因式分解与十字相乘专题教案
人教初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能:理解十字相乘法的概念和意义;◆过程与方法:会用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式;.◆情感态度:培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力,训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点:能熟练用十字相乘法把形如x2+p x+q的二次三项式分解因式◆难点:能熟练用十字相乘法把形如x2+p x+q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1.口答计算结果:(1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x-1) (3)(x-2)(x+1) (4) (x-2)(x-1)(5)(x+2)(x+3) (6) (x+2)(x-3)(7) (x-2)(x+3) (8) (x-2)(x-3)2.问题:你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳: .二.探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式:x2+(2+3)x+2×3=;x2+(-1-2)x+(-1)×(-2)=;x2+(-1+2)x+(-1)×2=;x2+(1-2)x+1×(-2)= . 由上面的分析可知形如x2+px+q的二次三项式,如果常数项q能分解为两个因数a、b的积,并且a+b恰好等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式,即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)三.例题举例基础题(1)x2+7x+6 (2)x2-5x-6 (3)x2-5x+6四.练习:(1)x2-7x+6 (2)a2-4a-21(3)t2-2t-8 (4)m2+4m-12拓展题(1)x2+xy-12y2(2)x4+5x2-6五.练习:(1)x2-13xy-36y2 (2)a2-ab-12b2(3)m4-6m2+8 (4)x4+10x2+9六.课堂小结:对二次三项式x 2+px +q 进行因式分解,应重点掌握以下三个方面:1.掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2.符号规律: 当q >0时,a 、b 同号,且a 、b 的符号与p 的符号相同; 当q <0时,a 、b 异号,且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸:把下列多项式分解因式:(1) 342+-x x (2)1282+-x x (3)1582++x x (4)762-+x x(5)11102--a a (6)432-+m m (7)302-+x x (8)13122--x x(9)2282y xy x -+ (10)2234b ab a ++ (11)22208y xy x -- (12)2254n mn m --(13)434--x x (14)1522--x x (15)24102-+x x (16)24142+-x x 八.思考:1.请将下列多项式因式分解:①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解(尽可能多的): x 2 ( )x + 60 = ;◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二.探索尝试三.例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题:十字相乘法分解因式教案一、教学目标:1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备:1. 教师准备:教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备:纸和笔。
三、教学过程:1. 导入(5分钟)a. 引入十字相乘法的概念和意义,解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子,引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解(15分钟)a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析(15分钟)a. 给出一个具体的多项式,引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例,让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固(20分钟)a. 分发练习题,让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑,确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用(10分钟)a. 提供一些拓展题目,让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思(5分钟)a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑,及时解答。
四、教学评价:1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题,评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸:1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题,以提高学生的解题能力。
六、教学反思:本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节,有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而,在教学过程中,可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题,需要教师及时解答和指导。
此外,为了增加学生的学习兴趣和参与度,可以设计一些趣味性的活动或游戏,使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍:首先,我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法,通过将多项式的项按照一定规则排列,找到两个数使得它们的乘积等于常数项,而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例,如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法:
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程;
-通过多个例题,展示不同情况下十字相乘的应用,强调识别和选择合适数字的策略;
-分组讨论,让学生在小组内相互解释和交流,共同解决难点问题;
-设计具有挑战性的问题,鼓励学生独立思考和探索,如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式;
五、教学反思
