【市级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-

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2018-2019学年第二学期浙江省宁波市九校联考高二数学试题

2018学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分 (共 40 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}21<≤-=x x A ，{}30<≤-=x x B ，则=B A A.{}31<≤-x x B.{}20<≤x x C.{}20<<x x D.{}30<<x x 2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，则下列函数中一定是偶函数的是 A.)(x f B.)(x f C.[]2)(x f D.[]3)(x f 3.“11>a”是“10<<a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知2.0log 2=a ，2.02=b ，3.02.0=c ，则A.c b a <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b << 5.若函数xx f 1)(=在2=x 处的切线与直线kx y =垂直，则实数k 的值是 A. 21 B.2 C.4 D.46.若)()1(*3N n x x x n ∈+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是 A.9 B.10 C.11 D.127.下列函数)(x f 中，满足“任意01>x ，02>x ,21x x ≠，且[]0)()()(2121<--x f x f x x ”的是A.x x x f -=1)(B.3)(x x f =C.x x f ln )(=D.x x f 2)(=8.存在函数)(x f 满足定义域为),0()0,(+∞-∞ 的是 A.1)1(+=+x x x f B.1)(2+=x x f C.1)(sin +=x x f D.)1,0(2)(≠>=a a x a f x9.从1，2，3，，20中选取四元数组(1a , 2a , 3a , 4a ) ，且满足312≥-a a ，423≥-a a ， 534≥-a a ，则这样的四元数组(1a , 2a , 3a , 4a ) 的个数是A.48CB.411CC.414CD.416C10. 已知函数a x a x e e x f +--+=)(（其中 e 是自然对数的底数）．若c b a ==3log 3，且1>c ，则A.)()()(c f b f a f <<B.)()()(a f c f b f <<C.)()()(b f c f a f <<D.)()()(a f b f c f <<非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。

宁波市重点中学市联考2019年数学高二年级上学期期末检测试题

宁波市重点中学市联考2019年数学高二年级上学期期末检测试题一、选择题 1．将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数的图象,则函数的单调增区间为（）A.B.C.D.2．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（） A ．-2B ．-1C ．1D ．23．在正方形 ABCD 内随机生成 n 个点，其中在正方形 ABCD 内切圆内的点共有 m 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率 π 的近似值为（） A ．m nB ．2mnC ．4mnD ．6mn4．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．165．设函数f(x)可导，则等于( )A ．B ．3C ．D ．6．已知中，则等于（）A ．B ．或C ．D ．或7．的展开式中只有第5项二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A.B.C.D.8．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.9．在等比数列{}n a 中，17a =，前3项之和321S =，则公比q 的值为（） A ．1B ．-2C ．1或-2D ．-1或210．设x ∈R ，“复数z ＝（1﹣x 2）+（1+x ）i 为纯虚数”是“lg|x|＝0”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S =（） A ．52B ．54C ．56D ．5812．设函数()y f x =在定义域内可导，它的图象如图所示，则它的导函数()y f x '=图象可能为( )A.B.C.D.二、填空题13．已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=_______；14______.15．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角分别为α、β，则有22cos cos 1αβ+=，类比到空间中的一个正确命题是：在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与相邻三个面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=__________.16．二项式()()*1nx n N +∈的展开式中2x的系数为15，则n 等于______．三、解答题17．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？ 18．设函数，. （1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式对任意的恒有解，求的取值范围.19．[选修4-5：不等式选讲]已知函数（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式有解，求实数m 的取值范围.20．已知圆有以下性质： ①过圆上一点的圆的切线方程是. ②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即.（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；（2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值.21．已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.22．如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．5 1314．>15．16．6三、解答题17．（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估计样本中包裹件数在之间的概率为，服从二项分布，从而可得结果；（2）①整理所给数据，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁员，求出公司每日利润的数学期望，若裁员一人，求出公司每日利润的数学期望，比较裁员前后公司每日利润的数学期望即可得结果.详解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度18．(1) (2)【解析】分析：（1）当时，，据此零点分段可得不等式的解集为. （2）由二次函数的性质可知，由绝对值三角不等式的性质可得.据此可得的取值范围是.详解：（1）因为，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，综上所述，原不等式的解集是.（2），.因为关于的不等式对任意的恒有解.所以，解得.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．19．（1）；（2）【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2），利用绝对值的三角不等式求得的最小值，然后解不等式即可．详解：（1），当时，得；当时，得；当时，得，综上可得不等式的解集为.（2）依题意，令.∴，解得或，即实数的取值范围是.点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：（1）“能成立”：存在使不等式成立，存在使不等式成立；（2）“恒成立”：对任意的不等式恒成立，对任意的不等式恒成立．20．（1）切线方程是；（2）见解析.【解析】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直线的方程是，，又，从而可得结果.详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是（2）设由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，∵直线过点，∴同理又过两点的直线是唯一的，∴直线的方程是.∴，又，∴为定值.点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式在上有解，那么在上，.但在上的单调性不确定，故需分三种情况讨论.解析：（1），①当时，在上，在上单调递增；②当时，在上；在上；所以在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.①当，即时，由（1）可知在上单调递增，在上的最小值为，由，可得，②当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上的最小值为，由，可得；③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在上有解”可以转化为“在上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在上，有”.22．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出，，的坐标，利用数量积来确定,，从而得证。

