函数的概念教案学案辅导教案习题集
函数的概念教案初中
函数的概念教案初中教学目标：1. 了解函数的概念，理解函数是一种对应关系，每个自变量都有一个唯一的因变量与之对应。
2. 能够用函数的定义来判断一个关系是否为函数。
3. 能够利用函数的概念解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念。
2. 函数的性质。
教学难点：1. 理解函数的定义，特别是“唯一的”这个关键词。
2. 如何判断一个关系是否为函数。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 相关实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的变量知识，让学生举例说明生活中的变量。
2. 提问：变量之间的关系可以怎么描述？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍函数的概念：函数是一种对应关系，每个自变量都有一个唯一的因变量与之对应。
2. 解释“唯一的”这个关键词：对于同一个自变量，其对应的因变量必须是唯一的。
3. 通过实例来让学生理解函数的概念，如抛物线与平面直角坐标系中的点的对应关系。
4. 讲解如何判断一个关系是否为函数，强调对于每个自变量，其对应的因变量必须是唯一的。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固函数的概念。
2. 引导学生通过函数的定义来判断一个关系是否为函数。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生举例说明生活中遇到的函数关系，如温度与高度的关系。
2. 引导学生利用函数的概念解决实际问题。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结函数的概念及其性质。
2. 强调函数在实际生活中的应用价值。
教学反思：本节课通过引入实例，让学生直观地理解函数的概念，并通过练习题让学生巩固所学知识。
在应用拓展环节，学生能够举例说明生活中的函数关系，并利用函数的概念解决实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解“唯一的”这个关键词，避免学生产生误解。
3.1.1(第1课时)函数的概念 学案(含答案)
3.1.1（第1课时）函数的概念学案（含答案）3.13.1函数的概念与性质函数的概念与性质33..1.11.1函数及其表示方法函数及其表示方法第第11课时课时函数的概念函数的概念学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域.知识点一函数的有关概念函数的定义给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数函数的记法yfx，xA定义域x 称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围即数集A称为函数的定义域值域所有函数值组成的集合yB|yfx，xA称为函数的值域知识点二同一个函数一般地，函数有三个要素定义域，对应关系与值域如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数特别提醒两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同思考定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗答案不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数1任何两个集合之间都可以建立函数关系2已知定义域和对应关系就可以确定一个函数3若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素4函数yfxx2，xA与uftt2，tA表示的是同一个函数一.函数关系的判断例11多选下列两个集合间的对应中，是A 到B的函数的有AA1,0,1，B1,0,1，fA中的数的平方BA0,1，B1,0,1，fA中的数的开方CAZ，BQ，fA中的数的倒数DA1,2,3,4，B2,4,6,8，fA中的数的2倍答案AD解析A选项121,020,121，为一一对应关系，是A到B的函数B选项00，11，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，不是A到B的函数C选项A中元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，不是A到B的函数D选项122,224,326,428，为一一对应关系，是A到B的函数2设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图所示的四个图形其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是A0B1C2D3答案B解析中，因为在集合M中当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是；中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以是；中，x2对应元素y3N，所以不是；中，当x1时，在N中有两个元素与之对应，所以不是因此只有是反思感悟1判断对应关系是否为函数的两个条件A，B必须是非空实数集A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2根据图形判断对应关系是否为函数的方法任取一条垂直于x轴的直线l.在定义域内平行移动直线l.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数跟踪训练11下列对应关系式中是A到B的函数的是AAR，BR，x2y21BA1,0,1，B1,2，y|x|1CAR，BR，y1x2DAZ，BZ，y2x1答案B解析对于A，x2y21可化为y1x2，显然对任意xAx1除外，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C,2A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义2判断下列对应关系f是否为定义在集合A 上的函数AR，BR，对应关系fy1x2；A1,2,3，BR，f1f23，f34；A1,2,3，B4,5,6，对应关系如图所示解AR，BR，对于集合A中的元素x0，在对应关系fy1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数由f1f23，f34，知集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应关系是定义在A上的函数集合A 中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故所给对应关系不是定义在A上的函数二.求函数的定义域.函数值和值域命题角度1求函数的定义域例2求下列函数的定义域1fxx12x11x；2fx5x|x|3；3fx3xx1.解1要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x10，1x0.解得x1，且x1，即函数定义域为x|x1，且x12要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5x0，|x|30，解得x5，且x3，即函数定义域为x|x5，且x33要使函数有意义，自变量x的取值必须满足3x0，x10，解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3延伸探究在本例3条件不变的前提下，求函数yfx1的定义域解由1x13得0x2.所以函数yfx1的定义域为0,2反思感悟求函数定义域的常用依据1若fx是分式，则应考虑使分母不为零2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零3若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义4若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2函数y2x23x214x的定义域为________________答案，122,4解析由2x23x20，4x0，4x0，得x12或2x4，所以定义域为，122,4命题角度2求函数值例3已知fx12xxR，且x2，gxx4xR1求f1，g1,gf1的值；2求fgx解1f11211，g1145，gf1g15.2fgxfx412x412x1x2xR，且x2反思感悟求函数值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值2求fga的值应遵循由里往外的原则跟踪训练3已知fx11xxR，且x1，gxx22xR，则f2______，fg2______，fgx________.