综合与实践《生活中的“一次模型”》
北师大版数学八年级下册《⊙ 生活中的“一次模型”》教案1
北师大版数学八年级下册《⊙ 生活中的“一次模型”》教案1一. 教材分析北师大版数学八年级下册《生活中的“一次模型”》这一节主要让学生了解一次函数在现实生活中的应用。
通过具体实例，让学生理解一次函数的定义，掌握一次函数的图像和性质，并能够运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了函数的基本概念，对函数有一定的理解。
但是对于一次函数在实际生活中的应用可能还比较陌生，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.了解一次函数的定义，掌握一次函数的图像和性质。
2.能够通过实例理解一次函数在实际生活中的应用。
3.培养学生的观察能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一次函数在实际生活中的应用。
五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的例子让学生理解和掌握一次函数的定义和性质，以及一次函数在实际生活中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实例，如购物、出行等。
2.准备一次函数的图像，帮助学生理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个购物实例，引导学生思考如何用数学模型来表示购物问题。
让学生认识到数学在解决实际问题中的重要性。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的定义和性质，通过具体的例子让学生理解和掌握。
同时，引导学生观察一次函数的图像，加深对一次函数的理解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个实际问题，尝试用一次函数来解决。
如出行问题、购物问题等。
4.巩固（10分钟）让学生汇报自己的成果，其他学生和教师进行评价。
通过评价，让学生巩固一次函数的知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数在实际生活中的其他应用，如工资问题、投资问题等。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确一次函数的定义、性质以及在实际生活中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的作业，让学生巩固所学知识。
如找一组实际数据，用一次函数来拟合。
8.板书（5分钟）板书一次函数的定义、性质以及实际应用，方便学生复习。
沪科版数学八年级上册12.4综合与实践——一次函数模型的应用课件(共21张PPT)
(2)设获得的利润为y元,由题意,得y=50[4x+2(150-x)] +80[2x+6(150-x)]，即 y= -220x+87 000.因为-220<0，所以y随x的增大而减小，所以 x=50时,y取得最大值，最大值为 -220×50+87000 = 76 000.答:该工艺厂购买A,B两类原木分别为50根和100根时获得利润最大，最大利润是76000元.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
（2）当0<x≤1时,令22x>16x+3,解得 ;令22x=16x+3,解得 ; 令22x<16x+3,解得 .当x>1时,令15x+7>16x+3,解得x<4;令15x+7=16x+3,解得x=4; 令15x+7<16x+3,解得x>4.综上所述,当快递物品的重量少于 千克或者多于4千克时,选择甲公司更省钱;当快递物品的重量等于 千克或者4千克时,选择甲,乙两家公司费用一样;当快递物品的重量多于 千克且少于4千克时,选择乙公司更省钱.
2.50
（1）在图2中描出表中的数据，观察判断x,y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩上所挂物的质量是多少？（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少？
解：（1）描点如图所示,这些点在一条直线上,故y与x满足一次函数关系.
初中数学沪科版八年级上册12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
漏出的水量 V(ml)
2
5
8 11
14
17 20
（1）表格中有几个变量？它们之间是函数关系吗？
（2）如何将表格中的各组数据所对应的点在平面 直角坐标系中表示出来？
（3）观察你所描出的点的分布，猜测V与t之间的 （近似）函数关系，并求出函数表达式.
（4）根据你建立的模型，计算1小时漏水多少千克？ (1毫升的水=1克的水）
教师寄语
生活是数学的源泉， 探索是数学的生命线.
------高 斯淮南市龙湖中学· 民 Nhomakorabea校区 高长亮
淮南市龙湖中学· 民生校区 高长亮
义务教育教科书（沪科）八年级数学上册 12.4综合与实践
城市之痛——高空抛物
淮南市龙湖中学· 民生校区 高长亮
义务教育教科书（沪科）八年级数学上册 12.4综合与实践
问题2 物体从高处下落会产生冲力，可以直观地看
出物体下落的高度越高，产生的冲力就越大。那么物 体下落高度与产生的冲力具有怎样的关系呢？
请你进行实验，将实验数据填入下表，并根据实验 数据建立函数模型：
下落高度h(m) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ... 产生的冲力
F（N）
请你预测该物体从3米的高空落下产生多大的 冲力？
淮南市龙湖中学· 民生校区 高长亮
义务教育教科书（沪科）八年级数学上册
12.4综合与实践
方法总结
请您根据刚才的过程说说如何建立
两个变量间的函数模型？
淮南市龙湖中学· 民生校区 高长亮
义务教育教科书（沪科）八年级数学上册 12.4综合与实践
函数应用
请你选择一个可以应用函数模型 解决的问题，并建立合适的函数模型.
