三角函数知识点及例题讲解
三角函数包含的知识点总结
三角函数包含的知识点总结一、基本概念1. 三角函数的定义三角函数是由角的正弦、余弦、正切等与该角的变量之间的关系来定义的。
在以角为自变量的函数中，这些关系通常用三角函数名称来表示。
角度单位可以是度，也可以是弧度。
2. 正弦、余弦、正切、余切的定义正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）是最基本的四个三角函数，它们的定义如下：正弦：sinθ = 对边/斜边余弦：cosθ = 邻边/斜边正切：tanθ = 对边/邻边余切：cotθ = 邻边/对边3. 三角函数的周期性正弦、余弦、正切、余切都是周期函数，周期为2π或π，即f(x+2π) = f(x)，或者f(x+π) = f(x)。
4. 三角函数的定义域和值域正弦、余弦、正切的定义域是全体实数；正弦、余弦的值域是[-1,1]，而正切的值域是整个实数集。
二、性质与公式1. 倒数公式tanθ = 1/cotθ，cotθ = 1/tanθsinθ = 1/cscθ，cscθ = 1/sinθcosθ = 1/secθ，secθ = 1/cosθ2. 三角函数的和差化积公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)3. 三角函数的倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A−sin^2Atan2A = 2tanA/(1−tan^2A)4. 三角函数的半角公式sin((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/2]cos((1/2)A) = ±√[(1+cosA)/2]tan((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/(1+cosA)]5. 三角函数的辅助角公式sin(180°−A) = sinAcos(180°−A) = −cosAtan(180°−A) = −tanAcot(180°−A) = −cotA6. 三角函数的同角变换sin(π−A) = sinAcos(π−A) = −cosAtan(π−A) = −tanAcot(π−A) = −cotA7. 三角函数的万能公式sinA+sinB = 2sin(A+B/2)cos(A−B/2)sinA−sinB = 2cos(A+B/2)sin(A−B/2)8. 三角恒等式sin^2A+cos^2A = 1，cot^2A+1 = csc^2A，tan^2A+1 = sec^2A三、函数图像和性质1. 正弦函数的图像和性质正弦函数y=sin(x)的图像是在直角坐标系中绕原点作周期为2π的振动，函数的最大值为1，最小值为-1，且为奇函数。
三角函数知识点及例题讲解
三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
如(；(3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等），.。
（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。
三角函数知识点及典型例题
三角函数知识点及典型例题三角函数知识点及典型例题§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角α终边相同的角的集合：{}|360,S k k Z ββα==+?∈.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α.3、弧长公式： R4、扇形面积公式： S=21 lr=21αr 2.§1.2.1、任意角的三角函数1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）_______sin r y =α，________cos rx=α，_____tan x y =α.3、αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一：()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+kk k （Z k ∈）5、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：22sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos ααα=. §1.3、三角函数的诱导公式1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=-3、诱导公式四：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=-4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=??-=-5、诱导公式六：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ-=??+=+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.§1.4.2、正弦、余弦函数的性质1、周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象1、能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.2、对于函数：()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ωπ2=T ，初相?，相位?ω+x ，频率πω21==f .第三章、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-tan()αβ-tan tan 1tan tan αβαβ-=+ . tan()αβ+tan tan 1tan tan αβαβ+=-二倍角的正弦、余弦、正切公式1、_cos sin 2_2sin ααα=，变形：cos α=ααsin 22sin .2、22cos2cossin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-变形1：21cos 2cos 2αα+=，变形2：21cos 2sin 2αα-=. 3、22tan tan 21tan ααα=- 1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === 2、余弦定理a A bc c b cos 222-+=变形 cosA=bca cb 2222-+b B ac c a cos 2222-+=变形 cosB=acb c a 2222-+c C ab b a cos 2222-+=变形cosC=abc b a 2222-+3、三角形面积公式： S =21absinC=21bcsinA=21acsinB 课本题(必修4)1.（P 11 习题13）若扇形的周长为定值l ，则该扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？22.（P 23 练习4）已知sin （4π-x ）=-51，且0<x<="">623.（ P 24 习题9(2)）设tan α=-21，计算αααα22cos 2cos sin sin 1--。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
三角函数_知识点(含例题)