答案13171x23解析fx11x，f211213.又gxx22，g22226，fg2f611617.fgx11gx1x23.命题角度3求值域例4求下列函数的值域1y2x1，x1,2,3,4；2y3x1x1；3yxx.解1当x1时，y3；当x2时，y5；当x3时，y7；当x4时，y9.所以函数y2x1，x1,2,3,4的值域为3,5,7,92借助反比例函数的特征y3x14x134x1x1，显然4x1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为y|y33设uxx0，则xu2u0，则yu2uu12214u0由u0，可知u12214，所以y0.所以函数yxx的值域为0，反思感悟求函数值域常用的四种方法1观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到2配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域3分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；4换元法即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于fxaxbcxd其中a，b，c，d为常数，且a0型的函数常用换元法跟踪训练4求下列函数的值域1y2x1x3；2y2xx1.解1分离常数法y2x1x32x37x327x3，显然7x30，所以y2.故函数的值域为，22，2换元法设tx1，则xt21，且t0，所以y2t21t2t142158，由t0，再结合函数的图像如图，可得函数的值域为158，.三.同一个函数的判定例5多选下列各组函数表示同一个函数的是Afxx，gxx2Bfxx21，gtt21Cfx1x0，gxxxDfxx，gx|x|答案BC 解析A中，由于fxx的定义域为R，gxx2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数B中，函数的定义域.值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数C中，由于gxxx1的定义域为x|x0，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数反思感悟在两个函数中，只有当定义域.对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值域相等，只是前两个要素相等的必然结果跟踪训练5下列各组式子是否表示同一个函数为什么1fx|x|，tt2；2y1x1x，y1x2；3y3x2，yx3.解1fx与t的定义域相同，又tt2|t|，即fx与t的对应关系也相同，fx与t是同一个函数2y1x1x的定义域为x|1x1，y1x2的定义域为x|1x1，即两者定义域相同又y1x1x1x2，两函数的对应关系也相同故y1x1x与y1x2是同一个函数3y3x2|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y3x2与yx3不是同一个函数1若Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是答案B解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1,2，故错误2若fxx1，则f3等于A2B4C22D10答案A解析因为fxx1，所以f3312.3函数y1xx的定义域为Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1答案D解析由题意可知1x0，x0，解得0x1.4如果函数yx22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为A1,0,3B0,1,2,3Cy|1y3Dy|0y3答案A解析当x取0,1,2,3时，y 的值分别为0，1,0,3，则其值域为1,0,35下列四个图像中，不是以x为自变量的函数的图像是答案C解析根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数函数值与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足1知识清单1函数的概念2函数的定义域.值域3同一个函数的判定2方法归纳观察法.换元法.配方法.分离常数法3常见误区1定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应2自变量用不同字母表示不影响相同函数的判断。
《函数的概念》教学教案
《函数的概念》教学教案一、教学目标1. 理解函数的定义及概念。
2. 掌握函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法。
3. 能够判断两个变量之间的关系是否为函数。
4. 理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
二、教学内容1. 函数的定义及概念。
2. 函数的表示方法：列表法、图象法、解析式法。
3. 判断两个变量之间的关系是否为函数。
4. 函数的性质：单调性、奇偶性。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的定义及概念，函数的表示方法，函数的性质。
2. 教学难点：函数的性质的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究来理解函数的概念。
2. 利用多媒体课件，展示函数的图象，帮助学生直观地理解函数的性质。
3. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考函数的概念。
2. 讲解函数的定义及概念，解释函数的基本要素：自变量、因变量、对应关系。
3. 介绍函数的表示方法，包括列表法、图象法、解析式法，并通过实例进行展示。
4. 讲解如何判断两个变量之间的关系是否为函数，引导学生通过实例进行分析。
5. 讲解函数的性质，如单调性、奇偶性，并通过图象进行展示。
6. 开展小组讨论，让学生通过合作交流，加深对函数概念的理解。
7. 总结本节课的主要内容，布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课后作业：要求学生完成相关的习题，巩固函数的基本概念和性质。
2. 课堂问答：通过提问的方式，检查学生对函数概念的理解程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与程度和思考深度。
七、教学反思1. 教师需要在课后对自己的教学进行反思，考虑是否有清晰地传达函数的概念和性质。
2. 反思教学方法的有效性，是否激发了学生的兴趣和参与度。
3. 根据学生的反馈和作业情况，调整教学计划和方法，以便更有效地帮助学生理解函数。
八、拓展与延伸1. 鼓励学生探索更复杂的函数性质，如周期性、连续性等。
函数概念教案
函数概念教案《函数的概念》教案篇一教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例，让学生了解函数概念产生的背景，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念，掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素，理解函数的定义域、值域的定义，会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学，逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化，代数式化，并能对以往学习过的知识进行理性化思考，对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．正方形的边长为a，则正方形的周长为，面积为．2．问题．在初中，我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系，如何定义函数？常见的函数模型有哪些？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3），并分别说出对其理解；3．举出生活中的实例，进一步说明函数的对应本质．