人教A版对数函数及其性质教案

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普通高中人教A版必修一：对数函数及其性质

《对数函数及其性质》教学设计一、教材及教学内容分析本节《对数函数及其性质》是来普通高中人教A版必修一第二章第2节的内容。

对数函数是学生继学习了指数函数及其性质后，再学习的另一个基本初等函数，是我们高中阶段要研究的重要的基本初等函数之一，也是对函数概念和性质的再深化认识的一个过程，起到了承上启下的重要作用。

它是一种新的函数模型，在现实问题中有着广泛的应用。

《对数函数及其性质》可以分为3课时，本节课是第一课时，它主要是对数函数的概念的建立、图象的绘制、基本性质以及简单应用，属于概念性知识。

教材从具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数概念，进而类比指数函数的学习方法来学习对数函数。

由于对数式与指数式的对应关系，对数函数与指数函数同样也有着很多对应的性质。

对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础展开的，并且对数函数的研究过程同指数函数的研究过程是一样的。

教学目的就是希望让学生在建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识。

一方面对数函数的学习可以进一步深化对函数概念、性质以及研究方法的理解，另一方面也为后续研究其他初等函数打下基础，起到承上启下的作用。

教学重点：对数函数的定义、图象和性质。

教学难点：对数定义理解基础上掌握函数图像，并由图像得到性质。

二、学习目标设置1、从具体实例中抽象出对数函数定义，并用数学符号表示，能够初步理解对数函数的概念，培养了学生数学抽象素养。

2、类比指数函数的学习研究过程，根据对数函数的定义和图像，探索对数函数的性质，培养了学生观察、分析、归纳总结的能力。

3、在学习研究指数函数的基础上，再通过对数函数的探索过程，使学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，发散了思维，提升了学生自助学习的能力。

三、学生学情分析（1）学生前面已经学习了函数的概念及性质，并且上一节又刚经历了指数函数的概念、性质以及简单应用的研究过程，初步了解了研究一个具体函数的一般方法和步骤；由于已学习了对数的定义和运算性质，故已具备进行对数运算的能力；（2）本节课是学生学习研究的第二个基本初等函数，故在教学过程中重点引导学生通过类比的的思想方法，尝试进行总结归纳以便突破对数函数的性质的探究。

4.4.2对数函数图象及性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版2019必修一

4.4.2对数函数图象及性质（人教版）一、对数函数图象及性质1.学情分析（1）心理上：高一年级的学生已入校两个月，在学习情绪和学习态度上也相对稳定。

此时学生渴望知识和学习情绪也都很高涨，主动积极。

厌倦教师的单独说教，希望能创设自行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。

（2）知识上：学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究方法有了一定的了解和掌握，学生已经明白对数函数与指数函数的关系，可以通过类比的方法研究学习。

2.教材分析本节选自人教版高一数学必修第一册（2019A）4.4.2。

主要内容是学习对数函数的图象、性质及初步运用。

本节课是继学习指数函数后，学习的另一重要函数。

对数函数与指数函数有许多相似之处，教材通过类比的方法，利用探究指数函数的模式和方法设计探索对数函数图象与性质的过程。

让学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的认识，注重通过数形结合的方法研究函数的性质，深化由特殊到一般的转化思想，培养数学抽象等数学学科核心素养。

二、教学设计（一）教学课题：对数函数图象及性质（二）教学目标1.掌握对数函数图象及其性质；2.会利用对数函数的图象及性质，求对数函数的定义域，能解决实际问题;3.渗透类比应用意识，培养归纳思维和逻辑推理能力。

（三）教学重点与难点1.重点:对数函数的图象与性质；2.难点:对数函数的性质。

（四）学法与教法1.学法：通过类比指数函数图象及性质的研究过程，推导对数函数图象及性质；2.教法：启发式教学与讲授式教学相结合。

（五）选择媒体传统媒体与现代媒体相结合。

（六）课型与教学形式1.课型：综合型。

2.教学形式：启发式教学与讲授式教学相结合。

（七）教学流程1.复习旧知回顾对数函数的概念，指数函数图象与性质的研究方法。

【设计意图：通过已经讲述过的指数函数图象与性质的研究方法，让学生联系、类比已学知识，结合对数函数的概念，推导整理出对数函数的图象与性质，对一个函数的图象与性质研究过程有更深层次的理解，并能从其中观察到对数和指数函数的关系。

4.4.2对数函数的图像和性质教学设计2024-2025学年高一上数学人教A版(2019)必修第一册

教学设计课程基本信息学科数学年级高一学期第一学期课题 4.4.2 对数函数的图像和性质教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册 A 版出版社：人民教育出版社教学目标1.掌握对数函数的图像和性质；能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题2.经过探究对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数图像之间的联系，对数函数内部的联系。

