最新宁波九校联考高一数学试题
浙江省宁波市九校2024届高一上数学期末复习检测模拟试题含解析
故选：A.
3、B 【解析】根据函数的特征，建立不等式求解即可.
【详解】要使
f
x
ln 1 x
1 x
有意义，则
1 1
x x
0 0
x x
1
，所以函数
1
f
x 的定义域是
x, 1 1,1 .
故选：B 4、D
【解析】将 v0
11m
/
s，
g
10m
/
s2 代入 h
v0t
1 2
gt 2
，得出时间
t，再求间隔时间即可.
2
点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数
由 f x +f x 0 恒成立求解，（2）偶函数由 f x f x 0 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由
f 0 0 求解，偶函数一般由 f 1 f 1 0 求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
用时间为1s ．且最高点与最低点间的距离为10cm
（1）求小球相对平衡位置 高度 h （单位： cm ）和时间 t （单位： s ）之间的函数关系；
（2）小球在 t0s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0 的取值范围
19．已知函数 f x ax 2x 1（ a 0 ，且 a 1）. （1）求 f 0 的值，并证明 f x 不是奇函数；
f
x 在 R 上是增函数，若 a f
log2
1 5
，
b
f
log2 4.1， c
f
20.8
，则 a ， b ， c 的大小
关系为___________.
14．在区间[1, 2] 上随机取一个实数 x ，则事件"1 2x 2"发生的概率为_________.
浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题 Word版
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b -<- C ．22a b > D ．ac bc ≥ 2.在等差数列{}n a 中，563,2a a ==-，则348a a a +++等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.直线:10l x ky k -+-=与圆22:3C x y +=的位置关系为（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项都有可能4.已知ABC ∆的面积222()S a b c =-+，则cos A 等于（ ）A ．-4 BC． D． 5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ） AB ．1920C ．910D ．126.若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos2α=（ ） A ．79-B． CD．7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 … 4027 4029 40318 12 16 ... 8056 8060 20 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯ C ．201520162⨯ D ．201420162⨯8.已知关于x 的二次方程20ax bx c ++=(0,,)a b c R >∈在区间(0,2)内有两个实根，若1251044c a b c ≥⎧⎨++≥⎩，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．32 C ．94 D ．1625二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9.已知直线:210l x y +-=，则原点O 关于直线l 对称的点是 ；经过点(2,1)P 且纵横截距相等的直线方程是 .10.对正整数n 定义一种新运算“*”，它满足：①1*11=；②(1)*12(*1)n n +=，则2*1= ；*1n = . 11.已知1cos 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos β= ；2αβ+= .12.设实数,x y 满足24y x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则4z y x =-的取值范围是 ；4||z y x =-的取值范围是 .13.直线20(,0)mx ny m n -+=>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为 .14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当数列{}n a 的通项公式为*1,1n a n N n =∈+时，我们记实数λ为2n n S S -的最小值，那么数列1100n b n λ=-，*n N ∈取到最大值时的项数n为 .15.已知正实数,a b 满足21122a a b+=++，则a b +的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分14分）设函数2()f x x ax b =++，已知不等式()0f x <的解集为{|13}x x <<. （1）若不等式()f x m ≥的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）若()f x mx ≥对任意的实数2x ≥都成立，求实数m 的取值范围. 17. （本小题满分15分） 已知1tan()43πα+=. （1）求2sin 2cos 1sin 2ααα-+的值；（2）若α为直线l 的倾斜角，当直线l 与曲线:1C x =l 的纵截距b 的取值范围. 18. （本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c 满足cos 2cos B b aC c c+=. （1）求角C 的大小；（2）若边长c =2a b +的最大值. 19. （本小题满分15分）已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 与直线512210x y ++=相切，与y 轴交于,M N 两点，且120MCN ∠=.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，若设点G 为OAB ∆的重心，当MNG ∆时，求直线l 的方程.备注：ABC ∆的重心G 的坐标为(,)33A B C A B Cx x x y y y ++++.20. （本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足11a =，2(1)n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21{}(2)n a +的前n 项和为n A ，求证：对任意正整数n ，都有12n A <成立； （3）数列{}n b 满足1()2nn n b a =，它的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，使得不等式11(2)22n n n nn T λ---<+-成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题 BCADC DBD 二、填空题9. 24(,)55；30x y +-=或20x y -= 10. 12,2n -11.7,9π 12. [6,24],[8,4]-- 13.9214. 34 15.1,)2+∞ 16.解：已知()0f x =，解为1,3，则1313a b +=-⎧⎨∙=⎩ 43a b =-⎧⇒⎨=⎩（1）22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以min ()1m f x ≤=-，（2）24334x x m x x x-+≤=-+恒成立，17.（1）tan()tan144tan tan[()]4421tan()tan 44ππαππααππα+-=+-==-++ 故22222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 181sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan ααααααααααααα---===-+++++ （2）由题意可知直线1:2l y x b =-+，而曲线C 为圆22(1)(1)1x y -+-=的一部分（右半圆），当直线l 与圆22(1)(1)1x y -+-=1|1|1b +-<，故可得b <<. 又曲线C 如图所示，当直线l 过点(1,2)时，min 52b =， 所以参数b的取值范围是52b ≤<. 18.（1）因为cos 2cos B b aC c c+=，故cos sin sin cos 2sin cos B C B C A C +=. 也即sin 2sin cos A A C =，又sin 0A ≠， 所以1cos 2C =， 又(0,)C π∈，故3C π=.（2）2(sin 2sin )sin ca b A B C+=+ 2[sin()2sin ]B C B =++12[sin 2sin ]2B B B =++5sin B B =+令cos ϕ=，sin ϕ=，则2)a b B ϕ+=+当2B πϕ+=时，max (2)a b +==.另解：由余弦定理可知：2222cos a b ab C =+-即223a b ab =+-， 故2221173525(2)3(35)7(35)()(2)77228b b a a b b a b b b a a b +++-=+=⨯+≤⨯=+所以(2)a b +≤，当735b b a =+时，即45a b =时，max (2)a b +== 19.（1）解：由题意知圆心(,0)C a ，且0a >，由0120MCN ∠=知Rt MCO ∆中，60MCO ∠=，||OC a =，则||2CM a =， 于是可设圆C 的方程为222()4x a y a -+= 又点C 到直线512210x y ++=的距离为|521|213a d a +==， 所以1a =或2131a =-（舍）， 故圆C 的方程为22(1)4x y -+=. （2）MNG ∆的面积1|||||2G G S MN x x === 所以||1G x =，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则1203G x x x ++=，即123G x x x +=， 当直线l 斜率不存在时，ABO ∆不存在，故可设直线l 为2y kx =+，代入圆C 的方程22(1)4x y -+=中，可得22(1)(42)10k x k x ++-+=，则22122(1)(42)104003241k x k x k k k x x k ⎧⎪++-+=⎪⎪∆>⇒<>⎨⎪-⎪+=⎪+⎩或所以22431k k -=+或22431kk-=-+得1k =-或13k =-，故满足条件的直线l 的方程为2y x =-+或123y x =-+.20. （1）22n n n S a a =+， 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+， 两式相减得：22112n n n n n a a a a a --=-+-，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 为正项数列，故10n n a a -+≠，也即11n n a a --=， 所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为*,n a n n N =∈.（2）1234n n A a a a a a =+++++22222111113456(2)n =+++++ 1111111111()()()()()2334455612n n <-+-+-+-++-++ 111222n =-<+ 所以，对任意正整数n ，都有12n A <成立.（3）易知2n n nb =，则23111111123(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①231111111112(2)(1)222222n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯② ①-②可得：2111111121222222n n n n n T n +++=+++-⨯=-故222n n n T +=-所以不等式112(2)222n n n λ---<--成立，若n 为偶数，则1122222n n n λ---<--，所以211112()122n n λ-->-⨯++设111(0,]22n t -=∈，则2221(1)y t t t =-++=-在1(0,]2单调递减，故当12t =时，min 14y =所以14λ>若n 为奇数，则1122222n n n λ--<--，所以211112()122n n λ--<⨯--设11(0,1]2n t -=∈，则2221(1)y t t t =--=--在(0,1]单调递增，故当1t =时，max 0y = 所以0λ<综上所述，λ的取值范围0λ<或14λ>.。
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝165．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．29．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．参考答案一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）故选：A．2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为＝，故选：C．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立．故选：D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．解：sin2θ＝﹣，则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣．故选：D．6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求．解：在等差数列{a n}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即；在等比数列{b n}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．∴．∴＝sin．故选：C．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sin A≠0，sin C≠0，可得cos B＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状．解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，∴sin A sin（B﹣C）＝sin2A，∵A为三角形内角，sin A≠0，∴sin（B﹣C）＝sin A，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，∴2cos B sin C＝0，∵C为三角形内角，sin C≠0，∴可得cos B＝0，∵B∈（0，π），∴B＝，△ABC是直角三角形．故选：C．8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．2【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立，即4a2+b2的最小值为；故选：B．9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．【分析】作出函数f（x）的图象，由|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1可得出a≤f（x）≤a+1，即函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数a的取值范围．解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为1．【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值．解：直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，显然a≠4，＝≠，解得a＝1，故答案为：1．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．解：cosα＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，则α∈（0，），则sinα＝，tanα＝，∵cosβ＝﹣，∴sinβ＝，则tanβ＝﹣，则tan（α+β）＝＝＝＝，故答案为：，13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝2n，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，解得a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得a n＝2a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以b n＝log2a n＝，故，故＝1﹣．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是y＝±x+2．【分析】由题意画出图形，可知所求直线的斜率存在，设出直线方程，再由圆心到直线的距离等于列式求得k，则答案可求．解：如图，圆C：x2+y2＝32的半径为，所求直线过点（0，2），当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则O到l的距离为．∴，解得k＝±1．∴直线l的方程是y＝±x+2．故答案为：y＝±x+2．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x+y＝1，所以x+1+y+2＝4，则＝（）[（x+1）+（y+2）]＝[5++]＝+[+]≥+×2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，故答案为：．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是[2，]．【分析】由AB及AB边上的高CD，联想到三角形的面积公式，然后结合余弦定理构造出＝sin C+cos C的函数，转化为函数的值域问题．解：由已知A，B，C所对的边分别是a，b，c，设CD＝h．因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c．所以．所以，即c2＝2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，两边同除以ab得：，当且仅当时取等号，又，当且仅当a＝b时取等号．所以．故答案为：[2，]．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．所以，整理得，解得，所以a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+1，（2）由（1）得数列{c n}满足＝2n+1+22n+1，所以＝2n+3+n2+2n﹣8．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数的周期和单调区间即可；（2）结合条件，利用余弦定理求出cos B的取值范围，进而得到B的取值范围，即可求解f（B）的取值范围．解：＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥c，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）在[1，2]递减，在[2，6]递增，求得f（x）的值域，可得|f（x）|的最大值，由题意知只需|f（x0）|max≥a成立，然后求出a的范围；（2）由题意可得m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，只需求得1+﹣在x∈（﹣∞，0]上的最小值，结合指数函数的单调性，可得所求最小值，进而得到所求范围．解：（1）函数在[1，2]递减，可得f（x）∈[﹣2，﹣1]，在[2，6]递增，可得f（x）∈[﹣2，]，则|f（x）|在[1，6]的最大值为2，由题意可得|f（x0）|max≥a成立，即a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]；（2）不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，可得e x+﹣6≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，化为m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，由y＝e x，（0＜y≤1），可得≥1，1+﹣＝4（﹣）2﹣的最小值为4（1﹣）2﹣＝﹣1，则m≤，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．【分析】（1）设弦AB的中点为M，可得OM⊥MP，由数量积＝0，可得M的轨迹方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M的坐标，代入|MN|＝|OM|，构造关于k的方程，解出k的值，进一步求得|AB|与Q到直线的距离，则△QAB的面积可求．解：（1）设点M（x，y），∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，又∵＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），∴x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0（﹣＜x＜2）；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立，得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设中点M（x0，y0），则，①代入直线l的方程得，②又由|MN|＝|OM|，得，化简得，将①②代入得k＝3．∵圆心到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝，Q到直线l的距离h＝．∴，即△QAB的面积为．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．【分析】（1）推导出，从而a n+1﹣2＝，从而a n+1﹣2与a n﹣2同号，进而a n﹣2与a1﹣2同号，由此能求出a n＜2．（2）由，得1≤a n＜2，从而2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，由此能证明S n＞2n﹣5．解：（1）解：∵正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．∴，∴﹣2＝＝，∵正项数列{a n}中，a n＞0，∴2a n+3＞0，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n﹣2与a1﹣2同号，∵a1﹣2＝﹣1＜0，∴a n﹣2＜0，∴a n＜2．（2）证明：由（1）知，∴﹣＝，∴与同号，也与同号，∴1≤a n＜2，∴＝＝≤，∴2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，∴2n﹣S n＝≤5[1﹣（）n]＜5，∴S n＞2n﹣5．。
