新-第7章-几何造型技术
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第7章 产品建模技术
第7章 产品建模技术
7.1 几何建模
建模技术是将现实世界中的物体及其属性转化为计算 机内部可数字化表示，可分析、控制和输出的几何形体的 方法。 产品的设计过程是信息处理的过程。早期的 CAD系统 只能处理二维信息，设计人员通过这种CAD系统来设计绘 制零件的投影图，以表达一个零件的形状及尺寸，而在计 算机内部只记录了零件的二维数据，为了能让计算机内部 处理三维实体，就需要解决几何造型技术问题，即以计算 机能够理解的方式，对实体进行确切的定义及数学描述， 再以一定的数据结构形式在计算机内部构造这种描述，用 以建立该实体的模型。
7.2特征建模
1. 特征 有一定拓扑关系的一组实体体素构成的特定形体，它还 包括附加在形体上的工程信息，对应一个或多个功能，能够 被固定的加工方法加工成型。如孔、槽、凸台等，这些特定 的功能形体，不仅包含的确定的几何形状信息，而且还包含 如材料、尺寸公差和形位公差等各种属性。 2. 特征的分类 （1）形状特征：与公称几何相关的概念； （2）精度特征：可接受公称形状和大小的偏移量，包括尺 寸公差、形位公差、表面粗糙度等； （3）技术特征：性能参数； （4）材料特征：材料种类、性能、热处理和条件等； （5）装配特征：零件相关方向、相互作用面和配合关系。
3.特征建模系统 特征建模通常由特征模型、精度特征模型、材料特征模型组 成，而形状特征模型是特征建模的核心和基础。 特征建模系统的框架如下图所示：
4.特征建模的功能 (1) 预定义特征，建立特征库； (2) 特征库的智能化应用，实现基于特征的零件设计； (3) 为特征附加注释，并为用户例举参考特征； (4) 支持用户定义特征以及管理、操作特征库； (5) 特征消隐、移动； (6) 零件设计中，跟踪和提取有关几何属性。
பைடு நூலகம்
7.1 几何建模
建模技术是将现实世界中的物体及其属性转化为计算 机内部可数字化表示，可分析、控制和输出的几何形体的 方法。 产品的设计过程是信息处理的过程。早期的 CAD系统 只能处理二维信息，设计人员通过这种CAD系统来设计绘 制零件的投影图，以表达一个零件的形状及尺寸，而在计 算机内部只记录了零件的二维数据，为了能让计算机内部 处理三维实体，就需要解决几何造型技术问题，即以计算 机能够理解的方式，对实体进行确切的定义及数学描述， 再以一定的数据结构形式在计算机内部构造这种描述，用 以建立该实体的模型。
7.2特征建模
1. 特征 有一定拓扑关系的一组实体体素构成的特定形体，它还 包括附加在形体上的工程信息，对应一个或多个功能，能够 被固定的加工方法加工成型。如孔、槽、凸台等，这些特定 的功能形体，不仅包含的确定的几何形状信息，而且还包含 如材料、尺寸公差和形位公差等各种属性。 2. 特征的分类 （1）形状特征：与公称几何相关的概念； （2）精度特征：可接受公称形状和大小的偏移量，包括尺 寸公差、形位公差、表面粗糙度等； （3）技术特征：性能参数； （4）材料特征：材料种类、性能、热处理和条件等； （5）装配特征：零件相关方向、相互作用面和配合关系。
3.特征建模系统 特征建模通常由特征模型、精度特征模型、材料特征模型组 成，而形状特征模型是特征建模的核心和基础。 特征建模系统的框架如下图所示：
4.特征建模的功能 (1) 预定义特征，建立特征库； (2) 特征库的智能化应用，实现基于特征的零件设计； (3) 为特征附加注释，并为用户例举参考特征； (4) 支持用户定义特征以及管理、操作特征库； (5) 特征消隐、移动； (6) 零件设计中，跟踪和提取有关几何属性。
பைடு நூலகம்
计算机图形学8
一般约定，边界面上任一点的法向指向物体外部。显然，这
是一种利用正则集合算子产生正则形体的直接方法。
16
8.2 常用形体的表示方式
8.2.3 实体的边界表示（Brep Boundary Representation）
前面已经讨论了用实体的边界表示一个实体的理论基础。这
里主要讨论边界表示正确性的检验及边界表示的数据结构。 形体的边界表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和 形状；是最成熟、无二义的表示法。实体的边界通常是由面 的并集来表示，而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边 界来表示，面的边界是边的并集，而边又是由点来表示的。 边界表示的一个重要特点是：描述形体的信息包括几何信息 （Geometry）和拓扑信息（Topology）两个方面，拓扑信息 描述形体上的顶点、边、面的连接关系，拓扑信息形成物体 边界表示的“骨架”，形体的几何信息犹如附着在“骨架” 上的肌肉。例如形体的某个表面位于某一个曲面上，定义这 一曲面方程的数据就是几何信息。此外，边的形状、顶点在 三维空间中的位置（点的坐标）等都是几何信息，一般说来 ，几何信息描述形体的大小、尺寸、位置、形状等。
20
8.2 常用形体的表示方式
8.2.3 实体的边界表示
为了方便对形体的修改，还定义了两个辅助的操作：
11).semv(e1,v,e2)，将边e1分割成两段，生成一个新的点v和一条新的边e2 。 12).jekv(e1,e2)，合并两条相邻的边e1、e2，删除它们的公共端点。
8
8.2 常用形体的表示方式
8.2.1 实体的定义及正则形体
Voelcker及Requicha等基于点集拓扑的理论，认为：
三维空间中的物体是空间中点的集合。 组成一个三维物体的点的集合可以分为内部点和边界点两部分。由内部 点构成的点集的闭包就是正则集。 三维空间中点集的正则集就是三维正则形体，即有效的实体。 形象地说，正则形体是由其内部的点集及紧紧包这些点的表皮组成的。
是一种利用正则集合算子产生正则形体的直接方法。
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8.2 常用形体的表示方式
8.2.3 实体的边界表示（Brep Boundary Representation）
前面已经讨论了用实体的边界表示一个实体的理论基础。这