培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。

3.在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生的数学应用的意识，探索数学。

教学内容教学重点：1.掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的对数函数图象之间的联系；2.理解与掌握反函数的概念。

教学难点：1.对数函数的图像与指数函数的关系；2.不同底数的对数函数之间的联系。

教学过程一、温顾知新问题1 对数函数的概念是什么？问题2 怎样研究指数函数的？我们主要研究它的哪些性质？二、新识探究与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其质．由浅入深，我们先最简单的开始。

（合作探究一）画出x y 2log =的图像和x y 21log =的图像问题3 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，比如x y 2log =和x y 21log = ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？（合作探究二）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称问题4底数a （a ＞０，且a ≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，有哪些共性？由此你能概括出对数函数x y a log =的值域和性质吗？（合作探究三）根据图像，类比研究指数函数性质的方法你能归纳对数函数的哪些图像特征和性质？完成下列表格。

人教A版高中数学必修一对数函数的概念和性质教案新

2． 2．2对数函数及其性质【教学目标】①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质.③通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．【教学重难点】重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.难点：底数a对对数函数图象和性质的影响.【教学过程】（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.（二）情景导入、展示目标1、让学生看材料：材料1（幻灯）：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸。

大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存二千多年，而且关节可以活动。

人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关。

图 4—1（如图 4—1在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了）那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2200年？上面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量p ，利用P t 215730log=估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数；如图4—2材料2（幻灯）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 ……，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个 ……，不难发现：分裂次数y 就是要得到的细胞个数x 的函数,即x y 2log =；图 4—22、引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 3、根据对数函数定义填空；例1 （1）函数 y=log a x 2的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1)(2) 函数y=log a (4-x) 的定义域是___________ (其中a>0,a ≠1) 说明：本例主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念。

《对数函数及其性质》教案-2021-2022学年人教A版高中数学必修一

《对数函数及其性质》教案一、教学目标1.知识与技能(1)理解对数函数的概念；(2)掌握对数函数的图象和性质；(3)进一步加强数形结合意识。

2. 过程与方法(1) 理解对数函数的概念；(2) 能够推导出对数函数的图象与性质；(3) 培养学生数学应用意识。

3. 情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；(2)用联系的观点看问题；(3)了解对数在生产、生活实际中的应用。

二、教学重难点重点：对数函数的概念的理解。

难点：对数函数的图象与性质的掌握。

三、教学准备学生通过阅读教材，完成预习任务，从而更好地完成本节课的教学目标。

四. 教学过程（一）复习旧知，引入新课我们学过N a b =，其中a 叫做底数，b 叫做指数，N 叫做幂，转化为对数形式为：N b a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，b 叫做对数。

在N a b =中，有三个量，固定其中一个量，另外两个量中一个量发生变化，另一个量也随之变化，两个变量相互依存。

（1）固定b 值，让底数为自变量，即 y x b = 幂函数（2）固定a 值，让指数为自变量，即)10(≠>=a a y a x 且指数函数（3）固定a 值，让幂为自变量，即)10(≠>=a a x a y 且根据对数的定义，），且（10log ≠>=a a x y a 对数函数对数函数的定义：一般地，把函数），且（10log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是），（∞+0。

注意：对数函数解析式的形式！思考：函数x y x og y x y x 222log 3l )1(log ==+=，，是对数函数吗？为什么？(二）共同合作，探究新知【探究】对数函数的图象与性质【探究一】小组合作，通过描点法在同一直角坐标系中分别作出函数x y 2log =和x y 21log =的图象，观察图象，你有什么发现？作x y 2log =图象：列表x 41 21 12 4 … x y 2log = -2 -10 1 2 … 描点、连线得出x y 2log =的图象（图1）：作x y 21log =图象：列表x 41 21 12 4 … x y 21log = 2 1 0 -1 -2 …图1 描点、连线得出x y 21log =的图象（图1）：【探究二】思考：底数a 对对数函数x y a log =的图象有什么影响？通过几何画板演示a 值变化时对数函数的图象变化情况（图2），总结规律。

高中数学2.2.2对数函数及其性质教案3新人教A版必修1

第二章基本初等函数（I ） §2.2.2 对数函数及其性质教学目标知识与技能对数函数的概念，熟习对数函数的影象。

过程与方法经过观察对数函数的影象，发现并归纳对数函数的性质。

情感、态度与价值观培养先生数形结合的思想和分析推理的能力。

教学重难点重点理解对数函数的定义，初步掌握对数函数的影象和性质，利用对数函数的单调性比较对数大小及不同底数的对数比较大小。

难点底数a 对影象的影响及对数性质的作用。

一、复习引入1. 回忆指数函数的定义2. 根据教材P67例6，当生物死亡后，它机体内本来的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为本来的一半，这个工夫称为“半衰期”，人们获得了生物体内碳14含量p 与死亡年数t 之间的关系可以表示为：57301()2t p =。

