复合函数的导数教案
学案2：5.2.3 简单复合函数的导数
5.2.3 简单复合函数的导数【课标要求】课程标准：理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则，能求简单复合函数的导数． 学习重点：复合函数的求导．学习难点：分清函数的复合关系，选好中间变量.【新知拓展】复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x )′＝2cos2x ，而(sin2x )′≠cos2x .(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导法则运用熟练后，中间步骤可省略不写．【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝ln x ＋e x ＋x 3＋3x是复合函数．( ) (2)函数y ＝sin 23x 可以看作函数y ＝u 2，u ＝sin t 和t ＝3x 的复合函数．( )(3)函数y ＝ln 1x的导数为y ′＝x .( ) 2．做一做(1)下列结论中正确的是( )A ．若y ＝cos 1x ，则y ′＝－1x sin 1xB ．若y ＝sin x 2，则y ′＝2x cos x 2C ．若y ＝cos5x ，则y ′＝－sin5xD ．若y ＝12x sin2x ，则y ′＝12cos2x (2)已知某函数的导数为y ′＝12(x －1)，则这个函数可能是( )A．y＝ln 1－x B．y＝ln11－xC．y＝ln (1－x) D．y＝ln1 x－1(3)函数y＝sin2x cos3x的导数是________.(4)若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.【题型探究】题型一简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.[规律方法]1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数．[跟踪训练1]求下列函数的导数：(1)y ＝e 2x ；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝5log 2(2x ＋1)；(4)y ＝13－3x －1.题型二 较为复杂函数的求导例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x e 5x ＋2；(2)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.[规律方法]对于复杂函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量，同时要注意复合函数的复合关系，选好中间变量．[跟踪训练2] 求下列函数的导数：(1)f (x )＝sin2x ＋e 2x ；(2)f (x )＝53x ln (2x ＋1)；(3)f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1.题型三 导数的综合应用例3 已知曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3在点⎝⎛⎭⎫π2，0处的切线斜率为k ，若|k |<1，求ω的值．[规律方法]高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合，如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．[跟踪训练3] (1)曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为________；(2)曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是________.【随堂达标】1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)42．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x 3．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)等于( )A ．0B ．60C ．－1D ．－604．函数y ＝x ln (2x ＋5)的导数为________.5．求出下列函数的导数：(1)y ＝e x tan x ；(2)y ＝ln (4x ＋5)3；(3)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (4)y ＝sin x x n ；(5)y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5.【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)√ (3)×2．【答案】(1)B (2)A (3)2cos2x cos3x －3sin2x sin3x (4)1【题型探究】题型一 简单复合函数求导问题例1[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2. (3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5. [跟踪训练1]解 (1)设u ＝2x ，则y ＝e u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·2＝2e 2x .(2)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3， 则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (3)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′u (2x ＋1)′x ＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2. (4)设u ＝－3x －1，则y ＝u －，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－13u －·(－3)＝(－3x －1) －＝3(－3x －1)2(－3x －1)2. 题型二 较为复杂函数的求导例2[解] (1)y ′＝x ′e 5x ＋2＋x (e 5x ＋2)′＝e 5x ＋2＋x e 5x ＋2·5＝(5x ＋1)e 5x ＋2.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4 ＝－12sin4x －2x cos4x . [跟踪训练2]解 (1)因为f (x )＝sin2x ＋e 2x ，所以f ′(x )＝2cos2x ＋2e 2x .(2)因为f (x )＝53x ln (2x ＋1)， 所以f ′(x )＝53ln (2x ＋1)＋53x ·22x ＋1＝53ln (2x ＋1)＋10x 3(2x ＋1). (3)因为f (x )＝sin(1－2x )a 4x －1， 所以f ′(x )＝－2cos(1－2x )a 4x －1－sin(1－2x )a 4x －14ln a (a 4x －1)2＝－2cos(1－2x )－4sin(1－2x )ln a a 4x －1. 