三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；问题1某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示，试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中，有哪几个变量？（2）这几个变量的范围分别是多少？问题2略．问题3略（详见23页）．2．函数：一般地，设a、b是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合a中的每一个元素x，在集合b中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的一个函数，通常记为＝f（x），x∈a．其中，所有输入值x组成的集合a叫做函数＝f（x）的定义域．（1）函数作为一种数学模型，主要用于刻画两个变量之间的关系；（2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f可以是一个数学表达式，也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在a、b两个非空的数集之间．可以是有限集，当然也就可以是单元集，如f（x）＝2x，（x＝0）．3．函数＝f（x）的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域，定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的集合，如果没有指明定义域，那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合a到b的函数：（1）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x；（2）a＝{1，2，3，4，5}，b＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x；（3）a＝{1，2，3，4，5}，b＝n，f：x→2x．练习：判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈r；（2）x→，这里2＝x，x∈n，∈r。
八年级数学下册《函数的概念》教案、教学设计
-设计一系列具有实际背景的问题，如最佳投资方案、最短路径问题等，引导学生运用函数知识构建模型，解决实际问题。
2.针对教学难点，我计划采取以下措施：
-采用“从特殊到一般”的教学方法，先通过具体的一次函数、二次函数等案例，让学生感知函数的单调性、奇偶性等性质，再推广到一般函数。
4.针对不同学生的学习特点，教师应采用差异化教学策略，关注学生的个体差异，激发学生的学习潜能，使他们在函数学习中获得成就感。
5.注重培养学生的合作意识和团队精神，通过小组合作、讨论交流等形式，引导学生相互学习、共同进步。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握函数的定义，能从实际问题中抽象出函数关系，识别函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）。
请同学们按时完成作业，并在作业中体现出自己的思考过程。在完成作业的过程中，如遇到问题，可随时与同学、老师交流，共同解决。期待大家在作业中展现出对本节课知识的深刻理解和运用能力！
2.函数图象的分析和识别，特别是对于不同类型函数图象的特点和性质的理解。
3.运用函数知识解决实际问题，特别是将现实问题转化为函数模型的能力。
4.函数单调性、奇偶性等性质的深入理解及其应用。
（二）教学设想
1.对于教学重点的突破，我设想采用以下策略：
-通过引入生活中的实例，如气温变化、物体运动等，让学生感受函数的实际意义，从而加深对函数定义的理解。
2.根据课堂所学的一次函数、二次函数等基本初等函数的性质，分析以下问题：
a.一次函数图象的特点及其在现实生活中的应用。
b.二次函数图象的开口方向、顶点、对称轴等性质，并举例说明。
高中数学《函数的概念》教案
高中数学《函数的概念》教案教学目标：1. 理解函数的概念，了解函数在数学和现实生活中的应用。
2. 掌握函数的定义、函数图象、函数表示法等基本概念和性质。
3. 学会利用函数图象和函数式进行函数的简单分析和绘制。
教学重点：1. 函数的定义及其图象。
2. 函数的基本性质。
教学难点：1. 函数概念的深入理解。
2. 函数图象和函数式的绘制。
教学方法：1. 模块化教学法。
2. 案例教学法。
3. 讨论交流式教学法。
教学准备：1. 教学用具：黑板、彩色粉笔、多媒体设备、工具箱等。
2. 教学材料：相关数学教材、运用函数的实际问题等。
教学过程：Step 1: 引入教师首先介绍什么是函数，为什么需要函数，以及函数的应用。
引导学生思考一下：我们生活中常常用到的具有函数特性的物品有哪些？Step 2: 概念阐述1. 函数的定义：函数是一种将一个数域中的每一个元素唯一对应到另一个数域中的元素的关系。
2. 函数的符号表示：（1）函数名：y=f(x)。
（2）定义域：x。
（3）值域：y。
（4）自变量：x。
（5）因变量：y=f(x)。
3. 函数的图象：函数的图象是由函数的自变量的取值范围和函数的部分值确定的点集。
Step 3: 函数的基本性质1. 单调性：函数在定义域上的单调性分为单调递增和单调递减。
2. 奇偶性：函数的奇偶性可以根据函数的自变量的取值范围和函数值的正负性来判断。
3. 周期性：函数f(x+T)=f(x)则函数f(x)的周期为T。
4. 对称性：函数的对称性可以根据函数的自变量的取值范围和函数值的正负性来判断。
Step 4: 函数的应用1. 函数的应用在于解决实际问题。
2. 实际问题可以转化为函数形式。
例如：求公司销售额与广告投入之间的关系。
Step 5: 小结教师要求学生总结函数概念、函数图象、函数定义及其表示法等知识点，深入理解函数的基本性质和应用。
Step 6: 练习教师要求学生分别完成数学教材上的习题和课后作业。
《函数的概念》教学教案
《函数的概念》教学教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数的定义及其基本性质；（2）能够正确运用函数的概念解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生掌握函数的定义；（2）利用数形结合，让学生理解函数的性质。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数的定义及其基本性质；（2）函数图像的特点。
2. 教学难点：（1）函数概念的理解；（2）函数图像的解读。
三、教学方法1. 情境导入：（1）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出函数的概念；（2）引导学生观察实例中的数量关系，提出问题，引发思考。
2. 讲授法：（1）讲解函数的定义及基本性质；（2）分析函数图像的特点，引导学生理解函数的概念。
3. 讨论法：（1）分组讨论函数实例，让学生深入理解函数的概念；（2）组织学生展示讨论成果，促进学生之间的交流。
4. 实践操作：（1）让学生利用函数概念解决实际问题；（2）引导学生运用数形结合的方法，观察函数图像，理解函数性质。
四、教学过程1. 导入新课：（1）利用生活中的实例，如温度随时间的变化，引出函数的概念；（2）引导学生观察实例中的数量关系，提出问题，引发思考。
2. 讲解函数的定义及基本性质：（1）讲解函数的定义，让学生理解函数的概念；（2）介绍函数的基本性质，如单调性、奇偶性等。
3. 分析函数图像的特点：（1）让学生观察函数图像，理解函数的性质；（2）引导学生学会解读函数图像，掌握函数图像的特点。
4. 实践操作：（1）让学生利用函数概念解决实际问题；（2）引导学生运用数形结合的方法，观察函数图像，理解函数性质。
5. 课堂小结：（2）强调函数在实际问题中的应用价值。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理函数的定义及基本性质；2. 运用函数概念，解决实际问题；3. 观察函数图像，分析函数的单调性、奇偶性等性质。
《函数的概念》教案
