2.2.2对数函数及其性质教案

2.2.2对数函数及其性质（一）隆湖中学教师 李江华教学目标（一） 教学知识点 1． 对数函数的概念；2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求1． 理解对数函数的概念；2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、指对数互化关系：b N N a a b =⇔=log2、 )10(≠>=a a a y x且的图象和性质．3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x2表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．学生思考问题：为什么对数函数概念中规定?1,0≠>a a例1． 求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．解：（1）由2x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x ； （3）由x-1>0得x>1，∴函数 的定义域是()+∞,1．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 21log =的图象：思考：x y 2log =与x y 21log =的图象有什么关系？3，（1）根据对称性（关于x 轴对称）已知y =3log x 的图像，你能画出y =x 31log 的图像吗？111111log )3(7-=x y 11log 7-=x y（2）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象，观察图象，找出各函数图象的共同特征，分析其不同之处，并归纳其性质.（1） x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．a ＞10＜a ＜1图 象1111性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当x =1时，y =0 )1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0<y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数三、讲解范例：例2．比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<<a 时，x y a log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log 1.5log a a >． 小结2：分类讨论的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练习1。

（P73、2）求下列函数的定义域：（1）y =3log (1-x ) (2)y =x 2log 1 (3)y =x311log 7-x y 3log )4(= （5)416(log 2x y -= （6）)3(log 1x y x -=-解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x |x ＜1}；(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；(3)由31,0310311>⎪⎩⎪⎨⎧≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x |x ＜31}；(4)由⎩⎨⎧≥>⎩⎨⎧≥>10,0log 03x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x |x ≥1}. 练习2、 函数)1,0(2)1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点（ ）3、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0，1]， 求a 的值。

（因时间而定，选讲）五、课堂小结⑴对数函数定义、图象、性质；⑵对数的定义， 指数式与对数式互换； ⑶比较两个数的大小． 六、课后作业：1．阅读教材第70～72页；2. 《习案》P191～192面。

2.2.2 对数函数及其性质（二）教学目标1.教学知识点1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求4． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.德育渗透目标1．用联系的观点分析问题、解决问题； ２．认识事物之间的相互转化．教学重点1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小； 2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法； 3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．教学难点1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．教学过程一、 复习引入： 1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．2、对数函数的性质：3．书P73面练习35． 函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________二、新授内容：例1．比较下列各组中两个值的大小：⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,67.067.0解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，6log 7log 76>∴．⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π．小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题）③⑴3.0log 7.0log 4.03.0<； ⑵216.04.3318.0log7.0log -⎪⎭⎫⎝⎛<<； ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> ． 例2．已知x =49时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )3492)49(1[2+⋅+⋅ 即log a1613＞log a 1639. 而1613＜1639. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->-<2513121x x x x 或.故使不等式成立的x 的取值范围是)25,2( 例3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，求a 的值。

（42=a ） 例4．求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅∵0＜x 1＜x 2＜1，∴12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2112211log x x x x --⋅＞0，∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例5．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).（1）求f (x )的定义域和值域； （2）判证并证明f (x )的单调性.解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为(1, +∞)， 而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ， 又a ＞1. 则log a (a – a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a ＜2x a ，∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜ f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 例6．书P72面例9。

指导学生看书。

例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：⑴)52(log 22++=x x y ； ⑵)54(log 231++-=x x y ；解：⑴∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R ． 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞．⑵要使函数有意义，则须： 5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x ，由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x ， ∴ 95402≤++-≤x x ．从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y ，∴定义域为[-1,5]，值域为),2[+∞-．例8．（备选题）已知f (x ) = log a x (a ＞0，a ≠1)，当0＜x 1＜x 2时， 试比较)2(21x x f +与)]()([2121x f x f +的大小，并利用函数图象给予几何解释. 【解析】因为12121()[()()]22x x f f x f x +-+12121log [log log ]22a a a x x x x +=-+ =212121212log log 2log x x x x x x x x aa a+=-+ 又0＜x 1＜x 2，∴x 1 + x 2 – 222121)(x x x x -=＞0， 即x 1 + x 2＞221x x ， ∴21212x x x x +＞1.于是当a ＞1时，21212log x x x x a+＞0. 此时)2(21x x f +＞)]()([2121x f x f + 同理0＜a ＜1时)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f + 或：当a ＞1时，此时函数y = log a x 的图象向上凸.显然，P 点坐标为)2(21x x f +，又A 、B 两点的中点Q 的纵坐标为21[ f (x 1) + f (x 2)]， 由几何性质可知 )2(21x x f +＞)]()([2121x f x f +.当0＜a ＜1时，函数图象向下凹. 从几何角度可知21212log x x x x a+＜0，此时)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f +四、课堂小结：2． 比较对数大小的方法；x)])2x2．对数复合函数单调性的判断；3．对数复合函数定义域、值域的求法． 五、课后作业 1．《习案》P193与P195面。