里主要讨论边界表示正确性的检验及边界表示的数据结构。 形体的边界表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和 形状；是最成熟、无二义的表示法。实体的边界通常是由面 的并集来表示，而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边 界来表示，面的边界是边的并集，而边又是由点来表示的。 边界表示的一个重要特点是：描述形体的信息包括几何信息 （Geometry）和拓扑信息（Topology）两个方面，拓扑信息 描述形体上的顶点、边、面的连接关系，拓扑信息形成物体 边界表示的“骨架”，形体的几何信息犹如附着在“骨架” 上的肌肉。例如形体的某个表面位于某一个曲面上，定义这 一曲面方程的数据就是几何信息。此外，边的形状、顶点在 三维空间中的位置（点的坐标）等都是几何信息，一般说来 ，几何信息描述形体的大小、尺寸、位置、形状等。
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8.2 常用形体的表示方式
8.2.3 实体的边界表示
为了方便对形体的修改，还定义了两个辅助的操作：
11).semv(e1,v,e2)，将边e1分割成两段，生成一个新的点v和一条新的边e2 。 12).jekv(e1,e2)，合并两条相邻的边e1、e2，删除它们的公共端点。
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8.2 常用形体的表示方式
8.2.1 实体的定义及正则形体
Voelcker及Requicha等基于点集拓扑的理论，认为：
三维空间中的物体是空间中点的集合。 组成一个三维物体的点的集合可以分为内部点和边界点两部分。由内部 点构成的点集的闭包就是正则集。 三维空间中点集的正则集就是三维正则形体，即有效的实体。 形象地说，正则形体是由其内部的点集及紧紧包这些点的表皮组成的。
cad教程第7章_三维绘图基础知识
幻灯片1第7章三维绘图基础知识AutoCAD 2004在工程制图的应用中有一项重要的功能，即绘图零件的三维实体模型。
AutoCAD 2004提供直接绘制三维实体的功能，并支持多种三维绘制方法。
本章主要向用户介绍三维绘图的基础知识，讲解基本的三维图形绘制和编辑命令，使用户对AutoCAD 2004三维造型的特点、使用方法及使用技巧有基本的了解，掌握一定三维图形的看图和绘图能力。
幻灯片27.1 基本概念7.2 基本绘图操作7.3 绘制三维表面模型7.4 基本编辑操作7.5 观察和渲染三维图形7.6 三维典型零件绘制实例幻灯片37.1基本概念●7.1.1三维造型的分类用计算机绘制三维图形的技术称为三维几何造型。
A u t o C A D2004可绘制的三维图形有线框模型、表面模型和实体模型3种类型。
幻灯片4●1．线框模型线框模型是三维形体的框架，是一种较直观和简单的三维表达方式，由描述对象的线段和曲线组成，如图7-1所示。
幻灯片5图7-1 线框模型示例幻灯片6●2．表面模型表面模型用面描述三维对象，它不仅定义了三维对象的边界，而且还定义了表面，即其具有面的特征。
图7-2给出了表面模型的示例。
幻灯片7图7-2 表面模型示例幻灯片8●3．实体模型实体模型不仅具有线、面的特征，而且还具有体的特征。
图7-3给出了实体模型的几个示例。
幻灯片9图7-3 实体模型示例幻灯片10对于实体模型，我们可以直接了解它的体特性，如体积、重心、转动惯量和惯性矩等；可以对它进行消隐、剖切和装配干涉检查等操作，还可以对具有基本形状的实体进行并、交、差等布尔运算，以创建复杂的组合体。
此外，由于着色、渲染等技术的运用可以使实体表面表现出很好的可视性，因而实体模型还广泛用于三维动画、广告设计等领域。
幻灯片11●7.1.2用户坐标系的基本概念用户坐标系（U C S）是用来指明当前可以实施绘图操作的默认的坐标系，在任何情况下都有且仅有一个当前用户坐标系。
三维几何建模技术
物性计算、有限元分析 用集合运算构造形体
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
局限性
无法观察参数的变化，不可 能产生有实际意义的形体
不能表示实体、图形会有 二义性 不能表示实体 只能产生正则形体 抽象形体的层次较低
实体模型
4.3 实体模型的构造方法
常常是采用一些基本的简单的实体（体素），然后 通过布尔运算生成复杂的形体。 实体建模主要包含两个方面的内容：体素的定义与 描述，体素之间的布尔运算。 体素的定义方式有两类： １）基本体素 可以通过输入少量的参数即可定义的体素。 ２）扫描体素 又可分为平面轮廓扫描体素和三维实体扫描体 素。平面轮廓扫描法是一种将二维封闭图形轮廓，沿指 定的路线平移或绕一个轴线旋转得到的扫描体，一般使 用于回转体或棱柱体上。
E:{E1, E2, E3, E4}
E2
V1 F1 E
E1
F2
E E3 V2
E
E4
4.2 几何建模技术
• 几何建模系统分类 （1）二维几何建模系统 （2）三维几何建模系统 • 根据描述方法及存储的几何信息、拓扑信 息的不同，三维几何建模系统可分为三种 不同层次的建模类型： 线框建模、表面建模、实体建模。
产品建模的步骤：
现实物体
抽象化
想象模型
格式化
信息模型 具体化 计算机内部模型
4.1 几何造型技术概述
产品建模技术的发展 20世纪60年代 几何建模技术产生 初始阶段主要采用线框结构，仅包含 物体顶点和棱边的信息。线框建模 表面建模，增加面的信息。
20世纪70年代
20世纪70年代末 实体建模，包含完整的形体几何信 息和拓扑信息。
4.2 几何建模技术
1）顶点坐标值存放在顶点表中； 2）含有指向顶点表指针的边表，用来为多边形的每 条边标识顶点； 3）面表有指向边表的指针，用来为每个表面标识其 组成边。
第七章-三维实体的表示
◦ 对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面 是二维流形，则该正则点集是实体(有效物体)。这 个描述中的条件在计算机中是可检测的。
5
正则集合运算
通过对简单实体做适当的运算来构造复杂实 体是一个有效的方法。
