指数型、对数型函数模型的应用实例
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
第课时 指数型对数型函数模型的应用举例
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
第课时 指数型对数型函 数模型的应用举例
2020年4月23日星期四
1.能够利用指数(或对数)函数模型解决实际问题；（重点） 2.能够收集数据信息，建立拟合函数解决实际问题； 3.进一步熟悉运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对 给定的函数模型进行简单的分析评价.（易混点）
想一想： 函数模型应用的两个方面 (1)利用已知函数模型解决问题； (2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释 有关现象，对某些发展趋势进行预测．
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图
象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与
身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可
以选为
⑵将x=175代
得
人
由计算器计算得 y≈63.98，
由于
加强锻炼 ，增强体
质。
所以，这个男生偏胖．
函数拟合与预测的步骤 ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中 ，这种情况几乎是不可能发生的．
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
令 增长模型为
则我国在1950～1959年期间的人 口
2018高中数学必修1课件：3.2.2 函数模型的应用举例 第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举
10
【规律总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函 数解析式，然后根据实际问题再求解. (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的 参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析 式求值，然后根据数值回答其实际意义.
【巩固训练】20世纪70年代，里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量 的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振 幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式 为：M=lgA-lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是 “标准地震”的振幅.
第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例
类型一：指数型函数模型的应用实例 【典例1】某城市现在人口总数为100万人，如果年自 然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关 系式.
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人). (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精 确到1年).
为函数v=5log2 ，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗
Q
氧量.
10
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度 是多少？
【解题指南】(1)燕子静止时的耗氧量即v=0时Q的值. (2)两岁燕子的耗氧量是80个单位时，求它的飞行速度， 即为当Q=80时v的值.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模 型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接 代入表中的数据，问题即可获解. (2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则 可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.
高中数学中的指数与对数函数实际问题
高中数学中的指数与对数函数实际问题在我们的日常生活和许多实际应用中，指数与对数函数扮演着十分重要的角色。
它们不仅是高中数学中的重要知识点，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说指数函数。
想象一下银行存款的利息计算，如果是按照复利的方式，那么就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔本金 P ，年利率为 r ，存了 t 年。
如果利息每年复利一次，那么到期后的本利和A 就可以用指数函数 A ＝ P(1 ＋ r)＾t 来计算。
这个公式清晰地展示了随着时间的推移，资金的增长情况。
比如，你存了 10000 元，年利率为 5%，存了 5 年，那么到期后的本利和就是 10000×（1 ＋ 005)＾5 元。
再看人口增长问题。
在一定条件下，人口的增长可能呈现指数增长的趋势。
假设一个地区初始人口为 P₀，人口年增长率为 r ，经过 t 年后，人口数量 P 可以用指数函数 P ＝ P₀×（1 ＋ r)＾t 来估算。