在今天的教学中,我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高,但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时,我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述,希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看,这种方法是有效的。
然而,当我让学生们尝试自己分解一些多项式时,部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时,我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许,我可以设计一些更具针对性的练习题,让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤,尤其是如何确定乘积和和;
-在应用十字相乘法时,如何灵活变通,处理各种不同类型的二次多项式;
-将实际问题转化为数学表达式,并运用十字相乘法进行因式分解。
举例:难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律,如对于多项式x^2 + 5x + 6,学生需要找出两个数(2和3),使得它们的乘积等于6,和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难,需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式;2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点:运用十字相乘法求解一元二次方程难点:对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课,我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式:把一个多项式分解成几个整式的积的形式一)填空:1))4)(3(++x x = ; 2))5)(4(++x x = 。
3))3)(1(++y y = ; 4)))((q x p x ++= 。
二)能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解?它们有什么特点?特点:1)二次项系数是1;2)常数项是两个数之积;3)一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤:(1)列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况;(2)尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数;(3)将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键:乘积等于常数项的两个因数,它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写,符号决定常数式,交叉相乘验中项,横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式:1)562++x x ; 2)862++y y ; 3)1682+-x x ; 4)21102+-a a ;5)1452-+x x ; 6)542-+t t ; 7)14132--x x ; 8)6322--x x 。
分析:关键之处在于把常数项分解成两数的积,再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式:1)652++x x ; 2)652+-x x ; 3)652-+x x ; 4)652--x x 。
分析:此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法,才可以正确地把四个多项式分解因式。
十字相乘法(详细教案)
因式分解的一点补充——十字相乘法(适用于新课标人教版八年级数学上册)青山初级中学李鑫教学目标1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解;2.进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。
教学重点和难点重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解。
难点:灵活运用十字相乘法因分解式。
教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+(p+q)x+pq这类二次三项式的因式分解,这类式子的特点是:二次项系数为1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和。
因此,我们得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).课前练习:下列各式因式分解1.- x2+2 x+15 2.(x+y)2-8(x+y)+48;3.x4-7x2+18;4.x2-5xy+6y2。
答:1.-(x+3)(x-5);2.(x+y-12)(x+y+4);3.(x+3)(x-3)(x2+2);4.(x-2y)(x-3y)。
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解,也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。
对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。
二、新课例1 把2x2-7x+3因式分解。
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数):2=1×2=2×1;分解常数项:3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3)。
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:1 1 1 3 1 -1 1 -32 ×3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-11×3+2×1 1×1+2×3 1×(-3)+2×(-1)1×(-1)+2×(-3)=5 =7 = -5 =-7 经过观察,第四种情况是正确有。
第13讲-因式分解之十字相乘法-教案
【答案】B
例8、把多项式 因式分解是 ,则m、n的值分别是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【试一试】整式 能在有理数的范围内因式分解,则整数m的值有()
(A)4个.(B)5个.(C)6个.(D)8个.
【答案】C
课堂作业
1.若 能分解成两个一次因式的积,且m为整数,则m不可能是( )D
【分析】先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数):1=1×1;
分解常数项:6=1×6=6×1=(-1)×(-6)=(-6)×(-1) =2×3=3×2=(-2)×(-3)=(-3)×(-2).
【答案】(1)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5);(2)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)
(3)(x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
【说明】把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1×3+2×1=5
1×1+2×3=7
1×(-3)+2×(-1)=-5