题型三 导数的综合应用例3[解] ∵曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴cos ⎝⎛⎭⎫ω·π2＋π3＝0， ∴ω·π2＋π3＝n π＋π2(n ∈Z )，∴ω＝2n ＋13(n ∈Z )， 又y ′＝－ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， ∴k ＝y ′|x ＝π2＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2n ＋13×π2＋π3 ＝－⎝⎛⎭⎫2n ＋13sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π2＝±⎝⎛⎭⎫2n ＋13. ∵|k |<1，∴|2n ＋13|<1，∴ω＝13. [跟踪训练3]【答案】(1)5x ＋y －3＝0 (2)5【解析】(1)y ′＝－5e －5x ，曲线在点(0,3)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.(2)设曲线y ＝ln (2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1，∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1， ∴y 0＝ln (2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5， 即曲线y ＝ln (2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.【随堂达标】1．【答案】A 【解析】A 中的函数是一个多项式函数；B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数；C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数；D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数．故选A ．2．【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 3．【答案】B【解析】f ′(x )＝10(1－2x 3)9(－6x 2)，所以f ′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60.4．【答案】ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5【解析】y ′＝[x ln (2x ＋5)]′＝x ′ln (2x ＋5)＋x [ln (2x ＋5)]′＝ln (2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln (2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．解 (1)由于y ＝e x tan x ，则y ′＝(e x )′tan x ＋e x (tan x )′＝e xtan x ＋e x cos 2x ，即y ′＝e x tan x ＋e x cos 2x . (2)由于y ＝ln (4x ＋5)3，则y ′＝124x ＋5. (3)由于y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋x －2，则y ′＝3x 2－2x 3. (4)由于y ＝sin x x n ，则y ′＝x cos x －n sin x x n ＋1. (5)由于y ＝e －x ＋2(2x ＋1)5，则y ′＝(9－2x )(2x ＋1)4e －x ＋2.。
《复合函数的导数》教案
《复合函数的导数》教案
一、教学目标
【知识与技能】
理解复合函数的概念，记住复合函数的求导公式，以及会利用基本初等函数的求导公式求复合函数的导数。
【过程与方法】
通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，能正确分解简单的复合函数，具备简单的形如的复合函数的导数的能力。
【情感态度与价值观】
在主动参与数学活动的过程中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，并乐于与人交流。
二、教学重难点
【重点】
会分解简单的复合函数及会求导。
【难点】
正确分解复合函数的复合过程。
三、教学过程
(五)小结作业
小结：通过这节课的学习，求复合函数的导数，关键在于搞清楚
复合函数的结构，明确复合次数，由外向内层逐层求导，直到关
于自变量求导，同时注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果。
作业：想一想，生活中还有哪些量是成正比例的量?
四、板书设计
五、教学反思。
《简单复合函数的求导法则》参考教案
§5 简单复合函数的求导法则一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。
二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用教学难点：简单复合函数的求导法则的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。
1. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭ （二）、引入新课海上一艘油轮发生了泄漏事故。
泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S (单位：m 2)是油膜半径r (单位：m)的函数：2)(r r f S π==。
油膜的半径r 随着时间t （单位：s ）的增加而扩大，假设r 关于t 的函数为12)(+==t t r ϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率是多少？分析：由题意可得S 关于t 的新的函数：2)12())((+==t t f S πϕ。
油膜的面积S 关于时间t 的瞬时变化率就是函数))((t f S ϕ=的导函数。
∵ )144()12())((22++=+=t t t t f ππϕ，∴ )12(4)48(]))(([+=+='t t t f ππϕ。
又 r r f π2)(='， 2)(='t ϕ，可以观察到 22)12(4⋅=+r t ππ，即 )()(]))(([''='t r f t f ϕϕ。
人教版高一数学教案-复合函数的导数
§1.2.3複合函數的導數
【學情分析】：
在學習了用導數定義這種方法計算常見函數的導數,而且已經熟悉了導數加減運算法則後.本節將繼續介紹複合函數的求導方法.
【教學目標】：
(1)理解掌握複合函數的求導法則.
(2)能夠結合已學過的法則、公式，進行一些複合函數的求導
(3)培養學生善於觀察事物，善於發現規律，認識規律，掌握規律，利用規律．
【教學重點】：
簡單複合函數的求導法則，也是由導數的定義匯出的，要掌握複合函數的求導法則，須在理解複合過程的基礎上熟記基本導數公式，從而會求簡單初等函數的導數並靈活應用.
【教學難點】：
複合函數的求導法則的導入,複合函數的結構分析,可多配例題,讓學生對求導法則有一個直觀的瞭解.
【教學過程設計】：
32(32)31812u x x =-=-，x u u y ''⋅
對於一般的複合函數，結論也成立，以y ′x 時，就可以轉化為求y u ′和的乘積，關鍵是找中間變數，隨著中間變數的不同，難易程度不同.。
《简单复合函数的导数》教学设计
3
所以
3
所以曲线 y 3 x 1 在点(2/3，1)处的切线斜率
k y
x
2
3
1
所以曲线在点(2/3，1)处的切线方程为 y-1=1×(x-2)即 3x 3 y
1 0
例 4.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的
【设计意图】：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题。发展学生数
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学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
二、新知探究
探究 1： y ln( 2 x 1) 函数的结构特点.