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷附答案解析
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{21}A x Ux =∈-≥‖∣则UA （ ）A ．{13}x x <<∣B ．{13}xx ≤≤∣ C ．{2}D ．{}1,2,3-2．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，251log 3c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移一个单位后，所得图象对应的解析式为12y x =，若()02f x =，则0x =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知[0,2]απ∈，点(1,tan 2)P 是角α终边上一点，则α=（ ） A ．2B ．2π+C ．2π-D ．2π+或25．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长13%，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）(参考数据：lg 20.3≈，lg1.130.053≈) A ．2027年B ．2028年C ．2029年D ．2030年6．函数2()4xx f x a=-(其中a 为实数)的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．1tan50sin 20-︒=︒（ ） ABCD ．38．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的,(1,1)x y ∈-，均有()[1()()]()()f x y f x f y f x f y +-=+.若1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（ ）(e 是自然对数的底数)A． B．1e ⎛ ⎝C． D．1)e e ⎛⋃ ⎝二、多选题9．已知a 、b 均为实数，则“a b >”成立的必要条件可以是（ ） A ．a b > B ．1a b -<- C ．33a b >D ．11a b< 10．已知函数()()()4sin 10,f x x ωϕωϕπ=+->≤为偶函数，点()1,1A x -、()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的有（ ） A ．2πω=B ．2ϕπ=C ．()11f =-D ．()f x 在区间[]111,1x x -+上单调递增11．关于函数22cos ,02()log 2,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨-+>⎩，下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 是周期为2的周期函数 B ．(2)2f =C ．不等式()1f x >的解集是150,,233⎫⎡⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎝⎦⎭D ．若存在实数,,()a b c a b c <<满足()()()f a f b f c ==，则16a b c c+++的取值范围是[10,19)12．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有()(1)f x f x =-+.设()()g x x f x =+，且当01x ≤≤时，()g x 的值域为[0,1]，则下列说法正确的有（ ） A ．()f x 的图象关于直线32x =-轴对称B ．()f x 在[0,2]内至少有5个零点C ．()f x 的图象关于点(1,0)中心对称D ．()g x 在[0,3]上的值域为[0,3]三、填空题13．计算21log 32+=___________.14．已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则cos α=___________.15．已知a ，b ，c 均为正实数，满足2ac bc ab +=，则a bc+的最小值是___________.16．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}124xA x =<<，集合1,,aB y y x x a ⎧⎫⎛⎫==∈+∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）当1a =时，求()U A B ∩； （2）若A B A =，且UAB U ，求实数a 的值.18．已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的单调递增区间和最值；（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.19．已知关于x 的不等式()24(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A .（1）写出集合A ；（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.20．如图所示，摩天轮的半径为50m ，最高点距离地面高度为110m ，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min .甲，乙两游客分别坐在P ，Q 两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).（1）求劣弧PQ 的弧长l (单位：m )；（2）设游客丙从最低点M 处进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少85m 的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 21．已知函数2()lnx f x x -=，1()4212x x m g x m +=+-+. （1）根据定义证明函数()f x 是减函数；（2）若存在两不相等的实数a ，b ，使(1)(1)0f a f b +++=，且()()0g a g b +=，求实数m 的取值范围.22．设函数2()||f x ax x a =--，a ∈R . （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当12a -≤≤时，若对任意的[1,3]x ∈，均有()0f x bx +≤成立，求2a b +的最大值.参考答案1．C【分析】先求出集合A，再根据补集定义即可求出.【详解】{0,1,2,3,4}U=，{}21={1A x U x x U x∴=∈-≥∈≤或}{}30,1,3,4x≥=，{}2UA∴=.故选：C.2．A【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性可得三者的大小关系.【详解】因为25y x=在()0,∞+上为增函数，故25251325⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭即a b<，而25logy x=在()0,∞+上为减函数，故225512log log log135>=，故1c>，因为25xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在R上为减函数，故2522155⎛⎫⎛⎫<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1b<，故a b c<<.故选：A.3．B【分析】先求出()f x的解析式，再解方程()02f x=后可求x的值.【详解】由题设可得()12()1f x x=+，令()1200()12f x x=+=，故03x=，故选：B.4．B【分析】根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，从而可得α. 【详解】 因为22ππ<<，故cos20<，因为(1,tan 2)P 是角α终边上一点，故11cos 2cos 2OP =-， 故()1cos cos 2cos 21cos 2απ==-=+-，而()tan 2sin sin 2sin 21cos 2απ==-=+-，故α与2π+的终边相同，而[]20,2ππ+∈，故2απ=+. 故选：B. 5．D 【分析】根据题设条件得到从而2020年起第n 年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项. 【详解】设2020年起第n 年投入的研发资金为()f n （2020年为第一年），则()()125010.13n f n -=+，即()12501.13n f n -=⋅，令12501.13800n -⋅>，故16lg5lg 21519.43lg1.13lg1.13n -->=≈，故11n ≥. 故2030年第一次研发资金超过800. 故选：D. 6．C 【分析】取0a =可判断排除D ，再根据图象的对称性可求a 的值，讨论相应的函数性质后可得正确的选项. 【详解】若0a =，则21()402xx x f x ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故D 中图象符合，排除D.AC 中对应的函数的定义域为{}|0x x ≠，故040a -=，故1a =，此时1()22x x f x -=-，而()1()22x xf x f x --==--，故()f x 为奇函数， 且当0x >时，22x x y -=-为增函数，故()f x 在()0,∞+上为减函数，故A 中图象符合，排除A ，C 中图象不符合.B 中对应的函数的定义域为R ，且为偶函数，故0a <，因为()22()44x x x xf x f x a a ---===--，故()()1220x xa -++=，故1a =-， 此时12()2x x f x +-=，当0x >时，21x >，故12222x x xxy -=+=+为()0,∞+上的增函数， 所以12()2x x f x +-=为()0,∞+上的减函数，B 中图象符合，排除B. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数图象的识别，一般从函数的定义域，奇偶性、单调性和特殊点处的函数的正负去讨论. 7．A 【分析】根据三角恒等变换对应的公式，将原式逐步化简整理，即可得出结果. 【详解】11sin 501cos 4020cos 40tan 50sin 20sin 20cos50sin 20sin 402sin 20cos 202cos sin 40︒︒︒︒-︒=-=-=-︒︒︒︒︒︒︒︒()4040cos 406040cos 4020cos 40sin 40sin 40sin 40sin 12cos 22cos 402cos ︒︒-︒︒-︒-︒︒︒=-==︒︒⎛⎫ ⎪⎝︒⎭︒==故选：A 8．B 【分析】先讨论()f x 在(1,1)-上的单调性，从而得到11ln 2x -<<，求出其解后可得正确的选项. 【详解】令1,0,2x y == 则102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且111()[1()(0)]()(0)222f f f f f -=+，整理得到21()(0)(0)2f f f -=，若()00f ≠，则21()12f -=，这与21()02f -≤，矛盾，所以()00f =，令y x =-，则(0)[1()()]()()0f f x f x f x f x --=+-=即()()f x f x -=-， 故()f x 为(1,1)-的奇函数，设1201x x ，故212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x ---=+-， 即212121()[1()()]()()f x x f x f x f x f x -+=-，因为2101x x <-<，故21()0f x x ->，而21()0,()0f x f x >>， 故211()()0f x f x +>即21()()0f x f x ->， 所以故()f x 为(1,1)-的增函数，因为1(ln )2f x f ⎫⎛< ⎪⎝⎭，故11ln 2x -<<即1x e <<故选：B. 【点睛】方法点睛：抽象函数的性质，一般依据已有的运算性质来推理，对于奇偶性的探究，需采用赋值法来求()0f 的值，这样才能实现()f x 与()f x -的联系，而单调性的探究，则需根据定义来证明. 9．ABC 【分析】根据必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由绝对值的性质可知，若a b >，则a a b ≥>，A 选项合乎要求； 对于B 选项，若a b >，则1a b b -<-<-，B 选项合乎要求； 对于C 选项，若a b >，则a 、b 不同时为零，可得()()()2233223024b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则33a b >，C 选项合乎要求；对于D 选项，若a b >，取0a b >>，则11a b>，D 选项不合乎要求. 故选：ABC. 10．AC 【分析】求出函数()f x 的最小正周期，可求出ω的值，可判断A 选项的正误；根据函数()f x 为偶函数可求出ϕ的值，可判断B 选项的正误；求出()1f 的值，可判断C 选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，点()1,1A x -、()2,1B x -是()f x 图象上的两点， 可得()()12sin sin 0x x ωϕωϕ+=+=，若12x x -的最小值为2，则函数()f x 的最小正周期为224T =⨯=，22T ππω∴==，A 选项正确；对于B 选项，()4sin 12x f x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 由于该函数为偶函数，则()022k k Z ππϕπ⨯+=+∈，可得()2k k Z πϕπ=+∈， πϕπ-≤≤，2πϕ∴=±，B 选项错误；对于C 选项，若2ϕπ=，则()4sin 14cos 1222x x f x πππ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，则()11f =-； 若2πϕ=-，则()4sin 14cos 1222x x f x πππ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则()11f =-.C 选项正确； 对于D 选项，取2ϕπ=，则()4cos12xf x π=-， 取11x =，则[][]111,10,2x x -+=，当02x ≤≤时，02xππ≤≤，此时，函数()f x 在区间[]111,1x x -+上单调递减，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】结论点睛：函数()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,的性质：（1）奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数()sin y A ωx φ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数()sin y A ωx φ=+为偶函数；（2）周期性：()sin y A ωx φ=+存在周期性，其最小正周期为2T πω=；（3）单调性：根据sin y t =和()0t x ωϕω=+>的单调性来研究，由()2222k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由()32222k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间；（2）对称性：对称中心：利用sin y x =的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k Z ωϕπ+=∈，求得x ；对称轴：利用sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴． 11．BCD 【分析】根据()f x 函数解析式的形式分段讨论后可得正确的选项. 【详解】因为当2x >时，()2log 2f x x =-+，故()22cos2π2f ==，()24log 420f =-+=，故()f x 不是周期为2的周期函数，故A 错误，且B 正确.()1f x >等价于022cos 1x x π≤≤⎧⎨>⎩或22log 21x x >⎧⎨-+>⎩（无解），解得150,,233x ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故C 正确.()f x 的图象如图所示：在[]0,2上，()f x 的图象的对称轴为1x =，因为()()()f a f b f c ==且a b c <<，故2a b +=且2>c ， 又()2f c >-，故2log 22c -+>-，故216c <<，所以161622c c c c++=++， 由双勾函数的性质可得16817c c ≤+<，故[)1610,19a b c c+++∈，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的范围问题、方程的解等问题. 12．ACD 【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错. 【详解】由()f x 为奇函数，()(1)f x f x =-+，(1)()()f x f x f x ∴+=-=-且()(1)[(2)](2)f x f x f x f x =-+=--+=+，故函数关于直线12x =对称，且周期2T =， 故函数关于直线32x =-对称，且关于点(1,0)中心对称，故A 、C 选项正确；即(0)(1)(2)0f f f ===，故()f x 在[0,2]内至少有3个零点，B 选项错误； 又()()g x x f x =+，故函数()g x 为奇函数，当01x ≤≤时，()g x 的值域为[0,1]， 所以当10x -≤≤时，()g x 的值域为[1,0]-，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()()222g x x f x x f x =+=-+-+的值域为[1,2]， 当23x ≤≤时，021x ≤-≤，()()()()222g x x f x x f x =+=-+-+的值域为[2,3]， 综上当[0,3]x ∈时，()g x 的值域为[0,3]，D 选项正确； 故选：ACD. 【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性． 13．6 【分析】根据对数的性质可得所求的结果. 【详解】221log 3log 3222236+==⨯⨯=,故答案为：6.14．【分析】先求出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦可求cos α.【详解】 因为0απ<<，故5444πππα<+<，若442πππα<+≤sin 14απ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭35>， 故442πππα<+≤不成立，而3sin 045πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，故24ππαπ<+<，所以4cos 45πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以cos cos 4444⎡ππ⎤ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫α=α+-=α+α+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故答案为：15．3+【分析】由2ac bc ab +=，得21c cb a +=，再根据基本不等式“1”的代换求得a bc +的最小值. 【详解】由2ac bc ab +=，得21c cb a+=，22333a b a b c c a b c c c b a b a +⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2a bb a=，即a =时取等号，故答案为：3+【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 16．(),4-∞- 【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解.先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下， 由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.17．（1）{}12x x ≤<；（2 【分析】先解不等式化简集合A ，根据反比例函数单调性，得到{}20B y y a =<<；（1）再由1a =，化简集合B ，根据交集和补集的概念，即可得出结果； （2）根据题中条件，得到A B =，进而可求出结果. 