广东省六校2021届高三数学第二次联考试题 理

广东省六校2021届高三数学第二次联考试题 理
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合2{|230}, {|21}x P x x x Q x =--<=>，则P Q =( )
A. {|1}x x >-
B. {|1}x x <-
C. {|03}x x <<
D. {|10}x x -<<
2. “00m n >>且”是“0mn >”成立的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.不充分不必要条件
3. 已知0.230.3log 0.3, log 0.2, 0.3a b c ===，则( )
A. a b c <<
B. a c b <<
C. b c a <<
D. c a b <<
4. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部 分叫棒
头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
5. 函数3
3()cos ||
x x f x x x -=+在[],ππ-的图像大致为
A. B. C. D.
6. 已知非零向量a,b 满足1,2==a b 且(2()-⊥+a b)a b ，则a 与b 的夹角为
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2
π
7. 已知函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，
且()()f x f x -=-，则 A.()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 B.()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 C.()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭单调递减 D.()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 8. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若已知391, 9a S =-=，则
A. 310n a n =-
B. 2n a n =-
C. 217
22n S n n =- D. 28n S n n =-
9. 关于函数f (x )＝tan|x |+|tan x |有下述四个结论：
① f (x )是偶函数; ② f (x )在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减;
③ f (x )是周期函数; ④ f (x )图象关于⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2π对称 其中所有正确结论的编号是( )
A. ①③
B. ②③
C.①②
D. ③④
10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就, 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。

为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行，2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上。

设地球的质量为1M ，月球质量为2M ，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万
有引力定律，r 满足方程
121223()()M M M R r R r r R +=++. 设=r
R
α。

由于α的值很小，因
此在近似计算中345
32
3+331ααααα+≈+（）
，则r 的近似值为（ ） A
B
C
D
11. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，点,D E 分别是,PB BC 的中点，
17,13,22,2,3======AE AD PE DE PD PA ，则球O 的表面积为（ ）
A. 24π
B.25π
C.41π
D.50π 12. 已知函数a ex e x f x
+-=)(与x
x x g 1
ln )(+
=的图象上存在关于x 轴对称的点， 则a 的取值范围是
),.[ ),1.[ ]1,.( ],.(+∞-+∞---∞--∞e D C B e A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为________， 14. 已知ABC △的内角A B C ，，
的对边分别为a ，b ，c ，若()()a b c a b c ac ++-+=， 则tan B =________.
15. 数列{}n a 满足*
111() (,1)2n n n n a a a a n N n +--=-∈>，1811,128a a ==，则2a =______。

16. 已知不等式222x xe kx e ≥-恒成立，则k 的取值范围是______。

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知向量(2cos , 3cos ), (cos , 2sin ), x x x x x ==∈a b R , 设函数()f x =⋅a b . (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期.
(Ⅱ) 求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
18. (12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 2 (*)n n S a n N =-∈ .
(1) 求数列{}n a 的通项公式
(2) 记()21log n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12
111
1n
T T T +++<
19.（12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，
5, 8AB AC ==，点, E F 分别在, AD CD 上，
5
3
AE CF ==，EF 交BD 于点H . 将DEF ∆
沿EF 折到△D EF '的位置，D O '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角A BD O '--的余弦值.
20. （12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .
已知sin sin()2
A C
a b B C +=+. (1) 求B ；
(2) 若ABC ∆为锐角三角形，且2c =，求ABC ∆面积的取值范围。

21. (12分）两县城A 和B 相距30km ，现计划在两县城外位于线段AB 上选择一点C 建造一个
两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和. 记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ；且当垃圾处理厂C 与城A 距离为10km 时对城A 和城B 的总影响度为0.029.
(1) 将y 表示成x 的函数；
(2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处
理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．
22. (12分）已知函数x ax x x x f -++=2
ln )2()(．
(1) 若0=a ，求)('x f 的最小值；
(2) 若()f x 在),0(+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3) 若1a =-，1212()(), ,f x f x x x =<且 求证：122x x +>．
2021届广东六校高三第二次联考试题
理科数学
本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.C
2.A
3.B
4.D
5.A
6.D
7.D
8.C
9.C 10.A 11.C 12.B
7.解：()2)4
f x x π
ωϕ=
++，所以2ω=，又()()f x f x -=-知f(x)为奇函数，
()24
k f x x π
ϕπ∴+
=∴，选D
10.答案：A 解答：
121121
22322222()(1)()(1)M M M M M M R r R r r R R R R ααα+=+⇒+=+++
所以有23
2
11222
133[(1)](1)(1)M M M ααααααα++=⨯+-=⨯++
化简可得34533
22112
1
333(1)3M M M M M αααααα++=⨯≈⨯⇒=+，可得2313M r R M =。

