1101 3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用实例PPT课件
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指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
帮助做一个资金投资方案,使该经营者能获得最大纯利润,
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
函数模型的应用实例--优质获奖精品课件 (60)
1.用函数模型解应用题的四个步骤
审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择模型.
建模
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化 为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学 模型.
解模
求解数学模型，得出数学模型.
还原
将数学结论还原为实际问题的意义.
2.建立函数模型应把握的三个关口 (1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背 景，为解题打开突破口. (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言， 用数学式子表达数学关系. (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进 行检验，从而认定或构建相应的数学问题.
【解析】1.设原来的生产总值为a,则12月底的生产总值为
a(1+P)12,故年平均增长率为a 1 P 12 a
a
=(1+P)12-1.
答案：(1+P)12-1
2.(1)由题意知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数 n(n∈N*)的函数关系式为y=2n-1(n∈N*).为了使小白鼠在试验 过程中不死亡，则2n-1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第 一次最迟应在第27天注射该种药物.源自对数函数模型 【技法点拨】
对数函数应用题的解题思路 有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实 际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼 出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义.
【典例训练】
1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现
鲑鱼的游速可以表示为函数v=
第2课时 指数型、对数型函数 模型的应用举例
1.了解指数函数模型、对数函数模型的广泛应用. 2.掌握求解函数应用题的基本步骤. 3.能够根据已有的数据建立拟合函数解决实际问题.
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例
x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品 分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与 月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请 问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号 语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题 中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问 题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表 格中的数据先列式,然后进行比较.
高中数学 第三章 §3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 S＝13＋120t(0≤t≤151). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×161＝233 (km)．
第五页，共22页。
小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
第十一页，共22页。
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
第十七页，共22页。
当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
第五页，共22页。
小结 在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次 函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266 61 456 62 828 64 563 65 994 67 207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增
第十一页，共22页。
跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示， 试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票 数为多少？ 解 根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门 票数 x 张之间的函数关系是：y＝31..7255xx＋0≤1 0x0≤0440000<x≤600 . ①当 0≤x≤400 时，由 3.75x＝750，得 x＝200. ②当 400<x≤600 时，由 1.25x＋1 000＝750，得 x＝－ 200(舍去)． 综合①和②，盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张． 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元．
第十七页，共22页。
当 y＝10 时，解得 t≈231. 所以，1881 年世界人口约为 10 年的 2 倍．
(2)由此看出，此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长 情况.
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答：6.712(km)高空的大气压强为0.4668(105Pa).
(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.115x ln 0.5066 1.01
解得x=6(km)
答:该处的海拔为6(km)
例3 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强
是y(105Pa)，y与x之间的函数关系式是 y=cekx
（c,k为常量） 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， （1）问海拔6.712 (km)处的大气压强约为多少？ （精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 求该处的海拔h
第2课时 指数型、对数型 函数模型的应用实例
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非 典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授 率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果， 并制成了供决策部门参考的应用软件。这一数学模型利用实际 数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算 仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分 析报告说，就全国而论，非典病人延迟隔离1天，就医人数将 增加1000人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜 伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府不 采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。这项研究在充 分考虑传染病控制中心每日发布的数据，建立了非典流行趋势 预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做 了分析预测。
例1.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每 期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和 y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元， 每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
思路分析
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
y 1000 (1 2.25%)5 1000 1.02255
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
由图可以看出,所得模型 y 55196e0.0221t , t N
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
（1）将y=130000代入y 55196e0.0221t , t N.
由计算器可得 t 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国 将面临难以承受的人口压力.
体重 (kg) 6.13 7.90 9.99 12.1515.02 17.50 20.92 26.86 31.1138.85 47.25 55.05
⑴根据上表中各组对应的数据，能否建立恰当的函数模型， 使它能比较近似地反映这个地区未成年男性身高ykg与身 高xcm的函数关系？试写出这个函数的解析式． ⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
r1, r2 , r3, r4 , r5, r6 , r7 , r8, r9.
由 55196(1 r1) 56300
可得1951的人口增长率为r1 0.0200
同理可得，r2 0.0210 r3 0.0229
r4 0.0250
r5 0.0197
r6 0.0223
r7 0.0276
r8 0.0222
人
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人 口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建 立我国在这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与 实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13亿?
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为
态下的人口增长模型： y y0ert
其中t表示经过的时间，y0 表示t＝0时的人口
数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料： y y0ert
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 ／万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
解：(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366
代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 c e5k
0.5366
c
e5.5k
k 0.115 c 1.01
y 1.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
由计算器算得：y = 1117.68（元）
复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本金加在 一起做本金，再计算下一期的利息.
结论: 设本金为P，每期利率为r，本利和为y ,
存期为x, 则复利函数式为:y=p(1+r)x.
例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口 增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔 萨斯（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲 线，根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 y=a•bx来近似反映.
r9 0.0184
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为
r (r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 ) 9 0.0221
令 y0 55196, 则我国在1950～1959年期间的人
增长模型为 y 55口196e0.0221t , t N.