高二数学推理与证明

一.综合法
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
作业：
１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
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得福家表 好看。”其实是还不如毓笙美。老太太也是看见毓笙的美，想滋养培育，售于帝王家，巩固苏家百年富贵基业？明秀无声的叹口气。她 不想入宫，但要宝音担此重任，她又难免嫉妒。第三十六章 凭尽栏杆说元夜（3) 筱筱搀扶明秀起身，外头夹脚响，一迭声的通传，五少爷来了。 看见明柯那兴冲冲、莽撞撞模样，明秀总想赠他五个字“哥舒夜带刀”。他也不避忌，索性外人面前那装出来的一点涵养也不要了，对着明秀就 跌足：“四姐，听说宝音的事了。”“真叫人难受。”明秀神色不动。“四姐„„”明柯随着明秀走出两步，极低极低道，“宝音不干不关我们 的事吧？”明秀正待迈门槛，顿了顿：“那个玩笑，只是赶了巧罢！”明柯连连点头：“是！”“老五你精神不太好呢？要不歇着罢！”“不不， 谢谢四姐，我挺好的！”明柯怕她叫他歇着，别管田庄了。那两个庄子还是明秀鼎力帮忙，才说下来给他闹腾的。回头她要给他敲掉，怕不也易 如反掌？明秀是有这份能耐的！“四姐，那件事，我再也不提了！”明秀抿了抿嘴。那天姊弟之间说起来，宝音在老太太面前真是太得宠了，幸 而对苏家孩子们都不坏。受宠到什么地步、又不坏到什么地步呢？跟她开个玩笑罢！偷她一件东西出来。一听说宝音当晚死了，明秀心里也卟腾 腾跳，转念想，只是碰了巧了。难道宝音会到井里去找金像？又难道老太太会为个金像撺宝音进井里去不成？开玩笑！必是宝音失足，赶了巧了。 他们这玩笑却也不好说出来，惹人糟心。她已叫明柯赶紧的把金像处理了，接下去，只要闭嘴，一直闭下去，别再提，等这事儿在大伙的记忆中 渐渐褪色就好。“四姐，”明柯又道，“我找了小厮，来抬琴了哈？”“抬就抬吧，噜嗦到现在。”明秀是抱怨，但抱怨得很娇美。为了掩饰自 己的感情，她目视前方，没有看他，也就没有看见他低下头，忍回去一个笑。甜蜜蜜、甜蜜得几乎要淬出一把刀锋似的、那样的笑。去往老太太 院子的路上，明秀遇到了明远。明远的神态，让明秀心里格噔一声。她主动迎上去，笑问：“大哥，哪里去？”“去找明蕙。”明远怒容未歇。 “明蕙怎么了？”明秀问。“她干的好事！”明远跟明秀全说出来，自从得知外头传芙蓉花主，明远总归很介意，想着蝶宵华无意中脱口出这四 字，外头正传四字，哪有这样巧的？但经宝音一阻，明远也想过来了，蝶宵华不是乱传的人，再一回忆，宝音院中芙蓉泣血时，他心里煞是惊痛， 口里漏出一句：“前有芙蓉花主之戏谶，而今便花木伤损、根须啼血，莫非笙妹妹不好了？”这话只在他大丫头漓桃面前说，便去问漓桃，漓桃 也慌了，承认自己不知利害，老太太处分刘四姨娘与明蕙时，明蕙丫头唧唧囔囔不服气，她便说了芙蓉与其主
第二章
推理与证明复习小结
知识结构
合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 演绎推理 比较法
归纳推理 类比推理
直接证明
综合法 分析法 反证法
数学归纳法
例.已知a、b、c 为不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ： a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个 交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是 k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2. 根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成 立. 说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + 1 1 1 b c c a a b = + + . < + + 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a - 2 - a.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一个交点.
注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.
注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要 证“至多有两个不相等的实根”只要证明 它的反面“有三个不相等的实根”不成立即 可.
问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.
C D
L1
a
L2
A
B
五.归纳、类比、猜想、证明
例：在各项为正的数列{a n }中，数列的前n项 1 1 和s n 满足s n = (a n + ) 2 an （1）求a1、a 2、a 3； （2）由（1）猜想到数列{a n }的通项公式， 并用数学归纳法证明你的猜想。
例：已知a > 5，求证 ：
• • • • • • • •
二.分析法
a -5 - a -3 <
证明: a -5 - a -3 < a -2 - a 要证 只需证 a - 5 a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 0 < 6 成立. 因为 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域. 练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. n-1 练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________ 个区域. 2k
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k 条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.