11. 由条件知
22222,,,
3,4,(2)344441PA PB PB PC PC PA PA PB PC R S R ππ
⊥⊥⊥====++∴==球面 12. 解：函数a ex e x f x
+-=)(与x
x x g 1
ln )(+
=的图象上存在关于x 轴对称的点 即方程01ln =+
++-x x a ex e x
有解，)(1ln x h x x ex e a x
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++--=
a 的取值范围是)0( )(>=x x h y 的值域M
()22111'()(1)1'()0;01'()0;1'()0;
x x h x e e e e x x x x x h x x h x x h x ⎛⎫⎡⎤
=--+-=--+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
∴=⇔=<<⇔>>⇔< 所以1)1( )(max -==h x h
显然)(x h 图象连续且当-∞→+∞→)(,x h x 所以a 的取值范围(]1,-∞- 解法2：（特殊解法）
a f x f x f x x f x e e x f x ==∴>><<<∴-=)1()(;0)(',1;0)(',10)('min
函数a ex e x f x +-=)(与x
x x g 1
ln )(+
=的图象上存在关于x 轴对称的点即 函数a ex e x f x
+-=)(与
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-=-=x x x g x m 1ln )()(的图象上存在公共点 max 22111
'()'()()(1)1x m x g x m x g x x x
-=-=-+=-∴=-=-
如图示当且仅当max min )()(x m x f ≤即1-≤a 时满足条件。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 答1 14.答3- 15.答1
2
16. 答20,3e ⎡⎤⎣⎦ 解析：
13．解：根据平面向量的数量积公式
=⋅=⋅DA DE CB DE θcos ||||DA DE ⋅，
由图可知，||cos ||DA DE =⋅θ，因此1||2==⋅DA CB DE ，
14. ()()a b c a b c ac ++-+=，ac b c a ac b c a -=-+⇔=-+⇔2
2222)(
2221
cos 0120222
a c
b a
c B B B ac ac π+--===-
<<∴=︒，则tan 3B =-.
15. 解1n n n b a a +=-，则1
1
,2n n b b -=
178187762111121112812
b a a a a a a a a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
∴-=-+-++-==--
121211
22b a a a ∴=-=-∴=
16. 已知不等式222x xe kx e ≥-恒成立，则k 的取值范围是______。

