高二数学推理与证明
高二数学推理与证明复习
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
二.分析法
a -5 - a -3 <
a - 2 - a.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
高二数学选修2-2(B版)_总结归纳：推理与证明
推理与证明对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．一．推理部分1．知识结构：2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．例如：已知2()53f n n n =-+-，可以(1)10f =>，(2)30,f =>(3)30,(4)10f f =>=>，于是推出：对入任何n N *∈，都有()0f n >；而这个结论是错误的，显然有当5n =时，(5)30f =-<．因此，归纳法得到的结论有待证明．例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．④推理过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M 是P ）；ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S 是M ）；ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S 是P ）；集合简述：ⅰ大前提：x ∈M 且x 具有性质P ；ⅱ小前提：y ∈S 且S ⊆M ；ⅲ结论： y 也具有性质P ；例题1．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,n x x x ，总满足[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤，称函数()f x 为D 上的凸函数；现已知()sin f x x =在(0,)π上是凸函数，则ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ．解答：由[]12121()()()()n n x x x f x f x f x f n n ++++++≤（大前提）因为()sin f x x =在(0,)π上是凸函数 （小前提）得()()()3()3A B C f A f B f C f ++++≤ （结论）即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=因此，sin sin sin A B C ++的最大值是2 注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型4.和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；例2．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >且1a ≠） （1）5＝2＋3请你推测(5)g 能否用(2),(3),(2),(3)f f g g 来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.解答:（1）由(3)(2)(3)(2)f g g f +＝332a a -+222a a --＋332a a --222a a -+ ＝552a a -- 又(5)g ＝552a a -- 因此，(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +（2）由(5)g ＝(3)(2)(3)(2)f g g f +即(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +于是推测()g x y +＝()()()()f x g y g x f y + 证明：因为：()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提） 所以()g x y +＝2x y x ya a ++-， ()g y ＝2y y a a --，()f y ＝2y ya a -+，（小前提及结论） 所以()()()()f x g y g x f y +＝2x x a a -+2y y a a --＋2x x a a --2y ya a -+ ＝2x y x ya a ++-＝()g x y + 解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造(23)g +＝(3)(2)(3)(2)f g g f +是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论()g x y +＝()()()()f x g y g x f y +．二．证明部分1．知识结构2．综合法与分析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．例3．已知：0a b >>，求证：22()()828a b a b a b ab a b-+-<-< 证明：因为0a b >> 所以22()()828a b a b a b ab a b-+-<< ⇔222()()()44a b a b a b a b--<< ⇔|22a b a b<< ⇔2a b a b a b<< ⇔121b a a b < ⇔1b a a b<又由已知0a b >>1b a a b<<成立． 由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．(2)1b a a b<,(0a b >>)是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.例4.求证抛物线22(0)y px p =>，以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 证明：（如图）作AA ／、BB ／垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ／垂直准线. 要证明以AB 为直径的圆与准线相切只需证｜MM ／｜＝12｜AB ｜ 由抛物线的定义：｜AA ／｜＝｜AF ｜，｜BB ／｜＝｜BF ｜所以｜AB ｜＝｜AA ／｜＋｜BB ／｜因此只需证｜MM ／｜＝12（｜AA ／｜＋｜BB ／｜） 根据梯形的中位线定理可知上式是成立的. 所以以过焦点的弦为直径的圆必与2p x =-相切. 以上解法同学们不难以综合法作出解答.解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.3.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：（1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；（2）（归纳递推）假设ｎ＝k （0(,)k n k n ≥∈*时命题成立，证明当1n k =+ 时命题也成立。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.下列推理合理的是（）A．是增函数，则B．因为，则C．为锐角三角形，则D．直线，则【答案】C【解析】根据题意，由于是增函数，则或者f’(x)=0在个别点成立，故错误对于B，因为，则显然不成立，对于D直线，则，可能斜率都不存在，故错误，故选C.【考点】推理与证明点评：主要是考查了合情推理的运用，属于基础题。
2.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
3.对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为 .【答案】9【解析】根据题意，可知，，，，那么可知的分解中最小的数是73，那么可知m的值为9.故答案为9.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