1
若设 u = 2x − 1 (x > ) , 则 y = lnu 从而 y = ln(2x − 1) 可以看成是由 y = lnu 和 u
2.(1)-2
1
3.a=-4
2 ax
3
2
在点（0，1）处与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值
( 2) 6(1 2 x ) 2
5
(2）7
(3)
2
( 2 x 1) ln 2
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2.运用复合函数的导数运算法则求函数的导数，要关注中间变量的作用.
（1）运算过程中依靠中间变量识别构成复合函数的基本初等函数的结构.
（2）运算结果应表示为原来自变量的函数.
【设计意图】：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
四、作业布置
基础训练：1.求下列函数的导数：
(1) y
2
2.掌握复合函数的求导法则，能够利用求导法则求复合函数 的导数，提升数学运算的素养.
教学内容
复合函数求导法-教案
2.2.2 复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数 教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则1、比如求函数x y 2sin =的导数。
错误解答：x y 2cos ='正确解答：()()()x x x x x x y 2cos 2sin cos 2cos sin 22sin 22=-='='='对比一下，答案错误的原因是把x 2当成了自变量。
我们先把复合函数x y 2sin =进行分解为x u u y 2,sin ==。
x u dxdu du dy dx dy y 2cos 22cos =⋅=⋅==' 1、 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步：逐一分步求导。
复合函数求导法则: 设函数()y f u =在点u 处可导，()u x ϕ=在点x 处可导，则复合函数[()]y f u ϕ=在点x 处可导，且有()()dy f u x dx ϕ''=⋅ 或 dy dy dudx du dx=⋅ 证明 设变量x 有改变量x ∆，相应地，变量u 有改变量u ∆，从而y 有改变量y ∆. 由于u 可导，所以0lim 0=∆→∆u x ，)(lim lim00x u u y x y x x ∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆ x uu y x u ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim x u u y '⋅'= 即 x u x u y y '⋅'='.现在利用复合函数求导法则求x y 2sin =的导数：u y sin =，x u 2=（中间变量为u ,自变量为x ），即（对u 求导)(对x 求导) （回代）(sin )(2)2cos 2cos2u x y u x u x '''=⋅==如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
简单复合函数求导教案高中
简单复合函数求导教案高中高中数学教学中，简单复合函数求导是一个重要的知识点。
本文将介绍简单复合函数求导的相关概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、简单复合函数的概念。
1.1 复合函数。
在数学中，复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为(f∘g)(x)= f(g(x))。
其中，g(x)的输出作为f(x)的输入，得到新的函数(f∘g)(x)。
1.2 简单复合函数。
简单复合函数是指由两个简单函数复合而成的函数。
简单函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数。
二、简单复合函数求导的方法。
2.1 复合函数求导法则。
设有两个函数u(x)和v(x)，它们的复合函数为y = u(v(x))。
根据链式法则，复合函数的导数可以表示为dy/dx = u'(v(x)) v'(x)，其中u'(v(x))表示u(x)对v(x)的导数，v'(x)表示v(x)对x的导数。
2.2 简单复合函数求导的具体步骤。
对于简单复合函数y = f(g(x))，求导的具体步骤如下：（1）首先求出g(x)的导数g'(x)；（2）然后求出f(u)的导数f'(u)，其中u = g(x)；（3）最后将g'(x)和f'(u)相乘，即得到复合函数y = f(g(x))的导数。
三、简单复合函数求导的例题。
为了更好地理解简单复合函数求导的方法，我们通过例题来进行具体的讲解。
例题1，已知y = (3x^2 + 1)^4，求dy/dx。
解，将y = (3x^2 + 1)^4表示为y = u^4，其中u = 3x^2 + 1。
根据链式法则，有dy/dx = 4u^3 6x = 24x(3x^2 + 1)^3。
例题2，已知y = sin(2x + 1)，求dy/dx。
解，将y = sin(2x + 1)表示为y = sin(u)，其中u = 2x + 1。
【教案】简单复合函数的导数教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章 一元函数的导数及其应用《5.2.3简单复合函数的导数》教学设计 1.了解复合函数的概念．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．教学重点：复合函数的概念及求导法则教学难点：简单复合函数的导数PPT 课件． 【新课导入】 问题1：阅读课本第78~80页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．）本节课主要学习简单复合函数的导数；（函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：导数的四则运算法则是什么？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：[()()]()()f x g x f x g x +='+''；[()()]()()f x g x f x g x -='-''；[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x ''='+；2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤-''=≠⎢⎥⎣⎦. 特别地[()]()cf x cf x '='.设计意图：复习前节课的主要知识，温故而知新．◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点◆ ◆ 教学目标问题3：如何求函数y ＝ln （2x -1）的导数呢？