沪科版数学八年级上册《12.4 综合与实践 一次函数模型的应用》教学设计
沪科版数学八年级上册《12.4 综合与实践一次函数模型的应用》教学设计一. 教材分析《12.4 综合与实践一次函数模型的应用》是沪科版数学八年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一次函数在实际问题中的应用，通过解决实际问题，让学生理解一次函数的意义，提高解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实际问题，分别是“工资问题”和“商品打折问题”，旨在让学生通过解决这两个问题，掌握一次函数模型的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一次函数的定义、性质和图像。
他们对于一次函数的概念和性质有一定的了解，能够画出一次函数的图像，但对于一次函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的一次函数知识与实际问题相结合，提高他们的应用能力。
三. 教学目标1.理解一次函数在实际问题中的意义和作用。
2.学会用一次函数模型解决实际问题。
3.提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数模型在实际问题中的应用。
2.如何将实际问题转化为一次函数模型。
五. 教学方法1.案例教学法：通过分析教材中的实际问题，让学生理解一次函数模型的应用。
2.问题驱动法：引导学生主动思考，将实际问题转化为一次函数模型。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题，提高他们的合作能力。
六. 教学准备1.教材《沪科版数学八年级上册》。
2.课件或黑板。
3.实际问题素材。
4.计时器。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入“工资问题”和“商品打折问题”，激发学生的兴趣，引导学生思考一次函数在实际问题中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的两个实际问题，让学生明确本节课的学习目标。
3.操练（10分钟）教师引导学生用一次函数模型解决“工资问题”，学生独立思考，小组内交流讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难。
4.巩固（10分钟）教师引导学生用一次函数模型解决“商品打折问题”，学生独立思考，小组内交流讨论，共同解决问题。
基于核心素养的初中数学综合与实践教学研究
基于核心素养的初中数学综合与实践教学研究摘要：在新课程改革形式下，要求初中数学教师不能仅仅以理论知识的教授与灌输为核心目标，应当要通过合理化的教学手段，促使学生透过数学知识的认识与学习感悟实际生活中囊括的的数学信息，并利用以往知识去处理日常生活中的难题。
在初中数学教学中，综合与实践环节备受教师的密切关注，其对于学生综合素质的提升以及核心素养的发展具有积极的推动作用。
基于此，本文以初中数学教学为例，并结合自身教学实践经验，重点探究了核心素养下综合与与实践教学的有效性策略，以供相关人士交流参考。
关键词：核心素养；初中数学；实践与综合应用；教学策略引言：初中数学综合与实践教学是主要是将问题作为媒介，在调动学生探知欲望的基础上使其积极投入到在综合实践活动中，并从中积累问题解决的有效性经验，从而有效提升其实践能力与综合素质。
在核心素养的背景下培养进行数学综合与实践教学，这不仅是新课程改革标准的要求，更是立德树人的根本任务。
因此，在初中数学课堂教学中，教师应当要利用多元化的教学手段，不断培养学生分析问题、解决问题等实践能力，进而为其核心素养的提升提供保障。
一、有效整合课内外资源，培养学生的建模能力数学建模指的是对生活中的难题，利用逻辑性的数学语言去诠释，再利用有关数学方法与理论知识构建数学模型，从而快速且高效解决生活中的实际难题，所以建模能力是学生核心素养中不可或缺的组成部分。
在初中数学综合实践教学活动中，教师应当根据具体的教学内容科学化的去组合课本，将课内外教学资源实施有效整合，设计合理化的问题，组织科学化的活动，同时不断革新与完善教学手段，带领学生发现问题并提出问题的建模方法与解决措施，从而为学生模型意识的提升以及个性化思维的有效培养奠定坚实的基础。
比如，在北大师版初中教学综合实践《生活中的一次模型》该部分的过程中，教师可以在实践活动中根据生活中的实际案例来建立对应的数学模型，让学生密切关注数学知识与生活实际的联系，从而促使学生利用所学知识与有关经验来解决生活实际中的难题。
综合与实践 《生活中的“一次模型”》
综合与实践生活中的“一次模型”一、学生起点分析到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也发现了它们彼此之间的联系，初步感受到这三个基本数学模型的广泛应用。
但是，由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。
二、教学任务分析本课题是以探索一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用为主题的实践活动，一方面可以使学生体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，初步形成对数学知识系统性的认识，发展学生的概括能力、数学研究能力；另一方面通过调查活动使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，发展学生的数学抽象能力，综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉的用数学。
