人教版高中数学必修4(A版) 任意角 PPT课件
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高中数学 三角函数之任意角的概念课件 新人教A版必修4
<a n·360°+90°;
2
当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+225°< a
<n·360°+270°.∴ 是a第一或第三象限的角. 2
2
(3)∵k·120°+30°< <ka·120°+60°(k∈Z),
3
当k=3n(n∈Z)时,n·360°+30°< <an·360°+60°;
3
当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+150°< 当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+270°<
aa
例1、已知角α是第四象限角，2求 3与 所在的象限.
例2 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
探究? y 将角按照上述方法放在直角坐
标系中后，给定一个角，就有唯
一的一条终边与之对应。反之，
对于直角坐标系内任意一条射线
O
x
OB（如图），以它为终边的角是
B
否唯一？如果不唯一，那么终边
相同的角有什么关系？
3900
7500
300+3*3600 11100
300+4*3600 14700
300+（-3600） 300+（-2*3600）
-3300
-6900
300+（-3*3600） -11500
y
300 x
Z 与300角的终边相同的角有：300+k*3600 k
300+3600 300+2*3600
Z
| 270 k 360 360 k 360, k Z
任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
1.1.1《任意角》课件(人教A版必修4)
5.与1 991°终边相同的最小正角是_____. 【解析】∵与1 991°终边相同的角β=1 991°+ k²360°,（k∈Z）,∴0°＜1 991°+k²360°≤360°
191 ＜k≤ 191 又k∈Z, 即 -5 -4 , 360 360 ∴k=-5,∴与1 991°终边相同的最小正角是
)
(B)钝角是第二象限角
(C)终边相同的角一定相等 (D)不相等的角，它们的终边必不相同 【解析】选B.因为钝角α满足90°＜α＜180°，所以角α的 终边一定在第二象限.
3.若α 是第四象限角，则180°+α 一定是（ (A)第一象限角 (B)第二象限角
）
(C)第三象限角
(D)第四象限角
【解析】选B.方法一：∵α是第四象限角 ∴-90°+k²360°＜α＜k²360° ∴90°+k²360°＜180°+α＜180°+k²360°（k∈Z） 方法二：由角的运算知，角α与角180°+α关于原点对称，即
∴θ=120°或240°.
7.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并 判断它们是第几象限角： （1）918°;(2)-624°18′. 【解析】(1)∵918°=2〓360°+198°,
而198°∈(180°,270°），
∴918°与198°的终边相同，是第三象限角. (2)∵-624°18′=-2〓360°+95°42′, 又95°42′∈(90°,180°）， ∴-624°18′与95°42′的终边相同，是第二象限角.
n²360°,
∴ 是第三象限角. 3 答案：一、三、四
4.（15分）若集合A={α ｜k²180°+30°<α <k²180°+90°, k∈Z}，集合B={β ｜k²360°-45°<β <k²360°+45°， k∈Z}，求A∩B.
人教版高中高一数学必修四 12 任意角的三角函数 说课课件(共28张PPT)
引入已有知识和经验，利于学生对新知识 的理解 和记忆。同时，培养学生的逻辑思维 能力和扩展思维能力。
初中锐角的三角函数是如何定义的？
y
r
o
P ( x, y )
M
x
对边 y sin 斜边 r 邻边 x cos 斜边 r 对边 y t an 邻边 x
（ 让 学 生 回 答 ）
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y x 0 tan ③ x 叫做 的正切，即 x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习巩固
练习一 （口答）
sin 45
y
5 3
AOB 3000 , 如图所示它的的终边与单位圆的
5 解：在直角坐标系中，作AOB 易知 3
1 3 M﹒ 交点坐标为( , ) 2 2 o A x 5 5 3 5 1 ﹒B tan 3 cos 所以 sin 3 2 3 2 3
意图：加强学生对定义的理 解，让学生学会计算任意角 的三角函数
问题 1.在直角坐标系中如何用坐标表示
锐角三角函数？
y
P
y
O
x
M
x
前面我们学了角的概念推广后，下面我们要把 “定义媒介”从直角三角形改为平面直角坐标系。
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中: OM x, MP y OP r x 2 y 2
y
﹒Px, y
MP y sin OP r
y
﹒ Px, y
O
A1,0 x
学生讨论填表
高中数学必修4全册课件ppt人教版
跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm， 求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数．
解：(1)扇形的圆心角为 75×1π80＝51π2，扇形半径为 15 cm. ∴扇形的面积 S＝12|α|·r2＝12×51π2×152＝3785π(cm2)．
长及扇形面积． (1)43π；(2)165°. 【解】 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝430π(cm)， S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2030π(cm2)．
(2)165°＝1π80×165 rad＝1112π rad. ∴l＝|α|·r＝ 1112π×10＝565π(cm)， S＝12l·r＝12×565π×10＝2675π(cm2)．
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余
【名师点评】 (1)弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12 |α|·r2＝12l·r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得)．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
l
注：“弧度”不是弧长，它是一
a
个比值。值有正负。
《任意角》公开课教学PPT课件高中数学件
教学方法是否得当，是否能够有效地传递知识给学生。
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
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知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
高中数学 1.2.1第1课时 三角函数的定义课件 新人教A版必修4
1．三角函数值的大小与点P在终边上的位置是否有 关？
答：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大 小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有 关，即三角函数值的大小只与角有关．
2．由三角函数的定义，求任意角α的正弦、余弦值需 分哪几步？
答：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第一步求出角 α的终边与单位圆的交点P，第二步写出点P的坐标，其中 纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值．
答案：<
诱导公式一的应用