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
【答案】2x2-7x+3=(x-3)(2x-1).
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题:十字相乘法分解因式的教案教学目标:1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备:1. 教学PPT或白板,以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具,如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤:引入活动:1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生:在学习因式分解中,如何应用乘法分配律?请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤:1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例,并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念:十字相乘法是一种用于分解因式的方法,通过将多项式的首项和尾项相乘,然后找到满足相乘结果的两个数,进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤:a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数,使其乘积等于上一步得到的结果,同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习:1. 在白板上示范一个具体的例子,展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习,并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展:1. 提供更多的练习题,让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题,扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结:1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估:1. 提供一组习题,让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注:教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
因式分解(十字相乘)教案
因式分解(十字相乘)教案目的:掌握因式分解的四种方法,并能够解决与此相关的数学题目和问题,为以后的学习打下基础。
1.概念:把一个多项式回味几个整式积地形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
通俗地说就是——多项式的差和化积的过程,因式分解的最后结果是积的形式。
2.和整式的乘法有什么关系?互为逆运算:因式分解是和差化积的过程;整式乘法是积化和差的形式例.:x(x+y)=x^2+xy3.书本上因式分解的四种方法(1)提取公因式法所有相同的项写到一起,其余的写到括号里(2)公式法:平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(3)分组分解法一般试四项,较为容易,注意,分完组提取公因式之后,能不能再次分解(4)十字相乘法*(重要)今天要讲的内容是十字相乘法:十字相乘:适用形如ax^2+bx+c 的二次三项式首先:二次项系数a等于1时:套用书上公式:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例.:x^2-5x+4其中两个数a,b的和-5,两个数a,b的乘积是4.那这两个数是多少:-1和-4 即这个式子分解因式为(x-1)(x-4)例.:x^2+5x+6 其中两个数a,b的和5,两个数a,b的乘积是6.那这两个数是多少:2和3 即这个式子分解因式为(x+2)(x+3)然后看二次项系数不为1时:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)如何得出:首先画一个十字:系数a分解成a1和a2,c分成c1和c2,a1乘a2等于a ,c1乘c2等于c,交叉乘积的和等于b,即b=a1c2+a2c1;在得出最后结果的时候一定要注意要横着写即(a1x+c1)(a2x+c2)例:3x^2-11x+10=(x-2)(3x-5)__不是一次性成功的,可以吗慢试,做多了题目就会越来越快。
例:3a^2-7a-6=(X-3)(3X+2)例:6x^2+x-35=(2x+5)(3x-7)例:(x^2+3x)^2-2(x^2+3x)-8=(x^2+3x+2)(x^2+3x-4)课后思考:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x^2+5x+5)^2(综合)。
因式分解--十字相乘法教案
因式分解------十字相乘法一基础知识:利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用()()ax b cx d ++竖式乘法法则.1.二次项系数为1的二次三项式:直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x++=+++进行分解特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和;2.二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2可分解的条件:(1)21a a a =,(2)21c c c =,(3)1221c a c a b +=分解结果:c bx ax++2=))((2211c x a c x a ++思考:十字相乘有什么基本规律?凡是能十字相乘的二次三项式2ax bx c ++,满足240b ac ->,且是一个完全平方数二典例分析1.分解下列因式(1)672+-x x ;(2)24142++x x ;(3)36152+-a a ;(4)542-+x x(5)22-+x x;(6)1522--y y;(7)24102--x x;(8)27122++x x2.分解下列因式(1)101132+-x x(2)6752-+x x(3)2732+-x x;(4)317102+-x x(5)101162++-y y(6)3522--x x ; (7)3832-+x x (8)181322+-b b 3.分解下列因式(1)221288b ab a--(2)2223y xy x+-(3)2286n mn m+-(4)226b ab a--(5)22187y xy x -+ (6)22183y xy x --(7)2212y xy x -- (8)22166y xy x --4.分解下列因式 (1)22672y xy x+-; (2)224715y xy x -+ ; (3)22151112y xy x--(4)22235x xy y -- (5) 22524a ab b -- (6) 225428x xy y +-5.分解下列因式 (1)2322+-xy yx (2)35222+-xy y x (3)8622+-ax xa(4)801122-+mn n m (5)222(8)22(8)120a a a a ++++ (6)15)2(2)2(2----b a b a6.分解下列因式(1)17836--x x(2)10)(3)(2-+-+y x y x (3)344)(2+--+b a b a(4) 4)2(5)2(222++++a a a a (5)42)()(222-+++x x x x (6) 48)3(2)3(2-+-+b a b a7.