设计意图：提出问题，开门见山，引导学生探究复合函数的求导问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】知识点1：复合函数的概念 一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x )) ．【说一说】（1）函数y ＝ln （2x -1）是由哪些函数复合而成的？（2）函数y ＝sin2x 是由哪些函数复合而成的？师生活动：学生回答．预设的答案：（1）函数y ＝ln （2x -1）是由y ＝ln u 和u ＝2x -1复合而成．（2）函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成．问题5：如何求函数y ＝sin2x 的导数呢？师生活动：教师引导学生思考并回答．教师完善、讲解．预设的答案：(sin 2)(2sin cos )2(sin cos )y x x x x x ''''===2[(sin )cos sin (cos )]x x x x ''=+2[cos cos sin (sin )]2cos2x x x x x =⋅+-=追问：函数y ＝sin2x 是由y ＝sin u 和u =2x 复合而成的，如果以x y '表示y 对x 的导数，u y '表示y 对u 的导数，x u '表示u 对x 的导数，那么x y '与u y '及x u '有什么关系呢？师生活动：学生先求出u y '和x u '然后找关系．教师完善、讲解．预设的答案：(sin )cos u y u u ''==，(2)2x u x ''==，又x y '2cos2x =，所以x u x y y u '''=⋅．知识点2：复合函数的求导法则一般地，对于由函数y ＝f (u )，u ＝g (x )复合而成的函数y ＝f (g (x ))，它的导数与y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．设计意图：通过对复合函数的概念及求导法则的推导．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．【练一练】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin(πx )的复合过程是y ＝sin u ，u ＝πx ． ( )(2)f (x )＝ln(3x －1)则f ′(x )＝1()31f x x '=-． ( ) (3)f (x )＝x 2cos2x ，则f ′(x )＝2x cos2x ＋2x 2sin2x ． ( )师生活动：学生独立完成，教师完善．预设的答案：(1)√ (2) × (3) ×【巩固练习】 例1求下列函数的导数（1）y =（3x +5）3；（2）y =e -0.05x +1；(3) y =ln(2x -1)．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答．教师完善．预设的答案：（1）函数y =（3x +5）3可以看作函数y =u 3和u =3x +5的复合函数，根据复合函数求导法则，有322()(35)339(35)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+=⋅=+；（2）函数y =e -0.05x +1可以看作函数y =e u 和u =-0.05x +1 的复合函数，根据复合函数求导法则，有0.051()(0.051)(0.05)0.05u u x x u x y y u e x e e -+'''''=⋅=⋅-+=⋅-=-；（3）函数y =ln(2x -1)可以看成是由y =ln u 和u =2x -1的复合函数，根据复合函数求导法则，有11(ln )(21)221x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅-=⋅=-． 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握复合函数的求导，发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．2．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y (单位:mm)关于时间t (单位:s)的函数满足关系式218sin()32y t ππ=- .求函数在t =3s 时的导数，并解释它的实际意义． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答；教师完善．预设的答案：函数218sin()32y t ππ=-可以看作函数y =18sin u 和232u t ππ=-的复合函数，根据复合函数的求导法则，有222(18sin )()18cos 12cos()32332t u t y y u u t u t ππππππ'''''=⋅=⋅-=⋅=-， 当t =3时，2312cos(3)12cos 0322t y πππππ'=⨯-==． 它表示当t =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s ．设计意图：通过弹射振子的位移问题，体现了复合函数求际的实际应用．发展学生数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．方法总结：（1）复合函数求导，关键是分析复合函数的结构，找出相应的中间变量，从而根据复合函数的求导法则进行求导．（2）三角函数型函数的求导要求：对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.（3）复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.练习：教科书P 81练习1、2逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1． 板书设计：5. 2.3简单复合函数的导数新知探究巩固练习 知识点1：复合函数的概念例1 知识点2：复合函数的求导法则例22．总结概括：简单复合函数的求导法则师生活动：学生总结，老师适当补充．3．课堂作业：教科书P 81习题5.22、5教科书P 81 练习3 【目标检测设计】1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( )A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1设计意图：进一步巩固复合函数的概念．2．函数y ＝x 2 sin 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x sin 2x －x 2 cos 2xB ．y ′＝2x sin 2x －2x 2 cos 2xC ．y ′＝x 2 sin 2x －2x cos 2xD ．y ′＝2x sin 2x ＋2x 2 cos 2x设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则．3．已知f (x )＝ln(3x －2021)，则f ′(1)＝________.设计意图：进一步巩固复合函数的求导法则以及求导数值．4．已知f (x )＝x e －x ，则f (x )在x ＝2处的切线斜率是________． 设计意图：进一步巩固复合函数的导数以及导数的几何意义． 参考答案：1．A2．D y ′＝(x 2)′sin 2x ＋x 2(sin 2x )′＝2x sin 2x ＋x 2(cos 2x )•(2x )′＝2x sin 2x +2x 2cos 2x .3．32018-∵13()33202132021f x x x '=⋅=--，∴3(1)2018f '=-. 4．21e -∵f (x )＝x e －x ，∴f ′(x )＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x ，∴21(2)f e '=-. 根据导数的几何意义知f (x )在x ＝2处的切线斜率为k ＝21e -.。