一、三角函数_____目录：1、任意角的三角函数；2、同角三角函数的基本关系式及诱导公式；3、三角函数的图象与性质；4、函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用；5、两角和与差的正弦、余弦和正切公式；6、简单的三角恒等变换；7、正弦定理和余弦定理；8、正弦定理和余弦定理应用举例；1、任意角的三角函数；自主梳理1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．(1)象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)终边在x轴上的角表示为____________________；终边在y轴上的角表示为__________________________________________；终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．(4)弧度制把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．(5)度与弧度的换算关系360°＝______ rad；180°＝____ rad；1°＝________ rad；1 rad＝_______________≈57.30°.(6)弧长公式与扇形面积公式l＝________，即弧长等于_________________________________________________．S扇＝________＝____________.2．三角函数的定义任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③________叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x≠0)．(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．探究点一 角的概念例1 (1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限； (2)写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合；(3)若θ＝168°＋k ·360° (k ∈Z )，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．变式迁移1 若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．探究点二 弧长与扇形面积 例2 (2014·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？探究点三 三角函数的定义例3 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．变式迁移3 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．2、同角三角函数的基本关系式及诱导公式；1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：______________________________. 2．诱导公式(1)sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝__________，tan(α＋2k π)＝__________，k ∈Z .(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.(5)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. (6)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝__________，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝____________________________________. 3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：上述过程体现了化归的思想方法．探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值例1 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin 2x －cos 2x 的值；(2)求tan x2sin x ＋cos x 的值．变式迁移1 已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.探究点二 利用诱导公式化简、求值例2 (2014·合肥模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin ⎝⎛⎭⎫α－π2－cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－3π4的值．变式迁移2 设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α (1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. 探究点三 综合应用例3 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2co s(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式迁移3 (2014·安阳模拟)已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15，(1)求sin A ·cos A ；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．3、三角函数的图象与性质；1．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 值域 周期性 奇偶性单调性在______________________上增，在__________________________________上减在__________________________上增，在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数2.正弦函数y ＝sin x当x ＝____________________________________时，取最大值1； 当x ＝____________________________________时，取最小值－1. 3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1； 当x ＝__________________________时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴．探究点一 求三角函数的定义域例1 (2014·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (2014·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．4、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．XΩx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A2.图象变换：函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)，x ∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____叫做振幅，T ＝________叫做周期，f ＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为____________．y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为________．例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R )．(1)画出f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2014·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值．探究点三 三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．5、两角和与差的正弦、余弦和正切公式；自主梳理1．(1)两角和与差的余弦cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________.(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝ba，角φ称为辅助角．探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例1 求值： (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]2sin 280°； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．