数学美的奇异性
展示数学的趣味性和奇异美,激发学生的求知欲
展示数学的趣味性和奇异美，激发学生的求知欲“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界上得来的。
”数学来源于实践又反过来为实践服务。
在科技日新月异的今天，数学的趣味性和奇异美的广泛的应用性日愈显示出其特有的魅力。
因此，教师在教学中要遵循学生的认知规律，将知识性、应用性、趣味性、奇异美和谐地结合起来，充分调动学生的学习积极性，从小就培养和提高学生的数学应用能力。
一、导入新课，展示数学的趣味性和奇异美，激发学生的求知欲“人的思维活动是由客观存在所引起的，是从具体的感性认识开始的。
”所以，以真实、贴近学生生活的实际问题引入课题，展示数学的趣味性和奇异美，能把学生分散的思维一下子聚拢过来，学生情绪，课堂气氛调控到最佳状态，为新课的开展创设良好的教学氛围。
同时也形成学生学习数学的迫切性。
1、在概念教学中，教师可结合生活实际揭示概念的提出、发现、抽象、概括的过程，让学生更深刻地认识概念，理解它本身的价值。
例如：绝对值概念抽象难以理解，新课导入时，设计在车站两辆出租车载乘客向相反方向行驶同样路程，收取相同的车费，说明在现实生活中有很多只考虑其距离而不考虑其方向的问题，直观形象地引出绝对值的几何定义，也展示了数学的趣味性，可以让学生更好地理解绝对值的定义，并认识到学习它的必要性。
2、在公式、法则的教学中，可结合生活实例抽象出数学模型，对其既作出通俗的解释，又作出本质的揭示，阐明条件与结论的逻辑联系，加深正确理解。
例如：在学乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b时，展示：杨辉三角11 1 (a+b)1=a+b1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+h21 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31 4 6 4 1 ………………………………说明(a+b)2=a2+2ab+b2中的多项式的系数规律，既展示了杨辉三角形的趣味性和对称美，又加深了学生对公式的掌握，同时也扩展了学生的知识视野，了解公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，从而激发学生的求知欲。
浅谈数学美的鉴赏
浅谈数学美的鉴赏人类对数学的认识最早是从自然数开始的。
这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。
古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震撼了。
其实，“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价。
一、简洁美数学中的概念许许多多，但每个概念都就是以最为提炼、最归纳的语言得出的。
例如在《图的初步科学知识》教学中，可以先使学生回去探究过两点的直线存有多少条？然后再使学生用自己的语言去归纳这个结论，最后教师再得出“两点确认一条直线”，短短的一句话，简洁细致，内涵多样，充份使学生体会了数学定理的简约之美；又例如九年级上圆的定义“圆就是至定点的距离等同于定长的点的子集”，若并无“子集”则构成了点，二重未成圆，一字之差则情况差距万里，体现了数学概念的简约美。
欧拉给出的公式：v-e+f=2堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数v、棱数e、面数f，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
二、人与自然美和谐是数学美的最高境界。
如果把数学比作一座殿堂，那么和谐性是其主要建筑特色，无论从局部或整体来看，都让人体会到平衡协调、相互呼应、浑然一体的美感。
欧拉公式：v-e+f=2 曾获得“最美的数学定理”称号欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系。
和谐美，在数学中多得不可胜数。
如著名的黄金分割比。
即0.…。
“黄金分割”问题，为什么它被誉为“黄金”呢？黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。
达？芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。
他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。
维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。
第4讲 第3章 数学的奇异性 3.1 奇异性 3.2 数学中的有限性(上)
数学美欣赏第4讲第3章数学的奇异性数学的奇异性包括两个方面的内容：一是奇妙，二是变异．数学中的不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点, 数学才有无穷的魅力．变异是指, 数学理论拓广后或统一性遭到破坏后，产生了新方法、新思想、新概念、新理论的起点．变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇．凡是新的不平常的东西, 都能在想象中引起一种乐趣. 因为这种东西会使人的心灵感到一种愉快的新奇，满足它(心灵)的好奇心，将会使之得到原来不曾有过的一种观念．数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果．在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索，弄它个水落石出!3 . 1 奇异性数学中有许多变异现象，它们往往与人们预期的结果相反(有些则是人们没有认清而作出的错误判断，有些则是有悖于通常认识的结论)，令人失望之余，也给了人们探索它的动力(这是人类与生俱来的冲动所致)．奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着道理与规律．俗话说：“黄山归来不看岳”. 看来黄山之美，可谓名山之冠了．黄山的美在哪里? 在于其奇峰怪石、悬崖峭壁、深谷幽壑、古松苍柏、清泉碧潭. 更令人赞叹、感慨的是：登山路径的险峻，危阶千级，形同壁立，可谓“半山悬古刹，云端挂天梯”．数学之美, 有如黄山! 它既有奇例妙题，又有深境幽域．探索它的一片艰辛，胜利后的一丝幸悦，犹如攀登黄山的情趣．让我们来看看数学中的这些奇异，领略一下其中的奥妙——看上去它们似乎是“叛经离道”，有悖于人们期待的规律．我们曾指出过：e 262537412640768743n =仅差1210-，就是说，e 它不是一个整数，而是个超越数)一直算到小数点后第10位仍然都是0(第11位便不再是0)．262537412640768743.0000000000e =·.又如y =1 2 3x =，，，·，一直到19162705353x =时，y 才是整数(值为278354373540)．这还不算稀罕，再看y =, 当1 2 3x =，，，·，一直到12055735790331359447442538767x =时，y 才是整数(即29911x +才是完全平方数)．这些奇异的数字现象，无疑会引起人们的兴趣与关注. 这些事实当然有其深刻的数学背景：对于前者，我们可从解析数论及代数数论中找到答案；对于后者，实际上与Pell 方程221y dx -=中. 若它的周期很长，则上述方程的第一组整数解将很大. 比如1612d =时，使y 为整数的最小x 有77位，而当9781d =时，则使y 为整数的最小x 为155位数.前苏联数学家切巴塔廖夫依据下面的事实：()()()()()()()()()()()()()23242543262211,111,111,1111,111,11111,...........................................x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=--=-+-=-++-=-++-=-++++-=-+-+++曾断言：将1n x -分解成不能再分解的且具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过1．但依万诺夫却发现：1051x -有下面的因式：48474643424140393635343332312826242220171615141312987652221,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-----++++++-----++++++-----+++其中41x 和7x 的系数均为2-，其绝对值大于1，这就是说当n 从1到104时，前面的断言都正确，而到了105n =却出现了反例．下面的两个事实也耐人琢磨、耐人寻味：方程2232x y -=有无数组有理解，但2232x y -=却没有有理解；方程221x y +=有无数组有理解，但223x y +=却没有有理解．它们看上去(形式上)相差无几(或者说只差一点点)，但结果是“差之毫厘，谬之千里”！ 前面我们曾介绍过所谓埃及分数(单位分数)，这种分数的性质同样为人们关注．人们甚至将它抽象、升华成为不定方程的形式去研究．1950年爱尔特希和斯特卢斯猜测：方程4111n x y z =++对任何自然数1n >均有整数解．后来，斯特卢斯又加强了此猜想：2n >时，方程4111n x y z =++ 有整数解，且互不相等．他也对25000n <<的情形进行了验证(结论无误)．1963年，我国四川大学的柯召教授证明上面两个猜想是等价的，同时对5410n <⨯的数进行了验证(现已验证至710n <的情形)．由于对数学中这些奇异现象的探求，人们不断发现新的结论．1969年，数学家布累策在一本名为《数学游览》的书中写道：无法将5121表为项数少于三项的单位分数之和，同时511112125759208725=++, 但开始时人们不知道上式中的最大分母208725是否为可能的最小值? 1983年，华东交通大学的刘润根发现：511112133991089=++. 同时，中国四川峨嵋疗养院的一位医务工作者王晓明给出了另外三组等式：511112133121363=++, 5111121272971089=++, 5111121339133033=++. 以上这些表达式中，最大的分母都比208725要小． 它们是否是最小? 不得而知．分数的这些奇特性质中蕴含的奥妙，远比“看上去”的要多得多，否则, 古埃及人研究的东西, 今人为何对它仍有兴趣?在平面几何的尺规作图中，等分圆周成2，3，4，5，6份均可做到，而7等份圆周却无法实现．关于等分圆周问题，我们有下列重要结果：若221nN =+(n 是0或自然数)，且N 是质数时(即N 是费马质数)，则利用尺规可将圆周N (包括它的2k 倍)等份(高斯定理). 例如, 当0, 1, 2, 3, 4n =时，3, 5, 17, 65537N =是质数，故利用尺规可将圆等分成3、5、17、257、65537份．勾股定理(毕达哥拉斯定理)是一个重要的定理，这个定理用代数式可简单地表示为222a b c +=. 人们又把满足上式的正整数a 、b 、c 称为勾股数组(以它们为边的三角形称为毕达哥拉斯三角形)，比如3，4，5便是其中的一组．勾股数组有无穷多，它们的一般表达式为：2a mn =，22b m n =-，22c m n =+(m 、n 为正整数)．然而，有无正整数满足333a b c +=(这一点人们自然容易想到)? 或者更一般地，有无正整数a 、b 、c ，满足n n n a b c +=(3n ≥)(费马猜想)? 1640年前后，费马在他阅读古希腊数学家丢番图的著作《整数论》中关于毕达哥拉斯三角形一节的空白处写道：“3n ≥时，方程n n n a b c +=没有非零的整数解(费马大定理)．我找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这里太窄，无法把它写下．” 这段迷人的话语吸引了无数著名的数学家涉足它．直到三百多年后，人们才找到了它的证明，虽然此前数学大师欧拉于1730年对3n =, 4的情形，给出了猜想的证明；狄利克雷给出了5n =时的证明；德国数学家库默尔1848年在某些更高次幂的情形下，对猜想进行了证明．同时利用库默尔的方法，借助于大型高速计算机，证得当510n <时(包括它们的倍数)结论成立．法国科学院曾于1816年和1850年两度以3000法朗悬赏猜想证明者，德国也于1908年设了十万马克的奖金，这笔基金是沃夫斯凯尔博士当年遗赠的．这个貌似不很困难的问题曾令不少人跃跃欲试，因而论证该问题的文章像雪片一样从四面八方飞来．据说，当年的数论专家兰道，为了应付“解答者”，曾印了不少明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士，你对费马猜想的证明已收到，现予退回，第一个错误出现在第 页第 行．”人们也曾怀疑当年的费马是否真的找到了问题的证明．1993年夏，英国数学家怀尔斯潜心七年研究, 终于在剑桥大学的学术报告会上，宣布他已证得费马猜想，可人们在研究他的报告中同样发现了漏洞．沉寂了一年后，1994年10月25日，怀尔斯和他的学生泰勒修补了上述文章的缺陷，且将他们的论文《圆曲线与费马大定理》和《某些Hecke 代数的环论性质》预印本以电子邮件的形式向世界各地散发. 次年5月, 美国《数学年刊》全文刊出上面两篇文章，至此宣告：困绕人们三个世纪之久的“费马大定理”被攻克．