前N条最短路径问题的算法及应用
邮递员问题最短路径的解法
邮递员问题最短路径的解法邮递员问题，又称旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），是一个著名的组合优化问题。
它要求找到一条路径，使得邮递员从出发点出发，经过所有的城市且仅经过一次，最后回到出发点，同时路径长度最短。
由于邮递员问题是NP-hard问题，没有多项式时间的解法。
然而，存在一些启发式和近似算法可以在可接受的时间内找到较好的解决方案：1. 蛮力法：尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，最终选择最短路径作为解。
这种方法的时间复杂度为O(n!)，适用于较小规模的问题。
2. 最近邻算法：从一个起始点开始，每次选择离当前点最近的未访问过的城市作为下一个访问点，直到所有城市都被访问过，然后回到起始点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，虽然不能保证找到最优解，但是可以在较短的时间内找到较好的解。
3. 2-opt算法：先使用最近邻算法得到一个初始解，然后对路径进行优化。
2-opt算法通过不断交换路径中的两个边来减小路径的长度，直到没有可改进的交换。
该算法可以较快地优化路径，但无法保证找到全局最优解。
4. 遗传算法：使用进化计算的思想来解决TSP问题。
通过生成初始种群，交叉、变异等操作进行迭代优化，逐渐找到更好的路径。
遗传算法可以在较短时间内找到较好的解，但是无法保证找到最优解。
上述算法只是解决TSP问题的一部分方法，具体使用哪种方法取决于问题规模和时间要求。
对于较小规模的问题，可以使用蛮力法或者最近邻算法得到较好的解。
对于更大规模的问题，可以考虑使用启发式算法，如遗传算法等。
此外，还存在其他算法和优化技术用于处理TSP问题，根据具体情况选择合适的方法。
多地点的最短路径算法
多地点的最短路径算法多地点最短路径算法是指在多个起点和多个终点之间寻找最优路径的算法。
在实际应用中，例如GPS导航系统和物流配送等领域，多地点最短路径算法具有重要的应用价值。
本文将介绍几种用于解决多地点最短路径问题的算法，包括Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪心策略的最短路径算法，广泛应用于图形问题中。
它的基本思想是不断扩展距离最短的节点，直到求得所有节点的最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将起点按顺序逐一添加到集合中，然后针对每个起点运行Dijkstra算法，最终得到每个终点的最短路径。
2. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出从任一起点到任一终点的最短路径。
它通过记录任意两个节点之间经过的中间节点，并计算出经过这些中间节点的最短路径长度。
在多地点最短路径问题中，可以构建一个权重矩阵，矩阵中的每个元素代表两个节点之间的距离，然后运行Floyd算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
3. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，它在搜索过程中利用信息启发式函数来预估从当前节点到目标节点的路径成本，以便更快地找到最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将每个起点作为初始节点，每个终点作为目标节点，然后运行A*算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
总结在多地点最短路径问题中，Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法都可以用来寻找最优路径。
Dijkstra算法适用于较小的问题，而且算法复杂度为O(n²)，适用于稠密图。
Floyd 算法适用于较大的问题，复杂度为O(n³)，适用于稀疏图。
A*算法可以在比较短时间内找到近似最优解，但在处理复杂的问题时速度较慢。
根据实际应用的具体要求，可以选择适合的算法。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
前N条最短路径问题的算法及应用
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Python中的最短路径算法详解
Python中的最短路径算法详解Python是一门高效的编程语言，其强大的算法库包含了许多经典的算法，比如最短路径算法。
最短路径算法是图论中的一个经典问题，它的目的是在图中寻找从一个指定顶点到另一个指定顶点的最短路径，即边权重之和最小的路径。
最短路径算法有很多种，其中比较常见的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法。
接下来我将分别介绍这3种算法的原理和Python实现。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径算法中比较经典的一种，它采用贪心策略，通过每次选取当前离源点最近的节点来不断扩展路径，直至到达终点。
它的基本思路如下：步骤1：定义源点s到其它节点的距离数组dist[]，每当找到一条从源点可以到达的路径，就比较这条路径的长度和已知的最短路径长度，如果路径更短，就替换当前的最短路径长度，并更新终点节点的前一个节点。
步骤2：标记源点s为已经访问过的节点，将该节点入队，并在队列中取出此时距离源点最近的节点v。
步骤3：对所有与节点v相邻的节点w，计算出新的距离dist[s][w]，如果dist[s][w]小于已知的最短距离，就更新最短距离，并将节点w加入队列中。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到队列为空。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数，因此它适用于稠密图。
下面是Python中Dijkstra算法的代码实现：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):#初始距离和前驱节点dist = {start: 0}previous = {start: None}#所有未确定最短距离的节点放入堆中heap = [(0, start)]heapq.heapify(heap)while heap:(d, u) = heapq.heappop(heap)#如果已经处理过该节点，则直接跳过if u in dist and d > dist[u]:continuefor v, w in graph[u].items():#计算新的距离newdist = dist[u] + w#如果新距离比原距离更小，则更新距离和前驱节点if v not in dist or newdist < dist[v]:dist[v] = newdistprevious[v] = uheapq.heappush(heap, (newdist, v))return (dist, previous)#测试graph = {'A': {"B": 2, "D": 4},'B': {"C": 3, "D": 1},'C': {"D": 1, "E": 5},'D': {"E": 1},'E': {}}dist, prev = dijkstra(graph, 'A')print(dist) # {'A': 0, 'B': 2, 'D': 3, 'C': 5, 'E': 4}print(prev) # {'A': None, 'B': 'A', 'D': 'B', 'C': 'B', 'E': 'D'}```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种适用于有向图的单源最短路径算法，它可以处理有负权边的情况，但是不能处理负环的情况。
最短路径算法及其应用
湖北大学本科毕业论文（设计）题目最短路径算法及其应用姓名学号专业年级指导教师职称2011年 4月 20 日目录绪论 (1)1 图的基本概念 (1)1.1 图的相关定义 (1)1.2 图的存储结构 (2)1.2.1 邻接矩阵的表示 (2)1.2.2 邻接矩阵的相关结论 (3)2 最短路径问题 (3)2.1 最短路径 (4)2.2 最短路径算法 (4)2.2.1Dijkstra算法 (4)2.2.2Floyd算法 (5)3 应用举例 (5)3.1 Dijkstra算法在公交网络中的应用 (5)3.1.1 实际问题描述 (5)3.1.2 数学模型建立 (5)3.1.3 实际问题抽象化 (6)3.1.4 算法应用 (6)3.2 Floyd算法在物流中心选址的应用 (7)3.2.1 问题描述与数学建模 (7)3.2.2 实际问题抽象化 (7)3.2.3 算法应用 (8)参考文献 (10)附录 (11)最短路径算法及其应用摘要最短路径算法的研究是计算机科学研究的热门话题，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实用价值。
最短路径问题有广泛的应用，比如在交通运输系统、应急救助系统、电子导航系统等研究领域。
最短路径问题又可以引申为最快路径问题、最低费用问题等，但它们的核心算法都是最短路径算法。
经典的最短路径算法——Dijkstra和Floyd算法是目前最短路径问题采用的理论基础。