变式迁移2 (2014·广州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 (2014·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B的值．6、简单的三角恒等变换；1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2014·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2014·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3求证：sin 2x(sin x＋cos x－1)(sin x－cos x＋1)＝1＋cos x sin x.7、正弦定理和余弦定理；1．三角形的有关性质(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝________； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；(3)a >b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ；(4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________；(5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B 2＝cos C2.2．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理内容 ________________＝2Ra 2＝____________，b 2＝____________，c 2＝____________.变形形式①a ＝__________， b ＝__________， c ＝__________； ②sin A ＝________， sin B ＝________， sin C ＝________； ③a ∶b ∶c ＝__________；④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝________________；cos B ＝________________；cos C ＝_______________. 解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________.探究点二 余弦定理的应用 例2 (2014·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正、余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2013·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．8、正弦定理和余弦定理应用举例；1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．探究点一 与距离有关的问题 例1 (2013·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2013·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2014·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．。
三角函数知识点
三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=yx，定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来加深对三角函数知识点的理解，并对相关知识点进行总结。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
按旋转方向不同，角可分为正角、负角和零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算关系为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²)），则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）二、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图像：正弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是奇函数，在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图像：余弦函数的图像是一个周期为2π，振幅为 1 的波浪线。
性质：定义域为 R，值域为-1, 1，是偶函数，在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ （k∈Z）上单调递减。
3、正切函数 y ＝ tan x图像：正切函数的图像是由无数个周期为π的分支组成，其定义域为｛ x ｜x ≠ π/2 ＋kπ, k∈Z ｝。
性质：值域为 R，是奇函数，在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ ）（k∈Z）上单调递增。
三、三角函数的诱导公式1、同角三角函数的基本关系sin²α ＋cos²α ＝ 1 ，tanα ＝sinα ／cosα2、诱导公式sin( α ）＝sinα ，cos( α ）＝cosα ，tan( α ）＝tanαsin( π α ）＝sinα ，cos( π α ）＝cosα ，tan( π α ）＝tanαsin( π ＋α ）＝sinα ，cos( π ＋α ）＝cosα ，tan( π ＋α ）＝tanαsin( 2π α ）＝sinα ，cos( 2π α ）＝cosα ，tan( 2π α ）＝tanα四、三角函数的和差公式1、两角和与差的正弦公式sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβsin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ2、两角和与差的余弦公式cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβcos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ3、两角和与差的正切公式tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 3/5，且α为第二象限角，求cosα 和tanα 的值。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。
首先，我们来了解一下角度的度量。
角度可以用度（°）或弧度来表示。
一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。
接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。
3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。
四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。
因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。
tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。
例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。
必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解