实体可看作点集，对实体进行的运算主要是 集合运算。
但是对两个实体做普通的集合运算并不能保 证其结果仍是实体。如下，两个二维实体A 、B求交：
20
实体表示方法——边界表示
◦ 简单多面体是指与球拓扑同构的的多面体，可连 续变换成一个球。它满足下面的欧拉公式：
v-e+f=2
其中v,e,f分别是多面体的顶点数、边数和面数。欧 拉公式是一个多面体为简单多面体的必要但非充 分条件。
v=8,e=12,f=6
v=4,e=6,f=4
21
实体表示方法——边界表示
◦ 正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r•A为A的正则点集。但正则点集未必是实体。
4
实体的定义
下图是带悬挂边与孤立点、边的二维物体， 以此为例来说明正则运算的过程。
二维流形：
◦ 是指这样一些面，其上任一点都存在一个充分小 的邻域，该领域与平面上的圆盘是同构的，即在 该邻域与圆盘之间存在连续的一一映射。
：
Sb SiS
◦ 由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维 空间分成了三个区域(iS,bS,eS)。边界bS与实体S是 一一对应的，确定了边界，也就唯一确定了一个 实体。为了求实体A,B的正则运算结果Aop*B ，只 要求出其边界b(Aop*B)即可。我们有：
b ( b A i) A B ( b b A ) ( b B e A )B
2
实体的定义
实体造型中必须保证物体的有效性(客观存在 )。
5
正则集合运算
通过对简单实体做适当的运算来构造复杂实 体是一个有效的方法。
实体可看作点集，对实体进行的运算主要是 集合运算。
但是对两个实体做普通的集合运算并不能保 证其结果仍是实体。如下，两个二维实体A 、B求交：
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实体表示方法——边界表示
◦ 简单多面体是指与球拓扑同构的的多面体，可连 续变换成一个球。它满足下面的欧拉公式：
v-e+f=2
其中v,e,f分别是多面体的顶点数、边数和面数。欧 拉公式是一个多面体为简单多面体的必要但非充 分条件。
v=8,e=12,f=6
v=4,e=6,f=4
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实体表示方法——边界表示
◦ 正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r•A为A的正则点集。但正则点集未必是实体。
4
实体的定义
下图是带悬挂边与孤立点、边的二维物体， 以此为例来说明正则运算的过程。
二维流形：
◦ 是指这样一些面，其上任一点都存在一个充分小 的邻域，该领域与平面上的圆盘是同构的，即在 该邻域与圆盘之间存在连续的一一映射。
：
Sb SiS
◦ 由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维 空间分成了三个区域(iS,bS,eS)。边界bS与实体S是 一一对应的，确定了边界，也就唯一确定了一个 实体。为了求实体A,B的正则运算结果Aop*B ，只 要求出其边界b(Aop*B)即可。我们有：
b ( b A i) A B ( b b A ) ( b B e A )B
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实体的定义
实体造型中必须保证物体的有效性(客观存在 )。
计算机辅助几何造型技术第三版课程设计 (2)
计算机辅助几何造型技术第三版课程设计一、课程设计背景在计算机科学技术的发展中，计算机辅助设计技术已经成为现代设计领域中不可或缺的一部分。
几何造型技术是计算机辅助设计领域中的一项重要技术，可以应用于建筑设计、汽车设计、航空航天设计等各个领域。
计算机辅助几何造型技术第三版课程旨在通过教授基本几何造型原理和使用几何造型软件进行实践操作来培养学生计算机辅助几何造型技术的实践能力和理论思维能力。
二、课程设计目标本课程设计的目标，主要是使学生掌握几何造型技术的使用和基础原理，培养学生的计算机辅助设计能力。
具体可分为以下几个方面：1.学习几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算；2.掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计；3.通过实践操作，掌握几何造型的制作过程，培养实践能力；4.培养学生的团队合作意识和沟通能力，能够独立完成一个小型几何造型项目。
三、课程设计内容本课程设计内容主要包括以下几个部分：3.1 几何造型原理1.基础几何概念的回顾及其应用；2.几何体建模基础原理；3.自由曲面设计基础原理。
3.2 几何造型软件1.几何造型软件的种类及其使用方法；2.SolidWorks软件的使用方法；3.Pro/E软件的使用方法；4.AutoCAD软件的使用方法。
3.3 实践操作1.设计小型几何形体；2.计算几何体表面积和体积；3.制作自由曲面模型；4.进行网格优化和细化。
3.4 项目实践1.小组项目设计；2.撰写终稿及展示。
四、考核方式本课程设计的考核方式将通过以下几种方式来完成：1.期中考试：占总成绩的40%；2.课程作业：占总成绩的30%；3.项目评估：占总成绩的20%；4.课堂表现：占总成绩的10%。
五、总结通过本次计算机辅助几何造型技术第三版课程设计的学习和实践操作，学生可以掌握基本几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算，并且掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计。
在项目实践中，学生将获得更加完整和深入的实践体验，可以培养学生实践能力和团队合作意识。
07第九讲造型艺术(定稿)
• 罗丹《 吻》
罗丹《 加莱义 民》
罗丹《加莱义民》
• 西方雕塑艺术史上的第四个高峰，是20世纪西方雕塑，代 表人物有法国著名雕塑家马约尔、现代主义雕塑家英国的 亨利.摩尔等，他们拓展了雕塑的观念，探索新的雕塑语 言。
摄影艺术