谈到数学的奇异性，我们当然会想到代数方程的求根问题．其实关于代数方程根的定理，即代数基本定理是这样的：复数域上的次方程1110n n n n x a x a x a --++++=在复数范围内至少有一个根．关于它，早在1629年, 法国学者日拉尔便有猜想; 1746年法国的达朗贝尔给出定理的一个不太严格的证明; 直到1799年，德国数学家高斯给出了这个定理的严格证明，后来他又给出了三种其它证法．由上述定理, 我们看到，代数方程的根的存在性已无庸置疑，但是要具体找出它们却远非易事． 对于一元二次方程，九世纪时, 中亚细亚的学者穆罕默德·阿里·花拉子米给出了它的求根公式，即方程20ax bx c ++=(0a ≠)的解为242b b ac x a -±-=.一元三次方程的解法较复杂. 公元四世纪，希腊人已知道某些特殊的三次方程的解法；公元十一世纪, 阿拉伯学者卡牙姆也系统地研究过三次方程的解法，但一般三次方程的求根公式则是1545年意大利的卡尔达诺在他的《大法》一书中给出的．尔后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式．人们希望能循着二次、三次、四次方程的成果去寻找5n ≥次方程的求根公式．然而事与愿违，经过许多数学家近三百余年的努力，结果仍然渺茫．年轻的挪威数学家阿贝尔总结了前人的教训，开始从反面考虑这个问题．他在拉格朗日、鲁菲尼等人的成果的基础上, 证明了：一般五次和五次以上的代数方程的解不能用公式给出(由此开辟了研究近世代数包括群论等内容的崭新学科). 这里所讲的“不能用公式解”是指一般的代数方程的情形，对于某些特殊的方程, 如0n x p -=, 它的解当然可用公式给出．法国青年数学家伽罗瓦彻底解决了这个问题，他给出了n 次方程可用公式解的充要条件(且由此创立了伽罗瓦理论这个数学分支)．调和级数111111234k k ∞==++++∑发散是数学史上最令人意想不到的事情. 如果注意到质数在自然数中分布越来越稀疏的事实， 则级数111111111235711131719p p =++++++++∑(p 取遍全部质数)发散，更令人觉得奇妙! 然而,“怪事”还不止于此，比如：从调和级数中除去所有含有数字9的项而得到的级数收敛(且它的和小于90)．从调和级数中剔除含有其它数字(8，7，6，…，2，1，0)的项后，所得到的级数也同样收敛．用带有数字的骨牌，按照某种规定砌满整个平面的问题与图论有关．比如, 我们要求用有限种形如上图的骨牌(图中a、b、c、d为该边上的某种赋值)去布满平面，使两张骨牌在邻接处有相同的赋值(不许转动或反射每张骨牌面上的四个数字)．用下面六种骨牌可按上面要求砌满整个平面：事实上，砌满整个平面是通过上面的23 矩形(注意它的对边上的数字分别相等)一再重复来实现的．然而，人们不难发现，用下面三种规格的骨牌，按照上面的要求是铺不满整个平面的．著名的希尔伯特第三问题，也是这种数学奇异性的精彩例证．若两个几何图形的面积相等，则称它们大小相等；若能将其中之一经有限次分割后组成另一个图形，则称它们组成相等．长方形ABCD和ACEF组成相等1832年，匈牙利数学家鲍耶、1833年德国人盖尔文证明了：两个大小相等的多边形一定组成相等．他们的证明依据了下面的五条引理(这里“≅”表示组成相等)(1)图形A B≅，又B C≅，则A C≅；(2)任何三角形≅某矩形；(3)等底等积的两平行四边形组成相等；(4)等积的两矩形组成相等；(5)多边形≅矩形．然而, 若把这里的结论推广到空间, 情况如何? 也就是说，两个体积相等的多面体，是否也组成相等(希尔伯特第三问题)?1900年，希尔伯特的学生戴恩证明了：存在这样的两个四面体，它们的体积相等，但不是组成相等．这使得希尔伯特第三问题得到了否定的解决．从平面向空间的推广遇到了麻烦，这与人们的猜想相悖．平面中的点、线、面积又是什么? 在欧几里得几何中，“点”被定义(严格地讲是被描述成)没有长、没有宽、没有厚的几何图形；“线”被定义成“有长无宽”的几何图形．下面的例子说明了上述定义的欠缺．取面积为1的正方形(单位正方形，见下图(1))，从中挖去一个十字(图(2))，其宽度是使挖去部分的面积为14．在剩下的四个小正方形中，仿照上面的办法重复上面的步骤，且使每次挖去的十字形面积为上一次挖去面积的一半(图(3)，(4)). 其“极限图形”，虽然像散开的一个个点(因为留下的正方形越来越小)，却仍然有正的面积. 实际上, 每次挖去的十字形面积依次为14, 142⨯, 2142⨯, 3142⨯,……, 在极限情形留下的图形面积为1111lim 1442422n n →∞⎡⎤⎛⎫-+++= ⎪⎢⎥⨯⨯⎝⎭⎣⎦. 我们再来看看皮亚诺曲线，它是一个可以充满正方形的曲线，这种曲线是意大利数学家皮亚诺在1890年给出的．我们把正方形分成4，16，64，……，4n ，……个相同的小正方形，然后从每个小正方形中去掉一些边，然后形成极为曲折的“密纹迷宫”，这些迷宫的中位曲线(图中的虚线)越来越密．中位曲线的极限情形，是一个可以充满整个正方形的曲线——皮亚诺曲线．波兰数学家谢尔品斯基也给出了一个可以充满平面的曲线. 如下图(1)，方格中所给的曲线称为第1级曲线；仿照图(1)，将每个小正方形加细，再将每个田字格子曲线沟通成第2级曲线. 重复上面的过程, 可以得到3、4、……级曲线．如此下去，在极限情形下得到的曲线即可填满整个正方形．数学中的奇异现象还有另一种含义：当人们没有认清它而做出错误的判断、结论或给出不尽完美的方法时，将会出现一些“反例”(这是数学自身严格性的必然)．要证明一个结论，须考虑全部情形和所有情况；而要推翻一个结论，只须举出一个反例即可．反例的出现，既体现了制造者的匠心，也从另一方面说明了数学的严谨与和谐(容不得半点虚假)．我们有理由这样说：数学中那些最美妙、最令人意想不到的反例，从另一角度来说，是数学的一种奇异美．我们来看一些例子．欧拉关于多面体顶点数V、棱数E和面数F间的著名公式：2-+=(欧拉公V E F式)可谓脍炙人口，然而, 由于对公式的适用范围未加限制，竟引来一批令人失望的反例——当然这也从正面告诫人们：欧拉公式的适用范围有限．反例指出了使用者没有注意公式或定理中的前提，或者说明命题或公式中存在某些缺陷．下表中给出的反例, 正说明欧拉公式并非对任何多面体都成立. 关于这点，庞加莱于1893年曾将公式修改为：对任何凸多面体而言，其顶点数V、棱数E、面数F满足2-+称为欧拉示性数).-+=(其中V E FV E F下面的例子也许应该称为“正例”，因为结论是这种东西不存在，但举出一个例子后，人们接二连三地又找出了其它例子，说明这种东西存在. 这样的事, 数学史上是不乏其例的. 可下面的例子从结论到否定前后延续了二百年!1769年, 欧拉在证明了333x y z +=无非平凡整数解(费马猜想的一个特例)后, 曾提出如下猜想：丢番图方程(即不定方程)121n n n n n n x x x x -++=(4n ≥)无整数解. 两百年过去了，人们对此并无异议．然而, 1966年, 拉德尔和帕肯却意外地发现了下面的反例：555552784110133144+++=． 1988年末, 埃里凯斯利用椭圆函数曲线理论证明：方程121n n n n n n x x x x -++=(4n ≥)有无数多组(非平凡整数)解．他同时给出了下面的例子：44442682440153656391879676020615673++=． 在这之前，人们对于4n =时, 方程121n n n n n n x x x x -++=有无正整数解未有定论．由于该解的出现，埃里凯斯便能利用椭圆函数曲线的理论, 从这个解递推出任意多个其它解．此后，富瑞找到了4n =时欧拉方程121n n n n n n x x x x -++=(4n ≥)的最小解：444495800217519414560422481++=．然而借助椭圆函数曲线的理论解题的思想，其意义远不止于此. 美国Princeton 大学的怀尔斯利用上述思想，于1994年成功地证明了费马猜想(n n n x y z +=当3n ≥时无非平凡整数解)．人无完人．大师们的失误是可以让人理解的．下面的事实也与欧拉有关，但它似乎更生动、更有魅力．有红、黄、蓝三色棋子各三枚，每色棋子上分别标以1、2、3等数字，你能否把这些棋子摆在一个33⨯的九宫格中，使得每行、每列既要有红、黄、蓝三色棋子，又要出现标有1、2、3的棋子?这个问题动动脑筋并不难解决(右上图)．它其实是一个双拉丁方(严格地讲应称为正交拉丁方)问题．用a、b、c分别表示红、黄、蓝，用A、B、C分别表示1、2、3，则右上图即是问题的答案.提起拉丁方，人们自然会想到数学家欧拉，正是他开始了这个问题的研究．据说, 普鲁士国王腓特烈大帝在阅兵时曾向欧拉提出一个问题：有六个兵种、每个兵种有六种官衔的军官共36名，打算排成一个66⨯方阵，使每行、每列中既要有六个不同兵种的军官，也要有六种不同官衔的军官，怎样排?为了研究方便，欧拉用大写拉丁字母A、B、C、D、E、F代表六个兵种，用小写拉丁字母a、b、c、d、e、f代表六种官衔，则这些军官可用Aa Ab Ac Ad Ae AfBa Bb Bc Bd Be BfCa Cb Cc Cd Ce CfDa Db Dc Dd De DfEa Eb Ec Ed Ee EfFa Fb Fc Fd Fe Ff代表，于是问题变为：如何把这些双写字母放到66⨯方格中，使得每行、每列既要出现A、B、C、D、E、F，又要出现a、b、c、d、e、f(这正是拉丁方名称的来历)．欧拉苦苦思索，仍然毫无结果．当他研究了2阶拉丁方不存在(这个容易验证)之后，便猜想：42k+阶(k是0或自然数)的正交拉丁方不存在!一百多年过去了．1901年，法国数学家塔瑞采用穷举法, 证明了二维6阶(即42k=时)k+中的1正交拉丁方确实不存在．这个结果似乎增加了人们对于欧拉猜想的信念．又过了半个世纪，当拉丁方开始找到应用的时候(在试验设计等方面)，它又重新唤起人们的兴趣．但意外的事发生了!1959年，数学家玻色和史里克汉德首先给出了一个22阶(42k=)正交k+中的5欧拉猜想被推翻了！这之后，玻色和史里克汉德又证明：除了0k+阶正交拉丁方都k=和1之外，其它42存在！1982年，阿尔肯、施密斯和斯通三人给出了三维6阶正交拉丁方．该概念的含义如下：三维n阶拉丁方是一个n n n⨯⨯的立体(它有n行、n列、n竖)，在其中写有数0，1，2，…，1n-，使得每个数在每行、每列、每竖中恰好出现一次．三个三维n阶拉丁方叠合在一起时，若每一有序数组()0, 0, 0，()0, 0, 1，·，拉丁方．()---均出现，则称此为一个三维n阶正交n n n1, 1, 1．．在此之前，有人曾猜测，三维的6阶正交拉丁方不存在．前述三人给出的这个三维6阶正交拉丁方的六个层面的数字分别是：反例其实也是对数学缺陷的一种指正和对结论的修补，这其中势必有个修正命题、以求完美的过程．当然，有时反例是靠严格数学推理而来，既便你一时找不到它的具体存在．在质数中，除2之外皆为奇数，因而它可分成41k +或41k -型(奇数总可以表示为21n -. 若2n k =, 则2141n k -=-; 若21n k =+, 则2141n k -=+)．人们起初发现, 若给定0k ，则对于所有不大于0k 的k 来讲，41k -型质数的个数不少于41k +型质数的个数，比如：0k 1 2 3 4 5 6 ……0k k ≤时, 41k -型的质数 3 3,7 3,7,11 3,7,11 3,7,11,19 3,7,11,19,23……0k k ≤时, 41k +型的质数 5 5 5,13 5,13,17 5,13,17 5,13,17……你耐心算下去一般不会发现意外，但如果你能算到4610101010k 时(这显然不可能)，情况则发生逆转(请注意上述这个数是一个大得让人无法想象的天文数字，若将它写成10000的形式，假如宇宙中所有物质都变成纸，且在其每个电子上记上一个0，仍然无法写完上述数中0的极小一部分)！克服了或解释了数学中的奇异性以寻求和谐，这常会使数学概念得以拓广，从而数学本身也得以发展．3 . 2 数学中的有限性（上）世界是无限的，宇宙是无限的，数学也是无限的．无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议——也许正因为有限才显得它与众不同．数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出．平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以．一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是7次(并非越多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有50！种，它大约为6810)．美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘．他们把52张牌编上号，先按1——52的递增顺序排列．洗牌时分成两叠，一叠是1——26，另一叠是27——52．洗一次后会出现这样的数列：1，27，2，28，3，29，…，它是两组递增数列：1，2，3，……，26和27，28，29，……，52的混合．此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于26时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺序)．计算表明，当洗牌次数为7时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)．