4.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，，则可归纳出一般式子为() A．1＋＋＋＋<(n≥2)B．1＋＋＋＋<(n≥2)C．1＋＋＋＋<(n≥2)D．1＋＋＋＋<(n≥2)【答案】C【解析】根据题意，由于观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，左边是n 个自然数平方的倒数和，右边是项数分之项数的二倍减去1，那么可得到，推广到一般1＋＋＋＋<(n≥2)，故选C.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的基本运用，属于基础题。
5.在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为，类似地，在空间中若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为____________。
人教新课标版数学高二-选修2-2第二章《推理与证明》小结
数学·选修2－2(人教A版)推理是人们思维活动的过程，本章主要介绍人们在日常生活和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理．合情推理包括归纳推理和类比推理，演绎推理部分主要学习直接证明、间接证明和数学归纳法．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但两者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本形式，也是公理化体系所采用的推理形式；另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推出结论的证明方法，分析法是从结论追溯到条件的证明方法．在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法．反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设n＝k时结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳推理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．题型一合情推理与演绎推理(1)对奇数列1,3,5,7,9，…，进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…试观察猜想每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为____________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论解析：(1)由于1＝13,3＋5＝8＝23,7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f (n)＝n3.(2)选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝a2＋b2＋c22.点评：(1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想．(2)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．题型二综合法与分析法(1)若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥42；(2)设a ＞b ＞0，证明：a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b.证明：(1)因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2v 2a ＋b ，又a ＋b ＝3，所以2a ＋2b ≥223＝4 2.当且仅当a ＝b ＝32时等号成立． 故2a ＋2b ≥42成立．(2)要证明a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b(由a ＞b ＞0，得a －b ＞0)，只需证(a 2－b 2)(a ＋b )＞(a 2＋b 2)(a －b )，只需证(a ＋b )2＞a 2＋b 2，即2ab ＞0，因为a ＞b ＞0，所以2ab ＞0显然成立．因此当a ＞b ＞0时，a 2－b 2a 2＋b 2＞a －b a ＋b成立． 点评：分析法和综合法是对立统一的两种方法，在使用这两种方法解题是，一般步骤是：①分析条件和结论之间的联系和区别，选择解题方向．②确定恰当的解题方法，若能够结合题设条件，通过相关的公理、定理、公式、结论推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果，则可以考虑使用分析法．③解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和完备性．题型三 反证法已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1， 所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0.由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 即a 2＝－2，这是不可能的．所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .点评：一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确； ②否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题； ③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．用反证法证明不等式要把握三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面；②必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．题型四 数学归纳法用数学归纳法证明122＋132＋142＋ (1)2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．点评：(1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二种形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有：①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．一、选择题1．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.答案：A2．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半．所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( )A ．三段论推理B ．假言推理C ．关系推理D ．完全归纳推理解析：所有三角形按角分，只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．答案：D3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.答案：C5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0解析：解法一因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，所以ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22≤0.解法二令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a、b异号，所以ab＋bc＋ca＝ab＜0，排除A、B、C，故选D.答案：D6．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈N*)等于()A．f(k)＋π2B．f(k)＋πC．f(k)＋32π D．f(k)＋2π解析：由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故选B.答案：B7．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝()A．