这对于政府规划城市基础设施、教育资源、医疗资源等都有着重要的参考价值。
还有放射性物质的衰变。
放射性物质的质量会随着时间的推移而减少，其衰变过程可以用指数函数来描述。
比如某种放射性物质的初始质量为 m₀，其衰变常数为λ ，经过时间 t 后，剩余的质量 m 可以表示为 m ＝ m₀×e^（λt) 。
说完指数函数，咱们再聊聊对数函数。
对数函数在测量声音强度、地震震级等方面有着广泛的应用。
比如，声音的强度通常用分贝（dB）来衡量。
假设 I 为某声音的强度，I₀为基准声音强度，那么声音的强度级 L 可以用对数函数 L ＝10×log₁₀(I ／ I₀) 来计算。
这使得我们能够直观地比较不同声音的强度大小。
在地震学中，地震的震级也是通过对数函数来表示的。
假设 E 为某次地震释放的能量，E₀为标准地震释放的能量，那么地震震级 M 可以用公式 M ＝ log₁₀(E ／ E₀) 来确定。
高中数学指数函数与对数函数的综合运用案例分析
高中数学指数函数与对数函数的综合运用案例分析高中数学中，指数函数和对数函数是非常重要的内容，它们在各个领域的应用都非常广泛。
本文将通过一些实际案例，来分析指数函数和对数函数的综合运用。
一、人口增长模型在人口学中，指数函数和对数函数可以用来描述人口的增长和衰减。
以某国家的人口增长为例，假设该国的人口增长率为2%。
我们可以使用指数函数来描述人口的增长情况。
设该国的初始人口为P0，年增长率为r，则经过t年后的人口为P(t) = P0 * (1 + r)^t。
其中，r为增长率，t为时间。
假设该国的初始人口为1000万人，年增长率为2%，我们可以计算出10年后的人口为P(10) = 1000 * (1 + 0.02)^10 ≈ 1218.99万人。
而对数函数则可以用来反推初始人口。
假设我们知道10年后的人口为1218.99万人，我们可以使用对数函数来计算初始人口。
设10年后的人口为P(10) = P0 * (1 + r)^10，我们可以通过对数函数求解P0。
即 log(P(10)) = log(P0 * (1 + r)^10) = log(P0) + 10 * log(1 + r)。
通过求解log(P0) = log(P(10)) - 10 * log(1 + r)，我们可以得到初始人口P0。
二、金融领域中的应用指数函数和对数函数在金融领域中也有广泛的应用。
以复利计算为例，复利是指在一定时间内，本金和利息再次计算利息的方式。
复利计算可以用指数函数和对数函数来描述。
假设我们有一笔本金P0，年利率为r%，我们可以使用指数函数来计算n年后的本金。
设n年后的本金为P(n) = P0 * (1 + r/100)^n。
其中，r为年利率，n为时间。
假设我们有1000元的本金，年利率为5%，我们可以计算出5年后的本金为P(5) = 1000 * (1 + 0.05)^5 ≈ 1276.28元。
而对数函数则可以用来反推初始本金。
指数函数与对数函数的应用
指数函数与对数函数的应用导言：指数函数和对数函数是数学中常见的两类函数，它们在不同领域中有着广泛的应用。
本文将探讨指数函数和对数函数的基本概念及其应用领域，并通过实际案例来说明其重要性和实用性。
一、指数函数的应用指数函数是以底数为常数的自然指数e为底的幂函数，即y = a^x或 y = e^x。
指数函数在各个领域中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
1. 生物学中的指数增长生物学中的人口增长、细菌繁殖等现象都可以用指数函数来描述。
例如，一个细菌种群的数量随时间的变化可以用指数函数模型来表示。
假设初始时刻细菌数量为N0，每单位时间细菌数量增加的速率与当前细菌数量成正比，即N' = kN，其中N'表示细菌数量的增长速率。
解这个微分方程可以得到细菌数量随时间变化的函数，即N = N0e^(kt)。
这个指数函数描述了细菌数量与时间的关系。
2. 经济学中的复利计算复利是指在固定的时间间隔内，将本金和利息重新投入到资金中进行计算，并按照一定利率进行增长。
复利计算中就涉及到指数函数的运算。
例如，银行存款的利息计算、贷款的利息计算等都是通过指数函数来计算的。
复利的概念在金融领域中具有重要的应用价值。
3. 物理学中的衰变过程指数函数在物理学中也有重要应用，尤其是在描述元素衰变过程中。
例如，放射性元素的衰变速率与其当前的数量成正比，这可以用指数函数来描述。
放射性元素的衰变速率可以表示为N' = -kN，其中N'表示衰变速率，N表示元素数量，k为常数。
解这个微分方程可以得到元素数量随时间变化的函数，即N = N0e^(-kt)。
指数函数可以准确地描述元素衰变的过程。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，它是指数函数的反函数。
常见的对数函数有以10为底的常用对数(log)和以e为底的自然对数(ln)。
对数函数在各个领域中也有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。
1. 信号处理中的动态范围在音频处理、图像处理等信号处理领域，对数函数常常用来测量信号的动态范围。
指数函数与对数函数的应用举例
指数函数与对数函数的应用举例指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数，它们在各个领域都有着广泛的应用。
本文将通过几个具体的例子来说明指数函数与对数函数在实际中的应用。
第一种应用是在经济学中，指数函数常用于描述经济增长的速度和趋势。
经济增长往往呈现出指数增长的趋势，例如国内生产总值（GDP）的增长。
指数函数的特点是随着自变量的增加，函数值呈现出逐渐加快的增长速度。
利用指数函数可以建立经济增长的模型，预测未来的经济趋势，为政府制定经济政策提供依据。
第二种应用是在生物学领域中，对数函数常用于描述生物种群的增长和衰减。
生物种群的增长不是无限制的，而是在一定资源限制下进行的。
对数函数与指数函数是一对逆运算，可以通过对数函数来逆向建立生物种群的增长模型。