再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然．广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的S曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在另一方面，广告播出次数以6次左右为最佳．美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解．广告以6——8次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理． 三角形数()12n n n T +=的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：1(1n =)，3(2n =)，6(3n =)，55(10n =)，66(11n =)，666(36n =)．又如棱锥数(金字塔数)：()()222211211236n T n n n n =++=++++中， 仅有1(1n =)和4900(24n =)是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明．著名的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，·中的完全平方数仅有1，1和144这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决)．由前文我们知道，方程22222123x y ++++=仅有一组非平凡的整数解24x =，70y =；方程()()212311231x y ++++-=++++-⎡⎤⎣⎦, 即()()21122x x y y --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦有且仅有()(), 1, 1x y =，()2, 2和()4, 9三组正整数解．1842年，卡塔兰曾猜想：382=和293=是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman 证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数c ，已证得5001010c <). 26是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程322x y -=仅有一组整数解()3 5，．而324x y -=有两组整数解() 22，和()5 11，；328x y -=仅有()2 0，一组整数解．欧拉早就指出：231y x -=仅有() 32，一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；238y x -=有三组整数解()2, 0-，()2, 4和()2, 4-；但237y x -=无整数解(形如23y x k -=的方程称为Modell 方程，而221x dy -=称为Pell 方程). 多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体), 他在其顶点数V 、棱数E 和面数F 之间建立了一个等式：2V E F -+=(欧拉公式)．在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)．人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数, 恰好是另一多面体的面数和顶点数, 则这两个多面体互称共轭)也只有5种, 它们每面的边数n和交于一点的棱数m，以及V，E，F的关系如下：正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体)正八面体及其共轭图形正十二面体及其共轭图形正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)我们也知道：平面上与单位圆(半径为1的圆)相切的单位圆最多只能有6个(它的证明不难)．有人将问题推广到空间情形．起初(1694年), 英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与13个单位球相切, 而牛顿则认为这个数目应是12．大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与12个单位球相切”的论证．1956年, 利奇又给了一个简化证明．顺便讲一句, 上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的．十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有32种可能的结构(这一点已被现代科学所证实), 这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可．完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(9阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长)．考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题. 当个数为3时，有周长是120的情形存在: 三边分别为()40, 30, 50的三角形都是周长为120的20, 48, 52、()45, 24, 51、()毕达哥拉斯三角形；当个数为4时，在周长小于610的情形中仅有7例，其中最小者周长为317460，三边分别为()43660 133419 140381，，、，，、()153868 9435 15415799660 86099 131701，，、()()，，的三角形都是周长为317460的毕达哥拉斯三角形．13260 151811 152389这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题．比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是9，完美正方形的最小阶数是21等．此外，还有许多此类问题，比如：。
数学美的几种类型
命题变换中： 命题 逆命题 否命题 逆否命题
统一与和谐美是数学美的又一侧面， 它比对称美具有广泛性。以几何与 代数的和谐与统一的表现为例：行 列式与矩阵
平面上过点(x , y ),(x , y )的直线
方程:
11 22
x y1
x1 y1 1 0 x2 y2 1
平面上过点(x , y ),(x , y ), (x , y )
其性质和类型取决三个量：
abd
ab
h a c,
, b c e
bc
de f
，是平移和旋转变换下不变的量。
1. 0, 0,为椭圆; 0,为双曲线; =0为抛物线. 2.=0, 0,为椭圆; 0为相交两直线; =0平行或重合两直线
奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！
1 0.166666666666666666666 6 1 0.142857 142857 142857 142857 7 987654321 8.00000007290000066339 123456789
000603684905493532699
11470239
而且 :
987654321 8 9 123456789 123456789 而
IV
CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV
表示900
DCCC
CXX
XX
表示40
CMXL
十进制与二进制:十进制:89 89= 1× 26+0× 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
二进制:1011001
十进制:符号多(10),表示上简洁,方 便人工运算,但系统复杂.
数学之美无与伦比
数学之美无与伦比哲学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”数学的美，质朴深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝：数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒.数学所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的.尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能催人振奋，然而，数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服，数学的深感趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！一、数学的奇异美数学是思维的体操.思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地.数学的趣味奇异美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的.揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数，对称数，完全数，魔术数……的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛,数字旋涡……令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，而且生机勃勃，鲜活亮丽！1.亲和数古希腊科学家毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数.他认为，数本身就是世界的秩序.他的名言是：凡物皆数.但在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也存在着数的作用吗？“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密.”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1,2,4,5,10,11,20,22,44,55.110之和为284；而284的全部真因子1,2,4,71,142之和又恰为220.这就是亲密无间的亲和数.真正的朋友也象它们那样.学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我，我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了.人们惊叹道：亲和数的关系太微妙了.随着研究的深入，人们又发现了更奥妙的高阶亲和数――联谊数.于是狭隘的两人的天地扩展为多人的世界.似乎它们也懂得“再完美的两人世界也不能代表人世间所有的美丽”的道理呢.220和284，1184和1210，2620和2924，5020和5564，6232和6348.2.完美（全）数，一个数如果恰好等于除它本身外的因子之和，这个数就称为完美数.6是一个完美的数字.古代意大利曾把它作为“美满婚姻”的象征.因为它恰好等于其所有真因子1,2,3之和.呵，多么完美的性质！因此人们称这类数为完美数，而6正是其中最小的一个.3．回文数“回文数"是一种数字.如:98789, 这个数字正读是98789,倒读也是98789,正读倒读一样,所以这个数字就是回文数.有些平方数是回文数12=1 112 =121 1112=12321 11112=1234321依次类推3×51=153, 6×21=126, 4307×62=267034,9×7×533=33579 上面这些算式,等号左边是两个(或三个)因数相乘,右边是它们的乘积.如果把每个算式中的“×”和“=”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”.还有一些回文算式，等号两边各有两个因数.请看：12×42=24×21, 34×86=68×43, 102×402=204×201不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号两边的因数交换位置，得到的仍是一个回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号两边的因数交换位置，得到算式是：42×12=21×24这仍是一个回文算式.还有更奇妙的回文算式，请看：12×231=132×21（积是2772） ,12×4032=2304×21（积是48384）这种回文算式，连乘积都是回文数.四位的回文数有一个特点，就是它决不会是一个质数.设它为abba，那它等于b⨯=++⨯.能被11整除.1000+⨯+1001aabb10a110100六位的也一样，也能被11整除还有，人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多.例如112=121，222=484，73=343,113=1331，114=14641……都是回文数. 4．魔术数将自然数N 接写在另一个自然数的右边（例如，将2接着写在34的右边就是342），如果得到的新数都能被N 整除，那么自然数N 就叫做魔术数.130以内的魔术数有1、2、5、10、20、25、50、100、125.5．