相交弦定理学习教育PPT课件

∴ PA ·PB=PC ·PD
相交弦定理：圆内的两条 相交弦，被交点分成的两 条线段长的积相等
例1 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，且PC=PD， PA=3，BP=1。求CD的长
解：由相交弦定理，得 PA ·PB=PC ·PD ∵ PC=PD ∴ PC ·PD=PC2 =PA ·PB=3×1=3 ∴ PC= ∴ CD=2
=（r+3) (r–3) = r2百度文库– 9
即 2﹒5×6= r 2 – 9 r = 2
想一想： “过圆内一点任意引圆的一条割线，这点到
割线与圆的两个交点间的两条线段长的乘积等于定值” 是真命题吗？
PA · PB=PC · PD=PE · PF=……
C
A
F
P E B D
练习1： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为 垂足，已知AB=6，CD=4 ，求AP,BP（ AP ＞BP ）。 解：设AP=X，则BP= 6
－
X
由相交弦定理得 ： AP ·BP=CP ·DP ∵AB⊥CD
∴CP=DP= CD=2 ）2 =8 ∴ AP ·BP=CP2 =（2 ∴ X ( 6 － X )=8 X 2 － 6 X+ 8 =0 X1=2， X2=4 ∵ AP ＞BP ∴AP =4，BP=2
练习2，如图，⊙O的弦AB，CD分别与弦EF交于M，N 两点，且EM=FN。求证：AM ·BM=CN ·DN
证明： EM=FN EN=FM
EM+MN=FN+MN E M B
A C N D F
AM ·BM=EM ·FM
CN ·DN =FN ·EN AM ·BM=CN ·DN
练习3 如图，M是⊙O1与 ⊙O2 的公共弦AB上的一点， CE，DF 分别是⊙O1 ，⊙O2 的弦，他们相交于点M。 求证：MD ·MF=ME ·MC
练习4。如图，AB是⊙O的一条弦，点P在AB上，已知 PB=6，AB=8．5 ，OP=3，求⊙O的半径。
D 解：作过点P的直径CD， AB=8．5， PB=6，PA=2 ． 5， 设⊙O的半径为 r ，.
PD= r + 3 ,PC= r – 3 。
由相交弦定理，得 PA ·PB = PD ·PC C
6.7相交弦定理
小沙中学 傅纪恩
如图：⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，若PA=4，PB=2， 只 要你说出PC的任何一个值，我就能说出PD的长度！！！ 让我们试一下。
已知： 弦AB和CD相交于⊙ O内一点P
求证： PA ·PB=PC ·PD 证明：连接AC，BD ∵ ∠A= ∠ D， ∠ C= ∠ B ∴ △PAC∽ △ PDB
证明：由相交弦定理，得 ME ·MC=MA ·MB MD ·MF=MA ·MB ∴ MD ·MF=ME ·MC
例2 如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦。设 ⊙O的半径为 r ，OP= d . 求证：PA ·PB= r2 －d2
作过点P的直径CD，则， 证明：
PC= r + d ,PD= r – d 。 由相交弦定理，得 PA ·PB=PC ·PD =（r+d) (r–d) = r2 – d2