本文主要对Dijkstra和Floyd算法进行阐述和分析，然后运用这两个算法解决两个简单的实际问题。
【关键字】最短路径 Dijkstra算法 Floyd算法图论Shortest path algorithms and their applicationsAbstractThe research about the shortest path is a hot issue in computer science. It has both important theoretical significance and important utility value. The shortest path problem has broad application area, such as transport system, rescue system, electronic navigation system and so on. The shortest path problem can be extended to the problem of the fastest path problem and the minimum cost problem. But their core algorithms are all both the shortest path algorithms. The classical algorithms for the shortest path——Dijkstra and Floyd are the theoretical basis for solving the problems of the shortest path. The article mainly through the demonstration and analysis of the Dijkstra and Floyd algorithms, then use the algorithms to solve the two simple practical problems.【keywords】shortest path Dijkstra algorithm Floyd algorithm graph绪论随着知识经济的到来，信息将成为人类社会财富的源泉，网络技术的飞速发展与广泛应用带动了全社会对信息技术的需求，最短路径问题作为许多领域中选择最优问题的基础，在电子导航，交通旅游，城市规划以及电力，通讯等各种管网，管线的布局设计中占有重要的地位。
最短路径实际生活中的应用
最短路径实际生活中的应用
最短路径算法是一种常用的图论算法，可以在图中寻找两个节点之间最短的路径。
在实际生活中，最短路径算法可以被应用于多种场景，下面将列举几个例子：
1.导航系统
众所周知，导航系统是基于地图数据实现的，而地图就是一个图。
最短路径算法可以帮助导航系统找到两个地点之间最短的路径，并在地图上标出路线，为司机提供导航服务。
2.物流配送
在物流配送过程中，物流企业需要将货物从仓库运送到客户处。
最短路径算法可以帮助物流企业确定货车的行驶路线，节约时间和成本。
此外，最短路径算法还可以帮助物流企业规划仓库的位置，让仓库与客户的距离更近，提高效率。
3.电力网络
电力网络中的电线杆和变电站可以看作是节点，它们之间的电线可以看作是边。
最短路径算法可以帮助电力公司确定电线的布局，让电线的长度更短，降低电力损耗和成本。
4.社交网络
社交网络中的用户可以看作是节点，他们之间的关注和好友关系可以看作是边。
最短路径算法可以帮助社交网络推荐好友或者关注对象，让用户之间的连接更加紧密。
总之，最短路径算法在实际生活中有着广泛的应用，它可以帮助
我们优化决策，提高效率和降低成本。
最短路径问题算法
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
最短路径问题的求解
最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点， 处理后得到如下图的最终结果：
5、由上图可以得出结论：点C、B、D、E就是点A到它们的最短路径（注意：这些路径并不是经过了 所有点，而是只经过了其中的若干个点，而且到每一个点的那条路径不一定相同）。因而A到E的最 短距离就是13。至于它经过了哪几个点大家可在上述过程中加以记录即可。
最短路径问题的求解
三、等代价搜索法 等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与 启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之 处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值， 也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是： 1、 从A点开始依次展开得到AB（7）、AC（3）、AD（10）、AE（15）四个新 结点，把第一层结点A标 把未展开过的AB、AC、AD、AE四个结点中距离最小的一个展开，即展开AC （3）结点，得到ACB（8）、ACD（16）、ACE（13）三个结点，并把结点AC标记为 已展开； 3、 再从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开AB（7）结点， 得到ABC（12）、ABD（20）、ABE（19）三个结点，并把结点AB标记为已展开； 4、 再次从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开ACB（8）结 点，……； 5、 每次展开所有未展开的结点中距离最小的那个结点，直到展开的新结点中 出现目标情况（结点含有5个字母）时，即得到了结果。
最短路径问题的求解
[问题分析] 对于一个含有n个顶点和e条边的图来说，从某一个顶点Vi到其余任一顶点Vj的最短路径，可 能是它们之间的边（Vi，Vj），也可能是经过k个中间顶点和k+1条边所形成的路径(1≤k≤n-2)。 下面给出解决这个问题的Dijkstra算法思想。 设图G用邻接矩阵的方式存储在GA中，GA[i,j]=maxint表示Vi，Vj是不关联的，否则为权值 （大于0的实数）。设集合S用来保存已求得最短路径的终点序号，初始时S=[Vi]表示只有源点， 以后每求出一个终点Vj，就把它加入到集合中并作为新考虑的中间顶点。设数组dist[1..n]用来 存储当前求得的最短路径，初始时Vi，Vj如果是关联的，则dist[j]等于权值，否则等于maxint， 以后随着新考虑的中间顶点越来越多，dist[j]可能越来越小。再设一个与dist对应的数组 path[1..n]用来存放当前最短路径的边，初始时为Vi到Vj的边，如果不存在边则为空。 执行时，先从S以外的顶点（即待求出最短路径的终点）所对应的dist数组元素中，找出其 值最小的元素（假设为dist[m]），该元素值就是从源点Vi到终点Vm的最短路径长度，对应的 path[m]中的顶点或边的序列即为最短路径。接着把Vm并入集合S中，然后以Vm作为新考虑的中 间顶点，对S以外的每个顶点Vj，比较dist[m]+GA[m,j]的dist[j]的大小，若前者小，表明加入 了新的中间顶点后可以得到更好的方案，即可求得更短的路径，则用它代替dist[j]，同时把Vj 或边（Vm，Vj）并入到path[j]中。重复以上过程n-2次，即可在dist数组中得到从源点到其余 各终点的最段路径长度，对应的path数组中保存着相应的最段路径。 对于上图，采用Dijkstra算法找出C1到Ci之间的最短路径(2≤i≤6)的过程如下：
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
前N条最短路径问题的算法及应用
部路径转化为某一子图上的第 !最短路径*
将 所 有 路 径 全 部 求 出(然 后 按 路 径 长 度 值 大 小
对其进行排序即可求解前 ) 条最短路径问题*在实
际 应 用 中 ) 通 常 较 小 #)a b$(避 免 求 取 不 必 要 的
路径是算法设计的关键*根据结论 P(如果前 RO!最
短 路 径 2!(2&(9(2RO!已 经 求 得 且 所 剩 路 径 2R(9(2:
收 稿 日 期 C$%%DED%E$F@
作 者 简 介 万C柴方登数峰据’D&GFH (I男 I浙 江 江 山 人 I博 士 生 I从 事 遥 感 图 像 处 理 J地 理 信 息 系 统 方 面 研 究 @<EK.5/C>2.5L0M N4+@3L+@>-
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第 Lc卷
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贝尔曼福德算法
贝尔曼福德算法摘要：1.贝尔曼福德算法简介2.算法原理与过程3.应用领域与实际案例4.优缺点分析5.总结正文：贝尔曼福德算法（Bellman-Ford Algorithm）是一种解决单源最短路径问题的算法，由美国数学家Richard Bellman和英国计算机科学家Lester Ford 于1956年提出。
该算法以他们的名字命名，是一种动态规划算法，适用于存在负权值边的图。
1.贝尔曼福德算法简介贝尔曼福德算法是一种解决单源最短路径问题的算法，主要解决的是在存在负权值边的图中，寻找源节点到其他所有节点的最短路径问题。
该算法通过动态规划的方式，自底向上地计算每个节点到源节点的最短路径。