第一章 三角函数 知识点详列一、角的概念及其推广 正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角 零角：射线不做任何旋转形成的角 负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割 记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一 象所在象限的判断 例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。
三角函数知识点及例题讲解
三角函数知识点1.特殊角的三角函数值：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==）3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-m m（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。
如(；(3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===L 等），.。
（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
三角函数知识点及典型例题
板块一 基础知识一、锐角三角函数的定义1. 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．2. 正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c =． 3. 余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． 4. 正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 5. 余切：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 从定义中可以看出，① 正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 、cot A 分别是正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住．三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot bA a=，三角函数 0︒ 30︒45︒60︒90︒sin A 012 22 321cos A 132 22 12 0tan A 03313-cot A - 3 1 33三角函数所以0sin 10cos 1tan 0cot 0A A A A <<<<>>，，，．四、三角函数关系 1. 同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2. 互余角三角函数关系：⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-； ⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； ⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-；⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：()cot tan 90A A =︒-． 3. 锐角三角函数值的变化规律：令1c =，锐角A ∠越小，则a 越小，则b 越大；当A ∠越大，则a 就越大，b 就越小，且a c b c <<，，所以当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．而正切值也是随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．可以应用0~90︒︒间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较角的正弦、余弦、正切、余切值的大小，其规律是：⑴A B 、为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >，cot cot A B <；⑵A B 、为锐角且A B <，则sin sin A B <，cos cos A B >，tan tan A B <，cot cot A B >．该规律反过来也成立．板块二 常用公式1. 和角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅；2. 差角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅；3. 倍角公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-； 4. 半角公式：21cos cos 22αα+=，21cos sin 22αα-=，sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； 5. 万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-；6. 积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--，1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--．7. 和差化积公式：cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=，sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=．板块一、三角函数基础【例1】 已知如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，.求sin A 和sin B 的值。
高考数学三角函数知识点及典型例题讲解
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 （答：一、三）5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。
二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。
五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。
因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。
第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结
第24讲三角函数概念及定义5种题型总结【考点分析】考点一：角的概念①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．④象限角的集合表示方法：考点二：弧度制的概念①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．②角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．③扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．考点三：任意角的三角函数①定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．考点四：任意角三角函数的性质如下：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－【题型目录】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示题型二：判断等分角的象限问题题型三：扇形的弧长、面积公式的计算题型四：任意角三角函数的定义题型五：三角函数值的正负判断【典例例题】题型一：与角α终边相同的角的集合的表示【例1】将－1485°化成()202,k k απαπ+≤<∈Z 的形式是（）A ．π8π4-B ．784π-πC ．104π-πD ．7104π-π【例2】与2022︒终边相同的角是（）A ．488-︒B ．148-︒C ．142︒D ．222︒【例3】与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z∈D ．