课题：函数的概念(一)教材：普通高中课程标准实验教材教科数学必修(1)人教版【三维目标】1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.【教学方法】诱思教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.【教学手段】多媒体课件辅助教学【教学过程设计】一、创设情景引入课题北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.在初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.二、观察分析探索新知1.实例分析（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：h =130t -5t 2. （﹡）提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2025 5101530图126 25tSO 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.根据上表，可知时间t的变化范围是数集}=Nttt≤A，恩格≤,19912001∈{*尔系数y的变化范围是数集}8.=yyB. 并且，对于数集A中的任意≤53{≤9.37一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.2．问题探讨以上三个实例有什么不同点和共同点？活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应.记作.Af→:B3.归纳概括引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：(1)函数的概念:一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称xx=y∈f(A),ABf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}xxf∈叫做函数的值域.(){A显然，值域是集合B的子集.(2)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.(3)函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．三、新知演练及时反馈1. 提出问题：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？并用函数的概念来描述这些函数.设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.2. 思考辨析：(1)1y(x∈R)是函数吗？=(2))0x=xy是函数吗？(≥±(3)x3=1-是函数吗？y-+x方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.提出问题：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B到A的函数吗？你能举出函数的实例吗？设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识.3．练习反馈下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（ B ）四、提炼总结 分享收获 1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y =f (x ).2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.五、布置作业1. 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.2．课本P 24 习题1.2 1、3、4六、板书设计教案说明函数是高中数学的重要内容之一.它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础. 因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一，本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题.《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.学生在初中已学习过函数的概念，概念从运动的观点刻画了两变量之间的相互依赖关系，在已有认识的基础上，让学生学会用集合与对应的语言来刻画函数的概念，并体会函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要模型，是本节课的教学重点. 本节课的教学难点是：函数概念及符号y=f(x)的理解. 函数的概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围，因此本节课教学设计的整体指导思想是：让学生通过观察分析，去发现，并归纳概括出函数的概念，从而更好的理解函数的概念，熟练的去应用概念解决问题. 通过本节课的学习，进一步培养学生观察问题，提出问题的探究能力；培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，学会数学表达和交流，发展数学应用意识；同时使学生感受到学习函数的必要性，激发学生学习的积极性.本节课对重难点的处理方法是：（1）为了让学生抽象概括出函数的概念，首先以三个实际问题引入，让学生认识到生活中充满着变量间的依赖关系，先建立起函数的背景，为学生理解函数概念打下感性基础. 在三个不同的实例中，通过对关键词的强调和引导，给学生思考、探索的空间，让学生发现、概括出它们的共同特征. 进而引导学生从实际问题中抽象概括出函数的概念，培养了学生的抽象概括能力. 教学中让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析问题，解决问题的能力. 高一的学生是以感性思维为主的年龄阶段，在第一个例子中，通过动画演示炮弹的发射过程，让学生更清晰直观的感知：对于每一个时间t，都有唯一确定的高度h与它对应. 这样设计符合他们的认知规律，化抽象为直观，学生更容易理解. 第二、三个例子，让学生仿照前例，尝试用集合与对应的语言去描述两个变量之间的依赖关系，学会数学表达和交流.由学生抽象概括出函数的概念，其间经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，进一步提高了学生的数学思维能力；教学中注重培养学生积极主动，勇于探索的学习方式. 本节课选自运动、自然界、经济生活中用三种不同方法表示的函数，既可以让学生感受到函数在许多方面的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的曲线和表格，为下一节函数的表示方法描下伏笔.（2）为了使学生正确理解函数的概念，首先让学生用集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素. 其次通过思考辨析，由学生讨论、列举出函数的例子，再次加深对函数概念的理解，同时也培养了学生的数学应用意识. 最后启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此，数学学习的核心是思考，没有思考就没有真正的数学. 在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体, 总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，适时地给予适当的思维点拨，必要时进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见.这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提升能力.教学过程中既注重锻炼学生独立解决问题的能力，又注重对学生交流合作意识和创新意识的培养.通过本节课的教学，希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用.。
高一数学教案：函数的概念4篇
高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。
教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。
教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。
步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。
步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。
步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。
步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。
步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。
教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。
在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。