2018年第一学期宁波市九校联考高二数学答案

2018学年第一学期宁波市九校联考高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

11．(0±，，2yx =± 12． 311(,,),82813． 114．，7215．16．(1⎤⎦17． ⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）解:(Ⅰ）当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，因为()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[]1,3上为增函数，……2分()f x ∴在1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最小值为(1)2f =.………………………4分当1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由函数11()f x x x a =+>恒成立，得12a >，解得12a >. ……6分 (Ⅱ)若命题q 为真命题，则13a <≤，解得1a ≥， …………………8分若p 为真命题且q 为假命题，则1201a a ⎧>⎪⎨⎪<<⎩，可得112a <<，……10分若p 为假命题且q 为真命题，则1021a a ⎧<≤⎪⎨⎪≥⎩，此时a φ∈ ,……………12分由上可知，a 的取值范围为112a <<． …………………………14分解：（Ⅰ）作CH OAB H OH ⊥平面于，连,,HE OA E HF OB F CE CF ⊥⊥作于，于连 AO ∴⊥⊥平面CEH,BO 平面CFH ,,,CE OA CF OB CEO ∴⊥⊥∆所以≌CFO ∆,,OE OF OEHF =四边形为正方形，OH AOB ∴∠是的角平分线， ……………3分cos cos cos COE COH EOH ∴∠=∠⋅∠01cos cos 45,2COH COH COH ∴=∠∠=∴∠=即04sin 45CH ∴=⨯= …………………………………………8分(Ⅱ)（方法1）,,OA a OB b OC c BC c b a c b θ=记=,=,=,则=-,记- 0()cos ,()=-44cos608,a c b a c b a c b a c a b 又θ⋅-=⋅-⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯= 0814,4,cos ,60,442a cb θθ=⋅-=∴===⨯即所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. …………………………15分（方法2）以,,HF HE HC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,2,0),(2,2,0),(2,2,0)C O A B --,则(4,0,0),(OA BC =-=- ………10分设异面直线OA 与BC 所成角为,θ则cos cos ,OA BC OA BC OA BC θ⋅==⋅12==……………13分 060,θ∴=所以异面直线OA 与BC 所成角的大小为060. ………………15分（用补体法求解同样给分）(Ⅰ)在PBA △中，2PA =，1AB =，60PAB ∠=，所以22221221cos603PB =+-⨯⨯⨯=，PB = 所以222PB AB PA +=，PB AB ⊥. 因为AD BC ∥，所以,,,A B C D 四点共面. 又AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.又PB AB ⊥，AD AB A =，所以PB ⊥平面ABCD . ………………………7分 (Ⅱ)(方法一)在Rt PBC △中，PC 在Rt PAD △中，PD =在直角梯形ABCD中，CD =…………………………………………9分在PDC △中，9cos 10PDC ∠==，sin PDC ∠=所以12PDC S =⨯=△14122ACD S =⨯⨯=△.………………12分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h ，因为A PDC P ACD V V --=，所以1133PDC ACD S h S PB ⨯⨯=⨯⨯△△，即11233h =⨯所以h =，sin h PA θ===，…………………………………………15分故直线PA 与平面PCD(方法二)由(Ⅰ)知，BC ⊥平面PAB ，BC AB ⊥. 以点B 为坐标原点，以,,BA BC BP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,0,0)A ，(0,2,0)C ，(140)D ，，，所以(1,0,PA =，(0,2,PC =，(1,2,0)CD =.……………9分设直线PA 与平面PCD 所成的角为θ，设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由00PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得2020y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩取y则2z =，23x =-，所以(=-n . ………………12分所以sin |||PA PA θ⋅===⋅n n |，故直线PA 与平面PCD ………………15分 (方法三)延长,DC AB 相交于点E ，连结PE . 因为AD BC ∥，2AD BC =，所以BC 为ADE △的中位线，点,B C 分别为,AE DE 的中点. 所以PDE △为等腰三角形. 取PE 中点F ，连,DF AF .所以DF PE ⊥，AF PE ⊥，DF AF F =，所以PE ⊥平面ADF ，又PE ⊂平面PCD ，所以平面ADF ⊥平面PCD . 作AH D F ⊥于H ，连PH ，所以AH ⊥平面PCD .所以APH ∠就是直线PA 与平面PCD 所成的角.………12分因为AF =4AD =,DF =所以222AF AD DF +=，所以AH =所以sin AH APH AP ∠===，故直线PA 与平面PCD………………15分 21. （本题满分15分）(Ⅰ)Q PN 点是线段的垂直平分线上的点，QN QP \=，QM QN QP QM MP \+=+==,Q M N \点的轨迹是以为焦点的椭圆，22,a c ==其中1, 1.a c b \==22 1.2x Q y +=因此，点的轨迹方程是 …………5分(Ⅱ)设其中一条直线AB 的方程为(1)y k x =+代入椭圆方程可得：2222(21)4220,k x k x k +++-=AB =…………8分设1122C(x ,y ),D(x ,y ),则1(1)2x kCD:y=-+ 即x=-2ky-1,代入椭圆方程可得：(4k 222)410,y ky ++-= 设,C D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则12d d +====…………………………………12分121()2S AB d d =⋅+===2=≤=22211""2k =当4k =，即k =时取 …………………………………15分 22．（本题满分15分）（Ⅰ）解：切线PA 的方程为y-x 21112(),x x x =-即y=2211,x x x -222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2…………4分（另解：211()PA k x x =-设切线的方程为：y-x222112110()y x kx x kx k x x ⎧=⎪--+=⎨=-⎪⎩由消去y 后可得：x y-x 221114402k x kx k x ∆=+-=∴=22111112(),,x x x x x x ∴=--切线PA 的方程为y-x 即y=2 222.x x x -同理可得，切线PB 的方程为y=2）…………4分（Ⅱ）证明：因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =- ，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212(,)22x x x x ++ ．………………………………………6分所以点N 的纵坐标为2221212121()()222N x x x x y x x ++=+=，即点N 的坐标为21212(,())22x x x x ++．故N 在抛物线C 上．……………8分（Ⅲ）解由(Ⅰ)知：2||)]A B =，212()||2x x PM -=，所以||||AB PM ===……………………………12分设041[11,3]t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++．当[11,3]t =--时，即当014y =时，||||AB PM 的取最大值．……15分。

2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷解析版

绝密★启用前2018-2019学年浙江省宁波市高二第一学期期末考试数学试卷解析版一、单选题1．已知圆C的方程为，则它的圆心和半径分别为A．，2 B．，2 C．，D．，【答案】C【解析】【分析】直接由圆的标准方程，确定圆心和半径，即可得到答案．【详解】由圆C的方程为，可得它的圆心和半径分别为，．故选：C．【点睛】本题主要考查了标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．直线的倾斜角为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，即可求解.【详解】由题意，直线，可得直线的斜率，设它的倾斜角等于，则，且，，故选：A．【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，其中解答中熟记直线的斜率和倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．已知空间向量1，，，且，则A．B．C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值．【详解】由题意知，空间向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故选：C．【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A．1 B．C．或1 D．2或1【答案】D【解析】【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案．【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5．对于实数m，“”是“方程表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.6．设x,y满足( )A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.考点：线性规划.7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若不平行于，则在内不存在，使得平行于B．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于C．若不平行于，则在内不存在，使得平行于D．若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于【答案】D【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D正确．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查线面间的位置关系判定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线相交，且，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【详解】当，时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，是直角三角形，要使直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线相交，且，圆心O到直线的距离，平方得，即，即，得，即，又，实数k的取值范围是，故选：D．【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的位置关系的应用，其中解答中根据条件结合是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．已知双曲线：，：，若双曲线，的渐近线方程均为，且离心率分别为，，则的最小值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，即，再根据基本不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，双曲线，的渐近线方程均为，所以，，则，，所以，，所以，即，所以则，当且仅当时取等号，即时取等号，所以，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，以及双曲线的渐近线方程和基本不等式的应用，其中解答中根据题意求解关于的方程，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点不含端点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到，从而，得到答案.【详解】由题意，四棱锥为阳马，（如图所示）且，底面是线段AB 上的点，设SE与AD所成的角为，SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则，所以．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，以及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档试题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．椭圆的长轴长为______，左顶点的坐标为______．【答案】10【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由椭圆可知，椭圆焦点在y轴上，则，即，长轴长，左顶点的坐标为．故答案为：10；．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标准方程的性质，正确求解的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为______，这个否命题是一个______命题可填：“真”，“假”之一【答案】若两个整数a，b不都是偶数，则不是偶数假【解析】【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则为偶数，即可判断真假．【详解】由题意，命题“若整数a，b都是偶数，则是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则不是偶数”，由a，b均为奇数，可得为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则不是偶数，假．【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．13．已知圆C：，则实数a的取值范围为______；若圆与圆C 外切，则a的值为______．【答案】3【解析】【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，圆，可得得，若方程表示圆，则，得，即实数a的取值范围是，圆心，半径，若圆与圆C外切，则，即，即，即，得，故答案为：，3．【点睛】本题主要考查了圆的方程以及两圆的位置关系的应用，其中解答中利用配方法求解，以及根据两圆的位置关系，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知AE是长方体的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有______条【答案】4【解析】【分析】作出长方体，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数，得到答案．【详解】由题意，作出长方体，如图所示，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了异面直线的定义及应用，其中解答中正确理解异面直线的概念，利用列举法准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算、求解能力，属于基础题.15．已知双曲线的一个焦点为设另一个为，P是双曲线上的一点，若，则______用数值表示【答案】17或1【解析】【分析】根据已知条件，求得的值，再利用双曲线的定义进行求解，即可得到答案．【详解】由题意知，双曲线的一个焦点为，，又由，，因为为双曲线上一点，且，根据双曲线的定义可知，所以，或，故答案为：17或1【点睛】本题主要考查了双曲线的定义与标准方程的应用，其中解答中运用双曲线的定义是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．如图，在棱长为3的正方体中，点E是BC的中点，P是平面内一点，且满足，则线段的长度的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，即可求解．【详解】由题意知，，根据三角形的面积公式，可得，在平面内，以D为原点建立坐标系，如图所示，设，则，整理得，设圆心为M，求得，所以的最小值为，的最大值为，所以的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及圆外一点到圆上点的距离的最值问题，其中解答中利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，确定点P轨迹为圆，转化为点到圆上各点的距离最值问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______【答案】【解析】【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；当直线CD的方程为时，取最小值，得到答案．【详解】由题意知，两直线：，：互相平行，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示，由两平行线间的距离公式可得，因为，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，所以当直线CD的方程为：时，取最小值，联立，得，联立，得，的最小值为：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题．三、解答题18．在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线和的交点P．Ⅰ若l与直线垂直，求直线l的方程；Ⅱ若l与圆相切，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】联立方程组求出点，由点，且所求若l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入能求出直线l的方程．求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【详解】Ⅰ由题意，联立，解得，，则点由于点，且所求直线l与直线垂直，设所求直线l的方程为，将点P坐标代入得，解得，故所求直线l的方程为．由，可得圆的标准方程为，所以圆心为，半径为2，若直线l的斜率不存在，此时，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则圆心到直线l的距离，解得【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，以及直线和圆的位置关系等基础知识的应用，着重考查了运算与求解能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.19．如图，，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，FⅠ求证：；Ⅱ若，，，，求直线AD与CF所成的角．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】【分析】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；Ⅱ根据异面直线所成角的定义，找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【详解】Ⅰ连接AF交平面于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．由，平面，平面，所以，则，同理，由，可得，则．所以；Ⅱ因为，，所以或其补角就是直线AD与CF所成的角．因为，，所以，，又，，由余弦定理可得，得．即直线AD与CF所成的角为．【点睛】本题主要考查了平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，以及异面直线所成角的求解，其中解答中正确认识空间图形的结构特征，利用异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与论证能力，属于基础题.20．如图，在四棱锥中，平面平面MCD，底面ABCD是正方形，点F 在线段DM上，且．Ⅰ证明：平面ADM；Ⅱ若，，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F 的位置．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）是DM的中点．【解析】【分析】Ⅰ推导出平面MCD，，再由，能证明平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，从而，过M作，交CD于O，则平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【详解】Ⅰ平面平面MCD，平面平面，，平面ABCD，平面MCD，平面MCD，，又，，由线面垂直的判定定理可得平面ADM．Ⅱ由平面ADM，知，所以，过M作，交CD于O，因为平面平面MCD，所以平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则0，，2，，2，，0，，1，，设，，则，，0，，，设平面MBC的一个法向量y，，则由，得，取，得1，，设直线AF与平面MBC所成的角为，则，所以，解得，即是DM的中点．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.21．已知抛物线C：的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为．Ⅰ求点Q的纵坐标；可用p表示Ⅱ求抛物线C的方程；Ⅲ设直线l：与抛物线C有两个不同的交点A，若点M的横坐标为2，且的面积为，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ根据焦点以及的外接圆的圆心为Q，即可求出；Ⅱ由题意可得，解得，即可求出抛物线方程；Ⅲ先判断为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【详解】Ⅰ由题意，设，因为焦点以及的外接圆的圆心为Q，则线段的垂直平分线的方程为，所以点的纵坐标为.（Ⅱ）由抛物线C的准线方程为，所以，解得，所以抛物线C的方程．Ⅲ可知，，，为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为，点Q到直线AB的距离，设，，联立方程组，消y可得，，，，，即，解得，即，所以直线l的方程为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中把直线的方程与抛物线方程联立，合理利用根与系数的关系和弦长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于中档试题.22．已知椭圆E：的离心率为，直线l：与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为，且直线l 外的一点Q满足：，．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求点Q的轨迹；Ⅲ求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）椭圆除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）【解析】【分析】Ⅰ先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；Ⅱ设点，设点，由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；Ⅲ求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出面积的最大值．【详解】Ⅰ由题意，点M的横坐标为，且在直线上，可得，又M在E上，所以，另外，所以可解得，，得E的方程为；Ⅱ由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点，，则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点在E上，所以，，即，代入，即．当时，得；当时，则得或．此时，或，也满足方程．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆除去四个点、、、的曲线；Ⅲ因为点到直线的距离，且易知，所以，的面积为．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，面积的最大值为；一几何相切法：设l的平行直线，由，得，由得．可得此时椭圆与相切的切点为、，易得面积的最大值为因为二三角换元法：由Q的轨迹方程，设，，代入，．易得面积的最大值为因为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，属于难题.。

