函数的概念教案学案辅导教案习题集

函数的概念

一：定义：

设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y=f(x)，x ∈A. 其中，x 叫做自变量，与x 值相对应的y 值叫做函数值.

例题：

1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则

b

ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([

∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩

⎨⎧⎩⎨

⎧=-===32

12b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或

的解析式。），求，）和（），（，过点（：已知二次函数例)(1-20,301)(2x f x f

)

3)(1()(34)(3

41

1

240390),

0()(2

2--=+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩

⎪

⎨⎧-=++=++=++≠++=x x a x f x x x f c b a c b a c b a c b a a c bx ax x f 法二：设解得由题得：

解：设 二、配方法：

例2 已知221

)1(x

x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式

解：2)1()1(2-+=+

x

x x x f ， 21

≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所

换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=

x t ，则1≥t ，2)1(-=t x

x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2

x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点

则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'32

22y y x

x ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64

，

点),(y x M '''在)(x g y =上

x x y '+'='∴2

把⎩⎨

⎧-='--='y

y x x 64

代入得：

)4()4(62--+--=-x x y

整理得672

---=x x y

∴67)(2---=x x x g

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组

求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f 解 x x

f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成

x

1

，得： x

x f x f 1

)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x

x x f 32

3)(--

= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,1

1

)()(-=

+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴

1

1

)()(-=

+x x g x f 又 ① ， 用x -替换x 得：1

1)()(+-=-+-x x g x f 即1

1

)()(+-

=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得

11)(2-=

x x f ， x

x x g -=2

1

)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使

问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

解

对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2

++=x x x f

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等

运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f

解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，

∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，

又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,2

1x n =- 得：