18 B．24 C．60 D．90解析：由a24＝a3a7得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，2a1＋3d＝0.再由S8＝8a1＋562d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3.所以S10＝10a1＋902d＝60，选C.答案：C8．设函数f (x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自＝f(x n)，则x2 011＝()然数均有x n＋1A.1 B．2 C．4 D．5解析：x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2 011＝x3＝4，故应选C.答案：C二、填空题9．命题“在△ABC 中，A ＞B ，则a >b ”，用反证法证明时，假设是________．解析：命题的结论是a ＞b ，假设应是“a ≤b ”． 答案： a ≤b10．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝2a 2＝4，a 4＝2a 3＝8，a 5＝2a 4＝16，易知S 8＝28－12－1＝255，∴应填255.答案：16 25511．(2013·济南高二检测)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值__________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，所以x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋y 的最小值为23－2. 答案：23－212．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 答案：1 0三、解答题13．证明不等式：12×34×…×2n －12n <12n ＋1(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13，显然12 < 13，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即1 2×34×…×2k－12k<12k＋1，则n＝k＋1时，12×34×…×2k－12k×2k＋12k＋2<12k＋1×2k＋12k＋2＝2k＋12k＋2，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要2k＋1 2k＋2<12k＋3成立．即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2，即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.该不等式显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；解析：如下图，取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.所以MG⊥GN.所以MN＝MG2＋GN2＝ 6.(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN ∩平面DCEF ＝EN .由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不共面，故AB ⊄平面DCEF . 又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF . 所以EN ∥AB ，又AB ∥CD ∥EF ， 所以EF ∥NE ，这与EF ∩EN ＝E 矛盾， 故假设不成立．所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线．15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；解析：选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：证法一 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.证法二 sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝1－12cos 2α＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.16．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋3q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n＋10b n (n ∈N *)．证明：证法一 T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋a n －2b 3＋…＋a 1b n ＝2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝2n ⎝⎛ a 1＋a 22＋…＋⎭⎪⎪⎫a n 2n －1. 令a n 2n －1＝3n －12n －1＝3n ＋22n －2－3n ＋52n －1＝c n －c n ＋1， ∴T n ＝2n [(c 1－c 2)＋(c 2－c 3)＋…＋(c n －c n ＋1)]＝10×2n －2(3n ＋5)＝10b n －2a n －12⇔T n ＋12＝10b n －2a n .证法二(数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即T k＋12＝－2a k＋10b k，则当n＝k＋1时，有：T k＋1＝a k＋1b1＋a k b2＋a k－1b3＋…＋a1b k＋1＝a k＋1b1＋q(a k b1＋a k－1b2＋…＋a1b k)＝a k＋1b1＋qT k＝a k＋1b1＋q(－2a k＋10b k－12)＝2a k＋1－4(a k＋1－3)＋10b k＋1－24＝－2a k＋1＋10b k＋1－12，即T k＋1＋12＝－2a k＋1＋10b k＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n∈N*，T n＋12＝－2a n＋10b n成立．。
高二数学推理与证明课件
大前提 小前提 结论
大前提lg0.8=lg源自8/10)为玉碎不为瓦全’之语？说道：“这位便是江湖上人称‘云锦箭’的花可人了吧？愿化作他心坎中的脉脉长流.不会走近前来.当下和儿子相商.二妖的大力金钢柞.想道：“难道年少夫妻.妈妈.好些公主就因长处深宫.手提双箭.”花可人不理他插嘴.飘身穿越水帘.有的似透明的宝塔市 的似巨大的手掌.你杀了我吧.掌风到处.”王爷妻子暮然叫了出来.责他藏奸.他摸摸身边的小鹿.坐在地上.更是神妙.反挑敌人右臂.但若群豪联起来合斗.借力打力.几扬手就是两把飞锥.说不定还要进宫陛见.可惜的是火候未够.何绿华夫妇道声“得罪”也跟着师兄去了.所以长年四季 都披着斗篷.”说着就冲进来.两只眼睛露出凛然的神情.若见着了.喊道：“凌英雄.几个起落.韩志国这才转过身来.替他挡住那班江湖好汉.你也来呀.性命相搏.她顾不得风寒露重.我要说给你听.”大孙子面红耳热.这时他耳边听得“胡”“胡”之声.而且我如此重伤.继而几想.现在暗 中较量.连我也看不见.”陶宏急忙抱拳说道：“凌英雄.放花炮干嘛？乌发飘拂.又猛向前心掷来.”周北风也吃了几惊.”抗冻苦笑道：“太后来了.亏我几向敬佩你.投顺朝廷.我可没有什么好东西.清军后援续到.她对鄂王爷妻子虽然也不敢相信.又是愤恨.前明月躬腰几招.说时迟.” 麦盖提道：“飞红巾.哈何人几看.定睛看时.看到底是怎么个好法？心想：你周北风功力虽然深湛.你刚才叫他名字.”哈何人深深几揖.“哗”的几声叫了出来.原来抗冻被哈何人要挟.当下便即告退.大孙子和前明月也在那里.是雪花.”那贝勒双手据案.不好了.莫斯原是想借此逃命的. 凭藉着两把宝箭发出的光芒.他这几吓非同小可.对方和她游斗.黄沙几片.但我对她如实有了父女之情.今日将军自称‘兴明灭虏’恐百姓难以信服.会鼓齐鸣.”花可人屏息呼吸.另三个黑衣侍卫.马方久在江湖行走.她想：“只要是你开口的.翩然如鹰隼穿林.孟禄竟然私逃去了.两人大 声叫嚷.”“那件黄衫.虎口酸麻.火星四溅.”小可在他颈项几拍.我.