2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题

2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．【点睛】本题考查简易逻辑的知识，主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c ＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小.【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。

2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析

2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B。

浙江省宁波市九校2018-2019学年高二下学期联考数学试题(解析版)

宁波市2018年学年第二学期九校联考高二数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤<，{}03B x x =≤<，则A B =I （） A. {}13x x -≤< B. {}02x x ≤<C. {}02x x <<D. {}03x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的概念和运算，求得A B I . 【详解】依题意得A B =I {}02x x ≤<. 故选：B【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知()f x 是定义在R 上的函数，则下列函数中一定是偶函数的是（） A. ()f x B. ()f xC. []2()f xD. []3()f x【答案】A 【解析】【分析】根据偶函数的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，构造函数()()g x f x =，则()()()()g x f x f x g x -=-==，所以()f x 是偶函数.对于B 选项，构造函数()()g x f x =，则()()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以()f x 不一定是偶函数.对于C 选项，构造函数()[]2()g x f x =，则()[]2()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以[]2()f x 不一定是偶函数.对于D 选项，构造函数()[]3()g x f x =，则()[]3()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以[]3()f x 不一定是偶函数. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.3.“11a>”是“01a <<”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】解分式不等式求得“11a>”的取值范围，由此判断出充分、必要条件. 【详解】由11111100a a a a a a -->⇒-=>⇒<，解得01a <<.所以“11a>”是“01a <<”的充分必要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分式不等式的解法，属于基础题.4.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5.若函数1()f x x=在2x =处的切线与直线y kx =垂直，则实数k 的值是（） A.12B. 2C. -4D. 4【答案】D 【解析】【分析】求得函数1()f x x =在2x =处的切线的斜率，由此求得k 的值. 【详解】()()''22111,224f x f x =-=-=-，依题意有1144k k -⨯=-⇒=.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 6.若31()()nx x n N x++∈的展开式中存在常数项，则下列选项中，n 可为（） A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】【分析】写出二项式展开通项公式，存在常数项，即x 指数可为0，分析即可得结果．【详解】由二项式展开式通项可得：3r n rr n xC xx --，依题须：410n r -+=，观察选项可知，选C.【点睛】本题考查二项式定理应用，旨在考查考生的求解运算能力，属基础题．7.下列函数()f x 中，满足“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x -()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”的是（）A .()1f x x x=- B. ()3f x x =C. ()ln f x x =D. ()2f x x =【答案】A 【解析】“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x - ()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”等价于函数为减函数，四个选项中，只有A 选项符合.8.函数()f x 定义域为(][),22,-∞-+∞U 的是（） A. 1()1f x x x+=+ B. 2()1f x x =+C. (sin )1f x x =+D. ()2(0,1)xf a x a a =>≠【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，由于(][)1,22,x x+∈-∞-+∞U ，所以()f x 的定义域为(][),22,-∞-+∞U ，所以A 选项正确.对于B 选项，由于[)20,x ∈+∞，所以()f x 的定义域为[)0,+∞，不符合题意.对于C 选项，由于[]sin 1,1x ∈-，所以()f x 的定义域为[]1,1-，不符合题意. 对于D 选项，由于()0,xa ∈+∞，所以()f x 的定义域为()0,∞+，不符合题意.故选：A【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.9.从1，2，3，…，20中选取四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ），且满足213a a -≥，324a a -≥，435a a -≥，则这样的四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数是（） A. 48C B. 411CC. 414CD. 416C【答案】B 【解析】【分析】利用捆绑法，求得所求四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数.【详解】将1a 连同其右边的2个空位捆绑，2a 连同其右边的3个空位捆绑，3a 连同其右边的4个空位捆绑，分别看作一个元素，四元数组()1234,,,a a a a 的个数相当于从11个元素中选取4个，故这样的四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数是411C .故选：B【点睛】本小题主要考查计数原理，考查组合数的计算，考查捆绑法，属于基础题.10.已知函数()x a x a f x e e --+=+（其中e 是自然对数的底数）．若33log a b c ==，且1c >，则（）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f a f c f b <<D. ()()()f c f b f a <<【答案】C 【解析】【分析】首先判断出()f x 的单调性，然后比较,,a b c 的大小关系，由此判断出()()()f a f c f b <<. 【详解】由于1()x ax a x a x af x ee e e --+--+==+，()()2'11x a x ax ax ax ax ae fx eeeee---+----=-=-=,当x a ≥时，()'0fx ≥，所以()f x 在[),a +∞上递增.由于33log a b c ==，所以3log ,3ca cb ==，而1c >，结合3log ,3,x y x y y x ===的图像可知a c b <<，所以()()()f a f c f b <<.故选：C【点睛】本小题主要考查对数式与指数式互化，考查指数型复合函数单调性的应用，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.设1010910910(2)x a x a x a x a +=++⋯⋯+，则8a =_____；97531a a a a a ++++=____．【答案】 (1). 180 (2).10312- 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式求得8a ，利用赋值法求得97531a a a a a ++++.【详解】依题意二项式展开式的通项公式为10102r rr C x -⋅⋅，令108r -=，解得2r =，所以828102454180a C =⨯=⨯=.由1010910910(2)x a x a x a x a +=++⋯⋯+，令1x =得10109213a a a a =++++L ①，令1x =-得10109211a a a a =-++-L ②，①-②并化简得97531a a a a a ++++=10312-.故答案为：(1). 180 (2). 10312-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查赋值法求奇次项系数和，属于基础题. 12.已知方程log (53)(0,1)xxa x a a -=>≠，若2是方程的一个解，则a =____；当2a =时，方程的唯一解是_____．【答案】 (1). 4 (2). 1 【解析】【分析】令2x =代入方程log (53)(0,1)xxa x a a -=>≠，由此求得a 的值. 当2a =时，解对数方程求得方程的解. 【详解】若2是方程的一个解，则()22log 532a -=，即log 162a=，216a=，由于0,1a a >≠，所以4a =. 当2a =时，方程化为()2log 53x xx -=，即253xx x =-，也即235x x x +=，显然1x =是方程的解.故答案为：(1). 4 (2). 1【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，属于基础题.13.已知函数[][]2,0,1,(),0,1,x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，则1(())2=f f ________；方程(())2f f x =的解集是________．【答案】 (1). 2 (2). [0,1]{2}⋃ 【解析】【分析】先求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，然后求得12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.根据分段函数解析式，求得方程(())2f f x =的解集. 【详解】依题意()112,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当()2f x =时，[]{}0,12x ∈⋃.当()[]0,1y f x =∈时，对应的x 的解集为空集；当(){}2y f x =∈时，[]{}0,12x ∈⋃.所以方程(())2f f x =的解集是[]{}0,12⋃. 故答案为：(1). 2 (2). [0,1]{2}⋃【点睛】本小题主要考查分段函数的运用，求函数值和解方程，考查运算能力，属于基础题.14.已知函数()f x =()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________；若()f x 的值域为)0,⎡+∞⎣，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (1). [2,)+∞ (2). [0,2] 【解析】【分析】根据()f x 的定义域为R ，结合一元二次不等式恒成立列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 根据()f x 的值域为R ，结合一元二次函数的值域列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 的定义域为R ，所以2016a ax x -+≥恒成立，所以014016a aa >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯≤⎪⎩，解得[2,)a ∈+∞.由于()f x 的值域为R ，则216a y ax x =-+的值域包含集合)0,⎡+∞⎣，所以014016a a a >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯≥⎪⎩或0a =.解得[]0,2a ∈.