教学设计9：简单复合函数求导
简单复合函数求导教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ·ln a (a >0) f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝1x ln a (a >0且a ≠1)f (x )＝ln x f ′(x )＝1x导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f (x )＝ln x 的导数是什么？函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f (x )＝ln x 的导数是f ′(x )＝1x ，函数f (x )＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x )＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x >－23)，则y ＝ln u .从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝ln u 和函数u ＝3x ＋2(x >－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f (u )，u 与x 的关系记作u ＝g (x )，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f (u )＝f (g (x ))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x－2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．理解新知例1 指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y ＝(2x ＋3)2； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)； (4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数． (4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x 的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程． 设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2 写出由下列函数复合而成的函数． (1)y ＝ln u ，u ＝12x －3；(2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5. 解：(1)y ＝ln(12x －3)；(2)y ＝e 3x ＋5. 设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？ (二)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′(y x′表示y对x的导数)，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(板书)理解新知例3 求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(3x＋2)．解：(1)因为函数y＝(3x－2)2可以看作函数y＝u2和u＝3x－2的复合函数，所以y＝(3x －2)2对x的导数等于y＝u2对u的导数与u＝3x－2对x的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.(2)因为函数y＝ln(3x＋2)可以看作函数y＝ln u和u＝3x＋2的复合函数，所以y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(3x＋2)′＝1u·3＝33x＋2.设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)2；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看作函数y＝u2和u＝2x＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u2)′(2x＋3)′＝4u＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝e u和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(e u)′(－0.05x＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看作函数y＝sin u和u＝πx＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′(πx＋φ)′＝πcos u＝πcos(πx＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解 y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导 y x ′＝y u ′·u x ′＝2u ·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代． 例5 求下列函数的导数． (1)y ＝x －a x 2－2ax；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax ＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax(x 2－2ax )2.