相比前面的课题学习而言，本课是自主活动类型的课题学习,以一种新的形式呈现，任务的给出比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于说具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择，因而，保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题，提出问题的机会，进一步发展学生的应用意识和创新意识。
因此，本节课的教学目标定为：⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。
⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。
⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。
三、教学过程分析在教学过程中安排两课时。
综合实践：一次函数模型的应用(沪科版)
与三角函数的结合
周期性与一次函数
利用一次函数的斜率与三角函数的周期性相结合，研究函数的周期变化规律。
三角函数图像与一次函数图像关系
通过观察三角函数和一次函数的图像，理解它们之间的相互影响和关系。
与微积分的结合
REPORTING
WENKU DESIGN
建立一次函数模型
确定变量
根据实际问题，确定自变量和因 变量，通常将未知数表示为函数。
建立关系
通过已知条件和问题背景，建立一 次函数关系式。
确定参数
根据已知数据，确定一次函数关系 式中的参数。
求解一次函数模型
01
02
03
代入法
将已知数据代入一次函数 关系式，求出未知数。
预测
根据建立的模型，预测未来一 段时间内的产品销量。
背景
企业需要预测未来一段时间内 的产品销量，以便制定生产和 销售计划。
模型建立
利用收集到的数据，建立一次 函数模型，并确定最佳拟合参 数。
结果分析
对比实际销售量与预测销售量， 分析模型的准确性和可靠性。
案例三：人口增长预测
背景
人口增长受到多种因素的影响，如出生率 、死亡率、移民率等。通过一次函数模型 ，可以尝试预测人口增长的趋势。
结果分析
对比实际人口增长与预测增长趋势，分析 模型的准确性和可靠性。
数据收集
收集历史人口数据、社会经济状况、政策 变化等。
预测
根据建立的模型，预测未来一段时间内的 人口增长趋势。
模型建立
利用收集到的数据，建立一次函数模型， 并确定最佳拟合参数。
案例四：经济增长预测
数学北师大版初中二年级下册 综合实践：生活中的一次模型 教学设计
第二章一元一次不等式与一元一次不等式组5．一元一次不等式与一次函数（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已经学习了一次函数和一元一次不等式的有关知识，为本节探究一元一次不等式与一次函数的关系奠定了必要的知识基础。
学生活动经验基础：通过前面相关知识的学习，学生已经会利用一次函数和一元一次不等式解决一些简单的实际问题，感受到了用数学知识解决实际问题的必要性和作用；同时在以前的学习中，通过经历合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，提升了合作与交流的能力。
二、教学任务分析数学知识的学习是一个渐次梯进的过程，因而课堂教学既要关注整个数学教学的远期目标，也应与具体的课堂教学任务联系。
本课是八下第一章第五节《一元一次不等式与一次函数》第一课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
教科书基于学生对一元一次不等式、一元一次方程和一次函数认识的基础上，提出了本课的具体学习任务，本节课的教学目标是：1、理解一次函数图象与一元一次不等式的关系。
2、能够用图像法解一元一次不等式。
3、理解两种方法的关系，会选择适当的方法解一元一次不等式三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：活动探究、合作学习；第三环节：运用巩固、练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：当堂作业。
第一环节：情境引入活动内容：上节课我们类比一元一次方程的解法，根据不等式的基本性质，学习了一元一次不等式的解法，本节课我们来学习一元一次不等式其它解法。
活动目的：以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，利用初中生的好奇心理，激发学生探究新知的兴趣。
活动效果：学生在回忆中探索本课时的内容，从而降低了学生们“入室”的门槛。
第二环节：活动探究、合作学习活动内容：首先，我们来利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。
北师大版数学八年级下册《⊙生活中的“一次模型”》说课稿1
北师大版数学八年级下册《⊙ 生活中的“一次模型”》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级下册《生活中的“一次模型”》，是学生在学习了函数基础知识后，进一步接触实际问题的一次函数模型的学习。
本节课通过具体的生活实例，让学生了解一次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
教材内容主要包括：一次函数模型的建立、一次函数模型的应用以及一次函数模型在实际问题中的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本知识，对一次函数的概念、性质有所了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效地结合起来，缺乏解决实际问题的能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生对一次函数模型的理解和应用，引导学生将数学知识运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解一次函数模型的建立过程，学会用一次函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过生活实例，培养学生从实际问题中提炼数学模型的能力，提高学生的数学应用意识。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数模型的建立，一次函数模型在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中提炼出一次函数模型，并运用到问题解决中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的一些实际问题，引发学生对一次函数模型的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：引导学生从实际问题中提炼出一次函数模型，并总结一次函数模型的建立过程。