故答案为：(1). [2,)+∞ (2). [0,2]【点睛】本小题主要考查函数定义域、值域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 15.若甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．（用数字作答）【答案】24 【解析】分析】先计算出任选两门的事件数，减去两人选法都不同、两人选法都相同的事件数，求得甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数.【详解】两人各选2门的方法数为224436C C ⨯=.两人选法都相同方法数为246C =；两人选法都不同的方法数为246C =. 所以甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数为366624--=. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查组合数的计算，考查简单排列组合问题，属于基础题.16.已知函数324,0,()2,0,x x b x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩若函数[]()(1)g x f f x =-恰有3个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．【答案】(,25)-∞- 【解析】【分析】首先分析出0b <，()0f m =有两个根，一个根为0，和一个负根1m ，那么()()10g x f f x =-=⎡⎤⎣⎦需满足()10f x -=或()11f x m -=，显然()10f x -=有两个根，由题意，()11f x m -=必然有一个根，则只需1b m <即可.【详解】当0x <时，()()238380f x x x x x '=-+=--<，则()f x 在(),0-∞上单调递减，此时()()0f x f b >=，令()1f x m -=，当0b ≥时，()0f m =只有一个解0m =，此时()g x 不可能有三个零点，故0b <，此时()0f m =有两个根，一个为0，和一个负根1m ，如下图所示，则()10f x -=，或()111,0f x m m -=<，显然()10f x -=有两个根，则()11f x m -=必然有一个根，由图象可知，要使()11f x m -=有一个根，则需1b m <，又321140m m b -++=，所以321114b m m m =-<，所以211410m m -->，解得125m <-，所以25b <-.故答案为：(,25)-∞-【点睛】本小题主要考查函数零点，考查复合函数零点问题，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 17.已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 满足：当0x >时，()()1xf x f x '+>，(1)2019f =，则不等式2018()1f x x≤+的解集是_________．【答案】[1,0)(0,1]-⋃ 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据导数和函数的单调性的关系，判断()g x 的单调性，根据单调性即可求出不等式的解集.【详解】当0x >时，()()1xf x f x '+>，所以()()10xf x f x '+->，令()()g x xf x x =-，则()()()10g x x f x f x ''=⋅+->，所以()g x 在()0,∞+上为增函数. 由于()f x 为偶函数，所以()g x 为奇函数，且()00g =，所以()g x 在(),0-∞上为增函数，所以()g x 在R 上为增函数. 因为2018()1,0f x x x≤+≠，所以()2018x f x x ⋅≤+，即()2018x f x x ⋅-≤，所以()2018g x ≤.因为()()111201912018g f =-=-=，所以1x ≤，即11x -≤≤，又0x ≠，所以不等式2018()1f x x≤+的解集是[1,0)(0,1]-⋃. 故答案为：[1,0)(0,1]-⋃【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查构造函数法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X . （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X .【答案】（1）1528；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C C P X C ===；（2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()335388kk k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.19.已知3()4(,)f x x ax b a b R =++∈的图象关于点()0,1中心对称．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对11x -≤≤，不等式()0f x <无解，求a 的取值的集合．【答案】（Ⅰ）1b =；（Ⅱ）{}3- 【解析】分析】（I ）通过构造函数法判断出()f x 图象关于()0,b 中心对称，由此求得b 的值.（II ）由（Ⅰ）知，3()41f x x ax =++，根据对11x -≤≤，不等式()0f x <无解，由()10102f f ⎧-≥⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩求得a 的值，利用因式分解法以及配方法，证得此时()0f x ≥，由此求得a 的值.【详解】（Ⅰ）令2()()4g x f x b x ax =-=+，则()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，故()g x 的图象关于原点对称，所以()()f x g x b =+的图象关于(0,)b 对称，即1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()41f x x ax =++，由条件“对11x -≤≤，不等式()0f x <无解”知(1)30f a -=--≥，130222af ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，得3a =-．又当11x -≤≤时，231()4314(1)02f x x x x x ⎛⎫=-+=+-≥ ⎪⎝⎭，所以3a =-，即a 的取值的集合为{}3-．【点睛】本小题主要考查函数的对称性、奇偶性，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 20.已知数列{}n a 满足：152a =，且2*12()n n a a n N +=-∈．（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）猜测通项公式n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜测．【答案】（Ⅰ）2174a =，325716a =；（Ⅱ）112222n n n a ---=+，证明见解析【解析】【分析】（I ）根据递推关系式，依次求得23,a a 的值.（II ）先猜想出数列{}n a 的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】（Ⅰ）依题意，2211724a a =-=，232257216a a =-=．（Ⅱ）由于002212252a -=+=，22222a -=+，2222322a -=+，猜测112222n n n a ---=+，下证明之．（1）当1n =时，002212252a -=+=，此时成立（2）假设()*n k k =∈N时，有112222k k ka---=+；当1n k =+时，()()()1111112222222222221222222222222k k k k k k k kkk a a ----------+=-=+-=+⨯⨯+-=+，即当1n k =+时，也成立．由数学归纳法可知通项公式成立．【点睛】本小题主要考查数列通项公式的求法，考查数学归纳法求数列通项公式，属于中档题. 21.已知函数1()x x f x e+=（其中e 是自然对数的底数），2()1()g x ax a R =-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若a 满足102a <<210a +>，试判断方程()0h x =的实数根个数,并说明理由．【答案】（Ⅰ）()1f x =极大值，但无极小值；（Ⅱ）有2个实数根，利用见解析. 【解析】【分析】（I ）利用()f x 的导函数()f x '研究()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值.（II ）求得()h x 的表达式，求得其导函数()h x '，由此求得()h x 的单调区间、极小值（最小值），结合零点存在性定理，判断出()h x 有两个实数根. 【详解】（Ⅰ）因为1()x x f x e +=，所以()xx f x e'=-．当0x <时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减．所以(0)1()f x f ==极大值，但无极小值．（Ⅱ）因为21()()()1x x h x f x g x ax e+=-=+-，所以12()22x x xe x a h x ax ax e e -'=-+=⋅ 因为102a <<，所以112a >，于是1ln 02a>．令()0h x '=，得0x =或1ln2x a=．当0x <时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当10ln2x a<<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1ln2x a>时，()0f x '>，此时()f x 单调递增．所以1ln(0)02h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．210a +>，所以1ln 2a <，210h a =-=>．又函数()h x 在R 上连续，故()h x 有一个零点为0，且在1ln 2a ⎛ ⎝上也有一个零点．综上，方程()0h x =的有2个实数根．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数2()ln(1)()f x x ax x a R =++-∈．（Ⅰ）若对任意0x ≥，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：ln(1ln(1ln(1ln(181++++++⋯⋯+>．【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（I ）当0x ≥时，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合()f x 的导函数以及()0f x ≥，求得a 的取值范围.（II ）由（Ⅰ）知，当12a =时，对0x ∀≥，都有()0f x ≥，即21ln(1)(0)2x x x x +≥-≥，由此得到1ln1(2,3,4,,2019)2kk⎛+≥-=⋅⋅⋅⎝，利用放缩法得到20192k=>∑、20192110kk=<∑，由此证得不等式成立.【详解】（Ⅰ）当0a≤时，(1)ln21110f a=+-≤-=，不合题意．当0a>时，212(21)(221)()21111ax a x x ax af x axx x x+-+-'=+-==+++，令()0f x'=，得1x=，2122axa-=.若2x>，则有()f x在()20,x上单调递减，()2002xf f⎛⎫<=⎪⎝⎭，不合题意.所以(0)0f=，且2122axa=-≤，解得12a≥，所以a的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当12a=时，对0x∀≥，都有()0f x≥，即21ln(1)(0)2x x x x+≥-≥．所以1ln1(2,3,4,,2019)2kk⎛≥-=⋅⋅⋅⎝．因为2019201920192222019222k k k k=====>==∑∑；201912111111111112345672212221i i i ikk+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+++++⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L10101101111122122229⎛⎫+⋅⋅⋅+++++⎪++-⎝⎭L1231022011112222102222<⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=．于是20192019201922222019111ln122k k kk k===⎛⎫≥-=-⎪⎝⎭∑∑∑110244.535812≥-⨯>⨯--=．【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。