点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． (2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x )＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x .解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x )3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1.【答案】(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x )2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝xx 2＋1.变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)； (4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2x sin(2x ＋5)． 【答案】(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3；(4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)． 设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．达标检测1．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋1)5；(2)y ＝sin 3x ＋sin 3(3x )；(3)y ＝sin(2x )2x －1；(4)y ＝log a (x 2－2)．2．求y ＝ln(2x 2＋3x ＋1)的导数． 【答案】1.(1)y x ′＝10(2x ＋1)4； (2)y x ′＝3sin 2x cos x ＋9sin 2(3x )cos(3x )； (3)y x ′＝2cos2x (2x －1)－2sin2x(2x －1)2；(4)y x ′＝2x(x 2－2)ln a .2．y x ′＝4x ＋32x 2＋3x ＋1.课堂小结1．复合函数的定义．2．复合函数的求导法则，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为比较简单的函数，然后再利用复合函数的求导法则求导．3．复合函数求导的基本步骤是： 分解——求导——相乘——回代．布置作业课本习题1.2A 组第6、7题，B 组第2题．补充练习基础练习 一、选择题1．若函数f (x )＝3cos(2x ＋π3)，则f ′(π2)等于( )A ．－3 3B ．3 3C ．－6 3D ．63 2．函数y ＝sin 23x ＋5cos x 2的导数是( )A ．2sin3x －5sin x 2B ．2si n 6x －10x sin x 2C ．3sin6x ＋10sin x 2D ．3sin6x －10x sin x 2 二、填空题3．若函数f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝__________.4．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程是__________． 三、解答题5．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离． 【答案】1.B 2.D 3.1ln3 4.3x －y －11＝0 5. 5.拓展练习1．求下列函数的导数．(1)y ＝2x sin(3x ＋π6)；(2)y ＝x sin2x ＋cos3x ；(3)y ＝cos(－2x ＋π6)；(4)y ＝22x ＋1.2．求曲线y ＝sin2x 在点P (π，0)处的切线方程．3．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．【答案】1.(1)y x ′＝2sin(3x ＋π6)＋6x cos(3x ＋π6)．(2)y x ′＝sin2x ＋2x cos x －3sin3x . (3)y x ′＝2sin(－2x ＋π6)．(4)y x ′＝22x ＋2ln2. 2．2x －y －2π＝0. 3．a ＝3，b ＝－11，c ＝9.设计说明本节课主要讲了两个方面的内容：一、复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程；二、复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法．通过大量的例题与练习巩固这两方面的知识，使学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握，为接下来的利用导数研究函数的性质打下坚实的基础．在方法方面，重在引导与不断地总结；在法则方面，重在加强练习．在教学过程中不断地与学生互动，使学生不断超越自我，享受成功的喜悦．。
高中数学复合函数导数教案
高中数学复合函数导数教案一、复合函数简介复合函数是由一个函数和另一个函数通过代入的方式构成的，其导数可以通过链式法则计算得出。
具体地说，如果函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，那么复合函数(f ∘ g)(x) 的导数可以表示为(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
二、复合函数导数的计算方法1. 确定被复合的两个函数 f(x) 和 g(x)。
2. 计算两个函数的导数 f'(x) 和 g'(x)。
3. 将两个函数的导数代入链式法则公式中计算复合函数的导数。
三、具体例题讲解例题1：设 f(x) = 2x^2，g(x) = 3x - 1，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
解：首先计算函数 f(x) 和 g(x) 的导数：f'(x) = 4x，g'(x) = 3。
然后代入链式法则公式计算复合函数的导数：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)= f'(3x - 1) * g'(x)= 4(3x - 1) * 3= 12(3x - 1)。
四、练习题1. 设 f(x) = x^2，g(x) = 2x + 1，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
2. 设 f(x) = e^x，g(x) = x^2，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
3. 设 f(x) = sin(x)，g(x) = x^3，求复合函数(f ∘ g)(x) 的导数。
五、总结反思通过学习复合函数导数的计算方法，我们可以更好地理解函数之间的关系，并在实际问题中灵活运用导数知识。