讨论：t 与P 的关系？二、讲授新课： 1.对数函数的概念：（1）定义：普通地，我们把函数y=log a x （a ＞0且a ≠1）叫做对数函数(logarithmic function).自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）考虑：①在函数的定义中，为甚么要限定a ＞0且a ≠1． ②为甚么对数函数log a y x=（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．③指出以下函数能否是对数函数？①2log y x = ②32log y x = ③24log y x =④5log (5)y x = ⑤6log (1)y x =+ ⑥2log a y x=1(0,)2a a >≠且设计意图：提出成绩，巩固概念，添加练习，掌握新知。

2.对数函数的影象与性质⑴在同一坐标系中分别画出2log y x =和12log y x=；3log y x =和13log y x=图象，并观察它们的影象，有甚么特点。

明显，2log y x =和12log y x=的影象关于x 轴对称。

3log y x =和13log y x=的影象关于x 轴对称。

高中数学2.2.2对数函数及其性质教案1新人教A版必修1

对数函数的性质与运用教学目标：1理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图象，探求并理解对数函数的单调性和特殊点；2在学习的过程中进一步领会研讨具体函数及其性质的过程和方法，如具体到普通、数形结合和函数等方法.教学重点难点：重点：对数函数性质的运用.难点：把理论成绩化归为数学成绩，利用对数函数模型进行求解.教学手腕与方法：经过多媒体的展现，让先生会进一步领悟分类讨论、数形结合的思想和函数方法的运用．考纲要求：1理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点。

2领会对数函数是一类重要的函数模型。

3了解指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数。

知识点：1对数函数的定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数。

2对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图象与性质：3指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，它们的图象关于直线对称基础训练1（2010广东）函数)1lg()(-=x x f 的定义域是。

反思：2（2010山东）函数)13(log )(2+=x x f 的值域是反思：3（2009广东）若函数)(x f y =是函数)1,0(≠>=a a a y x 且的反函数，且1)2(=f ，则=)(x f 。

反思：4函数)32(lg )(2--=x x x f ，则函数的单调增区间是。

反思：5方程2lg lg 24=-x x 则x= 。

反思：能力进步6方程3log 221=+x x 的实数解的个数为。

反思：7不等式01log >xa 的解集为。

反思：8函数)32lg(2+-=ax x y 的定义域为R ，则a 的取值范围是。

反思：9若)1,0(1)2(log ≠>+-=a a x y a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线)0,0(1>>=+n m ny mx ，则nm 11+的最小值为。

人教A版高中数学必修一对数函数的图像及其性质教案

对数函数的图像及其性质一、教学目标：知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.二、重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；难点：底数a 对图象的影响.三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.四、教学过程（1）情景导学；师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t =log573021P估算出土文物或古遗址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P ，通过对应关系t =log573021P ，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以，t 是P 的函数.设计意图：由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力(2)问题探究：对数函数概念一般地，函数y =log a x （a ＞0，且a ≠1）叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y =log a x 的定义域是（0，+∞），值域是R .探究1：（1）在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）为什么对数函数log a y x （a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．探究2. 对数函数的图象.借助于计算器或计算机在同一坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y =2x ，y =log 2x ；（2）y =（21）x ，y =log 21x .2.当a ＞0，a ≠1时，函数y =a x ，y =log a x 的图象之间有什么关系？对数函数图象有以下特征图象的特征（1）图象都在y 轴的右边（2）函数图象都经过（1，0）点（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .（4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .对数函数有以下性质0＜a ＜1 a ＞1图象定义域（0，+∞）值域 R性质（1）过定点（1，0），即x =1时，y =0（2）在（0，+∞）上是减函数（2）在（0，+∞）上是增函数设计意图：由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．例1 求下列函数的定义域：（1）y =log a x 2；（2）y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）解：（1）由x 2＞0，得x ≠0. ∴函数y =log a x 2的定义域是{x |x ≠0}.（2）由题意可得1-x ＞0，又∵偶次根号下非负，∴x －1＞0，即x ＞1.∴函数y =log a 1-x （a ＞0，a ≠1）的定义域是{x |x ＞1}.小结：求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.例2 求证：函数f （x ）=lg x x+-11是奇函数.证明：设f （x ）=lg x x +-11，由xx +-11＞0，得x ∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），又对于定义域（－1，1）内的任意的x ，都有f （－x ）=lgx x -+11=－lg x x +-11=－f （x ），所以函数y =lg xx +-11是奇函数. 注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.例3 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH 刻画的.pH 的计算公式为pH=－lg ［H +］，其中［H +］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.（1）根据对数函数性质及上述pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H +］=10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.解：根据对数的运算性质，有pH=－lg ［H +］=lg ［H +］－1=lg ]H [1+.在（0，+∞）上，随着［H +］的增大，]H [1+减小，相应地，lg ]H [1+也减小，即pH 减小.所以，随着［H +］的增大，pH 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小.（2）当［H +］=10－7时，pH=－lg10－7，所以纯净水的pH 是7. 事实上，食品监督监测部门检测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH 的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH 应该在5.0～7.0之间.五、课堂小结1.对数函数的定义.2.对数函数的图象和性质.六、课后作业课时练与测七、教学反思备选例题；例1 求函数)416(log )1(x x y -=+的定义域.【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+>-11010416x x x ，得⎪⎩⎪⎨⎧≠-><012x x x .∴所求函数定义域为{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}.【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1.例2 求函数y = log 2|x |的定义域，并画出它的图象.【解析】函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }.函数解析式可化为y =⎪⎩⎪⎨⎧<->)0()(log )0(log 22x x x x ，其图象如图所示（其特征是关于y 轴对称）.。