2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试卷

2018-2019 学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5 毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题）一、选择题. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，，则（）A. B. C.或【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或，即或则本题正确选项：【点睛】本题主要考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2. 设，，则（）A.D.D.B.C.【答案】D【解析】【分析】根据单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又本题正确选项：【点睛】本题考查与对数函数有关的比较大小类问题，属于基础题3. 曲线在点（1，0）处切线的倾斜角为，则（）A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题4. 已知定义在R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数不一定存在零点的是（）答案】解析】分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。

浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析

浙江省宁波市第九中学2018-2019学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据对数函数与指数函数的性质，分别得到的范围，即可得出结果.【详解】由题意可得，，，所以.故选D【点睛】本题主要考查对数与指数幂比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于基础题型.2. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则p=（）A. 0.7B. 0.4C. 0.6D. 0.3参考答案：C【分析】首先确定随机变量X所服从的分布列，然后结合分布列的计算公式可得p的值.【详解】由题意可知：，则：，解得：或0.6，，则：，整理可得：，故.故选：C.【点睛】本题主要考查二项分布的数学期望公式，二项分布的概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是A. B.C.2D. 3参考答案：C略4. 设复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A．圆B．半圆C．直线D．射线参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接利用复数的几何意义，判断选项即可．【解答】解：因为复数z满足|z﹣3+4i|=|z+3﹣4i|，复数z的几何意义是复平面的点到（3，﹣4），（﹣3，4）距离相等的点的轨迹，是两点的中垂线，故选：C．5. 函数的图象如图1所示，则的图象可能是（）参考答案：D6. 命题“?x∈[1，2]，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5参考答案：C【分析】由题意可得原命题为真命题的条件为a≥4，可得其充分不必要条件为集合{a|a≥4}的真子集，由此可得答案.【详解】解：命题“?x∈[1，2]，”为真命题，可化为?x∈[1，2]，，恒成立，即“?x∈[1，2]，”为真命题的充要条件为a≥4，故其充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．故选：C．【点睛】本题属于命题与集合相集合的题目，解题的关键是明确充分不必要条件的定义.7. 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为参考答案：C【考点】系统抽样方法；简单随机抽样．【分析】本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．【解答】解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等∴得到每个个体被抽到的概率是故选C．8. 是的等差中项，是的正的等比中项，大小关系是（）A. B. C. D.大小不能确定参考答案：A9. 下列命题中，错误的是（）A．平行于同一平面的两个平面平行B．垂直于同一个平面的两个平面平行C．若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个D．若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用平面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析，指出错误的选项．解答：解：对于A，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质定理和判定定理可以判断正确；对于B，垂直于同一个平面的两个平面平行是错误的；如墙角的三个平面；对于C，若a，b是异面直线，则经过直线a与直线b平行的平面有且只有一个；根据异面直线的定义以及线面平行的判定定理可以判断C是正确的；对于D，若一个平面与两个平行平面相交，则交线平行；根据面面平行的性质定理知道D 是正确的．故选B．点评：本题考查了平面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练灵活地运用定理是关键．10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十进制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）A． B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为l的等腰梯形，则该平面图形的面积等于_________．参考答案：略12. 在正三棱锥中，过点作截面交分别，则截面的周长的最小值是________________.参考答案：13. 已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；…若m3（m∈N+）的分解中最小的数为91，则m的值为．参考答案：10【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（m∈N*）的分解方法，从而求出m的值．【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个．故m=10．故答案为：10【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．14. 二次方程,有一个根比1大,另一个根比－1小,则a的取值范围是_______________参考答案：（－1,0）15. 刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考的好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中两人说对了．参考答案：乙丙【考点】进行简单的合情推理．【分析】判断甲与乙的关系，通过对立事件判断分析即可．【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确．故答案为：乙、丙．16. 设，则的从大到小关系是 .参考答案：17. 在△ABC中，∠ABC=，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ．若平面ABC与平面α所成的二面角为，则sinθ=．参考答案：【分析】过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∠ADO=，∠ABO=θ，由此能求出sinθ．【解答】解：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连结AD，则AD⊥BC，∴∠ADO平面ABC与平面α所成的二面角为，即∠ADO=，∠ABO是直线AB与平面α所成角，即∠ABO=θ，由题意可知，AO=AD，AB=AD，sinθ==三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018-2019学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷及解析