【详解】因为{}{}12402xA x x x =<<=<<，a y x =在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，由定义域可得a>0, 则{}21,,0a B y y x y y a x a ⎧⎫⎛⎫==∈+∞=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（1）若1a =，则{}01B y y =<<，所以{0U B x y =≤或}1y ≥， 因此(){}12U A B x x ⋂=≤<； （2）因为A B A =，所以A B ⊆；又UABU ，所以B A ⊆，因此A B =，所以有22a =，解得a =a>0，则实数a 18．（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 30,2f x f x ==；（2）3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，12sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭，2cos sin cos 2x x x x ++，112cos 222x x ++， 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 ,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()min max 30,2f x f x ==.（2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点， 所以()f x a =有且仅有一个零点，即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点， 如图所示：由图象知：32a =或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．19．（1）见解析；（2）34k -≤<-或13k -<≤-+【分析】（1）就0k =、0k <、02k <<、2k =、2k >分类讨论后可得不等式的解集.（2）根据（1）可得0k <，结合解集中整数解的个数可得24650k kk ⎧+-≤<-⎪⎨⎪<⎩，从而可得k 的解. 【详解】（1）若0k =，则原不等式等价于40x -<，故{}4|=<A x x .若0k <，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫--< ⎪⎝⎭，因为244k k +<，故24|4k A x x k ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭. 若02k <<或2k >，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫--> ⎪⎝⎭，因为244k k+>，故{|4A x x =<或24}k x k +>， 若2k =，则原不等式等价于2(4)0x ->，故{}|4A x x =≠.（2）由（1）可得0k <且24|4k A x x k ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭， 因为集合A 中恰有9个整数，故24650k kk ⎧+-≤<-⎪⎨⎪<⎩即225406400k k k k k ⎧++>⎪++≤⎨⎪<⎩解得34k -≤<-或13k -<≤-+【点睛】思路点睛：含参数的不等式的解，注意先考虑二次项系数的正负，再考虑两个的大小关系，结合不等式的方向可得不等式的解集. 20．（1）252m π；（2）50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤；（3）5min 2. 【分析】（1）根据弧长的计算公式可求PQ 的长度.（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用三角函数的定义可求H 关于时间t 的函数解析式.（3）利用（2）中所得的解析式并令85H ≥，求出不等式的解后可得甲，乙两位游客都有最佳视觉效果的时间长度. 【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为22412ππ=， 故25350122lm ππ. （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设sin()H A wx B ϕ=++，由题意知，12T =，所以26w T ππ==， 又由50,1105060A r B ===-=，所以50sin()606H x πϕ=++，当0x =时，可得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-，故H 关于时间t 的函数解析式为50sin()6062H x ππ=-+，其中012t ≤≤.（3）令50sin()608562H x ππ=-+≥，即1sin()622x ππ-≥，令522,6626k x k k Z ππππππ+≤-≤+∈，解得412812,k x k k Z +≤≤+∈， 因为甲乙两人相差3312min 242⨯=， 又由354min 22-=，所以有5min 2甲乙都有最佳视觉效果. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题；2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 21．（1）见解析；（2）254163m -<≤-. 【分析】（1）利用减函数的定义证明即可.（2）先根据(1)(1)0f a f b +++=得到=-a b 且11a -<<，从而()()0g x g x +-=在()1,1-上有解，利用换元法及参变分离可得221t m t -=-在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，最后利用基本不等式可求m 的取值范围. 【详解】（1）由题设可得20xx->，故02x <<，故()f x 的定义域为()0,2. 设1202x x <<<，则()122121212112222()ln ln ln 2x x x x xf x f x x x x x x ----=-=-， 因为()()212112212220x x x x x x x x ---=->，故21211222x x x x x x ->-， 而()11212220x x x x x -=->，故212112212x x x x x x ->-，所以2121122ln 02x x xx x x ->-，故()12()f x f x >即()f x 在()0,2上为减函数. （2）因为(1)(1)0f a f b +++=，11ln ln 011a ba b --+=++， 所以11111a ba b --⨯=++即=-a b . 又012a <+<，故11a -<<，同理11b -<<.()()0g a g b +=等价于()()0g x g x +-=在()1,1-上有解，又()()0g x g x +-=可整理为()4422220x x x xm m --++-+=+①，令()22,1,1x xt x -=+∈-，则52,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭且①可化为220t mt m +-=，所以220t mt m +-=在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，故221t m t -=-在52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭有解，令21s t =-，则12s t +=且[)3,4s ∈，()22111122144s t s t s s +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， 因为16125234s s ≤++<，故242532116t t ≤<-，故 254163m -<≤-.【点睛】思路点睛：（1）函数单调性的证明，需结合定义来展开.（2）复杂方程的解的讨论，一般利用换元法将复杂方程转化为含参数的一元二次方程，后者可利用参变分离来求参数的取值范围，换元时注意范围的传递性.22．（1）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；（2）4. 【分析】（1）当0a =时，利用定义可得()f x 为偶函数，当0a ≠时，利用反例可得 ()f x 为非奇非偶函数.（2）原不等式等价于x a b ax x-≤-+在 [1,3]恒成立，令()x ag x ax x -=-+，求出 ()g x 的最小值后可得b 满足的不等式，从而得到2a b +的不等式，由此可求2a b +的最大值.【详解】（1）若0a =，则()||f x x =-，此时 ()()||||f x x x f x -=--=-=， 又()f x 的定义域为R ，故()f x 为偶函数.若0a ≠，则()33(2),f a a f a a a -==-，但 ()()f a f a ≠-，故()f x 不是偶函数，又(0)||0f a =≠，故()f x 不是奇函数.故当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时， ()f x 为非奇非偶函数. （2）因为对任意的[1,3]x ∈，均有()0f x bx +≤， 故()x a f x b ax x x-≤-=-+在 [1,3]上恒成立. 令()x ag x ax x-=-+， [1,3]x ∈，若11a -≤<，则()111a g x ax a x x x ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，因为[1,3]x ∈，故11023x x ≤+≤， 当10a -≤<时，()min 21g x a =-+，故 21b a ≤-+， 故22214a a b a -+≤≤+，当且仅当 1,3a b =-=时等号成立. 若01a ≤<，()min 1013g x a =-+，故 1013b a ≤-+， 故2210131a b a a +≤+≤-，当且仅当 0,1a b ==时等号成立. 当12a ≤≤时，()[][]1,,31,1,a ax x a xg x a ax x a x ⎧-+-∈⎪⎪=⎨⎪-+-∈⎪⎩，当1x a ≤≤时，()11g x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，该函数在 []1,a 上为减函数，当3a x ≤≤，()11g x a x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，该函数在 [],3a 上为减函数，故()min 1013ag x =-+， 故1013b a -≤+，所以22210516413393a b a a a ⎛⎫+≤-+=--≤- ⎪⎝⎭， 当且仅当71,3a b ==-时等号成立，故2b a +的最大值为4. 【点睛】思路点睛：（1）函数奇偶性的证明，一般依据定义来处理，说明一个函数不是奇函数或偶函数，可通过反例来说明.（2）含绝对值的不等式的恒成立问题，优先利用参变分离的方法，多变量代数式的最值问题，应用通过相等关系或不等式消元转化为一元函数的最值问题.答案第17页，共17页。
2025届浙江省宁波市九校(余姚中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届浙江省宁波市九校（余姚中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．493．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥6．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（ ）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．858．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥9．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2711．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z =1+3i1−2i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．﹣iD ．﹣12．在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（ ）A ．−35B ．35C ．−45D ．453．设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD ．若α∥β，l ∥α，则l ∥β4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，则其内切球表面积为（ ） A ．3πB ．√3πC ．(3−2√2)πD ．(√2−1)π5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 176．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√367．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)210．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√611．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√2412．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 ．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= ．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是 ．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n=(n −1)⋅2n+1+2．（1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式； （3）设T n 是数列{2n−1b 2n −b n }的前n 项和，求证：T n ＜76．2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+3i1−2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．1B．i C．﹣i D．﹣1解：z=1+3i1−2i=(1+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+i，则z=−1−i，其虚部为﹣1．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（）A．−35B．35C．−45D．45解：由三角函数定义有sinα=−3 5，所以cos（α−π2）＝sinα=−35．故选：A．3．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．若α∥β，l∥α，则l∥β解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3πB．√3πC．(3−2√2)πD．(√2−1)π解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，所以AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ， 设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ，则V ABCD =V O−ABC +V O−ABD +V O−ACD +V O−BCD =13r(S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD )， 所以r =3V ABCDS ABCD，因为四面体ABCD 的表面积为S ABCD =S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD =1+√2， 又因为四面体ABCD 的体积V ABCD =13×12×1×1×1=16， 所以r =3VABCD S ABCD =√2−12，所以内切球表面积S =4πr 2=(3−2√2)π． 故选：C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 17解：因为等比数列{a n }的前n 项积为T n ， 若T 7＞T 9＞T 8，故1＞a 8a 9，a 9＞1，a 8＜1；所以a 1⋅q 8＞1，所以a 1＞0，0＜q ＜1；所以T 16=a 1⋅a 2⋅...⋅a 15⋅a 16=(a 8a 9)8＜1，T 17=a 1⋅a 2⋅...a 16⋅a 17=a 917＞1． 故选：D ．6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√36解：如图，取A 1C 1的中点E ，连接DE ，CE ，又D 是A 1B 1的中点， ∴DE ∥B 1C 1，且DE =12B 1C 1， 又B 1C 1∥BC ，且B 1C 1＝BC ， ∴DE ∥BC ，且DE =12BC ，∴过B ，C ，D 三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED ， ∴所求体积为：V 三棱柱ABC−A 1B 1C 1−V 三棱台A 1DE−ABC =12×2×2×√32×2−13×(12×1×1×√32+12×2×2×√32+√34×√3)×2 =2√3−7√36=5√36． 故选：B ．7．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB ＝4， 则A （﹣2，0），B （2，0），C （a ，b ），P （0，0），P 0（x ，0），所以PB →=（2﹣x ，0），PC →=（a ﹣x ，b ），P 0B →=（2，0），P 0C →=（a ，b ）， 因为恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（2﹣x ）（a ﹣x ）≥（2a ， 整理得x 2﹣（a +2）x ≥0恒成立，故Δ＝（a +2）2≤0，即a ＝﹣2，此时BA ⊥AC ， 所以∠A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 故选：A ．8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25解：因为C =23π，AC ＝1，BC ＝2，所以由余弦定理可得AB =√AC 2+CB 2−2AC ⋅CBcosC =√7，由正弦定理可得AC sinB =ABsinC，即sinB =ACsinC AB =1×√327=√2114，又B 为锐角，所以cosB =√1−sin 2B =5√714，设CM ＝BM ＝x ，则CM 2＝CB 2+BM 2﹣2CB •BM cos C ， 即x 2=4+x 2−10√77x ， 解得x =2√75，即BM =25AB ， 所以AM =35AB =3√75，则S △AMC =35S △ABC =35×12×1×2×√32=3√310，又cos ∠AMC =AM 2+CM 2−AC22AM⋅CM =6325+2825−12×3√75×2√750， 则∠AMC 为锐角，所以△AMC 的三个内角均小于120°， 则P 为三角形的正等角中心， 所以S △AMC =12|PA →|⋅|PM →|sin 2π3+12|PM →|⋅|PC →|sin 2π3+12|PA →|⋅|PC →|sin 2π3 =√34(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|)=3√310， 所以|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|=65，所以PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=|PA →|⋅|PM →|cos 2π3+|PM →|⋅|PC →|cos 2π3+|PA →|⋅|PC →|cos 2π3=−12(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA|⋅|PC|)=−12×65=−35． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)2解：对于A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →，不能得出a →∥c →，选项A 错误；对于B ，|（a →•b →）c →|＝|（|a →||b →|cos ＜a →，b →＞|c →|）|≤|a →||b →||c →|，当且仅当a →与b →共线时取“＝”，所以选项B 正确；对于C ，a →⊥(b →−c →)时，a →•（b →−c →）＝0，即a →⋅b →=a →⋅c →，选项C 正确；对于D ，（a →•b →）•b →是数乘向量，与b →共线的向量，a →•(b →)2也是数乘向量，与a →共线的向量，所以等式不成立，选项D 错误． 故选：BC ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√6解：对于A ，f （x ）＝sin ωx +2cos （ωx +π3）＝（1−√3）sin ωx +cos ωx =√5−2√3sin （ωx +φ），其中tan φ=11−3=−1+√32，若f （x ）的最小正周期为π，则ω=2ππ=2，选项A 正确； 对于B ，△ABC 中，A ＞B 得出a ＞b ，充分性成立，a ＞b 也能得出A ＞B ，必要性成立，是充要条件，选项B 正确；对于C ，若2a ，2b ，2c 成等差数列，则2•2b ＝2a +2c ，所以2＝2a ﹣b +2c ﹣b ，所以a ﹣b ＝c ﹣b ＝0，即a ＝b ＝c ，所以选项C 错误；对于D ，△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√2S 直观图＝2√2×√34×22=2√6，选项D 正确． 故选：ABD ．