2.算法原理与过程贝尔曼福德算法的核心思想是：对于每个节点k，我们通过计算其他所有节点的最短路径长度，来更新节点k的最短路径长度。
具体过程如下：(1) 初始化：将源节点的最短路径长度设为0，其他节点的最短路径长度设为无穷大。
(2) 迭代：对于图中的每个节点k，遍历与节点k相邻的所有节点j，计算从节点k到节点j的路径长度，并与当前节点j的最短路径长度进行比较。
如果从节点k到节点j的路径长度更短，则更新节点j的最短路径长度。
(3) 重复步骤(2)的迭代过程n-1次，其中n为图的顶点数。
(4) 检验：若在迭代过程中发现有节点的最短路径长度未发生变化，说明该节点不存在最短路径，返回不存在最短路径的结果。
3.应用领域与实际案例贝尔曼福德算法广泛应用于计算机网络、运筹学、人工智能等领域，解决单源最短路径问题。
例如，在网络路由协议中，通过计算网络中各个节点到源节点的最短路径，可以优化路由策略，提高网络传输效率。
4.优缺点分析优点：- 适用于存在负权值边的图，具有较强的适应性。
- 算法的时间复杂度为O(nm)，其中n为图的顶点数，m为边的数量，相对较低。
缺点：- 当图中存在负权值环时，算法可能会陷入死循环，无法得到正确结果。
- 算法依赖于动态规划，对于大规模的图，空间复杂度较高。
最短路径算法——Dijkstra算法
最短路径算法——Dijkstra算法摘要：数据结构作为计算机科学的核心，已经成为人们必须掌握的一切信息知识。
作为经典的最短路径算法，Dijkstra算法数据结构被在生活中的各方面都有所体现。
本文从数据结构和最短路径算法的定义入手，介绍了Dijkstra算法的算法优缺点和算法实例，最后阐述了最短路径算法在现实生活中的作用，说明该算法的重要意义。
关键词：最短路径；Dijkstra算法；应用一、数据结构与算法1.1 数据结构数据结构是解释数据之间关系的科学。
典型的数据结构包括数组、链表、树和图[1]。
如何准确地使用各种数据结构至关重要。
这种数据结构就是图表，它是“树型”数据结构的扩展。
节点是一个节点（单独的节点），不能连接或连接到另一个节点。
结果，图中节点之间的关系变得更加复杂，并且通过计算机从一个节点到另一个节点的路径变得更加困难。
数据结构彼此具有一个或多个某种联系的元素数据汇总。
一般情况下，经过筛选的数据结构可以让用户感受到良好的体验或使用效率。
数据逻辑结构、数据存储结构和数据操作三部分是数据结构研究的主要内容。
线性结构和非线性结构一起组成了数据结构中的逻辑结构。
对线性结构的解释是：简单的一个表就是一种线性结构，这个表中所有的节点都符合线性关系。
除此之外，线性表是一种典型的线性结构，栈、队列、字符串都是线性结构。
对非线性结构的解释是：在一个简单表中的节点之间存在若干个对应关系是非线性结构。
在现实应用中，非线性结构主要包括了数组、树结构、图结构等数据结构。
1.2最短路径算法最短路径在图论中定义为在有向图中两结点间找一条权值最小的路径。
最短路径算法是对图状结构进行分析，找到需要的、合适的结点及路径，在交通、路径规划、城市建设、灾难逃生等领域广泛应用[2]。
最短路径法是一种机器学习技术，用于搜索连通图中结点之间的最短路径，是计算复杂系统中发现最优路径的有效方法。
最短路径法可以应用于许多不同类型的问题，包括路由算法、资源分配问题、最优布线、交通规划等，还可以被用于搜索引擎中搜索优化的相关工作。
最短路径问题(Dijkstra算法)和最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)
t(j)=tmin;
end
end
end
ifk==n
break;
end
end
T;
c;
Prim算法程序：
function[T c] =Primf(a)
%a表示权值矩阵
%c表示生成树的权和
%T表示生成树的边集合
l=length(a);
a(a==0)=inf;
k=1:l;
listV(k)=0;
上机实验1、2
1.最短路径问题（Dijkstra算法）
2.最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）
一、最短路径问题（Dijkstra算法）
实验问题描述：如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地。
listV(1)=1;
e=1;
while(e<l)
min=inf;
fori=1:l
iflistV(i)==1
forj=1:l
iflistV(j)==0&min>a(i,j)
min=a(i,j);b=a(i,j);
s=i;d=j;
end
end
end
end
listV(d)=1;
distance(e)=b;
T =
3 4 1 2
4 5 3 5
c =
10
>> a=[0 5 3 7 inf;5 0 8 inf 4;3 8 0 1 6;7 inf 1 0 2;inf 4 6 2 0];
>> [T c] =Primf(a)
最短路径算法附应用
最短路径算法及应用乘汽车旅行的人总希望找出到目的地的尽可能的短的行程。
如果有一张地图并在图上标出每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？一种可能的方法就是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
那么我们很容易看到，即使不考虑包含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是不值得考虑的。
在这一章中，我们将阐明如何有效地解决这类问题。
在最短路径问题中，给出的是一有向加权图G＝（V，E，W），其中V为顶点集，E为有向边集，W为边上的权集。
最短路径问题研究的问题主要有：单源最短路径问题、与所有顶点对之间的最短路径问题。
一、单源最短路径问题所谓单源最短路径问题是指：已知图G＝（V，E），我们希望找出从某给定的源结点S∈V 到V中的每个结点的最短路径。
首先，我们可以发现有这样一个事实：如果P是G中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。
（一）Dijkstra算法对于图G，如果所有Wij≥0的情形下，目前公认的最好的方法是由Dijkstra于1959年提出来的。
例1 已知如下图所示的单行线交通网，每弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用，现在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去，求使总费用最小的旅行路线。
Dijkstra方法的基本思想是从vs出发，逐步地向外探寻最短路。
执行过程中，与每个点对应，记录下一个数(称为这个点的标号)，它或者表示从vs到该点的最短路的权(称为P 标号)、或者是从vs到该点的最短路的权的上界(称为T标号)，方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的改变为具P标号的点，从而使G中具P标号的顶点数多一个，这样至多经过n-1(n为图G的顶点数)步，就可以求出从vs到各点的最短路。
在叙述Dijkstra方法的具体步骤之前，以例1为例说明一下这个方法的基本思想。
例1中，s=1。
因为所有Wij≥0，故有d(v1, v1)=0。
Dijkstra算法的实现和复杂度分析最短路径问题的解决方案
Dijkstra算法的实现和复杂度分析最短路径问题的解决方案最短路径问题一直是图论中的经典问题。
为了解决最短路径问题，荷兰计算机科学家Dijkstra提出了一种被广泛应用的算法。
本文将介绍Dijkstra算法的实现过程，并进行复杂度分析。
一、Dijkstra算法的简介Dijkstra算法是一种用于解决带有非负权重边的带权重有向图中单源最短路径问题的贪心算法。
该算法以源节点为中心逐步计算到其他节点的最短路径。
在每一步中，选择具有最小路径长度的节点作为下一次循环的起点，并使用该节点更新其邻接节点的路径长度。
二、Dijkstra算法的实现Dijkstra算法的实现分为以下步骤：1. 创建一个距离集合，用于存储起点到每个节点的路径长度。
将起点的距离初始化为0，其他节点的距离初始化为无穷大。
2. 创建一个已访问集合，用于标记已经计算过最短路径的节点。
3. 在未访问的节点中选择距离最小的节点作为下一次循环的起点，并标记为已访问。
4. 对于该节点的所有出边，更新其邻接节点的路径长度。
如果经过当前节点到达邻接节点的路径长度小于已存储的路径长度，则更新路径长度。
5. 重复步骤3和步骤4，直到所有节点都被访问过或者没有可以访问的节点为止。
三、Dijkstra算法的复杂度分析Dijkstra算法的复杂度可以分为两个部分进行分析：初始化和迭代更新。
1. 初始化在初始化阶段，需要为每个节点初始化其路径长度和已访问状态。
对于有n个节点的图来说，初始化的时间复杂度为O(n)。
2. 迭代更新迭代更新的次数不会超过节点数量n次。
在每次迭代中，需要在未访问的节点中找到路径长度最小的节点，这个过程的时间复杂度为O(n)。
然后，需要更新该节点的所有邻接节点的路径长度，这一步的时间复杂度为O(m)，其中m为边的数量。
所以，迭代更新的时间复杂度为O(n*m)。
综上所述，Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)。
在稠密图中，即m接近于n^2的情况下，算法的效率较低。
最短路径算法与应用中的问题分析(史上最全路径算法总结)
二，任意权值的单源最短路径算法，解决上述问题 2.