【例3】 求下列各式的值： (1)sin235π＋tan－154π； (2)sin810°＋cos360°－tan1 125°.
【分析】 (1)如何把在0°～360°(或0～2π)外的角用 0°～360°(或0～2π)内的角表示？(改写为k·360°＋α(或2kπ＋ α)，k∈Z的形式)
利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的 三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的 三角函数，即实现了“负化正，大化小”.
课堂篇02
合作探究
利用定义求角的三角函数值
【例1】 已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线 OM为终边的角α的正弦值为－ 22，求cosα和tanα的值．
2．公式一的理解 (1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相 等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一 次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π(k∈Z)，右边的角为α. (3)公式一的作用：
通法提炼 利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤： (1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈ [0,2π)，k∈Z； (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数 值； (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数 值．
《任意角》公开课教学PPT课件【高中数学】件
新知探究
问题5 在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如 何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几 类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？
为了方便，使角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合， 根据角终边所在象限， 将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角； 在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．
归纳小结
问题7 通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其 作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现 了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述 吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
本节课我们学习了三角函数； 三角函数的主要作用就是刻画现实生活中的周期现象； 它的研究方法与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作 出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用； 角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角；
分针会旋转450°．
假如校准前如图（1），
（1）
（2）
校准后应该为图（2）．
新知探究
追问3 以上问题中对角的描述的共性是什么？
都要说清楚角的大小及旋转方向．
新知探究
问题4 请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后 一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分 为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前 的哪个知识进行类比的？
新知探究
问题2 如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，
如何刻画点P的位置变化呢？
P
通过角的变化进行刻画．
A O
新知探究
问题3 我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中 有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．
高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)
变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴 方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移 个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?
高中数学人教A版必修四1.1.1【教学课件】《任意角》
【例 1】在下列说法中： ①0°～90°的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③钝角都是第二象限角； ④小于 90°的角都是锐角。 ①②④ 。 其中错误说法的序号为________Leabharlann 畅言教育人民教育出版社
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
|必修四
【解析】①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象 限，所以①不正确。 ②120° 是 第 二 象 限 角 ， 390° 是 第 一 象 限 角 ， 显 然 390°>120°，所以②不正确。 ③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③ 正确。 ④锐角的范围是(0°，90°)，小于 90°的角也可以是零角或 负角，所以④不正确。
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人民教育出版社
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2．对终边相同的角的概念的理解 (1)角α 是任意角。 (2)k·360°与α 之间用“＋”号，k·360°－α 可理解为k·360°＋(－α )，k∈Z
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
(4)终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 (5)终边相同的角的应用： ①利用与角α 终边相同的角的集合，可把任意与角α 终边相同的角β 转化成 β ＝α ＋k·360°，k∈Z ， 0°≤α <360°的形式；
畅言教育
人民教育出版社
|必修四
2．与 30°角终边相同的角的集合是( A ) A．{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α |α ＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α |α ＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α |α ＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析： 由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合 是{α |α ＝30°＋k·360°，k∈Z} 答案：A
人教版数学必修4第一章1.2.1《任意角的三角函数》课件
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
转化为求 0 到 2 或 0 到 角3 的三 6 角函0数值 .