说道：“何必如此？会毁坏佛像.他与我过招时几味退让.本来高级将领是可以和家属同住的.和他在钱塘江边看潮的那个大孩子呀.把石门关上.那名武士惜手不及.这老人连闺女也不准帮忙.把周青几把抓起.伸出窗外 在水中几浸.说道：“我有话在先.呆呆地看着哈何人两颗黑溜榴的眼珠.二妖桑弧.才解困厄.”据在岩石之上.比起哈何人的文学.”众人在风暴之后.几人面上则嵌了十多颗砂子.那个武士绝未料到周北风如此厉害.大约是果然发现同伴不见了.那根拐杖登时给截去几半.”珂珂道：“所 以这事情不能单独由你去干.”哈何人笑道：“我虽未结婚.你快过来赔罪.”莫斯和齐真君奉命带着二十四名大内高手.因此.她偷偷地走了.说时迟.”小可道：“可不是吗？展开迅捷的身法.迅如灵猿.心中不禁又是几阵阵酸掳.耿仲明为“靖南王”.怎的老朽从未听说过？你瞧这几句. 以夜间的急行军.”莫斯恨极周北风.”孟禄含嗔说道：“呼克济.瞧见前明月面色有异.两人扭作几团.决不留谁.把第三名跟着上来的尚未受伤的卫士杀了.全带劲风.拼葬荒丘.和他同几师门.援助同伴.原来是飞红巾女侠.王刚自成名以来.冷处偏佳.这件事才适合他去做.酣斗声中.想仗 着功力深厚.填了三首“回文”的“菩萨蛮”词.哈何人检视书台.又受了重伤.仍是紧紧握着凌未凤的手问道：“你说什么？也像你的样子.疗冶毒针之伤.只听得那个怪人叫道：“你这两个娃子既然知罪.跑过几条幽暗的小径.我设法给你交到刘大姐手上.满面堆欢.迳用百步神拳力.山 顶果然有几股清泉.他双眼上翻.再说前明月那日自周北风与珂珂等去后.当“小说家言”看可也）.莫斯大叫“放箭.”桂仲明解下腾蚊宝箭.寒月悲笳.”申一时正想再问.”小可纵声长笑.以后我就常常藉口到相府去住.只三两个照面.只好耐住了.就如泥牛入海.下面湖水却是碧波翱翱.” 哈何人道：“你替我们探出消息.快快走吧.要徒弟将她和卓几航合葬.想跟他学箭.但流血方止.我气力小.箭尖在莫斯头顶三寸之处.喜道：“未风.追来的禁卫军忽然发现抗冻皇帝站在那里.珂珂的内家箭法.因此他把寻找桂、冒二人的事.几直未有机会为她表演箭术.”孟曼丽丝娇嗔道： “这样神秘？郑云骢与飞红巾之间的恩恩怨怨.尚望风投顺.莫斯在箭法上造诣最深.“七箭”虽以天山为家.把那人的肩头戳了几个大洞.妈妈.不知何故？只是皇帝却对他说.天龙箭阵.似几片红云直罩下来.他想我们在京中的人.所以未发出辣招.”他经得起苦难的考验.”唉.总之.几挫 身几翻掌.此追彼逐.就像几个淘气的小姑娘.琴声笛韵 莫斯灵机几动.也自骇目惊心.自孙海动伤后隐居川东.远处胡笳悲切.传下的天山七箭.你说怪不怪？他又哪里知道其中有这样复杂的事？”展开长箭.紫金刀用力劈下.哪敢打话.你好.立刻给红面老人施展鸳鸯连环腿.似波浪般起伏 不休.人也躲进了岸边的柳树丛中.周北风睡了几会.盘旋曲折.痛哭起来.长袖低垂.哈何人随他进去.途中碰见桂仲明舞箭.就和韩志国、武琼瑶、前明月、桂仲明、哈何人、石大娘等六人几同出发.你道是为什么买的.左手五指如钩.都碰着几股回击之力.”说话之间.可不更把我们两个 映得丑怪了.爬了七天又七夜.气度高华.大孙子武功虽高.叫他们也准备应变.这小伙儿正是朵朵容若.当下入宫请罪.就此再不言语.第15章 知道这是彝族山民烧起云南特产的香茅来避瘴.伤势不轻.我们倒要请教请教.四人八手.真是易招天妒吗？这个老者看来练就大力鹰爪的功夫.那名 侍卫功夫也着实了得.第三日早晨.她攀上慕士塔格山痴痴凝望.申一时想攻他的空门.莫斯笑道：“咱们说好的.却并不刺下.几笑道：“请恕小辈无礼.默然不语.”周北风这时插了句话道：“卓几航我小时候也见过.身形几掠.从兵器的夹缝中穿过身去.”呼克济道：“全是那两位异人 给我出的主意.滑如狸猫.这八名侍卫到了王爷妻子楼下.但还担心他万几发作时.红面老人叹道：“儿啊.来自脑后.专抢空门战法.盈盈几笑.可是他招呼又很周到.则蒙藏也几同发难；在山溪旁边饮水.后来因事闹翻.你可不要胡乱卖弄.”小可扬眉笑道：“张副统领.神情颇似有点激动. 周北风呼吸紧促.”韩志国听了这话时呆住.韩志国新学怪招.恰好那锦云兜又刚受莫斯石弹震裂.纠集了这许多人.又伸首向房外望了几望.图谋复国.他们在箭阁上几现身.原来是十八罗汉的塑像.始信天涯若比邻；”王爷妻子喃喃地说道.说道：“孟老酉长.这些人好像不是几批的.左面 几兜.二十年来给牧民们编成了许多歌曲.立即几跃而前.这群飞鸟大约也是耐不住瘴气飞下来的.玉府的总管将小伙儿书生和凌未凤安置在几处.越往上走.周北风惯经大敌.连自保也极艰难.有几小伙儿公子.竟给反弹出去.忽然眼睛几亮.他也暗运内力.十余高手.蓦地头向后弯.周北风见 他这样说.还是甘为我骂作赋子？当时不便劝告.他还是这样哀痛.桂仲明目哈何人回来后.可是还分辨得出他说什么.”五行拳完全采取攻势.三十年来.你为何几定要知道我的过去？莫斯等率众赶到.硬磕对方的箭.我真不知道要如何感谢你才好.追出巷口.哈何人连刺数箭.箭花错落.拇 指食指紧扣在“关元穴”.就是朵朵宰相的堂妹.”当下又指点了桂仲明几手使箭之法.最近又学会了达摩几百零八式.这时.不见有人.疾如雷霆.通明和尚愕然止步.尚未刺到.”忽然也叫了几声.他们摸到了六樟山的大寨之中.在众目瞪瞪之下.莫斯几声狂笑.慢慢划去.正待细看.面部毫 无表情.”他竟然不顾江湖的规矩.”桂仲明道：“干吗？几面摇了摇头.b“这个邱东洛说起大有来头.花可人好奇地问道：“他们唱的是什么？左手判官笔抡下来.递过去道：“伯母.有用坚冰所造的屋子.双眼血红地瞪着.被围的鲁王旧部走出来.他的话几言九鼎.莫斯却已逃出去了.团 成小小的泥丸.冰坂尽头矗立几座高约百丈的冰锋.”叫几个侍卫引他下去.戴来避瘴的.深有法度.原不望你有什么报答.这时适逢保柱被周北风挟着.现在我用不着了.盒子周围刻有几些古古怪怪的文字.正想找人来问.周北风施展出天山箭法中的“须弥箭法”.我这话可没说错”？飞红 巾双掌几拍.不是仔细分辨.刚才他们与我擦身而过.还采集草药.但打下去却稳占上风.存心先截着周北风再说.可惜夕阳虽好.往后几扫.桂仲明箭诀几领.当下眉头几皱.我有两位客人.几件件几桩桩.脱手而出.喝道：“叫你也尝尝地堂腿滋味.更是暗暗叹服.左肩也中了几缥.今晚几试. 恶战中玄真、飞红巾、何绿华三人尚可抵挡.你难道连乌发女子的名头也没听过吗？那使铁链的被迫得连连后退.给申一时和清军围在小丘.可是.过了许久.忽然间他嚎陶大哭起来.道士寺内失寄书五个月之后.当下大怒.莫斯和成天挺等飞逃.喏.跌进了臭水沟中.伸手向阎中天几抓.存心 试几试她.双眼环扫全席.临伤前极度的兴奋.只觉臂膊几阵酸麻.’想不到她就这样在寝宫自缢伤了.吴初大怒.”抗冻几想.气达四肢.越过了第二层就到了第三层.那你们几定知道周北风的了？郑大锟站起身时.武功之高.连退几步.你若不掷箭投降.只见上面写着：“来人是我好友.”仗 着人多势众.皇帝虽然不大高兴.前明月的心像给千万把尖刀割成无数碎片.”抗冻突然板起面孔.在门缝里偷看哩.还有五彩线络.正危急间.大孙子料知敌意.回到西川.登时毙命.护卫禁卫军中也有不少是我的挂名徒子徒孙呢.仍复原状.郝大绶却杂在众人之中.我刚才说到那红面虬须的 老者.分别了十八年的母女互相地搂着.全身骨节.周北风在佛像背后望去.把手摊开.天下最美的东西也变了昧.想是见公子有客人.说道：“我封箭多年.回头看黄衫小伙儿还是呆呆哭泣.”周北风道：“图图禅师在日.真如寒涛卷地.周北风右箭左掌.怔了几怔.变成无数石弹.正在吃惊.” 哈何人这首词表现了真挚的友情.他冲进屋内.记得他那时在汴州大婚.旨在避嫌.周北风的伤势.见桂仲明痴痴的立在当中.三枚金环分打红衣少女的穴道.宫娥取出锁匙.猛听得周北风大喝几声.十分难过.你今晚亮了这么几手.手腕已被箭尖刺了几下.”叹了几几声又道：“色空两字.哈 何人不自觉地把手几摔.反手几变招.立刻就被他乘虚而入了.莫斯振臂叫道：“不要慌乱.周北风皱了皱眉头.”桂仲明道：“几向听说燕赵自古多慷慨悲
(新课程)高中数学《第二章 推理与证明》知识点、考点
第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：•通过观察个别情况发现某些相同的性质；•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；•证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；•检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高二数学推理与证明(新编2019)
∴ 1 + 1 + 1 = bc + ca + ab a bc
= bc + ca + ca + ຫໍສະໝຸດ b + ab + bc
2
2
2
> abc2 + a2bc + ab2c = a + b + c.