例如，病毒的传播速度就可以通过对数函数来描述，由此可以预测疫情的发展趋势，为防控措施的制定提供依据。
第三种应用是在工程领域中，指数函数和对数函数常用于描述信号的增长和衰减。
在通信领域中，信号在传输过程中会受到噪声的干扰，而且信号的强度通常会随着传输距离的增加而衰减。
指数函数可以描述信号的衰减速度，对数函数可以描述信号的增长速度。
通过对信号进行适当的增益和衰减处理，可以使得信号在传输过程中保持合适的强度，提高通信质量。
第四种应用是在金融领域中，对数函数常用于计算复利的利息。
复利是一种与时间相关的利息计算方式，利息在每个计息周期内都会基于本金和利率进行计算，从而实现利息的复利效应。
对数函数可以简化复利计算公式，使得复利计算更加简便和高效。
金融从业人员可以利用对数函数来计算投资收益和利息，进行风险评估和资产配置。
综上所述，指数函数与对数函数在经济学、生物学、工程学和金融学等各个领域都有着重要的应用。
它们可以用来描述增长和衰减的趋势，建立模型预测未来的发展趋势。
同时，指数函数和对数函数也是计算复利、信号处理和经济增长等方面的重要工具。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的函数来描述和解决问题，充分发挥指数函数与对数函数在不同领域的优势。
指数函数与对数函数在统计学中的应用
指数函数与对数函数在统计学中的应用统计学是一门研究获取、整理、分析和解释数据的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，指数函数和对数函数是常被使用的数学工具。
本文将探讨指数函数与对数函数在统计学中的应用，从而揭示它们在理解和解释数据中的重要性。
第一部分：指数函数在统计学中的应用指数函数是一种形式为f(x) = a^x (a>0, a≠1) 的函数，其中 a 是一个正数。
在统计学中，指数函数广泛用于模拟和预测一些现象的增长或衰减趋势。
下面是两个指数函数在统计学中的应用实例：1. 指数增长模型：在人口统计学中，指数增长模型用来预测人口数量的增长趋势。
该模型通过将人口数量看作是时间的指数函数，揭示了人口增长指数级增加的特点。
它在分析人口增长对资源的需求和环境的压力等方面有重要的应用价值。
2. 指数衰减模型：在放射性衰变研究中，指数衰减模型被广泛用于分析放射性物质的衰减过程。
根据指数衰减模型，放射性物质的衰减率与时间成反比，呈指数式下降。
这个模型在放射性物质的安全运输和储存方面发挥着重要的作用。
第二部分：对数函数在统计学中的应用对数函数是指以一个正数作为底数，并以另一个正数作为真数的对数。
其中一个比较常见的对数函数是以 10 为底数的对数函数（即常用对数函数）。
下面是两个对数函数在统计学中的应用实例：1. 数据压缩与可视化：在统计学中，当数据范围过大时，常常需要将其进行压缩以便更好地展示和分析数据。
对数函数可以将大范围的数据压缩为较小的范围，使得数据在图表或图形中的展示更加清晰和易于理解。
这种数据的对数变换在数据可视化和数据分析中起到了重要的作用。
2. 概率密度函数：概率密度函数是统计学中用于描述随机变量分布的函数。
在一些特定的分布（如正态分布和指数分布）中，对数函数被广泛用作概率密度函数的表达式。
对数函数的平滑特性和方便的运算性质，使得它在统计学中的应用非常广泛。
结论：指数函数和对数函数作为数学工具，在统计学中发挥着重要的作用。
几种不同增长的函数模型+应用实例
抽象概括 实际问题
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型 的解
X
设第x天所得回报为x元
方案一 可以用函数 y 40( x N ) 进行描述 方案二 可以用函数 y 10 x( x N ) 进行描述
* *
方案三 可以用函数 y 0.4 2 进行描述
x 1
(x N )
*
函数图象是分析问 题的好帮手。为了 便于观察，我们用 虚线连接离散的点。
在同一坐标系画出函数 2 , y x , y log2 x y
x 2
的图象:
x y=2x y=x2 y=log2x 0.2 1.149 0.04 -2.322 0.6 1.516 0.36 -0.737 1.0 2 1 0 1.4 2.639 1.96 0.485 1.8 3.482 3.24 0.847 2.2 4.595 4.84 1.136 2.6 6.063 6.76 1.378 3.0 8 8 1.585 3.4 10.556 11.56 1.766 … … … …
我们看到，底为 2的指数函数模 型比线性函数模 型增长速度要快 得多。从中你对 “指数爆炸”的 含义有什么新的 理解？
图-1
三种方案的每日回报
三个投资方案日回报图 220 200 180 每 天 的 回 报 元 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 天数 7 8 9 10 11 y=40 y=10x 方案一 方案二 方案三 y=0.4*2x-1
其中哪个模型能符合公司的要求？
X
y
y 0.25x
8 7 6 5 4 3 2 1 0 200 400 600
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析引言：数学是一门抽象的学科，然而它的应用却无处不在。
在高中数学中，指数与对数函数是一种重要的数学工具，它们不仅仅是纸上的符号，更是实际问题中的解析工具。
本文将通过探讨指数与对数函数在实际问题中的应用，展示它们在解决现实生活中的难题中的重要性和价值。
一、指数函数的应用指数函数是一种以指数为自变量的函数，通常表示为y=a^x，其中a是底数，x 是指数。
指数函数在实际问题中的应用非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 生物学中的指数增长模型生物学中的许多现象都可以用指数函数来描述。
例如，人口增长模型中，假设每年的人口增长率是一个固定的百分比，那么人口数量的增长可以用指数函数来表示。
指数函数可以帮助我们预测未来的人口数量，为制定合理的人口政策提供依据。