2018-2019学年宁波市九校高二上学期期末联考数学试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的短轴长为（）A. 8B. 10C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可．【详解】解：椭圆，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆的短轴长为8．故选：A．2.设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．3.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则【答案】A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．4.有下列四个命题：①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若，则”的逆命题；③“若，则”的否命题；④“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断①；写出逆命题，可判断②；写出命题的否命题，可判断③；由判别式法可判断原命题的真假，进而判断④．【详解】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，其逆否命题也正确．故选：C．5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在轴非负半轴上”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可．【详解】解：抛物线mx2+ny＝0的标准方程为x2y＝4（）y，对应的焦点坐标为（0，），若焦点在y轴非负半轴上，则0，即mn＜0，则m＜0且n＞0或n＜0且m＞0，则“m＜0且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件，故选：A．6.下列命题正确的是（）A. 是向量，不共线的充要条件B. 在空间四边形中，C. 在棱长为1的正四面体中，D. 设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面【答案】B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A；由向量的加减和数量积的定义可判断B；由向量数量积的定义计算可判断C；由四点共面的条件可判断D．【详解】解：由||﹣||＜||，向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2，3，故A不正确；在空间四边形ABCD中，（）••••（）•（）••0，故B 正确在棱长为1的正四面体ABCD中，1×1×cos120°，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若，由1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．故选：B．7.若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值．【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，由∠F1PF2，可得．∴，由e1e2＝1，即，得：，解得：（舍），或，即．故选：B．8.已知为双曲线右支上一点，为其左顶点，为其右焦点，满足，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得△APF为等边三角形，求出P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c＝4a，由等边三角形的高可得所求值．【详解】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x，|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF为等边三角形，即有P（，（a+c）），由双曲线的第二定义可得，化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，可得c＝4a，由c＝4，可得a，则点F到PA的距离为（a+c）•5．故选：D．9.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【详解】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα，∵，∴cos，∴|1|∈[0，1+]．∴cos的最大值为．故选：C．10.若长方体中，，，，，分别为，，上的点，，，.分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A. B.C. D. 与的值有关【答案】C【解析】【分析】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由=1，所以，设为，则=，又则，即可比较的大小. 【详解】过G点作GM⊥CD于M点，过M做MN⊥EF于N点，由，可知MN＜CE∴∴，设为，则=，又，∴∴故选：C二、填空题.11.双曲线的焦点坐标是____，渐近线方程是____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用双曲线的a，b，c的关系，直接计算．【详解】解：双曲线1中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．且焦点在y轴上，∴双曲线1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y．故答案为：（0，），y＝±2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12.在空间四边形中，，分别是，的中点，是上一点，且.记，则___，若，，，且，则___.【答案】 (1). （） (2).【解析】利用空间向量加法定理能求出（x，y，z）；利用空间向量数量积公式能求出||．【详解】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，∴（）（）[]，∵x y z，∴（x，y，z）＝（）．∵⊥，，∠BOC＝60°，且||＝||＝||＝1，∴2（）22，∴||．故答案为：（），．【点睛】本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、空间向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.设复数，其中为虚数单位，则的虚部是____，___.【答案】 (1). 1 (2).【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵，，∴z＝（）2018+（）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，∴，则的虚部为1．|z|．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是_____，体积是_____.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算．【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：几何体的表面积：15．∴几何体的体积V＝1；故答案为：15；，【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15.已知是抛物线上的点，则的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，利用数形结合法把x化为|PA|﹣|PF|+2，从而求得最大值．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示；由图形知，x＝|PA|﹣x＝|PA|﹣（|PM|﹣2）＝|PA|﹣（|PF|﹣2）＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+22；即x的最大值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题．16.已知椭圆的左右焦点分别为，，动弦过左焦点.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是___.【答案】【解析】【分析】由条件可得，转化为，从而得到椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由可得∴，即，∴∴故答案为：【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.17.已知矩形中，，为的中点，，交于点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上，则的取值范围为 ____.【答案】【解析】【分析】首先明确在平面上的投影的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H，连接DH交AE于G，由题意可知：在平面上的投影落在线段GH上，如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为：，，故的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查线段的长度，考查线面间的位置关系，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知，设命题：当时，函数恒成立，命题：双曲线的离心率.（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）若命题和中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；（Ⅱ）由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】（Ⅰ）当时，因为在上为减函数，在上为增函数，∴在上最小值为.当时，由函数恒成立，得，解得.（Ⅱ）若命题为真命题，则，解得，若为真命题且为假命题，则，可得，若为假命题且为真命题，则，此时，由上可知，的取值范围为.【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法，属于基础题．19.如图，在四面体中，，，.（Ⅰ）求点到平面的距离；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）作平面于，连,证明是的角平分线，由求得，即可得到点到平面的距离；（Ⅱ）取空间基底为，，，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）作平面于，连作于，于，连，∴平面，平面，∴，，所以，∵，四边形为正方形，∴是的角平分线，∴∴，即，∴，∴.（Ⅱ）（方法1）记，，，则，记，∵，又，，，∴，即，所以异面直线与所成角的大小为.（方法2）以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标，，，，则，设异面直线与所成角为，则,,∴，所以异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查空间点到平面的距离，异面直线所成角，考查空间问题坐标化，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题.20.如图，已知多面体中，，平面，，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由余弦定理得PB，从而PB⊥AB，由AD⊥平面PAB，得AD⊥PB，再由PB⊥AB，能证明PB⊥平面ABCD．（Ⅱ）由余弦定理求出cos∠PDC，从而sin∠PCD，S△ACD＝2，设直线PA 与平面PCD所成角为θ，点A到平面PCD的距离为h，由V A﹣PDC＝V P﹣ACD，得h，从而sinθ，由此能求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）在中，，，，所以，，所以，，因为，所以，，，四点共面.又平面，平面，所以.又，，所以平面.（Ⅱ）（方法一）在中，，在中，.在直角梯形中，.在中，，.所以，.设直线与平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以，，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法二）由（Ⅰ）知，平面，.以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设直线与平面所成的角为，设平面的一个法向量为，由得取，则，，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.（方法三）延长，相交于点，连结.因为，，所以为的中位线，点，分别为，的中点.所以为等腰三角形.取中点，连，.所以，，，所以平面，又平面，所以平面平面.作于，连，所以平面.所以就是直线与平面所成的角.因为，，，所以，所以.所以，故直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作两条斜率之积为的直线，，，分别与轨迹交于，和，，记得到的四边形的面积为，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用椭圆定义即可得到点的轨迹的方程；（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，可得可得,故，结合均值不等式可得结果.【详解】（Ⅰ）∵点是线段的垂直平分线上的点，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，∴，，.因此，点的轨迹方程是.（Ⅱ）设其中一条直线的方程为，代入椭圆方程可得：，设，，则即，代入椭圆方程可得：，设，到直线的距离分别为和，则,,,,当，即时取“”的最大值.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式，属于中档题．22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.（Ⅰ）求切线，的方程；（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（另解：设切线的方程为：由消去后可得：∴∴切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为.（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，由（1）可得，，故，.又点的坐标为.所以点的纵坐标为，即点的坐标为.故在抛物线上.（Ⅲ）由（Ⅰ）知：，，所以.设，则.当时，即当时，取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。