分解下列因式 (1)2634422++-+-n m nmn m(2)81023222-++--y x y xy x ;(3)310434422-+---y x y xy x ;(4) 3424422---++y x yxy x8.分解下列因式 (1)2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-;(2) abc x c ba abcx+++)(2222(3)90)242)(32(22+-+-+x x x x (4)222()()();a b c b c a c a b -+-+- 9.已知0<a ≤5,且a 为整数,若223x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a . 10.如果xx m xm x 43222-+--能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m 的值,并把这个多项式分解因式三随堂练习(1)432-+x x (2)432--x x (3)2082-+x x(4)2452--x x (5)1282+-x x (6) x x x 7623+--(7)601124+--x x (8) 8224--a a (9) 3422++ab b a (10)363524--y y (11)361324+-y y (12)22498y y x x -+ (13)42249134y y x x -+- (14)3)23()23(22----y x y x (15)10364422-++--yy x xy x四.课后作业1.)3)(2(x x +-是多项式( )的因式分解 A.26x x -+ B 26x x ++ C 26x x +- D.26x x -- 2.如果)3)((62+-=+-x n x mx x , 那么n m -的值是( )A.1- B 1 C 3- D.3 3.若xym x y 2256-++-能分解为两个一次因式的积,则m 的值为( )A. 1 B. -1C. ±1D. 24.不能用十字相乘法分解的是( )A .22-+x x B .x x x 310322+- C .242++x x D .22865y xy x --5.多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x -b ),则a ,b 的值分别为 ( )A .10和-2 B .-10和2 C .10和2 D .-10和-2 6.分解结果等于(x +y -4)(2x +2y -5)的多项式是 ( )A .20)(13)(22++-+y x y x B .20)(13)22(2++-+y x y x C .20)(13)(22++++y x y x D .20)(9)(22++-+y x y x7.将下述多项式分解后,有相同因式x -1的多项式有 ( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个①672+-x x ;②1232-+x x ;③652-+x x ;④9542--x x ;⑤823152+-x x ⑥121124-+x x 8.=--3522x x (3)x -(_____);9.+2x ____=-22y()x y -( );10.=--22529yxy x (-x )(+x )11.-+x x 102 =-+x x )(12( );12.整数k =______时,多项式k x x -+732有一个因式为(_______) 13.分解下列因式 (1)21536y y -+ (2)24102-+m m ;(3)24102++m m(4)36132++y y (5)222265x y x y x -- (6)2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++(7) 22224954y yx yx --; (8)2222)(2)(11)(12y x y xy x -+-++(9)224443x x y y --+-;(10)4271x x -+ (11) 22273q pq p +-(12)2232x y x y -+-+; (13)22276x xy y x y +--+-;(14)a bab 221639++; (15)15742122xx yynnn n +-++; (16)()()xx xx 222322372+-++(17)24224-+a a ; (18)22224)1(4)1(x x x ++-+; (19)6)52()52(222----x x x x(20)2226023z xyz y x +- (21)y xy y x 1582-+- (22)26)(11)(222--+-x x x x(23)))(()(222q p q p pq x q p x -+++-;(24)120)127)(23(22-++++x x x x ;(25)22210235y aby b a -+ (26)4222212)2)((y y xy x y xy x -++++ (27)655222-+-+-y x y xy x14. 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.15.已知多项式62++ax x 可分解为两个整数系数的一次因式的积,求a 的值。
一元二次方程的解法----十字相乘法教案
一元二次方程的解法——十字相乘法班级________姓名________学号________一、学习目标:1、利用十字相乘法分解因式2、利用十字相乘法解一元二次方程二、典例精析例1、用十字相乘法分解因式(1)x2+5x+6(2)x2—5x+6(3)x2+5x—6 (4)x2—5x—6(5)x2—5xy+6y2 (6)(x+y)2—5(x+y)—6练习:(1)x2—7x+10 (2)y2+y—2(3)x2—12x—13 (4)m2—5m+4例2、用十字相乘法解一元二次方程(1)x2+5x+6=0 (2)y2+y—2=0(3)(x+3)(x—1)=5 (4)t(t+3)=28练习:(1)x2+7x+12 =0(2) x2—5x+6=0 (3)(x+2)(x—1)=10例3、用十字相乘法解关于x的方程:(1)(x—2)2—2 (x—2) —3=0 * (2)(x2—3x)2—2(x2—3x) —8=0练习:(1)024)1(5)1(2=-+-+xx(2)0)(22222=--+nmxnmx★例4、已知x2—5xy+6y2 =0(y≠0),求yxxy+的值。
四、课后作业1、m2+7m—18=(m+a) (m+b),则a,b的符号为()A、a,b异号B、a,b异号且绝对值大的为负C、a, b同号D、a,b同号且绝对值大的为正2、在下列各式中,(1)x2+7x+6(2)x2+4x+3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10 (5)x2+15x+44有相同因式的是()A、(1)(2)B、(3)(5)C、(2)(5)D、(1)(2)、(3)(4)、(3)(5)3、x2+2x—3,x2—4x+3,x2+5x—6的公因式是()A、x—3B、3—xC、x +1D、x—14、若y2+py+q=(y—4)(y+7),则p= ,q= .5、分解因式:(1)x2+7 x—8 (2)y2—2y—15(3)(x+3y)2—4(x+3y)—32 6、用十字相乘法解一元二次方程(1)x2—3x—10 =0 (2)x2+3x—10 =0(3)x2—6x—40 =0 (4)x2—10x+16 =0(5)x2—3x—4 =0 (6)m2—3m—18=0 7、用十字相乘法解关于x的一元二次方程:(1)(x+1)(x+3)=15 (2)(x+2)(x—3)=14(3)03422=+-aaxx(5) (x—2)2+3(x—2) —4=0(4)x2—3xy—18y2=0 * (6) (x2—x)2—4(x2—x) —12=0 8、已知:△ABC的两边长为2和3,第三边的长是x2—7x+10=0的根,求△ABC 的周长.9、已知下列n (n 为正整数)个关于x 的一元二次方程:()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……(1)请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>;(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可.。