3.实例分析：通过具体的生活实例，让学生了解一次函数模型在实际问题中的应用，培养学生的数学应用意识。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自在生活中发现的一次函数模型，进一步巩固所学知识。
北师大版数学八年级下册《⊙ 生活中的“一次模型”》教学设计1
北师大版数学八年级下册《⊙ 生活中的“一次模型”》教学设计1一. 教材分析北师大版数学八年级下册《生活中的“一次模型”》这一节主要介绍了“一次模型”的概念、一次函数的性质和应用。
教材通过生活中的实例，引导学生认识一次函数，理解一次函数的图像和性质，并学会运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了初中数学的一些基本概念和性质，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是对于一次函数的理解和应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握一次函数的知识。
三. 教学目标1.了解一次函数的概念，理解一次函数的图像和性质。
2.学会运用一次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数的概念和性质。
2.运用一次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究、讨论、总结，掌握一次函数的知识。
2.利用多媒体教学，结合生活中的实例，生动形象地展示一次函数的图像和性质。
3.通过练习题和实际问题，巩固学生对一次函数的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题和实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实例，如购物、运动等，引导学生认识一次函数，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解一次函数的概念和性质，通过多媒体展示一次函数的图像，让学生直观地理解一次函数的性质。
3.操练（20分钟）让学生通过练习题和实际问题，运用一次函数的知识解决问题，巩固对一次函数的理解。
4.巩固（15分钟）通过小组讨论、总结，让学生进一步理解一次函数的知识，提高解决问题的能力。
5.拓展（10分钟）讲解一次函数在实际问题中的应用，引导学生学会运用一次函数解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生明确一次函数的概念、性质和应用。
沪科8年级数学上册第12章4 综合与实践 一次函数模型的应用
12.4 综合与实践 一次函数模型的应用
1 课时讲解 一次函数模型的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一次函数模型的应用
1. 利用函数解决实际问题的基本模式
知1－讲
2. 建立函数模型的一般步骤 (1)获取数据；(2)列表、描点； (3)观察、猜想；(4)求出函数表达式； (5)检验并给出答案.
t/h
0
1
2
3
…
Q/ (kW·h) 80 65 50 35 …
(1)根据表中的数据，请写出Q与t的关系式.
知1－练
解：由表格中两个变量对应值变化的规律可知，Q 与 t
之间的函数关系是一次函数关系，设 Q 与 t 的关系式为
Q＝kt＋b.
将(0，80)，(1，65)代入，得8605＝＝bk，＋b，解得kb＝＝－801，5， 所以 Q＝－15t＋80.
知1－练
(3)能用所求出的函数表达式预测小明训练3 年的100 m短 跑成绩吗？为什么？ 解：不能 . 理由：因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但 在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远 如此快地提高 .(理由合理即可)
知1－练
2-1.[月考·蚌埠蚌山区]小亮因为迷恋上了游戏，本学期成 绩有所下降，下表是小亮在本学期学校组织的几次反馈 性测试中所取得的数学成绩：
得ቊ1b0＝k＋10b，＝30，解得ቊkb＝＝21，0，所以y＝2t＋10 .
知1－练
(3)当加热110 s时，油沸腾了，请推算沸点的温度. 解：当t＝110时，y＝2×110＋10＝230， 所以经过推算，该食用油的沸点温度是230℃ .
知1－练
初中八年级下册数学综合与实践 生活中的“一次模型”
材料4 关于教育开销的调查
1、计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要 多少教育资金。 2、考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄 计划。 3、用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的 最低数量。 4、将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的 调查是否可行？如果可能请他们提供改进的建议。
四.展示倾听，思维碰撞 关于“选取最适合自己的话费方案” 的研究与调查.