希望同学们能够认真学习，并在练习中不断提高自己的数学能力。
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计
《1.2.3简单复合函数的求导》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】利用导数的概念能求简单的复合函数的导数。
【教学目标】1.理解掌握复合函数的求导法则。
2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导。
3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律。
【学情与内容分析】本节在教材中起到了“承上启下”的作用，是前几节内容知识的延续，也是后面研究导数在函数中应用等函数综合问题的基础。
前几节学习了导数基本概念、基本初等函数的导数公式以及导数的四则运算法则。
教材以“你会求sin(21)y x =+的导数吗？”这个问题引入， 这个函数是不能通过基本初等函数的四则运算得到的，旧知识是不能求导的，那么我们有必要去研究这类函数的求导方法，激发学生对新知的求知欲。
在求导之前要弄清楚函数的结构，首先是引导学生分析sin(21)y x =+这个特殊复合函数的结构，让学生感受函数的复合过程，初步感知“复合函数”的概念，然后给出了复合函数的一般概念，体会数学抽象的过程。
在理解复合函数“复合”的过程中，重点引导学生理解因变量是如何通过中间变量表示为自变量的函数过程，自变量、中间变量、因变量是什么。
然后引导学生利用导数的定义来推导复合函数的求导公式，即((()))(())g ()f g x f g x x '''=，最后举例应用。
本节主要采用了“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的数学思想方法，体现数学学科核心素养。
【教学准备】多媒体课件，挂图，实物，模型，仪器。
【难重点】重点：复合函数的结构分析、复合函数的求导法则推导及应用。
难点：复合函数的结构分析、求导法则的推导。
【教学过程】,),0h dx ，(),()(f u x g x '→'→记作)【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容；2、教材P26 1题、P27 8题【教学反思】。
2022年 《学案5.2.3简单复合函数的导数》优秀教案
简单复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数＝f u和u＝g，如果通过中间变量u，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数＝f u和u＝g的复合函数，记作＝f g．思考：函数＝og2＋1是由哪些函数复合而成的？[提示]函数＝og2＋1是由＝og2u及u＝＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法那么复合函数＝f g的导数和函数＝f u，u＝g的导数间的关系为′＝′u·u′，即对的导数等于对u的导数与u对的导数的乘积．1．判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞1函数＝inπ的复合过程是＝in u，u＝π．2f ＝n3－1那么f ′＝错误!．3f ＝2co2，那么f ′＝2co2＋22in2．[提示]2中f ′＝错误!3中，f ′＝2co 2－22in 2[答案]1√2×3×2．函数＝的导数是A．B．C．－D．－C[∵＝，∴′＝－2×错误!×3－1′＝－]3．以下对函数的求导正确的选项是A．＝1－23，那么′＝31－22B．＝og22＋1，那么′＝C．＝co错误!，那么′＝错误!in错误!D．＝22－1，那么′＝22n 2D[A中，′＝－61－22，∴A错误；B中，′＝，∴B错误；C中，′＝－错误!in错误!，∴C错误；D中′＝22－1n 2×2－1′＝22n 正确．]1＝e2＋1；2＝；3＝5og21－；4＝错误![解]1函数＝e2＋1可看作函数＝e u和u＝2＋1的复合函数，∴′＝′u·u′＝e u′2＋1′＝2e u＝2e2＋12函数＝可看作函数＝u－3和u＝2－1的复合函数，∴′＝′u·u′＝u－3′2－1′＝－6u－4＝－62－1－4＝－3函数＝5og21－可看作函数＝5og2u和u＝1－的复合函数，∴′＝′u·u′＝5og2u′·1－′＝错误!＝4∵n 3′＝错误!×3′＝错误!∴′＝错误!＝错误!＝错误!1．解答此类问题常犯两个错误1不能正确区分所给函数是否为复合函数；2假设是复合函数，不能正确判断它是由哪些根本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]1．求以下函数的导数：1＝103－2；2＝ne＋2；3＝错误![解]1令u＝3－2，那么＝10u所以′＝′u·u′＝10u n 10·3－2′＝3×103－2n 102令u＝e＋2，那么＝n u∴′＝′u·u′＝错误!·e＋2′＝错误!3′＝错误!′＝错误!＋错误!′＝错误!＋错误!＝错误!1＝co错误!错误!；2＝2＋tan[思路探究]先将给出的解析式化简整理，再求导．[解]1∵＝co错误!错误!＝co错误!in错误!－co2错误!＝错误!in －错误!1＋co ＝错误!in －co －错误!，∴′＝＝错误!in －co ′＝错误!co ＋in ．2因为＝2＋错误!，所以′＝2′＋错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误![解]由题意可知，设切点＝2错误!，解得m＝8或－12即实数m的值为8或－122．变条件、变结论把本例1条件变为“假设直线＝＋b是＝n ＋2的切线，也是＝n＋1的切线〞，求b的值．[解]函数＝n ＋2的导函数为′＝错误!，函数＝n＋1的导函数为′＝错误!设曲线＝n ＋2和曲线＝n＋1上的切点横坐标分别为m，n，那么该直线方程可以写成＝错误!·－m＋n m＋2，也可以写成＝错误!－n＋n n＋1．整理后比照得错误!解得错误!因此b＝1－n 2利用导数的几何意义解题时的注意点1求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为根本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．2．和与差的运算法那么可以推广[f 1±f 2±…±f n]′＝f ′1±f ′2±…±f ′n．1．函数＝2－1n的复合过程正确的选项是A．＝u n，u＝2－1B．＝u－1n，u＝2C．＝t n，t＝2－1n D．＝t－1n，t＝2－1[答案]A2．函数＝2co 2的导数为A．′＝2co 2－2in 2B．′＝2co 2－22in 2C．′＝2co 2－2in 2D．′＝2co 2＋22in 2B[′＝2′co 2＋2co 2′＝2co 2＋2－in 2·2′＝2co 2－22in 2]3．f ＝n3－1，那么f ′1＝________错误![f ′＝错误!×3－1′＝错误!，∴f ′1＝错误!＝错误!]4．f ＝e－，那么f 在＝2处的切线斜率是________．－错误![∵f ＝e－，∴f ′＝e－－e－＝1－e－，∴f ′2＝－错误!根据导数的几何意义知f 在＝2处的切线斜率为＝f ′2＝－错误!]5．求以下函数的导数：1＝e2；2＝1－33[解]1′＝e2·2′＝e2·2＝2e22′＝31－321－3′＝－91－32或′＝－812＋54－9。
