计算机辅助几何设计CAGD-06_自由曲线造型的几何方法
计算机辅助设计教程曲线与曲面基础知识
[Hu1987]胡瑞安 主编.计算机辅助几何设计[M].华中工学院出版社.1987
the Clay & Sculpture Studio Design
Prototype of the design
void DrawCurve(double p[3], CDC *pDC,int p_x,int p_y) { double r = 150.0, h = 3; double x[628], y[628], z[628], xe[628], ye[628], ze[628] ,xs[628], ys[628], zs =200, a,b,c,u,v; int m = 0; a = p[0]; b = p[1]; c = p[2]; u = sqrt(a*a+b*b+c*c); v = sqrt(a*a+b*b); for (double t = 0; t < 62.8; t = t + 0.1) { x[m] = r*cos(t);y[m] = r*sin(t);z[m] =h*t; m++; } xe[0] = -b / v*x[0] + a / v*y[0]; ye[0] = -a*c / (u*v)*x[0] - b*c / (u*v)*y[0] + v / u*z[0]; ze[0] = -a/u*x[0] - b / u*y[0] - c / u*z[0] + u;
样条函数是美国数学家I.J.Shoenberg于1946年提出的，但当时并未引起人 们的重视。直到60年代，人们才开始认识到样条函数在数据拟合、函数逼近、 数值微分与积分等重要作用，并广泛的用于汽车、航空、造船等行业的几何外 形设计[]。
计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值
计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称 CAGD）是计算机科学、数学和工程的交叉学科，它的发展历程可以追溯到20世纪70年代。
CAGD主要是利用计算机帮助人们完成各种几何设计任务，如曲线拟合、曲面建模、数据可视化等等。
其中，参数保形有理样条插值是CAGD中的一种基本技术之一，下面我们将对其进行详细介绍。
一、CAGD简介计算机辅助几何设计是一种利用计算机技术进行几何建模、分析、验证和制造的方法。
CAGD的应用范围非常广泛，涵盖了工业设计、航空航天、汽车制造、医学医疗、艺术设计等领域。
通过CAGD的技术手段，可以在计算机上创建数学模型，并对其进行几何变换、仿真分析、优化求解等操作，从而提高设计效率和质量。
CAGD的发展历程可以追溯到20世纪70年代，当时计算机的性能和软件工具都比较有限，所以主要应用于科学计算和工程仿真领域。
随着计算机技术的飞速发展，CAGD的应用范围也越来越广泛，涌现出了许多优秀的方法和算法，如Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲面、三角网格模型等等。
二、参数保形有理样条插值有理样条曲线是一种常用的数学曲线，它可以用来表示各种形状的曲线和曲面。
和其他曲线表示方法相比，有理样条曲线具有重要的优点，如良好的几何性质、局部控制性能、优秀的逼近性能等等。
参数保形有理样条插值是有理样条曲线中的一种插值方法，它可以通过已知的插值点来构造一条参数保形的有理样条曲线。
插值问题是求解函数$f(x)$在一些已知点$x_i$处的函数值$f(x_i)$的问题。
对于一些简单的函数，这个问题可以直接求解。
但是对于复杂的函数，如曲线和曲面，这个问题并不容易解决。
在实际应用中，经常需要求解一条曲线通过已知点，并且曲线在每个插值点处具有特定的曲率、斜率等属性。
这个问题就可以通过参数保形有理样条插值方法来解决。
参数保形有理样条插值是一种基于控制点的插值方法。
几何造型技术的名词解释
几何造型技术的名词解释几何造型技术是一种应用数学几何学原理和方法，用于描述和呈现物体形状和结构的技术。
在现代科技领域，几何造型技术被广泛应用于计算机图形学、工程设计、建筑设计、汽车设计、航空航天等领域。
1. CAD（计算机辅助设计）CAD是几何造型技术的重要应用之一。
它使用计算机软件辅助进行图形设计和模型构建。
通过CAD软件，设计师可以轻松创建三维模型，并进行模拟和分析。
CAD技术大大提高了设计效率和精确度，并广泛应用于工业制造、建筑设计等领域。
2. 曲线和曲面造型曲线和曲面造型是几何造型技术中常用的方法。
曲线可以用来描述二维图形的形状，曲面则用于描述三维物体的形状。
常见的曲线造型方法包括贝塞尔曲线、B样条曲线等，而曲面造型方法则有贝塞尔曲面、B样条曲面等。
这些方法能够准确描述复杂物体的形状，并为后续的分析和加工提供基础。
3. 多边形网格多边形网格是一种常用的离散化表示方法，用于描述三维物体的表面。
它将物体的表面划分成由三角形或四边形组成的网格结构，每个网格点都有自己的坐标和法线向量。
多边形网格可以通过各种技术生成，如手动建模、扫描、造型软件生成等。
它广泛应用于计算机图形学、三维建模等领域。
4. 网格编辑和细分网格编辑和细分是几何造型技术中常用的操作。
在网格编辑过程中，设计师可以对多边形网格进行修改，包括添加、删除或移动网格点等操作，从而调整物体的形状。
而网格细分则是通过对网格进行逐步细化，使其更加平滑和精细。
这些操作可以帮助设计师创建更加复杂和精美的几何模型。
5. 参数化造型参数化造型是一种通过调整参数值来自动生成不同形状的技术。
设计师可以通过改变一些参数值，如长度、角度、比例等，从而快速生成不同形态的模型。
参数化造型技术在计算机辅助设计中经常使用，它提供了一种高效、灵活的方式来生成各种形状。
6. 隐式曲面隐式曲面是一种通过数学方程来描述几何形状的技术。
它可以通过一个或多个方程来表示曲面的形状，而不需要用户指定具体的曲面边界。
《计算机辅助几何造型技术》1
