第三章 时域分析法(3)稳定性与代数判据

一、稳定的定义
二、稳定的充要条件
一、稳定的定义
举例：炮瞄雷达系统是一个位置 随动系统，其输出即炮筒位置能 跟随输入即飞机位置在广阔范围 内任意变化。假设其控制部分采 用液压控制，如图所示：
可以看出，系统的稳定与否由过渡过程随着时 间的推移是否逐渐衰减并趋于零来决定的，所 以教材P164关于稳定的定义是这样叙述的：
1 令K v lim sG ( s) H ( s)，则 ss S 0 Kv K v：速度无偏系数
3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数
1 s 3 1 s ss lim 2 S 0 1 G ( s ) H ( s ) s G(s) H (s)
1 令K a lim s G ( s) H ( s)，则 ss S 0 Ka

下面通过讨论si和σk的取值研究稳定条件 1. 对于实指数项有：
si 0, e 0(t )
si t
对于复指数项有：
k 0, e
kt
0(t )
曲线衰减
si t kt s 0 , 0 , 则 e 发散， e 发散。 2. 反之，若 i k 对照定义，此时系统不稳定。 3. 当σk中至少一个为0时，响应存在等幅振荡分量， 此时临界稳定，这样的系统在实际工程中也是不稳 定的。
对控制系统的性能的基本要求是：稳定性、 快速性、准确性。可见，稳定性是对系统性能的 首要要求，因为不稳定的系统是不能正常工作的。 分析系统的稳定性和使系统处于稳定的工作状态 是自动控制的基本问题之一，那么什么样的系统 是稳定的？如何判断一个系统是否稳定？这就是 我们第五节和第六节所要讨论的问题－用时域分 析法来研究系统稳定性问题。
(t ) xi (t ) b(t )
Xi(s)
+
E(S) - B(S)
G(s)
Xo(s)
H(s)

误差与偏差的关系 输出为希望值时，即 xor (t ) xo (t ) X o (s) X or (s)
此时应该有 E(s)＝0 （E(s)不起调节作用）
E(s) X i (s)－X o (s) H (s) X i (s)－X or (s) H (s) 0 X i ( s) 从而有，X i ( s) X or ( s) H ( s) X or ( s) H ( s)
例4 设系统的特征方程为 (1)s 6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0
(2)s5 2s 4 24s3 48s 2 25s 50 0
试用Routh判据判断系统的稳定性，若不 稳定，指出不稳定的根的个数。
注：运用Routh判据时，为简化计算，可用一个 整数乘或除一整行而不改变稳定性结论。
1 s 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) 1 G (s) H ( s)
1 令K p lim G ( s ) H ( s )，则 ss S 0 K p 1 K p：位置无偏系数
2、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数
1 s 2 1 s ss lim S 0 1 G ( s ) H ( s ) sG ( s) H ( s)

由以上讨论可知：
1、仅当系统的全部特征根具有负实部时， xo (t ) 收敛，系统稳定； 2、当系统至少存在一个正实根或实部为正的复 xo (t ) 发散，系统不稳定； 根时， 3、若存在纯虚根（σk ＝0）， xo (t )等幅振荡， 系统不稳定。
通过以上讨论，我们可以得出这样的结论：
系统稳定的充分必要条件为：系统的全部特征根 具有负实部；或者闭环传递函数的极点全部在 [s]平面左半平面。（P165）
1、系统稳定性的初步鉴别（必要条件）

对于特征方程
an s n an1s n1 a1s a0 0
式中所有系数均为实数，且an>0，要使全部特 征根都具有负实部，必要条件是特征方程的所有 系数均大于0，即ai>0(i=1,2,……,n)。
ai 0 出现正根 ai 0 出现0根或实部有正有负的复 根
例5，单位反馈系统的开环传递函数为
k Gk ( s) s(0.1s 1)(0.25s 1)
试确定系统稳定的k值的范围。
3.6系统稳态误差分析与计算
一、系统的误差e(t)及偏差 (t ) 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差
控制工程基础
第三章 系统的时间响应分析（3）
控制系统时域分析的内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