《对数函数及其性质》教案新人教A

数学：2.2.2《对数函数及其性质（1）》教案（新人教A必修1）2.2.2对数函数及其性质（1）教学目的：使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性：对于函数y=当0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时在（0，＋∞）上是增函数。

教学重点：对数函数的定义、图象和性质。

教学难点：对数函数图象和性质的理解。

教学过程一、复习提问把指数函数y＝2和y＝写成对数式。

二、新课一般地，我们把函数y=（a＞0，且a≠1）叫对数函数（logarithmic function）其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。

研究函数y=和函数y=的图象和性质。

y=＝－，设点（x，y）在y=的图象上，则点（x，－y）在图象y=上，而点（x，y）与（x，－y）关于x轴对称，所以y=的图象和y=的图象关于x轴对称。

（把x＝2分别代入两个函数，可得1和－1）函数y=（a＞0，且a≠1）的图象和性质：（1）定义域：（0，＋∞）；（2）值域：R；（3）过定点（1,0）即x＝1时，y＝0；（4）当0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时在（0，＋∞）上是增函数。

＊对比指数函数的图象和性质。

例7、求下列函数的定义域：（1）y＝定义域为：{x∣x≠0}（2）y＝定义域为：{x∣x＜4}例8、比较下列各组数中两个值的大小：（1），（＜）（2），（＞）（3），（a＞0，且a≠1）（a＞1时，＜，0＜a＜1时，＞）分析：本题利用对数函数的性质来解决。

注意（3）的分类讨论。

练习：P85 1、2作业：P86 6、7、8、9。

人教A版高中数学必修一对数函数及其性质教案

§2.2.2 对数函数及其性质（一）学习目标：⒈理解对数函数的意义，掌握对数函数的图象和性质； ⒉进一步体会应用函数图象讨论函数性质的方法．教学重点：对数函数的图象及其性质．教学难点：对数函数的图象、性质与底数a 的关系．教学方法：探究、讨论式．教具准备：用《几何画板》演示对数函数的图象与底数a 的关系．教学过程：（I ）新课引入：师：通过前面的学习我们了解到，生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系为：573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由对数与指数的关系，我们可以得到logt P =．这样我们就可以估算出土文物或古代遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系log t P =，都有唯一确定的年代t 与它对应，所以t 是P 的函数．这就是我们今天将要研究的一种新的函数——对数函数．（II ）讲授新课： ⒈对数函数的意义：师：一般地，我们把函数log a y x =(0a >，且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数定义域是(0,)+∞．这里为什么要规定“0a >，且1a ≠”呢？生：在对数的定义“log x a a N x N =⇔=”中，我们规定了必须满足条件“0a >，且1a ≠”．师：0a >的来历确实如此，但对于条件1a ≠来说就不仅仅如此了！事实上，在指数式x a N =中，如果1a =，则对于任意的x R ∈，都有11x =，转换成为对数形式后，则不再是我们所学习的函数了．⒉对数函数的图象和性质：师：下面我们利用计算机软件《几何画板》来观察分析对数函数2log y x =和12log y x =的图象之间的关系以及对数函数log a y x =(0a >，且1)a ≠的图象和性质．（引导学生观察图象，填写下表、讨论交流、概括总结对数函数的基本性质）例题：课本62P 例⒎（Ⅲ）课后练习：课本81P 练习⒈⒉；课本82P 习题2.2 A 组⒍ （Ⅳ）课时小结⒈要理解对数函数的意义，根据函数图象理解掌握对数函数的性质； ⒉要逐渐学会利用函数图像分析研究函数的性质．（Ⅴ）课后作业⒈课本82P 习题2.2 A 组⒌⒎ ⒉阅读课本79P ～80P ，思考下列问题：怎样利用对数函数的单调性比较两个对数的大小？所有对数的大小比较都可以用对数函数的性质进行吗？教学后记:。