计算机辅助几何造型技术主讲教师：秦开怀教授、博导qkh-dcs@所在单位：清华大学计算机科学与技术系 时间：2007年9月~2008年1月Textbooks/ReferencesJ. Hoschek& D. Lasser, Fundamentals of Computer Aided Geometric Design A K Peters Computer Aided Geometric Design, A K Peters, Ltd, Massachusetts, 1993.David F Rogers Introduction to NURBS Morgan David F Rogers,Introduction to NURBS, Morgan Kaufmann,2001.L Piegl&W Tiller The NURBS Book(2L. Piegl & W. Tiller, The NURBS Book (2nd Edition), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, NewYork, 1997.York1997Carl deBoor, A Practical Guide to Splines, New York, Springer Verlag, 1978.York Springer-Verlag1978(Continued)M. E. Mortenson, Geometric Modeling , J h W l &S I 1985John Waley & Sons, Inc., 1985. G. Farin, Curves and Surfaces for ,Computer Aided Geometric Design (5th Edition), Elsevier Inc., 2002.(李双喜译，),,(CAGD 曲线曲面，科学出版社，2006）E J Stollnitz T DeRose &D H Salesin E. J. Stollnitz, T. DeRose & D. H. Salesin, Wavelets for Computer Graphics, Theory & Morgan Kaufmann PublishersApplications , Morgan Kaufmann Publishers, Inc., San Francisco, 1996.(Continued)Denis Zorin & Peter Schroder, Subdivision for M d li d A i ti SIGGRAPH 2000Modeling and Animation , SIGGRAPH 2000 Course Notes #23, 2000. R. Barzel, Physically-Based Modeling for Computer Graphics, A Structured Approach,Academic Press, Inc., San Diego, 1992.D. N. Metaxas, Physic-Based Deformable ,yModels, Applications to Computer Vision, Graphics & Medical Imaging , Kluwer Academicp g g ,Publishers, Massachusetts, 1997.(Continued)Donald Hearn & M.Pauline Baker, C t G hi ith O GL (Thi d Computer Graphics with OpenGL (Third Edition), Pearson Education, 2004 (中译本赫恩等著本：赫恩等著, 蔡士杰等译,《计算机图形学（第三版）》, 电子工业出版社, 200506)2005-06.) J. D. Foley, et al, Computer Graphics: y,,p pPrinciples & Practice (2nd Edition in C),Addison-Wesley, Reading, MA, 1996.y,g,,G di P li Grading PolicyThree assignments 30%Discussions/learning in classroom 5% One project substituting for the final p j g examination 65%R kRemarksThe three assignment is to be completed individually on yourself, but discussions among fellow students areyourself but discussions among fellow students areallowed.The project substitutes for the final examination Two The project substitutes for the final examination. Twostudents can work together as a group.Absolutely no sharing or copying of any code for both Absolutely no sharing or copying of any code for boththe assignments and the project! Offenders will be givena failure grade and the case will be reported to theg pdepartment.You are welcome to turn off your mobile phone before You are welcome to turn off your mobile phone beforeattending lectures.This course