十字相乘法教学设计(多篇)
十字相乘法教学设计(多篇)篇:十字相乘法设计因式分解——十字相乘法东莞市可园中学教材与学情分析本课时属数学教材八年级上学期《分解因式》的补充内容,依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值,二是学生的掌握难度并不大,增补此内容并不会增加学生负担,三是学习此内容可开阔学生视野,锻炼学生的思维,所以,我们也安排了课时讲解此内容。
教学目标:1、会用十字相乘法进行二次三项式(x2px q)的因式分解;2、通过学生的不断尝试,培养学生的耐心和信心,在尝试中提高学生的观察能力和逆向思维能力。
教学重点:能熟练应用十字相乘法进行二次三项式(x2px q)的因式分解。
b,a b q。
教学难点:在x2px q分解因式时,准确地找出a、使ab p,教学过程:一、复习引入分解因式:把一个多项式分解成几个整式的_______的形式。
已学的因式分解方法有_______________和______________.思考:你知道x25x6怎样分解因式吗?二、探究(x2)(x3) = ____;(x2)(x4)= _。
填空:(1)(2)(x3)(x4)= ___;(x a)(x b)= _。
(3)(4)根据上面结果,你会对下列二次三项式进行因式分解?请试一下。
它们有什么共同的特点?(1)x25x 6 =____________ , (2) x22x8=_______________。
(3)x27x12 =____________ , (4)x2(a b)x ab =_______________。
共同特点:①二次项系数是_____;②常数项是两个数之_______;③一次项系数是常数项的两个因数之_______。
例题讲解例1.因式分解x25x 6十字相乘法的定义:利用十字交叉来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
练习1 .因式分解(1)x27x 6 (2)x25x 6例2.因式分解x22x8练习2.因式分解(1)x22x8 (2)x27x8四、巩固练习练习3.因式分解(1)x27x10 (2)x27x10(3)x29x10 (4)x23x10练习4.若x2mx n(x4)(x9),则m=______,n=________.五、拓展提升出题比赛练习5.在横线上填一个整数,然后因式分解(1)x2____x15 (2)x2____x 15练习6.若x2ax6在整数范围内可以因式分解,则a的值可能是_____________.六、小结七、教学反思在读书的时候学到十字相乘法时,曾经心里有这样一个疑惑,是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢?如果不是,那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢?这留作我们今天这节课的第三个思考题。
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)
“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)“十字相乘法”教学设计篇一【教学内容】8.壹五十字相乘法(第一课时,课本P.49~P.51)【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式;2、通过课堂交流,锻炼学生数学语言的表达能力;3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。
【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。
【教学难点】把x2+px+q分解因式时,准确地找出a、b,使a·b=q;a+b=p.【教学过程】一、复习导入1.口答计算结果:(1)(x+2)(x+1)(2)(x+2)(x-1)(3)(x-2)(x+1)(4)(x-2)(x-1)(5)(x+2)(x+3)(6)(x+2)(x-3)(7)(x-2)(x+3)(8)(x-2)(x-3)2.问题:你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?[在多项式的乘法中,有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]二、探索新知1、观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算。
反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解。
2、体会与尝试:①试一试因式分解:x2+4x+3;x2-2x-3将二次三项式x2+4x+3因式分解,就需要将二次项x2分解为x·x,常数项3分解为3×1,而且3+1=4,恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:x2+4{WWW.JIAOXUELA}x+3=(x+3)(x+1).x+3x+13x+“十字相乘法”教学设计篇二教学目标:1.使学生经历整十、整百数乘整十数的口算乘法的过程,能比较正确熟练地进行口算。
2学会运用整十、整百数乘整十数的口算乘法解决简单的实际问题。
人教版八年级上册9.15:因式分解十字相乘法教学设计
人教版八年级上册9.15:因式分解十字相乘法教学设计
一、教学目标
1.知识目标:了解因式分解的定义和方法,掌握十字相乘法的运用。
2.能力目标:能够对简单的多项式进行因式分解。
3.情感目标:培养学生对数学的兴趣,激发学生学习数学的积极性。
二、教学重难点
1.教学重点:因式分解和十字相乘法的学习。
2.教学难点:多项式因式分解的学习。
三、教学过程
1. 导入环节
•介绍本次课将要学习的内容,引入因式分解和十字相乘法的概念。
2. 新课讲解
(1)因式分解的定义和方法
•通过示例引导学生了解因式分解的概念。
•教师讲解因式分解的方法:提取公因数法、分组法、十字相乘法。
(2)十字相乘法的运用
•具体讲解十字相乘法的步骤和运用。
3. 练习环节
•通过课堂练习节目,让学生掌握因式分解的方法。
•课堂分组,同学之间可以互相合作,相互交流,互相矫正。
4. 知识点总结和归纳
•总结本节课所学的知识点,让学生在脑海中形成对这些知识点的一个清晰的概念。
四、教学资源
•教学课件、白板、笔记本、教材、练习册。
五、教学反思
通过本节课,学生能够了解因式分解的定义和方法,掌握十字相乘法的运用。
在教学过程中,通过示例的引导,让学生更好地理解了因式分解的概念;并在练习环节中,让学生锻炼了自己的思维能力。
同时,也意识到在这个过程中,教师的引导作用是非常重要的。
在这个基础上,我们需要努力,使学生能够更好地掌握这个知识点。
十字相乘因式分解教案
十字相乘因式分解教案教案标题:十字相乘因式分解教案教案目标:1. 理解十字相乘法在因式分解中的应用;2. 掌握使用十字相乘法分解二次多项式的技巧;3. 能够独立运用十字相乘法解决相关问题。
教学准备:1. 教师准备:黑板/白板、彩色粉笔/马克笔、教学PPT;2. 学生准备:课本、笔记本、铅笔和橡皮擦。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 教师用简单的例子引入十字相乘因式分解的概念,例如:(x+3)(x+2);2. 提问学生是否知道如何将上述式子进行因式分解。