11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24解：对A 选项，∵SD 在底面的射影为CD ，而CD 与AD 夹角始终为锐角， ∴AD 与AD 不垂直，∴根据三垂线定理可知AD 与SD 不垂直，∴A 选项错误； 对B 选项，若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 的高为SO ＝1，当AO ⊥DO 时，三角形AOD 的面积取得最大值为12×1×1=12，此时三棱锥S ﹣AOD 体积取得最大值为13×12×1=16，∴B 选项正确；对C 选项，∵AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径， ∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线，∴C 选项正确； 对D 选项，若∠ABD =π6，则∠AOD =π3，设圆锥的底面圆半径为r ， ∴SA →⋅OD →=(OA →−OS →)⋅OD →=OA →⋅OD →−OS →⋅OD →=r ×r ×cos π3−0=r 22，又易知|SA →|=√2r ，|OD →|＝r ，∴cos ＜SA →，OD →＞=SA →⋅OD →|SA →||OD →|=r 22√2r×r=√24，∴异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24，∴D 选项正确． 故选：BCD ．12．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）解：对于选项A ：因为a n+12−4a n+1=a n 2−3a n ，所以（a n +1﹣4）a n +1＝（a n ﹣3）a n ， 整理得a n +1=(a n −3)a na n+1−4，所以a n a n +1=(a n −3)a n 2a n+1−4≥0，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设f （x ）＝x 2﹣4x ，因为a n+12−4a n+1=a n 2−4(34a n )≥(34a n )2−4(34a n )，可得f(a n+1)≥f(34a n )， 而f ′（x ）＝2x ﹣4＝2（x ﹣2），当x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ，故选项B 错误； 对于选项C ：由A 可知所有a n 同号，①当a 1＝0 时，对于任意正整数n ，都有a n ＝0；②当0＜a 1＜2时，0＜a n ＜2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＞f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减， 所以对于任意正整数n ，都有a n +1＜a n ；③当a 1＜0时，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＜f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n ，都有a n +1＞a n ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ， 当a 1＝1时，a n ≤（34）n ﹣1，所以S 2022≤∑ 2022k=1（34）k ﹣1=1−(34)20221−34=4[1﹣（34）2022]＜4，因为当a 1＝1时，0＜a n ≤1，又a 22−4a 2+2＝0，解得a 2＝2−√2＞12， 所以S 2022＞S 2＞32，则S 2022∈（1，5，4），故选项D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 12√2 ．解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r ，所以2πr =2π3×30，可得r ＝10， 因此该圆锥的高为h =√302−102=20√2， 故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高为1230ℎ=25×20√2=8√2，因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致， 则该几何体的高为20√2−8√2=12√2． 故答案为：12√2．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= 1 ．解：等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3， 所以公差d ＝a 9﹣a 8=π3， 则cosa 5+cosa 7cosa 6=cos(a 6−π3)+cos(a 6+π3)cosa 6=2cosa 6cosπ3cosa 6=1．故答案为：1．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是125．解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，建立如图所示的坐标系，由题意可知A （4，0，0），B （0，3，0），C （0，0，0），B 1（0，3，3），设P （x ，y ，3）， 则BP →=（x ，y ﹣3，3），AB 1→=（﹣4，3，3），BP ⊥AB 1， 可得：﹣4x +3y ﹣9+9＝0，即4x ﹣3y ＝0．直线A 1B 1的方程：3x +4y ＝12，{3x +4y =124x −3y =0，可得x =3625，y =4825，所以D （3625，4825），动点P 的轨迹为线段C 1D ，长度为：√(3625)2+(4825)2=12×525=125． 故答案为：125．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 278 ．解：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3，∴|a →||b →|=6， ∵向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)， ∴C 在线段AB 上，设∠AOC ＝α，则∠BOC =π3−α，则x =c →⋅a →|a →|=|c →|cos α，y =c →⋅b →|b →|=|c →|cos(π3−α)，∴34|c →|2≤34×(3√22)2x 2+y 2﹣xy =|c →|2cos 2α+|c →|2cos 2(π3−α)−|c →|cosα⋅|c →|cos(π3−α) =|c →|2[cos 2α+(12cosα+√32sinα)2−cosα(12cosα+√32sinα)]=|c →|2(cos 2α+12cos 2α+√32sinαcosα+34sin 2α−12cos 2α−√32sinαcosα)=34|c →|2，在△ABO 中，由余弦定理有：|AB|2=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|cos π3=|a →|2+|b →|2−|a →||b →|≥2|a →||b →|−|a →||b →|=|a →||b →|=6， ∴|AB|≥√6，当且仅当|a →|=|b →|时等号成立， ∵a →⋅c →=b →⋅c →，∴(a →−b →)⋅c →=0，∴BA →⊥OC →， ∴S △OAB =12|AB|×|OC|=12|OA|×|OB|sin π3，∴|OC|=6×√32|AB|≤3√3√6=3√22，即|c →|≤3√22，∴x 2+y 2﹣xy =34|c →|2≤34×(3√22)2=278． 故答案为：278．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．解：（1）设z ＝a +bi ，由题意可得， （3，z ）[z4]＝3z +4z =3（a +bi ）+4（a ﹣bi ）＝7a ﹣bi ＝7﹣3i ，故a ＝1，b ＝3， 所以|z |=√10； （2）由题意可得，原式＝2y ﹣sin x +（y +sin2x ﹣2√3sin ²x ）i 是实数， 所以y +sin2x ﹣2√3sin 2x ＝0， 即y ＝﹣sin2x +2√3sin ²x =√3（1﹣cos2x ）﹣sin2x ＝﹣2sin （2x +π3）+√3，所以当2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2，k ∈Z 时， sin （2x +π）单调递减，此时函数y 单调递增，解得k π+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 即单调增区间为[kπ+π12，k π+7π12]（k ∈z ）．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12． 由此可得，T =2πω=12，得ω=π6； 由规律②可知，f （x ）max ＝f （8）＝40（A cos2π+k ）＝40A +40k ， f （x ）min ＝f （2）＝40（A cos π+k ）＝﹣40A +40k ， 由f （8）﹣f （2）＝80A ＝160，得A ＝2；又当x ＝2时，f （2）＝40[2cos ω（2+4）+k ]＝80•cos π+40k ＝40， 解得k ＝3．综上可得，f （x ）＝80cos （π6x +2π3）+120符合条件．（2）由条件，80cos （π6x +2π3）+120＞160， 可得cos （π6x +2π3）＞12，则2k π−π3＜π6x +2π3＜2k π+π3，k ∈Z ， ∴12k ﹣6＜x ＜12k ﹣2，k ∈Z ．∵x ∈[1，12]，x ∈N *，∴当k ＝1时，6＜x ＜10，故x ＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式；（2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 解：（1）由S n ＝n 2+4n ﹣3， 可得n ＝1时，a 1＝S 1＝5﹣3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+4n ﹣3﹣（n ﹣1）2﹣4（n ﹣1）+3， 化简可得a n ＝2n +3（n ≥2）， 所以a n ={2，n =12n +3，n ≥2且n ∈N ∗；（2）b n =2n+5S n S n+1=2n+5(n 2+4n−3)(n 2+6n+2)=1n 2+4n−3−1n 2+6n+2，可得T n =12−19+19−118+...+1n 2+4n−3−1n 2+6n+2=12−1n 2+6n+2=n 2+6n2n 2+12n+4．20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1． 解：（1）由正弦定理有：asinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， ∴a =4√33sinA ，b =4√33sinB ， ∴a +b =4√33sinA +4√33sinB =4√33sinA +4√33sin(2π3−A) =4√33sinA +4√33(√32cosA +12sinA) =2√3sinA +2cosA =4sin(A +π6)， ∵内角A ，B 都是锐角，∴{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2，∴π6＜A ＜π2， ∴π3＜A +π6＜2π3，∴sin(A +π6)∈(√32，1]， ∴a +b ∈(2√3，4]， ∴a +b +c ∈(2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为(2+2√3，6]；（2）∵sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ， 由正弦定理得：a 2+b 2＞c 2，由余弦定理：cos C =a 2+b 2−c 22ab＞0， ∵C ∈（0，π），∴C 为锐角， ∵A ，B 都是锐角，∴A +B ＞π2，∴0＜π2−B ＜A ＜π2， ∴sinA ＞sin(π2−B)=cosB ＞0， ∴sin 2A +sin 2B ＞cos 2B +sin 2B ＝1， ∴sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值． 解：（1）证明：取AC 中点O ，连接OB 1，OD ，因为菱形ABCD ，∠AB 1C =π3， 所以△ACB 1，△ACD 为等边三角形， 所以OB 1⊥AC ，OD ⊥AC ，又因为OB 1，OD ⊂面OB 1D ，OB 1∩OD ＝O ， 所以AC ⊥面OB 1D ，因为B 1D ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥B 1D ．（2）因为DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，所以FE →=FB 1→+B 1E →=CB 1→−CF →+12B 1D →=CB 1→−13CD →+12(CD →−CB 1→)=16CD →+12CB 1→，平方得，FE →2=(16CD →+12CB 1→)2=136CD →2+16|CD →||CB 1→|cos∠B 1CD +14CB 1→2，即374=136×36+16×6×6cos∠B 1CD +14×36，解得cos ∠B 1CD =−18，在△B 1CD 中，由余弦定理得，B 1D ²＝C B 12+CD ²﹣2CB 1•CD cos ∠B 1CD ＝36+36﹣2×6×6×(−18)=81，所以B 1D ＝9，由（1）可知，∠DOB 1 是二面角B 1﹣AC ﹣D 的平面角， 在等边△AB 1C 中B 1O =B 1Csin60°=3√3，同理OD =3√3，在△B 1OD 中，由余弦定理得，cos ∠B 1OD =B 1O 2+DO 2−B 1D 22B 1D⋅DO =27+27−812×27=−12， 因为0＜∠B 1OD ＜π，所以∠B 1OD =2π3， 即二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小2π3．（3）取B 1E 中点G ，连接CG ，则E 是GD 靠近G 的三等分点，则EF ∥CG ，所以CG 与平面AB 1C 所成角即为所成角， 在平面DOB 1中，作GK ⊥B 1O ， 因为AC ⊥面OB 1D ，GK ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥GK ，又因为AC ，B 1O ⊂面AB 1C ，AC ∩B 1O ＝O ， 所以GK ⊥面AB 1C ，所以∠GCK 是CG 与平面AB 1C 所成角，在△DOB 1中，∠OB 1D =∠ODB 1=π6，B 1G =14B 1D =94， 所以GK =12B 1G =98，在ΔDCB 1中，由△DEF ∽△DGC ，得EF CG =DE DG =23，CG =32×√372=3√374， 所以sin ∠GCK =GK CG =983√374=3√3774， 所以EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值为3√3774． 22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n =(n −1)⋅2n+1+2． （1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设T n 是数列{2n−1b 2n−b n }的前n 项和，求证：T n ＜76． 解：（1）证明：由S n 2=a n （S n ﹣1）得S n 2=（S n ﹣S n ﹣1）（S n ﹣1）， 化简得S n S n ﹣1+S n ﹣S n ﹣1＝0，由于S n ≠0，所以又有1+1Sn−1−1S n =0， 即1S n −1S n−1=1， 又1S 1=1a 1=1，所以{1S n }是以1为首项，1为公差的等比数列；（2）结合（1）可得1S n =1+（n ﹣1）＝n ，所以有b 1+2b 2+…+nb n ＝（n ﹣1）•2n +1+2， 又有b 1+2b 2+…+nb n +（n +1）b n +1＝n •2n +2+2， 二式相减得（n +1）b n +1＝（n +1）•2n +1， 即b n +1＝2n +1，所以当n ≥2有b n ＝2n ，又b 1＝2，符合上式，所以b n ＝2n ；（3）结合（2）可知2n−1b 2n −b n =2n−122n −2n ＜2n−122n −22n−1=2n−122n−1， 所以T n ＜12+323+525+⋯+2n−122n−1， 设Q n =12+323+525+⋯+2n−122n−1， 则14Q n =123+325+527+⋯+2n−122n+1，二式相减得34Q n =12+2×（123+125+⋯+122n−1）−2n−122n+1=12+14×(1−(14)n−1)1−14−2n−122n+1， 即Q n =23+49(1−(14)n−1)−432n−122n+1， 又2n−122n+1＞0，所以Q n 随着n 的增大而增大， 当n →+∞，Q n →23+49=109，所以T n ＜109＜76．。
(完整版)浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019学年宁波市第一学期九校联考高一数学试题选择题部分(共40分)、选择题：本大题共10小题，每小题有一项是符合题目要求的.4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只1.已知集合A x x ，集合B x ，贝U AIBA. ( 1,0)B.(0,6]C. (0,6)D. ( 1,6]2.函数y tan x(—4了的值域是(A. ( 1, 1)3.已知x,y R,且B. ( 1, T)C. ( 1,D.[ 1, 3]1 A.-x B.cosx cosy1 xC.—2 D. In x In y 04.已知向量rb 2,且A.- 6B.-2D.-35.已知半径为的扇形AOB中，A B的长为3 ，扇形的面积为,圆心角AOB的大小为h(x) sin — x ，则下列结论正确的是()A.函数h(x)是奇函数B.函数h(x)在区间［2 ,0］上是增函数C.函数h(x)图象关于(3 ,0)对称D.函数h(x)图象关于直线x 3对称6.已知a log 7 2 b log 0.7 0.2 c 0.7°'2,则a,b,c的大小关系为A. b c aB. a bC. c a bD. a c b2l x ;③ y % ；④ ye示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为7.已知4个函数: ① y xsin ;② y xcos 4cosx e x的图象如图所1 一 、，-，贝U ABC 为( 2非选择题部分(共110分)的单调递增区间为 x9若 log 2 2019 lOg 2020 2log 22019 y log 2°2°2、，则()A. x y 0B. x y 0C. x y 0D. x y 010.设函数f(x)1 r{f(x 2),x (, x 1 1,x ( 2,2] 2 ，则万程 16 f (x) (x x 1) )0根的个数为(A.2B.3C.4D.5C. )三边均不相等的三角形 等腰非等边三角形A.直角三角形 等边三角形B. D. 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 36分.12.已知 lg(3x 1),则 f(0) ______ ,函数定义域是IT in uur ITuu uur IT uuee 2 , AB 2§ e 2 , BC e 3e 2uur uu m ABuuii 业13.已知函数 f(x) 2tan(a x -)(a 6 0)的最小正周期是3，则a,f (x)的对称中心为14.已知a,b R,定义运算, a,a b , a bb,a b,设函数f(x) 2x 0,2，贝u f(1),f (x)的值域为15.已知函数f(x) (2m 9)x a为藉函数，且其图象过点(3,J3)，则函数 g(x). ,2log a (x mx 6).r r r16.已知a,b,c 是平面向重，c “ r r r r2，右 a c 2 ， b c的取值范围是4分,共 若A,B,D 三点共线，则实数LT UU ............. 一........ 一 e ,e 是单位向重，且 11.已知函数f(x).1 xuuu IT CD e 11 7.函数f x2 5x, g x sinx,若x,X2,L ,x n [0,-],使得f(x) f (x2)L f(x n1 ) g(x n) g(x i ) g(x2) L g(x n l) f(x n),则正整数n 的最大值为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. (本题满分14分)r r r已知向重 a (sin x,1), b (cosx, 1), c (m,0)，其中x [0,—]4 ...r r 3 ............. ....(1) 若a b 一，求tanx的值；5r r . r r .............. .............. ............. ....(2) 若a c与a c垂直，求实数m的取值范围.19. (本题满分15分)已知集合 A x y J(x 3)(1 ―x) , B a 1,2a 1 ,C {x(x m 1)(x m 1) 0,m R}.(1) 若RA I B ，求a的取值范围；(2) 若AI C C ,求m的取值范围.20. (本题满分15分)已知f(x)为偶函数，当x 0时，f(x) 2lg(x 1),(1) 求f (x)解析式；(2) 若对于任意的x ( ,0),关于x的不等式lg(kx) f(x)恒成立，求k的取值范围21. (本题满分15分)已知函数f (x) sin(2x —) , g x = Asin( x+ )(A 0, 0, 一)的部分图象如图所示6 2(1)求g x的解析式，并说明f (x)的图象怎样经过2次变换得到g x的图象；⑵若对于任意的x Eg22. (本题满分15分)在函数定义域内，若存在区间m,n，使得函数值域为m A,n A，则称此函数为“ A档类正方形函数”，已知函数f (x) log3[2k 9x(k 1)3、k 2],(1) 当k 0时，求函数y f x的值域；(2) 若函数y f x的最大值是1,求实数k的值；(3) 当x 0时，是否存在k (0,1)，使得函数f(x)为“1档类正方形函数” ？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.。
浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题及答案
