数学思维导图案例

数学思维导图

(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .

(1)求证：BE ＝DE ；

若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，

求证：DM ∥平面BEC .

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息 观察条件―→△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC

⊥BD ―――――→取BD 中点O 连接EO ，CO

CO ⊥BD ―――――→EC ∩CO ＝C BD ⊥平面EOC

2．审结论，明解题方向

观察所证结论―→求证BE ＝DE ―――――――――――→

需证明△

BDE 是等腰三角形 应证明EO ⊥BD 3．建联系，找解题突破口

CB ＝CD ―――――→O 为BD 中点CO ⊥BD ―――→EC ⊥BD BD ⊥平面EOC ――――――→OE ⊂平面EOC BD ⊥OE ―――――→△BDE 是

等腰三角形

BE ＝DE

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→△ABD 为正三角形∠BCD ＝120°，M 是AE 的中点

―――――――→取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN MN ∥BE ，DN ⊥AB ，CB ⊥AB 2．审结论，明解题方向

观察所证结论―→DM ∥平面BEC ――――――→需证面面平行

或线线平行 平面DMN ∥平面BEC 或DM 平行于平面BEC 内的一条线

3．建联系，找解题突破口

结合

条件与图形

――→法一 证明平面DMN ∥平面BEC ――――――――――→由面面平行推证线面平行DM ∥平面BEC ――→法二 在平面BEC 内作辅助线EF ∥DM ――――――――→利用线面平行的判定

DM ∥平面BEC [教你准确规范解题]

(1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO .

由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD .(1分)

又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ，

所以BD ⊥平面EOC .(2分)

因此BD ⊥EO . 又O 为BD 的中点，所以BE ＝DE .(3分)

(2)法一：如图，取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN .

因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .(4分)

又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC .

(5分)

又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°.(6分)

又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.(7分)

所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，

所以DN∥平面BEC.(9分)

又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.(10分)

又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)

法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.(4分)

因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.(5分)

因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.(7分)

因此∠AFB＝30°，所以AB＝1

2AF.(9分)

又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．(10分)

连接DM，由点M是线段AE的中点，得DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，(11分)

所以DM∥平面BEC.(12分)

函数实际应用题答题模板

[典例](2011山东高考·满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要

求容器的容积为80π

3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已

知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的r .

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息 观察条件―→中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积――――――→可根据体积公式

建立关系式

4πr 33＋πr 2l ＝80π3―――――――→利用表面积公式求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2，S 圆柱＝2πrl

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求y 关于r 的函数表达式，求y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域

――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3

3．建联系，找解题突破口

总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3

―――→应消掉l

只保留r 由4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3――――→故可得建造费用

y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2―――――――→由l ≥2r 可求r 的范围

即定义域

0

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→错误!

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→求该容器的建造费用最小时的r ――――――――――→建造费用最小，即y 最小问题转化为

当r 为何值时，y 取得最小值