简单复合函数的导数

量对自变量的导数 ，即 y'x y'u u'x
复合函数求导的基本步骤是：
(1)分解 (2)求导 (3)相乘 (4)回代
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的
(1) y (2x 3)3; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2x)
3x 1
数学运用
知识回顾：基本求导公式:
(1)(kx b) k,特殊的：C 0(C为常数)
(2)(x )' x1(为常数）
(3)(ax )' axlna(a 0,且a 1)
(4)(log ax)'
1 xlna
(a 0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx
2 cos2 x 2 sin 2 x
2 cos2x
另一方面： 将函数 y sin 2x
看作是函数 y sin u
和函数 u 2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (sin u) cosu ux (2x) 2
求 导
两个导数相乘，得
yu
ux
(cos u) 2
相 乘
• ⑵复合函数求导的基本步骤是：
• 分解——求导——相乘——回代
课后作业：
课本 P24 练习 No.2；
课本 P26 习题1.2 No.2、7、13.
y 2x sin(1 x2 )
⑵ y ln(ln x) y (x ln x)1
• 1、求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)2;(2) y (1 3x)3;
(3) y e2x; (4) y ln 1 x
2、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的 切线方程。
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小结 ：
• ⑴复合函数的求导，要注意分析复 合函数的结构，引入中间变量，将复 合函数分解成为较简单的函数，然后 再用复合函数的求导法则求导；
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
其中g(x) 0
简单复合函数 的导数
楚水实验学校高二数学备课组
复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f (u)与 u (x) 复合而成
的函数一般形式是 y f [(x)]
，其中u称为中间变量．
求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)3; (2) y ln(5x 1) (3) y 1 ; (4) y cos(1 2x)
3x 1
例写出由下列函数复合而成的函数,并 求它们的导数。
⑴ y cosu u 1 x2
⑵ ； y ln， u
u， ln x
．
解：⑴
y cos(1 x 2 )
2cos2x
回 代
从而有 y'x y'u u'x
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则 y'x y'u u'x
即：y'x y'u a
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已
知函数对中间变量的导数，乘以中间变
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
问题探究：
求函数 y (3x 2)2 的导数 。
方法一：
yx [(3x 2)2] (9x2 12x 4) 18x 12
方法二：将函数 y (3x 2)2
看作是函数 y u2 和函数 u 3x 2
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (u2 ) 2u ux (3x 2) 3
两个导数相乘，得
yu ux 2u 3 2(3x 2)3 18x 12
从而有 y'x y'u u'x
问题探究：
考察函数 y sin 2x 的导数 。
一方面 : y sin 2x 2sin x cos x
yx (sin 2x)
(2 sin x； cos x) 2(sin x) cos x 2 sin x (cosx)
根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
x
x
x 0
y A(x) x
f (x) A(x)
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).