人教版普通高中数学《对数函数的图象和性质》教学设计

四、教学过程（设计本课的学习环节，明确各环节的子目标，画出流程图）
复习引入→课堂探究→归纳总结→典例解析→课堂小结→课后作业
五、教学策略选择与信息技术融合的设计（针对学习流程，设计教与学的方式的变革，配
置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合点）
教师活动
预设学生活动
设计意图
复习：
教师引导学生回
1、指数函数的图象和性质．2、指数函数
的的图象和性质的研究方法和研究思路．顾指数函数的图
象和性质的研究
通过复习让学生回顾所学知识，并为本节课的内容做好知识储备．
方法和思路，引出
课题．
活动一：作出对数函数的图象
将学生分为两
大组，完成填表作
图．画好后，思考
几何画板呈现同一直角：学生分小组y讨论lo，g2总x 结对数函数
变式训练：比较下列各组数中两个值的大小：
1 lg 0.6, lg 0.8；
2 log0.5 6 ，log 0.5 4 ；
3 logm 5 ，logm 7 m 0，且m 1.
几何画板动态演示：改变底数 a 的值，让学生观察函数图像的变化，对活动 2 得到
让学生更加清楚地看到底数 a 是如何影响对数函数
由某小组代表汇报，其他小组补
1 log 2 3.4 ，log 2 8.5 ；
充．
通过画出特殊的对数函数的图形，观察归纳出对数函数的性质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养
2 log 0.3 1.8 ，log 0.3 2.7 ；
3 log a 5.1 ，log a 5.9 a 0 ，且a 1 .
二、教学目标（从学段课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目标要明晰、

2.2.2对数函数及其性质(第二课时)教案(人教A版必修1)

对数函数的性质的应用<1>[教学目标]１．巩固对数函数性质,掌握比较同底数对数大小的方法；２．并能够运用解决具体问题；３．渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力 [教学重难点]重点：性质的应用难点：性质的应用. [教学过程]〔一〕预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性. 〔二〕情景导入、展示目标 1、指对数互化关系：：〔三〕合作探究、精讲点拨例1比较下列各组数中两个值的大小：⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a解：⑴考查对数函数x y 2log =,因为它的底数2>1,所以它在〔0,+∞〕上是增函数,于是5.8log 4.3log 22<⑵考查对数函数x y 3.0log =,因为它的底数0<0.3<1,所以它在〔0,+∞〕上是减函数,于是7.2log 8.1log 3.03.0>点评：1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤： ①确定所要考查的对数函数；②根据对数底数判断对数函数增减性；③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 ⑶当1>a 时,x y a log =在〔0,+∞〕上是增函数,于是9.5log 1.5log a a < 当10<<a 时,x y a log =在〔0,+∞〕上是减函数,于是9.5log 1.5log a a >点评;2：分类讨论的思想对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1而已知条件并未指明,因此需要对底数a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握例3比较下列各组中两个值的大小：⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π分析：由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数的大小解：⑴16log 7log 66=> ,17log 6log 77=<,6log 7log 76>∴ ⑵01log log 33=>π ,01log 8.0log 22=<,8.0log log 23>∴π；点评:3：引入中间变量比较大小例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数的大小例4 求下列函数的定义域、值域：⑴41212-=--xy ⑵)52(log 22++=x x y ⑶)54(log 231++-=x x y ⑷)(log 2x x y a --=)10(<<a解：⑴要使函数有意义,则须：041212≥---x即：11212≤≤-⇒-≥--x x ∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y ∴定义域为[-1,1],值域为]21,0[⑵∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为),2[+∞⑶要使函数有意义,则须：由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y∴定义域为[-1,5],值域为),2[+∞-⑷要使函数有意义,则须：⎩⎨⎧≥-->--)2(0)(log )1(022x x x x a由①：01<<-x由②：∵10<<a 时则须 12≤--x x ,R x ∈ 综合①②得 01<<-x 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2aa x x ≥--∴41log a y ≥∴定义域为<-1,0>,值域为)41log [∞+，a 〔四〕反思总结、当堂检测1．比较2log 0.7与31log 0.8两值大小解：考查函数y=log2x∵2＞1,∴函数y=2log x 在〔0,+∞〕上是增函数又0.7＜1,∴2log 0.7＜2log 1=0 再考查函数y=31log x∵0＜31＜1 ∴函数y=31log x 在〔0,+∞〕上是减函数又1＞0.8,∴31log 0.8＞31log 1=0∴2log 0.7＜0＜31log 0.8∴2log 0.7＜31log 0.82．已知下列不等式,比较正数m 、n 的大小：〔1〕3log m ＜3log n <2>3.0log m ＞3.0log n <3>a log m ＜a log n<0＜a ＜1><4>a log m ＞a log n<a ＞1>解：〔1〕考查函数y=3log x∵3＞1,∴函数y=3log x 在〔0,+∞〕是增函数 ∵3log m ＜3log n,∴m ＜n<2>考查函数y=3.0log x∵0＜0.3＜1,∴函数y=3.0log x 在〔0,+∞〕上是减函数 ∵3.0log m ＞3.0log n, ∴m ＜n<3>考查函数y=a log x ∵0＜a ＜1,∴函数y=a log x 在〔0,+∞〕上是减函数 ∵a log m ＜a log n, ∴m ＞n<4>考查函数y=a log x ∵a ＞1,∴函数y=a log x 在〔0,+∞〕上是增函数 ∵a log m ＞a log n,∴m ＞n〔五〕小结本节课学习了以下内容： [板书设计]一、对数函数性质 1. 图像 2. 性质二、例题例1 变式1例2变式2[作业布置]导学案课后练习与提高。