• 摄影艺术是一种现代的造型艺术。它是摄影师运用照相机 作为基本工具，根据创作构思将人物或景物拍摄下来，经 过暗房工艺处理，塑造出可视的艺术形象，用来反映社会 生活与自然现象，并表达作者思想情感的一种艺术样式。
• 自然风景摄影1：四川九寨沟
• 自然风景摄影2：长白山天池
都市风景摄影1
• 都市风景摄影2
《受伤的女子》这幅照片是摄影史上的经典之作。一个受伤而只绑绷带 裸睡的女子，是那幺安详而不带一丝猬亵。显示了布拉弗观察事物的智能： 人和环境是多样性，且经常会改变的，我们要把观点放在上面，才有可能 使影像表现永葆丰富。
《最著名的吻》是有关接吻的著名照片中最早的一张。面对这张在公共 场合抢拍的照片，今天的人们可能会想到肖像权，隐私权这样的字眼，实 际上它的确引发了一场肖像权的官司。但这并没能阻挡它在全世界流传。
《她叫玛格 丽特马瑟》这 幅坐姿人体使 韦斯顿的人体 摄影达到巅峰 状态，也是人 体摄影最伟大 的经典之一， 并由此产生了 一系列抽象的 人体艺术。
• 还有陈列性雕 塑，如室内架 上雕塑、展览 馆室内雕塑等。
• 从样式区分，雕塑还 可以分为头像、胸像、 半身像、全身像、群 像等。
• 胸 像 雕 塑
半身像
• 全 身 像 雕 塑
拉奥孔
群像 (雕塑)
• 从表现手法和形式分，雕塑又可分为圆雕、浮雕和透雕三 类。 • 圆雕，又称“浑雕”，是不附在任何背景上，可以从四面 观赏的立体雕塑。圆雕的特点是立于空间中的实体形象， 在创作时必须考虑它的体积感与厚重感，在塑造形象时还 必须照顾到人们从不同的角度进行观赏。
chap三维造型技术分形造型学时实用
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3 分形的分类
• 不变分形集 • 由非线性变换形成
• 自平方分形(Self-squaring) • 自逆分形(Self-inverse)
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分形造型
• 基本概念 • 分形的生成过程 • 分形的分类 • 分形造型
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4 分形造型
• 重构方法的分类 • 从物体3D表面数据重构 • 从2D投影图重构
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其他造型方法
• (1)从物体3D表面数据重构 • 主要用于考古文物复制、假肢制作、仿生外形设计等 • 重构的分类
• 基于规则数据 • 基于完全散乱的数据
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其他造型方法
• 重构的一般步骤 • 拓扑重建多边形网格 • 网格优化构造质量更优或规模更小的网格，同时保持拓扑不变，满足几何精度要求 • 几何重建重建光滑的曲面
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模拟火焰的效果
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模拟水的效果
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谢谢
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感谢您的欣赏！
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其他造型方法
• 三维重构 • 自由形状变形 • 粒子系统
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其他造型方法
• 三维重构（也称曲面重建）
• 是获取物体表面的3D数据，或根据物体的2D投影数据自动构造物体3D几何信息与拓扑信息，并建立物体 的数字模型的过程
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几何造型方法
围成的部分来定义形体 的表面，表面可以是平面、解析曲面或参数曲 面。表面模型在线框模型的基础上增加了环边 信息、表面特征等。 对表面模型，由于面与面之间没有必然的关系， 形体在面的哪一侧无法给出明确的定义，所描 述的仅是形体的外表面，并没切开物体而展示 其内部结构，因此也就无法表示零件的立体属 性，也无法指出所描述的物体是实心还是空心。 因而在物性计算、有限元分析等应用中表面模 型仍缺乏表示上的完整性。
33
早期的几何造型系统有一个共同的特点：它们只支持正
则的形体造型。正则形体集的概念最早是由罗切斯特大学的
Requicha引入造型系统的。为了保证几何造型的可靠性和正 确性，要求形体上的任意一点的充分小的邻域在拓扑上与平 面上的圆盘是同构的，即：在该邻域与圆盘之间存在连续的 一对一的映射关系，围绕该点的形体的充分小的邻域在二维
?树的叶子?树的非终端结点?二叉树根结点30?将构造实体的过程表示成一棵二叉树称为csg树?叶节点基本体素如立方体圆柱体圆环锥体球体等?中间节点并交差正则集合运算uu31?优点?表示简单直观无二义性?数据量比较小内部数据的管理比较容易?形体形状容易被修改?可用作图形输入的一种手段?容易计算物体的整体性质?物体的有效性自动得到保证?缺点?表示物体的csg树不唯一?受体素种类和对体素操作种类的限制csg方法表示形体的覆盖域有较大的局限性?形体的边界几何元素点边面隐含地表示在csg中因此显示与绘制csg表示的形体需要较长的时间?求交计算麻烦32?不同系统中生成实体模型的方式也多种多样复杂的构件通过连接相应的具有大小和定位的基本体素来生成
维模型分为线框模型、表面模型和实体模型。
2
4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础，为分析、模 拟、加工等提供信息。
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早期的几何造型系统有一个共同的特点：它们只支持正
则的形体造型。正则形体集的概念最早是由罗切斯特大学的