时间响应及其组成 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 高阶系统的时间响应 系统稳定性的初步概念 Routh(劳斯)稳定判据 系统误差分析与计算
3.5 系统稳定性的初步概念
这种过程进行到n+1行，第n+1行只有一个元素:a0
B、判据充要条件
若Routh表中左端第一列各元素均为正，则系统 特征方程式所有的根都具有负实部（位于复平 面左侧），此时系统稳定。
例1 设系统的特征方程为：
s 4 6s 3 12s 2 11s 6 0
试用Routh判据判断系统的稳定性。
C、根据Routh判据确定系统为不稳定，有 以下几种情况：
（1） Routh表第一列所有元素均不为0，但不全 为正数，这时位于复平面右侧的特征根个数等于 Routh表第一列元素符号改变的次数。 例2 设系统的特征方程为
s 2s 3s 4s 5 0
4 3 2
试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定， 指出不稳定的根的个数。
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
输出偏离希望值时（一般情况）
E(s) X i (s)－X o (s) H (s) ＝X i (s)－ [ X or (s) E1 (s)]H (s)
X i ( s) X i ( s)－[ E1 ( s)]H ( s) H ( s)
j 1 k 1
k knk 为复根的实部
xo (t ) B(t ) Aj e Ak e k t sin(dk t k )
s jt j 1 k 1
n1
n2
k knk 为复根的实部
t 瞬态项 0 ，则 xo (t ) B(t ) ， 由稳定性定义， 系统回到原平衡状态或新的平衡，该系统稳定。
2、Routh判据
A、方法： （1）列出系统闭环特征方程 an s n an1s n1 a1s a0 0 （2）列写Routh计算表
sn S n-1 S n-2 S n-3 s2 s1 s0
an a n 1 A1 B1 D1 E1 F1
an 2 a n 3 A2 B2 D2
(1)s 4 3s3 s 2 3s 1 0 (2)s3 2s 2 s 2 0
试用Routh判据判断系统的稳定性，若不稳定， 指出右根的个数。
（3）Routh表中第k行的数据全为0，说明复平面内存
在大小相等符号相反的根。可能是大小相等符号相反 的实根、或成对的纯虚根、或对称于虚轴的两对共轭 复根。 a.利用k-1行的元素构成辅助方程； b.求辅助方程对s的导数，将其系数组成新行代替第 k行数据； c.继续计算Routh表。
闭环传函分母和外界输入无关； 传函分子与输入作用于系统的位置有关； 稳定性和传函分子即零点无关，仅与极点有 关，说明稳定性系统本ຫໍສະໝຸດ Baidu固有的特性，由结 构参数决定； 开环系统总是稳定的，仅对存在反馈的闭环 系统才讨论稳定性。

Routh稳定判据－避开对特征方程根的直接
求解，讨论特征根的分布。
二、稳定的充要条件－仅指线性系统（包括小
偏差下线性化系统） 假设系统的微分方程为：
an xo (t ) an 1 xo bm xi
( m) (n) ( n 1)
o (t ) a0 xo (t ) (t ) a1 x i (t ) b0 xi (t ) (t ) b1 x
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
表中
an 2 1 an A1 a n 1 a n 1 a n 3 an 4 1 an A2 a n 1 a n 1 a n 5
1 a n 1 B1 A1 A1 1 a n 1 B2 A1 A1 an 3 A2 an 5 A3
ss lim (t ) lim sE ( s )
t s 0
三、与输入有关的稳态偏差
Xi(s) + E(S) - B(S) H(s) G(s) Xo(s)
E ( s) 1 X i ( s) 1 G( s) H ( s)
ss lim (t )
t
1 lim sE ( s ) lim s X i ( s) s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
E1 ( s) H ( s)
由于上述确定关系，一般用偏差代替误 差进行分析。
二、系统的稳态误差与稳态偏差
系统稳态误差的定义为
ess lim e(t )
t
根据终值定理，系统的稳态误差为：
ess lim e(t ) lim sE1 ( s )
t s 0
同理，系统的稳态偏差为：
D，当n<4时，Routh判据可做如下简化
1) n 1 a1s a0 0 稳定条件：a0、a1 0
2) n 2 a2 s a1s a0 0
2
稳定条件：a0、a1、a2 0
3) n 3 a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0 稳定条件为： a0、a1、a2、a3 0 a2 a1 a0 a3 0
(t ) bm 1 xi
( m 1)
( n m)
则其传递函数为：
X o ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 G( S ) X i ( s ) an s n an1 s n1 a1 s a0
特征方程为：
an s n an1 s n1 a1 s a0 0
（2）Routh表某一行第一列元素为0，其余不全为0。 这样计算下一行时会出现 ，无法继续进行计算。 这时可用一个很小的正数ε来代替0继续计算。 0上下符号相同说明存在成对的纯虚根，若第一列其它 元素均为正，则系统临界稳定；0上下符号不同，系统 不稳定，右根的个数由变号次数决定。 例3 设系统的特征方程为

系统稳态偏差与两个因素有关
1.系统结构（反映在 传函) 2.输入信号Xi(s)
1 1 G( s) H ( s)
， G(s)H(s)－开环

因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般 根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态 偏差来判别。本节研究的就是不能跟踪上述 典型输入而引起的稳态偏差。
1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数
一、系统的误差及偏差

误差e(t) （输出端定义）
e(t ) xor (t ) xo (t ) 希望值－实际输出
E1 (s) X or (s) X o (s)

) 偏差 (t（输入端定义 ）
E ( s ) X i ( s ) B( s ) X i ( s ) X o ( s ) H ( s )
系统有n个特征根，其中n1个实根si， n2对共轭复根si+1,i+2; 2 j 1 n j d si+1,i+2=σ±jω n n
根据前面所学知识，系统响应为：
稳态项
n1 s jt n2
瞬态项
xo (t ) B(t ) Aj e Ak e k t sin(dk t k )