concentrates on seven main issues:i iNURBS curves and surfaces (including Bezier, B-spline curves and surfaces)gTriangular surfacesGordon-Coons surfacesSubdivision surfaces of arbitrary topologySubdivision surfaces of arbitrary topologyThe 2nd generation wavelets for multi-resolution modelingmodelingSolid modelingNew technology for geometric modelingContents of This Course1.Introduction2.∆Mathematic BasicsAffine mapsAffine mapsDivided differenceFunction spaceGeometric basics from curves and surfaces 3.∆Interpolatory Polynomial SplinesHermite interpolationHermite interpolationContents of This Course Contents of This Course (Continued)Quadric polynomial spline curvesCubic polynomial spline curvesSolving a linear system of equations with a g y q tridiagonal coefficient matrix Cubic parametric spline curves Cubic parametric spline curves4.*Bezier Curves and Surfaces Bezier curves defined by edge vectorsBernstein-Bezier curvesProperties of Bernstein-Bezier curves(Continued)De Casteljau algorithmDi t ti f B iDiscrete generation of Bezier curvesDegree elevation of Bezier curvesD d i f B iDegree reduction of Bezier curvesBezier spline curvesBezier interpolation curvesMatrix formula of Bezier curvesRational Bezier curvesProduct & inner product of Bezier curves Bezier surfaces(Continued)5.*B-spline Curves and SurfacesB-spline basis functions and their p ppropertiesB-spline curvesOpen curves and knot vectorsOpen curves and knot vectorsUniform B-spline curvesEndpoint interpolating B spline curves Endpoint interpolating B-spline curvesClosed B-spline curves(Continued)Chaikin algorithmDe Boor algorithmInserting knots in B-spline curves Inserting knots in B spline curvesBoehm algorithmOlso algorithmGeneral knot insertion for B-spline curvesDegree elevation of B-spline curves Degree elevation of B-spline curvesMarsden identity and recursive degree elevationPrautzsch algorithm(Continued)Arbitrarily high degree elevation for B-spline curvesDegree reduction of B-spline curvesB-spline surfacesInterpolating B-spline curves and p g p surfaces Matrix formulas of B-spline curves and Matrix formulas of B spline curves and surfaces(Continued)Matrix formula of uniform B_spline curvesMatrix formula of non-uniform B_splines Inner product of B-spline curvesGeneralized Marsden identityB-spline curve productInner product of B-spline basis functionsInner product of B-spline curves6.