ ）在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，则积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、（ ）函数()=z f zctge1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分）1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点（包括∞）处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题（每小题7分）1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，nn f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（ 2,1=n ）的函数()z f 不存在一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单选题（每小题2分，共20分）1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分）1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题（每小题6分，共36分）1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 （0<i z -<2） …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题（每小题7分，共14分）1 证明： 设f(z)=u （x ，y ）+iv （x ，y ）)(z f = u （x ，y ）-iv （x ，y ）)(z f i = v （x ，y ）-i u （x ，y ） 2 分 f （z ）在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比较f （z ）的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛（ 2,1=n ） 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.____________________________________________________________________________________________________《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
自学考试复变函数与积分变换试题(2)
全国2007年7月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.z=2-2i ，|z 2|=（ ）A.2B.8C.4D.82.复数方程z=cost+isint 的曲线是（ ）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线3.Re(e 2x+iy )=（ ）A.e 2xB.e yC.e 2x cosyD.e 2x siny4.下列集合为有界单连通区域的是（ ）A.0<|z-3|<2B.Rez>3C.|z+a|<1D.π≤<πargz 215.设f(z)=x 3-3xy 2+(ax 2y-y 3)i 在Z 平面上解析，则a=（ ）A.-3B.1C.2D.36.若f(z)=u(x ，y)+iv(x ，y)在Z 平面上解析，v(x,y)=e x (ycosy+xsiny)，则u(x ，y)=（）A.e x (ycosy-xsiny)B.e x (xcosy-xsiny)C.e x (ycosy-ysiny)D.e x (xcosy-ysiny) 7.⎰=-3|i z |zdz =（ ）A.0B.2πC.πiD.2πi 8.⎰=---11212z z sinzdz |z |=（ ） A.0 B.2πisin1C.2πsin1D.1sin 21i π9.⎰302dz zcosz =（ ） A.21sin9 B.21cos9C.cos9D.sin910.若f(z)=tgz ，则Res[f(z)，2π ]=（ ） A.-2πB.-πC.-1D.0 11.f(z)=2i)z(z cosz -在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ） A.0B.1C.2D.3 12.z=0为函数cosz 1的（ ） A.本性奇点B.极点C.可去奇点D.解析点 13.f(z)=)z )(z (121--在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ） A.∑∞=-01n n n z )( B.∑∞=-021n n z )z ( C.∑∞=-02n n )z ( D.∑∞=---0121n n n )z ()(14.线性变换ω=iz z i +-（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<115.函数f(t)=t 的傅氏变换J [f(t)]为（ ）A.δ(ω)B.2πi δ(ω)C.2πi δ'(ω)D.δ'(ω)二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数论试题库及答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案(二)
《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f . ( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求 dz z z z ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×.二. 填空题1.1，2π-， i ；2. 3(1sin 2)i +-；3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0.三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k i f z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()i f i e π=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222i i i i z dz de e i ππθθππ---===⎰⎰.4. 解 dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-. 比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0n n n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<. ()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.。
《复变函数论》精彩试题库及问题详解
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换试题及答案
南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷468复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： ， ， 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2.3-i2i3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110.⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）： ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数复习资料
《复变函数》考试复习模拟卷注意：（以通信专业考过复变函数的经验，挂科的情况比较多，题目题型都是以大题的形式出现，本类复习模拟卷，主要是让大家熟悉知识点，考试题型并非如此；另本模拟卷可能涉及我们没讲的知识点，大家可以忽略，还有共有14套卷子比较多，大家有选择的去做一下 祝大家考出好成绩）《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=ii z z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数考题及答案
复变函数考题及答案【篇一：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇二：复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________，其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.三.计算题（40分）：f(z)?11. 设(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分：i???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1，则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：?ezdzcz2(z2?9)，其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
复变函数期末考试题大全
____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔 〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔 〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔 〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔 〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔 〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔 〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔 〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕对任何复数z,22z z =成立2、〔 〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔 〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔 〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔 〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔 〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔 〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔 〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔 〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔 〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔 〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔 〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔 〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔 〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔 〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔 〕解析函数的零点是孤立的 四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明： 设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数试题
《复变函数》模拟考试试题《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、有界整函数必在整个复平面为常数。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二、填空题（4x5=20分）1、若C 是单位圆周，n 是自然数，则=-⎰C ndz z z )(1__________。
2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz _________。
3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n zz e _____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式。
2、求⎰⎰==+--+3||1||1)4)(1(21sin z z z z z dzi zdz e π。