1， 问题的描述： 给定一个有向带权图 D 与源点 v,各边上的权值为任意实数，要求找出从 v 出 发到 D 中其它各顶点的最短路径。 2， 算法的主要思想： 此种情况下我们可以用 Bellman-ford 算法。 当图中没有由带负权值的边组成的回 路时，有 n 个顶点的图中任意两个顶点之间如果存在最短路径，此路径最多有 n-1 条边。 Bellman-Ford 方法构造一个最短路径长度数组序列 dist1[u], dist2[u], …, distn-1[u]，其中，dist n-1[u]是从源点 v 出发最多经过不构成带负长度边回路的 n-1 条边到达终点 u 的最短路径长度。算法的最终目的是计算出 dist
六，如果权值非负，求其总长最短的一条过全部节点的初级回路。解 决问题 7。
1，问题的描述： 给定一个正权完全图， 求其总长最短的哈密顿回路。 所谓的哈密顿回路便是无向 图中一条经过全部节点的初级回路。这个便是图论中非常经典的旅行商问题。 2，算法的主要思想： 解决旅行商问题的一种比较精确的求解方法是分支与界法。 分支与界法的基本思路是： 1， 首先将边权由小到大排序，初始界 d0 。 2， 在边权序列中依次选边进行深探，直到选取 n 条边，判断是否构成 H 回路， 若是， d0 d (s1) ，结束。 3， 继续深探， 依次删除当前 si 中的最长边， 加入后面第一条待选边， 进行深探， 如果它是 H 回路且 d( si ) d 0 ，则 d0 d ( si ) 作为界。 4， 退栈过程，不能再深探时需要退栈。如果栈空，结束，其最佳值为 d0。否则 如果新分支的 d( si ) d 0 ，继续退栈；若 d(si)<d0,转 3. 这种搜索过程是在不断的构造分支与确定界值。一旦确定了界值，则对大于等于 界值的分支不在搜索， 而且最后得到的界值就是问题的最佳解。但是在最坏的情 况下，该算法的时间复杂度是 O(n!)。因此在实际问题中，我们经常采用近似算 法求解问题的近似最优解，近似算法中比较好的是“便宜”算法。 便宜算法的基本思路： 初始化时 T=(1，1); S ={2，3， · · · ，n} T 是一个不断扩充的初级回路，最初是一个自环。首先我们选取 S 中与 T 距离最 近的节点 j。设（j，t）是相应的边，这时节点 j 或插入到回路 T 中 t 的前面或者 插入到其后面，这根据 j 插入后回路 T 长度增量的大小而定。即如果 ，则插入到 t 与 t1 之间，否则 w ( j ,t ) w ( j ,t 1) w( t ,t 1) w (j t , ) w (j t , 2 ) w t ( t, 2 ) 插入在 t 与 t2 之间。
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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初中数学[最短路径问题]典范题型及解题技能最短路径问题中,症结在于,我们擅长作定点关于动点地点直线的对称点,或应用平移和睁开图来处理.这对于我们解决此类问题有事半功倍的感化.理论根据：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”“立体图形睁开图”.教材中的例题“饮马问题”,“造桥选址问题”“立体睁开图”.考的较多的照样“饮马问题”.常识点：“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”.“饮马问题”,“造桥选址问题”.考的较多的照样“饮马问题”,出题布景变式有角.三角形.菱形.矩形.正方形.梯形.圆.坐标轴.抛物线等.解题总思绪：找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年消失“三折线”转“直”等变式问题考核.一.两点在一条直线异侧例：已知：如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小.解：衔接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求.（根据：两点之间线段最短.）二. 两点在一条直线同侧例：图所示,要在街道旁建筑一个奶站,向居平易近区A.B供给牛奶,奶站应建在什么地方,才干使从A.B到它的距离之和最短．解：只有A.C.B在一向线上时,才干使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后衔接A′B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点．三.一点在两订交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部随意率性一点,在∠MON的双方OM,ON上各取一点B,C,构成三角形,使三角形周长最小.解：分离作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;衔接A′,A″,分离交OM,ON 于点B.点C,则点B.点C即为所求剖析：当AB.BC 和AC 三条边的长度正好可以或许表如今一条直线上时,三角形的周长最小例：如图,A.B 两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才干使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直）解：1.将点B 沿垂直与河岸的偏向平移一个河宽到E,2.衔接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的地位,MN 为所建的桥.证实：由平移的性质,得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的地位建在CD 处,衔接AC.CD.DB.CE,则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中,∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的地位建在CD 处,AB 两地的旅程最短.例：如图,A.B 是两个蓄水池,都在河道a 的同侧,为了便利浇灌作物,•要在河畔建一个抽水站,将河水送到A.B 两地,问该站建在河畔什么地方,•可使所修的渠道最短,试在图中肯定该点.作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,衔接AC 交直线a 于点D,则点D 为建抽水站的地位.证实：在直线 a 上别的任取一点E,衔接AE.CE.BE.BD, · ·CD A BE a A· MNE∵在直线 a上,∴DB=DC,EB=EC,∴AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在△ACE中,AE+EC＞AC,即 AE+EC＞AD+DB所以抽水站应建在河畔的点D处,例：某班举办晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮忙他设计一条行走路线,使其所走的总旅程最短？OA的对称点点D,2. 作点C关于直线 OB的对称点点E,OA.OB于点M.N,则CM+MN+CN最短例：如图：C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河畔饮马,然后回到帐篷,请你帮他肯定这一天的最短路线.OA 的对称点点F,2. 作点D关于直线 OB的对称点点E,OA.OB于点G.H,则CG+GH+DH最短E四.求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的计划设计在此问题中可根据圆上最远点与比来点和点的关系可得最优设计计划.例:一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离为1,则圆的半径为若干？（5或4）四.点在圆柱中可将其正面睁开求出最短旅程将圆柱正面展成长方形,圆柱体睁开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的宽．可求出最短旅程例：如图所示,是一个圆柱体,ABCD是它的一个横截面,AB=,BC=3,一只蚂蚁,要从A点爬行到C点,那么,比来的旅程长为（）A．7 B．C． D．5剖析：请求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的正面睁开,进而根据“两点之间线段最短”得出成果．解：将圆柱体睁开,衔接A.C,∵==•π•=4,BC=3,根据两点之间线段最短,AC==5．故选D．五.在长方体（正方体）中,求最短旅程1）将右正面睁开与下底面在统一平面内,求得其旅程2）将前概况睁开与上概况在统一平面内,求得其旅程3）将上概况睁开与左正面在统一平面内,求得其旅程了然落后行比较大小,即可得到最短旅程.例：有一长.宽.高分离是5cm,4cm,3cm的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体的一个极点A处沿长方体的概况爬到长方体上和A相对的极点B处,则须要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm剖析：把此长方体的一面睁开,在平面内,两点之间线段最短．应用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中,一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长方体的长宽之和,应用勾股定理可求得．解：因为平面睁开图不独一,故分情形分离盘算,进行大.小比较,再从各个路线中肯定最短的路线．（1）睁开前面.右面,由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90;（2）睁开前面.