*NURBS Curves and SurfacesNURBS curvesNURBS curvesRepresenting conics using NURBS(Continued)Parameterization of curvesfNURBS surfacesRepresenting quadrics using NURBS surfacesfInterpolating NURBS curves and surfaces 7.Blossoming PrincipleLooking at de Casteljau algorithm from a Looking at de Casteljau algorithm from a blossoming point of viewKnot insertion from a blossoming point of Knot insertion from a blossoming point of view(Continued)Generating de Boor points based on the blossoming principleblossoming principleDegree raising of B-spline curves by blossoming8.* Triangular SurfacesBarycentric coordinatesgTriangular Bezier surfacesContinuity conditions for triangular Bezier ppatchesRational Triangular surfaces(Continued)9.*Gordon-Coons SurfacesCoons surfacesGordon-Coons surfaces on rectanglesGordon-Coons surfaces on triangles0Subd s o Su a s o b a y 10.*Subdivision Surfaces of ArbitraryTopologyCatmull-Clark surfacesCatmull-Clark surfacesDoo-Sabin surfacesContinuity of uniform subdivision surfaces Continuity of uniform subdivision surfacesNon-uniform subdivision surfaces(Continued)Convergence and continuity of non-uniform subdivision surfaces11.*The 2nd Generation Wavelets forMulti-resolution modelingMulti-resolution modelingB-spline wavelets for Multi-resolution modeling Endpoint interpolating B-spline wavelets Endpoint interpolating B-spline waveletsArbitrary Non-uniform B-spline waveletsB-spline wavelets with constraintsB spline wavelets with constraintsSubdivision-based Surface waveletsLoop Subdivision WaveletsCatmull-Clark Subdivision Wavelets√3-subdivision-based Bi-orthogonal Wavelets(Continued)12.∆Scattered Data Interpolation13.*Intersections of Curves and Surfaces14.Solid Modeling14*Solid Modeling15.Parameterization Modeling for ShapeDesign and Feature-based Modeling 16.New Technology for Geometric 16.*New Technology for GeometricModelingHierarchical B splinesHierarchical B-splinesPhysics-based modelingContents of This Course Contents of This Course (Continued)Modeling fractalized scenes (mountains,f lowers etc.)Particle system for modeling fires, clouds, water, forests etc.1.Introduction1. IntroductionSome Applications of CAGDRepresentation of large data setsVisualizing productsAutomatically producing sectionalAutomatically producing sectional drawingsModeling surfaces arising inModeling surfaces arising in construction of cars, ships & airplanesDesigning pipe systems, e.g. in chemical plants(continued)Drawing marine charts and city and relief i h maps in cartographyProduction and quality control, e.g. in q y ,g the sewing machine, textile and shoe industriesPlanning and controlling surgery Creating images in advertising television Creating images in advertising, television and film industries(continued)Constructing virtual environmentsDescribing robot paths and controlling their movementstheir movementsControlling milling machines used in manufacturingCurve modeling with constrained B-spline wavelets 保特征点的多分辨率曲线造型29曲线的多分辨率分段无缝表示30细分曲面带约束的样条曲面小波左图是采用经典B 样条曲面小波分片多分辨率表示的结果,右图是采用带约束B 的样条曲面小波分片多分辨率表示的结果,其中约束施加在接合线处。