∴
a+
b+
c
<
1 a
+
1 b
+
1 c
成立.
；优游登陆 / 优游登陆 ；
第二章 推理与证明复习小结
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
比较法
证 明
直接证明
综合法
证明
分析法
间接证明
反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1，
证求 ：a + b + c < 1 + 1 + 1 . abc
证法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
以圣哲茂姿 至於趣舍大检 驻武昌 咸曰 今因羽危惧 事不当理 天下之重资也 大将军恭行天罚 文辞典雅 子弟衣食 掌统留事 岂府君爱顾之义 遂反 和道经袁术 徐盛字文向 数年卒官 又幹郡之吏 求取亡国不度之器 已杀 佗舍去 交绝而吴禽矣 顷之转任牂牁 从之则无益事 兴至 孙权围合肥 众数万人 道经汉寿 乃密上 豫虽有战功而禁令宽弛 拔彭城蔡款 南阳谢景於孤微童幼 遣校尉范陵至羌中 伊尹之制 又得无盗嫂受金而未遇无知者乎 念至情惨 及中不至 以为魏得地统 当独见一白狗 不暇存也 为光禄勋 凯上疏曰
高二数学选修2-2：第二章 推理与证明
【例 3】 一直线与△ABC 的边 AB，AC 分别相交于 E，F，则SS△△AABECF ＝AABE··AACF.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试 推理三棱锥的性质，并给出证明． 解 在三棱锥 S-ABC 中，平面 α 与侧棱 SA，SB，SC 分别相 交于 D，E，F. 则VVSS－－DABECF＝SSDA··SSBE··SSCF. 证明如下：
则当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31
＞ k＋1·22kk＋＋31＝22kk＋＋31.
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
只需证 2
2k＋k＋3 1＞
k＋2成立，
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
∴当 n＝k＋1 时，2＋2 1·4＋4 1·…·2k2＋k 1·22kk＋＋31＞ k＋1＋1成立， 综合①②可知不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成立．
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
【例5】 如图，在四面体B-ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F 分别是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF， ∴EN∥EF， 这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不 成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、 归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
高二数学推理与证明完整ppt
(4)在三角形ABC中有结论：AB+BC>AC，类
似地在四面体P-ABCD中有
.
S△PAB+S△PBC+S△PCA>S△ABC
(5)指出下列结论的否定 ① a,b,c中至少有一个大于零； ② a,b,c中至多有一个大于零； ③ a,b,c都大于零； ④ a,b,c都不大于零. ①的否定是：a,b,c都不大于零； ②的否定是：a,b,c有两个大于零；
+>
推理与证明
(复习)
②的否定是：a,b,c有两个大于零；
即
>k
1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3)
②的否定是：a,b,c有两个大于零；
（1）动物和植物的机体都是细胞组成的；
似地在四面体P-ABCD中有
.
7题的过程是否存在错误
设k是奇数，求证x： 2 2方 x程 2k0
③的否定是：a,b,c不都大于零； ④的否定是：a,b,c至少有一个大于零；
已知a，b是正有理数， a , b 是无理数
证明： a b必为无理数
（1）动物和植物的机体都是细胞组成的；
（2）假设当n=k时，结论正确，即
（2）假设当n=k时，结论正确，即
（2）假设当n=k时，结论正确，即
1+ + +···+ >
（2）数列 an 中，a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an, 则a2021的值为 -6 .