例3 求下列三角函数值：
（1） cos9
4
（2） tan( 11)
6
解：（1）co 9 4 sco 4 s 2 ( ) co 4 s2 2
（2）ta 1 n )1 ( ta n 2 ) (ta n ta n 3
A.4 3
B.4 3
C.4 3
D. 3
例2、已知角 的终边经过点P0(3,4)，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解：由已知可得：
rx2y2 3 2 ( 4 )2 5
于是，sin y 4 r5
cosx 3 r5
tan y 4 x3
合作 演练
变式1、已知角 的终边过点 P1,2 5 ，
求 的三个三角函数值.
规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”
“一全二正弦，三切四余弦”
例1 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(67)2（3）sin
4
解：（1）因为 250是第三象限角，所以co 2s5 0 0；
（2）因为 tan(67)2= ta 2 n 3 ( 6 4 ) 0 8 ta 4 ，n 8
r
第 二 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 r x 为 负 值 ； o
x
第 三 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 负 值 ； r
第 四 象 限 ： x 0 ,r 0 ,故 x 为 正 值 ； r
三角函数在各象限内的符号：
交叉正负
第 3一 、 象 正 限 切 ： 函 x 数 0 ,值 y t0 a,n 故 y 为 x y 正 值 ； y x
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
任意角完整公开课PPT课件
表示为arctan(x)，其定义域为 全体实数，值域为全体实数。
反三角函数的性质
反三角函数的性质
反三角函数具有一些重要的性质，如单调性、奇偶性、周 期性等。这些性质对于理解和应用反三角函数非常重要。
奇偶性
反三角函数具有奇偶性，即对于任意x，有arcsin(-x)=arcsin(x)（对于arcsin(x)）或arccos(-x)=π-arccos(x)（ 对于arccos(x)）。
反三角函数的应用
• 反三角函数的应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有 广泛的应用。例如，在解决几何问题时，可以使用反三角函数 来找到角度；在信号处理中，可以使用反三角函数来处理周期 信号；在物理学中，可以使用反三角函数来描述振动和波动等 现象。
THANKS
感谢观看
解决三角形问题
通过三角恒等式可以求出三角 形各边的长度、各角的大小等
。
求三角函数值
利用三角恒等式可以求出任意 角的正弦、余弦、正切值。
证明恒等式
通过三角恒等式可以证明一些 重要的恒等式，如：sin^2(x) + cos^2(x) = 1等。
解决实际问题
在物理、工程等领域中，可以 利用三角恒等式解决一些实际 问题，如：测量、振动分析等
积化和差与和差化积公式的扩展
推广到多角公式
将积化和差与和差化积公式推广到多 角公式，可以进一步研究多角之间的 三角函数关系。
与其他公式结合应用
结合其他三角函数公式，如倍角公式 、半角公式等，可以更深入地研究三 角函数的性质和变换。
06
任意角的反三角函数
反三角函数的定义
反三角函数的定义
反正弦函数
和差化积公式的推导
利用三角函数的差角公式，通过代数 运算推导出和差化积公式。
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问题3：假如你的手表慢了2个小时，你怎样校准？ 将分针旋转-720º
定义：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴 的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限， 我们就说这个角是第几象限角.
y
x
O
练习：请大家利用象限角的定义，在同一坐标系
下分别作出下列各组角，并指出是第几象限角。 (1)、 60º 420º －660º(2)、210º －150º (3)、270º 0º
S2= {β | β = 270+ k360,kZ}
所以终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2
可以简化结果吗？
={β |β = 90+ k360,kZ}∪{β |β = 270+ k360,kZ} ={β | β= 90+ k360或β= 270+ k360,kZ}.
y
60º 420º
O
－660º
x
与任意角α终边相同的角,连同角α在内, 构成的集合： S=｛β|β=α+k·360º , k∈Z｝ 即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
例1：在0º ～360º 范围内，找出与－950º12′角终 边相同的角，并判定它是第几象限角。
例1：在0º ～360º 范围内，找出与－950º12′角终边相
• 将[0°～360°] 范围内的角推广到了任意 角，包括正角、负角和零角. • 象限角的概念. • 与角α终边相同角的集合: S={β｜β=α+k· 360°, k∈Z}.