初中数学八年级(下) 综合与实践 生活中的“一次模型”
学习目标
1.经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题， 并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能 力，了解数学的价值。
2.综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识 解决问题，体会三者之间的内在联系。
内在联系
三者都是描述现实世界中的量与量之间的关系的模型。例 如：已知某种商品单价，数量与总价之间的关系在特定条 件下就可以转化为可以用以上三种模型解决的实际问题。
二.实例分析
例 市政府为绿化计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲树每株50元，乙树
每株80元，统计表明，甲树的成活率为90%，乙树的成活率为95%，
思考：你们准备研究的主题是什么？研究的具体问题是什么？研究 的方案是什么？
三.讨论交流，提出问题
1.背景 （1）热点问题：环保，教育，民生，城市建设，新农村改造等 （2）生产生活：生产设计，经费预算，生产调度，市场经济等 2.解题思路 实际背景提炼构建（1）函数模型（2）方程模型（3）不等式模型 关键是分清题型 3.信息呈现的方式 （1）文字信息（对话）：粗读——细读——研读——提取信息——建立模型 （2）表格信息：审题识表——提取信息——建立模型 （3）图像信息：审题识图——读图找点——确定解析式（注意坐标的实际意义） （4）综合信息
新北师大版八年级数学下册《合与实践 ⊙ 生活中的“一次模型”》教案_2
教学设计一.教学目标：知识与技能：经历用数学眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值.过程与方法：综合运用一元一次不等式与方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系.情感态度与价值观：会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成结论并能进行交流，进一步积累数学活动经验.教学重点：根据情境提出问题并会运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决实际问题.教学难点：体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，形成对数学知识系统性的认识.二.教学设计思路和过程设计：（一）设计思路：到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也初步发现了它们彼此之间的内在联系，但本综合与实践是以一种新的形式呈现，且教科书给出的任务比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集体融入到一个问题情境.由于对多数同学来说，从事这样开放性比较强的综合与实践活动的经验可能还一些不足，因此，教师选取了生活中常见的相遇问题进行研究，给定学生一个情境，让学生自己提出问题并解答，同过三个问题的解决，让学生体会一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系.最后学生自己总结，可以用“一次模型”解决的行程问题，必须是匀速的行程问题.（二）教学过程：【第一环节】创设情境，引出课题数学源于生活，我们学习数学是为了更好地服务于生活。
通过一个生活中常见的情境：A、B两地相距180千米，甲、乙两人分别从A、B 两地相向而行.假设他们始终保持匀速行驶.教师询问学生：接下来，甲乙两人会怎样？通过提问，让学生自己想象接下来会发生的情境.从而引出我们要研究的行程问题是相遇问题.然后教师继续提问，两人相遇的地点确定吗？一定是A、B两地的中点吗？让学生意识到相遇地点与他们各自的速度有关.然后，让学生根据情境自己提出问题.【第二环节】实践探究（一）——建立一元一次方程与一元一次不等式模型解决问题教师选取了几个有代表性的问题让学生解决：①经过多长时间两人相遇？②何时两人相距20千米？③何时两人相距小于20千米？学生在解决问题的过程中发现，情境中缺少甲、乙两人速度这个条件，通过添加条件，让学生自己画线段图解决问题.对于问题一，学生通过画线段图用算术法或列一元一次方程都可以解决，相遇的时间为x=3.6小时.对于问题二，学生借助线段图分析两人相距20千米会有两种情况，一种是相遇前两人相距20千米，一种是相遇后两人相距20千米，学生列一元一次方程可以求出相距20千米有两个答案x=3.2或x=4.第三个问题，何时两人相距小于20千米？学生通过线段图可以分析得到，从第一次相距20千米之后，两人距离越来越小，直到相遇时两人之间距离最小为0，随后两人之间距离逐渐拉大，直到再次相距20千米.所以，对于第三问，很多同学会直接写出答案3.24<<，然后由老师分析，这其实是一个不等式问x题，只要将两人之间的距离表示出来，然后让其小于20千米即可，通过列出的两个不等式并解答，发现最终答案确实是3.24<<.x【第三环节】实践探究（二）——建立一次函数模型解决问题教师总结，对于刚才的问题，我们借助线段图分析，运用一元一次方程和一元一次不等式可以解决，那么有没有更加直观的方法描述刚才的情境从而更直观的解决问题？让学生意识到，可以画函数图像.让学生小组活动，自己讨论如何画函数图像.学生能想到画出甲、乙两人到某地距离的函数图像：通过分析图像，分别求出两条函数图像的解析式，明确两个解析式中的k分别是甲、乙的速度.从而借助解析式，最终也是转化成一元一次方程或一元一次不等式解决刚才提出的三个问题，并且让学生明确两条图像的交点的含义，明确图像与坐标轴交点的含义.可以让学生再提出几个问题借助图像解决.