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术是一种高级的设计工具，它可以让设计师以非常灵活的方式构建起各种曲线曲面形状。
这种技术通常在工业设计、汽车设计、航空航天设计、建筑设计等领域中被广泛应用。
通过使用自由曲线曲面造型技术，设计师可以更加自由地控制曲线曲面的形态和特征，从而实现更加精细的设计。
自由曲线曲面造型技术通常需要使用专业的软件来实现，其中比较常见的软件包括CATIA、SolidWorks、Rhino、Alias等。
这些软件可以提供各种曲线曲面建模工具和功能，例如NURBS曲线、Bezier
曲面、B样条曲线等。
设计师可以使用这些工具来创建、编辑和操纵曲线曲面，实现各种复杂的形状和结构。
自由曲线曲面造型技术的应用范围非常广泛，可以用于设计各种产品和构件。
例如，在汽车设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来实现汽车的车身造型，从而实现更加美观和动态的外观。
在建筑设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来创造独特的建筑形态和空间感受。
在航空航天设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来打造更加流线型的飞机外形，从而提高其飞行效率和性能。
总之，自由曲线曲面造型技术是一种非常强大和灵活的设计工具，它可以为设计师提供更多的创意和自由度，帮助他们实现更加复杂和精细的设计。
- 1 -。
计算机辅助几何设计专业介绍
计算机辅助几何设计专业介绍计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简写为CAGD）主要研究曲面造型的数学基础理论与方法。
1974年在美国的Utah大学举行了名为CAGD的学术会议，这次会议标志着CAGD作为计算数学的一个分支学科正式建立。
上世纪八十年代初，中国科学技术大学数学系的常庚哲教授和冯玉瑜教授分别在美国Utah大学、Brown大学和Wisconsin大学系统学习CAGD、样条函数和函数逼近论等最新进展。
随后两人相继回到中国科大，于1982年招收了第一批硕士研究生。
他们的归国与合作，标志着数学系CAGD研究小组的正式建立。
初期，CAGD研究小组在曲面的保形与逼近、三角域上的Bernstein-Bézier 曲面、样条函数等方面取得了一系列令国内外同行所关注的成果，曾获得中科院自然科技成果二等奖。
常庚哲教授于1984年到2000年一直担任国际刊物《Computer Aided Geometric Design》的编委，并于2007年在第三届全国几何设计与计算学术会议上获得由中国工业与应用数学学会几何设计与计算专业委员会颁发的首届“中国几何设计与计算贡献奖”。
研究小组与美国和欧洲等地的学者建立了广泛的国际联系。
近十年来，随着常庚哲教授和冯玉瑜教授相继退休，本研究小组队伍大大年轻化，形成了以陈发来、邓建松教授为主的年轻学术梯队，其中陈发来教授2002年获得国家杰出青年基金，并担任国际著名期刊《The Visual Computer》以及多个国内期刊的编委，多次担任国际会议的程序委员。
本小组继承了常庚哲、冯玉瑜教授开创的传统，在以计算代数几何为工具进行几何造型方面做了有特色的工作。
近几年来在以下几方面做了较为系统的研究：（1）分片代数曲面造型：通过系统学习计算代数几何的理论，提出了各种应用计算代数几何理论构造分片代数曲面的算法框架。
最近又基于优化的理论，提出了隐式曲面重构的新型算法，解决了以往方法中剖分难以构造等困难。
计算机辅助几何设计导论
再者，书中描述了CAGD在各个领域的应用：“从汽车制造到电影特效制作， 从航空航天到生物医学，CAGD的应用无所不在。”这句话强调了CAGD的重要性和 广泛应用，使读者更深入地理解CAGD的实际价值。
书中还有一句话引人深思：“几何形状不仅仅是客观存在的，也可以是主观 感知的。”这意味着几何形状不仅存在于物理世界中，也可以存在于我们的想象 和感知中。这句话引导我们思考几何形状的多样性和复杂性，也让我们意识到 CAGD的潜力远不止于模拟和生成客观存在的几何形状。
内容摘要
该书还介绍了计算机辅助几何设计在各个领域的应用。这些应用包括工业设计、建筑设计、动画 制作、游戏开发、医学成像和虚拟现实等。通过这些应用案例，读者可以更好地理解计算机辅助 几何设计的实际价值和意义，并掌握如何将其应用到自己的领域中。 《计算机辅助几何设计导论》这本书是一本非常优秀的教材，它系统地介绍了计算机辅助几何设 计的基本知识和方法，为读者提供了全面的学习和实践指导。无论是对计算机辅助几何设计感兴 趣的初学者，还是已经有一定基础的开发者，都可以从这本书中获得很多收获和启示。
《计算机辅助几何设计导论》这本书的精彩摘录为我们提供了宝贵的见解和 思考方向。通过深入阅读这本书，我们可以更全面地了解CAGD的原理、应用和前 景，从而更好地探索计算机与几何学的交叉领域。
阅读感受
《计算机辅助几何设计导论》是一本关于计算机图形学的经典教材，它系统 地介绍了计算机辅助几何设计的基本概念、方法和技巧。在阅读这本书的过程中， 我深深地感受到了计算机辅助几何设计的魅力和价值。