最美的数学公式：被誉为最美的数学公式：10i e π+= 将数学史上的几个非常重要的数联系在一起，0是印度人发明的，这一发明是数学的重要成果，1是数学的第一个数，i 是研究复数的时候引进的一个记号，π是在求圆的面积和球的体积时发现的一个比值2C rπ=，e 的发现更是离奇，有个故事说是因为欧拉在证明了11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调有界数列，因而根据公理应该有极限，但极限是什么呢！欧拉没有发现这一数就用了自己名字的第一个字母来表示（Euler ）.（其实数学中的这一方法是常用的，这就是符号法.如对数首先就是一个符号，如人们不知道2的多少方是5，因而就记为x =2log 5，再通过25x =来把握其计算法则.如前的i 的引进页具有这一特点，人们不知道什么数的平方会是1-，就用i 表示.数学是使用符号最多和最娴熟的学科.）.更离奇的是这几个数竟然有这样的内在联系，我们不得不为数学的奇异而赞叹.这几个数的发现竟相隔了几千年. 同时数学又是相当和谐的，即它具有和谐美.数可以分为有理数、无理数、虚数，其中1是具有最重要的地位，此外，0具有独特的地位，而在虚数中，显然i 是主要代表，在我们接触到的无理数中，π 又是很特殊的.这五个数特别引人注目，可它们却融合在下面的一个式子中： 这五个如此各异(性质上十分不同)的数竟然如此和谐地共处一个等式之中，可见数学的和谐与美妙.6．裴波那契数列二、数学的形象美黑格尔说：“美只能在形象中出现.”谈到形象美，一些人便联想到文学，艺术，如影视，雕塑，绘画，等等.似乎数学只是抽象的孪生兄弟.其实不然，数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽画面.1.数字形象美：阿拉伯数字本身便有着极美的形象：1字像小棒，2字像小鸭，3字像耳朵，4字像小旗……瞧，多么生动.2.符号形象美:"="(等于号)两条同样长短的平行线，表达了运算结果的唯一性，体现了数学科学的清晰与精确."≈"(约等于号)是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧.">"(大于号)，"<"(小于号)，一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系.{[( )]}(大,中,小括号)形象地表明了内外，先后的区别，体现对称，收放的内涵特征.…3.线条形象美:看到"⊥"(垂直线条)我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到"—"(水平线条)，我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到"～"(曲线线条)，我们想起了波涛滚滚的河水，给我们的是流动感.几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目.三角形的稳定性，平行四边形的变形性，圆蕴含的广阔性……都给人以无限遐想.脱式运算的"收网式"变形以及统计图表，则是数与形的完美结合，我国古代的太极图，把平面与立体，静止与旋转，数字与图形,更做了高度的概括！4.黄金分割开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割.“黄金分割”的0.618,所谓“黄金分割”，实际上是一个比例的问题，符合这样的比例，人们就看着顺眼、舒服.它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用.艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果.象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志.这神圣的比例值也被抬高了身价，而被称为黄金数了，成了宇宙的美神.人体最优美的身段遵循着这个黄金分割比；令人心旷神怡的花凭借的也是这个美的密码，就连芭蕾舞艺术的的魅力也离不开它.当然，“情人眼里出西施”那是另外一回事.比如，人的肚脐，是人的身长的黄金分割点，你如果用从头到肚脐的长度去除以人的身高，接近0.618,一般讲是比较好看的黄金身段.而膝盖又是人体肚脐以下部分的黄金分割点，这方面的例子很多.三、数学的简洁严谨美美国著名心理学家L.布隆菲尔德（L．Bloonfield）说：“数学是语言所能达到的最高境界.”世事再纷繁，加减乘除算尽；宇宙虽广大，点线面体包完.这首诗，用字不多，却到位地概括出了数学的简洁明了，微言大义.数学和诗歌一样，有着独特的简洁美.最为典型的例子，莫过于二进制在计算机领域的的应用.试想，任何一个复杂的指令，都被译做明确的01数字串，这是多么伟大的一个构想.可以说，没有数学的简化，就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代.数学科学的严谨性，决定它必须精炼，准确，因而简洁美是数学的又一特色.数学的简洁美表现在:1.定义，规律叙述语言的高度浓缩性，使它的语言精炼到"一字干金"的程度. 质数的定义是"只有1和它本身的两个约数的数"，若丢掉"只"字，便荒谬绝伦；小数性质中"小数未尾的0……"若说成"后面"，便"失之干里".此种例证不胜枚举.2.公式，法则的高度概括性一道公式可以解无数道题目，一条法则囊括了万干事例.三角形的面积=底×高÷2，把一切类型的三角形(直角的，钝角的，锐角的，等边的，等腰的，不等边的)都概括无遗."数位对齐，个位加起，逢十进一"把各种整数相加方法，全部包容了进去.3.符号语言的广泛适用性数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面.a b b a +=+bca acb abc ==……其中c b a 、、可以是任何整数，小数或分数.这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练，简洁的特有美感.数学还体现了一种简洁美.像我们做题时，从来不将1亿写成100000000，而将它写成为108 ；更不把1亿分之一写作1000000001 ，而将它写成10-8 .这样的简写，给我们计算提供了很大的方便.就拿我们刚学过的数列求和来说吧，若求？=++++ 16941我们就不会将其各项都一一列出来逐项相加，而通常是用公式∑2n ，这样写既简单又明了.简单美主要是指简明了，并且是越简单越美.椭圆和双曲线的标准方程是美的，简单美.回顾推导方程的过程，根据它们的定义：平面内到两定点的距离之和（之差的绝对值）为常数的点的轨迹，在直角坐标系中，取焦点的坐标()0,-c 、()0,c ，设这个常数为2啊，以及最关键的时刻令222b a c =-c 2，在整个过程中，无疑不是在追求一种美的结果：12222=±by a x .这样的简单，真是太美！ 四、数学的对称美数学中的对称美是很明显的.点的对称、线的对称以及面的对称，加，圆对于圆心是对称的、对于直径是对称的；正方形对于其中心是对称的；球形则最为特殊，它既是点对称、又是线对称、也是面对称的图形.古代毕达哥拉斯认为“一切立体图形中最为完美的是球形；一切平面图形中，最为完美的是圆形”.而数学中更为一般的对称，则体现在函数图象的对称性和几何图形上.前者给我们探求函数的性质提供了方便，后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感.对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称，中心对称图形，幻方，数阵以及等量关系都赋予了平衡，协调的对称美.在现实中，数学的美更可谓无处不在：对称的图案、对称的建筑、建筑物与周围环境的统一与和谐之美等等.数学概念竟然也是一分为二地成对出现的:"整-分"，奇-偶，和-差，曲-直，方-圆，分解-组合，平行-交叉，正比例-反比例……，显得稳定，和谐，协调，平衡，真是奇妙动人.五、数学的和谐美宇宙是哲学的全书，要读懂它必须先掌握它的语言，这语言就是数学.和谐的宇宙，只能使用和谐的语言.美是和谐的，和谐性也是数学美的特征之一.和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性.数学的和谐还表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等找到最佳论证.人和动物的血液循环系统中，血管不断地分成两个同样粗细的支管，它们的直径之比32 ∶1，依据流体力学原理由数学计算知道，这种比在分支导管系统中，使液流的能量消耗最少.血液中的红血球、白血球、血小板等平均占血液的44％，同样由计算可知43.3％是液体流动时所携带固体的最大含量.眼球视网膜上的影像经过“复对数变换”而成为视觉皮层上的“平移对称”图像，于是我们看到的是一个不失真的世界，这是千真万确的数学变换，也是奥妙无穷的生命现象的优化.动物的头骨看上去似乎甚有差异，其实它们不过是同一结构在不同坐标系下的表现或写真，这是大自然自然选择和生物本身进行的必然结果.生命的丰富多彩，数学的优雅美妙，一旦二者揉合，必定会为人们认识生命现象提供启发，创造机会，揭示奥秘，同时也为数学自身的发展提供模式与课题.就拿人体本身来说，人体本身是美的，它的对称性：两手、两腿、两眼、两耳都是很对称的，蜜蜂的蜂房的侧面是一个六棱柱，而蜜蜂从房洞进入，其底则是由三个菱形拼成的，经后人利用微积分计算发现这是在一定客观条件下用料最省的.蜜蜂还真可以戴上“数学天才”的桂冠呢!优美的曲线同样带给人们美的享受.如得之于自然界的四叶玫瑰线、对数螺线及应用于建筑中人为设计的超椭圆曲线等.更有那久负盛名的茂比乌斯曲线.华盛顿一座博物馆的门口，有一座奇特的数学纪念碑，碑上是一个八英尺高的不锈钢制的茂比乌斯圈.它日夜不停缓缓地旋转着，带给人们美感享受的同时，又昭示出人类正如它一样永无休止地前进着.六、结论数学中蕴含的美的因素是深广博大的.数学之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面.数学的研究对象是数，形，式，数的美，形的美，式的美，随处可见.数学中的美，不是以艺术家所用的色彩、线条、旋律等形象语言表现出来，而是把自然规律抽象成一些概念、定理或公式，并通过演绎而构成一幅现实世界与理想空间的完美图象.只有数学内在结构的美，才更令人心驰神往与陶醉.它的博大精深与简明透彻都给观赏者以巨大的美的感染最后让我们共同欣赏著名学者对数学的赞美之词吧：自然这本书是用数学语言写成的.（伽利略）只有音乐堪与数学媲美（逻辑主义流派怀特海德）数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美……（罗素）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐 (柯普宁(前苏联哲学家)数学本身也有无穷的美妙（著名数学家华罗庚）。
论数学美的基本特征及其作用
论数学美的基本特征及其作用作者：杨波来源：《陕西教育·高教版》2008年第04期研究数学美，并且应用其研究成果来为数学以及数学教育服务，也就自然而然成为一件很有意义的事情。
数学美的特征数学美的主要特征是：简洁性、对称性、统一性和奇异性,这四种特征的表现以及给人所带来的愉悦感受就是它们在各个领域中给人所呈现的四种美：简洁美、对称美、统一美和奇异美。
1.简洁性。
数学美其简洁性的表现及其给人所带来的愉悦感受即为简洁美,它是经过了数学家高度抽象化之后所形成的数学语言、数学符号以及数学逻辑中所呈现出来的。
美国数学家柏克霍夫在其著作《审美量度》一书中提出了一个审美公式：,式中的“O”为秩序,“C”为复杂性,审美度为“M”，即艺术作品的美与它的秩序感成正比。
也就是说，按审美度要求,数学的表现形式越简单就越美。
而在符号上，数学的简洁美就体现得更加透彻。
克莱茵(F.Klein)指出，“符号常常比发明它们的数学家更能推理。
”回顾数学发展的历史，我们可以看到，数学的发展与数学形式简单化息息相关。
举例来说，阿拉伯数字记号的诞生，+、、€住髟怂惴诺氖褂茫际沟檬弑噶思蚪喽稚羁痰奶卣鳎行矶喙礁钦庵痔卣鞯耐昝捞逑郑汗垂啥ɡ碚飧鍪旨虻ザ终氲墓剑宄夭隽怂兄苯侨切稳叱ぶ涞墓叵担坏愕街毕叩木嗬胧牵问绞终爰蚪啵辉驳闹艹す接朊婊剑沟谩捌矫嫱夹沃凶蠲赖耐夹巍病敝械闹艹ぁ⒚婊妥陨戆刖叮桓錾衿娴奈蘩沓Ｊ艚舻亓翟谝黄穑欢飧龇疟旧淼氖褂茫质墙桓鲂雌鹄春苈榉车氖涤靡桓鍪旨蚪嗝髁说姆疟硎境隼矗坏貌蝗萌嗽尢炯蚪啻吹拿栏校?2.对称性。
谈到数学的对称性所给人的美感，最典型的莫过于几何图形中的对称图形了。
自然界中对称图形比比皆是：树叶、花瓣、蜂巢……都给人以美的享受。
而在几何图形中，对称图形更是数不胜数。
解析几何中，方程及，及所表示的曲线，都是典型的对称图形。
人们分别给这两类曲线冠以三叶玫瑰与四叶玫瑰的美称。
又如，二项展开式+的系数具有对称性。
3.统一性。
谈谈数学美在数学中的作用和意义
面对以上种种美誉，那数学为何如此美丽？又该怎样从美学 的角度，来观察、分析、理解、并感受数学的魅力？”
人们对于美的认识是一个古老而又漫长的过 程,人们也提出了各种观念,大体上可总结为下 面几种模式:
(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现 或体现;
(2)美是有意向的,从主观上认识事物的结果;
(3)美是生活的本质同作为美的尺度的人相比, 或者同他的实际需要,同他的理想和关于美好 生活观念相比较的结果.