Requicha引入造型系统的。为了保证几何造型的可靠性和正 确性，要求形体上的任意一点的充分小的邻域在拓扑上与平 面上的圆盘是同构的，即：在该邻域与圆盘之间存在连续的 一对一的映射关系，围绕该点的形体的充分小的邻域在二维
?树的叶子?树的非终端结点?二叉树根结点30?将构造实体的过程表示成一棵二叉树称为csg树?叶节点基本体素如立方体圆柱体圆环锥体球体等?中间节点并交差正则集合运算uu31?优点?表示简单直观无二义性?数据量比较小内部数据的管理比较容易?形体形状容易被修改?可用作图形输入的一种手段?容易计算物体的整体性质?物体的有效性自动得到保证?缺点?表示物体的csg树不唯一?受体素种类和对体素操作种类的限制csg方法表示形体的覆盖域有较大的局限性?形体的边界几何元素点边面隐含地表示在csg中因此显示与绘制csg表示的形体需要较长的时间?求交计算麻烦32?不同系统中生成实体模型的方式也多种多样复杂的构件通过连接相应的具有大小和定位的基本体素来生成
维模型分为线框模型、表面模型和实体模型。
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4.1 概述
几何模型是由几何信息和拓扑信息构成的模型，为图形的 显示和输出提供信息，并且作为设计的基础，为分析、模 拟、加工等提供信息。
第七章 图形的表示
数学中的点、线、面是其所代表的真实世界中的 对象中的一种抽象，它们之间存在着一定的差距。例 如，数学中的平面是二维的，它没有厚度，体积为0； 而在真实世界中，一张纸无论多么薄，它也是一个三 维体具有一定的体积。这种差距造成了在计算机中以 数学方法描述的形体可能是无效的，即在真实世界中 可能不存在。尽管在有的情况下要构造无效形体，但 用于计算机辅助设计与制造系统设计生产的形体必须 是有效的，所以在实体造型中必须保证实体的有效性 ，原则上的标准是要求“客观存在”。
第7章 图形的表示
图形的表示方法一直是计算机图形学关注的主要问 题。在计算机图形学发展的旱期，计算机图形系统的性 能较差，线框模型是表示三维物体的主要方法。线框模 型仅仅通过定义物体边界的直线和曲线来表示三维物体 ，其特点是模型简单目运算速度较快，但由于每一条直 线或四线都是单独构造出来的，不存在面的信息，因此 三维物体信息的表示不全面，在许多场合不能满足要求 。事实上，研究表示复杂形体的模型与数据结构是计算 机造型等技术的关键。经过近20年的发展，买体的边界 表示法、扫描表示法、构造的实体几何法及八叉树表示 法等已经发展成熟。
7.2 实体表示的三种模型
形体在计算机中常用线框模型、表面模型和实体 模型三种模型来表示。线框模型是在计算机图形学和 CAD、CAM领域中最早用来表示形体的模型，并且至 今仍在广泛应用。线框模型是用顶点和棱边表示形体 ，其特点是结构简单，易于理解，并是表面和实体模 型的基础。如前所述，用线框模型表示形体时曲面的 轮廓线无法随视角的变化而改变；线框模型无法给出 全部连续的几何信息，只有顶点和棱边，不能明确地 定义给定的点与形体之间的关系，以致不能用线框模 型处理计算机图形学和CAD、CAM领域中的多数问题 ，如图7.8所示。
第三章 几何造型技术1
比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角i-1和 i(不 超过时)越大，则修正系数就K i 就越大。
参数区间的规格化
我们通常将参数区间 规格化为 [0, 1] ， [ t0, t n ] [t 0 , t n ] [0,1] ，只需对参数化区间作如下处理：
ti t 0 0,ti ,i 0,1, ,n tn
几何造型的历史
曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、 Pierre Bézier、汽车外形设计的UNISURF系统。 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build 系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。 独立发展起来，又合二为一。 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示 的造型设计系统
线框模型用顶点和棱边来表示物体。
由于没有面的信息，它不能表示表面含有
曲面的物体；
它不能明确地定义给定点与物体之间的关
系（点在物体内部、外部或表面上）。
表面模型用面的集合来表示物体，而用环来 定义面的边界。
表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色 彩图、数控加工等需要。 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟 存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义， 无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面 积、体积、重心等。 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它 物体相互关联的性质，如是否相交等。
3.1 参数曲线和曲面
3.1.1 曲线曲面参数表示
显式表示:y=f（x） 隐式表示:f（x，y）=0 参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
显式或隐式表示存在下述问题：
1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。
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计算机图形学
正则集合运算
故
b（A∩*B）=（bA∩iB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩iB））
同理可得： b（A∪*B）=（bA∩cB）∪（bB∩cA）∪（bA∩bB∩k(cA∩cB)）