浙江省宁波市九校2021-2022学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1,4D ．{}1,24，2．已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（ ） A ．24πB ．36πC ．48πD ．96π3．已知,,a b c ∈R ，0a ≠，则“关于x 的不等式20ax bx c ++>有解”是“240b ac ->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()2cos 4x xf x x =-，则其图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到2079mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上人定为醉酒驾车，某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg /ml ，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（参考数据：lg20.301=，lg30.477=）（ ） A ．3B ．4C ．5D ．76．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+为减函数，则（ ）A ．23133log 2sin22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．23133sinlog 222f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．231332sinlog 22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．231332log 2sin2f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．已知4k <-，则函数()()cos21sin f x x k x =+-的最大值为（ ） A ．-1B ．1C ．21k -D ．21k +8．已知函数()()4sin ,2212,22x x f x f x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则方程()()lg 2f x x =+的根的个数是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，且0c d <<，则ac bd <C ．若11a b>，则a b < D ．若0a b c >>>，则a c ab c b+<+ 10．下列等式成立的是（ ） A．22sin 75cos 75︒-︒= B．1sin152︒︒C ．1sin 75cos 754︒︒=D．tan1652︒=11．已知()f x 在定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=，当[]1,1x ∈-时，())lnf x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()20,f k k Z =∈B ．())21ln1,f k k Z -=∈C ．0x R ∃∈，()()0021f x f x +-=D ．方程()12f x =在[]4,2-的各根之和为-6 12．对:R f D →，:R g D →，若0k ∃>，使得12,x x D ∀∈，都有()()()()1212f x f x k g x g x -≤-，则称()f x 在D 上相对于()g x 满足“k -普希兹”条件，下列说法正确的是（ ）A ．若()()2log ,f x x g x x ==，则()f x 在()0,∞+上相对于()g x 满足“2-利普希兹”条件B ．若()()f x g x x =，()f x 在[]1,4上相对于()g x 满足“k -利普希兹”条件，则k 的最小值为12C ．若()()()1,,f x ax g x f x x ==在[]2,3上相对于()g x 满足“4-利普希兹”条件，则a 的最大值为49D ．若()()()()2,log 41,xf x xg x f x ==+在非空数集D 上相对于()g x 满足“1-利普希兹”条件，则(],0D ⊆-∞ 三、填空题13．计算2338log 27-=___________.14．若tan ,tan αβ是方程2420x x --=的两根，θαβ=+，则()()32cos cos 211sin sin 52ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭___________.15．已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.16．已知正实数,a b 满足()33810511a a b b +≤+++，则32a b +的最小值是___________. 四、解答题17．从①()12|log 12A x x ⎧⎫=+≥-⎨⎬⎩⎭；①11|282xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭；①3|01x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.已知集合___________，集合{}2|2,B x m x m m R =<<∈.(1)当1m =-时，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.18．已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位，再将此时图象的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到()g x 的图象，求()g x 图象的对称轴方程.19．已知函数()()212xxa f x a R -=∈+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若不等式()()4220x xx f k f a ⎡⎤⋅++-≤⎣⎦对[]1,2x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（直角三角形FHE 三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上（含线段两端点），已知40AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即FHE 的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.21．已知函数()()()2ln 2R f x x kx k k =-+∈.(1)若()f x 在[]0,3单调递减，求实数k 的取值范围；(2)若方程()2434ln f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[]2,6上有两个不相等的实根，求k 的取值范围.22．已知函数()()()21f x x x a a R =--+∈.(1)若2a =-，写出()f x 的单调递增区间（不要求写出推证过程）； (2)若存在b R ∈，使得对任意[]4,8x ∈都有()92f x b -≤，求实数a 的取值范围.参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据交集和补集的定义即可得出答案. 【详解】解：因为全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，， 所以{}1,2U B =，所以()UA B ={}1,2.故选：A. 2．C 【解析】 【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解. 【详解】解：设扇形的半径为R ，因为弧长为4π的扇形圆心角为6π， 所以46R ππ=，所以24R =，所以此扇形的面积为214826R ππ⨯=.故选：C. 3．B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，当0a >时，关于x 的不等式20ax bx c ++>一定有解，此时无法确定判别式是否大于零， 当0a <时，则240b ac ->，则关于x 的不等式20ax bx c ++>有解不能推出240b ac ->，若240b ac ->，当0a >时，关于x 的不等式20ax bx c ++>一定有解， 当0a <时，关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，所以240b ac ->能推出关于x 的不等式20ax bx c ++>有解，所以“关于x 的不等式20ax bx c ++>有解”是“240b ac ->”的必要不充分条件. 故选：B. 4．C 【解析】 【分析】从奇偶性，特殊点处的函数值的正负即可判断. 【详解】函数的定义域为{}|2x x ≠±，其定义域关于原点对称， 由函数的解析式可得：()()f x f x -=-， 则函数图象关于坐标原点对称，选项B,D 错误；而26206436f πππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭-，选项A 错误，C 正确；故选：C. 5．B 【解析】 【分析】由题意可知经过t 小时后，体内的酒精含量为30.6mg ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∕，令30.6()0.24t ⨯<求出t 的取值范围，即可求出结果． 【详解】解：经过t 小时后，体内的酒精含量为：30.6mg ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭∕，只需30.6()0.24t⨯<，∴t ＞341log 3＝lg 33lg 4-＝lg 32lg 2lg 3-≈0.4770.6020.477-＝3.8，∴他至少要经过4个小时后才能驾车. 故选：B ． 6．C 【解析】 【分析】 先比较13log 2、3sin2π、232的大小，然后再根据函数的性质比较即可. 【详解】 因为1113331log 3log 2log 10-=<<=，3sin=12π-，203221>=. 根据()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+为减函数，则有23133|2||sin ||log 2|2f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以231332sinlog 22f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C 7．A 【解析】 【分析】由题意()22sin sin 1f x x k x k =--++，然后由二次函数的性质可得答案.【详解】()()2cos21sin 2sin sin 1f x x k x x k x k =+-=--++设sin ,x t =则[]1,1t ∈-所以转化为求221y t kt k =--++，则其对称轴方程为4kt =-由4k <-，则14k t =-> 所以221y t kt k =--++在[]1,1t ∈-上单调递增。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)
宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数13i12i z +=−，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. iC. i −D. 1−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，再由共轭复数的定义即可得z ，进而可得虚部. 【详解】()()()()13i 12i 13i 55i1i 12i 12i 12i 5z +++−+====−+−−+， 所以1i z =−−，所以z 的虚部为1−. 故选：D.2. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos α−的值为（ ）A. 35B.35C. 45−D.45【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式可得πcos sin 2αα−=，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】 角α的终边经过点(4,3),4,3x y −∴==−， 5r∴=，则π3cos sin 25y r αα−===−. 故选：A.3. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若l α∥，l β ，则αβ∥B. 若αβ⊥，l α∥，则l β⊥C. 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥D. 若αβ∥，l α∥，则l β【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.【详解】若l α∥，l β ，则αβ∥或α、β相交，故A 错误； 若αβ⊥，l α∥，则l 与β的位置关系都有可能，故B 错误； 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥，故C 正确； 若αβ∥，l α∥，则l β 或l β⊂，故D 错误； 故选：C.4. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且1ABBC CD ===，则其内切球表面积为（ ）A. 3πB.C. (3π−D.)1π−【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−++++++ ，求得1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =++++△△△△，111111326ABCD V =××××=，从而求得r =，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为四面体ABCD 四个面都为直角三角形，AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥， 所以,,AB BD AB BC BC CD ⊥⊥⊥，AC CD ⊥，设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ， 则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−++++++ 所以3ABCDV r S =，因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =++++△△△△， 又因为四面体ABCD 的体积111111326ABCD V =××××=，所以3VrS ==，所以内切球表面积24π(3πS r ==−. 故选：C.5. 已知等比数列{}n a 的前n 项积．为n T ，若798T T T >>，则（ ） A.0q <B. 10a <C. 15161T T <<D. 16171T T <<【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用反证法说明0q >，从而得到828810T a q =>，即可得到10a >，从而得到91a >，801a <<，8901a a <<，再根据等比数列的性质判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =，则1n a a =，所以771T a =，991T a =，881T a =，若10a <，则7710T a =<，9910T a =<，8810T a =>，不符合题意； 若10a >，则1na 单调（或为常数1），此时不满足798T T T >>，故不符合题意，所以1q ≠； 当0q <，10a <，此时{}n a 奇数项为负，偶数项为正，则70T >，90T <，80T >，不符合题意， 当0q <，10a >，此时{}n a 奇数项为正，偶数项为负，则70T <，90T >，80T >，不符合题意， 所以0q >，故A 错误，又7721771241a a a T a a q =⋅==⋅⋅⋅⋅⋅， 9936991251a a a T a a q =⋅==⋅⋅⋅⋅⋅，()482888451120T a a a a q a a =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=>又798T T T >>，所以7980T T T >>>，所以10a >， 故对任意的n ∗∈N ，110n n a a q −=>，则对任意的n ∗∈N ，0n T >，故B 错误；又9981T a T =>，88701T a T <=<，所以981a q a =>，989701T a a T <=<，所以115815124151T a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<，16121213141516889()1T a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<， 12121314151617171791T a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅>⋅，所以16171T T <<，故D 正确，C 错误． 故选：D ．6. 如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设平面BCD 交11A C 于点E ，连接DE 、CE ，推导出点E 为11A C 的中点，用三棱柱111ABC A B C -的体积减去三棱台1A DE ABC −的体积即可得解. 【详解】设平面BCD 交11A C 于点E ，连接DE 、CE ，在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ，平面BCD 平面ABC BC =， 平面BCD 平面111A B C DE =，所以，//DE BC ，又因为11//BB CC 且11BB CC =，故四边形11BB C C 为平行四边形，所以，11//BC B C ， 所以，11//DE B C ，因为D 为11A B 的中点，所以，E 为11A C 的中点，且11112DE B C ==， 因为直三棱柱111ABC A B C -的每条棱长都为2，则1112122ABC A B C ABC V S AA −=⋅=×=△，易知1A DE △是边长为1的等边三角形，则121A DE S △ (11113A DE ABC A DE ABC V S S AA −=+⋅ 三棱台123=×++×=，因此，顶点1B 所在部分的体积为1111ABC A B C A DE ABC V V −−−=三棱台故选：B.7. 在ABC 中，0P 是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A 【解析】【分析】根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解. 【详解】如下图所示，取BC 的中点D ，显然，22222222PB PC PB PC PB PC PD DC PD DC +−⋅−−−， 同理，22000P B P C P D DC ⋅=− ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅，所以22220PD DC P D DC −≥− ， 即2200,PD P D PD P D ≥≥，所以0P D BC ⊥，因为0,D P 是,BC AB 的中点，所以0//AC P D , 所以AC BC ⊥，所以ABC 一定是直角三角形.故选：A8. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 1− B. 45−C. 35D. 25−【答案】C 【解析】【分析】由余弦定理求出AB ，再由正弦定理求出sin B ，即可求出cos B ，设CM BM x ==，由余弦定理求出x ，即可求出AMC S △，根据定义可知P 为三角形的正等角中心，由等面积法求出PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅，最后根据数量积的定义计算可得.【详解】因为2π3C =，1AC =，2BC =，由余弦定理可得AB =由正弦定理sin sin AC AB B C=，即1sin B =sin B =，显然B 为锐角，所以co s B=设CM BM x ==，则2222cos CM CB BM CB BM C =+−⋅，即2222x x =+，解得x =，即25BM AB =，所以35AMAB==所以33112552AMC ABC S S ==×××=又222cos 02AM CM AC AMCAM CM+−∠=>⋅，即AMC ∠为锐角， 所以AMC 的三个内角均小于120，则P 为三角形的正等角中心， 所以12π12π12πsin sin sin232323AMCS PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅)PM PM PC PA PC +⋅+⋅=， 所以65PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅= ，因为PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅2π2π2πcos cos cos333PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅ ()12PA PM PM PC PA PC =−⋅+⋅+⋅163255=−×=−.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a c B. ()a b c a b c ⋅⋅≤C. 若()a cb ⊥− ，则a b ac ⋅=⋅D. ()()2a b b a b ⋅⋅=⋅【答案】BC 【解析】【分析】根据共线向量和零向量的定义判断A ，根据数量积的定义及运算律判断B 、C 、D.