复变函数期末考试试卷及答案详解
复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数论》试题库
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数0z =时，其模为零，辐角也为零. （ ）2．若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++ (0)n a ≠的根，则0z 也()P z 是的根.（ ） 3．如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数.（ ） 4．设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的z D ∈，有1()f z 2()f z ≡. （ ）5．若z =∞是函数()f z 的可去奇点，则Re ()0z s f z =∞=. （ ）二、填空题.（每题2分）1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan22y z xππππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctany x =+________________.3．函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4．方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5．(1)i i +___________________.6．级数20[2(1)]n n z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________.9．设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.10．设a 为函数()f z 的m 阶极点，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.三、计算题（50分）1．设221(,)ln()2u x y x y =+。
复变函数试卷及答案
复变函数试卷及答案【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛，则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析，且f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）dz?__________.（n为自然数）1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.limezres(n,0)?z8.________，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.三.计算题（40分）：1. 设1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?6. 整函数；7. ?；8. 三．计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021； 9. 0； 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）?ii3. 计算积分：i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.【篇二：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（b）若re(f(z))在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01．设f?z???z，则f?z?的连续点集合为（）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1． 复数i 258-2516z =的辐角为（ ）A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）A ． 圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5,-isin5-3(cosz ππ=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54isin ,543(cos ππ－C ．)54isin ,543(cos ππ＋D ．)54isin ,543(cos -ππ－4．设z=cosi ，则（ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π5．复数i3e+对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）A ．4π－B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－ C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ ） A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜C ． 2||,032argz 0<<<w π＜D ．2||,03argz 0<<<w π＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-c n a z z f 1)()(等于（ ）A ．)()!1(2)1(a f n i n ++πB ．)(!2a f n iπ C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a f n in π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-c n i z dz1)(等于（ ）A ． 1B ．2πiC ．0D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ ）A ．1++zze ze B ．1-+zze ze C ．1-+-zze ze D ．1+-zze ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c 2dz z 1z 等于（ ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |< 14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ ） A ． 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z zcot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于（ ）A ． Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz zc =⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c =⎰为正向圆周｜其中19．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A ．21|1z |>+B ．21|1z |<+C ．21|z |>D ．21|z |<20．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．1-z 1z w 44+=B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i -z iz w 44+=第二部分 非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。
22．设100i)(1z +=，则Imz ＝______________________。
23．设z=i2e+，则argz ＝____________________________。
24．f （z ）的可导处为_______________________________。
25．方程Inz=i 3π的解为_________________________。
26．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰+c )dz z z1(=___________________________。
27．设C 为正向圆周|z －i|=21,则积分⎰c 2zdz i)-z(z e π=___________________。
28．设C 为正向圆周|ζ |=2，⎰=c d z-3sinf(z)ζζπ，其中|z|<2，则f ′(1)=___________________。
29．幂极数∑∞=1n nnz nn!的收敛半径为________________________。
30．函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．求22y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。
32．计算积分⎰+=c dz |z |zz I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。
33．试求函数f(z)=ζζd e z-2⎰在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。
34．计算积分⎰+=c 22zdz 3i)(z i)-(z e I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。
每题10分，共20分） 35．利用留数求积分dx 910x x cosxI 240++⎰∞+＝的值。
36．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ43argw 4D 11<＜：； （2）)(w f w 121=把D 1映射成W2平面上的第一象限2argw 0D 22π<＜：;（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D 映射成G 。
37．积分变换（1）设=)F(ω,a 是一个实数，证明（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：{1,y '-2y;y'-1.(0)y'0,y(0)=+==二OO 二年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准(课程代码 2199)一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．D 9．C 10．A 11．D 12．C 13．B 14．B 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.8 22．0 23．1 24．z=0 25．),3i (121z +=或3i e π26．4πi 27．－2π(π+i) 28．i,33π或3cos 3i 2πππ⋅ 29．E 30．6三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）31．解1：2y -2x y u2y 2x x u =∂∂+=∂∂， ，由C －R 条件，有yu-x v ,x x y v ∂∂=∂∂∂∂=∂∂， ⎰⎰++=+=∂∂=∴(x)y 2xy 2y)dy (2x dy xvv 2ϕ。
（2分） 再由yu -2y -2x (x)'2y x u ∂∂=+=+=∂∂ϕ， 得-2x (x)'=ϕ，于是C -x (x)2+=ϕ，C x -y 2xy v 22++=∴。
（4分） 由1,v(0,0)=得1C ＝。
故1x -y 2xy v 22++= （5分） 解2： C dy yvdx x v y)v(x y)(x,(0,0) +∂∂+∂∂=⎰⎰+++=y)(x,(0,0)C2y)dy (2x 2x)dx -(2y（2分）C y 2xy -x 22+++= (4分)以下同解1。
32．解1：⎰⎰⎰+⋅==+c - c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21dz |z |z z ππθθθθ (3分) i 4)d cos2(14iπθθπ=+=⎰。
（5分）解2：⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθθθθ (3分) i 40)2i(2ππ=+＝。
（5分） 33．解：因为∑∑∞=∞=+∞<===0n 2nn 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e(z)' f 2｜，（2分） 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得∑⎰∞=++∞<+==0n 12n n z)z (| 12n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ (5分)34．解：因在C 内22z3i)(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→c2i z f(z)i)-(z dz d lim 1!i 2f(z)dz π （2分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=→3z 2z i z 3i)(z 2e -3i)(z e lim i 2ππππ i)2(-116ππ+=。
（5分）四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。