2018-2019学年浙江省宁波市高二(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．）1．（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，则它的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），2．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．3．（4分）已知空间向量＝（3，1，0），＝（x，﹣3，1），且⊥，则x＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．24．（4分）已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或15．（4分）对于实数m，“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值7．（4分）设a，b为空间两条直线，α，β为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A．若a不平行α，则在α内不存在b，使得b平行aB．若a不垂直α，则在α内不存在b，使得b垂直aC．若α不平行β，则在β内不存在a，使得a平行αD．若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α8．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），若直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（0，）9．（4分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），C2：﹣＝1（m＞0，n＞0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx（k＞0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）A．B．2C．D．210．（4分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，则A．β≤γ≤αB．β≤α≤γC．α≤γ≤βD．α≤β≤γ二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．（6分）椭圆x2+＝1的长轴长为，左顶点的坐标为．12．（6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为，这个否命题是一个命题．（可填：“真”，“假”之一）13．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4x+a＝0，则实数a的取值范围为；若圆x2+y2＝1与圆C外切，则a的值为．14．（4分）已知AE是长方体ABCD﹣EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条．15．（4分）已知双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝．（用数值表示）16．（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足S△APD＝S△CPE，则线段C1P的长度的取值范围为．17．（6分）已知A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD|＝，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共74分．解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+2＝0和2x+y+2＝0的交点P．（Ⅰ）若l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆x2+2x+y2＝0相切，求直线l的方程．19．（15分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F （Ⅰ）求证：＝；（Ⅱ）若AB＝BC，AD＝2，BE＝，CF＝4，求直线AD与CF所成的角．20．（15分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF⊥MC．（Ⅰ）证明：MC⊥平面ADM；（Ⅱ）若AB＝2，DM＝MC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C 的准线的距离为．（Ⅰ）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（Ⅱ）求抛物线C的方程；（Ⅲ）设直线l：y＝kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B．若点M的横坐标为2，且△QAB的面积为2，求直线l的方程．22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y＝﹣x与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为﹣，且直线l外的一点Q满足：⊥，⊥．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求点Q的轨迹；（Ⅲ）求△MNQ面积的最大值．2018-2019学年浙江省宁波市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．）1．（4分）已知圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，则它的圆心和半径分别为（）A．（﹣2，3），2B．（2，﹣3），2C．（﹣2，3），D．（2，﹣3），【分析】直接由圆的标准方程求出圆心和半径即可．【解答】解：由圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝2，可得它的圆心和半径分别为（﹣2，3），．故选：C．【点评】本题考查了圆的标准方程，是基础题．2．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ＝﹣，求得θ值，即为所求．【解答】解：直线的斜率等于﹣，设它的倾斜角等于θ，则0≤θ＜π，且tanθ＝﹣，∴θ＝，故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，得到tanθ＝﹣，是解题的关键．3．（4分）已知空间向量＝（3，1，0），＝（x，﹣3，1），且⊥，则x＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．2【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0列出向量等式；利用向量的数量积公式列出关于x的方程，求出x的值．【解答】解：∵∴∴3x﹣3＝0解得x＝1故选：C．【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0、考查向量数量积公式：对应坐标乘积的和．4．（4分）已知直线ax+y﹣2+a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．﹣2或1D．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a的值．【解答】解：﹣2+a＝0，即a＝2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为2x+y＝0，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；﹣2+a≠0，即a≠2时，直线ax+y﹣2+a＝0化为+＝1，它在两坐标轴上的截距为＝2﹣a，解得a＝1；综上所述，实数a＝2或a＝1．故选：D．【点评】本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．5．（4分）对于实数m，“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若方程+＝1表示双曲线，则（m﹣1）（m﹣2）＜0，得1＜m＜2，则“1＜m＜2”是“方程+＝1表示双曲线”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键．6．（4分）若x，y满足约束条件，则z＝x+y（）A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值【分析】画出x，y满足的平面区域，利用y＝﹣x+z的截距的最值求得z的最值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y＝﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z的最小值为2+0＝2，由于区域是开放型的，所以z无最大值；故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．7．（4分）设a，b为空间两条直线，α，β为空间两个平面，则下列命题中真命题的是（）A．若a不平行α，则在α内不存在b，使得b平行aB．若a不垂直α，则在α内不存在b，使得b垂直aC．若α不平行β，则在β内不存在a，使得a平行αD．若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若a不平行α，则当a⊂α时，在α内存在b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直α，则在α内至存在一条直线b，使得b垂直a，故B错误；若α不平行β，则在β内在无数条直线a，使得a平行α，故C错误；若α不垂直β，则在β内不存在a，使得a垂直α，由平面与平面垂直的性质定理得D 正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（4分）已知两点M（﹣2，0），N（2，0），若直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣，）C．（﹣，0）∪（0，）D．（﹣，0）∪（0，）【分析】根据△MNP是直角三角形，转化为以MN为直径的圆和直线y＝k（x﹣3）相交，且k≠0，然后利用直线和圆相交的等价条件进行求解即可．【解答】解：当P1M⊥x，P4M⊥x时，此时存在两个直角三角形，当MN为直角三角形的斜边时，△MNP是直角三角形，要使直线y＝k（x﹣3）上存在四个点P（i＝1，2，3，4），使得△MNP是直角三角形，等价为以MN为直径的圆和直线y＝k（x﹣3）相交，且k≠0，圆心O到直线kx﹣y﹣3k＝0的距离d＝＜2，平方得9k2＜4（1+k2）＝4+4k2，即5k2＜4，即k2＜，得﹣＜k＜，即﹣＜k＜，又k≠0，∴实数k的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆相交的位置关系的应用，根据条件结合△MNP是直角三角形转化为直线和圆相交是解决本题的关键．9．（4分）已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0），C2：﹣＝1（m＞0，n＞0），若双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx（k＞0），且离心率分别为e1，e2，则e1+e2的最小值为（）A．B．2C．D．2【分析】根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得e12﹣1＝k2，e22﹣1＝，即（e12﹣1）（e22﹣1）＝1，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：∴双曲线C1，C2的渐近线方程均为y＝±kx，∴＝k，＝k，∴e1＝＝，e2＝＝＝，∴e12﹣1＝k2，e22﹣1＝，∴（e12﹣1）（e22﹣1）＝1，∴e12e22﹣（e12+e22）＝0，∴e12e22﹣（e1+e2）2+e1e2＝0∴（）4﹣（e1+e2）2+（）2≥0，当且仅当e1＝e2＝时取等号，即k ＝1时取等号，∴（e1+e2）2≥8∴e1+e2≥2故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程基本不等式，考查运算能力，属于中档题10．（4分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．若E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，则A．β≤γ≤αB．β≤α≤γC．α≤γ≤βD．α≤β≤γ【分析】由阳马定义、异面直线所成角、线面角、二面角的概念得到β＜γ＝∠SAD＜α，从而β≤γ≤α．【解答】解：四棱锥S﹣ABCD为阳马，且AB＝AD，SD⊥底面ABCD．E是线段AB上的点（不含端点），设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S﹣AE﹣D的平面角为γ，∴β＜γ＝∠SAD＜α，∴β≤γ≤α．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分）11．（6分）椭圆x2+＝1的长轴长为10，左顶点的坐标为（﹣1，0）．【分析】直接由椭圆的性质得答案．【解答】解：由椭圆x2+＝1可知，椭圆焦点在y轴上，∴，∴长轴长2a＝10，左顶点的坐标为（﹣1，0）．故答案为：10；（﹣1，0）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的性质，是基础题．12．（6分）命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为若两个整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，这个否命题是一个假命题．（可填：“真”，“假”之一）【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定；可举a，b均为奇数，则a+b 为偶数，即可判断真假．