在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。
高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。
《函数的概念》教学教案
《函数的概念》教学教案第一章：函数的定义与性质1.1 函数的定义引导学生了解函数的定义：在数学中，函数是一种关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的唯一元素。
通过示例和练习，使学生理解函数的本质和特点。
1.2 函数的性质介绍函数的基本性质，如连续性、单调性、奇偶性等。
通过图形和实例，使学生直观地理解函数的性质。
第二章：函数的图像2.1 直线函数的图像介绍直线函数的图像特点，如斜率和截距对图像的影响。
引导学生通过绘制直线函数的图像，加深对函数图像的理解。
2.2 二次函数的图像解释二次函数的图像特点，如开口方向、顶点等。
通过绘制二次函数的图像，使学生理解二次函数的性质。
第三章：函数的运算3.1 函数的加减法介绍函数的加减法运算规则，如两个函数的和是保持定义域不变，将对应法则相加。
通过例题和练习，使学生掌握函数的加减法运算。
3.2 函数的乘除法解释函数的乘除法运算规则，如两个函数的乘积是保持定义域不变，将对应法则相乘。
通过例题和练习，使学生掌握函数的乘除法运算。
第四章：函数的单调性4.1 单调增函数定义单调增函数，并解释其性质。
通过图形和实例，使学生直观地理解单调增函数的特点。
4.2 单调减函数定义单调减函数，并解释其性质。
通过图形和实例，使学生直观地理解单调减函数的特点。
第五章：函数的极值5.1 函数的极值概念引入函数的极值概念，解释极大值和极小值的区别。
通过示例和练习，使学生理解函数极值的概念。
5.2 函数的极值求解介绍求解函数极值的方法，如导数法。
通过例题和练习，使学生掌握求解函数极值的方法。
第六章：反函数6.1 反函数的概念引导学生了解反函数的定义：如果函数f将x映射到y，反函数f^(-1)将y映射回x，即f^(-1)(y) = x。
通过示例和练习，使学生理解反函数的概念和性质。
介绍反函数的基本性质，如互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
通过图形和实例，使学生直观地理解反函数的性质。
《函数的概念》教学设计
《函数的概念》教学设计教学设计：《函数的概念》教学目标：1.了解函数的定义和基本概念；2.掌握函数的表示方法和函数的性质；3.能够应用函数解决实际问题。
教学重点：1.函数的定义和基本概念；2.函数的表示方法和函数的性质。
教学难点：1.函数的概念的理解；2.函数的性质的应用。
教学过程：Step 1：导入新知（5分钟）1.教师向学生介绍函数的概念，并与学生一起讨论函数在生活中的应用；2.引导学生思考，如何描述从一个自变量到一个因变量的关系。
Step 2：函数的定义与表达（15分钟）1.教师向学生介绍函数的定义，即自变量和因变量之间的对应关系；2.引导学生思考函数的表示方法，如函数的符号表示和图像表示；3.教师通过示例，向学生演示函数的符号表示和图像表示的过程。
Step 3：函数的性质（15分钟）1.教师介绍函数的性质，如函数的定义域、值域和奇偶性等；2.以示例为基础，引导学生发现函数在不同定义域和值域上的特点；3.教师组织学生进行小组合作，让学生根据所学知识，共同解答一些函数性质相关的问题。
Step 4：函数的应用（20分钟）1.教师通过实际问题引导学生思考函数的应用；2.教师给出一些实际问题，要求学生运用函数的概念和性质解决；3.学生进行个人思考和小组合作，找出解决问题的方法，并给出解答。
Step 5：总结与扩展（10分钟）1.教师对本节课进行总结，强调重要知识点和难点；2.引导学生思考函数的发展历程，以及函数在实际生活中的应用；3.教师布置相应的作业，巩固学生对函数的理解和应用。
教学手段：1.教师讲解；2.学生合作学习；3.教学实例；4.教学辅助工具。
教学资源准备：1.教材《高中数学》相关章节；2.教学投影仪或白板；3.相关课件和教具。
教学评价方式：1.学生能够准确、简洁地描述函数的概念；2.学生能够运用所学知识解决实际问题；3.学生能够理解函数的性质与其在实际中的应用。
《函数的概念》教学设计
《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。
在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。
相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。
教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
数学《函数的概念》教案
数学《函数的概念》教案一、教学目标1.理解函数的概念，并能将实际问题转化为函数问题。
2.了解一次函数的性质，并能在二维坐标系上画出一次函数的图像。
3.掌握函数的符号、相等、不等式关系以及函数的单调性、奇偶性和周期性等基本概念。
4.通过解决一些生活中实际问题，训练分析问题的能力与解决问题的能力，提高思维能力。
二、教学重点、难点1.函数的概念。
2.一次函数的性质以及函数的基本概念。
三、教学过程1.引入新知识教师可从具体实例入手，如小明的平时成绩一直呈下降趋势，家长想通过辅导让他的成绩有所提高，那么该怎么做？通过这个例子，可以讲到函数的概念，在数学中，函数是指一种对元素之间的映射关系。
举个例子，如果定义 f(x) 表示一个人的身高，x 表示这个人的年龄，那么 f(x) = 2x + 50 就是这个函数的表达式，它表示这个人的身高随年龄增长的规律。
2.讲解内容（1）一次函数的性质对于一次函数 f(x) = kx + b ，其中 k,b 是常数，称为一次函数的系数。
它具有以下性质：①当k>0 时，一次函数的图像是斜率为正的直线；当k<0 时，一次函数的图像是斜率为负的直线。
②当 b=0 时，一次函数图像通过原点；当b≠0 时，一次函数图像与 y 轴相交于 y=b 点。
③当 k=0 时，一次函数的图像是一条平行于 x 轴的直线。
④一次函数的图像是一条直线，它是单调的、奇偶性和周期性与 x 无关，且开口向上或向下。
（2）函数的基本概念函数的符号：f(x)>0 表示函数值为正； f(x)<0 表示函数值为负；f(x)=0 表示函数值为零。
函数的相等：两个函数相等，当且仅当它们的定义域、值域都相等。
函数的单调性：函数具有单调性，当且仅当函数在其定义域上是递增或递减的。
函数的奇偶性：函数关于 y 轴对称，则称为偶函数；函数关于原点对称，则称为奇函数。
函数的周期性：若存在常数 T>0，使得 f(x+T)=f(x) 对于所有的 x 成立，则称函数 f(x) 具有周期性， T 是函数的最小正周期。
《函数的概念》教案与同步练习
《3.1.1函数的概念》教案【教材分析】函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.【教学目标与核心素养】课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
【教学重难点】重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景引入某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？二、新知导学1．函数的概念[知识点拨] (1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：(2)特殊区间的表示.包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．三、课前小测1．下列四个图形中，是函数图象的为( D )A．③④B．①C．①②③D．①③④[解析] 由函数定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，图①③④满足函数的定义，故选D．2．区间[5,8)表示的集合是( C )A．{x|x≤5或x>8} B．{x|5<x≤8}C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}[解析] 区间[5,8)表示的集合是{x|5≤x<8}，故选C．3．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝( C )A．3 B．7C．11 D．25[解析] f(5)＝2×5＋1＝11，故选C．4．函数y＝7＋6x－x2的定义域是__[－1,7]__.[解析] 要使函数y＝7＋6x－x2有意义，应满足7＋6x－x2≥0，∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0，∴－1≤x≤7，∴函数y＝7＋6x－x2的定义域是[－1,7]．5．