个别小组想到，可以画出两人之间距离的函数图像：然后通过分析这个图像，求出这个图像各段的表达式，仍然可以解决刚才的问题.需要注意的是，这个图像的解析式在求解过程中，学生会遇到困难，例如图像的第一段，只知道一个点并不能求出函数解析式，需要引领学生分析，相遇问题两人之间距离的减少是两人共同运动造成的，类比第一个图像的斜率k分别是甲、乙两人的速度，可以得出此线段的斜率k是甲、乙两人的速度和，又因为y随x的增大而减小，所以k=-180,从而可以直接写出第一段的解析式为y=-50x+180.以此类推，可以得到后面两段的函数解析式.从而借助此图像，仍然可以解决刚才的问题.最后引导学生找到这两个图像之间的关系，让学生分别在两个图像中可以找到，表示两人相遇的点是哪个点，表示乙到达终点的点是哪个，表示甲到达终点的点是哪个.【第四环节】课堂小结，指导概括教师总结，通过图像，也就是“型”的角度，解决了数的问题，这就是“数形结合”的思想，鼓励学生在今后的学习中灵活运用这种思想.教师继续提问，为什么列出的方程和不等式一定是一元一次的？为什么画出的函数图像一定是一条直线？或者说，为什么函数关系一定是一次函数？学生通过讨论探究，发现只有是匀速运动才是一次的，是因为在整个过程中，速度不变，路程只和时间这一个变量有关，且路程随着时间的变化而均匀变化，所以，路程与时间的变化率不变，所以路程与时间的关系才一定是一次函数.回顾整个探究过程，可以得到，对于匀速的行程问题，我们可以用一元一次方程、一元一次不等式或者是一次函数去解决，那么这个过程就是在建立“一次模型”.然后鼓励学生，能否在匀速的追及问题中建立“一次模型”解决问题.【第五环节】随堂练习，跟踪检测例题：A、B两地相距50km，甲于某日下午13：00骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地。
2023八年级数学上册第12章一次函数12.4综合与实践一次函数模型的应用教案(新版)沪科版
学校
授课教师
课时
授课班级
授课地点
教具
课程基本信息
1.课程名称：一次函数模型的应用
2.教学年级和班级：八年级数学上册
3.授课时间：2023年
4.教学时数：45分钟
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要包括数学建模、数据分析、数学思维和创新能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数模型在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
重点：
1.一次函数模型在实际问题中的应用。
2.利用一次函数模型进行数据分析和预测。
难点：
1.如何从实际问题中抽象出一次函数模型。
2.如何运用一次函数模型解决复杂的实际问题。
解决办法：
1.对于重点，可以通过具体的实例和练习题，让学生反复练习，巩固一次函数模型在实际问题中的应用。同时，可以通过小组讨论和分享，让学生互相学习和交流，提高数据分析和解题能力。
b)案例研究法：通过分析具体的实际问题，引导学生运用一次函数模型进行解释和解决，培养学生的应用能力。
c)小组讨论法：学生在小组内讨论一次函数模型在实际问题中的应用，互相交流心得，提高团队合作和沟通能力。
d)项目导向学习法：学生分组完成一次函数模型应用的项目，自主探究、实践和验证，提高自主学习和解决问题的能力。
生活中的一次函数模型实践研究
生活中的一次函数模型实践研究文/崔槐丽摘要：函数模型学生掌握起来比较困难，教师在教学中也不容易把握。
为此，作者在教学中进行了一些尝试，通过选择符合学生实际生活，又容易操作的一些题目，让学生去实际调查，并体验完整的调查过程，写出符合要求的调查报告，从而提高了学生的问题解决能力，让学生感受到数学与实际生活的紧密联系。
关键词：一次函数；函数建模2011年版义务教育数学课程标准指出，应发展学生思想、应用意识和创新意识，其中模型思想是数学的一种基本思想。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与实际生活及其他学科关系的基本途径。
函数建模问题是学生在解决数学问题时最难掌握的数学类型，因为没有正确的解决途径，学生在学习中出现较大的迷茫。
笔者在讲授一次函数建模时，尝试了以下几点做法：1 选择合适的函数建模问题在函数建模活动中，寻找适合的函数建模任务是非常重要问题。
由于学生初次接触函数建模，针对初中阶段每个类型的函数，教师先尝试着选择一些贴近实际生活的函数模型，供学生选择和参考。
由于刚刚起步，我们采取教师给定渐进的问题串，启发和引导学生思考。
当学生逐渐熟悉了函数建模时，可以只给学生提供问题环境，让学生自己提出问题并尝试解决问题。
笔者尝试选择的函数任务群如下：生活中的一次函数模型题目（参考）题目一：某市自来水价格问题调查问题1：调查某市目前水费问题，可以列表。
问题2：建立模型并画出图象。
问题3：小明家11月份用水28吨，该收多少费用？问题4：小明家12月份交了66元水费，用了多少吨水？问题5：影响水费的因素是什么？对于节约用水及如何选择付费方式你有哪些方面的意见及建议？题目二：某市天然气价格问题调查问题1：调查某市目前天然气费用问题，可以列表。
问题2：建立模型并画出图象。
问题3：小明家11月份用水15立方米，该收多少费用？问题4：小明家12月份交了58.36元水费，用了多少立方米的天然气？问题5：影响然气费的因素是什么？对于节约用气及如何选择付费方式你有哪些方面的意见及建议？题目三：某市内如何选择快递方式——“跑腿”问题1：调查某市常用的几家“跑腿”的收费标准。
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综合与实践生活中的“一次模型”一、学生起点分析到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也发现了它们彼此之间的联系，初步感受到这三个基本数学模型的广泛应用。
