正余弦定理在实际生活中的应用

正余弦定理在实际生活中的应用

正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛，解这类应用题需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正确理解，能将实际问题归结为数学问题.

求解此类问题的大概步骤为：

（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形；

（3）将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.

1.测量中正、余弦定理的应用

例1 某观测站C 在目标A 南偏西25︒方向，从A 出发有一条南偏东35︒走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解CBD ∆，求角B .再解ABC ∆，求出AC ，再求出AB ，从而求出AD （即为所求）.

解：由图知，60CAD ∠=︒.

22222231202123

cos 22312031BD BC CD B BC BD +-+-===⋅⨯⨯，

sin B =. 在ABC ∆中，sin 24sin BC B AC A ⋅==.

由余弦定理，得222

2cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅. 即2223124224cos60AB AB =+-⋅⋅⋅︒.

整理，得2243850AB AB --=，解得35AB =或11AB =-（舍）. 故15AD AB BD =-=（千米）.

答：此人所在D 处距A 还有15千米.

评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意图，方能合理应用正、余弦定理.

2.航海中正、余弦定理的应用

例2 在海岸A 处，发现北偏东45︒方向，距A 1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75︒方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以/小时

A C D 31

21

20 35︒

25︒ 东 北

的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30︒方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？ 分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间

相等，可画出示意图，需求CD 的方位角及由C 到D 所需的航行时间.

解：设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，

则有CD =，10BD t =.

在ABC △

中，∵1AB =，2AC =，

4575120BAC ∠=︒+︒=︒，

根据余弦定理可得

BC ==

根据正弦定理可得2sin120sin 2AC ABC BC ︒∠=

==. ∴45ABC ∠=︒，易知CB 方向与正北方向垂直，从而9030120CBD ∠=︒+︒=︒. 在BCD △

中，根据正弦定理可得：

sin 1

sin 2BD CBD BCD CD ∠∠===，

∴30BCD =︒△，30BDC ∠=︒

，∴BD BC ==

则有10t =

0.24510

t =

=小时14.7=分钟. 所以缉私船沿北偏东060方向，需14.7分钟才能追上走私船.

评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.

3.航测中正、余弦定理的应用

例3 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为'1830︒，经过120秒后又看到山顶的俯角为81︒，求山顶的海拔高度（精确到1m ）.

分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在ABM ∆和Rt BMD ∆中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.

解：设飞行员的两次观测点依次为A 和

B ，山顶为M ，山顶到直线的距离为MD .

如图，在ABM △中，由已知，得

1830'A ∠=︒，99ABM ∠=︒，6230'AMB ∠=︒.

又120

18066060

AB =⨯

=⨯（km ）, A B D

M 45︒

75︒ 30︒ A

C

D

B

根据正弦定理，可得6sin1830'

sin 6230'

BM ︒=

︒，

进而求得6sin1830'sin81sin 6230'

MD ︒︒

=︒，∴2120MD ≈（m ）,

可得山顶的海拔高度为20250212018130-=（m ）.

评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案.

4.炮兵观测中正、余弦定理的应用

例4 我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知6000CD =米，45ACD ∠=︒，75ADC ∠=︒，目标出现于地面点B 处时，测得

30BCD ∠=︒，15BDC ∠=︒（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点A 、B 、C 、D 可构成四个三角形.要求AB 的长，由于751590ADB ∠=︒+︒=︒，只需知道AD 和BD 的长，这样可选择在ACD ∆和BCD ∆中应用定理求解.

解：在ACD △中，18060CAD ACD ADC ∠=︒-∠-∠=︒， 6000CD =，45ACD ∠=︒，

根据正弦定理有sin 45sin 60CD AD ︒=

=︒， 同理，在BCD △中，

180135CBD BCD BDC ∠=︒-∠-∠=︒，

6000CD =，30BCD ∠=︒，

根据正弦定理有sin 30sin1352

CD BD CD ︒=

=︒. 又在ABD ∆中，90ADB ADC BDC ∠=∠+∠=︒，

根据勾股定理有：AB ==

==

所以炮兵阵地到目标的距离为米.

评注：应用正、余弦定理求解问题时，要将实际问题转化为数学问题，而此类问题又可归结为解斜三角形问题，因此，解题的关键是正确寻求边、角关系，方能正确求解.

5.下料中正余弦定理的应用

例5 已知扇形铁板的半径为R ，圆心角为60︒，要从中截取一个面积最大的矩形，应怎样划线？

分析：要使截取矩形面积最大，必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上，即为扇形的内接矩形，如图所示.

30︒ 45︒ 75︒

A

C D 15︒