54k ππ+，k Z ∈【例4】已知角2022α= ，则角α的终边落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例5】终边落在直线y =上的角α的集合为（）A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈Z D ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈【例6】（多选题）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【例7】下列说法中正确的是（）A ．第二象限角大于第一象限角B ．若()360360180k k k α⋅︒<<⋅︒+︒∈Z ，则α为第一或第二象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．三角形的内角是第一或第二象限角【例8】已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（）A ．B ．C ．D ．【题型专练】1.把375-︒表示成2πk θ+，k Z ∈的形式，则θ的值可以是（）A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-2.下列各角中，与1840︒角终边相同的角是（）A ．40︒B ．220︒C ．320︒D ．400-︒3.与2022︒终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）4.若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 5.如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.6．5π3-的角化为角度制的结果为_______．7.（多选题）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈Z D ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 8．如果角α与角x ＋45°具有相同的终边，角β与角x －45°具有相同的终边，那么α与β之间的关系是（）A ．0αβ+=︒B ．90αβ-=︒C ．()360k k αβ+=⋅︒∈Z D ．()36090k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 9．若360k αθ=⋅︒+，()360,m k m βθ=⋅︒-∈Z ，则角α与角β的终边一定（）A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称10．集合|,4k k k Z παπαπ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭中的角所表示的范围(阴影部分)是（）A ．B ．C ．D ．题型二：判断等分角的象限问题【例1】若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【例2】（多选）若α是第二象限角，则（）A ．πα-是第一象限角B ．2α是第一或第三象限角C ．32πα+是第二象限角D ．α-是第三或第四象限角【题型专练】1.角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ3.已知角α第二象限角，且cos cos 22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题型三：扇形的弧长、面积公式的计算【例1】已知扇形OAB 的圆心角为2，弦长2AB =，则扇形的弧长等于（）A ．1sin1B ．2sin1C ．1cos1D ．2cos1【例2】如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【例4】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【例5】（多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S的比值为12时，扇面为“美观扇面”2.236≈）（）A ．122S S θπθ=-B ．若1212SS =，扇形的半径3R=，则12S π=C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035-【题型专练】1．已知扇形的圆心角为135︒，扇形的弧长为3π，则该扇形所在圆的半径为___________.2.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A ．1B ．4C ．2D ．33.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A ．11332-B ．11432-C ．9332-D ．9432-4．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（）A ．2160cm B ．23200cm C ．23350cm D ．24800cm 5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB 后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为512-，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为512-.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）A ．512-B ．514-C ．352-6.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.7.炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .题型四：任意角三角函数的定义【例1】已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则sin α的值为（）A ．BCD ．【例2】已知角α的终边与单位圆交于点1,22P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为（）A ．B ．12-C ．2D ．12【例3】已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（）A ．12B ．1C ．2D ．52【题型专练】1.已知()2,P y -是角θ终边上一点，且sin θ=y 的值是（）A ．5-B ．5C ．17-D ．172.已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin α=（）AB C ．12-D ．－23.（多选）已知函数())log 201a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是（）A ．2B ．3C ．14D4.已知角α的终边上有一点()P m ，且sin 4m α=，则m 的值为______．5.已知角α的终边与单位圆的交点为P 1(,)2y -，则sin tan αα＝______．题型五：三角函数值的正负判断【例1】若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______．【例3】已知角θ在第二象限，且sin sin 22θθ=-，则角2θ在（）A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第三象限D ．第四象限【例4】（多选）下列三角函数值中符号为负的是（）A ．sin100︒B ．()cos 220-︒C ．()tan 10-D ．cos π【例5】若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例6】我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题型专练】1.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点()1,P m -()0m ≠，则下列各式的值一定为负的是（）A ．cos αB ．sin cos αα-C ．sin cos ααD ．sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知点()tan ,sin P αα在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B （）A ．在第一象限B ．在第二象限C ．在第三象限D ．在第四象限4.“角θ是第一或第三象限角”是“sin cos 0>θθ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.6.已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要。