从每个章节的具体内容来看，这本书涵盖了CAGD领域的各个方面。例如，在 基础知识章节中，介绍了曲线、曲面和实体的表示方法，以及布尔运算、几何变 换等内容。在高级概念和应用章节中，深入探讨了曲线和曲面的参数化、逼近和 拟合等算法，同时还介绍了CAGD在计算机图形学、数控加工等领域的应用。这些 内容反映了CAGD领域的最新研究成果和趋势，为读者提供了全面的学习资料。
计算机辅助几何设计CAGD-00_课程介绍
CAGD的定义
• 1971, Forrest
– 对几何外形信息的计算机表示、分析、综合
• 1974, Barnhill and Riesenfeld
– 第一届CAD会议 – 在计算机环境下的曲线曲面的表示与逼近 – CAD中的几何问题与数学描述
CAGD的特点
• 几何模型的表示、构造与处理 • 适合于计算机存储、计算、显示 • 适合于人的理解、交互
支撑技术
产业应用
数字媒体
Sound
Video
Dynamic Geometry
75 80 85 90 95 00 05 10
Digital Geometry
Image
Geometry
可视计算
• Visual media
– Computer graphics to visual information
本课程的内容
课程主页
/~lgliu/Courses/CAGD_2017_autumn-winter/default.htm
课程目标
• 几何表达的基本方法 • 几何建模与处理 • 计算机图形学及几何设计的新发展
• 授之以鱼，不如授之以渔
预备知识：数学
CAD (Computer Aided De员进行设计工作பைடு நூலகம்几何造型）
• 数学：曲线曲面、样条、光滑、光顺… • CAD软件：AutoCAD, SolidWorks, 3DMax, …
几何造型与建模(CAGD)
样条曲面(NURBS)
计算机图形学内涵的演变
混合现实 = 虚拟现实 + 增强现实
建模
设计、构造、模拟 数据驱动 几何与物理属性 多元抽象属性
绘制 动画 交互
自由曲线曲面造型技术
2、简单技术 (插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y
+
+
+
+ + (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
但人们并不安于现状，继续探索新的造型方法。相继 出现了自由变形造型、偏微分方程造型、能量法造型、 小波技术等。这些方法目前还处于深入研究阶段，有 望于21世纪得到广泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和
逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
计算机辅助几何造型技术第三版课程设计 (2)
计算机辅助几何造型技术第三版课程设计一、课程设计背景在计算机科学技术的发展中，计算机辅助设计技术已经成为现代设计领域中不可或缺的一部分。
几何造型技术是计算机辅助设计领域中的一项重要技术，可以应用于建筑设计、汽车设计、航空航天设计等各个领域。
计算机辅助几何造型技术第三版课程旨在通过教授基本几何造型原理和使用几何造型软件进行实践操作来培养学生计算机辅助几何造型技术的实践能力和理论思维能力。
二、课程设计目标本课程设计的目标，主要是使学生掌握几何造型技术的使用和基础原理，培养学生的计算机辅助设计能力。
具体可分为以下几个方面：1.学习几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算；2.掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计；3.通过实践操作，掌握几何造型的制作过程，培养实践能力；4.培养学生的团队合作意识和沟通能力，能够独立完成一个小型几何造型项目。
三、课程设计内容本课程设计内容主要包括以下几个部分：3.1 几何造型原理1.基础几何概念的回顾及其应用；2.几何体建模基础原理；3.自由曲面设计基础原理。
3.2 几何造型软件1.几何造型软件的种类及其使用方法；2.SolidWorks软件的使用方法；3.Pro/E软件的使用方法；4.AutoCAD软件的使用方法。
3.3 实践操作1.设计小型几何形体；2.计算几何体表面积和体积；3.制作自由曲面模型；4.进行网格优化和细化。
3.4 项目实践1.小组项目设计；2.撰写终稿及展示。
四、考核方式本课程设计的考核方式将通过以下几种方式来完成：1.期中考试：占总成绩的40%；2.课程作业：占总成绩的30%；3.项目评估：占总成绩的20%；4.课堂表现：占总成绩的10%。
五、总结通过本次计算机辅助几何造型技术第三版课程设计的学习和实践操作，学生可以掌握基本几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算，并且掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计。
在项目实践中，学生将获得更加完整和深入的实践体验，可以培养学生实践能力和团队合作意识。
计算机辅助几何造型技术课程设计
计算机辅助几何造型技术课程设计引言计算机辅助几何造型技术是一种计算机辅助设计技术，旨在通过计算机的帮助完成几何造型设计。
在当今这个高科技时代，计算机辅助几何造型技术已成为各个领域不可或缺的一部分，例如建筑、汽车工业、航空航天甚至艺术设计等等。
本课程设计旨在通过讲解计算机辅助几何造型技术的基本知识、软件操作技巧以及实际应用案例，提升学生对于计算机辅助几何造型技术的理解和掌握能力，为学生未来的职业发展奠定基础。