上面,由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74;（3）睁开左面.上面,由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80;所以最短路径长为cm．例：如图是一个长4m,宽3m,高2m的有盖仓库,在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎,B处（宽的三等分）有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）A．4.8 B．C．5 D．剖析：先将图形睁开,再根据两点之间线段最短可知．解：有两种睁开办法：①将长方体睁开成如图所示,衔接A.B,根据两点之间线段最短,AB==;②将长方体睁开成如图所示,衔接A.B,则AB==5＜;所以最短距离5例：有一棵9米高的大树,树下有一个1米高的小孩,假如大树在距地面4米处折断（未完整折断）,则小孩至少分开大树米之外才是安然的．剖析：根据题意构建直角三角形ABC,应用勾股定懂得答．解：如图,BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m,则BC=4﹣1=3m,AB=9﹣4=5m,在Rt△ABC中,AC===4．例：如图,在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且＞AD,木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从点A处,到达C处须要走的最短旅程是米．（准确到0.01米）剖析：解答此题要将木块睁开,然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知,将木块睁开,相当于是AB+2个正方形的宽,∴×2=2.4米;宽为1米．于是最短路径为：=2.60米．例：如图,AB为⊙O直径,AB=2,OC为半径,OC⊥AB,D为AC三等分点,点P为OC上的动点,求AP+PD的最小值.分折：作D关于OC的对称点D’,于是有PA+PD’≥AD’,（当且仅当P活动到P o处,等号成立,易求AD’=3.六.在圆锥中,可将其正面睁开求出最短旅程将圆锥正面睁开,根据统一平面内的问题可求出最优设计计划例：如图,一向圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点动身,绕圆锥的正面爬行一周后又回到A点,则蚂蚁爬行的最短路线长是（成果保存根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的睁开图的扇形的弧所对的弦长, 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则,则2×π×2=,解得：n=90°,由勾股定理求得它的弦长AA一.题中消失一个动点.当题中只消失一个动点时,可作定点关于动点地点直线的对称点,应用两点之间线段最短,或三角形双方之和小于第三边求出最值.例：如图,在正方形ABCD 中,点E 为AB 上必定点,且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点,求PE+PC 最小值.剖析：作E 关于BD 对称点E ’,E ’在AB 上,有PE+PC=PE ’+PC ≥E ’C 易求E ’C=26.二.题中消失两个动点.当题中消失两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点地点直线的对称点.应用两点之间线段最短求出最值.例：如图,在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0,n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求mn . 分折:因AB 长为定值,四边形周长最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B ’,n ×π×8 180A 关于x 轴对称点A ’,DA+DC+BC=DA ’+DC+B ’C ≥B ’A ’(当D,C 活动到AB 和x 轴y 轴的交点时等号成立),易求直线A ’B ’解折式三.题中消失三个动点时.在求解时应留意两点：(1)作定点关于动点地点直线的对称点,(2)同时要斟酌点点,点线,线线之间的最短问题.例：如图,在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P 分离为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值分折:作E 关于AC 所直线的对称点E ’,于是有,PE+PF=PF+PE ’≥E ’F,又因为E 在AB 上活动,故当EF 和AD,BC 垂直时,E0F 最短,易求例：如图,∠AOB=45,角内有一动点P ,PO=10,在AO,BO 上有两动点Q,R,求△PQR 周长的最小值.分折：作P 关于OA,OB 对称点P1,P2 .于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2,由对称性易知△P1OP2为等腰RT △总之,在这一类动点最值问题中,症结在于,我们擅长作定点关于动点地点直线的对称点,或动点关于动点地点直线的对称点.这对于我们解决此类问题有事半功倍的感化.1.应用轴对称解决距离最短问题应用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的根本思绪,不管标题若何变更,应用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个焦点,所有作法都雷同．留意：应用轴对称解决最值问题应留意标题请求根据轴对称的性质.应用三角形的三边关系,经由过程比较来解释最值问题是经常应用的一种办法．解决这类最值问题时,要卖力审题,不要只留意图形而疏忽题意请求,审题不清导致答非所问．2.应用平移肯定最短路径选址选址问题的症结是把各条线段转化到一条线段上．假如两点在一条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,假如两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理解释,平日根据最大值或最小值的情形取个中一个点的对称点来解决．解决衔接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以经由过程平移河岸的办法使河的宽度变成零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时,我们平日应用轴对称.平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的办法来解决问题．。
前N条最短路径问题的算法及应用
前N条最短路径问题的算法及应用
柴登峰;张登荣
【期刊名称】《浙江大学学报（工学版）》
【年(卷),期】2002(036)005
【摘要】现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstra算法的新算法,该算法可以求取前N条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要.
【总页数】4页(P531-534)
【作者】柴登峰;张登荣
【作者单位】浙江大学,空间信息技术研究所,杭州,浙江,310027;浙江大学,空间信息技术研究所,杭州,浙江,310027
【正文语种】中文
【中图分类】P208;O22
【相关文献】
1.基于Floyd算法的最短路径问题应用研究 [J], 曹睿
2.Dijkstra及基于Dijkstra的前N条最短路径算法在智能交通系统中的应用 [J], 王峰;游志胜;曼丽春;高燕;汤丽萍
3.基于一般Dijkstra的改进算法在最短路径问题中的应用 [J], 岳晓娟
4.和声搜索算法在求解最短路径问题中的应用 [J], 高立群;依玉峰;郑平;程伟
5.求解k条最短路径问题的混合蛙跳算法 [J], 马炫;刘庆
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前N条最短路径问题的算法及应用