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析三角函数知识点归纳及常考题型分析角的概念及表示角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。
正角、负角和零角是角的三种分类。
终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。
象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。
轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。
区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。
角度制与弧度制角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。
它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。
弧长公式与扇形面积公式弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。
扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2.三角函数的定义与符号设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。
P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。
在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。
三角函数的图像及基本关系式正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。
同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。
正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。
其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。
和角与差角公式和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β，asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析
三角函数知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、角的概念、正角、负角、零角.2、角的表示：（1）终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝k ·360＋α，k ∈Z }。
（2）象限角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在第几象限，就称这个角是第几象限的角。
请写出各象限角的集合。
（3）轴线角：顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，则终边落在坐标轴上的角叫轴线角。
请写出各轴线角的集合。
（4）区间角、区间角的集合： 角的量数在某个确定的区间内（上），这角就叫做某确定区间的角．由若干个区间构成的集合称为区间角的集合．3、角度制、弧度制及互换： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ， 1°＝180π≈0.01745（rad ） 4、弧长公式：r l ⋅=||α，扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形5、三角函数的定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则sin y r α=, cos x r α= ,tan y x α=,cot x y α=,sec rxα=,csc r y α=.6、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）7、三角函数线正弦线：MP ；余弦线：OM ；正切线： AT 。
8、同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan cot θθ⋅= 9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,()sin()2(1)s ,()n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数，212(1)s ,()s()2(1)sin ,()n n co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数 10、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式)；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-；11、二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+ 22tan tan 21tan ααα=-；221cos 21cos 2sin ;cos 22αααα-+==。
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2三角函数知识点1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 如 （ ）2 ( ) ( ) ，（1） 平方关系： 2 sincos 2 1,1tan22 sec,1 cot22csc（2） 倒数关系： sin csc =1,cossec =1,tan cot =1,（3） 商数关系：tansin ,cotcoscossin两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式及倍角公式 ：sin sin cos cos sin 令 sin22sin coscos cos cos m sin sin令cos22 cos21 1 2sin 2tan1mtan tan2 sin＝1 cos2tan22tan 1 tan 2（2） 三角函数次数的降升 （降幂公式：2 1 cos2 2 cos， sin1 cos22与升幂 2 2等）， 3、 2 cos ＝ 1+cos222costan tan sin2公式：1 cos2 2cos2，1 cos2 2sin 22(3) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 1 sin 2 x cos 2 x tan 4 sin 2 L 等)，4)周期性 ：① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；② f( x) A sin( x )和 f ( x) A cos( x)的最小正周期都是T |2 |。
如 5 )单 调 性 ： y sin x 在2k , 2k 2 kZ 2上单 调递增， 在2k ,2k 3 k Z 单调递减； y cos x 在2k ,2 k kZ 上单调递减， 在2 22k ,2k 2 k Z 上单调递特别提别忘了 k Z ！(6) 、形如 y A sin( x ) 的函数：1 几个物理量 ： A ―振幅；f 1 ―频率(周期的倒数)； 相位； ―初相；2 函数 y A sin( x ) 表达式的确定 ：A 由最值确定； 期确 定 ； 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 如 f (x)Asin( x )(A 0,0，| | ) 的图象如图所示，23 函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：①“五点法”――设 X x ，令 X ＝0 ，, , ,2 求出相应的 x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法： 22这是作函数简图常用方法。