【详解】对于A ：当0b = 且a 与c 不共线时，满足//a b ，//b c，但是a 与c 不共线，故A 错误；对于B ：设,a b θ=，则cos a b a b θ⋅=⋅ ，则()cos a b c a b c a b c θ⋅⋅=⋅⋅≤ ，故B 正确；对于C ：因为()a c b ⊥− ，则()0a b c ⋅−= ，则0a b a c ⋅−⋅= ，所以a b a c ⋅=⋅ ，故C 正确；对于D ：设,a b θ= ，则cos a b a b θ⋅=⋅ ，则()cos a b b a b b θ⋅⋅=⋅⋅ 表示与b共线的向量，而()22a ba b ⋅=⋅ 表示与a 共线的向量，故D 错误；故选：BC10. 下列说法正确的是（ ）A. 若()πsin 2cos 3f x x x ωω=++()0ω>的最小正周期为π，则2ω= B. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件 C. 三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D. ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC 的面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，根据余弦和角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数周期公式求解；对于B ，根据条件直接判断；对于C ，根据等差数列的性质列式，引出矛盾从而判断；对于D ，先还原图形，再直接求面积.【详解】对于A ，()πππsin 2cos sin 2cos cossin sin 333f x x x x x x ωωωωω=++=+−(()cos 1sin x x x ωωωϕ=+=+，tan ϕ==则()f x ()0ω>的最小正周期2ππω=，则2ω=，故A 正确；对于B ，在ABC 中，根据“大角对大边，大边对大角”可知，“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件，故B 正确；对于C ，a ，b ，c 依次成等差数列，则2a c b +=，如果2a，2b ，2c 成等差数列，则2222a b c+=，代入2a cb +=得22222c a c a +×=+，平方得()22224222222aa c a ca c c ++×=+=+×+，则()2222220222a aaccc +−×+=−=，所以022,c a a c b −===，与题意矛盾，故C 错误； 对于D ，过点A ′作//A F y ′′′交x ′轴于点F ′， 因为ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，所以A B C ′′′ 的高A E ′′=，所以A F ′′所以原图中，2AF BC =，所以ABC 的面积为11222AF BC ××==×故D 正确.故选：ABD11. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A. 存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥B. 若2AB =，则三棱锥S AOD −体积的最大值为16C. 对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D. 若π6ABD ∠=，则异面直线SA 与CD 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由CD 是直径得90DAC ∠=°，从而可知不存在直径CD ，使得AD CD ⊥，从而可判断；对于B ，由题意可得当AO OD ⊥时，三棱锥S AOD −体积最大，求解即可判断；对于C ，根据异面直线的判定方法即可判断；对于D ，取SB 的中点E ，取OB 的中点F ，连接,,,OE CE CF EF ，可得COE ∠（或及其补角）为异面直线SA 与CD 所成角的平面角，根据余弦定理即可求解，从而可判断.【详解】对于A ，连接,SD AC ，因为SO ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以SO AD ⊥， 若AD SD ⊥，只需AD CD ⊥，因为CD 是直径，所以90DAC ∠=°，所以不存在直径CD ，使得AD CD ⊥， 所以不存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥，A 错误；对于B ，若2AB =，则1SO OA OD ==， 所以三棱锥S AOD −的体积为11111sin 1sin 326AOD AOD ××××∠×=∠， 所以当AO OD ⊥时，三棱锥S AOD −体积的最大值为16，B 正确 ；对于C ，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，所以AD 与SB 没有交点，而SB 平面ADBC B =，AD ⊂平面ADBC ，所以直线AD 与直线SB 互为异面直线，C 正确； 对于D ，取SB 的中点E ，取OB 的中点F ，连接,,,OE CE CF EF ，则//OE SA ，所以COE ∠（或及其补角）为异面直线SA 与CD 所成角的平面角.令2AB =，则1SO OB OC ===，所以1111,2222OESA OF EF SO=====，因为π6ABD ∠=，所以π3AOD BOC ∠=∠=，则CF =所以1CE ，所以222cos 2OC OE CE COE OC OE +−∠==⋅，D 正确.故选：BCD12. 已知数列{}n a 中各项都小于2，221143n n n n a a a a ++−=−，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A. 任意1a 与正整数m ，使得10m m a a +≥B. 存在1a 与正整数m ，使得134m m a a +>C. 任意非零实数1a 与正整数m ，都有1m m a a +<D. 若11a =，则()2022 1.5,4S ∈ 【答案】AD 【解析】【分析】由递推公式得到()21134nnn nn a a a a a ++−=−即可判断A ，记()24f x x x =−，依题意可得()134n n f a f a +≥，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n ，134n n a a +≤，从而判断B ，分10a =、102a <<、10a <三种情况讨论，即可判断C ，结合A 、C 即可判断D.【详解】对于A ：因为221143n n n n a a a a ++−=−，所以()()1143n n n n a a a a ++−=−， 所以()1134n nn n a a a a ++−=−，则()211304n nn nn a a a a a ++−=≥−，故A 正确；对于B ：记()24f x x x =−，由22211333444444n n n n n n a a a a a a ++ −=−≥−，可得()134n n f a f a +≥，因为()f x 在(),2−∞上单调递减， 所以对于任意正整数n ，134n n a a +≤，故B 错误； 对于C ：由A 可知所有n a 同号，①当10a =时，易得对于任意正整数n ，0n a =，②当102a <<时02n a <<，22211434n n n n n n a a a a a a ++−=−>−，即()()1n n f a f a +>，因为()f x 在(),2−∞上单调递减，所以对于任意正整数n ，1n n a a +<，③当10a <时0n a <，22211434n n n n n n a a a a a a ++−=−<−，即()()1n n f a f a +<，因为()f x 在(),2−∞上单调递减，所以对于任意正整数n ，1n n a a +>，故C 错误； 对于D ：由B 可知对于任意正整数n ，134n n a a +≤， 当11a =时134n n a − ≤，所以2022120222022202213133441434414k k S −= − ≤==−<−∑，由C 中②知当11a =时，01n a <≤，又222420a a −+=，解得2122a =>， 所以2022232S S >>， 所以()2022 1.5,4S ∈，故D 正确； 故选：AD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.【答案】 【解析】【分析】计算出侧面展开图分别为30和12，圆心角为2π3的扇形的两个圆锥的高，相减即可得解. 【详解】一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r ，高为h ， 所以2π2π303r =×，可得10r =，因此，该圆锥的高为h = 侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为1r ，高为1h ， 所以12π2π123r =×，可得14r =，因此，该圆锥的高为1h =，因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为.故答案：.14. 已知等差数列{}n a ，88a =，9π83a =+，则576cos cos cos a a a +=______. 【答案】1 【解析】【分析】记等差数列{}n a 的公差为d ，则98π3d a a =−=，由7575757557,2222a a a a a a a a a a +−+−=−=+，7562a a a +=，结合和差角余弦公式可得757557757562cos cos cos cos 222cos cos 2cos 2a a a a a a a a a a a +−+−==+，从而可求解. 【详解】记等差数列{}n a 的公差为d ，则98π3d a a =−=，因为7575757557,2222a a a a a a a a a a +−+−=−=+，7562a a a +=， 所以7575757557coscos cos cos sin sin 2222a a a a a a a aa a +−+−+=+为757575757575coscos sin sin 2cos cos 222222a a a a a a a a a a a a+−+−+−+−=， 所以757557757562cos cos cos cos π222cos 2cos 2cos 1cos 23cos 2a a a a a a a a d a a a +−+−=====+. 故答案为：115. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是______.【答案】125【解析】【分析】推导出11BC AB ⊥，在平面111A B C 内，过点1C 作111C H A B ⊥，垂足为点H ，证明出11AB C H ⊥，可得出1AB ⊥平面1BC H ，分析可知点P 的轨迹为线段1C H ，利用等面积法求出线段1C H 的长，即为所求. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以，1AC BB ⊥， 又因为ACBC ⊥，1BC BB B = ，BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，所以，AC ⊥平面11BB C C ，因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以，1BC AC ，因为11//BB CC ，11BB CC BC ==，则四边形11BB C C 为菱形，所以，11BC B C ⊥， 又因为1AC B C C ∩=，AC 、1B C ⊂平面1AB C ，所以，1BC ⊥平面1AB C ， 因为1AB ⊂平面1AB C ，所以，11BC AB ⊥.在平面111A B C 内，过点1C 作111C H A B ⊥，垂足为点H ， 因为1BB ⊥平面111A B C ，1C H ⊂平面111A B C ，则11C H BB ⊥， 因为111C H A B ⊥，1111BB A B B = ，1BB 、11A B ⊂平面11AA B B ， 所以，1C H ⊥平面11AA B B ，因为1AB ⊂平面11AA B B ，则11AB C H ⊥，因为111BC C H C = ，1BC 、1C H ⊂平面1BC H ，所以，1AB ⊥平面1BC H ， 由于动点P 又在111A B C △内，所以动点P 在平面111A B C 与平面1BC H 的交线1C H 上，因为114A C AC ==，113B C BC ==，1111A C B C ⊥，所以，115A B =，由等面积法可得1111111431255A C B C C HA B ⋅×===， 因此，动点P 的轨迹长度是125. 故答案为：125. 16. 已知向量a ，b 的夹角为π3，且3a b ⋅= ，向量c 满足()()101c a b λλλ+−<< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记c a x a ⋅= ，c b y b⋅= ，则22x x y y +−的最大值为______. 【答案】278【解析】【分析】设,,OA a OB b OC c ===, 由共线定理可知点C 在线段AB 上，设AOC α∠=，则π3BOC α∠=−，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 2223||4x y xy c −+=，可将原问题转化为求||c的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求AB 的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，则π3AOB ∠=， 由3⋅= a b ，知π||||cos 33a b ⋅= ，即||||6a b ⋅= ，所以1π1||||sin 6232OAB S a b =⋅=×=，因为(1)(01)c a b λλλ+−<<，所以点C 在线段AB 上，设AOC α∠=，则π3BOC α∠=−， 所以222222||cos ||cos x y xy c c α+=+−π||cos ||cos 3c c αα −−⋅π3α −22221||cos ||cos 2c c ααα+ +1||cos ||cos 2c c ααα −⋅2221||cos cos cos 4c ααα =++2231sin cos cos 42ααααα +− 23||4c =故原问题转化为求||c的最大值，在OAB 中，由余弦定理知，22222π||||||2||||cos ||||||||3AB a b a b a b a b −−=+⋅=+⋅26a b a b a b ≥⋅−⋅=⋅=，当且仅当a b == 时，等号成立，故AB，因为··a c b c = ，所以()0a b c −⋅=，即AB OC ⊥，所以1||||2OAB S AB OC =⋅=即OC =，即c ≤ 所以222327||48x y xyc +−=≤. 故答案为：278四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 定义一种运算：(),c a b ac bd d=+.（1）已知z 复数，且()3,73i 4z z =−，求z ；（2）已知x 、y 为实数，()()2sin i sin 2,21,sin x y x x y+−也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间. 【答案】（1（2）π2sin 23y x=−+，增区间为()π7ππ,π1212k k k ++∈Z 【解析】【分析】（1）()i ,z a b a b =+∈R ，由()3,73i 4z z =−结合复数相等可求出a 、b 的值，再利用复数的模长公式可求得z 的值；（2）利用题中运算结合复数的概念可得出2sin 20y x x +−=，利用三角恒等变换化简可得出y 关于x 的函数表达式，再利用正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递增 区间. 【小问1详解】解：设()i ,z a b a b =+∈R ， 因为()()()3,343i 4i 7i 73i 4z z z z a b a b a b =+=++−=−=−，为所以，773a b = =，即13a b = = ，则13i z =+，因此，z ==【小问2详解】解：()()()()22sin i sin 2,21,sin 2sin sin 2i x y x x y x y x x y +−−++−为实数，则2sin 20y x x +−=，所以，()21cos 2sin 2sin 2sin 222xy x x x x x −=−+=−+=−+π2sin 23x=−++，由()ππ3π2π22π232k x k k +≤+≤+∈Z 可得()π7πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，因此，函数π2sin 23y x=−++的单调递增区间为()π7ππ,π1212k k k ++∈Z . 18. 今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数()()40cos 4f x A x k ω=++ 来刻画.其中正整数x 表示月份且[]1,12x ∈，例如1x =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f x =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.【答案】（1）()()π402cos 436f x x=++，[]1,12x ∈ （2）第7,8,9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【解析】【分析】（1）根据题意首先求出A ，再根据周期求出ω，最后根据()240f =求出k ，即可得到函数解析式；（2）令()160f x >，结合余弦函数的性质计算可得，注意x 为正整数. 【小问1详解】因为A 和k 是正整数，由②可知()()4040160A k A k +−−+=，解得2A =； 由③可得：8262T =−=，则2π12T ==ω，且0ω>，解得π6ω=； 所以()()π402cos 46f x x k=++，又()()π2402cos 24406f k =++=， 即()40240k −=，解得3k =； 所以()()π402cos 436f x x =++，[]1,12x ∈. 【小问2详解】令()()π402cos 431606f x x=++>，则()π1cos 462x +>，因为[]1,12x ∈，则(),π8345ππ66x ∈+， 可得()5ππ7π4363x <<+，解得610x <<， 且*N x ∈，则7,8,9x =，所以第7,8,9月是该地区的旅游旺季.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n S n n =+−.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记125n n n n b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）2,123,2n n a n n = =+≥（2）211262n T n n =−++ 【解析】【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n −= = −≥ 可求得数列{}n a 的通项公式； （2）计算得出111nn n b S S +=−，利用裂项法可求得n T . 【小问1详解】解：当1n =时，111432a S ==+−=， 当2n ≥且N n ∗∈时，()()()22143141323n n n a S S n n n n n − =−=+−−−+−−=+， 12a =不满足23n a n =+， 综上所述，2,123,2n n a n n = =+≥. 【小问2详解】 解：因为()()()22114134325n n S S n n n n n +−+++−−+−+，所以，11112511n n nn n n n n n S S n b S S S S S S ++++−+===−， 因此，()()21223111111111111121413n n n n T S S S S S S S S n n ++ =−+−++−=−=− +++− 211262n n =−++. 20. 在ABC 中，内角A ，B 都是锐角.（1）若π3C ∠=，2c =，求ABC 周长的取值范围； （2）若222sin sin sin A B C +>，求证：22sin sin 1A B +>. 【答案】（1）(2,6 + （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得)sin sin a b A B +=+，然后可得a b +=π4sin 6A + ，然后结合A 的范围求出a b +的范围可得答案； （2）由条件可得C 为锐角，然后由π2A B +>可得sin cos A B >，即可证明.【小问1详解】 因为π3C ∠=，2c =，所以sin sin sin a b c A B C ===，所以)sin sin a bA B +=+，因为π1sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A+=++=+3πsin 26A A A =++所以a b +=π4sin 6A+， 因为内角A ，B 都是锐角，π3C ∠=， 所以π022ππ032A B A << <−< ，即ππ62A <<，所以πsin 6A +∈ ，所以(4a b +∈ ，所以ABC周长的取值范围为(2,6 + ，【小问2详解】若222sin sin sin A B C +>，则222a b c +>，所以C 为锐角， 所以π2A B +>，所以π2A B >−， 因为内角A ，B 都是锐角，所以ππ,0,22A B −∈， 所以πsin sin cos 2A B B >−=， 所以2222sin sin cos sin 1A B B B +>+=.21. 已知边长为6的菱形ABCD ，π3ABC ∠=，把ABC 沿着AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD −，且112DE DB = ，13CF CD =，FE =（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求二面角1B AC D −−大小；（3）求EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）2π3（3【解析】【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可；（2）根据几何关系11162FE CD CB =+ ，平方后得到11cos 8B CD =−∠，得到19B D =，根据余弦定理求解其平面角即可；（3）根据平行关系将所求角转化为CG 与平面1AB C 所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值.