1、课本习题1.1 A组：1、 2、 3 、 2、已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在 [0°,360°)范围内,与 角的终边相同的角是 3 _______.
1、①写出终边在直线y=x上的角的集合. 解：如图，在直角坐标系中画出直线y=x， 在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有 两个：45°、225°. 因此终边在y=x上的角的集合
y
225°
y=x
45°
o
x
∪ { | 225 k 360 , k Z} S { | 45 k 360 , k Z}
不等式法
练习：在0º ～360º 范围内，与1110º 角终边相同的角是
（ 30º），它是第（ 一 ）象限角。
例2：写出终边落在y轴上的角的集合.
解：在0°～360°间，终边在y轴上的角有两个,即90°和270°， 而所有与90°终边相同的角的集合为 S1={β | β = 90+ k360,kZ}； 所有与270°终边相同的角的集合为
B
规定：
按逆时针方向旋转形成的叫做正角 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 一条射线没有作任何旋转，我们称它 形成了一个零角
O A O O
终边
正角
A A 负角
始边 始边
终边
B
把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
问题1：假如你的手表慢了5分钟，你将怎样将它校准？ 将分针旋转-30º 问题2：假如你的手表快了30分钟，你将怎样校准？ 将分针旋转180º
2、若角α与β终边相同,则一定有( ) A.α+β=180° B.α+β=0° C.α-β=k· 360° (k∈Z) D.α+β=k· 360° (k∈Z) 答案：C 3、锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？ 若角α是第一象限角，则角α的集合是：( ) A ｛α|k·360°<α < 90° + k· 360°, k∈z｝ B.｛α| 0° <α < 90°｝ C.｛α|k·360°≤ α ≤ 90°+ k· 360°, k∈z｝ D.｛α| 0°≤ α ≤ 90°｝ 答案：A
{ | 45 k 180 , k Z }.
②把S中适合不等式 - 360°≤β＜ 720°的元素β写出来. 45 2 180 315 45 1 180 135 45 0 180 45 45 1 180 225 45 2 180 405 45 3 180 585.
例2：
S=S1∪S2 ={β | β= 90+ k360,kZ}∪{β | β= 270+ k360,kZ} ={β | β= 90+ k360或β = 270+ k360,kZ} ={β | β= 90+2k180或β = 90+（2k+1）180,kZ} ={β | β= 90+ n180,nZ }. 注意：对于集合，能化 简的一定要化简哦！
整除法
例1：在0º ～360º 范围内，找出与－950º12′角终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
解：与－950°12 ′终边相同的角为 α= －950°12 ′ +k·360° ( k∈z) 由：0°≤－950°12 ′ +k·360°<360°， 得：950°12 ′ ≤k·360° <360°＋950°12 ′ ， 得：2.64≤k<3.64， 又∵ k∈z ∴k=3 ∴在0°～360° 范围内， 与－950°12 ′ 角终边相同的角α=129°48′ ， 它是第二象限角。
同的角，并判定它是第几象限角。
解：∵129°48′=－950°12′+3×360° ∴在0°～360° 范围内， 与－950°12′角终边相同的角是 129°48′ ，它是第二象限角。
穷举筛选法
例1：在0º ～360º 范围内，找出与－950º12′角终边相 同的角，并判定它是第几象限角。
解：∵－950 ° 12 ′ =129 ° 48 ′ －3×360 ° ∴在0 ° ～360 ° 范围内，与－950 ° 12 ′角终边相同的角 是129 ° 48 ′ ，它是第二象限角。
第一章 三角函数
1.1.1 任意角
B
O
A
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所成的图形.
B
终边
O 始边 A
问题1：假如你的手表慢了5分钟，你将怎样将它校准？怎样 用语言描述这种操作？ 问题2：假如你的手表快了30分钟，你将怎样校准？怎样用语 言描述这种操作？ 问题3：假如你的手表慢了2个小时，你将怎样校准？怎样用 语言描述这种操作？