已知f(x)＝11＋x，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(2)]的值；(3)求f[g(x)]的解析式．[解析] (1)f(2)＝11＋2＝13，g(2)＝22＋2＝6.(2)f[g(2)]＝11＋g2＝11＋6＝17.(3)f[g(x)]＝11＋g x＝11＋x2＋2＝1x2＋3.四、课堂互动探究命题方向1 ⇨函数概念的理解典例1 (1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是( B ) A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1 x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( C )[思路分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．[解析] (1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任x∈A，y 值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．『规律方法』 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．〔跟踪练习1〕下列对应是否为A到B的函数：(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.[解析] (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B 中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；(3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A 到B的函数；(4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．命题方向2 ⇨求函数的定义域 典例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋20|x |－x ；(2)f (x )＝x 2－1x －1－4－x .[思路分析] 观察函数解析式的特点→列不等式组→求自变量的取值范围[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋2≠0|x |－x ≠0，即⎩⎨⎧x ≠－2|x |≠x，解得x <0，且x ≠－2.故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2,0)． (2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧4－x ≥0x －1≠0，即⎩⎨⎧x ≤4x ≠1.故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]． 『规律方法』 求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．〔跟踪练习2〕 函数y ＝1x ＋1的定义域是( C ) A ．[－1，＋∞) B ．[－1,0] C ．(－1，＋∞) D ．(－1,0)[解析] 要使函数y ＝1x ＋1有意义，应满足x ＋1>0，∴x >－1，∴函数y＝1x＋1的定义域为(－1，＋∞)．命题方向3 ⇨求函数值典例3 已知f(x)＝x1＋x，x∈R.(1)求f(2)，f(12)，f(3)，f(13)的值；(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f(12)＋f(13)＋…＋f(12 018)的值．[思路分析] (1)将x＝2，12，3，13代入f(x)＝x1＋x计算即可；(2)由(1)中求得f(2)，f(12)，f(3)，f(13)的值可得f(2)＋f(12)与f(3)＋f(13)的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f(12)＋f(13)＋…＋f(12 018)的值．[解析] (1)∵f(x)＝x1＋x，∴f(2)＝21＋2＝23，f(12)＝121＋12＝13，f(3)＝31＋3＝34，f(13)＝131＋13＝14.(2)由(1)知，f(2)＋f(12)＝1，f(3)＋f(13)＝1.∴f(a)＋f(1a)＝a1＋a＋1a1＋1a＝a1＋a＋1a·a1＋a＝a1＋a＋11＋a＝1，∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f(12)＋f(13)＋…＋f(12 018)＝f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋…＋f(2 018)＋f(12 018)＝2 017.『规律方法』 解题时要注意审题，观察分析、发现规律．〔跟踪练习3〕已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (1)＋f 2f 12＋…＋f 10f110＝__－9__.[解析] f xf 1x ＝x 2－1x 2＋11x 2－11x 2＋1＝x 2－1x 2＋11－x 21＋x 2＝－1，∴f 2f 12＝f 3f 13＝…＝f 10f 110＝－1，又∵f (1)＝0， ∴f (1)＋f 2f 12＋…＋f 10f 110＝－9.求函数定义域时非等价化简解析式而致误 典例4 求函数y ＝x －2·x ＋2的定义域．[错解] y ＝x －2·x ＋2＝x 2－4，由x 2－4≥0，得x ≥2或x ≤－2.∴函数的定义域为{x |x ≥2或x ≤－2}．[错因分析] 事实上，函数y ＝x －2·x ＋2与y ＝x 2－4并不表示同一个函数，求函数定义域应根据原始条件的制约．[正解] 由⎩⎨⎧x －2≥0x ＋2≥0，得⎩⎨⎧x ≥2x ≥－2.即x ≥2.∴函数的定义域为{x |x ≥2}．求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用 1．分离常数法典例5 求函数y ＝3x ＋2x －2的值域．[思路分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y ＝a ＋c x ＋b的形式再求函数的值域．[解析] ∵y ＝3x ＋2x －2＝3x －6＋8x －2＝3＋8x －2，又∵8x －2≠0，∴y ≠3.∴函数y ＝3x ＋2x －2的值域是{y |y ∈R ，且y ≠3}． 『规律方法』 求y ＝ax ＋cx ＋b这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y ＝a ＋c －abx ＋b的形式． 2．配方法典例6 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域．[思路分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y ＝a (x ＋b )2＋c 的形式来求函数的值域．[解析] ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，x ∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x ∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x ∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x ＝－5时，y 取最小值，且y min＝－12；当x ＝－2时，y 取最大值，且y max ＝3.故y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域是[－12,3]．『规律方法』 遇到求解一般二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a的形式，从而求得函数的值域．3．换元法典例7 求函数y ＝x ＋2x －1的值域．[思路分析] 忽略常数系数，则x 与2x －1隐含二次关系，若令2x －1＝t ，则x ＝12(t 2＋1)，于是函数转化为以t 为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由2x －1有意义确定，故t 的允许取值范围就是2x －1的取值范围．[解析] 设u ＝2x －1(x ≥12)，则x ＝1＋u 22(u ≥0)，于是y＝1＋u22＋u＝u＋122(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥12.故函数y＝x＋2x－1的值域为[12，＋∞)．