但是，由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。
二、教学任务分析本课题是以探索一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的综合应用为主题的实践活动，一方面可以使学生体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的在联系，初步形成对数学知识系统性的认识，发展学生的概括能力、数学研究能力；另一方面通过调查活动使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，发展学生的数学抽象能力，综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉的用数学。
相比前面的课题学习而言，本课是自主活动类型的课题学习,以一种新的形式呈现，任务的给出比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于说具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择，因而，保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题，提出问题的机会，进一步发展学生的应用意识和创新意识。
因此，本节课的教学目标定为：⒈经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。
⒉综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的在联系。
⒊会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。
三、教学过程分析在教学过程中安排两课时。
第一课时引领学生回顾总结，发现应用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决的一些实际问题，在此基础上，学生依据不同的学习背景选择问题情境，小组讨论确定研究主题，拟定解决问题的方案，研究分析需要获取的有效数据。
具体教学过程如下：分为以下四个环节：第一环节：知识回顾，建立联系；第二环节：讨论交流，提出问题；第三环节：组建小组，确定方案；第四环节：交流评价，完善方案。
第二课时交流评价。
分为两个阶段：第一阶段以小组为单位进行交流展示。
重点展示研究调查过程和结果概述；第二阶段小组互评，选出优秀课题和优秀调查报告。
从交代问题情境、数据的来源、建立何等模型、求解过程、相关解释及应用几个方面对调查报告进行评价。
设计意图：考虑到这样形式的课题学生还是第一次做，所以，在正文中明确的提出两点要求，作为“扶手”：一是对学生拟定方案环节做了方向的指导；二是对汇报交流的报告做了必要的容要求。
这样可以让学生在做课题时，目的性更明确，不至于“走偏”。
通过第二课时的小组汇报，教师、同伴的交流与评价，学生反思自己的调查过程与研究结果并进一步修正与完善，提交课题活动感想。
第一课时教学过程展示：第一环节：知识回顾，建立联系1.举例说明一元一次方程（组）、一次函数、一元一次不等式（组）之间有什么样的关系？2.举例说明生活中常见的用一元一次方程（组）或一次函数或一元一次不等式（组）相关知识解决的实际问题。
设计意图：在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基础。
第二环节：讨论交流，提出问题在学生提出的实际问题基础之上，汇总出几个有价值的研究材料供学生选择。
材料1探索出租车如何计价1.日间出租车价与里程数之间的函数关系；2.夜间出租车价与里程数之间的函数关系；3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等。
材料2探索商场促销现象节假日商场经常打出打折的牌子,在各种以打折名义进行的促销活动中，如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题。
调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式，列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析，用你得到的结论，指导周围的人理性消费。
材料3关于集资活动的调查1.学校的社团常常需要筹措资金，如果你是某个组织中的成员，请列出一清单，写出你所需要的资金项目。
2.在1的基础上，计划一下资金增长的方式，当你完成你的计划时，同时考虑一下为了增长资金是否还需要一些必要的开销，用方程、不等式和函数表示你的计划及盈利情况。
3.将你筹措资金的情况展示给大家，做一个报告叙述你的观点，并与同伴交流，报告中要用到2中的方程、不等式和函数。
材料4：关于教育开销的调查1.计算一下自己从现在起到参加工作，总共需要多少教育资金。
2.考虑你如何支付这些费用，帮家长写一个储蓄计划。
3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量。
4.将你的调查与同学交流一下，让大家看看你的调查是否可行？如果可能请他们提供改进的建议。
材料5：伴着人类电子行业的迅速发展，手机的用途越来越广，越来越被我们青睐，因此话费问题也经常会被纳入家庭经济核算.如今的话费收取种类众多，如何选取最适合自己的一套方案也被人们所重视.我们就对话费的选取这方面进行研究与调查.首先提供一王先生10月份话费清单：移动公司出来两种话费计费方式：主叫超时费/(元/min) 被叫月租本地主叫限定时长/min方式一20 120 0.20 免费方式二50 200 0.10 免费请根据所学一元一次方程、一元一次不等式或一次函数等知识，构造相应数学模型，结合实际情况帮助王先生选择一种较合适的话费方案.设计意图：由于学生习惯于解决已给定的具体问题，见到这样一个较为宽泛的课题，可能无法确定所要研究的对象，或者虽然确定了问题情境，但各个量之间的关系较为复杂，因此不能按照课题的要求理出解题方案。