事实上，数学美的表现形式是多种多样的————从数学的外 在形象上观赏：她有体系之美、概念之美、公式之美；从数学 的思维方式上分析：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类 比之美；从美学原理上探讨：她有对称之美、和谐之美、奇异 之美等。
此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严 密的出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世 间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数 Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式， 概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可 派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区 域数Ｆ满足V－Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分 支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻 的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定 理还有许多。比如： 圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。
数学美的特征及体现
数学美的几个特征以及应用一、数学美的特征1. 简洁美。
简洁美是数学美最突出的表现，简洁的数学理论能给人以美的最直接的享受。
简洁的东西容易被人类把握，有助于提高思维的效率。
我国著名的数学家陈省身说过：“数学世界中，简单性和优雅性是压倒一切的。
”无论是广泛适用的数学概念、公式和法则，还是逻辑系统的数量，又或是空间的本质属性，无一不以它所特有的精炼语言、严密的逻辑、抽象的符号向我们展示出数学简洁的魅力。
2. 对称美。
对称美是指数学内容与结构系统的协调完备所表现出来的均衡对称，它不仅是指几何图形的对称关系，也指各种数学概念、公式和定理间的对称思想。
美国的数学教育家舍菲尔德在问题的分析和理解中就建议：“借助对称性或其他不失一般性的考虑使问题得到简化。
”数学中与对称有关的内容数不胜数，函数、立体几何、解析几何中的很多内容都能给人以对称的美感。
3. 奇异性。
奇异美是指数学中原有的习惯法则和统一格局被新的事物所突破，从而引起惊愕与诧异，同时又赢得人们的赞赏与叹服。
如，数学中出人意料的结果、公式、新思想、新理论、新方法等。
没有了这个方面，数学的美也许会显得单调，数学上许许多多出人意料的奇异巧合让人们对数学的美更加着迷。
数学结论的奇异往往令人惊叹，独特的方法也使学生感受到创造的喜悦和成功的乐趣。
二、如何在教学中体现数学美首先教师必须善于挖掘教材中的数学美，让学生感受数学的美，以数学魅力拨动学生的心弦，开启心灵，陶冶情操，激发兴趣，促进其能力的发展。
例如，教学“黄金分割”时，列举世界上很多著名的建筑，都符合黄金分割；最美身体上下比例，也是符合黄金分割的。
其次让学生明白数学美的意义，在学习中体会数学之美。
如，在学习了三角形、平行四边形、梯形、长方形、正方形的面积公式后，引导学生深入发掘它们的内在联系。
发现当梯形上底缩短为0时（上底小于下底），这时梯形就转化为三角形，因此三角形可视作上底为0的梯形；当梯形的上底与下底相等时，梯形就转化为平行四边形，因此平行四边形可看作上下底相等的梯形。
研究论文：浅谈数学中的美
84118 数学论文浅谈数学中的美马克思说过人类对美的追求的结晶就是社会的进步，换句话说就是，由于人类对美的渴望、对美的追求才促使了社会的发展。
的确如此，文明发展源于对美的向往，文明进步源于对美的追求。
数学是真理与美并存的一门科学。
但是数学美不像绘画美有华丽的装饰，也不像音乐美有婀娜的音符。
数学美是一种纯净的、高贵的、冷而严肃的美。
数学美是世界之美的原型，一切事物生存发展的本质特征就是对美的追求，拥有数学美感以及数学审美能力是进行数学研究和数学创造的前提基础。
简洁美。
先来看一个公式E=mc2，看似简单无奇实则寓意深远，它深刻揭示了从微观到宏观再到宇观的质能变化规律。
爱因斯坦对人类的贡献不用多说也是众所周知的，恰恰这个如此简单的式子就代表了相对论的精髓。
再来看我们都熟悉的数学数字1，1可以说是数学里面最为简单的数了，但是1却被视为万物的开端，世界的本源，整个世界都是由它派生而来，何其妙哉。
对称美。
圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；美不胜收的埃及金字塔；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案；无不表现出对称美以及和谐美。
我们知道这世间最美的立体图形和平面图形分别是球形与圆形。
大家会发现一个有趣的事，圆形不仅是中心对称图形还是轴对称图形，球形则是点对称、线对称、面对称图形。
当然不是只有几何中才有对称美，下列是对称的杨辉三角。
美吗？答案是明确的。
美，往往是无意间发现的，很多时候我们并不知道我们想要的美是怎样得来的，是想出来的还是算出来的，其实都不是，更多的是无意间发现的。
通过公式定理以及方程等的证明、绘图等，很容易得出以前未曾定义过的美。
如与与与的图像，对称是显然的，除此之外，中心处还有一朵小花，美吗？当然！奇异美。
生活充满惊喜，数学充满奇异。
奇异，就是指新颖奇特，意想不到。
数学中的奇异存在于数学的每一个角落，利用简单的数学线条能够拼凑出简单的数学图形，也能够拼凑出姿态万千的图案，还可以勾勒出美不胜收的艺术珍品。
数学与审美——奇异美
目录摘要 (1)Abstract (1)引言 (2)1 奇异美的含义 (2)2.奇异美之定理美 (2)3.奇异美之公式美 (9)4.奇异美之图形美 (11)结语 (31)参考文献 (32)致谢 (33)摘要数学不仅是一种科学，更是一种美学，而奇异美便是数学美中最为重要的一个特征。
针对美学，著名数学家徐利治教授曾经说:“奇异是一种美，奇异到极点更是一种美。
”数学具备奇异美的特性，其表现是多方面的，其中奇巧、突变是数学奇异美最为重要的特征，能够为数学以无限生机。
，数学中的奇异美，常常会让人们感觉震惊，从数学奇异美角度出发进行思考，还可以解决大量数学问题，故而本文将从三个方面对数学的奇异美进行分析，以为他人更好的了解数学提供参考，同时使更多的人喜欢数学。
关键词：数学；审美；奇异美AbstractThe singular beauty of mathematics is one of the important characteristics of mathematics beauty. Professor Xu Lizhi，a famous mathematician，pointed out: "Singularity is a kind of beauty，and singularity is a kind of beauty." The singularity and mutation in mathematics is an important manifestation of the singular beauty of mathematics. It reflects a side of the unconventional phenomenon in the real world. Give mathematics unlimited life. The singular beauty of mathematics often gives people an "unexpected" and "shocking" experience. This article will analyze the singular beauty of mathematics from three aspects，in order to provide a reference for others to better understand mathematics，and at the same time make more people like mathematics.Key words: mathematics; aesthetics; singular beauty引言新颖的以及不常见的东西通常都会引起人们的遐想，而遐想实际上便是一种乐趣，在遐想中，能够引起人们对这些新颖东西的思考，勾起人们的好奇心，从而得到全新的观念。
数学美的特征
数学美的特征数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所赏识,却很少有人把它与美学联系起来,似乎数学与美学毫不相干。
其实,这是对数学本质的一种误解,是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识。
一数学美的特征古今中外许多著名的数学家都曾以其亲身感受对这个问题有过深刻的论述，认为数学不仅与美学密切相关，而且数学中充满着美的因素,到处闪现着美的光辉。
早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。
第五世纪著名数学评论家普洛克拉斯进而断言：“那里有数,那里就有美”。
近现代许多著名的数学家对数学中的美更是赞叹不已。
英国著名数理逻辑学家罗素指出:“数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。
”英国著名数学家哈代认为,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。
我国著名数学家徐利治教授指出:“数学园地处处开放着美丽花朵,它是一片灿烂夺目的花果园,这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。
”数学中的美是千姿百态、丰富多彩的,如美的形式符号、美的公式、美的曲线、美的曲面、美的证明、美的方法、美的理论等。
从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美;就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美。
把内容和形式结合起来考察,数学美的特征主要有两个：一个是和谐性,一个是奇异性。
（一）数学美的和谐性和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征,任何美的东西无一不给人以和谐之感。
和谐性的表现形式很多，就数学而言,其典型表现有以下几种形式。
1 统一性。
统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。
数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。
（1）数学概念、规律、方法的统一。
一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。
数学美的奇异性
数学美的奇异性- -◇没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特。
美在于奇特而令人惊异。
（培根R.Bacon）◇逻辑是贫乏的，而数学是最多产的母亲。
（阿诺尼姆斯Anonymous）奇异指奇妙和变异。
变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。
变异有悖于人们的想像与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。
数学中许多新分支的诞生都是人们对数学奇异性探讨的结果。