『规律方法』求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．五、课堂检测1．下列表格中的x与y能构成函数的是( C )A．x 非负数非正数y 1－1B．x 奇数0偶数y 10－1C．x 有理数无理数y 1－1D．x 自然数整数有理数y 10－1[解析] A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C．2．下列各组函数中，表示同一函数的是( A )A．y＝x与y＝3x3B．y＝x2与y＝x3xC．y＝1与y＝(x－1)0D．y＝|x|与y＝(x)2[解析] 选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数．3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( D ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞)[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎨⎧x －1≥0x －2≠0，∴x ≥1且x ≠2，故选D ．4．已知f (x )＝2x ＋3，f (m )＝6，则m ＝__32__.[解析] ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (m )＝2m ＋3＝6， ∴2m ＝3，∴m ＝32.5．已知函数f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，若g [f (x )]＝x 2＋x ＋1，求a的值．[解析] ∵f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，∴g [f (x )]＝g (2x ＋a )＝14[(2x ＋a )2＋3]＝x 2＋ax ＋14(a 2＋3)．又∵g [f (x )]＝x 2＋x ＋1， ∴x 2＋ax ＋14(a 2＋3)＝x 2＋x ＋1，故a ＝1.《函数的概念》同步练习 A 级 基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( B )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素[解析] 由函数定义域、值域、对应关系的相关知识，易知选B．2．已知区间[a,2a＋1]，则实数a满足的条件是( D )A．a∈R B．a≤－1C．a≥－1 D．a>－1[解析] 由题意得2a＋1>a，∴a>－1，故选D．3．函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域是( C )A．(5,9) B．[5,0]C．{5,7,9} D．{5,6,7,8,9}[解析] 由题意，函数的定义域为{2,3,4}，当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9，所以函数的值域为{5,7,9}．4．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( C )A．f x→y＝12x B．f x→y＝13xC．f x→y＝23x D．f x→y＝x[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝83＞2不合题意．故选C．5．函数f(x)对于任意实数x满足f(x＋2)＝1f x，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝( C )A．2 B．5C．－5 D．－1 5[解析] ∵f(x＋2)＝1f x，∴f(x)＝1f x＋2，∴f(1)＝1f3＝－5，∴f(3)＝－15.∴f (5)＝1f 3＝－5.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为( C ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个D ．至少一个[解析] 根据函数定义，一个自变量x 只能对应一个函数值y ，而y ＝f (x )的定义域中不一定含有m .二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝__－56__. [解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－56. 8．已知f (x )＝2x －1，则f [f (2)]＝__5__. [解析] ∵f (x )＝2x －1，∴f (2)＝2×2－1＝3， ∴f [f (2)]＝f (3)＝2×3－1＝5. 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1x ＋2；(2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝x ＋1＋13－x. [解析] (1)要使函数有意义，须使x ＋2≠0， ∴x ≠－2，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠－2}． (2)要使函数有意义，须使3x ＋2≥0，∴x ≥－23，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≥－23}．(3)要使函数有意义，须使⎩⎨⎧x ＋1≥03－x ≠0，∴x ≥－1且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≥－1且x ≠3}．B级素养提升一、选择题1．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是( A )A．0 B．3a2－1C．6a2－2 D．6a2[解析] ∵f(x)＝3x2－1，∴f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝3a2－1－3a2＋1＝0.2．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B 为值域的函数的是( B )[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B．3．函数f(x)＝11－2x的定义域为M，g(x)＝x＋1的定义域为N，则M∩N＝( B )A．[－1，＋∞)B．[－1，1 2 )C．(－1，12) D．(－∞，12)[解析] ∵M＝{x|x<12}，N＝{x|x≥－1}，∴M∩N＝{x|－1≤x<12 }．故选B．4．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g[f(x)]＝x的解集为( C )A．{1}C．{3} D．∅[解析] 由题意可知，当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足方程；当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不满足方程；当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，满足方程，故选C．二、填空题5．若函数f(x)＝ax2－1，a为正常数，且f[f(－1)]＝－1，则a的值是__1__.[解析] f(－1)＝a－1，∴f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0，又∵a>0，∴(a－1)2＝0，∴a＝1.6．函数y＝8x2(1≤x≤3)的值域为__[89，8]__.[解析] ∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，∴19≤1x2≤1，∴89≤8x2≤8，∴函数y＝8x2(1≤x≤3)的值域为[89，8]．三、解答题7．已知函数f(x)＝x＋1 x .(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解析] (1)要使函数有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2，f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.8．已知f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，求f[g(x)]，g[f(x)]．[解析] ∵f(x)＝x＋1，g(x)＝x2，∴f[g(x)]＝f(x2)＝x2＋1.g[f(x)]＝g(x＋1)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1.9．已知函数f(x)＝12x2－x＋32，是否存在实数m，使得该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．[解析] f(x)＝12x2－x＋32＝12(x－1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m，使该函数在x∈[1，m]时，f(x)的取值范围也是[1，m]，则需m>1，且f(m)＝m，即12m2－m＋32＝m，即m2－4m＋3＝0，解得m＝3或m＝1(舍去m＝1)．故存在实数m＝3满足条件．。