教学设计7：简单复合函数求导
简单复合函数求导教学目标：㈠知识目标：复合函数的求导法则．㈡能力目标：掌握复合函数的求导法则，并能进行简单的运用． 教学重点：复合函数的求导法则的应用．教学难点：复合函数的求导法则的应用．教学方法：讲授法．教具准备：多媒体投影．教学过程：Ⅰ.新课引入[师]上节课我们学习了复合函数的概念以及复合函数的求导法则，请同学们回忆一下，怎样的函数叫做复合函数呢？复合函数一般是什么形式呢？[生]由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．[师]复合函数的求导法则是怎样的？[生] 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．即 x u x u y y '''⋅=．[师]复合函数求导的基本步骤是怎样的？[生]复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．．[师]对于复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导．本节课我们将在应用的过程中进一步熟练的掌握复合函数的求导法则． Ⅱ.新课讲授例1求下列函数的导数： ⑴4)31(1x y -=； ⑵2sin x y =； ⑶)63cos(π-=x y ； ⑷21x y +=． 解：⑴4)31(1x y -=4)31(--=x ． 设4-=u y ，x u 31-=，则x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5)31(12x -=． 说明：①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；本题如果选成1-=u y ，v u -=1，x v 3=就复杂了．②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此例的解题过程可以直接写成)3()31(4]')31[('54-⋅--=-=--x x y 5)31(12--=x 5)31(12x -=． ⑵⑶⑷由学生板演完成，答案：⑵2cos 2x x ；⑶)63sin(3π--x ；⑷21xx +． 例2求51xx y -=的导数． 解：511⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ， '541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y 254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- 5654)1(51---=x x ． 例3求证：1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C ，其中N n ∈*． 说明：这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时，用倒序求和等方法给出过证明，这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式．证明：由二项式定理知=+n x )1(n n n n n n nx C x C x C x C C +++++ 332210， 两边同时对x 求导，得13211320)1(--+++++=+n n n n n nn x nC C x C C x n ． 令1=x 得12-⋅n n n n n n n nC C C C ++++= 32132．说明：n x )1(+是作为复合函数对求导的．Ⅲ.课堂练习：课本P 123 练习；Ⅳ.课时小结：对于复合函数的求导，要理解法则，掌握步骤，灵活应用．Ⅴ.课后作业：⒈⑷⒉⒊⑴板书设计：教学后记：。
高三数学复习教案;简单复合函数的导数
高三数学复习教案；简单复合函数的导数
【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：“高三数
学复习教案；简单复合函数的导数”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高三数学复习教案；简单复合函数的导数
【高考要求】：简单复合函数的导数(B).
【学习目标】：1.了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则，能求
简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数.
2.会用复合函数的导数研究函数图像或曲线的特征.
3.会用复合函数的导数研究函数的单调性、极值、最值.
【知识复习与自学质疑】
1.复合函数的求导法则是什幺?
2.(1)若，则________.(2)若，则_____.(3)若，则___________.(4) 若，则___________.。
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高二数学选修2-2复合函数的导数教案
李玲
一、学习目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
二、重点难点 本节的重点是复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
本节的难点是：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
三、典型例题
1．求复合函数的导数
求函数的
导数 思考一;若x=1求f （1）需要几步骤
1：计算一次函数3x+1=3*1+2=5
2：再计算ln （3*1+2）=ln5
探究1、探究函数的结构特点
因此y=ln （3x+2）是由内函数为一次函数外函数为对数函数复合而成的复合函数 探究:2：求复合函数的导
（由内而外给每一层命名） （由外而内逐层求导再相乘）
小结：分析由内而外。
求导由外向内并保持导外层内层不变原则）
类比于一个洋葱种子由内而外生长，由外向内剥皮，但剥外层不影响内层。
练习提升:
课堂小结：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
;x u x u y y '⋅'='()2x 3ln x f y +==）（2x 3x u +=）（解：令()u ln u y =u y u 1='3x ='u 23332313u 1x +=•+=•='x x y 的导数。
求函数）（4x 3sin e y +=4x 3x V +=）（()sinv v u =()u
e u y =）（4x 3sin x e y +='()43x cos +•3•。