这时，需要教师依据学生的学习水平，给予恰到好处的帮助，在数学模型的建立，方程、不等式、函数关系的构造等方面，可以让不同认知水平及能力层次的学生都经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的研究过程。
在深度上，不同认识层次的学生可以选择不同的问题情境，又可以不同程度地融合数学知识，让不同的学生在数学上得到不同的发展第三环节：组建小组，确定方案1.在教师的指导下，学生根据自己的情况选择合适的研究容组成研究小组。
组人员进行明确分工。
2.组讨论，形成完整的调查研究方案。
第四环节：交流评价，完善方案1.分小组在班上交流调查方案，并对每个方案进行评价提出修改建议。
2.组完善方案。
利用可与时间进行实地调查，完成调查报告。
设计意图：学生通过经历这样的数学活动，体会数学学习不仅仅是做习题，而且要学会用数学的视角分析现实问题，揭示并理解现实问题。
必要时，教师可以提供一些背景，提出研究方向，给出一些具体的问题等。
评价建议1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程。
2.关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。
3.关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题。
对于问题研究的深度，可以让不同认识层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。
5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度。
附：学生调查报告的参考材料与点评生活中的“一次模型”提供者：市第二十九中学黔昉评析：市教育科学研究所惠英课题素材：家庭用电成本如何节约？案例说明：本案例以追求家庭最低用电成本为主线贯穿，从家庭峰谷用电量的实际数据、峰谷电价的差异，到家用电器功率以及用电时间的调查、整理分析，反馈课题活动小组的研究课题选题的意义、研究方向的正确性、研究方法的合理性以及研究结论的实用性。
当然，类似的，教师还可以指导学生做水表费用和煤气表费用的调查。
学生作品：一个小组的课题报告一元一次不等式与一元一次方程、一次函数问题的调查小组成员：严昕、肖晴、玮奕、艳蕾、戈绍男、路皓引言今天,我们小组正在路皓家讨论数学活动.突然,一阵敲门声打断了我们的谈论,原来是小区的物管人员来查电表. 一位同学建议:为什么不以小区的用电方案作为我们的活动主题呢?收集数据现在有两种用电收费方法:路皓家所在的小区用的电表都换成了分时电表.问题：家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？解决问题解：设某家庭某月用电总量为a千瓦·时(a为常数)：谷时用电x千瓦·时,峰时用电（a-x）千瓦·时,分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元.则函数关系式为：y1=0.35x+0.55(a-x)，y2=0.52a.1.当0.35x+0.55(a-x)=0.52a时,解得x=0.15a.此时,y1=y2.说明如果一个家庭把每月的用电量的15%放在谷时使用,则两种方法费用相等.2.当0.35x+0.55(a-x)＞0.52a时,解不等式,得x＜0.15a.此时,y1＞y2.说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%,则普通电表合算.3.当0.35x+0.55(a-x)＜0.52a时,解不等式,得x＞0.15a.此时,y1＜y2.说明如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15%,则分时电表合算.路皓家最近两个月用电的收据:根据上表,我们进行了计算:x=181,a=181+239=420。
x÷a=181÷420≈0.430.43＞0.15所以用分时电表是合算的.(当然，仅仅根据一个月的数据来判断是远远不够的，需收集多个月的数据来判断，这里由于时间较短，无法收集齐全.）深入探究根据分时电表的特点，除了日常必须按时进行的一些用电外，如果能将可调用电时间控制在21：00~8：00（谷时）,使ax的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费.对此,我们进行了归纳和分析:根据上表,我们小组成员们认为可以将洗衣、烧水等时间可调、功率较大的电器放在谷时工作,这样就可以充分发挥分时电表的优势，使ax的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费，如果家家户户都能这样做的话，必定可以节省一笔不小的开支.后记其实不仅用电是这样，生活中许多方面也是这样，比如银行存款、贷款的选择等.只要你多注意生活中的细节，做个有心人，不说一定节约多少开支，至少能为你的生活增添不少乐趣吧.这一次，我们小组在实际生活问题的基础上,建立了数学模型，运用了一次函数、一元一次方程和一元一次不等式,把它们三者紧密地联系在一起，解决了日常生活中的问题.此外,我们还学到了一个理财的小技巧.真是处处留心皆“数学”呀！点评：该小组同学提交的课题报告结构合理，对活动过程的描述清晰，主题选择贴近即生活实际，又运用了“三个一次”的数学模型，由生活原型感悟“三个一次”数学模型的作用。