b（A－*B）=（bA∩cB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩cB)）
计算机图形学
2、构造实体几何法（CSG法）
计算机图形学
7.3 实体模型的构造
7.3.1 概述 2、实体表示基本要求 （1）适用范围尽量大 （2）无二义性 （3）惟一性 （4）近似性 （5）有效性 （6）为节省存储空间，表示方法应该紧凑
计算机图形学
7.3.2 边界表示（B-rep）法 1、形体的拓扑关系 对于一个形体，不但有几何信息（大小、位置等），同时 还有拓扑信息。所谓形体的拓扑信息是指形体上所有顶点、 棱边、表面之间的相互连接关系，实体的面、边、点之间共 有9种不同类型的拓扑关系。 如图，V：顶点，E：边， F：面，V－>{E}表示由一 个顶点对应相交于此顶点 的所有边；F－>表示由一 个面找出该面所有边。
计算机图形学
CSG方法示意图
计算机图形学
7.3.4 扫描法
通过在空间移动的几何集合，扫描出一个实体。 a、要定义移动物体，如曲线、曲面或实体 b、要定义移动轨迹 1、平移扫描法 一个二维图形沿着轨迹作直线移动而形成三维图形，这种方 法称为平移扫描。如图，扫描线是一条直线，扫描得到曲面。
平移扫描
旋转扫描
2、旋转扫描法 绕某以轴线旋转某一角度而形成实体。如图，扫描体是一条 曲线，旋转轴是一直线，旋转后得到一个曲面。
画、边、点之间的拓扑关系
计算机图形学
7.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
3、实体模型 反映物体三维形貌，明确定义表面哪一侧存在实体。
实体表示模型
实体模型的优点： （1）完整定义了立体图形，能区分内外部； （2）能提供清晰的剖面图； （3）能准确计算质量特征和有限元网格； （4）方便机械运动的模拟。
计算机图形学
7.3 实体模型的构造
1973年在英国剑桥大学由I· Braid等建成了BUILD系统 C· 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
计算机图形学
2、表面模型
3、实体模型
7.2 几何造型系统三种模型 1、 线框模型 最早表示形体模型，用线框表示物体，如图。
线框模型的数据结构
计算机图形学
线框模型的优缺点
优点: 构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
构造实体几何法是当前许多CAD／CAM系统采用的 表示三维形体的一种方法。CSG用系统定义的简单几何形 体（体素）经正则集合运算，构造出所需要的复杂实体。 通过下图大家可以很容易地发现这种方法的基本思想： 一个三维形体可以通过一些基本形体（这里是两个长方体 和一个圆柱体）的并、差等集合运算来得到正确表示。
计算机图形学
7.3.3 构造实体几何法（CSG） 1、正则集合运算
（1）定义 对两个实体进行普通的布尔运算产生的结果并不一定 是实体。
为此，我们不使用普通布尔运算，而是采用正则布尔 运算。正则化运算符可以分别用∪*，∩*和－*表示。定义 这些运算符后，对实体进行布尔运算时总是产生实体。
计算机图形学
计算机图形学
小结
除上述四种实体造型方法以外，还有其它一些方法，如 基本体素表示法、空间位置枚举法、描述性造型和基于
物理的造型。
对于不规则形体的造型，例如山、水、树、草、云、烟 等自然界丰富多彩的物体，不能用欧氏几何加以描述， 可用分形理论的随机插值模型、粒子系统模型和基于文 法模型等对这些不规则形体进行造型。
7.3.1 概述
目前常用实体造型方法有：边界方法、构造实体几何法、
扫描法和分解表示法。 1、形体描述 在计算机内，通常用体、面、环、边、顶点五 个层次来 描述。 （1）体：由封闭表面围成，如 右图。 （2）面：由外环和内环所定范 (a)正则形体 (b) 非正则形体 围，如图 (a) 有六个环。 图8.5 正则形体和非正则形体 （3）环：有序、有向边组成的 面上封闭边界，如图 (a) V5V6V7V8 （4）边：环的组成元素 （5）顶点：边端点或曲线的型值点
计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 先讨论四叉树再讨论八叉树。
1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况： （1）图形不占区域：白色区域，不必再划分； （2）图形全占区域：黑色区域，不必再划分；
（3）不一致，继续划分。
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。
计算机图形学
缺点:
中间打孔的长方体
— 易出现二义性理解； — 缺少曲面边缘侧影轮廓线；
—缺少边与面、面与体之间关系的信息，不能描述产品
。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型 2、表面模型 在线框模型基础上，增加了有关生成立体各表面的数据 而构成的模型。
计算机图形学
图（a）中原来的集合S不等于 S’（ S’=kiS）， 故S不是正则集； 图（b）中原来的集合S=S’,故S是正则集。
正则集的定义
计算机图形学
（2）正则集运算 以二维平面上物体A和B为例， 按照下图（b）的位置求交运算，照一般 求交运算得到图（c）， 这不是正则形体，因为 有悬边，若去掉悬边就 是正则形体，因此引入正则运 集合和正则集合的交运算 算符进行运算，定义如下： A∪*B= ki(A∪B) 通过Ki作用，使A∪B运算后变成正则形体 A∩*B= ki(A∩B) 通过Ki作用，使A∩B运算后变成正则形体 A－*B= ki(A－B) 通过Ki作用，使A－B运算后变成正则形体
计算机图形学
下面考察正则集合运算C＝AB。
对于形体A，令bA表示A的边界点集，iA表示A的内部点集 ，由前面定义则有：
A=bA ∪ iA 同理，对形体B则有：
B=bB ∪ iB
计算机图形学
A∩*B的边界
如图所示，A的边界bA可分为在B内、在B上和B外三种可能， 分别表示bA∩ib、bA∩bB和bA∩cB，其中cB表示位于形体 B外的点集合。同理，bB也可分为bB∩iA、bB∩bA和bB∩cA 三部分，其中bB∩bA＝bA∩bB。由点集求交可知，A、B 的边界位于对方体内的部分组成 C的部分边界，A、B分别 位于对方体外的部分边界不在 C的边界上，也就是说 bA∩iB和bB ∩ iA组成C的部分边界，另外C的部分边界则由 图可以看出是由bA∩bB∩k（iA∩iB）组成。
7.3.3 构造实体几何法（CSG）氏空间中点的集合表示，
而三维空间中任意点的集合却不一定对应一个形体，因此 必须定义正则集。 数学上正则集的定义是：
S=kiS
给定一个集合S,如果此集合内部闭包与所给原集合相等， 则原集合称为正则集。
式中k表示闭包，i表示内部，S表示集合。该式定义是：
表面模型的数据结构
计算机图形学
按生成方式不同，表面模型有以下几种：
（1）基本面：通过对一条线扫描操作得到 （2）旋转面：对一个平面绕某一轴旋转得到 （3）相交面 （4）分析法表面 （5）雕塑曲面（自由曲面） （6）组合平面：通过四边形网格和纵横边界构成
计算机图形学
表面模型的优点与不足：
优点
利用曲面造型能够构造诸如汽车、飞机、船舶、模具 等非常复杂的物体。
计算机图形学
第七章 几何造型简介 7.1 概述 7.1.1 几何造型定义 7.1.2 几何造型历史 7.1.3 几何造型应用 7.2 几何造型三种模型 7.3 实体模型构造
第七章 几何造型简介
7.1 概述 7.1.2 几何造型历史 几何造型的基本理论和方法是在本世纪70年代开始 创立的，经过二十几年的发展和研究，现已开始被广泛 地应用在工业生产的各个领域。
计算机图形学
Computer Graphics
王汝传 wangrc@
黄海平 hhp@ 林巧民 qmlin@
教材：《计算机图形学》王汝传等
编著 人民邮电出版社
http://10.20.79.1
第七章 几何造型简介
7.1 概述 7.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
1、线框模型
由构成物体的一组顶点和 边来表示物体的几何形状 ，其中边可以是直线，也 可以是曲线，如圆弧、二 次曲线、B 样条曲线和 Bezier曲线。 表面模型是以物体的各个 表面为单位来表示其形体 特征的，在线框模型的基 础上增加了有关面和边的 几何信息、拓扑信息。 实体模型的核心问题是采用什 么方法来表示实体。与线框模 型和表面模型的根本区别在于 ：实体模型不仅记录了全部几 何信息，而且记录了全部点、 线、面、体的拓扑信息。
计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 分解表示法是把一个几何体有规律地分解为有限个单元， 这种方法不仅可以表示平面的几何体，也可以表示复杂的 包括内部有孔的几何体。 D-rep法主要有：八叉树法、细胞分解法、空间堆叠法等。 D-rep法便于进行几何体的并、交、差运算，容易计算几 何体几何特性。但这种方法不是一种精确的表示法，其近 似程度完全取决于分割精度，与几何形体的复杂程度无关 。
正则集合运算
故
b（A∩*B）=（bA∩iB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩iB））
同理可得： b（A∪*B）=（bA∩cB）∪（bB∩cA）∪（bA∩bB∩k(cA∩cB)）
b（A－*B）=（bA∩cB）∪（bB∩iA）∪（bA∩bB∩k(iA∩cB)）
计算机图形学
2、构造实体几何法（CSG法）
计算机图形学
7.3 实体模型的构造
7.3.1 概述 2、实体表示基本要求 （1）适用范围尽量大 （2）无二义性 （3）惟一性 （4）近似性 （5）有效性 （6）为节省存储空间，表示方法应该紧凑
计算机图形学
7.3.2 边界表示（B-rep）法 1、形体的拓扑关系 对于一个形体，不但有几何信息（大小、位置等），同时 还有拓扑信息。所谓形体的拓扑信息是指形体上所有顶点、 棱边、表面之间的相互连接关系，实体的面、边、点之间共 有9种不同类型的拓扑关系。 如图，V：顶点，E：边， F：面，V－>{E}表示由一 个顶点对应相交于此顶点 的所有边；F－>表示由一 个面找出该面所有边。
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CSG方法示意图
计算机图形学
7.3.4 扫描法
通过在空间移动的几何集合，扫描出一个实体。 a、要定义移动物体，如曲线、曲面或实体 b、要定义移动轨迹 1、平移扫描法 一个二维图形沿着轨迹作直线移动而形成三维图形，这种方 法称为平移扫描。如图，扫描线是一条直线，扫描得到曲面。
平移扫描
旋转扫描
2、旋转扫描法 绕某以轴线旋转某一角度而形成实体。如图，扫描体是一条 曲线，旋转轴是一直线，旋转后得到一个曲面。
画、边、点之间的拓扑关系
计算机图形学
7.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
3、实体模型 反映物体三维形貌，明确定义表面哪一侧存在实体。
实体表示模型
实体模型的优点： （1）完整定义了立体图形，能区分内外部； （2）能提供清晰的剖面图； （3）能准确计算质量特征和有限元网格； （4）方便机械运动的模拟。
计算机图形学
7.3 实体模型的构造
1973年在英国剑桥大学由I· Braid等建成了BUILD系统 C· 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
计算机图形学
2、表面模型
3、实体模型
7.2 几何造型系统三种模型 1、 线框模型 最早表示形体模型，用线框表示物体，如图。
线框模型的数据结构
计算机图形学
线框模型的优缺点
优点: 构造模型时操作简便，处理速度快且占 用内存少。 特别适用于设计构思、建立 设计图的总体空间位置关系及图形的动态 交互显示。
构造实体几何法是当前许多CAD／CAM系统采用的 表示三维形体的一种方法。CSG用系统定义的简单几何形 体（体素）经正则集合运算，构造出所需要的复杂实体。 通过下图大家可以很容易地发现这种方法的基本思想： 一个三维形体可以通过一些基本形体（这里是两个长方体 和一个圆柱体）的并、差等集合运算来得到正确表示。
计算机图形学
7.3.3 构造实体几何法（CSG） 1、正则集合运算
（1）定义 对两个实体进行普通的布尔运算产生的结果并不一定 是实体。