二、讲解十字相乘法(10分钟)1. 教师介绍十字相乘法的步骤:将二次多项式的首项和末项的系数相乘,找出两个数的乘积等于中间项的系数;2. 通过示例演示如何使用十字相乘法分解二次多项式,例如:x^2+5x+6;3. 强调步骤的重要性,并提醒学生在计算过程中注意符号。
三、练习与巩固(15分钟)1. 教师提供一些练习题,让学生独立进行因式分解,例如:2x^2+7x+3;2. 学生在课堂上完成练习题,并相互讨论解题方法;3. 教师巡视课堂,解答学生疑问,纠正他们的错误。
四、拓展与应用(10分钟)1. 教师提供一些拓展题,让学生运用十字相乘法解决实际问题,例如:已知一个矩形的长和宽之和为x,面积为x^2+3x+2,求矩形的长和宽;2. 学生独立解答拓展题,并将答案写在纸上;3. 教师选几位学生上台讲解解题思路,并与学生一同讨论。
五、总结与反思(5分钟)1. 教师对十字相乘因式分解的方法进行总结,强调学生在课后需要多加练习;2. 学生反思本节课的学习情况,提出问题并与教师进行交流。
六、作业布置(5分钟)1. 教师布置相关的作业,要求学生独立完成;2. 强调作业的重要性,并提醒学生将问题及时反馈。
教学反馈:1. 教师对学生的课堂表现进行评价,记录学生的掌握情况;2. 针对学生的问题进行解答和指导,帮助学生提高。
备注:教案中的时间安排仅供参考,实际教学中可根据具体情况进行调整。
十字相乘法进行因式分解(详案)
流教育——圆你成功梦十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】(1)理解二次三项式的意义;(2)理解十字相乘法的根据;(3)能用十字相乘法分解二次三项式;(4)重点是掌握十字相乘法,难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法.【重点难点解析】1.二次三项式多项式c bx ax ++2,称为字母x 的二次三项式,其中2ax 称为二次项,bx 为一次项,c 为常数项.例如,322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式.在多项式2286y xy x +-中,如果把y 看作常数,就是关于x 的二次三项式;如果把x 看作常数,就是关于y 的二次三项式.在多项式37222+-ab b a 中,把ab 看作一个整体,即3)(7)(22+-ab ab ,就是关于ab 的二次三项式.同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把x +y 看作一个整体,就是关于x +y 的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式,实质上是逆用(ax +b )(cx +d )竖式乘法法则.它的一般规律是:(1)对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2,如果能把常数项q 分解成两个因数a ,b 的积,并且a +b 为一次项系数p ,那么它就可以运用公式分解因式.这种方法的特征是“拆常数项,凑一次项”.公式中的x 可以表示单项式,也可以表示多项式,当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同;当常数项为流教育——圆你成功梦负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同.(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ,b ,c 都是整数且a ≠0)来说,如果存在四个整数2121,,,c c a a ,使a a a =⋅21,c c c =⋅21,且b c a c a =+1221,那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头,凑中间”,这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律.为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同;常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.如:)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3.因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤:先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下:“首先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式:(1)1522--x x ;(2)2265y xy x +-. 点悟:(1)常数项-15可分为3 ×(-5),且3+(-5)=-2恰为一次项系数;(2)将y 看作常数,转化为关于x 的二次三项式,常数项26y 可分为(-2y )(-3y ),而(-2y )+(-3y )=(-5y )恰为一次项系数.解:(1))5)(3(1522-+=--x x x x ;流教育——圆你成功梦(2))3)(2(6522y x y x y xy x --=+-.例2 把下列各式分解因式:(1)3522--x x ;(2)3832-+x x .点悟:我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式,这里a a a =21,c c c =21而b c a c a =+1221.解:(1))3)(12(3522-+=--x x x x ;(2))x )(x (x x 3133832+-=-+.点拨:二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性. 例3 把下列各式分解因式:(1)91024+-x x ;(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+;(3)120)8(22)8(222++++a a a a .点悟:(1)把2x 看作一整体,从而转化为关于2x 的二次三项式;(2)提取公因式(x +y )后,原式可转化为关于(x +y )的二次三项式;(3)以)8(2a a +为整体,转化为关于)8(2a a +的二次三项式.解:(1) )9)(1(9102224--=+-x x x x=(x +1)(x -1)(x +3)(x -3).(2) )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+流教育——圆你成功梦=(x +y )[(x +y )-1][7(x +y )+2]=(x +y )(x +y -1)(7x +7y +2).(3) 120)8(22)8(222++++a a a a点拨:要深刻理解换元的思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止.例4 分解因式:90)242)(32(22+-+-+x x x x .点悟:把x x 22+看作一个变量,利用换元法解之.解:设y x x =+22,则原式=(y -3)(y -24)+90=(y -18)(y -9) )92)(182(22-+-+=x x x x .点拨:本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程,体现了换元法化简求解的良好效果.此外,)9)(18(162272--=+-y y y y 一步,我们用了“十字相乘法”进行分解. 例5 分解因式653856234++-+x x x x .点悟:可考虑换元法及变形降次来解之.解:原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x , 令y xx =+1,则流教育——圆你成功梦 原式)5056(22-+=y y x )13)(3)(12)(2(++--=x x x x .