高中数学人教A版必修1《2.2.2对数函数及其性质教案》教案3

必修一《2.2.2对数函数及其性质》教学案教学目标1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．2．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用的意识．3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．重点难点重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．难点：底数a 对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．教学过程第1课时导入新课思路1．如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用logt =估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系logt =都有唯一确定的年代t 与它对应，所以t 是P 的函数．同理，对于每一个对数式y ＝log a x 中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以y 是关于x 的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y ＝2x 表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x 就是细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x ＝log 2y .如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y ＝log 2x .这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．推进新课新知探究提出问题(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢x 表示的漂洗次数y 的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的164，则至少要漂洗几次？(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？ (3)为什么对数函数的概念中明确规定a ＞0，a ≠1？ (4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的34，则每次剩余污垢的14，漂洗1次存留污垢x ＝14，漂洗2次存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142，…，漂洗y 次后存留污垢x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ，因此y 用x 表示的关系式是对上式两边取对数得14log y x=，当x ＝164时，y ＝3，因此至少要漂洗3次．(2)对于式子14log y x=，如果用字母a 替代14，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)叫做对数函数，对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．(3)根据对数式与指数式的关系，知y ＝log a x 可化为a y ＝x ，由指数的概念，要使a y ＝x 有意义，必须规定a ＞0且a ≠1.(4)因为y ＝log a x 可化为x ＝a y ，不管y 取什么值，由指数函数的性质a y ＞0，所以x ∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．(5)只有形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1，x ＞0)的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x 的形式，否则就不是对数函数．像y ＝log a (x ＋1)，y ＝2log a x ，y ＝log a x ＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．提出问题(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？ (2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤． (3)利用上面的步骤，作下列函数的图象：y ＝log 2x ，12log y x=.(4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？ (6)把y ＝log 2x 和12log y x=的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？(7)你能证明上述结论吗？ (8)能否利用y ＝log 2x 的图象画出12log y x=的图象？请说明画法的理由．活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表2-3，及图2.2-1，2.2-2及2.2-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象． (3)列表(学生自己完成)：图1图2(4)通过观察图1，可知y ＝log 2x 的图象分布在y 轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点(1，0)，当x ＞1时y ＞0，当0＜x ＜1时y ＜0，图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．通过观察图2，可知12log y x的图象分布在y 轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点(1，0)，当x ＞1时y ＜0，当0＜x ＜1时y ＞0，图象不关于x 轴对称，也不关于y 轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．可以再画下列函数的图象：y ＝log 6x ，16log y x=，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．(5)通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．(6)在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和12x 两个函数的图象如图3.经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x 轴对称．图3(7)证明：设点P (x 1，y 1)是y ＝log 2x 上的任意一点，它关于x 轴的对称点是P 1(x 1，－y 1)，它满足方程y ＝12log x＝－log 2x ，即点P 1(x 1，－y 1)在12log y x=的图象上，反之亦然，所以y ＝log 2x 和12log y x=两个函数的图象关于x 轴对称．(8)因为y ＝log 2x 和12log y x=两个函数的图象关于x 轴对称，所以，可以根据y ＝log 2x的图象，利用轴对称的性质画出12log y x=的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．应用示例例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝log a x 2；(2)y ＝log a (4－x )．活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1.解：(1)由x 2＞0得x ≠0，所以函数y ＝log a x 2的定义域是{x |x ≠0}； (2)由4－x ＞0得x ＜4，所以函数y ＝log a (4－x )的定义域是{x |x ＜4}．点评：该题主要考查对数函数y ＝log a x 的定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH＝－lg [H＋]化为pH＝lg1[H＋]，再利用对数函数的性质来说明．解：(1)根据对数的运算性质，有pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg 1[H＋].在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，1[H＋]减小，相应地，lg 1[H＋]也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越大．(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7，所以纯净水的pH是7.点评：注意数学在实际问题中的应用．知能训练课本本节练习1.拓展提升在同一坐标系中，画出函数y ＝log 3x ，13log y x=，y ＝log 2x ，12log y x=的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象(如图4)．