函数的概念训练教案初中
函数的概念训练教案初中教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 能够识别函数的定义域和值域。
3. 能够运用函数的概念解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念及其表示方法。
2. 函数的定义域和值域的识别。
教学难点：1. 函数概念的理解和应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 相关实例和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念。
教师：同学们，我们今天来学习一个重要的数学概念——函数。
函数是数学中的一种基本关系，它描述了一种输入和输出之间的对应关系。
2. 举例说明函数的概念。
教师：我们可以将函数比作一种机器，输入是机器的参数，输出是机器的工作结果。
比如，我们常见的温度和高度的关系，就是一个函数。
当给出一个高度值，我们可以通过函数关系式计算出对应的温度值。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的表示方法。
教师：函数可以用不同的方式表示，包括表格、图像和解析式。
我们来看一个例子。
展示一个温度和高度的函数关系表格，让学生观察并指出其中的输入和输出关系。
2. 讲解函数的定义域和值域。
教师：函数的定义域是指输入值的集合，值域是指输出值的集合。
我们来看一个例子。
展示一个函数的图像，让学生识别出函数的定义域和值域。
三、练习巩固（15分钟）1. 让学生自主完成一些函数相关的练习题，巩固对函数概念的理解。
2. 教师选取一些学生的作业进行讲解和分析，帮助学生更好地理解函数的概念。
四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，让学生总结函数的概念及其表示方法。
2. 强调函数的定义域和值域的重要性，让学生能够识别函数的定义域和值域。
五、作业布置（5分钟）1. 布置一些有关函数的练习题，让学生进一步巩固函数的概念。
2. 布置一些实际问题，让学生运用函数的概念解决实际问题。
教学反思：本节课通过引入实例和练习题，让学生掌握了函数的概念及其表示方法，能够识别函数的定义域和值域。
在教学过程中，要注意引导学生从实际问题中抽象出函数关系，培养学生的抽象思维能力。
初中函数题教案
初中函数题教案教学目标：1. 了解函数的概念，理解函数的表示方法。
2. 掌握函数的性质，能够运用函数的性质解决实际问题。
教学内容：1. 函数的概念及表示方法2. 函数的性质教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学过的数学知识，如一次函数、二次函数等。
2. 提问：你们认为函数是什么？函数有哪些表示方法？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念：函数是一种数学关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。
2. 讲解函数的表示方法：a) 解析式：用公式或方程表示函数的关系。
b) 表格：用表格的形式展示函数的输入输出关系。
c) 图象：用图象展示函数的输入输出关系。
3. 讲解函数的性质：a) 单调性：函数在其定义域内是单调递增或单调递减的。
b) 奇偶性：函数关于原点对称的性质。
c) 周期性：函数在其定义域内以固定的周期重复。
三、例题讲解（15分钟）1. 举例讲解函数的表示方法：解析式、表格、图象。
2. 举例讲解函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
3. 分析例题，引导学生运用函数的性质解决实际问题。
四、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生互相讨论，解决练习题中的问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，让学生明确函数的概念、表示方法和性质。
2. 提问：你们还能想到哪些实际问题可以用函数来解决？3. 拓展知识：介绍一些高级的函数概念，如多变量函数、复合函数等。
教学评价：1. 课后作业：布置相关的习题，巩固所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习情况。
3. 学习效果：通过课后反馈和考试成绩，了解学生对函数概念及性质的掌握程度。
教学反思：本节课通过讲解函数的概念、表示方法和性质，让学生了解函数的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与课堂讨论，通过例题讲解和课堂练习，让学生掌握函数的性质，并能够运用函数的性质解决实际问题。
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函数的概念一：定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y=f(x)，x ∈A. 其中，x 叫做自变量，与x 值相对应的y 值叫做函数值.例题：1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 的解析式。
），求，）和（），（，过点（：已知二次函数例)(1-20,301)(2x f x f)3)(1()(34)(3411240390),0()(22--=+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++≠++=x x a x f x x x f c b a c b a c b a c b a a c bx ax x f 法二：设解得由题得：解：设 二、配方法：例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 解 x xf x f =-)1(2)( ①显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴11)()(-=+x x g x f 又 ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f nn -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得35x -<≤ 3325x ∴-<-≤137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤ 42311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域 解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+函数的值域的求法常用求值域方法直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
答案：值域是：]3,[-∞ 例3、函数221xy+=的值域.解：}210{≤<y y配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()1f x x x =+-的值域．解：令10x t -=>，则21(0)x t t =-≥，222155()(1)1244f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．例2、求函数x x y 21--=的值域。
解：由021≥-x ，得21≤x 。
令()021≥=-t t x 得212t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以21≤y 。
故所求函数值域为[-∞，12 ]。
例3、求函数x x y 21-+=的值域.数形结合法。
例1、 求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-， 值域为[40]-，． ∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。