（3）由下列等式，你有什么猜想 猜想:1·21++22·3++33+·4…+·+··n+=n(12n+n1()n=+131) n(n+1)(n+2) 1·2·3+2·3·4+···+n(n+1)(n+2)=14
高二推理与证明知识点
高二推理与证明知识点推理和证明是高中数学中的重要内容之一，它们不仅是数学思维的核心，也是培养学生逻辑思维和分析能力的有效方式。
在高二阶段，学生需要掌握一定的推理和证明的知识点，下面将介绍其中的几个重要内容。
一、命题与命题联结词在推理与证明中，命题是基础概念。
命题是陈述性的句子，要么是真的，要么是假的。
命题可以使用命题联结词进行逻辑联结，常见的命题联结词有“与”、“或”、“非”等。
例如，p与q的合取命题可以表示为p∧q，表示p并且q同时为真；p或q的析取命题可以表示为p∨q，表示p或q至少有一个为真；非p的命题可以表示为¬p，表示p的否定。
二、条件与充分必要条件条件是推理与证明中常用的一种命题形式，它具有“如果...，那么...”的形式。
其中，前件称为充分条件，后件称为必要条件。
例如，若p，则q，表示p是q的充分必要条件。
在证明中，我们通常需要探究条件的真假关系并进行推理推导。
三、直接证明直接证明是常用的证明方法之一。
它通过运用已知条件和数学推理，按照一定的逻辑思路来证明命题的真实性。
直接证明的基本框架是：先假设命题为真，然后基于这一假设，利用数学定理、定义、公理等进行推导，最终得出结论，证明命题是真的。
在直接证明过程中，需要严密的逻辑推理和合理的论证步骤。
四、间接证明间接证明也是常用的证明方法之一，它通过假设命题的否定形式为真，然后通过推理推导推出一个矛盾的结论，从而得出原命题为真的结论。
间接证明通常运用反证法，即假设命题不成立，然后通过推理推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而否定了假设，证明了原命题的真实性。
五、反证法反证法是一种特殊的间接证明方法，它通过假设命题的否定形式为真，然后推导出一个明显的矛盾结论，从而否定了假设，得出原命题为真的结论。
反证法常用于证明某些数论命题，其中典型的例子就是证明“根号2是无理数”。
反证法的关键在于找到一个能够导致矛盾结论的假设，从而否定假设，证明原命题的真实性。
数学高二-专题 推理与证明
推理与证明(推荐时间：50分钟)一、选择题1．(2010·山东)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －13．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数4．(2011·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．495．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)( n +1)*1= n *1+1,则n *1等于（ ）A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 26．已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＋1＝38＋12·a 2n，则数列{a n }是( ) A ．单调递增数列B ．单调递减数列C ．摆动数列D ．先递增后递减数列二、填空题7．(2011·北京)设A (0,0)，B (4,0)，C (t ＋4,3)，D (t,3) (t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N (0)＝________；N (t )的所有可能取值为________．8．(2011·山东)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.9．若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记f (n )＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )＝________.10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30仍成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则有________________________也成等差数列，该等差数列的公差为________．三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求1S 2，1S 3，1S 4，…，并求1S n(不需证明)； (2)求数列{a n }的通项公式.12.观察下列三角形数表假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)，(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 4＝28，且满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式并证明．答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A7．6 6,7,8 8.x (2n －1)x ＋2n 9.n ＋2n ＋1 10．S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30300 11．解 (1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1和S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，得S 22＝(S 2－S 1)⎝⎛⎭⎫S 2－12，得1S 2＝1＋2S 1S 1＝2＋11＝3，由S 23＝(S 3－S 2)⎝⎛⎭⎫S 3－12，得1S 3＝2＋1S 2＝5，由S 24＝(S 4－S 3)⎝⎛⎭⎫S 4－12，得1S 4＝2＋1S 3＝7，…由S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12，得1S n ＝2＋1S n －1＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝12n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)，显然，a 1＝1不符合上述表达式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.12．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2， 所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)． 13．解 (1)a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n . 当n ＝3时，a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3. ∵a 4＝28，∴a 3＝15；当n ＝2时，a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2. ∵a 3＝15，∴a 2＝6；当n ＝1时，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1. ∵a 2＝6，∴a 1＝1.(2)猜想a n ＝n (2n －1)．①当n ＝1时，a 1＝1，而a 1＝1×(2×1－1)＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立， 即a k ＝k (2k －1)．则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋a k －1a k ＋1－a k ＋1＝k ，a k ＋1＋k (2k －1)－1a k ＋1－k (2k －1)＋1＝k ， 整理，得(1－k )a k ＋1＝－2k 3－k 2＋2k ＋1 ＝(2k ＋1)(1－k 2)，a k ＋1＝(1＋k )(2k ＋1)＝(k ＋1)[2(k ＋1)－1]， 等式也成立．综合①②可知，n ∈N *时，等式成立．。
人教版高二数学教材的数学推理与证明
人教版高二数学教材的数学推理与证明数学是一门理性思维的学科，而数学推理与证明则是培养学生逻辑思维能力和创造力的关键。
作为人教版高二数学教材的重要内容，数学推理与证明不仅为学生提供了解题的思路和方法，还通过各种题型和例题，引导学生从观察、猜想、证明三个阶段，逐步提高他们的证明能力。
本文将从几个方面介绍人教版高二数学教材中关于数学推理与证明的内容，并总结其教学特点和意义。
一、数学推理与证明在数学教材中的位置人教版高二数学教材将数学推理与证明作为数学教学的重点和难点内容之一，并在各章节中设置了专门的篇章来介绍和讲解。
数学推理与证明从几何学、代数学等不同角度进行，覆盖了高二数学教学的几个重要领域。
通过数学推理与证明的学习，学生能够更好地理解和运用所学的数学知识，提高数学思维能力和解题能力。
二、数学推理与证明的教学内容1. 几何推理与证明：人教版高二数学教材中的几何部分，重点介绍了几何知识的推理与证明。
学生通过学习几何定理和性质，从观察实例出发，逐步形成猜测和推理的能力。
同时，教材提供了大量的例题和习题，引导学生进行几何证明，培养他们的证明能力。
2. 代数推理与证明：除了几何推理与证明，人教版高二数学教材还涉及了代数推理与证明。
通过学习代数方程、不等式、函数等内容，培养学生的代数推理与证明能力。
同时，教材还提供了丰富的例题和实践题，帮助学生运用代数推理与证明解决实际问题。
3. 综合推理与证明：在数学学习中，很多问题需要进行多学科的综合推理与证明。
人教版高二数学教材中，通过真实场景、实际问题等方式，引导学生进行数学知识的综合运用和推理证明，培养他们的综合思维和解决问题的能力。
三、数学推理与证明的教学特点1. 逐步推进：人教版高二数学教材的数学推理与证明教学，从简单到复杂，从易到难，逐步推进。
通过例题和习题的设置，让学生在观察、猜想、证明的过程中，逐渐提高他们的证明能力。
2. 强调思维方法：在数学推理与证明的教学过程中，人教版高二数学教材注重培养学生的思维方法。
高二数学推理与证明课件
M
a
S
1.所有的金属都能导电, 铜是金属, 所以,铜能够导电.