课程设计课程目标本课程旨在培养学生以下能力：•理解计算机辅助几何造型技术的基本概念和原理•掌握计算机辅助几何造型技术的常用软件操作技巧•运用计算机辅助几何造型技术进行实际应用案例分析与解决问题的能力•接触并了解计算机辅助几何造型技术在各个领域的应用情况课程内容第一章：计算机辅助几何造型技术基础概念•计算机辅助几何造型技术概述•建模基础•CAD软件概述及种类介绍第二章：计算机辅助几何造型技术常用软件学习•AutoCAD基础操作及绘图原理实战讲解•3DMAX建模原理与实例操作•UG NX 10操作实践•建筑信息模型(BIM)概述及基础操作第三章：计算机辅助几何造型技术应用案例研究•汽车设计应用案例研究•建筑设计应用案例研究•航空航天设计应用案例研究•金属加工应用案例研究课程考核•平时成绩：包括出勤率、课堂表现、作业成果和实验报告等方面•期末考核：笔试或证书考试实践操作本课程将通过以下途径进行实践操作：•课程中的实例及案例操作•个人或小组任务设计及实现•学生提供实际案例或问题，进行辅导及解决教材及参考书目•《计算机辅助几何造型技术基础》•《AutoCAD 2018入门与精通》•《3DMAX2019建模实战技术》•《UG NX 10多轴加工实例训练》•《建筑信息模型BIM基础与实践》结语计算机辅助几何造型技术的应用已经深入到各个领域，随着技术的进步和应用的推广，未来相关行业的需求也会越来越大。
本课程设计旨在为学生提供一种计算机辅助几何造型技术的培训方式，帮助学生更好地掌握该技术，为未来的职业发展打下坚实的基础。
计算机图形学Chapter-06曲线曲面
x=rxcoss1Ψcoss2θ -π/2≤Ψ≤π/2 y=rycoss1Ψsins2θ -π≤θ≤π z=rzsins1Ψ
表示方式的比较
非参数方式
参数方式
与坐标轴相关 非平面曲线、复杂曲面
难以用常系数表示 会出现斜率为无穷大的
情况 不便于计算和编程
几何不变性：在不同的坐标系中度量 控制点时,所生成的几何形状保持不变
与坐标轴无关（几何不变 性），以至于可以表示任意 维空间中的复杂曲线，
便于处理斜率无穷大情况
便于用参数变量的范围（例 如限制在[0 ,1]内），获得唯 一有界曲线或曲线分段描述
便于编程实现，易于计算曲 线上的点、导数等。
有更大的自由度来控制曲线 曲面的形状
从几何角度看：直线（平面）、曲线（曲面）
一：可以用标准的解析式即方程来表示。直线、圆、抛物 线、椭圆、平面、圆柱面、圆锥面、球面等等
二：自由曲线曲面。由从实际测量得到的一组离散数据点 （控制点/型值点）来确定。通过数学方法惟一地定义其 形状（计算机辅助几何设计CAGD－Computer Aided Geometric Design，综合了微分几何、代数几何、数值计算 、逼近论、拓扑学、数控技术等的一门边缘性学科 ）
0
o y 1 x2
0 x 1
xo
1.
0
参数方式(一)
x o
x
1 1
t t
2 2
y
1
2t t
2
1. x
0
0t 1
显式方式
参数方式(二)
二次曲线曲面
由二次方程所描述。包括球面、椭球面、环面、抛物面 和双曲面。可以用来构造更复杂的物体
自由曲线-自由曲面设计
若令 d k x
n
a
j 0
m
k 0
i k
Si ,
d
k 0
n
i yk xk Ti；则可得方程组： k
j
S i j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；
一组实验数据： x 0 10 20 30 40
多项式拟合最小二乘法
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和来衡量：
(a0 , a1 ,..., am ) d k [ F ( xk ) yk ]2
k 0 n
F ( x) a j x j 使得偏 令F(x)为一个m次多项式，
j 0
m
差平方和 达到极小；
最小二乘法解决逼近问题
根据求极值问题的方法可知，使 (a j ) 达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i 2 d k a j xkj y k xk 0 ai k 0 j 0
i 0,1,..... m
1972年，德布尔(de Boor)给出了B样条的标准计算 方法；
1974年，通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔 德(Riesenfeld)在B样条理论的基础上，提出了B样 条曲线、曲面；
1975年，美国的佛斯普里尔(Versprill)提出了有理B 样条方法； 80年代后期，美国的皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)将 有理B样条发展成非均匀有理B样条(NURBS)方法；
最经典Catia曲线曲面设计基本理论
形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又 便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解 决的问题。曲面造型的目的就在如此。
1963 年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次 Hermite 插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向 的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
Pz（t）＝ [ B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0z P1z P2z P3z ]T
注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。
2．Betnstein 基函数的性质
注意：是基函数的性质，并非曲线的性质。 （1）正性
（2）端点性质
（3）权性
由二项式定理可知：
（4）对称性
7
因为 （5）递推性。
,其计算过程表示为：
Bi,n(t)
Bi,n-1(t)
Bi,n-2(t)
Bi,n-3(t)
………
Bi-1,n-1(t)
Bi-1,n-2(t)
Bi-1,n-3(t)
………
Bi-2,n-2(t)
Bi-2,n-3(t)
………
Bi-3,n-3(t)
………
……… 即高一次的 Bernstein 基函数可由两个低一次的 Bernstein 调和函数线性组合而成。 （6）导函数
B1,n (t)
...