1．奇异美◇在绘画与数学中，美有客观标准，画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学则讲究真实、正确、新奇、普遍……（哈尔莫斯P.R.Halmos）◇审美趣味和数学趣味是一致或相同的。
（贝尔E.T.Bell）◇奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着真理与规律。
“希尔伯特第三问题”、“平面铺嵌问题”、“欧拉公式”、“单纯形法”、“四色问题”、“货郎担问题”……2．有限美◇十进计数的发明恐怕是科学史上最重要的成就。
（勒贝格H.Lebesgue）科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学。
（哈尔芬E.Halhen）◇自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。
（萨顿O.G.Sutt on）◇无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议——也许正因为“有限”才显得它“与众不同”。
美国哈佛大学数学家戴柯尼斯（Deknis）和哥伦比亚大学的数学家贝尔（Bell）发现：一副扑克洗7次才算最匀净。
由数列计算得多于此数，过犹不及。
广告费用的投入与效果，首先它遵循经济活动中著名的S曲线所描述的规律，从曲线图上可以看出：投入费用在某一段时间时广告最为有效。
据统计，广告刊播次数以6次左右为最佳。
美国著名的广告学家克鲁曼（H.Kluman）曾给予明白的解释。
电子邮件的“六阶现象”：电子邮件平均辗转6个人之后均到达陌生收件人手中。
“项”与“个数”的最少问题。
中国“七巧板”游戏。
“迷宫”（道路有限，走法无穷）。
浅谈数学之美
浅谈数学之美【摘要】数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
“那里有数学，哪里就有美",数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容.数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容.本文主要围绕数学美的三个特征:简洁性、和谐性和奇异性进行阐述.【关键词】数学,数学美,美学特征数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看:她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看:她有对称之美、和谐之美、奇异之美等.此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。
但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性.1简洁性是数学美的首要特点爱因斯坦说:“美，本质上终究是简单性”,“只有既朴实清秀，又底蕴深厚,才称得上至美”。
简洁本身就是一种美,而数学的首要特点在于它的简洁性.数学中的基本概念、理论和公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。
数学家莫德尔说过:“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了”。
数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元……就可简单的构成任何数目的款项;圆的周长公式：C=2πR,就是“简洁美”的典范，它概括了所有圆形的共同特性；把一亿写成l08，把千万分之一写成10-7;二进制在计算机领域的应用……化繁为简，化难为易,力求简洁、直观。
数学不仅仅是在运算上要求这样，论证说明也更是如此。
显然，数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一。
1。
1简洁性之一:符号美实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号。
符号对于数学的发展来讲是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。
探索数学之美欣赏数学中的美学和奇妙之处
探索数学之美欣赏数学中的美学和奇妙之处探索数学之美：欣赏数学中的美学和奇妙之处数学是一门充满了奇特、美妙和神秘的学科。
它不仅是一种工具，用来解决日常生活中的问题，更是一门探索世界的艺术。
数学的美学和奇妙之处蕴含在各种数学概念、性质和公式中。
本文将带领读者探索数学之美，欣赏数学中的美学和奇妙之处。
I. 数学的美学：对称与比例之美美是一种对称的体现。
在数学中，对称是一种重要的性质。
它可以在几何学和代数学中找到。
例如在几何学中，正多边形的各个边和角都具有对称性，无论是三角形、四边形还是多边形。
这种对称性让我们感受到数学世界的秩序和和谐。
此外，比例也是数学中的美学之一。
比例在自然界和艺术中有着广泛的应用。
黄金分割是一种著名的比例，它能够呈现出一种得体而优雅的美感。
黄金分割不仅出现在自然界中的螺旋壳和花瓣中，还经常在建筑和艺术作品中运用。
II. 数学的奇妙之处：数列与无穷数列是数学中的一种基本概念，它是由一系列有序的数字组成的。
数学家通过研究数列，发现了许多令人惊奇的结果。
例如斐波那契数列，它的特点是每个数都是前两个数之和，形成了1、1、2、3、5、8、13...的数列。
斐波那契数列在自然界中的出现频率极高，这种规律性令人着迷。
另一个令人惊叹的数学概念是无穷。
无穷是一个令人无法想象的概念，它代表了无限的可能性。
数学中有无穷多个自然数、无穷多个有理数，甚至无穷多个实数。
无穷给数学家带来了巨大的挑战，也为他们提供了丰富的研究领域。
III. 数学的美学：图形与变换图形在数学中扮演了重要的角色，它们不仅可以用来描述几何形状，还可以帮助人们观察和分析数学关系。
圆、三角形、正多边形等各种图形都具有自己独特的美感。
变换是数学中另一个令人着迷的概念，它可以改变图形的位置、大小和形状，从而呈现出多种多样的美学效果。
常见的变换包括平移、旋转和镜像等。
通过变换，数学家能够探索出许多有趣的性质和规律，发现隐藏在图形中的美学之处。
数学真美妙中有趣的数学现象
数学真美妙中有趣的数学现象1. 金字塔数学：这是一个涉及数字金字塔的现象，其中最顶端的数字是通过底层数字经过加减乘除等运算得出的。
这种数学现象展示了数字之间的复杂关系和运算的巧妙。
2. Fibonacci序列：这是一个由自然数组成的无限序列，其中每个数字都是前两个数字的和。
这种序列在自然界中经常出现，例如在植物生长、动物繁殖和自然界的其他方面。
Fibonacci序列的神奇之处在于它的数学性质和实际应用。
3. 谢尔宾斯基三角形：这是一种具有特殊数学性质的三角形，它的每一行数字都比上一行多一个，而且可以通过它计算出许多有趣的数学表达式。
谢尔宾斯基三角形展示了数学中的递归和自相似性。
4. 乌拉姆现象：这是一个关于质数分布的现象，由美国数学家乌拉姆发现。
他在一张纸上画出方格，将自然数按逆时针方向螺旋分布，并将质数圈出来。
他发现这些质数有秩序地集中在一些斜线上，显示出令人惊讶的规则性。
这个现象展示了质数分布的神秘和规律性。
5. 幻方：这是一种由数字组成的正方形阵列，其每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
最著名的幻方是3x3的洛伊斯幻方，它展示了数学中的对称性和平衡性。
6. 柯西-施瓦茨不等式：这是一个在向量空间中描述向量长度和向量之间夹角关系的不等式。
尽管它看起来可能很复杂，但它的应用却非常广泛，从几何到统计学，再到信号处理等多个领域都可以找到它的影子。
7. 分形：这是一种在数学和自然世界中都非常常见的结构，它们的特点是自相似性，也就是说，无论你放大多少倍，都可以看到相同的形状和结构。
最著名的分形之一就是曼德勃罗特集，它是由法国数学家曼德勃罗特提出的，展示了数学的复杂性和美感。
8. 四色定理：这是一个关于地图着色的定理，它说任何一张地图都可以只用四种颜色进行着色，使得没有两个相邻的区域颜色相同。
这个定理虽然看起来简单，但它的证明却非常复杂，涉及到了图论和组合数学的许多概念。
9. 欧拉公式：欧拉公式是复变函数论的基础，它将三角函数与复数指数函数相关联。
领略数学之美
领略数学之美众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。
她不但有智育的功能，也有其美育的功能。
数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。
下面从几个方面来欣赏数学美。
一、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
物理学家爱因期坦的这种美学理论，在数学界，也被多数人所认同。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。
如：平面图的点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V －Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。
由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。
数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
二、和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式： -+-=513114π，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出π，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：1-=πi e ，曾获得“最美的数学定理”称号。
欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。
与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是θθθi e i =+sin cos ――（１）。
这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。
对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。
浅谈数学中的奇异美-最新教育资料
浅谈数学中的奇异美-最新教育资料浅谈数学中的奇异美引言。
数学的奇异美是数学美的重要特征之一。
著名数学家徐利治教授指出:“奇异是一种美,奇异到极点更是一种美。
”数学中的奇巧、突变是数学奇异美的重要表现,它反映出现实世界中非常规现象的一个侧面,给数学以无限的生机。
数学中的奇异美,常常给人以“出人意料”和“令人震惊”的体验。
1、数学中的神秘性与奇异美。
欧拉（Euler）将数学中五个有重要意义的数：复数的最基本单位1和i，紧接在1后面的一个原始数2，自然对数的底e，圆周率π，用一个式子e-2πi=1联系起来，如果我们全部用数字写出来就是（2.718…）-2×3.14159×-1=1，同样，数学研究也指出eiπ=1只要考察一下表示这些关系的要素和运算性质，就会为这些关系所表示出的高度神秘性和极度的奇异性所倾倒，难道还不能给人一种特别强烈的美的感受吗？拉普拉斯变换的普遍反演公式以及复变函数积分的形式得到原函数的形式也显示出一种珍奇的，独特的美。
这同非欧几何，δ函数等等，同属一种“别有洞天”的奇异美，高斯猜想素数个数的平均分布（An表示1，2，3，…n间素数的个数）可用对数函数来描述～（即）。
这是一个十分卓著的发现，人们惊讶的是表面上看来毫无联系的两个数学概念，竟然如此密切地沟通起来。
我们不能不惊叹宇宙万物的神秘了。