图4可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1，0)；当a ＞1时，图象向下与y 轴的负半轴无限靠拢，在点(1，0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小；在点 (1，0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大．当0＜a ＜1时，图象向上与y 轴的正半轴无限靠拢，在点(1，0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越大；在点(1，0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小．以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y ＝log a x ，当y ＝1时，x ＝a ，而a 恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y ＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，所以log1.50.5＜log0.50.3；又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.课堂小结1．对数函数的概念．2．对数函数的图象与性质．3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．4．数形结合与转化的数学思想．作业课本习题2.2A组7，8，9，10.设计感想本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第2课时导入新课思路1．复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的图象与性质．这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝log a x的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)．推进新课新知探究提出问题(1)根据你掌握的知识，目前比较数的大小有什么方法？(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．问题(1)学生回顾数的大小的比较方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，又用到某些函数的图象和性质，要分别对待，具体问题具体分析．问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．讨论结果：(1)比较数的大小：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．③计算出每个数的值，再比较大小．④是两个以上的数，有时采用中间量比较．⑤利用图象法．⑥利用函数的单调性．(2)常用的方法有定义法、图象法、复合函数的单调性的判断．利用定义证明单调性的步骤：①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.②作差或作商(同号数)，注意变形．③判断差的符号，商与1的大小．④确定增减性．对于复合函数y＝f[g(x)]的单调性的判断步骤可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．又简称为口诀“同增异减”．(3)有两种方法：定义法和图象法．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．图象法：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．应用示例例比较下列各组数中两个值的大小：(1) log 23.4；log 28.5；(2)log 0.31.8，log 0.32.7； (3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a ≠1)；(4)log 75，log 67.活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或直接利用对数函数的单调性来完成；作出图象，利用图象法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(3)因为底数的大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(4)所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y ＝log 2x 的图象，如图5.图5在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以log 23.4＜log 28.5.解法二：由函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以log 23.4＜log 28.5.解法三：直接用计算器计算，得log 23.4≈1.8，log 28.5≈3.1，所以log 23.4＜log 28.5. 解法四：作差log 23.4－log 28.5＝log 23.48.5，因为2＞1，3.48.5＜1，根据对数函数的性质，所以log 23.48.5＜0，即log 23.4＜log 28.5.(2)log 0.31.8＞log 0.32.7.(3)解法一：当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＜log a 5.9.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以log a 5.1＞log a 5.9. 解法二：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．令b 1＝log a 5.1，则15.1b a =，令b 2＝log a 5.9，则2 5.9b a=.当a ＞1时，y ＝a x 在R 上是增函数，且5.1＜5.9，所以b 1＜b 2，即log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上是减函数，且5.1＜5.9，所以b 1＞b 2，即log a 5.1＞log a 5.9. 解法三：作差log a 5.1－log a 5.9＝log a 5.15.9，5.15.9＜1，由对数函数的性质，当a ＞1时，log a 5.15.9＜0，因此log a 5.1＜log a 5.9；当0＜a ＜1时，log a 5.15.9＞0，因此log a 5.1＞log a 5.9.(4)解法一：因为函数y ＝log 7x 和函数y ＝log 6x 都是定义域上的增函数，所以log 75＜log 77＝1＝log 66＜log 67. 所以log 75＜log 67.解法二：直接利用对数的性质，log 75＜1，而log 67＞1，因此log 75＜log 67.点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.课本本节练习3. 【补充练习】函数y ＝log 2x －2的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞)答案：要使函数有意义，需log 2x －2≥0，log 2x ≥2，x ≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D .拓展提升探究y ＝log a x 的图象随a 的变化而变化的情况．用计算机先画出y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，12log y x=，13log y x=的图象，如图6.图6通过观察图象可总结如下规律：当a ＞1时，a 值越大，y ＝log a x 的图象越靠近x 轴；当0＜a ＜1时，a 值越大，y ＝log a x 的图象越远离x 轴．课堂小结本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．作业课本习题2.2B 组 2，3. 【补充作业】1．求函数y ＝lg x ＋lg (5－2x )的定义域．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－2x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＜52，解得1≤x ＜52.所以函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，52.2．已知y ＝log a (2－a x )在[0，1]上是x 的减函数，求a 的取值范围．解：因为a ＞0且a ≠1，(1)当a ＞1时，函数t ＝2－a x 是减函数；由y ＝log a (2－a x )在[0，1]上是x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，所以a ＞1；由x ∈[0，1]时，2－a x ≥2－a ＞0，得a ＜2，所以1＜a ＜2. (2)当0＜a ＜1时，函数t ＝2－a x 是增函数；由y ＝log a (2－a x )在[0，1]上是x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，所以0＜a ＜1.