4 函数 y A sin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：①函数 y sin x 的图象 纵坐标不变，横坐标向左( >0 )或向右( <0 )平移 | | 个单位得 y sin x 的图 象； ②函数 y sin x 图 象的纵坐 标不 变， 横坐标变为原 来的 1 ，得到函数y sin x 的图象；③函数 y sin x 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数 y A sin( x ) 的图象；④函数 y Asin( x ) 图象的横坐标不变，纵坐 标向上( k 0 )或向下( k 0 )，得到 y Asin x k 的图象。
要 特别注意 ，若由y sin x 得到 y sin x 的图象，则向左或向右平移应平移 | | 个单位， 如1 )函数 y 2sin(2 x ) 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象？(；22sec x tan x tan x cot x2sin(15x 2由周 则 f ( x)f ( x)(答： y 2sin(2 x ) 1 向上平移 1 个单位得 y 2sin(2 x ) 的图象，再向左平移 个单位得 y 2sin 2x 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得 y 2sin x 的图象，最后将纵 81坐标缩小到原来的 1 即得 y sin x 的图象)；2★★2. 正、 余弦定理 ：在 ABC 中有 :①正弦定理： a bc 2R(R 为sin A sin B sin Ca 2R sin Ab 2Rsin Bc 2Rsin Csin B a2R 2R 注意变形应用c2R11S ABC abs sin Cacsin B 222ab 22c 2bc cosAb 2 2 a 2c 2accosB2 c 2 a b 2 2ab cosCcosA b 22 c 2 a2bccosB 2 a2 cb 22accosC 2 ab 22 c2abABC 外接圆半径)sin AsinC ②面积公③余弦定1bc sin A 2三角函数例题讲解分析 已知角的终边上点的坐标， 求角的三角函数值， 应联想到运用三角函数的定义解题， 由 P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程．mm 解 由题意知 r= 3 ＋m 2 ，则 sin θ= = ． r 3＋m 2当 m=0 时， cos θ= － 1 ， tan θ=0 ；θ θ θsin 2|= －sin 2 ，2是哪个象限的角 ?π 3 π解 ∵θ是第二象限角， ∴2k π+ 2<θ<2k π+ 2 ，k ∈Z ． π θ 3 π ∴k π+ < <k π+，k ∈Z ．4 2 4例 1 已知角的终边上一点 P （－ 3 ， m，且 sin θ=m ，求 cos θ与 tan θ的值．又∵sin θ=2 m ，4m 3＋m 22 m ．m ．4 当 m=5 时， cos θ=tan θ=15 当 m=例 2 设θ是第二象限角，且满足｜∴2是第象限或第三象限角．433θθ θθ又∵ ｜ sin － sin ， ∴sin < 0.∴ 是第三、第四象限的②22 2 2θ由①、②知， 2 是第三象限角．第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式 讲练平台】sin(2 π- α)tan( π+ α)cot(- α- π) 例 1 化简cos( π- α)tan(3 π- α)分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化．( -sin α)tan α[-cot( α+ π) ] (-sin α)tan α(-cot α) 解 原式 = =(-cos α)tan( π- α) (-cos α)(-tan α)cos αsin α·sin α =1 cos α1 π π例2 若 sin θcos θ= ，θ∈( ， )，求 cos θ－sin θ的值．8 4 2分析 已知式为 sin θ、cos θ的二次式，欲求式为 sin θ、cos θ的一次式，为了运用条件，将 cos θ－sin θ进行平方．13 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1 － =44ππ∵θ∈( ， )，∴ cos θ<sin θ．42 ∴cos θ－sin θ=变式 1 条件同例， 求 cos θ+sin θ的值．变式 2 已知 cos θ－sin θ=求 sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．3=3例 3 已知 tan θ=3 ．求 cos 2 θ+sin θcos θ的值．分析 因为 cos 2θ+sin θcos θ是关于 sin θ、cos θ的二次齐次式，所以可转化成 tan θ的式子．cos 2θ+sin θcos θ 1+tan θ 2解 原式=cos 2θ+sin θcos θ= cos 2θ+sin 2θ = 1+tan 2θ=5第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一）11例 1 已知 sin α－sin β= － ， cos α－cos β= ，求 cos( α－β) 的值32分析 由于 cos( α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于 sin α、cos α、sin β、cos β的二 次式，而已知条件是关于 sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．13① 2 ＋② 2 ，得 2 － 2cos( α－β)= ．36 72∴cos( α－β)= 59 2cos10 °-sin20 °例 2 求 的值cos20 °分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到 10 °=30 °－20°，由于 30 °的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．解 ∵10 °=30 °－202cos(30 °-20 °)-sin20 °∴原式= cos20 °2(cos30 °cos20 °+sin30 °sin20 °)-sin20= cos20 °1sin α－sin β=31cos α－cos β=23 cos30 cos20点评化异角为同角，是三角变换中常用的方法．例 3 已知： sin( α+ β)= － 2sin β．求证： tan α=3tan( α+ β) ．=3原式=sin123·cos12－3)1sin12 cos2433cos12 sin122 cos 243 sin 12 3cos12 2 sin 12 cos12 cos24 2 3( 1 sin 12 3 cos12 )221sin 484 3 sin(12 60 )sin48 4 3.分析已知式中含有角 2α+ β和β，而欲求式中含有角α和α +β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．解∵2 α+ β=( α+ β)+ α，β=( α+ β) －α，∴sin [(α+ β)+ α]= －2sin [(α+ β)－α]．∴sin( α+ β)cos α+cos( α+ β)sin α= － 2sin( α+ β)cos α+2cos( α+ β)sin α．若 cos( α+ β)≠0 ， cos α≠0，则 3tan( α+ β)=tan α．点评审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α +β看成一个整体第 4 课两角和与两角差的三角函数(二)【讲练平台】例 1 求下列各式的值( 1)tan10 °＋tan50 °+ 3 tan10 °tan50 °；( 3 tan12 °-3 ) csc12 °(2) 4cos 2 12°-2 ．