为了证实这优美神秘的猜想，从高斯提出猜想到完全证明，数学家们花了近百年的时间。
2、数学反例中的奇异美。
奇异性常常与数学反例联系在一起，而反例的得出则往往导致认识的深化和理论的重大发展。
例如为了探求函数的定义与联系的关系，就涌现出著名的狭里克莱函数P（x）=1，x为有理数0，x为无理数这个函数在实轴上处处有定义，但在实轴上却处处不连续，又如在微积分的初期研究中，主要是研究连续函数，人们通过反例y=x，x∈R在R上连续，但在x=0不可导，得到了连续未必可导的结论。
18世纪后期的一些数学家认为连续函数至少在某些点处可以微分，然而德国数学家维尔斯特拉斯却在1866年找到了一个处处连续而又处处不可微的函数，这种奇异的反例发现，不仅没有影响到函数连续性概念的研究，相反地，对于函数连续性概念得到了更为深入的理解。
数学的奇异美
数学的奇异美数学的奇异美00审美趣味和数学趣味是一致或相同的(贝尔)．美在于奇特而令人惊异．培根说过：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特．”他又说：“美在于奇特而令人惊异．”数学中有许多变异现象，它们往往与人们预期的结果相反(有些则是人们没有认清而作出的错误判断，有些则是有悖于通常认识的结论)，令人失望之余，也给了人们探索它的动力．奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着道理与规律．俗话说“黄山归来不看岳”，看来黄山之美，可谓众名山之冠了．黄山的美在哪里？在其奇峰怪石、悬崖峭壁、深谷幽壑、古松苍柏、清泉碧潭，更令人赞叹、感慨的是：登山路径的险峻，危阶千级，形同壁立，可谓“半山悬古刹，云端挂天梯”．数学之美有如黄山，它既有奇例妙题，又有深境幽域，探索它的一片艰辛，胜利后的一丝幸悦，犹如攀登黄山的情趣．让我们来看看数学中的这些奇异，领略一下其中的奥妙看上去它们似乎是“叛经离道”，有悖于人们期待的规律．奇异性是数学美的一个重要特性．奇异性包括两个方面内容：一是奇妙，二是变异．数学中不少结论令人赞叹，因为其巧妙无比，正是因为这一点数学才有无穷的魅力．变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点．变异有悖于人们的想象与期望，因此就更引起人们的关注与好奇．凡是新的不平常的东西都能在想象中引起一种乐趣，因为这种东西会使人的心灵感到一种愉快的新奇，满足它(心灵)的好奇心，将会使之得到原来不曾有过的一种观念．数学中许多新的分支的诞生，都是人们对于数学奇异性探讨的结果．在数学发展史上，往往正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索，弄它个水落石出！在平面几何的“尺规作图”中，把圆周等分成2、3、4、5、6等份均可作出，可是七等分圆周利用尺规却无法实现．然而若N为费尔马质数，则利用尺规可将圆周N等分(高斯定理)．勾股定理(国外又称毕达哥拉斯定理)是欧氏几何中一个重要的定理，这个定理用代数式可简单地表示为：c^2=a^2+b^2．(*),人们又把满足上面(*)式的正整数a、b、c称为勾股数组，比如3、4、5便是其中的一组．勾股数组有无穷多，它们的一般表达式为：a=2mn，b=m^2-n^2，c=m^2+n^2(m、n为正整数)．然而有无正整数满足a^3+b^3=c^3(这一点人们自然容易想到)？或者更一般地有无正整数a、b、c满足a^n+b^n=c^n？1640年前后，法国数学家费尔马在丢番图(古希腊数学家)的一本著作《整数论》的空白处写道：“n≥3时，方程x^n+y^n=z^n没有非零的整数解(据原意用今日的数学语言所描述)．我找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这儿太窄，无法把它写下．”这段迷人的话语吸引了无数著名的数学家．然而三百年过去了，人们至今未能找到它的公认的证明(这一点详见后文叙述)，虽然数学大师欧拉于1730年对n=3、4的情形，给出了猜想的证明；狄利赫莱给出了n=5时的证明；德国数学家库默1848年对某些更高次幂的情形下，对猜想进行了证明．利用库默的方法，借助于大型高速电子计算机，人们已证得n＜105(包括它们的倍数)结论是成立的．法国科学院曾于1816和1850年两度以3000法朗悬赏，德国也于1908年设了十万马克的奖金(这笔基金是Wolfskoel博士于1908年遗赠的)，但时至今日，仍无人问津(据说，当年的数论专家朗道，为了应付“解答者”，曾印了不少明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士，你对费尔马猜想的证明已收到，现予退回，第一个错误出现在第＿页第＿行．”)人们也曾怀疑当年的费尔马是否真的找到了问题的证明．1983年，西德一位年仅29岁的大学讲师法尔丁斯(Falting)，在证明这个猜想上取得了突破性的进展．他证明了：n≥4时，x^n+y^n=z^n至多只有有限组正整数解．说的详细些，他证明了与费尔马大定理有关的Mordell猜想：(u，v)平面上任一亏格大于等于2的有理系数曲线F(u，v)=0(即该曲线至少有两个“洞”)最多只有有限个有理点．而n≥4时，费尔马曲线u4+v4=1的亏格≥2．这一结果引起了国际数学界的震动．人们认为这可能是“本世纪解决的最重要的数学问题，至少对数论来讲，这个结果已达到本世纪的顶峰．”(为此他获得1986年度数学最高荣誉菲尔兹奖)它的结果也证明了1922年英国数学家莫德尔提出的“关于二元有理系数多项式解的个数的猜想．”当然，这距离费尔马猜想的完全解决，还有一段不小的距离，然而这个突破也许可能导致问题的最后解决，这正是人们所期待的．(几年前报载，费尔马大定理已为日本东京大学38岁的宫冈誉市教授证得，然而他的证明后来发现了漏洞．1993年夏，Wiles在剑桥大学的学术报告会上也宣布他已证得费尔马猜想，人们在研究他的报告中同样发现了漏洞，后来Taylor和Wiles再次撰文试图补救，但实际上他未能做到这一点．直至1994年9月经不少数学家的努力终于补上了这个漏洞，据信问题获解)复数域上的 n(≥1)次方程在复数范围内至少有一个根．这便是著名的“代数基本定理”．关于这个定理，早在1629年法国学者日拉尔便有猜想，1746年法国的达朗贝尔给出定理的一个不太严格的证明，直到1799年，德国数学家高斯给出这个定理的严格证明，后来他又给出了三种其他证法．一元三次方程解法较复杂，公元四世纪，希腊人已知道某些特殊三次方程的解法；公元十一世纪阿拉伯学者卡牙姆也系统地研究过三次方程解法，但一般三次方程求根公式则是1545年意大利的卡丹在他的《大法》一书中给出的．尔后，卡丹的学生弗拉里给出了一元四次方程的求根公式．人们希望能循着二次、三次、四次方程的成果去寻找n(n≥5)次方程的公式解(这是据代数学逻辑发展的必然和其内在美完整性探求的需要)．然而事与愿违，经过许多数学家近三百余年的努力，结果仍然是渺茫．年青的挪威数学家阿贝尔总结了前人的教训．在拉格朗日、鲁菲等人的成果基础上证明了：一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出．这儿所讲系“一般”代数方程，对于某些特殊的方程如x^n-p=0，它的解可用公式给出．法国的青年数学家阿贝尔彻底解决了这个问题，他给出了n次方程可用公式解的充要条件(且由此而创立了“群论”这个数学分支)．为了克服或解释数学中的“奇异性”寻求“和谐”，常使数学概念得以拓广，从而数学本身也得以发展．这方面例子很多，我们后文还将再行讨论，这儿先来看两个例子．数学家希尔伯特说，数学的本质是什么？就是提出问题和解决问题．那么，凡是提出的数学问题都可以解决吗？希尔伯特又说：“在数学中没有不可知！”这句充满乐观主义的名言久为后人传颂．但正如前面我们说过的那样，从本世纪三十年代以来，人们却在数学中发现了一些“不可知”的问题，引起了极大轰动．著名的“希尔伯特第十问题”，正是一个“不可知”的问题．这个问题是针对丢番图方程提出来的．所谓丢番图方程，是指具有有理整系数的不定方程，这里仅研究它的整数解．例如，方程2x2-4y=3，它没有整数解；而方程4x-y=3却有许多个整数解．那末，对于许许多多的丢番图方程，究竟哪个有解，哪个无解呢？希尔伯特在第十问题中认为，可以建立一种方法来判定它们．为了得到这个方法，数学家们整整奋斗了半个多世纪，仍然莫衷一是．直至1970年，一位年方22岁的前苏联青年马蒂雅塞维惊人地证明了，希尔伯特所期望的“判定方法”是不存在的，即“希尔伯特第十问题”是不可解的．说到“不可解”，人们可能想到大概是问题太难了，解不出来；或者是因为条件限制才不可解．例如，仅用圆规和直尺三等分任意角就是不可解的．其实这是截然不同的两个概念．“问题难”，显然不影响它的可解性；而对于“三等分任意角”，只要取消对“工具”的限制就可解了．但是，像“希尔伯特第十问题”那样的问题，是用任何计算方法都解决不了的．对此，在1936年英国20岁的青年图灵曾作出了开创性的研究．他从理论上证明了“不可解问题”的存在性，并且建立了判定方法．此后人们陆续地发现了一些不可解问题，例如，不可解的字问题、停止问题，以及上述希尔伯特第十问题等等．这样，数学问题就被划分为“可知”与“不可知”的两大类了．不可解问题的出现似乎降低了数学计算的威力，其实不然．实际上是人们计算了几千年之后，刚刚明确地认识到“计算”的真实含意．另外，通过对上述问题的研究，图灵早在电子计算机产生之前．就在理论上证明了它的可能性和实用范围．即凡是可计算的问题，在理论上都可以通过计算机解决；而不可解的问题．就是计算机也无能为力．“货郎担问题”本是一则数学游戏，当人们在实际问题中发现了它的价值后，问题面貌却焕然一新了．1979年11月，美国《纽约时报》刊载一篇标题为“苏联的一项发明震惊了数学界”的报道，内容大意是：一位名叫哈奇扬的苏联青年数学家，1979年1月发表一篇论文，提出一种可以用来解决一类很困难问题的方法．这类问题与有名的“货郎担问题”有关．稍后，人们查阅了有关文献后才发现这是一篇夫实的报道．什么是货郎担问题呢？“货郎担问题”，它又称为“推销员问题”．问题是这样的：假设有一个货郎，要到若干个村庄去售货，最后仍回到出发点．问他应如何走才能使他的总行程最短？对于三、五个村庄来说，问题并不难解决，只须先列出全部可能的路线后，再逐个加以比较便不难找出这条路线来，但当村庄数目很多时，运算次数增长得很快，以至连计算机也无能为力．利用数学归纳法不难推算得：当村庄数是n时，货郎将会有(n-1)！条路好走，计算每条路的长再进行比较，这样须进行n！次运算．而n！这是一个随n增加极快的数字．仅以n=30为例，这大约要进行2．6×1032次运算，就是用10亿次／秒的电子计算机来处理，也需8千万亿年才行．而哈奇扬解决的是另一类问题(线性规划问题的多项式算法问题，这一点我们前文已经介绍过)，即线性规划“好的”算法存在与否问题，它虽与货郎担问题提法相似，但它远不如货郎担问题那么复杂．货郎担问题的具体解法，仍然是一个世界级的难题．。
数学的奇异美