由x ∈[0，1]时，2－a x ≥2－1＞0，所以0＜a ＜1. 综上所述，0＜a ＜1或1＜a ＜2.设计感想本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容．对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．第3课时导入新课思路1．复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．思路2．在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y ＝a x 与函数y ＝log a x 的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．推进新课新知探究提出问题(1)用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x ＝log 2y 、y ＝2x 与y ＝log 2x 的函数图象． (2)通过图象探索在指数函数y ＝2x 中，x 为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？(3)如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．(4)探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．(5)探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．(6)结合(2)与(5)推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系．讨论结果：(1)y＝2x与x＝log2y.y＝2图7(2)在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．(3)由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x ＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x ∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x ∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x ∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．(4)从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．(5)通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．(6)通过(2)与(5)类比归纳知道，y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x对称．提出问题(1)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3(x＋1)；③y ＝log3(x－1).(2)从图象上观察它们之间有什么样的关系？(3)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y＝l og3x－1.(4)从图象上观察它们之间有什么样的关系？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．讨论结果：(1)如图8.图8(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)的图象间有如下关系：y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；y＝log3(x－1)的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；y＝log3(x－1)的图象由y＝log3(x＋1)的图象向右移动2个单位得到；y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3(x－1)的图象向左移动2个单位得到．(3)如图9.图9(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a(x＋h)的图象的变化规律为：当h＞0时，只需将函数y＝log a x的图象向左平移h个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)的图象；当h＜0时，只需将函数y＝log a x的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝log a(x＋h)的图象．②由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a x＋b的图象的变化规律为：当b＞0时，只需将函数y＝log a x的图象向上平移b个单位就可得到函数y＝log a x＋b的图象；当b＜0时，只需将函数y＝log a x的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝log a x＋b的图象．③由函数y＝log a x的图象得到函数y＝log a(x＋h)＋b的图象的变化规律为：画出函数y ＝log a x 的图象，先将函数y ＝log a x 的图象向左(当h ＞0时)或向右(当h ＜0时)平移|h |个单位，可得到函数y ＝log a (x ＋h )的图象，再将函数y ＝log a (x ＋h )的图象向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平移|b |个单位就可得到函数y ＝log a (x ＋h )＋b 的图象．这样我们就可以很方便地将函数y ＝log a x 的图象进行平移得到与函数y ＝log a x 有关的函数图象．那么，你能很方便地由函数y ＝log a x 的图象得到函数y ＝log a |x |的图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．应用示例例1 已知a ＞0，a ≠1，f (log a x )＝ax 2－1x (a 2－1)(x ＞0)．(1)求f (x )的表达式；(2)求证：函数f (x )在R 上是增函数．活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把log a x 看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数的关系，求出log a x 中的x ，然后代入求解．(2)证明函数的增减性要用函数单调性的定义．学生回顾单调性的证明方法与步骤，要按规定的格式书写．(1)解：设t ＝log a x ，则x ＝a t ，f (t )＝a ·a 2t －1a t (a 2－1). 所以f (x )＝a ·a 2x －1a x (a 2－1).(2)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝22121212222121211()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x a aa aa a a a aa a a a a a a ⋅-⋅--⋅⋅+-=---，当a ＞1时，ax 1－ax 2＜0，a 2－1＞0，当0＜a ＜1时，ax 1－ax 2＞0，a 2－1＜0，而ax 1ax 2及a ·ax 1·ax 2＋1均为正，所以对一切a ＞0，a ≠1，总有f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在R 上是增函数．点评：换元法是解题常用的数学方法，要注意体会．例2 已知F (x )＝f (x )－g (x )，其中f (x )＝log a (x －1)，并当且仅当(x 0，y 0)在f (x )的图象上时，点(2x 0，2y 0)在y ＝g (x )的图象上．求y ＝g (x )的解析式．活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式．由于P 0(x 0，y 0)与P 1(2x 0，2y 0)是相关的，如果我们能把y ＝g (x )上的点P 1(2x 0，2y 0)的坐标通过变换，表示为P 0(x 0，y 0)的坐标的相关形式，代入即可，也称相关点法．。

高中数学教案222对数函数及其性质(新人教A版)

2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学a>和利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中含a01有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.。