第36卷第5期2002年9月浙 江 大 学 学 报(工学版)Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science)Vol.36No.5Sep.2002收稿日期:2001-10-24.作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z 前N 条最短路径问题的算法及应用柴登峰,张登荣(浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027)摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要.关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04Algorithm and its application to N shortest paths problemCHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong(I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China )Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3],此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等.最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1].目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径.实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题.1 问题描述在图、有向图、赋权图、顶点、边、路径(或称为通路、路)以及路径的长度等概念[2]的基础上,下面给出前N条最短路径问题的定义.前N条最短路径问题是:设有赋权图G(V,E)及其上给定的两个顶点v i和v j,r为v i和v j之间的一条路径,记其长度为d(r),由v i和v j之间的所有互不相同的路径组成的集合R(G,v i,v j)称为G上v i和v j之间的路径集合,即R(G,v i,v j)={rûr为G 上v i,v j之间的路径}.若按路径长度值大小将其排列得r1,r2,…,r M,d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),则称r1为G上v i和v j间的第1最短路径(即狭义最短路径),d1为其长度;r2为G上v i和v j间第2最短路径,d2为其长度;r M为G上v i和v j间第M最短路径,d M为其长度.求取G上v i和v j间的第1～N(N ≤M)最短路径的问题称为前N条最短路径问题.2 算法设计的理论基础前面已指出,Dijkstra算法是求解狭义最短路径问题的优秀算法,但它只能求取第1最短路径而不能求得第2,…,N最短路径.经对问题研究分析后,归纳总结出四个结论,据此可将前N条最短路径问题转换为狭义最短路径问题加以求解.这样,就可以借用Dijkstra算法求解前N条最短路径问题.在给出结论之前,先作如下约定:(1)文中所指子图皆为生成子图.(2)r1(G,v i,v j)为G上v i和v j间的第1最短路径.结论1:若r=v0e1v1…e n v n∈R(G,v i,v j),则存在G′A G,使得r=r1(G′,v i,v j),反之,若G′A G,则R(G′,v i,v j)A R(G,v i,v j).结论2:r=r1(G,v i,v j),r′=r1(G′,v i,v j),若G′(V,E′)A G(V,E),则d(r)≤d(r′).结论3:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r1=v0e1v1…e n v n,R′(G,v i,v j) =∪k=1,…,nR k(G k,v i,v j),R k(G k,v i,v j)=R(G k(V,E k), v i,v j),E k=E(G)-{e k},则R(G,v i,v j)-{r1}=R′(G,v i,v j).结论4:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r′k=r1(G k,v i,v j),R k=R(G k,v i,v j)-{r′k},G k A G,k=1,…,n,R′=∪k=1,…,n ({r′k}∪R k),则有:¹若{r s,…,r M}=R′,d(r′t)=mink=1,…,n(d(r′k)),则r s=r′t.º若r′t=v0e1v1…e m v m,则{r s+1,…,r M}=R″, R″=(∪k=1,…,n,r′k≠r′t({r′k}∪R k))∪(∪p(∪l({r p l}∪R p l))),R p l=R(G p l,v i,v j),r p l=r1(G p l,v i,v j),G p l(V,E p l),E p l=E p-{e l},l=1,…,m,p∈{1,…,n},r′p=r s,且 r s+1=r′t,d(r′t)=min(m ink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p=r′l(minl=1,…,m(d(r p l))));r q t,d(r q t)=m in(mink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p-r′t(minl=1,…,m(d(r p l)))).根据结论1,赋权图G(V,E)上两顶点间的任一路径都必然是它的某一子图G′(V,E′)上相同顶点间的第1最短路径,可将一个图G(V,E)上两顶点间的第2,…,N最短路径转换为第1最短路径加以求解.根据结论3,可将第1最短路径r1从路径集合{r1,r2,…,r M}中分离出来,分别将第1最短路径r1=v0e1v1,…,e n v n上的一条边从图G的边集中删除就可得到一批子图G k,k=1,…,n,这些子图上路径集合的并集∪k=1,…,nR k就等于非第1最短路径集合{r2,…,r M}.同样,可将路径集合R k,k=1,…,n分离为第1和非第1最短路径.如此递归进行可将全部路径转化为某一子图上的第1最短路径.将所有路径全部求出,然后按路径长度值大小对其进行排序即可求解前N条最短路径问题.在实际应用中N通常较小(N<5),避免求取不必要的路径是算法设计的关键.根据结论4,如果前s-1最短路径r1,r2,…,r s-1已经求得且所剩路径r s,…,r M在若干子图(它们组成一子图集)上路径集合R k,k=1,…,n中,则第s最短路径r s是这些子图上第1最短路径的最短者,求得第s最短路径后,在子图集中将第s最短路径所对应的子图(该子图的第1最短路径为原图的第s最短路径)用若干子图(根据结论3求得)取代,得到新的子图集就是求取第s+1最短路径所需的子图集.当s=1时,原图就是所需子图,求得第1最短路径之后,派生出若干子图,这样可以求取第2最短路径,如此递推进行,直至求取第N最短路径.这就不必求出全部路径,在N较小时,就显得更加重要和有效.上述四个结论是算法设计的理论依据.532浙 江 大 学 学 报(工学版) 第36卷 3 算法设计和分析在前述结论的基础上,下面设计求解前N 条最短路径问题的算法.先根据需要定义边、路径、图等结构类型,用于表示边、路径和图等,用P aths 数组存放路径类型指针变量,其大小设为N ,最后经过排序的结果就存放在这里,与此对应的是CutEdgeSet 数组,它存放以边为元素的集合变量,对应的含义为CutE dgeSet [i ]E ′=E -CutEd geS et [i ]G ′(V ,E ′)r =r 1(G ′,v i ,v j )P aths [i ]=r .在原图上割断,然后恢复CutE DgeSet 中的边可以避免存储中间子图.算法进行N 次循环,第i 次循环确定第i 最短路径,循环中先选择第i -1最短路径(即Paths [i -1]),根据CutEd geSet [i -1]和P aths [i -1]中的边产生若干子图,求取其上的第1最短路径作为候选路径存放入P aths [k ]中,k =i ,…,N .每次存入新候选路径时采用排序算法插入到正确位置,这样Paths 数组中元素始终保持按路径长度值大小进行存放,P aths [i ]在循环结束时就指向第i 最短路径.算法描述1是算法的完整描述,其中CutEd -geN um 表示CutEd geSet 中边的数目,E dgeN um 表示P aths [i -1]上边的数目;G 、souVex 和desVex 是算法的输入变量,分别表示图、源点和目标点;P 表示路径类型指针的变量;edge 表示边类型的变量,它至少含距离属性dist .所调用函数的含义如为其名称所表示的那样.若P 为空指针,则DistOf -Path (P )返回值为无穷大.从算法描述可以看出,对于G (V ,E ),N 是所要求的最短路径数目,与图的大小无关,而且通常较小,可以为常数量级;E dgeN um 是Paths [i -1]边的数目,其上限是边的总数目(实际应用中,远不能达到),由于Dijkstra 算法的时间复杂度为O (n 2),因此总的时间复杂度为O (e *n 2),其中e 和n 分别为图G (V ,E )的边和顶点的数目,若记顶点v i 的入度为T D (v i ),则e =∑ni =1TD (v i),对于GIS 网络分析对象,通常T D (v i )较小(如道路网中一般不超过4),因此,总的时间复杂度为O (n 3),这是多项式阶的算法.若以链表结构来存储图,则算法的空间复杂度为O (n ).4 算法应用现有如图1所示一有向赋权图,v i (i =1,…,11),e i (i =1,…,22)分别表示顶点和边,括号内数字为边的权值.