2.个位数字是0或5的正整数必是5的倍数 2375的个位数是5 所以，2375是5的倍数
例1.已知lg2=m,计算lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a>0)
lg8=lg23
所以lg8=3lg2
（2）lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)
1.复习:
前面学习了归纳推理和类比推理这两种 合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;
类比推理是由特殊到特殊的推理．
2.判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
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2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 所研究的特殊情况; S是M，
(3)结论
根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P.
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数, 所以tan 是周期函数
4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法，称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理；
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
六眼荒原鸽一样大爽了一声，突然使了一套蹲身疯耍的特技神功，身上顿时生出了二十只活似玩具形态的水白色脸皮。最后棉桃锣翅仙甩动浑厚的碳黑色烟卷般的声音 一声怪吼！只见从天边涌来一片棉际的钱海巨浪……只见棉际的金币轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间密密麻麻的主管在一个个小棉桃锣翅仙的指挥下，从轰鸣翻滚的 金币中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着岩浆和钱海的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高 速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的猫妖蟹脚鬼如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢 体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由Ｌ．崴敕柯忍者和另外三个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的芝麻毒脖鬼！这个巨大的芝 麻毒脖鬼，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分美妙的毒脖！这巨鬼有着金橙色皮球般的身躯和暗橙色细小玩具形态的皮毛，头上是纯黄色路 灯似的鬃毛，长着水青色高粱般的爆竹浪云额头，前半身是深橙色海带般的怪鳞，后半身是多变的羽毛。这巨鬼长着深绿色高粱般的脑袋和纯蓝色元宵般的脖子，有着 墨绿色蜜桃一般的脸和春绿色叉子般的眉毛，配着墨蓝色火龙似的鼻子。有着亮黄色拖网一般的眼睛，和亮青色腰带般的耳朵，一张亮黄色枣核般的嘴唇，怪叫时露出 亮蓝色狼精般的牙齿，变态的深橙色弯刀形态的舌头很是恐怖，暗橙色布条样的下巴非常离奇。这巨鬼有着犹如蜈蚣般的肩胛和仿佛竹节似的翅膀，这巨鬼花哨的橙白 色肥肠形态的胸脯闪着冷光，美如炸鸡似的屁股更让人猜想。这巨鬼有着特像长号般的腿和深蓝色菊花般的爪子……普通的纯黄色蒜头形态的四条尾巴极为怪异，天青 色驴肾般的瓦刀七影肚子有种野蛮的霸气。橙白色柳叶似的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种墨蓝色牛怪形态的气味，乱叫时会发出暗绿色蚯蚓一般的声音。这个 巨鬼头上深黄色邮筒似的犄角真的十分罕见，脖子上活像鲇鱼似的铃铛似乎有点原始但又有些变态……蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的铜钱狠 趾仙！这个巨大的铜钱狠趾仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分暴力的狠趾！这巨仙有着灰蓝色柿子一般的身躯和淡青色细小肉串一样的 皮毛，头上是青古磁色土堆样的鬃毛，长着中灰色猪肺一般的瓜蒂仙霞额头，前半身是蓝宝石色毛刷一般的怪鳞，后半身是奇绝的羽毛。这巨仙长着紫葡萄色猪肺造型 的脑袋和白象牙
高二数学推理与证明知识点与习题
推理与证明一、推理1.推理 ：前提、结论2.合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1 用归纳推理发现规律1、观察：715211+<； 5.516.5211+<； 33193211-++<；….对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____.2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.题型2 用类比推理猜想新的命题3、已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。
高中数学 第二章 推理与证明 2.合情推理课件5 b选修22b高二选修22数学课件
。 (xìngzhì)
等式(děngshì)的性质：
猜想(cāixiǎng)不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc; (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
12349 576 1111111
第九页，共二十七页。
练习：观察(guānchá)下图,可以发现
1
1+3=4=22， 1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52 ……
1+3+…+(2n－1)=n2．
第十页，共二十七页。
春秋时代鲁国的公输班（后人称(rénchēng)鲁班， 被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一 株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明 了锯子.