点拨:本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时,还应用了换元法,方法巧妙,令人眼花瞭乱.但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”,这是一个重要环节. 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x .点悟:方法1:依次按三项,两项,一项分为三组,转化为关于(x -y )的二次三项式. 方法2:把字母y 看作是常数,转化为关于x 的二次三项式.解法1: 655222-+-+-y x y xy x )6)(1(--+-=y x y x .解法2: 655222-+-+-y x y xy x=(x -y -6)(x -y +1).例7 分解因式:ca (c -a )+bc (b -c )+ab (a -b ).点悟:先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组.解:ca (c -a )+bc (b -c )+ab (a -b )=(a -b )(c -a )(c -b ).点拨:因式分解,有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组,有时仅需要把某几项展开再分组.此题展开四项后,根据字母c 的次数分组,出现了含a -b 的因式,从而能提公因式.随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解.例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式.点悟:因为12624+++x x x 是四次多项式,有一个因式是42++ax x ,根据多项式的乘法原则可知道另一流教育——圆你成功梦 个因式是32++bx x (a 、b 是待定常数),故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax .根据此恒等关系式,可求出a ,b 的值.解:设另一个多项式为32++bx x ,则 12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ,∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式,所以其对应项系数分别相等.即有由①、③解得,a =-1,b =1,代入②,等式成立.∴ a =-1,另一个因式为32++x x .点拨:这种方法称为待定系数法,是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.【易错例题分析】例9 分解因式:22210235y aby b a -+.错解:∵ -10=5×(-2),5=1×5,5×5+1×(-2)=23,∴ 原式=(5ab +5y )(-2ab +5y ).警示:错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤. 正解:∵ 5=1×5,-10=5×(-2),5×5+1×(-2)=23.∴ 原式=(ab +5y )(5ab -2y ).【同步练习】流教育——圆你成功梦一、选择题1.如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 ( ) A .ab B .a +b C .-ab D .-(a +b )2.如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ,则b 为( ) A .5 B .-6 C .-5 D .63.多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x -b ),则a ,b 的值分别为( ) A .10和-2 B .-10和2 C .10和2 D .-10和-24.不能用十字相乘法分解的是( ) A .22-+x x B .x x x 310322+-C .242++x xD .22865y xy x --5.分解结果等于(x +y -4)(2x +2y -5)的多项式是( ) A .20)(13)(22++-+y x y xB .20)(13)22(2++-+y x y xC .20)(13)(22++++y x y xD .20)(9)(22++-+y x y x6.将下述多项式分解后,有相同因式x -1的多项式有( ) ①672+-x x ; ②1232-+x x ; ③652-+x x ; ④9542--x x ; ⑤823152+-x x ; ⑥121124-+x xA .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题7.=-+1032x x __________.8.=--652m m (m +a )(m +b ).流教育——圆你成功梦 a =__________,b =__________.9.=--3522x x (x -3)(__________).10.+2x ____=-22y (x -y )(__________). 11.22____)(____(_____)+=++a mn a . 12.当k =______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________).13.若x -y =6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________. 三、解答题14.把下列各式分解因式:(1)6724+-x x ; (2)36524--x x ;(3)422416654y y x x +-; (4)633687b b a a --; (5)234456a a a --; (6)422469374b a b a a +-.15.把下列各式分解因式:(1)2224)3(x x --;(2)9)2(22--x x ;(3)2222)332()123(++-++x x x x ;(4)60)(17)(222++-+x x x x ;(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ;(6)48)2(14)2(2++-+b a b a .16.把下列各式分解因式:(1)b a ax x b a +++-2)(2;(2)))(()(222q p q p pq x q p x -+++-;(3)81023222-++--y x y xy x ;流教育——圆你成功梦(4)310434422-+---y x y xy x ;(5)120)127)(23(22-++++x x x x ;(6)4222212)2)((y y xy x y xy x -++++.17.已知60197223+--x x x 有因式2x -5,把它分解因式.18.已知x +y =2,xy =a +4,2633=+y x ,求a 的值. 参考答案【同步练习】1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C7.(x +5)(x -2) 8.1或-6,-6或1 9.2x +1 10.xy ,x +2y 11.224m n ,a ,mn 2 12.-2,3x +1或x +2 13.1714.(1) 原式)6)(1(22--=x x(2) 原式)4)(9(22+-=x x(3) 原式)16)(4(2222y x y x --=(4) 原式))(8(3333b a b a +-=(5) 原式)456(22--=a a a(6) 原式)9374(42242b b a a a +-= 15.