图1 赋权图F ig.1 W eig hted g r aphfor (i =0;i <N ;i ++){CutEdgeS et [i ]=5; P aths [i ]=null ;}for (i =0;i <N ;i ++){ if(i0){ Dij kstra (G ,souVex ,desVex ,P );P aths [i ]=P ; CutEdgeS et [i ]=5;}else{ CutEdgeN um =S iz eOf Set (CutEd geSet [i -1]);for(j =0;j <CutE dgeN um ;j ++){ ed ge =Mem ber Of Set (CutEdgeS et [i -1],j ); dist [j ]=edg e .dist ; edg e .dist =∞;}if (P aths [i -1]=null )break ;Ed geN um =L engthOf Pa th (Paths [i -1]);for(j =0;j <EdgeN um ;j ++){ edge =EdgeOf P ath (P aths [i -1],j ); for (jj =0;jj <N ;j j ++) if (edge ∪CutEdgeSet [i -1]CutE dge -Set [j j ])co ntinue; dist =ed ge .dist ; edge .dist =∞; Dij ktra (G ,souVex ,d esV ex ,P ); edge .dist =dist ; dist =DistOf Path (P ); for (k =i ;k <N ;k ++) { if(DistOf P ath (P aths [k ])>dist ) { for(kk =N -1;kk >k ;k k --) { Paths [kk ]=P aths [kk -1];Cut -533 第5期柴登峰,等:前N 条最短路径问题的算法及应用E dgeSet[kk]=CutEd geSet[k k-1]; } Paths[k]=P;CutEdgeS et[k]=CutEd geSet[i-1]∪{edge}; break; } }}for(j=0;j<CutEdgeN um;j++){ ed ge=MemberOf Set(CutEd geSet[i-1],j); edge.dist=d ist[j]; edge.dist=∞;}}}利用本算法进行实验,得到三条最短路径,第1、2、3最短路径分别为:v1e2v3e9v7e17v10e22v11、v1e3v4e10v7e17v10e22v11和v1e2v3e7v5e13v8e20v11,其路径长度分别为42、45和46.本算法已经成功应用到广州市城市交通咨询系统中,应用有两种方式:求两点之间若干条最近的道路和若干条最节省时间的道路.后者需要增加一个环节用于估计行车时间,行车时间通常由路程、交通流量、道路等级等因素决定.为给用户提供实时信息,交通流量可实时测量和估计而得.对于一般的输入点求取3至5条最短路径,其计算时间通常在5s之内(CPU:667M Hz).通过实验及实际应用的检验,可以看出本算法是有效的.5 结 论本文提出的前N条最短路径问题是通常最短路径问题的扩充和延伸,它解决了实际中存在的问题,满足了需求.给出的算法有严格的理论基础,能成功计算得到前N条最短路径,其时间空间复杂度都为多项式阶.参考文献(References):[1]邦迪J A,默蒂U S R.图论及其应用[M].吴望名,等译.北京:科学出版社,1984.BON DY J A,M U RT Y U S R.Graph theory with Ap-plications[M].WU W ang-min,et al t ransl.Beijing: Science Pr ess,1984.[2]严蔚敏,吴伟明.数据结构[M].北京:清华大学出版社,1992.Y AN W ei-ming,WU Wei-ming.Data structures[M].Beijing:T singhua U niv ersity Pr ess,1992.[3]王杰臣,毛海城,杨得志.图的节点——弧段联合结构表示法及其在G IS最优路径选取中的应用[J].测绘学报, 2000,29(1):47-51.W A N G Jie-chen,M A O Hai-cheng,Y A NG De-zhi.U-nit ed str uctur e of po int:A r c for netw or k gr aph and It'sa pplicatio n in G ISs shor test pa th sear ching[J].Scienceof Surveying and 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[4]乐阳,龚健雅.Dijkstr a最短路径算法的一种高效率实现[J].武汉测绘科技大学学报,1999,24(3):209-212.Y U E Y ang,GO N G Jian-y a.A n efficient implement a-tio n of shor test path lgo r ithm based o n dijkstr a algo-rithm[J].Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping,1999,24(3):209-212.下期学报摘要预登薄壁离心钢管混凝土扭转全过程简化计算研究金伟良1,曲 晨1,傅 军2,张 立1(1.浙江大学结构工程研究所,浙江杭州310027;2.浙江省湖州设计院,浙江湖州313000)摘 要:通过对22根薄壁离心钢管混凝土构件抗扭性能试验数据的研究,提出了该结构受扭破坏的三个阶段的概念;在钢管和混凝土现有规范计算方法的基础上,建立了组合构件弹性扭矩、塑性扭矩的简化公式;以钢管的空心率、含钢率、长细比为参数,提出了构件组合模量表达式,并且采用与国际有关研究、国内相关规范相一致的直接双直线法,建立了组合刚度及组合构件抗扭各阶段的变形计算方法;并进行了扭转全过程简化计算,结果与试验结果吻合良好.关键词:薄壁离心钢管混凝土;扭转;刚度;变形;简化计算534浙 江 大 学 学 报(工学版) 第36卷 。
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第36卷第5期2002年9月浙 江 大 学 学 报(工学版)Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science)Vol.36No.5Sep.2002收稿日期:2001-10-24.作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z 前N 条最短路径问题的算法及应用柴登峰,张登荣(浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027)摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要.关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04Algorithm and its application to N shortest paths problemCHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong(I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China )Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3],此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等.最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1].目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径.实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题.1 问题描述在图、有向图、赋权图、顶点、边、路径(或称为通路、路)以及路径的长度等概念[2]的基础上,下面给出前N条最短路径问题的定义.前N条最短路径问题是:设有赋权图G(V,E)及其上给定的两个顶点v i和v j,r为v i和v j之间的一条路径,记其长度为d(r),由v i和v j之间的所有互不相同的路径组成的集合R(G,v i,v j)称为G上v i和v j之间的路径集合,即R(G,v i,v j)={rûr为G 上v i,v j之间的路径}.若按路径长度值大小将其排列得r1,r2,…,r M,d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),则称r1为G上v i和v j间的第1最短路径(即狭义最短路径),d1为其长度;r2为G上v i和v j间第2最短路径,d2为其长度;r M为G上v i和v j间第M最短路径,d M为其长度.求取G上v i和v j间的第1～N(N ≤M)最短路径的问题称为前N条最短路径问题.2 算法设计的理论基础前面已指出,Dijkstra算法是求解狭义最短路径问题的优秀算法,但它只能求取第1最短路径而不能求得第2,…,N最短路径.经对问题研究分析后,归纳总结出四个结论,据此可将前N条最短路径问题转换为狭义最短路径问题加以求解.这样,就可以借用Dijkstra算法求解前N条最短路径问题.在给出结论之前,先作如下约定:(1)文中所指子图皆为生成子图.(2)r1(G,v i,v j)为G上v i和v j间的第1最短路径.结论1:若r=v0e1v1…e n v n∈R(G,v i,v j),则存在G′A G,使得r=r1(G′,v i,v j),反之,若G′A G,则R(G′,v i,v j)A R(G,v i,v j).结论2:r=r1(G,v i,v j),r′=r1(G′,v i,v j),若G′(V,E′)A G(V,E),则d(r)≤d(r′).结论3:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r1=v0e1v1…e n v n,R′(G,v i,v j) =∪k=1,…,nR k(G k,v i,v j),R k(G k,v i,v j)=R(G k(V,E k), v i,v j),E k=E(G)-{e k},则R(G,v i,v j)-{r1}=R′(G,v i,v j).结论4:设R(G,v i,v j)={r1,r2,…,r M},d(r1)≤d(r2)≤…≤d(r M),r′k=r1(G k,v i,v j),R k=R(G k,v i,v j)-{r′k},G k A G,k=1,…,n,R′=∪k=1,…,n ({r′k}∪R k),则有:¹若{r s,…,r M}=R′,d(r′t)=mink=1,…,n(d(r′k)),则r s=r′t.