中考专题训练二次函数中的面积计算问题

(D)

中考专题训练二次函数中的面积计算问题

[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在

轴交于点C ，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x 上位于,A C 两点之间的一个动点，则

PAC ∆的面积的最大值为（ C ）

A ．

274 B ．112

C ． 278

D ．3 二次函数中面积问题常见类型：

一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用

四、运用相似三角形 五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形

例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、

G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）

例2. 解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB

；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别 为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90° 得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c (a ≠0)经过

C 、

D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，

求△P AB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图2

[精选练习]1.如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，

沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 于PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为（ ）

2．如图，已知A 、B 是反比例函数k

y x

（k ＞0，x ＜0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C 。动点P 从坐标原点O 出发，沿O →A →B →C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C 。过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N 。设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为

图1 图2 图3

图1

3. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，

设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是

4.如图，两条抛物线y 1=-

21χ2+1、y 2=2

1

χ2-1 与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为

5．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．

6.如图，抛物线y ＝－x

2

＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点

使得△QAC 的周长最小？若存在，求出点Q （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．

7．如图，已知抛物线y ＝ax

2

＋bx －4与直线y ＝x 交于点A 、B 两点，A 、B 的横坐标分别为－1和4．（1）求此抛物线的解析式．

（2）若平行于y 轴的直线x ＝m （0＜m ＜5＋1）与抛物线交于点M ，与直线y ＝x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使得△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．

8．已知二次函数y ＝x

2

＋ax ＋a －2．

（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点；

（2）设a ＜0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；

(第3题)

A

B

C

D

（3）若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△P AB 的面积为2

13

3？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．

9．已知：t 1，t 2是方程t

2

＋2t －24＝0，的两个实数根，且t 1＜t 2，抛物线y ＝

3

2x

2

＋bx ＋c 的图象经过点A （t 1，0），B （0，t 2）．（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OP AQ 是以OA 为对角线的平行四边形，求□OP AQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当□OP AQ 的面积为24时，是否存在这样的点P ，使□OP AQ 为正方形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

10．如图，已知抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x

轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA ＜OC ）是方程x

2

－5x ＋4＝0

的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝1．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥

设BD 的长为m ，△CDE

的面积为S ，求S 与m

最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠A ＝90°，AD ＝6厘米，DC ＝4P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B →C →D 方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分； （3）连结PQ ，设△PBQ 的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，

求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？

12．如图①，已知抛物线y ＝ax

2

＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．