解：直线l :22y kx e =-是斜率为k 且过点2(0,2)e -的直线，22(),'()(12)x x f x xe f x e x ==+
易知1,'()0,()2x f x f x <-<时单调递减；1
,'()0,()2
x f x f x >->时单调递增.
12min 11()()222f x f e e -=-=->-，当11(,0],(),02x f x e -⎡⎤
∈-∞∈-⎢⎥⎣⎦
所以0k <时，20000, 20()x kx e f x ∃<->>不符合条件 所以0k =时，22 22()kx e e f x -=-<符合条件
0k >时，若220,()22x f x e kx e ≤>->-则，所以只需再考虑0x >的情况：
法一：
如图示设00k k =>时直线l 与()y f x =相切，则当且仅当00k k ≤≤时符合条件
设直线l 与()y f x =相切于点()
02000,,0x
x x e x >，则00222000000(12), 2x x k e x x e y k x e =+==-
0002222220000 (12)2x x x x e e x x e e x e ∴=+-⇔=所以22
001,30,3x k e k e ⎡⎤∴==∴∈⎣⎦
注2222()(0), '()(22)0, ()x x g x x e x g x e x x g x =>=+>∞在(0,+)递增，且2(1)g e =. 法二：0x >时：
()222222232min 224(),'()2(),'()40 (0),
'()0,'(1)001,'()0;1,'()0;()(1)3.
x
x x
e e e
f x e f x e
g x g x e x x x x
f x f x f x x f x f x f e =+=-==+>>+∞=∴<<<>>∴==在单调递增；
22220,3x
e x e k k e x
∴>+≥⇒≤时
203k e ∴≤≤
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
解:(Ⅰ) (2cos ,), (cos , 2sin ), x x x x x =∈=a b R ,
()f x =a·
b 2cos cos 2sin x x x x =⋅+⋅ ..................................
..........1分
2cos21x x =++ ...................................
..........3分
122cos212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭
. ..............................................................4分
2sin(2)16x π
=++. ............................................
.....................5分 所
以
ππ==
2
2T , 所以
()
f x 最小正周期为
π. ......................................6分
(Ⅱ)
7[0,](2)[,]2666
x x ππππ
α∈+∈当时，=， ..................................
.........7分
71
sin(2)sin [(),()][,1]6622
x f f πππα∴+=∈=-. ....................................
......9分
()2sin(2)12sin 1[0,3]6f x x π
α=++=+∈
所
以
()
f x 在
0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别为
3, 0. ............................10分
18 解：(1) 由2 2 (*)n n S a n N =-∈得 112 2 (2), n n S a n --=-≥ ....................1分
11112 2 2a S a a ==-∴= ........................................................
............2分
11 22 n n n n n a S S a a --=-=-. ...........................................
.................3分
11
2 2 (2)n
n n n a a a n a --∴=∴
=≥ ...............................................................4分
∴
数
列
{}
n a 是首项
12
a =且公比
2
q =的等比数
列. ...........................5分
112n n n a a q -∴==. .....................................................
...........................6分
(2)()()
1
212log log 22
21n n n n n b a a n ++==⋅=+,12n n b b -∴-=. .................7分 ∴数列{}n b 是等差数列，11
()(2)2
n n T n b b n n ∴=+=+ ....................8分
11111(2)22n T n n n n ⎛⎫∴
==- ⎪++⎝⎭
...................10分
12
111111111111111111111232242352212112211111 1 (*)2212n
T T T n n n n n n n N n n ∴
+++
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+--<∈ ⎪++⎝⎭
...................................12分
19.（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得
AE CF
AD CD
=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥.........................................2分 由5AB =,8, 4AC AO ==，得3DO BO ===.
由//EF AC 得
1
3
OH AE DO AD =
=.所以1OH =，'2D H DH ==. 于是22222'215'D H OH D O +=+==，故'D H OH ⊥. .............. 4分 又'D H EF ⊥，而OH
EF H =，所以'D H ABCD ⊥平面. ........5分
B
（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -， 则()0,0,0H ，()4,1,0A --，()0,4,0B -，()4,1,0C -，()'0,0,2D ，
(4,3,0)BA =-，()'0,4,2BD =. .......................7 分
设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则0'0
m BA m BD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即1111430420x y y z -+=⎧⎨+=⎩，
所以可以取()3,4,8m =-...................................................9分 因菱形ABCD 中有BO OC ⊥，又由（1）知',D H OC ⊥'OC BD O ∴⊥平面
所以()4,0,0n OC ==是平面'BOD 的法向量， ................10分 设二面角'A BD O --为θ，由于θ为锐角， 于是cos θ
=cos ,89m n m n m n
⋅
<>=
=
=
. 因此二面角'A BD O --. ........................12分
20.解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin()2
A C
A B B C +=+．....................2分
又因为ABC ∆中180A B C ︒++=可得sin cos 22
A C B
+=，sin()sin B C A += 所以sin cos sin sin 2
B
A B A =，
........................................4分
因
为
ABC
∆中sin A
≠
0，故
cos
2sin cos 222
B B B
=． .....................................5分 因
为
cos
02
B
≠，故
1sin
22
B =，因此
B
=60°．..........................................................6分
（
2
）
由
题
设
及
（
1
）
知
△ABC
的
面