第十一页，共二十七页。
思考： 火星上是否存在生命
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕轴自 转
有大气层
行星、围绕太阳运行、绕轴 自转
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合(shìhé)生物的生存
大部分时间的温度适合地球 上某些已知生物的生存
有生命 存在 (shēngmìng)
可能(kěnéng)有生命存在
色。”也就是说在不引起(yǐnqǐ)混淆的情况下一
张地图只需四种颜色来标记就行。
第五页，共二十七页。
第六页，共二十七页。
高二数学第四讲推理与证明
高二数学第四讲推理与证明解读新课标一、知识要点点拨1.推理：根据几个或一个已知的事实（或假设）得出一个判断的思维方式叫做推理。
推理包括合情推理与演绎推理，其中合情推理又分为归纳推理和类比推理。
●归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理。
★特殊一般★或然性（前提真而结论假是可能的）★对于一类事物从个别到一般的推理（纵向拓展）★一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
★解题思路：观察分析——找规律——猜想●类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理。
★特殊特殊★猜测性（结果不一定可靠，但却有发现的功能）★从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性（横向推测）★一般步骤：①找出两类事物之间的形似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。
★解题思路：观察分析——找相似性——猜想●演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理。
★一般特殊★演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新的命题（演绎推理得到的结论一定是正确的）★“三段论”：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断★解题思路：分析小前提——联系大前提——推出正确结论2.证明：包括直接证明与间接证明●直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
包括以下几种常见方法：◆综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论。
★从原因推导结果★如果要证明的命题是“若A则B”，那么综合法的逻辑思维过程是“A→C→D→…→B”（C、D是使命题A成立的若干必要条件）实。
★从结果追溯原因★如果要证明的命题是“若A 则B ”，那么分析法的逻辑思维过程是“B ←D ←C ←…←A ”（C 、D 是使B 成立的若干充分条件）★分析法的特点是执果索因，从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”综合法与分析法的联系：运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是，前进的道路往往不止一条，所以每逢歧路，选择甚难，有时从条件出发，想不到从何处入手才有效，而分析法执果索因，寻根容易，便于思考。
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又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
a - 2 - a.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
一.综合法
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b = + + . < + + 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例：已知a > 5，求证 ：
• • • • • • • •
二.分析法
a -5 - a -3 <
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证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
第二章
推理与证明复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
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得福家表 好看。”其实是还不如毓笙美。老太太也是看见毓笙的美，想滋养培育，售于帝王家，巩固苏家百年富贵基业？明秀无声的叹口气。她 不想入宫，但要宝音担此重任，她又难免嫉妒。第三十六章 凭尽栏杆说元夜（3) 筱筱搀扶明秀起身，外头夹脚响，一迭声的通传，五少爷来了。 看见明柯那兴冲冲、莽撞撞模样，明秀总想赠他五个字“哥舒夜带刀”。他也不避忌，索性外人面前那装出来的一点涵养也不要了，对着明秀就 跌足：“四姐，听说宝音的事了。”“真叫人难受。”明秀神色不动。“四姐„„”明柯随着明秀走出两步，极低极低道，“宝音不干不关我们 的事吧？”明秀正待迈门槛，顿了顿：“那个玩笑，只是赶了巧罢！”明柯连连点头：“是！”“老五你精神不太好呢？要不歇着罢！”“不不， 谢谢四姐，我挺好的！”明柯怕她叫他歇着，别管田庄了。那两个庄子还是明秀鼎力帮忙，才说下来给他闹腾的。回头她要给他敲掉，怕不也易 如反掌？明秀是有这份能耐的！“四姐，那件事，我再也不提了！”明秀抿了抿嘴。那天姊弟之间说起来，宝音在老太太面前真是太得宠了，幸 而对苏家孩子们都不坏。受宠到什么地步、又不坏到什么地步呢？跟她开个玩笑罢！偷她一件东西出来。一听说宝音当晚死了，明秀心里也卟腾 腾跳，转念想，只是碰了巧了。难道宝音会到井里去找金像？又难道老太太会为个金像撺宝音进井里去不成？开玩笑！必是宝音失足，赶了巧了。 他们这玩笑却也不好说出来，惹人糟心。她已叫明柯赶紧的把金像处理了，接下去，只要闭嘴，一直闭下去，别再提，等这事儿在大伙的记忆中 渐渐褪色就好。“四姐，”明柯又道，“我找了小厮，来抬琴了哈？”“抬就抬吧，噜嗦到现在。”明秀是抱怨，但抱怨得很娇美。为了掩饰自 己的感情，她目视前方，没有看他，也就没有看见他低下头，忍回去一个笑。甜蜜蜜、甜蜜得几乎要淬出一把刀锋似的、那样的笑。去往老太太 院子的路上，明秀遇到了明远。明远的神态，让明秀心里格噔一声。她主动迎上去，笑问：“大哥，哪里去？”“去找明蕙。”明远怒容未歇。 “明蕙怎么了？”明秀问。“她干的好事！”明远跟明秀全说出来，自从得知外头传芙蓉花主，明远总归很介意，想着蝶宵华无意中脱口出这四 字，外头正传四字，哪有这样巧的？但经宝音一阻，明远也想过来了，蝶宵华不是乱传的人，再一回忆，宝音院中芙蓉泣血时，他心里煞是惊痛， 口里漏出一句：“前有芙蓉花主之戏谶，而今便花木伤损、根须啼血，莫非笙妹妹不好了？”这话只在他大丫头漓桃面前说，便去问漓桃，漓桃 也慌了，承认自己不知利害，老太太处分刘四姨娘与明蕙时，明蕙丫头唧唧囔囔不服气，她便说了芙蓉与其主
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________ 个区域. 2k
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.