数学娱乐圈数学的奇异美 奇异性是数学美的一个基本内容.一般地说,奇异性包含有新颖性的涵义,颇有一点“出乎意料”和“令人震惊”的意味.这也就是说,那种被称为奇异的东西(如数学中的结论、方法等),所引起的不仅是赞叹,而且还有惊愕和诧异.数学家徐利治说:“奇异是一种美,奇异到极度更是一种美.”数学在很多方面都体现了奇异美,其中之一便是真理的隐含,数学中很多定理的结论是出人意料的;其二是数学方法的新颖,解数学题无非是将已知条件和求证结论建立起令人信服的联系,而在这些联系中有些容易想到,有些则是意想不到的.庞加莱曾指出:“我们不习惯放在一起考虑的某些对象之间不期而遇所产生的美,使人有一种出乎意料的感觉,因为它为我们揭示了以前没有认识到的亲缘关系”.比如,在某些定理的学习过程中就可能会发出“它们之间竟有这样的规律”的感慨;学习解析几何的时候,常可获得数与形之间豁然贯通的满足;当你突然发现一个过去证明了的问题能用新学到的知识给出更简证明时,也同样能领略到这种不期而遇的奇异美.当许多数学家致力于证明欧几里得第5公设,经过多年的努力仍然毫无收获时,俄国数学家罗巴切夫斯基另辟溪径,突出奇想,他把第5公设改变一下,换成另一个公设,结果引出了一个完全不同于欧氏几何的新几何体系.使人惊叹不已,许多数学家被这种新奇之美所陶醉.在数学发展史上,挪威数学家阿贝尔关于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”就是一个奇异的结论.这在当时是一个令人难以置信的结果.因为,尽管人们始终未能找出这样的求解公式,但大部分数学家仍然认为这种公式是存在的,而且,总有一天将为人们所发现.然而,阿贝尔却证明了这种公式是根本不存在的.这一奇异结论,令人感到数学世界真是美妙无比、变化万千.再如,著名的欧拉公式e-2πi=1,若仅仅把它看成一个数学表达式,就不会引起人们对它的任何兴趣,但若考察一下表示这个关系的要素和运算性质,就不能不惊异这个关系的高度的神秘性和极度的不可思议,e是理论上自然对数的底,π是圆周率,它们都是很重要的数,而且都是很重要的超越数,1和i是复数的最基本的单位,2是接在1后面的一个原始数,象这样一些构成数学基础并在数学中有重要意义的数1,2,e,π,i之间,有表达式如此简单的关系存在,这难道不令人非常惊奇吗?难道还不能给人一种强烈的美的感受吗?另一个十分有趣的例子就是蒲丰用投针求π的近似值.1777年的一天,蒲丰突发奇想,请许多宾朋来到家里,做了一个奇特的试验.他把事先画好了的一条条等距离的平行线的白纸铺在桌面上,又拿出一大把质量均742003年第13期 数学通讯匀长度为平行线间距离一半的小针,请客人把针一根根随便扔到纸上.投完后经过统计,结果是共投针2212次,其中与任一平行线相交的有704次.然后蒲丰宣布说,圆周率π的近似值就是2212704=3.142.并指出,投的次数越多,越精确.这个试验的确使人震惊,π竟然和一个表面上看风马牛不相及的随便投针试验沟通在一起.然而这的确是有理论根据的,这可利用几何概率的知识来进行说明.这种计算π的方法,新颖奇特,充分显示了数学方法的奇异美.数学中奇异美的例子不胜枚举,如尺规作图的三大难题不可解问题,四元数理论的建立,素数个数的平均分布,七桥问题的解决,数学问题的各种反例等等.然而欧拉利用类比方法求出自然数平方的倒数之和,要算是奇异美的一个典范.数学家贝努利(1654—1705年)发现过许多无穷级数的和,但是他始终未能求出1+122+132+…+1n2+…他写道:“假如有人能够求出这个我们直到现在还求不出的和,并把它通知我们,我们将会感谢他.”这个问题引起了大数学家欧拉的注意,他经过巧妙的构思,奇特地把三角方程和代数方程进行了类比,极其完美的得到了答案.欧拉第一次把类比法引入到数学研究中去.类比法虽然并不严格,但是却很有启发性,因此具有很高的创造性价值.欧拉的这种新奇想法,使人耳目一新,与文学中那种奇峰突起的“神来之笔”相似,令人拍案叫绝,体会到一种奇特新颖之美感.欧拉的具体做法是这样的:设2n次方程b0-b1x2+b2x4+…+(-1)n b n x2n=0有2n个不同的根±β1,±β2,…,±βn,则b0-b1x2+b2x4+…+(-1)n b n x2n=b0(1-x2β12)(1-x2β22)…(1-x2βn2).比较两边x2的系数知,b1=b0(1β12+1β22+…+1βn2).欧拉又考察了三角方程sin x=0,写成级数展开形式即为sin x=x1-x31·2·3+x51·2·3·4·5+ 0由于它有无穷多个根:0,±π,±2π,…,因此就把它看作无限次方程.欧拉抛去0这个根,他用x除这个方程的两边,得:sin xx=1-x22·3+x42·3·4·5 -x62·3·4·5·6·7+ 0它的根为±π,±2π,±3π,….欧拉把它与前面的2n次方程相类比得:1-x22·3+x42·3·4·5-x62·3·4·5·6·7+…=(1-x2π2)(1-x24π2)(1-x29π2)….且 12·3=1π2+14π2+19π2+…,所以1+14+19+116+…=π26.这就是贝努利未能得到的那个级数的和.这种做法虽然不太严格,但思路奇特,富于创造.给人的刺激犹如一出好的戏剧,使人得到美的享受.当然,利用今日的数学分析证明这个公式是很简单的,但在当时,欧拉大胆地运用这种出人意料的类比方法的开拓精神,实在令人敬佩之至.而且让人感受到一种奇异的美感愉悦!(山东曲阜师范大学数学学报编辑部李正银提供 273165)84数学通讯 2003年第13期。
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数学美的奇异性
数学显示可能不正常，请看原文/liuruifeng/1118441.html
◇没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特。
美在于奇特而令人惊异。
（培根R.Bacon）
◇逻辑是贫乏的，而数学是最多产的母亲。
（阿诺尼姆斯Anonymous）
奇异指奇妙和变异。
变异是指数学理论拓广或统一性遭到破坏后，产生新方法、新思想、新概念、新理论的起点。
变异有悖于人们的想像与期望，因此就更引起人们的关注与好奇。
数学中许多新分支的诞生都是人们对数学奇异性探讨的结果。
1．奇异美
◇在绘画与数学中，美有客观标准，画家讲究结构、线条、造型、肌理，而数学则讲究真实、正确、新奇、普遍……（哈尔莫斯P.R.Halmos）
◇审美趣味和数学趣味是一致或相同的。
（贝尔E.T.Bell）
◇奇异中蕴含着奥妙与魅力，奇异中也隐藏着真理与规律。
“希尔伯特第三问题”、“平面铺嵌问题”、“欧拉公式”、“单纯形法”、“四色问题”、“货郎担问题”……
2．有限美
◇十进计数的发明恐怕是科学史上最重要的成就。
（勒贝格H.Lebesgue）
科学需要一种能够简练地、合乎逻辑地表达的语言，这种语言便是数学。
（哈尔芬E.Halhen）
（萨顿O.G.Sutton）◇自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。
◇无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议??也许正因为“有限”才显得它“与众不同”。
美国哈佛大学数学家戴柯尼斯（Deknis）和哥伦比亚大学的数学家贝尔（Bell）发现：一副扑克洗7次才算最匀净。
由数列计算得多于此数，过犹不及。
广告费用的投入与效果，首先它遵循经济活动中著名的S曲线所描述的规律，从曲线图上可以看出：投入费用在某一段时间时广告最为有效。
据统计，广告刊播次数以6次左右为最佳。
美国著名的广告学家克鲁曼（H.Kluman）曾给予明白的解释。
电子邮件的“六阶现象”：电子邮件平均辗转6个人之后均到达陌生收件人手中。
“项”与“个数”的最少问题。
中国“七巧板”游戏。
“迷宫”（道路有限，走法无穷）。
平面上的二次曲线有九种标准形状；空间二次曲线有17种不同类型；不定方程的有限整数解问题；费马数的分解问题；“3x+1猜想”……
3、神秘美
◇数学和诗歌都具有永恒的性质。
（卡尔米采尔R.D.Carmichael）
◇哪里有数，哪里就有美。
（普洛克鲁斯Proclus）
◇数学关注抽象，却闭口不谈时空宇宙。
（萨顿O.G.Sutton）
◇数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们，这是数学的趣味、魅力所在。
它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跳进了数学的深河”（韦尔语）。
数学的诸类问题中，最显见、最简单、最令人感到神秘的莫过于数的性质了。
人类社会中，数是一种最独特，但又最富有神秘性的语言。
生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的构建、自然界的分类、人类的繁衍、生活的规划、学校的教育……无不与数有关。
“完全数”（在自然数中恰好等于自身的全部真因子之和的数，如6，28，496，8182等，且完全数的全部因子的倒数和都等于2。
）
“亲和数对”（最有名的一对是220和284，也是最小的一对，是毕达哥拉斯2000多年前发现的。
）△堆叠数论中的华林问题：
1+2=3，（这是自然数中唯一的三个相继数列组成的和式）
32+42=52，
33+43+53=63，（两世纪前欧拉发现）
304+1204+2724+3154=3534，（半个世纪前迪克森Dickson给出）
275+845+1105+1335=1445，（1970年吴子乾找到）
766+2346+4026+4746+7026+8946+10776=11416，（1966年塞尔特瑞吉Seltrdge给出）
127+357+537+587+647+837+857+907=1027，（1966年塞尔特瑞吉Seltrdge给出）
28+38+58+68+88+98+108+148+158+218+268+368+478+658+938+1378
+2278+3798+ 9588+9608+9618+…+10668+10678（自960起连续108项）=18278，（1972年吴子乾找到）
69+99+159+339+369+429+549+639+729+1089+1359+1749+2379+4059+
6159+9189+ 15999+30699+33629+63369+63399+…
+70869+70899+70929+134489+201729+268969+369829+302589+
403449+437069+504309+1681009+2218929+3395629+5009389+
7598129+13985929+25820169+77796689+84419829+84353449
=93396399。
（其中6939至7092为公差为3的等差数列连续共52项，1976年吴子乾找到）
△“金蝉脱壳”：
123789+561945+642864=242868+323787+761943，
1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432；
23789+61945+42864=42868+23787+61943，
237892+619452+428642=428682+237872+619432；
3789+1945+2864=2868+3787+1943，
37892+19452+28642=28682+37872+19432；
789+945+864=868+787+943，
7892+9452+8642=8682+7872+9432；
89+45+64=68+87+43，
892+452+642=682+872+432；
9+5+4=8+7+3，
92+52+42=82+72+32。
若改为依次抹去末位数字，上述结论依旧成立。
△“等幂和”：
在{1，6，7，23，24，30，38，47，54，55}和{2，3，10，19，27，33，34，50，51，56}两组数字中，它们的1次方，2次方，一直到8次方幂和相等！
“史密斯数”：美国数学家威兰斯基A.Welanski与其姐夫史密斯A.W.Smith打电话时发现他的号码4937775是一个怪数，4937775=3×5×5×6×5×8×3×7，4+9+3+7+7+7+5=3+5+5+6+5+8+3+7。
最小的史密斯数为4，圣路易斯的密苏里大学的麦克唐纳W.McDonald证明了史密斯数有无穷多个。
“鲁兹B.Ruth?阿伦H.Aaron数对”：对于数对（n,n+1），n的全部质因子之和与n+1的全部质因子之和相等。
如（714，715）。
数学越是进入抽象思想更加极端的区域，它就越在分析具体事实方面相应地获得脚踏实地的重要成长。
4．常数美
◇大哉言数.姬昌(周公)
◇整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉.(伯克霍夫G.D.Birkhoff)
◇上帝创造了整数,其他一切都是人造的.(克罗内克尔L.Kronecker)
数学中的某些常数，有着特殊的魅力(因而也蕴含着美)，比如黄金数0.618，斐波那契数，圆周率，化学中的阿伏加德罗（A.Avogadro）常数，万有引力耦合常数……。