(1)解原式=tan(10 °+50 °)( 1－ tan10 °tan50 °)+ 3 tan10 °tan50 °= 32 )分析式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．2tanAtanB ）， asinx+bsinx= a 2 b 2 sin （x+ φ）的运用；（ 2）在三角变换中，切割化弦是常用的变 换方法．第 5 课 三角函数的图象与性质（一）例1 （1）函数 y=lg （1 tanx ） 的定义域为 1 2sin x（2）若α、β为锐角， sin α<cos β，则α、β满足 （C ）分析 （1）函数的定义域为 1- tanx 0, （*） 1- 2sinx 0.的解集， 由于 y=tanx 的最小正周期为π，π 3 ππ π先求出 （－ ， ）上满足（*）的 x 的范围，再据周期性易得所求定义域为 {x ｜2k π－ <x<2k π+ ，2 2 2 6 5 π 5 π或2k π+ 6< x<2k π+ 4 ，k ∈Z}分析（ 2 ）sin α、cos β不同名，故将不同名函数转化成同名函数，π用 y=sinx 在［ 0， 2 ］的单调性，便知答案为 C ．（1）求 f （x ）的单调增区间；2）求 f （x ） 图象的对称轴、对称中心． 分析 函数表达式较复杂，需先化简．5 1+cos2x 5 3 π 解 f(x)= sin2x － 5 3 × ＋ =5sin(2x － )． 2 2 2 3A ．α>βB ．α<βππC ．α+ β< Dα+> 22y=sinx 的最小正周期为 2π， 所以原函数的周期为2 π，应结合三角函数 y=tanx 和 y=sinx 的图象 点评 （ 1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)1－πcos β转化成 sin （ －例 4 已知函数 f(x)=5sinxcosx －53 cos 2x+532(x ∈R)k π2π+6，0）（k ∈Z ）．第 6 课 三角函数的图象与性质（二）x 所给曲线是由 y=3sin 2沿 x 轴向右平移 1π∴解析式为 y=3sin 2 （x －3）．1π（2） 设（ x ，y ）为 y=3sin （ x － ）关于直线 x=2 π对称的图像上的任意一点， 则该点关于直线 x=226 π1x －6）关于直线 x=2 π对称的函数解析式是 y=3sin [21 ）由 2k πππ－ ≤2x － ≤2k 2 π π+ 2，得［ k π 5 π π－ ，k π+ ]（k ∈Z ）为 f （x ） 的单调增区间．12 12 2 ）令 2x π =k 3ππ+2，得k 5 πx= 2π+12 （k ∈Z ），则x= k 5 π2π+12 （k ∈Z ）为函数 y=f （x ） 图象 的对称轴所在直线的方程， πk 令 2x －3 =k π，得 x=2 ππ+6k ∈ Z ），∴ y=f （x ） 图象的对称中心为点例2 右图为某三角函数图像的一段1） 试用 y=Asin （ω x+ 2） 求这个函数关于直线 13π解： 1）T==4 π．2π∴ω=T．又 A=3 ， 由图象可知π3而得到的． 1π的对称点应为（ 4π－x ，y ） ，故与 y=3sin （φ）型函数表示其解析式；x=2π对称的函数解析1π= －3sin（2 x＋6）．2sin ( x+ φ)．π π π例2 若θ∈［－ 12 , 12 ］，求函数 y=cos( 4+ θ)+sin2点评 y=sin （ ωx+ φ）（ω> 0）的图象由 y=sin ωx 的图象向左平移（φ> 0）或向右平移（φ<0）|ωφ|个单位．特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量．求一个函数的图象关于一条直ω线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用．1 23 例 3 已知函数 y= cos 2x+ sinxcosx+1 (x ∈ R)．22（1）当 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；2 ）该函数图象可由 y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 1 1+cos2x解 (1)y= 23 1 1 π 5+ 2 ·2 sin2x +1= 2sin(2x+ 6)+ 4π 当 2x+ =2k 6πππ+ ，即 x=k π+ ，k ∈Z 时， y max = 26(2 )由 y=sinx π图象左移 个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的 纵坐标不变），其次1将图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 （横坐标不变），最后把图象向上平移5 个单位即可． 4第 7 课 三角函数的最值例 1 求函数 f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值，并求出此时 的值．分析 由于 f （x ）的表达式较复杂，需进行化简． 解 y=sin 2x+cos 2 x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= πsin(2x+ )+24ππ 当 2x+ 4=2k π+ 2 π 即 x=k π+ (k ∈ Z)时， y max =8点评 要熟练掌握 y=asinx+bcosx 类型的三角函数最值的求法， a sinx+bcosx=a 2+b 2θ的最小值．分析 在函数表达式中， 含有两个角和两个三角函数名称， 若能化成含有一个角和一个三 角函数名称的式子，则问题可得到简化．π π π π解 y=cos( + θ)－ cos [ 2( θ+ ) ] =cos( + θ)－[ 2cos 2(θ+ )－1]4 4 4 43∴y min = ， y max =3+ 2y=at 2+bt+c 在某个区间上的最值问题．欲判断△ABC 的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若ππ = － 2cos 2( θ+ )+cos( + θ)+1 = 44 －2 π 1 πcos 2(θ+ )－ cos( θ+ )] +14 2 4∵θ∈π1 cos( θ+ 4)－4] 9 2+8ππ －12, 12]，∴θ π ＋∈4 ππ， ］．1∴ ≤cos( θ+ ) π3 ≤2，∴y 最小值 =例 3 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值．分析 由于 sinx+cosx 与 sinxcosx 可以相互表示，所以令 sinx+cosx=t ，则原三角函数的最值问题转化成y=at 2+bt+c 在某区间上的最值问题． 解 令 t=sinx+cosx ，则 y=t+t 2+1=(t+ 2)2+ 4，且 t ∈[－ 2 ， 2］，点评 注意 sinx+cosx 与 sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成第8 课 解斜三角形例2在△ABC 中，已知 acosA=bcosB ，判断△ABC 的形状．分析将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．b2+c 2—a2a2+c2—b2解方法一：由余弦定理，得a·( )=b ·( )，2bc 2ac∴a 2c 2－a 4－ b 2c 2+b 4=0 ．∴(a2－ b2)(c 2－a2－b2)=0 ．∴a2－b2=0 ，或 c2－a2－b2=0 ．∴a=b ，或 c2=a 2+b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二：由 acosA=bcosB ，得 2RsinAcosA=2RsinBcosB ．∴sin2A=sin2B ．∴2A=2B ，或 2A= π－2B ．π∴A=B ，或 A+B= ．2∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形1 ．设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ,a 2bsinA. (Ⅰ )求B 的大小 ;(Ⅱ)求cosA sinC 的取值范围 .1 【解析】 :(Ⅰ )由a 2b sin A,根据正弦定理得sinA 2sin Bsin A ,所以sin B ,2 π由ABC 为锐角三角形得 B .6(Ⅱ)cosA sinC cosA sin AcosA sin A61 3cosA cosA sin A2 23sin A.3。