【小问1详解】取AC 中点O ，连接1,OB OD ，因为菱形ABCD ，1π3AB C ∠=， 所以1,ACB ACD △△为等边三角形，所以1,OB AC OD AC ⊥⊥， 又因为1,OB OD ⊂面1OB D ，1OB OD O ∩=， 所以AC ⊥面1OB D ，因为1B D ⊂面1OB D ，的所以1AC B D ⊥【小问2详解】 因为112DE DB = ，13CF CD = ， 所以()11111111111123262FE FB B E CB CF B D CB CD CD CB CD CB =+=−+=−+−=+ ， 平方得，2222111111111cos 623664FE CD CB CD CD CB B CD CB =+=++ ∠， 即1371113666cos 3643664B CD =×+××+×∠，解得11cos 8B CD =−∠， 在1B CD △中，由余弦定理得，222111112cos 3636266818B D CB CD CB CD B CD =+−⋅=+−×××−=∠， 所以19B D =，由（1）可知，1DOB ∠是二面角1B AC D −−的平面角，在等边1AB C中，11sin 60B O B C =°=OD =，在1B OD 中，由余弦定理，22211112727811cos 22272B O DO B D B OD B O DO +−+−===−⋅×∠， 因为1πB OD 0＜∠＜，所以12π3B OD =∠， 即二面角1B AC D −−的大小为2π3. 小问3详解】取1B E 中点G ，连接CG ，则E 是GD 靠近G 的三等分点，则//EF CG ，所以CG 与平面1AB C 所成角即为所成角，【在平面1DOB 中，作1GK B O ⊥，因AC ⊥面1OB D ，GK ⊂面1OB D ，所以AC GK ⊥，又因为1,AC B O ⊂面1AB C ，1AC B O O = ，所以GK ⊥面1AB C ，所以GCK ∠是CG 与平面1AB C 所成角，在1DOB △中，11π6OB D ODB ==∠∠，111944B G B D ==，所以 11928GKB G ==， 在1DCB 中，由DEF DGC ，得23EFDE CG DG ==，32CG =，所以sin GK GCK CG ==∠， 所以EF 与平面1AB C.22. 已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：()21n n n S a S =−，且0n S ≠，数列{}n b 满足：对任意*n ∈N 有()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ . （1）求证：数列1n S是等差数列；为（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n T 是数列122n n n b b − −的前n 项和，求证：32n T <. 【答案】（1）证明见解析；（2）2nn b =；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）把1(2)n n n a S S n −=−≥代入()21n n n S a S =−得11n n n n S S S S −−=−，即1111n n S S −−=，从而得证；（2）利用和与项的关系即可求解得2nn b =； （3）利用放缩法，得()()()111121122222112221212212121n n n n n n n n n n n n n n b b −−−−−−==<=−−−−−−−−，再结合裂项相消求和法即可证明.【小问1详解】()21n n n S a S =− ，1(2)n n n a S S n −=−≥，()()211n n n n S S S S −∴=−−，即11n n n n S S S S −−=−①由题意10n n S S −⋅≠，将①式两边同除以1n n S S −⋅，得1111n n S S −−=， ∴数列1n S是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知111(1),.n n n n S S n=+−=∴= 当1n =时， 112b S =，即12b =， 当2n ≥时，()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ ②，则()112121222n n n b b b n S S S −−+++=−⋅+ ③， ②−③，()()112222n n n n nb n n n S +=−⋅−−⋅=⋅，即2n n b =， 因为12b =满足2n n b =，所以2nn b =.【小问3详解】 由（2）可知，()1112222222221n n n n n n n n n b b −−−==−−− 当1n =时，11322T =<， 当2n ≥时，()()()111121122222112221212212121n n n n n n n n n n n n n n b b −−−−−−==<=−−−−−−−−， 所以1223111111112212121212121n n n T −<+−+−++−−−−−−− 11312212n =+−<−. 所以32n T <.。
2023-2024学年浙江省宁波市九校高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市九校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{x |3x ＜81}，N ＝{0，1，2，3，4}，则M ∩N 的子集个数是（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322．为了得到函数y ＝sin x 的图象，可以将函数y =sin(x +14)的图象（ ）A ．向左平移14个单位长度B ．向右平移14个单位长度C ．向左平移18个单位长度D ．向右平移18个单位长度3．“b a＜1”是“a ＜b ＜0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知菱形ABCD 的边长为1．若∠BAD ＝60°，则|AB →+2BC →|=（ ） A ．√3 B ．2 C ．√5 D ．√75．若函数f(x)=√9−x 2x−|x−a|为偶函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤﹣3B ．a ≥3C ．﹣3≤a ≤3D ．a ≤﹣3或a ≥36．某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a %的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的32倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的（ ） A ．9√62倍 B ．9√64倍 C ．9√68倍 D ．9√616倍 7．已知函数f(x)=x +ln(√4x 2+1+2x)+2．若∀x ∈R ，不等式f （|2x ﹣a |）≥4﹣f （|3x ﹣2a |﹣a 2）恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−13，13]B ．(−∞，−13]∪[13，+∞)C ．[−12，12]D ．(−∞，−12]∪[12，+∞)8．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)．若f(x −π8)为奇函数，f(x +π8)为偶函数，且f （x ）在(0，π6)上没有最小值，则ω的最大值是（ ）A ．2B ．6C ．10D ．14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020学年第一学期宁波市九校联考高一数学试题答案
A．①④②③
B．③②④①
C．①④③②
数学试题 第 1页 共 4页
D．③①④②
8．在 ∆ABC
中，
BA ⋅ AC AB
+
AC ⋅ BC BC
= 0 ， BBCC ⋅
BA BA
= 1 ，则 ∆ABC 2
为
(
)
A． 直角三角形 C． 等边三角形
B． 三边均不相等的三角形 D． 等腰非等边三角形
9．若 (log2 2019)x + (log2020 )2 − y < (log2 2019)− y + (log2020 2)x ，则 ( )
(2)若 A C = C ，求 m 的取值范围．
20．（本题满分 15 分） 已知 f (x) 为偶函数，当 x ≥ 0 时， = f (x) 2 lg(x + 1) ， (1)求 f (x) 解析式； (2)若对于任意的 x ∈ (−∞, 0) ， 关于 x 的不等式 lg(kx) < f (x) 恒成立，求 k 的取值范围．
．
16．已知 a,b, c 是平面向量, c = 2 ，若 a ⋅ c =2 ， b ⋅ c =4 ，则 a + b 的取值范围
是
．
17．函数
f
(x)
=−2
−
5x
，
g
(x)
=
sin
x
，若
x1 ,
x2 ,,
xn
∈[0,
π 2
]
，使得
f (x1) + f (x2 ) + + f (xn−1) + g(xn=) g(x1) + g(x2 ) + + g(xn−1) + f (xn ) ，则正整数 n 的最大
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一年级上册学期期末联考数学试题【含答案】
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）302x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭(){}ln 1B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{}13x x -<<{}3x x <{}1x x >-{}13x x -≤<【答案】A【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即可．,A B 【详解】，；()(){}{}30320232x A x x x x x x x ⎧⎫-=<=-+<=-<<⎨⎬+⎩⎭(){}{}ln 11B x y x x x ==+=-∴．{}|13A B x x ⋂=-<<故选：A ．2．下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递增的函数为（ ）π0,4π⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．1cos 2y x=1sin2y x =cos212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 212⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 【答案】C【分析】利用周期排除A ， B ，再利用复合函数单调性在C ，D 中可得到正确答案.【详解】对选项A ， B 其周期为，选项C ，D 其周期为，故排22412T πππω===222T πππω===除选项A ， B ；对于C ：在上为单调递减，则在上为单调递增，故C 正确；cos 2x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭cos212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭0,4π⎛⎫⎪⎝⎭对于D ：在上为单调递增，则在上为单调递减，故D 错误.sin 2x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭sin 212⎛⎫= ⎪⎝⎭xy 0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C3．“”是“函数在上单调递增”的（ ）1a >()()22f x ax x a =-∈R ()1,+∞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案.【详解】对称为轴，()()220f x ax x a =-≠1x a =若，又开口向上，在上单调递增，1a >()f x 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又，故在上单调递增成立；()10,1a ∈()f x ()1,+∞若函数在上单调递增，()()22f x ax x a =-∈R ()1,+∞单调递减，不成立，()0,2a f x x==-则得，0,a ≠0,11a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩1a ≥不能推出，1a ≥1a >故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.1a >()()22f x ax x a =-∈R ()1,+∞故选：A.4．已知幂函数（且）过点，则函数()21by a a x=--1a >a ∈Z (),8a y =（ ）A ．B ．[)()3,22,--⋃-+∞()()3,22,--⋃-+∞C ．D ．()2,-+∞()3,-+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义求出，根据幂函数经过的点可求，再根据函数a b y =义列式可求出结果.【详解】根据幂函数的定义可知，，解得或（舍），211a a --=2a =1a =-因为幂函数过点，所以，得，by x =()2,828b =3b =由，得且，y =()230log 30x x +>⎧⎨+≠⎩3x >-2x ≠-所以所求函数的定义域为.(3,2)(2,)--⋃-+∞故选：B5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过，则θx 44sin ,cos 33A ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）5cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BC ．D ．1212-【答案】D【分析】首先根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式求解即可.1sin 2θ=-【详解】已知角终边经过，θ44sin ,cos33A ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，41sin cos cos 332πθπ==-=-所以.51cos cos sin 222ππθθθ⎛⎫⎛⎫-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D6．2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要（ ）年（参考数据：，，）lg 20.301=lg 30.477=lg1.0140.00604=A ．8.3B ．8.5C ．8.7D ．8.9【答案】B【分析】根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可.【详解】设世界人口达到90亿至少需要年，由题意，得x 239980(1 1.4%)90 1.014lg1.014lg lg1.014lg 9lg8lg1.014lg 3lg 288x x x x x +≥⇒≥⇒≥⇒≥-⇒≥-，2lg 33lg 220.47730.301lg1.0142lg 33lg 28.44lg1.0140.00604x x -⨯-⨯⇒≥-⇒≥=≈因此世界人口达到90亿至少需要8.5年，故选：B7．函数的图象最有可能的是（ ）()2e e 44x xf x x x-+=-A．B ．C．D．【答案】A【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.【详解】有意义可得，所以且，()2e e 44x xf x x x-+=-2440x x -≠0x ≠1x ≠所以且且，所以的定义域为，1x ≠-0x ≠1x ≠()2e e 44x xf x x x-+=-()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，()()()22e e e e 4444x xx xf x f x x xxx --++-===----()f x y B ，D 错误，又，C 错误，1111222221e ee e 22114422f --⎛⎫+⎛⎫==-+<-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭⨯-⨯ ⎪⎝⎭选项A 符合函数的解析式，()f x 故选：A.8．已知，且，则的最小值为（ ）0x y >>221x y -=22234x y xy +-A ．B ．1C ．D ．34171698【答案】B【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.,x y【详解】因为，所以，令，则且221x y -=()()1x y x y -+=,m x y n x y =-=+1mn =，代入中得：22n m x n my +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩22234x y xy +-22222342342222n m n m n m n m x y xy +-+-⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222229292914442m n mn m n m n +-+-+===-1313111222mn -⨯-≥===当即“=”,229=m n m n ==所以最小值为1.故选：B二、多选题9．下列不等式错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则0a b <<11a b a >-0a b <<b a a b >C ．若，则D ．若，则0a b >>1b a <0a b >>22ac bc>【答案】ABD【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定的四个不等式的正误，可得答案.【详解】对于A 中的不等式，因为，0a b <<所以，故选项A 中的不等式不成立；()110b a b a a a b -=<--对于B 中的不等式，因为，0a b <<所以，故选项B 中的不等式不成立；220b a b a a b ab --=<对于C 中的不等式，因为，0a b >>所以，化简得出，正确；b a <1ba <对于D 中的不等式，因为，0a b >>所以在的情况下不成立.22ac bc >0c =故选：ABD10．以下命题正确的是（ ）A ．函数的单调递增区间为lny =10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．函数的最小值为2212cos cos 1y x x =++2C ．为三角形内角，则“”是“”的充要条件A 45A >︒sin sin 45A >︒D ．设是第一象限，则为第一或第三象限角α2α【答案】AD【分析】对选项A ，根据复合函数的单调性即可判断A 正确，对选项B ，利用基本不等式的性质即可判断B 错误，对选项C ，利用特值法即可判断C 错误，对选项D ，根据题意得到，，即可判断D 正确.24k k απππ<<+Z k ∈【详解】对选项A ，，因为，所以，lny =20x x -+>01x <<令，所以，t =ln y t =因为，为增函数，，为减函数，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t所以的增区间为，故A 正确.lny =10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对选项B ，，()2222112cos 2cos 122cos 1cos 1y x x x x =+=++-≥++当且仅当，等号成立.()2212cos 1cos 1x x +=+因为，无解，故等号取不到，()2212cos 1cos 1x x +=+cos x即函数最小值不是，故B 错误.2212cos cos 1y x x =++2-对选项C ，若，则，135A =︒sin sin 45A =︒所以若为三角形内角，则，不满足充要条件，故C 错误.A sin s 45i 4n 5A A >>︒⇒/︒对选项D ，若是第一象限，则，，α222k k ππαπ<<+Z k ∈所以，，即为第一或第三象限角，故D 正确.24k k απππ<<+Z k ∈2α故选：AD11．如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭O P ()1,0A PM x ⊥AQ x ⊥M 轴上，在角的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，，的值分别等于线段，x Q x sin x tan x MP 的长，且，则下列结论正确的是（ ）AQ OAP OAQOAP S S S<<扇形△△A ．函数有3个零点sin y x x =-B ．函数在内有2个零点tan y x x =-πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数在内有1个零点tan sin y x x x =++ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．