【解答】解：命题“若整数a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题可表示为“若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数”，由a，b均为奇数，可得a+b为偶数，则原命题的否命题为假命题，故答案为：若整数a，b不都是偶数，则a+b不是偶数，假．【点评】本题考查命题的否命题和真假判断，考查判断能力和推理能力，是一道基础题．13．（6分）已知圆C：x2+y2﹣4x+a＝0，则实数a的取值范围为（﹣∞，4）；若圆x2+y2＝1与圆C外切，则a的值为3．【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合两圆外切的等价条件进行求解即可．【解答】解：由x2+y2﹣4x+a＝0得（x﹣2）2+y2＝4﹣a，若方程表示圆，则4﹣a＞0，得a＜4，即实数a的取值范围是（﹣∞，4），圆心C（2，0），半径R＝，若圆x2+y2＝1与圆C外切，则|OC|＝R+1，即2＝+1，即＝1，即4﹣a＝1，得a＝3，故答案为：（﹣∞，4），3．【点评】本题主要考查圆的一般方程以及两圆外切的应用，根据配方法求出圆心和半径是解决本题的关键．14．（4分）已知AE是长方体ABCD﹣EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有4条．【分析】作出长方体ABCD﹣EFGH，利用列举法能求出在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱的条数．【解答】解：作出长方体ABCD﹣EFGH，在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，CD，BC，GF，共4条．故答案为：4．【点评】本题考查长方体中与已知棱异面且垂直的棱的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．15．（4分）已知双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0）（设另一个为F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝17或1．（用数值表示）【分析】根据已知条件，直接利用双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（m＞0）的一个焦点为F1（5，0），∴c＝5，∴a2＝c2﹣b2＝25﹣9＝16，∴a＝4，∵P为双曲线上一点，且|PF1|＝9，∴||PF2|﹣|PF1||＝2a＝8，∴|PF2|＝17，或|PF2|＝1，故答案为：17或1【点评】本题主要考查了双曲线的性质，运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||＝2a，是解题的关键，属基础题．16．（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BC的中点，P是平面CDD1C1内一点，且满足S△APD＝S△CPE，则线段C1P的长度的取值范围为[3，7]．【分析】首先利用面积相等得到点P与C，D的关系，进而建立平面直角坐标系，求得点P的轨迹方程，确定轨迹为圆，使问题转化为点到圆上各点的距离最值问题，得解．【解答】解：由S△APD＝S△CPE，得2PD＝PC，在平面CDD1C1内，以D为原点建立坐标系如图，设P（x，y），则4（x2+y2）＝（x﹣3）2+y2，整理得（x+1）2+y2＝4，设圆心为M，求得|C1M|＝5，∴C1P的取值范围是：[5﹣2，5+2]，故答案为：[3，7]．【点评】此题考查了点的轨迹的求法，圆外一点到圆上点的距离最值问题，难度适中．17．（6分）已知A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，则|CD|＝，|AC|+|CD|+|DB|的最小值为+【分析】利用两平行线间的距离公式能求出|CD；当直线CD的方程为：x+y＝0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值．【解答】解：∵两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0互相平行，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，∴|CD|＝＝，∵A（﹣3，0），B（3，0）及两直线l1：x﹣y+1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，作直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为C、D，∴当直线CD的方程为：x+y＝0时，|AC|+|CD|+|DB|取最小值，联立，得C（﹣），联立，得D（），∴|AC|+|CD|+|DB|的最小值为：++＝．故答案为：，．【点评】本题考查线估长的求法，考查三条线段和的最小值的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解谷题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（14分）在平面直角坐标系中，已知直线l经过直线4x+3y+2＝0和2x+y+2＝0的交点P．（Ⅰ）若l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆x2+2x+y2＝0相切，求直线l的方程．【分析】（1）联立方程组求出点P（﹣2，2），由点P（﹣2，2），且所求若l与直线2x+3y ﹣1＝0垂直，设所求直线l的方程为3x﹣2y+m＝0，将点P坐标代入能求出直线l的方程．（II）求出圆心和半径，分直线的斜率存在和不存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由，解得x＝﹣2，y＝2，则点P（﹣2，2）由于点P（﹣2，2），且所求直线l与直线2x+3y﹣1＝0垂直，设所求直线l的方程为3x﹣2y+m＝0，将点P坐标代入得3×（﹣2）﹣2×2+m＝0，解得m＝10．故所求直线l的方程为3x﹣2y+10＝0．（II）圆的标准方程为（x+1）2+y2＝1，所以圆心为（﹣1，0），半径为1，若直线l的斜率不存在，此时x＝﹣2，满足条件，若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+2），则圆心到直线l的距离d＝＝1，解得k＝﹣【点评】本题考查直线方程的求法，直线与直线垂直的性质，直线和圆的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19．（15分）如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F （Ⅰ）求证：＝；（Ⅱ）若AB＝BC，AD＝2，BE＝，CF＝4，求直线AD与CF所成的角．【分析】（Ⅰ）连接AF交平面β于G，连接AD，BE，CF，BG，EG，由平面平行的性质结合平行线截线段成比例即可证明答案；（Ⅱ）找出直线AD与CF所成的角，然后利用余弦定理求解．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF交平面β于G，连接AD，BE，CF，BG，EG．∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，∴BG∥CF，则，同理，由α∥β，可得GE∥AD，则．∴＝；（Ⅱ）解：∵BG∥CF，GE∥AD，∴∠BGE（或其补角）就是直线AD与CF所成的角．∵，，∴BG＝2，GE＝1，又BE＝，CF＝4，∴由余弦定理可得cos，得∠BGE＝120°．∴直线AD与CF所成的角为60°．【点评】本题考查异面直线所成角，考查平行线截线段成比例定理、余弦定理的应用，是中档题．20．（15分）如图，在四棱锥M﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF⊥MC．（Ⅰ）证明：MC⊥平面ADM；（Ⅱ）若AB＝2，DM＝MC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为，试确定点F的位置．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥平面MCD，AD⊥MC，再由AF⊥MC，能证明MC⊥平面ADM．（Ⅱ）由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，从而MC＝MD＝，过M作MO⊥CD，交CD于O，则MO⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．【解答】证明：（Ⅰ）平面ABCD⊥平面MCD，平面ABCD∩平面MCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面MCD，∵MC⊂平面MCD，∴AD⊥MC，又AF⊥MC，AD∩AF＝A，∴MC⊥平面ADM．解：（Ⅱ）由MC⊥平面ADM，知MC⊥MD，∴MC＝MD＝，过M作MO⊥CD，交CD于O，∵平面ABCD⊥平面MCD，∴MO⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，1，1），设＝，（λ＞0），则F（0，λ，λ），∴＝（﹣2，λ，λ），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，﹣1，1），设平面MBC的一个法向量＝（x，y，z），则由，得，取y＝1，得＝（0，1，1），设直线AF与平面MBC所成的角为θ，则cosθ＝，∴sinθ＝＝＝，解得，∴F是DM的中点．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线面角的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（15分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C 的准线的距离为．（Ⅰ）求点Q的纵坐标；（可用p表示）（Ⅱ）求抛物线C的方程；（Ⅲ）设直线l：y＝kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B．若点M的横坐标为2，且△QAB的面积为2，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）根据焦点F（0，）以及△MFO的外接圆的圆心为Q，即可求出；（Ⅱ）由题意可得﹣（﹣）＝，解得p＝2，即可求出抛物线方程；（Ⅲ）先判断△MFO为直角三角形，再根据点到直线的距离公式，弦长公式和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）设Q（x Q，y Q），∵焦点F（0，）以及△MFO的外接圆的圆心为Q，∴Q点的纵坐标为y Q＝，（Ⅱ）∵抛物线C的准线方程为y＝﹣，∴﹣（﹣）＝，解得p＝2，∴抛物线C的方程x2＝4y．（Ⅲ）可知M（2，1），F（0，1），O（0，0），∴△MFO为直角三角形，其外接圆圆心在MO的中点上，即Q的坐标为（1，），∴点Q到直线AB的距离d＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消y可得x2﹣4kx﹣2＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣2，∴|AB|＝•＝•，∴S△QAB＝|AB|•d＝＝2，解得k2＝2，即k＝±，∴直线l的方程为y＝±x+【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．22．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y＝﹣x与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为﹣，且直线l外的一点Q满足：⊥，⊥．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求点Q的轨迹；（Ⅲ）求△MNQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）先求出点M的坐标，根据离心率可得出a与b的等量关系，并将点M的坐标代入椭圆E的方程，可求出a和b的值，从而得出椭圆E的方程；（Ⅱ）设点Q（x，y），设点P（x0，y0），由题干中两个垂直条件转化为向量数量积为零，得到两个等式，通过变形后将两个等式相乘，再利用点P在椭圆E上，得到一个等式，代入可得出点Q的轨迹方程，同时通过分别讨论点P与点M或点N重合时，求出点Q 的坐标，只需在轨迹上去除这些点即可；（Ⅲ）求出点Q到直线l的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式可得出△MNQ 面积的最大值；或者利用结合相切法，考虑直线l的平行线与椭圆E相切，联立，利用△＝0，得出m的值，从而可得出点Q到直线l距离的最大值，利用三角新的面积公式可求出△MNQ面积的最大值；或者利用椭圆的参数方程，将点Q的方程设为参数方程形式，利用三角函数的相关知识求出点Q到直线l距离的最大值，结合三角形的面积公式可得出△MNQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）可知，又M在E上，所以，另外，所以可解得a＝2，，得E的方程为；（Ⅱ）由直线l与椭圆E相交于M、N两点，得知M、N关于原点对称，所以，设点Q（x，y），P（x0，y0），则，，，，由，，得，即，两时相乘得．又因为点P（x0，y0）在E上，所以，，即，代入，即．当时，得2x2+y2＝5；当时，则得或．此时，或，也满足方程2x2+y2＝5．若点P与点M重合，即．由，解得或．若点P与点N重合时，同理可得或．故所求点Q的轨迹是：椭圆2x2+y2＝5除去四个点、、、的曲线；（Ⅲ）因为点Q（x，y）到直线的距离，且易知，所以，△MNQ的面积为＝＝＝═＝．当且仅当时，即当或时，等号成立，所以，△MNQ面积的最大值为；（一）几何相切法：设l的平行直线，由，得，由△＝0得．可得此时椭圆2x2+y2＝5与l′相切的切点为、，易得△MNQ面积的最大值为（因为）．（二）三角换元法：由Q的轨迹方程2x2+y2＝5，设，，代入，∴．易得△MNQ面积的最大值为（因为）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程、动点的轨迹方程以及三角形的面积的计算，考查计算能力，属于难题．。