指数型、对数型函数模型的应用实例
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量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或
y a bx c, (a, b, c 为常数)，
已知四月份该产品的产量为1.37万件， 请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
解：设二次函数为：y px2 qx r(p 0)
p q r 1 p 0.05
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
⑵将x=175代 人
y 2 1.02x 得y 2 1.02175
有计算器计算得 y≈63.98，
由于 78 1.22 1.2
63.98
所以，这个男生体重偏胖．
点评：函数拟合与预测的步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中， 这种情况几乎是不可能发生的．
由已知得
4p
2q
r
1.2
q
0.35
9p 3q r 1.3 r 0.7
所以 y 0.05x2 0.35x 0.7
当x=4时，y1 0.05 42 0.35 4 0.7 1.3
又对于函数 y a bx c
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧， 使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就 是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函 数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和 控制，为决策和管理提供依据．
练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万 件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以 这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 算5期后的本利和是多少？
思路分析 复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加 在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期 利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
∴选用函数 y 0.8 (作1)模x 拟1.函4 数较好。 2
1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问 题的方法: （1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量 之间的关系； （2）利用待定系数法，确定具体函数模型； （3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
ab c 1 a 0.8
由已知得：ab2
c
1.2
b
0.5
ab3
c
1.3
c 1.4
所以 y 0.8 ( 1)x 1.4 2
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
由四月份的实际产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 |
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
r9 0.0184
来自百度文库
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
代入函数 y a bx 由计算器得 a 2, b 1.02
从而函数模型为y 2 1.02x
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图
象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与
身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可
以选为y 2 1.02x
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y y0ert
其中t表示经过的时间， y0 表示t＝0时的人口数，
r表示人口的年平均增长率.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；
根据图像，选择函数 y a bx 进行拟合．
如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6, r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
解：1期后本利和为： y1 a a r a(1 r)
2期后本利和为：y2 a(1 r)2
……
x期后，本利和为：y a(1 r)x
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255 由计算器算得：y = 1117.68（元）
2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图， 然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助 计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出 具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应 的问题，这是函数应用的一个基本过程.
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 cge5k
0.5366
cge5.5k
k c
0.115 1.01
y 1.01ge0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01ge0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx
y a bx c, (a, b, c 为常数)，
已知四月份该产品的产量为1.37万件， 请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
解：设二次函数为：y px2 qx r(p 0)
p q r 1 p 0.05
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
⑵将x=175代 人
y 2 1.02x 得y 2 1.02175
有计算器计算得 y≈63.98，
由于 78 1.22 1.2
63.98
所以，这个男生体重偏胖．
点评：函数拟合与预测的步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中， 这种情况几乎是不可能发生的．
由已知得
4p
2q
r
1.2
q
0.35
9p 3q r 1.3 r 0.7
所以 y 0.05x2 0.35x 0.7
当x=4时，y1 0.05 42 0.35 4 0.7 1.3
又对于函数 y a bx c
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧， 使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就 是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函 数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和 控制，为决策和管理提供依据．
练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万 件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以 这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 算5期后的本利和是多少？
思路分析 复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加 在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期 利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
∴选用函数 y 0.8 (作1)模x 拟1.函4 数较好。 2
1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问 题的方法: （1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量 之间的关系； （2）利用待定系数法，确定具体函数模型； （3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
ab c 1 a 0.8
由已知得：ab2
c
1.2
b
0.5
ab3
c
1.3
c 1.4
所以 y 0.8 ( 1)x 1.4 2
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
由四月份的实际产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 |
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
r9 0.0184
来自百度文库
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
代入函数 y a bx 由计算器得 a 2, b 1.02
从而函数模型为y 2 1.02x
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图
象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与
身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可
以选为y 2 1.02x
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y y0ert
其中t表示经过的时间， y0 表示t＝0时的人口数，
r表示人口的年平均增长率.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；
根据图像，选择函数 y a bx 进行拟合．
如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6, r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
解：1期后本利和为： y1 a a r a(1 r)
2期后本利和为：y2 a(1 r)2
……
x期后，本利和为：y a(1 r)x
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255 由计算器算得：y = 1117.68（元）
2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图， 然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助 计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出 具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应 的问题，这是函数应用的一个基本过程.
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 cge5k
0.5366
cge5.5k
k c
0.115 1.01
y 1.01ge0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01ge0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx