1101 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用实例PPT课件
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体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 c e5k
0.5366
c
e5.5k
k 0.115 c 1.01
y 1.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人 口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建 立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与 实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6 , r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
态下的人口增长模型： y y0ert
其中t表示经过的时间，y0 表示t＝0时的人口
数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料： y y0ert
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每 期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和 y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元， 每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
思路分析
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强
是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
r9 0.0184
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
wk.baidu.com
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
由计算器算得：y = 1117.68（元）
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
结论: 设本金为P，每期利率为r，本利和为y ,
存期为x, 则复利函数式为:y=p(1+r)x.
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口 增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔 萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 c e5k
0.5366
c
e5.5k
k 0.115 c 1.01
y 1.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人 口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建 立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与 实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6 , r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
态下的人口增长模型： y y0ert
其中t表示经过的时间，y0 表示t＝0时的人口
数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料： y y0ert
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每 期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和 y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元， 每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
思路分析
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强
是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
r9 0.0184
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
wk.baidu.com
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
由计算器算得：y = 1117.68（元）
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
结论: 设本金为P，每期利率为r，本利和为y ,
存期为x, 则复利函数式为:y=p(1+r)x.
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口 增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔 萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状