线性规划和单纯形法
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通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
约束关系标准化
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4
决策变量的标准化: y2 - y3 = x2
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4
s.t. 2 x1 - 3 y2+3y3 + x3 + x4 ≤20 -x1- 2 y2 +2y3 - 3 x3 + x4 ≤ -30 -2y2 +2y3 - 2 x3 -3 x4 ≤ 50 x1 , x3 , x4 ,y2,y3≥ 0
一般线性规划模型
a 11
a A
21
a12 a22
a1n a2n 称为技术系数矩阵(也
称消耗系数矩阵)
a a a
m1
m2
mn
b1
b
b2
bm
称为资源限制向量
X=(x1,x2,…,xn)T 称为决策变量向量
线性规划模型的标准形式
• 为了讨论方便，把最大化、等式约束型的线性规划称为线 性规划的标准型，即
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束。
线性规划模型的标准化
max z1=-x1-5 x2+8 x3 +x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束
目录
线性规划实例与模型 线性规划的图解法 单纯形法原理 改进单纯形法 应用
目录
线性规划实例与模型
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
线性规划模型的标准化
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4 s.t. 2 x1 - 3 y2+3y3 + x3 + x4 ≤20
-x1- 2 y2 +2y3 - 3 x3 + x4 ≤ -30 -2y2 +2y3 - 2 x3 -3 x4 ≤ 50
x1 , x3 , x4 ,y2,y3≥ 0
标准化
原问题
标准化方法
目标函数 约束条件
变量
Max f(x) Min f(x)
n
对某个 i
aij x j
j 1
bi 对某个
n
对某个i aij x j bi j 1
n
对某个 i
aij x j bi
j 1
对某个i xi 0
对某个i xi 0
对某个 i xi 是任意的
Max f(x) Max –f(x) 引入松弛变量和人工变量
am1x1+ am2x2 + … + amnxn= bm( 0) x1,x2 ,… ,xn 0
(LP)
max(或 min)z cx AX (, )b
s.tX 0
c1
c=
. .
cn
x1
x=
. .
xn
b1
b=
. .
bm
… a11
a1n
…… A = ……
… am1
amn
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；
通过市场调研部和会计部的调查核算得出结论：生产 中档拉杆箱的利润是10元，高档拉杆箱的利润是9元。公 司应各生产多少中档和高档拉杆箱才能使公司利润最大？
线性规划模型的建立
设生产中、高档拉杆箱数量分别为：x1, x2 称为决策变量。
max 10x1 9x2
s.t.
7 10
x1
x2
630
1 2
x1
5 6
Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Subject to (s.t.)
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn= bm
x1 0, x2 0, …, xn 0
x2
600
x1
2 3
x2
708
1 10
x1
1 4
x2
135
x1 0, x2 0
目标函数
约束条件
一般线性规划模型
s.t. 为约束限制 （Subject to） 的缩写
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1 ( 0) a21x1+ a22x2 + … wk.baidu.com a2nxn = b2 ( 0) :
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束。
目标优化标准化
max z1=-x1-5 x2+8 x3 +x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
通过市场调研部和会计部的调查核算得出结论：生产 中档拉杆箱的利润是10元，高档拉杆箱的利润是9元。公 司应各生产多少中档和高档拉杆箱才能使公司利润最大？
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
n
aij xj 松弛变量 人工变量 bi
j 1
引入松弛变量,
n
aij x j 松弛变量 bi
j 1
不变
不变
令xi xi'，其中 xi' 0
令xi xi' xi"，其中xi' , xi" 0
线性规划模型的标准化
• 例:将如下线性规划模型标准化：
min z= x1 + 5 x2 - 8 x3 - x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
约束关系标准化
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4
决策变量的标准化: y2 - y3 = x2
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4
s.t. 2 x1 - 3 y2+3y3 + x3 + x4 ≤20 -x1- 2 y2 +2y3 - 3 x3 + x4 ≤ -30 -2y2 +2y3 - 2 x3 -3 x4 ≤ 50 x1 , x3 , x4 ,y2,y3≥ 0
一般线性规划模型
a 11
a A
21
a12 a22
a1n a2n 称为技术系数矩阵(也
称消耗系数矩阵)
a a a
m1
m2
mn
b1
b
b2
bm
称为资源限制向量
X=(x1,x2,…,xn)T 称为决策变量向量
线性规划模型的标准形式
• 为了讨论方便，把最大化、等式约束型的线性规划称为线 性规划的标准型，即
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束。
线性规划模型的标准化
max z1=-x1-5 x2+8 x3 +x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束
目录
线性规划实例与模型 线性规划的图解法 单纯形法原理 改进单纯形法 应用
目录
线性规划实例与模型
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
线性规划模型的标准化
Max z2 =-x1-5y2+5y3+8x3+x4 s.t. 2 x1 - 3 y2+3y3 + x3 + x4 ≤20
-x1- 2 y2 +2y3 - 3 x3 + x4 ≤ -30 -2y2 +2y3 - 2 x3 -3 x4 ≤ 50
x1 , x3 , x4 ,y2,y3≥ 0
标准化
原问题
标准化方法
目标函数 约束条件
变量
Max f(x) Min f(x)
n
对某个 i
aij x j
j 1
bi 对某个
n
对某个i aij x j bi j 1
n
对某个 i
aij x j bi
j 1
对某个i xi 0
对某个i xi 0
对某个 i xi 是任意的
Max f(x) Max –f(x) 引入松弛变量和人工变量
am1x1+ am2x2 + … + amnxn= bm( 0) x1,x2 ,… ,xn 0
(LP)
max(或 min)z cx AX (, )b
s.tX 0
c1
c=
. .
cn
x1
x=
. .
xn
b1
b=
. .
bm
… a11
a1n
…… A = ……
… am1
amn
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；
通过市场调研部和会计部的调查核算得出结论：生产 中档拉杆箱的利润是10元，高档拉杆箱的利润是9元。公 司应各生产多少中档和高档拉杆箱才能使公司利润最大？
线性规划模型的建立
设生产中、高档拉杆箱数量分别为：x1, x2 称为决策变量。
max 10x1 9x2
s.t.
7 10
x1
x2
630
1 2
x1
5 6
Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Subject to (s.t.)
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn= bm
x1 0, x2 0, …, xn 0
x2
600
x1
2 3
x2
708
1 10
x1
1 4
x2
135
x1 0, x2 0
目标函数
约束条件
一般线性规划模型
s.t. 为约束限制 （Subject to） 的缩写
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1 ( 0) a21x1+ a22x2 + … wk.baidu.com a2nxn = b2 ( 0) :
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
x1 , x3 , x4 ≥ 0，x2取值无约束。
目标优化标准化
max z1=-x1-5 x2+8 x3 +x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20
x1+ 2 x2 + 3 x3 - x4 ≥30 2x2 + 2 x3 +3 x4≥- 50
通过市场调研部和会计部的调查核算得出结论：生产 中档拉杆箱的利润是10元，高档拉杆箱的利润是9元。公 司应各生产多少中档和高档拉杆箱才能使公司利润最大？
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
n
aij xj 松弛变量 人工变量 bi
j 1
引入松弛变量,
n
aij x j 松弛变量 bi
j 1
不变
不变
令xi xi'，其中 xi' 0
令xi xi' xi"，其中xi' , xi" 0
线性规划模型的标准化
• 例:将如下线性规划模型标准化：
min z= x1 + 5 x2 - 8 x3 - x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + x3 + x4 ≤20