2. 经济学中的复利计算在经济学中，复利计算是非常重要的。
复利是指在一定时间内，利息不仅仅是基于本金，还是基于之前的利息。
复利计算可以用指数函数来表示，通过指数函数的运算，我们可以计算出未来的资金增长情况，帮助我们做出理性的投资决策。
3. 物理学中的指数衰减在物理学中，指数衰减是一种常见的现象。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数来描述。
指数函数可以帮助我们计算出物质的衰变速度，并预测未来的衰变情况，为核能的应用提供理论依据。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，通常表示为y=loga(x)，其中a是底数，x是真数。
对数函数在实际问题中的应用也非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 音乐和声音的测量在音乐和声学中，声音的强度可以用对数函数来测量。
由于人类对声音的感知是以对数的方式进行的，因此使用对数函数可以更准确地描述声音的强度。
对数函数的应用使得我们能够更好地理解和控制声音的特性。
2. 化学中的pH值计算在化学中，pH值是用来表示溶液酸碱性的指标。
pH值的计算是基于对数函数的，通过对数函数的运算，我们可以准确地计算出溶液的酸碱性，为化学实验和工业生产提供准确的数据。
指数函数与对数函数的应用
指数函数与对数函数的应用指数函数与对数函数在数学中具有广泛的应用，它们在自然科学、经济学和工程学等领域中都起着重要的作用。
本文将探讨指数函数与对数函数的应用，并结合具体例子进行说明。
一、指数函数的应用指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
指数函数的应用非常广泛，其中之一是在自然科学中用于描述指数增长或衰减的现象。
例如，在生物学领域中，指数函数可以用来描述细菌、细胞或物种的增长。
假设某种细菌的数量每天增加50%，那么可以用指数函数来描述其增长情况。
如果初时细菌数量为100个，则经过一天后，细菌数量变为100*(1+0.5)^1=150个；经过两天后，细菌数量变为100*(1+0.5)^2=225个，依此类推。
可以看出，细菌数量根据指数函数呈指数增长。
指数函数还可以应用于金融学中的复利计算。
如果某笔钱以每年5%的利率复利，那么可以用指数函数来计算多年后的本金与利息总额。
假设初时本金为1000元，则经过一年后，本金与利息总额为1000*1.05=1050元；经过两年后，总额变为1000*1.05^2=1102.5元，依此类推。
二、对数函数的应用对数函数的定义是f(x) = log_a(x)，其中a为正常数且a≠1。
对数函数的应用涉及到对指数函数的逆运算。
在物理学中，对数函数常用于描述声音的强度和光的亮度。
声音的强度是用分贝（dB）来衡量的，公式为L = 10*log(I/I_0)，其中L为声音的强度（dB），I为实际声音的强度，I_0为参考声音的强度。
在光学中，亮度也可以用对数函数来表示。
光线的亮度公式为B =k*log(L/L_0)，其中B为亮度，L为实际光的亮度，L_0为参考光的亮度，k为常数。
对数函数还在经济学中扮演重要的角色。
在经济学中，对数函数可以用来描述收入的不平等程度。
假设一个国家的人口数量为N，总收入为R，那么用对数函数可以描述人均收入。
人均收入公式为y =log(R/N)，其中y为人均收入。
高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例
x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
指数型、对数型函数模型的应用实例
y 2 1.02x 得y 2 1.02175
有计算器计算得 y≈63.98，
由于 78 1.22 1.2
63.98
所以，这个男生体重偏胖．
点评：函数拟合与预测的步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中， 这种情况几乎是不可能发生的．
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
r9 0.0184
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
c 1.4
所以 y 0.8 ( 1)x 1.4 2
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
由四月份的实际产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 |
∴选用函数 y 0.8 (作1)模x 拟1.函4 数较好。 2
பைடு நூலகம்
1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问 题的方法: （1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量 之间的关系； （2）利用待定系数法，确定具体函数模型； （3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从而函数模型为y 2 1.02x
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图
象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与
身高的关系．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可
以选为y 2 1.02x