Bn,n (t)
⎢ ⎢
P1
⎥ ⎥
⎢ ... ⎥
计算机辅助几何设计_绪论
计算机辅助几何设计CAGDComputer-Aided Geometric Design CAGDCAGDComputer-Aided Geometric DesignCG （Computer Graphics）计算机图形学的发展主要原因主要原因：：图形设备昂贵图形设备昂贵、、功能简单功能简单，，基于图形的应用软件缺乏应用软件缺乏。
计算机图形学的研究内容为此，必须建立图形所描述的场景的几何表示，再几何表示计算机辅助几何设计计算机图形学的研究内容与应用Entertainment Industry: Movie industryEntertainment Industry: GameCAD : Product designCAD : Architectural DesignSIGGRAPHGeometric ModelingComputational Geometry）计算几何（《数学辞海第四卷）数学辞海》》第四卷CAGDComputer-Aided Geometric Design计算机辅助几何设计CAGD的研究对象初等解析曲线曲面自由型曲线曲面CAGD计算机执行计算和处理程序CAGD 的核心问题中，核心的问题是计算机表示 核心的问题是计算机表示对形状数学描述的要求CAGD的发展主线矢函数方法与Coons方法以上两者都存在形状控制与连接问题Bézier方法éBézier/xdjyjx/tuxing /Chapter3/Bezier/CG_Txt_3_202.htmBézier曲面片B样条方法B样条方法较成功地解决了局部形状控制问题，并在参数连续性基础上解决了连接问题。
M P(0.5)P(1)P(0)B2..P (0)P (1),,P(1)P1P 0P 2P 3P(0)P(μ)......P mP nP(t)B0B1B2B32/)()1(2/)()0(6/)4()1(6/)4()0(1302321210B B P B B P B B B P B B B P −=′−=′++=++=/xdjyjx/tuxing/Chapter3/BSpline/CG_Txt_3_204.htmB样条曲面片NURBS方法NURBS 方法提出NURBS 方法方法，，即非均匀有理B 样条方法主要是为了找到既与描述自由型曲线曲面的B 样条方法相统一相统一，，又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法数学方法。
计算机造型辅助设计简介汇总一篇
计算机造型辅助设计简介汇总一篇计算机造型辅助设计简介 1计算机造型辅助设计简介自由曲面设计产品外形自由曲面设计的研究是CAS的一个重要内容，采用曲面特征设计(Surface Feature Design)是自由曲面设计的一个重要发展。
曲面特征设计包括了3部分，即基本表面、移动特征和串通图形。
草图设计草图设计技术是随着实体造型技术的发展、为满足工业__传统的手绘习惯而发展起来的造型技术。
它是用来弥补传统CAD 系统与工业设计之间鸿沟的有效手段。
该技术的重点在于2个方面：一是设计过程中的人机交互技术，即设计系统如何有效地模拟设计手绘;二是草图重建技术。
当前，国内外已建立了一些基于草图的CAD系统。
工作站是一种以个人计算机和分布式网络计算为基础，主要面向专业应用领域，具备强大的数据运算与图形、图像处理能力，为满足工程设计、动画制作、科学研究、软件开发、金融管理、信息服务、模拟仿真等专业领域而设计开发的高性能计算机。
工作站根据软、硬件平台的不同，一般分为基于RISC/UNIX系统的传统工作站和基于Windows、Intel的PC工作站。
UNIX 工作站是一种高性能的专业工作站，他具有强大的处理器(以前多采用RISC芯片)和优化的内存、I/O、图形子系统，使用专有的处理器(Alpha、Mips、Power等)、内存以及图形等硬件系统，专有的UNIX操作系统，针对特定硬件平台的应用软件，彼此互不兼容。
而PC工作站则是基于高性能的X86处理器之上，使用稳定的Windows NT及Windows2000 操作系统，采用符合专业图形标准(OpenGL)的图形系统，再加上高性能的存储、I/O、网络等子系统，来满足专业软件运行的要求;以NT为架构的工作站采用的是标准、开放的系统平台，能最大程度的降低拥有成本;并且由于ISV加强NT及2000平台软件的开发和移植工作，为NT及2000工作站提供大量的专业应用软件。
Pro/EngineerPro/Engineer是美国PTC公司研制开发的基于参数化设计的三维设计软件，是一个全方位的3D产品开发环境，集零件设计、装配、模具开发、NC加工、钣金设计、自动测量等功能于一体。