(1) 原式)23)(23(22x x x x +---=(2) 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x(3) 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x (4) 原式)5)(12(22-+-+=x x x x流教育——圆你成功梦(5) 原式)12)(82(22++-+=x x x x(6)原式)82)(62(-+-+=b a b a16.(1) 原式)1]()[(+++-=x b a x b a(2) 原式)]()][([q p q x q p p x +---=(3)原式)8103()22(22+----=y y x y x(4) 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x(5) 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x(6) 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++=17.提示:)52()601972(23-+--÷x x x x 18.∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=,又∵ 2=+y x ,xy =a +4,2633=+y x ,∴ 26)]4(32[22=+-a , 解之得,a =-7.。
十字相乘法(多项式因式分解--教案)
十字相乘法教案教学目标:1.知识目标:使学生掌握通过代换方法,进行可以转化为x2+(a+b)x+ab型的多项式因式分解,领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。
理解运用十字相乘法分解因式的关键。
2.能力目标:通过问题设计,培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力;训练学生思维的灵活性、层次性,逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。
3.情感目标:通过问题解决,培养合作意识,激发成功体验,鼓励创新思维。
教学设计思想:本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课,结合学生基础较好的特点,我改变教参中的处理方式,尝试以二期课改的理念为指导,帮助学生进行探索性地学习,更好地实现有效学习。
在设计上,希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变,学会透过现象看本质,灵活运用十字相乘法分解因式,进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。
感悟,从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法,也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。
化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。
教学过程:一、复习引入1.回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例1:把多项式x2-3x + 2分解因式。
x -1x -2解:x2-3x + 2 = (x-1) (x-2)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。
提问:是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式?答:不是,(反例:x2 +3x-2)。
提问:形如x2+px+q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式?请同学总结:(板书)x2+px+q当q=ab,p =a+b时,x2+px+q = (x+a) (x+b) (*)再提问:在将首项系数为1的二次三项式因式分解时,你认为要注意什么?答:试分解后要及时检验,纵向相乘得首项,末项;交叉相乘得中间项。
应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。
如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数的积,它们的符号与一次项系数p的符号相同。
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因式分解与十字相乘法
一、乘法公式
平方差公式: (a+b)(a-b)=a 2-b 2
完全平方公式: (a+b)2= a 2+2ab+b 2 (完全平方和)
(a-b)2= a 2-2ab+b 2 (完全平方差)
立方差公式: a 3-b 3=(a-b)( a 2+ab+b 2)
立方和公式: a 3+b 3=(a+b)( a 2-ab+b 2)
完全立方公式: (a-b)3=(a-b) (a-b)2=(a-b)( a 2-2ab+b 2)=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3
(a+b)3=(a+b) (a+b)2=(a+b)( a 2+2ab+b 2)=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
二、因式分解的概念
1因式分解的结果是积的形式,因式分解与整式的乘法互为逆变形
2因式分解是恒等变形,不会改变代数式的值
3.因式分解的基本方法
4公因式应满足:系数是各项系数的最大公约数,字母取各项相同字母的
最低次幂
一般步骤:一提二套(需分解彻底)
随堂练习
1.若16)3(22+-+x m x 是完全平方式,则m 的值等于_____。
2.若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。
3.22)(n x m x x -=++则m =____n =____
4.若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+,则m=_______,n=_________。
5.已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
6.()22)3(__6+=++x x x , ()22)3(9___-=++x x
7.若229y k x ++是完全平方式,则k=_______。
8.若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。
分解因式:
(1)2633x x - (2)13-x
(3)811824+-x x (4)24369y x -
已知
31
2=-y x ,2=xy ,求 43342y x y x -的值。
三、十 字 相 乘 法
例1把5x ²+6x-8分解因式
分析:本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。
当二次
项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题
解: 因为 1 2
5 ╳ -4
所以5x ²+6x-8=(x+2)(5x-4)
例2解方程x ²-8x+15=0
分析:把x ²-8x+15看成关于x 的一个二次三项式,则15可分成1×15,
3×5。
解: 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3 x2=5
随堂练习
(1)把14x ²-67xy+18y ²分解因式 (2)解方程 6x ²-5x-25=0
(3)()()24645x x ---+ (4)()()23536x x ++++
(5)x 4+6x 2+8 (6)2x 2+15x +7
(7)3a 2-8a +4 (8)6y 2-11y-10。