2.本节课的体会：根据收集到的数据，作出散点图， 然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助 计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出 具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应 的问题，这是函数应用的一个基本过程.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图像；
根据图像，选择函数 y a bx 进行拟合．
如果取其中的两组数据（70，7.90）（160，47.25）
ab c 1 a 0.8
由已知得：ab2
c
1.2
b
0.5
ab3
c
1.3
c 1.4
所以 y 0.8 ( 1)x 1.4 2
当x=4时，y2
0.8
(1)4 2
1.4
1.35
由四月份的实际产量为1.37万件,
| y2 1.37 | 0.02 0.07 | y1 1.37 |
量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或
y a bx c, (a, b, c 为常数)，
已知四月份该产品的产量为1.37万件， 请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。
解：设二次函数为：y px2 qx r(p 0)
p q r 1 p 0.05
解：1期后本利和为： y1 a a r a(1 r)
2期后本利和为：y2 a(1 r)2
……
x期后，本利和为：y a(1 r)x
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255 由计算器算得：y = 1117.68（元）
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿?
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
∴选用函数 y 0.8 (作1)模x 拟1.函4 数较好。 2
1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问 题的方法: （1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量 之间的关系； （2）利用待定系数法，确定具体函数模型； （3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6, r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 cge5k
0.5366
cge5.5k
பைடு நூலகம்
k c
0.115 1.01
y 1.01ge0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01ge0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧， 使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就 是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函 数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和 控制，为决策和管理提供依据．
练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万 件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以 这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
r9 0.0184
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
由已知得
4p
2q
r
1.2
q
0.35
9p 3q r 1.3 r 0.7
所以 y 0.05x2 0.35x 0.7
当x=4时，y1 0.05 42 0.35 4 0.7 1.3
又对于函数 y a bx c
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人 口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus, 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：
y y0ert
其中t表示经过的时间， y0 表示t＝0时的人口数，
r表示人口的年平均增长率.
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 算5期后的本利和是多少？
思路分析 复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加 在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每期 利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
⑵将x=175代 人
y 2 1.02x 得y 2 1.02175
有计算器计算得 y≈63.98，
由于 78 1.22 1.2
63.98
所以，这个男生体重偏胖．
点评：函数拟合与预测的步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格, 绘出散点图； ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线， 即拟合直线或拟合曲线． 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一“点” 不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中， 这种情况几乎是不可能发生的．