º若r′t=v0e1v1…e m v m,则{r s+1,…,r M}=R″, R″=(∪k=1,…,n,r′k≠r′t({r′k}∪R k))∪(∪p(∪l({r p l}∪R p l))),R p l=R(G p l,v i,v j),r p l=r1(G p l,v i,v j),G p l(V,E p l),E p l=E p-{e l},l=1,…,m,p∈{1,…,n},r′p=r s,且 r s+1=r′t,d(r′t)=min(m ink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p=r′l(minl=1,…,m(d(r p l))));r q t,d(r q t)=m in(mink=1,…,n,r′k≠r′(d(r′k)), m inp∈{1,…,n},r′p-r′t(minl=1,…,m(d(r p l)))).根据结论1,赋权图G(V,E)上两顶点间的任一路径都必然是它的某一子图G′(V,E′)上相同顶点间的第1最短路径,可将一个图G(V,E)上两顶点间的第2,…,N最短路径转换为第1最短路径加以求解.根据结论3,可将第1最短路径r1从路径集合{r1,r2,…,r M}中分离出来,分别将第1最短路径r1=v0e1v1,…,e n v n上的一条边从图G的边集中删除就可得到一批子图G k,k=1,…,n,这些子图上路径集合的并集∪k=1,…,nR k就等于非第1最短路径集合{r2,…,r M}.同样,可将路径集合R k,k=1,…,n分离为第1和非第1最短路径.如此递归进行可将全部路径转化为某一子图上的第1最短路径.将所有路径全部求出,然后按路径长度值大小对其进行排序即可求解前N条最短路径问题.在实际应用中N通常较小(N<5),避免求取不必要的路径是算法设计的关键.根据结论4,如果前s-1最短路径r1,r2,…,r s-1已经求得且所剩路径r s,…,r M在若干子图(它们组成一子图集)上路径集合R k,k=1,…,n中,则第s最短路径r s是这些子图上第1最短路径的最短者,求得第s最短路径后,在子图集中将第s最短路径所对应的子图(该子图的第1最短路径为原图的第s最短路径)用若干子图(根据结论3求得)取代,得到新的子图集就是求取第s+1最短路径所需的子图集.当s=1时,原图就是所需子图,求得第1最短路径之后,派生出若干子图,这样可以求取第2最短路径,如此递推进行,直至求取第N最短路径.这就不必求出全部路径,在N较小时,就显得更加重要和有效.上述四个结论是算法设计的理论依据.532浙 江 大 学 学 报(工学版) 第36卷 3 算法设计和分析在前述结论的基础上,下面设计求解前N 条最短路径问题的算法.先根据需要定义边、路径、图等结构类型,用于表示边、路径和图等,用P aths 数组存放路径类型指针变量,其大小设为N ,最后经过排序的结果就存放在这里,与此对应的是CutEdgeSet 数组,它存放以边为元素的集合变量,对应的含义为CutE dgeSet [i ]E ′=E -CutEd geS et [i ]G ′(V ,E ′)r =r 1(G ′,v i ,v j )P aths [i ]=r .在原图上割断,然后恢复CutE DgeSet 中的边可以避免存储中间子图.算法进行N 次循环,第i 次循环确定第i 最短路径,循环中先选择第i -1最短路径(即Paths [i -1]),根据CutEd geSet [i -1]和P aths [i -1]中的边产生若干子图,求取其上的第1最短路径作为候选路径存放入P aths [k ]中,k =i ,…,N .每次存入新候选路径时采用排序算法插入到正确位置,这样Paths 数组中元素始终保持按路径长度值大小进行存放,P aths [i ]在循环结束时就指向第i 最短路径.算法描述1是算法的完整描述,其中CutEd -geN um 表示CutEd geSet 中边的数目,E dgeN um 表示P aths [i -1]上边的数目;G 、souVex 和desVex 是算法的输入变量,分别表示图、源点和目标点;P 表示路径类型指针的变量;edge 表示边类型的变量,它至少含距离属性dist .所调用函数的含义如为其名称所表示的那样.若P 为空指针,则DistOf -Path (P )返回值为无穷大.从算法描述可以看出,对于G (V ,E ),N 是所要求的最短路径数目,与图的大小无关,而且通常较小,可以为常数量级;E dgeN um 是Paths [i -1]边的数目,其上限是边的总数目(实际应用中,远不能达到),由于Dijkstra 算法的时间复杂度为O (n 2),因此总的时间复杂度为O (e *n 2),其中e 和n 分别为图G (V ,E )的边和顶点的数目,若记顶点v i 的入度为T D (v i ),则e =∑ni =1TD (v i),对于GIS 网络分析对象,通常T D (v i )较小(如道路网中一般不超过4),因此,总的时间复杂度为O (n 3),这是多项式阶的算法.若以链表结构来存储图,则算法的空间复杂度为O (n ).4 算法应用现有如图1所示一有向赋权图,v i (i =1,…,11),e i (i =1,…,22)分别表示顶点和边,括号内数字为边的权值.图1 赋权图F ig.1 W eig hted g r aphfor (i =0;i <N ;i ++){CutEdgeS et [i ]=5; P aths [i ]=null ;}for (i =0;i <N ;i ++){ if(i0){ Dij kstra (G ,souVex ,desVex ,P );P aths [i ]=P ; CutEdgeS et [i ]=5;}else{ CutEdgeN um =S iz eOf Set (CutEd geSet [i -1]);for(j =0;j <CutE dgeN um ;j ++){ ed ge =Mem ber Of Set (CutEdgeS et [i -1],j ); dist [j ]=edg e .dist ; edg e .dist =∞;}if (P aths [i -1]=null )break ;Ed geN um =L engthOf Pa th (Paths [i -1]);for(j =0;j <EdgeN um ;j ++){ edge =EdgeOf P ath (P aths [i -1],j ); for (jj =0;jj <N ;j j ++) if (edge ∪CutEdgeSet [i -1]CutE dge -Set [j j ])co ntinue; dist =ed ge .dist ; edge .dist =∞; Dij ktra (G ,souVex ,d esV ex ,P ); edge .dist =dist ; dist =DistOf Path (P ); for (k =i ;k <N ;k ++) { if(DistOf P ath (P aths [k ])>dist ) { for(kk =N -1;kk >k ;k k --) { Paths [kk ]=P aths [kk -1];Cut -533 第5期柴登峰,等:前N 条最短路径问题的算法及应用E dgeSet[kk]=CutEd geSet[k k-1]; } Paths[k]=P;CutEdgeS et[k]=CutEd geSet[i-1]∪{edge}; break; } }}for(j=0;j<CutEdgeN um;j++){ ed ge=MemberOf Set(CutEd geSet[i-1],j); edge.dist=d ist[j]; edge.dist=∞;}}}利用本算法进行实验,得到三条最短路径,第1、2、3最短路径分别为:v1e2v3e9v7e17v10e22v11、v1e3v4e10v7e17v10e22v11和v1e2v3e7v5e13v8e20v11,其路径长度分别为42、45和46.本算法已经成功应用到广州市城市交通咨询系统中,应用有两种方式:求两点之间若干条最近的道路和若干条最节省时间的道路.后者需要增加一个环节用于估计行车时间,行车时间通常由路程、交通流量、道路等级等因素决定.为给用户提供实时信息,交通流量可实时测量和估计而得.对于一般的输入点求取3至5条最短路径,其计算时间通常在5s之内(CPU:667M Hz).通过实验及实际应用的检验,可以看出本算法是有效的.5 结 论本文提出的前N条最短路径问题是通常最短路径问题的扩充和延伸,它解决了实际中存在的问题,满足了需求.给出的算法有严格的理论基础,能成功计算得到前N条最短路径,其时间空间复杂度都为多项式阶.参考文献(References):[1]邦迪J A,默蒂U S R.图论及其应用[M].吴望名,等译.北京:科学出版社,1984.BON DY J A,M U RT Y U S R.Graph theory with Ap-plications[M].WU W ang-min,et al t ransl.Beijing: Science Pr ess,1984.[2]严蔚敏,吴伟明.数据结构[M].北京:清华大学出版社,1992.Y AN W ei-ming,WU Wei-ming.Data structures[M].Beijing:T singhua U niv ersity Pr ess,1992.[3]王杰臣,毛海城,杨得志.图的节点——弧段联合结构表示法及其在G IS最优路径选取中的应用[J].测绘学报, 2000,29(1):47-51.W A N G Jie-chen,M A O Hai-cheng,Y A NG De-zhi.U-nit ed str uctur e of po int:A r c for netw or k gr aph and It'sa pplicatio n in G ISs shor test pa th sear ching[J].Scienceof Surveying and 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