积
1sin 2ABC S ac B =
=△．...............................7分
由
正
弦
定
理
得
sin sin c A
a C
=
． .....................................................8分
()2sin 120 1.sin tan C C
C
︒-=
=
+ ........................................9分
由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°， 由
（
1
）
知
A +C =180°
-
B ＝120°，所以
30°<C <90°， ......................................10分
故tan C ⎫
∈+∞⎪⎝⎭
.
.............................11分
所以14a <<ABC S <<△ 因
此
，
△ABC
面
积
的
取
值
范
围
是
⎝． ...............................................12分
21. ⑴据题意，km AC x =，()30km BC x =-，
0,300030x x x >->∴<<..........1分
且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为22.7
x
，对城B 的影响度为
()230k x -， 因此总影响度
()2
22.7(030)30k
y x x x =
+<<-． .....................................3分 又因为当垃圾处理厂C 与城A 距离为10km 时对城A 和城B 的总影响度为0.029. 所以222.70.0290.81020
k k +=∴=．所以()222.70.8(030)30y x x x =+<<-． ..........5分 (2) 因为
33
3333
2.70.827(30)8220.2(30)(30)x x y x x x x --'=-⋅+⋅=-⋅--．....................................
.8分
由0y '=解得()()3
3
330(2)330218x x x x x -=∴-=∴=⎡⎤⎣⎦
． 由0y '<解得()()33
330(2)330218x x x x x ->∴->∴<⎡⎤⎣⎦ 由0y '>解得()()33330(2)330218x x x x x -<∴-<∴>⎡⎤⎣⎦
所以y ，y '随x 的变化情况如下表：
由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增， (10)
分
18
172
x y y ===
最小值，此时18x =， .....................11分
故在线段AB 上存在C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小， 该
点
与
城
A 的距离
18km x =． ...................................12分
22. 解：(1)函数)(x f 的定义域为),0(+∞，
)('x f ax x
x 22
ln ++
=， ...............................................................................1分 若0=a ，记)(')(x f x g =，则()02
ln )(>+
=x x
x x g ()0 2
21)('22>-=-=
x x
x x x x g .................................................................2分
0)(',2 ;0)(',20>><<<∴x g x x g x
)(x g ∴的单调减区间为()2,0，单调增区间为()+∞,2. 12ln )2()(min +==∴g x g
)
('x f ∴的最小值为
12ln + ....................................................................
.3分 （2）
()f x 在),0(+∞上单调递增当且仅当()'()0 0f x x ≥>恒成立，................4分
即2
'()ln 20 (0)f x x ax x x
=+
+≥>恒成立， '(1)2201f a a =+≥∴≥- .............................................
......................5分 (I) 若0≥a ，由（1）知
012ln )(2
ln 22ln )('0,0>+≥=+≥++=∴≥>x g x
x ax x x x f a x )
(x f ∴在
定
义
域
上
单
调
递
增
，
满
足
条
件 .....................................................6分 (II)若01<≤-a ，
a a
a
ae e a
e f 1
1122
1)('---++-=
令11t a =-≥，)2
1( )(22222)(2t t t t t e
t t e t t e t t e e t t m >≥-=-<-+=
()[)()[)22212'22021,1'2201,110()0
t t t t t t t t t e e e t e t t e t e e t e t t e e m t ≥⇒-=-≤-<⇒-+∞∴≥⇒-=-≤-<⇒-+∞∴≥⇒-≤-<⇒<在递减在递减 所以取,11≥-=a t 有111122'()()01a
a
a e f e m t a e a
-
--=-+-=<-
，不合题意 .......8分 综上所述，若()f x 在),0(+∞上单调递增，则a 的取值范围是[)+∞,0 .........9分 (2)法二：)0( 2ln 2)0( 022ln )('2>+≤-⇔>≥++
=x x
x x a x ax x x x f .......4分 记)0( 2
ln )(2>+=
x x
x x x h ，则 )0( 4
ln 4ln 1)('3
32>--=--=
x x x x x x x x x h .............................................5分
记)0( 4ln )(>--=x x x x x t ,则)0( ln )1(ln 1)('>-=+-=x x x x t 0)(',1;0)(',10<>><<∴x t x x t x
0)(',0)(03)1()(max <<∴<-==∴x h x t t x t
)
(x h ∴在
)
,0(+∞上单调递
减 ......................................................................6分
()2ln 'ln 2ln 1lim ()lim lim 0lim lim 0'x x x x x x x x h x x
x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫
=+=+=== ⎪⎝⎭ (
根
据
洛
比
塔
法
则) .................................................................
...........7分
002≥∴≤-∴a a . .................................................
............................8分
(无单调性证明扣2分）
（3） 若1a =-，2()(2)ln f x x x x x =+--，2
'()ln 2 (0), '(1)0f x x x x f x
=+
->= 2221222
()'(), '()2 (0), '()<0'()(0,)x x g x f x g x x g x f x x x x -+-==--=>∴∴+∞在上单调递减
01'()(1)0,()(0,1) 1'()(1)0,()(1,)x f x f f x x f x f f x ∴<<>=><=+∞当时在上单调递增；
当时在上单调递减.
121212()(), 01f x f x x x x x =<∴<<< ...........9分
令()()(2) (01)d x f x f x x =--<≤，则
[]2222'()'()'(2)ln 2 +ln(2)2(2)(2)
44
ln (2)4ln 4(),(2)(0,1]
(2)144
01'()0,()(0,1)()(1)0,
'()0()(0,1)d x f x f x x x x x x x x x t l t t x x x x t t t l t l t l t l t t t
d x d x =+-=+
--+---=-+-=+-==-∈--<<=-=<∴>=∴>∴其中令当时在在递减，在上单调递增 .........11分 111121112211201()(1)0()(2) ()()(2) 21,1,()(1,)2 2.
x d x d f x f x f x f x f x x x f x x x x x <<∴<=∴<-∴=<-->>+∞∴>-∴+>又
在上单调递减
.........12分。