为此，我们不使用普通布尔运算，而是采用正则布尔 运算。正则化运算符可以分别用∪*，∩*和－*表示。定义 这些运算符后，对实体进行布尔运算时总是产生实体。
计算机图形学
计算机图形学
小结
除上述四种实体造型方法以外，还有其它一些方法，如 基本体素表示法、空间位置枚举法、描述性造型和基于
物理的造型。
对于不规则形体的造型，例如山、水、树、草、云、烟 等自然界丰富多彩的物体，不能用欧氏几何加以描述， 可用分形理论的随机插值模型、粒子系统模型和基于文 法模型等对这些不规则形体进行造型。
7.3.1 概述
目前常用实体造型方法有：边界方法、构造实体几何法、
扫描法和分解表示法。 1、形体描述 在计算机内，通常用体、面、环、边、顶点五 个层次来 描述。 （1）体：由封闭表面围成，如 右图。 （2）面：由外环和内环所定范 (a)正则形体 (b) 非正则形体 围，如图 (a) 有六个环。 图8.5 正则形体和非正则形体 （3）环：有序、有向边组成的 面上封闭边界，如图 (a) V5V6V7V8 （4）边：环的组成元素 （5）顶点：边端点或曲线的型值点
计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 先讨论四叉树再讨论八叉树。
1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况： （1）图形不占区域：白色区域，不必再划分； （2）图形全占区域：黑色区域，不必再划分；
（3）不一致，继续划分。
利用投影变换，从三维线框模型可方便 地生成各种正投影图、轴测图和任意观 察方向的透视投影图。
计算机图形学
缺点:
中间打孔的长方体
— 易出现二义性理解； — 缺少曲面边缘侧影轮廓线；
—缺少边与面、面与体之间关系的信息，不能描述产品
。
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型 2、表面模型 在线框模型基础上，增加了有关生成立体各表面的数据 而构成的模型。
计算机图形学
图（a）中原来的集合S不等于 S’（ S’=kiS）， 故S不是正则集； 图（b）中原来的集合S=S’,故S是正则集。
正则集的定义
计算机图形学
（2）正则集运算 以二维平面上物体A和B为例， 按照下图（b）的位置求交运算，照一般 求交运算得到图（c）， 这不是正则形体，因为 有悬边，若去掉悬边就 是正则形体，因此引入正则运 集合和正则集合的交运算 算符进行运算，定义如下： A∪*B= ki(A∪B) 通过Ki作用，使A∪B运算后变成正则形体 A∩*B= ki(A∩B) 通过Ki作用，使A∩B运算后变成正则形体 A－*B= ki(A－B) 通过Ki作用，使A－B运算后变成正则形体
计算机图形学
下面考察正则集合运算C＝AB。
对于形体A，令bA表示A的边界点集，iA表示A的内部点集 ，由前面定义则有：
A=bA ∪ iA 同理，对形体B则有：
B=bB ∪ iB
计算机图形学
A∩*B的边界
如图所示，A的边界bA可分为在B内、在B上和B外三种可能， 分别表示bA∩ib、bA∩bB和bA∩cB，其中cB表示位于形体 B外的点集合。同理，bB也可分为bB∩iA、bB∩bA和bB∩cA 三部分，其中bB∩bA＝bA∩bB。由点集求交可知，A、B 的边界位于对方体内的部分组成 C的部分边界，A、B分别 位于对方体外的部分边界不在 C的边界上，也就是说 bA∩iB和bB ∩ iA组成C的部分边界，另外C的部分边界则由 图可以看出是由bA∩bB∩k（iA∩iB）组成。
7.3.3 构造实体几何法（CSG）氏空间中点的集合表示，
而三维空间中任意点的集合却不一定对应一个形体，因此 必须定义正则集。 数学上正则集的定义是：
S=kiS
给定一个集合S,如果此集合内部闭包与所给原集合相等， 则原集合称为正则集。
式中k表示闭包，i表示内部，S表示集合。该式定义是：
表面模型的数据结构
计算机图形学
按生成方式不同，表面模型有以下几种：
（1）基本面：通过对一条线扫描操作得到 （2）旋转面：对一个平面绕某一轴旋转得到 （3）相交面 （4）分析法表面 （5）雕塑曲面（自由曲面） （6）组合平面：通过四边形网格和纵横边界构成
计算机图形学
表面模型的优点与不足：
优点
利用曲面造型能够构造诸如汽车、飞机、船舶、模具 等非常复杂的物体。
计算机图形学
第七章 几何造型简介 7.1 概述 7.1.1 几何造型定义 7.1.2 几何造型历史 7.1.3 几何造型应用 7.2 几何造型三种模型 7.3 实体模型构造
第七章 几何造型简介
7.1 概述 7.1.2 几何造型历史 几何造型的基本理论和方法是在本世纪70年代开始 创立的，经过二十几年的发展和研究，现已开始被广泛 地应用在工业生产的各个领域。
计算机图形学
Computer Graphics
王汝传 wangrc@
黄海平 hhp@ 林巧民 qmlin@
教材：《计算机图形学》王汝传等
编著 人民邮电出版社
http://10.20.79.1
第七章 几何造型简介
7.1 概述 7.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
计算机图形学
7.2 几何造型系统三种模型
1、线框模型
由构成物体的一组顶点和 边来表示物体的几何形状 ，其中边可以是直线，也 可以是曲线，如圆弧、二 次曲线、B 样条曲线和 Bezier曲线。 表面模型是以物体的各个 表面为单位来表示其形体 特征的，在线框模型的基 础上增加了有关面和边的 几何信息、拓扑信息。 实体模型的核心问题是采用什 么方法来表示实体。与线框模 型和表面模型的根本区别在于 ：实体模型不仅记录了全部几 何信息，而且记录了全部点、 线、面、体的拓扑信息。
计算机图形学
7.3.5 分解表示法（D-rep） 分解表示法是把一个几何体有规律地分解为有限个单元， 这种方法不仅可以表示平面的几何体，也可以表示复杂的 包括内部有孔的几何体。 D-rep法主要有：八叉树法、细胞分解法、空间堆叠法等。 D-rep法便于进行几何体的并、交、差运算，容易计算几 何体几何特性。但这种方法不是一种精确的表示法，其近 似程度完全取决于分割精度，与几何形体的复杂程度无关 。