函数在内有1个零点；tan sin tan sin y x x x x =+--ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用当时，，可得各个函数在上零点的个数，再根据奇函π(0,)2x ∈sin tan <<x x x π(0,)2数的图象的对称性得到函数在上零点的个数，又各个函数都有零点，由此可判断Aπ(,0)2-0x =CD ；再结合函数和的图象，可判断B.tan y x =y x =【详解】由已知可知，当时，，，π(0,)2x ∈11sin 22OAP S OA MP x =⋅⋅= 21122OAP S OA x x =⋅⋅=扇形，11tan 22OAQ S OA AQ x=⋅⋅= 所以当时，，π(0,)2x ∈sin tan <<x x x 对于A ，当时，，，所以，此时函数无零点；π2x ≥sin 1x ≤1x >sin 0y x x =-<当时，因为，所以，此时函数无零点；π02x <<sin x x <sin 0y x x =-<当时，，此时函数的零点为；0x =sin 0y x x =-=0x =因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以当时，函数无零点，sin y x x =-0x <综上所述：函数有且只有1个零点，故A 不正确；sin y x x =-对于B ，当时，因为，所以，π02x <<tan x x >tan y x x =-0>又为奇函数，所以当时，，tan y x x =-π2x -<<tan y x x =-0<当时， ，0x =tan y x x =-0=所以函数在上有且只有一个零点；tan y x x =-ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭0x =作出函数和的图象，如图：tan y x =y x =由图可知，当时，函数和的图象只有一个交点，π3π22x <<tan y x =y x =函数在上只有一个零点，tan y x x =-π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以函数在内有2个零点，故B 正确；tan y x x =-πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，，π(0,)2x ∈tan sin 0x x x >>>tan sin y x x x =++0>又函数为奇函数，所以当时，，tan sin y x x x =++x ∈π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭tan sin y x x x =++0<当时，，0x =tan sin 0y x x x =++=所以函数在内有且只有1个零点，故C 正确；tan sin y x x x =++ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭0x =对于D ，当时，，所以π(0,)2x ∈tan sin 0x x ->tan sin tan sin y x x x x =+--，tan sin tan sin 2sin x x x x x =+-+=0>又由于为奇函数，所以当时，，tan sin y x x =-π(,0)2x ∈-tan sin 0x x -<所以，tan sin tan sin y x x x x =+--tan sin tan sin 2tan 0x x x x =++-=<当时，，0x =tan sin tan sin y x x x x =+--0=所以函数在内有1个零点.tan sin tan sin y x x x x =+--ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭故选：BCD12．已知正实数，满足，则使方程有解的实数可以为x y 2245ln 21x x x y y -+=+-+224xy m x y +=+m （ ）A ．B ．2C ．D ．15232【答案】ABC【分析】根据题意，化简为，设，且，22ln (2)1(2)ln(1)x x y y⎡⎤-++-=++⎣⎦2()ln(1)f x x x =++0x >根据单调性，得到在时单调递增，故，得到，代入，()f x 0x >(2)()f x f y -=2y x =-224xy m x y +=+得到，设，，，得到，再根据单调性，22(1)52(1)2x m x --+=-+2(1)t x =-20x >> 10t ∴>≥1321m t =-++可得到的范围.m 【详解】，，，0x >0y >22ln (2)1ln(1)2x y x y ⎡⎤-+-+=+-⎣⎦ ，22ln (2)1(2)ln(1)x x y y ⎡⎤∴-+--=++⎣⎦22ln (2)1(2)ln(1)x x y y ⎡⎤∴-++-=++⎣⎦设，，明显地，单调递增2()ln(1)f x x x =++0x >()f x ，，，，(2)()f x f y ∴-=2y x ∴=-20x ->∴20x >>，2222224(2)424(2)244xy x x x x m x y x x x x +-+-++===++--+22(21)52(21)2x x x x --++=-++22(1)52(1)2x x --+=-+令，，，，设，则有2(1)t x =-20x >> 10t ∴>≥522t m t -+∴=+1321t =-++13()21g t t =-++()g t m =解，等价于与有交点，()y g t =y m =明显地，单调递减，且，故，()g t (0)()(1)g g t g ≥>5()12g t ≥>512m ∴≥>故选：ABC 【点睛】思路点睛：通过化简得到，设，利用的单调性，22ln (2)1(2)ln(1)x x y y⎡⎤-++-=++⎣⎦2()ln(1)f x x x =++()f x 得到与的关系，进而化简得到，进而利用与有交点，得到y x 22(1)52(1)2x m x --+=-+y m =22(1)52(1)2x y x --+=-+的取值范围.m 三、填空题13．命题“，”的否定是__________．x ∀∈R 20x >【答案】，x ∃∈R 2x ≤【详解】全称命题的否可得，命题的否定为“，”．x R ∃∈20x ≤答案：，．x R ∃∈20x ≤14______.3log =54-【分析】对数、根式与指数的运算法则化简即可.【详解】原式，31443331511log 31344-=-=-+=--=-.5415．已知，则的值为______.sin 2α=tan 6tan 6παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】##15-0.2-【分析】切化弦展开后化简代入计算即可.【详解】∵sin 2α=tan()sin()cos()666tan()cos()sin()66615πππαααπππααα--+==+-+====-故答案为：.15-16．设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为()2,021,0x mx x f x x m x x ⎧+≤⎪=⎨+-+>⎪⎩12m -m ______.【答案】{()1,0--∞ 【分析】对分大于0，小于0，等于0，m 同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可.【详解】①当时，0m =，()()()22,0,021,021,0x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧≤≤⎪⎪=⇒=⎨⎨-+>-+>⎪⎪⎩⎩即，如图所示：()2,01,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩由图知此时函数无最值，所以，()f x 0m ≠②当时，0m >，()()()()22,0,021,021,0x mx x x mx x f x f x x m x x x m x x ⎧⎧+≤+≤⎪⎪=⇒=⎨⎨+-+>+-+>⎪⎪⎩⎩即，()2,01,0x mx x f x x m x ⎧+≤=⎨+->⎩当时，，对称轴为，0x ≤()2f x x mx=+02mx =-<所以在单调递减，在单调递增，()f x ,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,02m ⎛⎫- ⎪⎝⎭故，()22min 02224m m m m f x f m =⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时，在上单调递增，0x >()1f x x m =+-()0,∞+所以，()()01f x f m >=-由函数的最小值为，()f x 12m -此时，()11022m mm ⎛⎫---=>⎪⎝⎭所以函数最小值为，24m -所以，即，2142m m -=-2240m m +-=解得：，1m =-+1m =-③当时，由时，0m <0x ≤，此时在上单调递减，()2f x x mx=+()f x (],0-∞所以最小值为，()0012m f =>-由时，0x >，()31,02211,2m x m x f x x m x m x m x ⎧---<<-⎪⎪=+-+=⎨⎪+->-⎪⎩此时函数在单调递减，在单调递增，0,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭所以，()min 11222m m m f x f m ⎛⎫=-=-+-=- ⎪⎝⎭所以当时，函数最小值为满足题意，0m <12m-综上所述，当函数最小值为时，()f x 12m-实数的取值范围为：，m{()1,0--∞ 故答案为：.{()1,0--∞ 四、解答题17．已知：在上恒成立；：存在使得；：存在，使得p 240x ax -+>R q θ2sin a θ+≤r 0x ∈R .030x a +=(1)若且是真命题，求实数的范围；p qa (2)若或是真命题，且是假命题，求实数的范围.p r p r a 【答案】(1)(]4,1a ∈--(2)(][),40,4a ∞∈--⋃【分析】(1)且是真命题等价于、均是是真命题，将对应的的范围分别计算取交集即可；p q p qa (2)或是真命题，且是假命题等价于、一真一假，故分若真假，或若假真两类考p r p r p r p r p r 虑，最后取并集.【详解】（1）若为真，则在上恒成立等价于，p 240x ax -+>R 2160a ∆=-<得；44a -<<若为真，则存在使得等价于，qθ2sin a θ+≤()max 2sin 1a θ+≤=得；1a ≤-且是真命题等价于、均是是真命题，故，p q p q 41a -<≤-故；(]4,1a ∈--（2）若为真，等价于有解，则，r 030x a +=a<0若为真假，则，r 0a ≥若为真，则，p 44a -<<若为假，则或；p 4a ≤-4a ≥或是真命题，且是假命题等价于、一真一假，p r p r p r 若真假，则p r 04a ≤<若假真，则，p r 4a ≤-综上：(][),40,4a ∞∈--⋃18．已知函数.()()2122f x x a x a=+--(1)求关于的不等式的解集；x ()0f x >(2)若，求函数在上的最小值.()16f =()1f x y x =-()1,x ∈+∞【答案】(1)当时，不等式的解集为；12a =-}{1x x ≠-当时，不等式的解集为或；12a >-{1x x <-}2x a >当时，不等式的解集为或.12a <-{1x x >-}2x a <(2).5【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及对参数分类讨论即可求解；a （2）根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，即，()0f x >()21220x a x a +-->()()210x a x -+>当时，不等式，解得，不等式的解集为；12a =-()210x +>1x ≠-}{1x x ≠-当即时，不等式的解集为或；12a -<12a >-{1x x <-}2x a >当即时，不等式的解集为或；12a ->12a <-{1x x >-}2x a <综上所述，当时，不等式的解集为；12a =-}{1x x ≠-当时，不等式的解集为或；12a >-{1x x <-}2x a >当时，不等式的解集为或.12a <-{1x x >-}2x a <（2）由，得，解得，()16f =()()21112126f a a =+-⨯-=1a =-所以.因为，所以，()232f x x x =++1x >610,01x x ->>-，()23261555111f x x x y x x x x ++===-++≥=---当且仅当，即时，等号成立.611x x -=-1x =所以当时，函数在上的最小值为.1x =+()1f x y x =-()1,+∞519．已知函数.()()221sin cos 2f x x x =-(1)化简，并求解；()f x 12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)已知锐角三角形内角满足，求的值.A ()13f A =cos 2A 【答案】(1)，()sin 26fx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以，利用二倍角公式及辅助角公式即可2cos x 化简，化简后将代入解析式即可求得结果.12x π=-（2）将代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑A 26A π-cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭角及两角和差公式代入数值即可求得结果.【详解】（1）()()()222211sin cos sin cos 22f x x x x x =-=-()221sin cos 2x x =-()221cos sin 2x x =-12cos 22x x =-sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；sin sin 12663f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）因为，所以()13f A =()1sin 263f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭又因为且，()11sin 2632f A A π⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭02A π<<所以，则，266A ππ-<23A π<因为，所以1sin 263A π⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 26A π⎛⎫-== ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin666666A A A A ⎡ππ⎤ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=-⨯=所以cos 2A =20．已知函数.()()3log 91x f x x=+-(1)证明：函数在上为增函数；()()3f x g x =()0,∞+(2)求使成立的的取值范围.()()22cos 32sin 0f f θθ--+<θ【答案】(1)证明见解析(2)πππ7π2π,2π2π,2π,Z6226k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据对数运算法则将函数化简之后得出的表达式，再利用单调性的定义即()f x ()g x 可得出证明；（2）结合（1）的结论和复合函数单调性得出函数在上为增函数，再利()f x ()0,∞+用函数奇偶性解带绝对值不等式即可得出的取值范围.θ【详解】（1）由函数可得()()3log 91x f x x =+-()()33391log 91log og 33l x xxx f x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭=所以()()9113333x x x xf xg x ==+=+取任意，且，()12,0,x x ∈+∞12x x <则()()2112121212121212113313333(33)13333x x x x x x x x x x x x x x g x g x ++-⎛⎫=+--=-+=--- ⎪⎝⎭易知，所以，而；120x x +>121103x x +->12330x x -<所以，即()()120g x g x -<()()12g x g x <所以函数在上为增函数.()()3f x g x =()0,∞+（2）由题意可知，函数的定义域为()f x x ∈R由可得，()()3391log log 333x x x x f x -⎛⎫+=+ =⎪⎝⎭()()3log 33()x x f x f x --=+=所以函数为偶函数；()f x 根据（1）可知，在上为增函数；()13333x x x x g x -=+=+()0,∞+根据复合函数单调性可知，在上为单调递增；()()3log 33x x f x -=+()0,∞+又函数为偶函数，所以在上为单调递减，()f x ()f x (),0∞-由可得()()22cos 32sin 0f f θθ--+<()()22cos 32sin f f θθ-<+只需满足即可，22cos 32sin θθ-<+易知，所以22cos 30,2sin 0θθ-<+>232cos 2sin θθ-<+即，解得；22sin sin 10θθ--<1sin 12θ-<<根据三角函数单调性可知πππ7π2π,2π2π,2π,Z 6226k k k k k θ⎛⎫⎛⎫∈-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域（阴影部分），以及ODBC可利用部分为区域，其中，米，区域为三角OAD 2OCB COA π∠=∠=OC =30BC =OBC 形，区域为以为半径的扇形，且.OAB OA 6AOD π∠=(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；OABC (2)在可利用区域中，设置一块矩形作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值.OAD HGIF【答案】(1)（米）；9020π+(2).3600-【分析】（1）在直角三角形中由已知条件可求出和，则可求得，从而可求出OBC BOC ∠OB BOA ∠的长，进而可求得结果；AB （2）连接，设，则结合已知条件表示出，然后表示出矩形OF 06FOA πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭,GI GH 的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值.HGIF【详解】（1）因为，，，OC =30BC =2OCB π∠=所以，tan BC BOC OC ∠===60OA OB ====因为为锐角，所以，BOC ∠6BOC π∠=因为，所以，2COA π∠=3BOA π∠=所以的长为，AB 60203ππ⨯=所以隔离带的总长度为（米）；3060209020ππ+++=+（2）连接，设，OF 06FOA πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭因为，所以，，60OF =60sin FI GH θ==60cos OI θ=因为，所以，6AOD π∠=tan6GH OG θπ==所以，60cos GI θθ=-所以()60cos 60sin S θθθ=-⋅23600sin cos θθθ=-1800[sin 2cos 2)]θθ=-，18002sin 23πθ⎡⎛⎫=+ ⎪⎢⎝⎭⎣因为，22,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以时取到最大值，1800(23600S ≤=-12πθ=所以补充门诊面积最大值为（平方米）.3600-22．已知函数.()()22πsin 23sin 4f x x x a θθ⎡⎤⎛⎫=+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1)当时，最小值为，求实数的值；π4θ=()f x 12a (2)对任意实数与任意，恒成立，求的取值范围.x 0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦()12f x ≥a 【答案】(1)或3a =5a =(2)2,2⎡⎡⎤--⎣⎣⎦ 【分析】（1）求出代入，变为只含有参数的二次函数，化简为顶点式函数，顶πsin 2,sin 4θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭a 点纵坐标即为最小值.(2) 把函数可以看成点与的距离，即直线到抛物线()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),x x --y x =的最小距离的平方为.2222y x a =+12【详解】（1）当时，，所以π4θ=πππsin 2sin 1,sin sin 1242θθ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭()()()()()222222πsin 23sin 4224164f x x x a x x a x a x a θθ⎡⎤⎛⎫=+++++=+++=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小值()()()22222222444442162161624222a a a a a x a x a a ⎡⎤+++++⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++≥+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()f x 为，即或12()()()224116350322a aa a a ++-=∴--=∴=5a =（2）所以()()()()()2222ππsin 23sin sin 23sin 44f x x x a x a x θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++=+--++--⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦可以看成点与的距离，令()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),x x --πsin 4sin 23x a y θθ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩又因为，()22222π1cos 2π2sin 1sin 2422sin 23a x a a y θθθθ⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎛⎫⎪⎝⎭=+=⋅=⋅+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎩所以点在二次函数的图像上()πsin ,sin 234a θθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222y x a =+点在直线上，直线到抛物线的最小距离的平方为(),x x --y x =y x =2222y x a =+12画图为：所以2211AB A B ==所以直线：，即直线与二次函数只有一个交点，1AA 1y x =+1AA 2222y x a =+即方程只有一个解，2222222110x x x x a a +=+⇒-+=即，所以二次函数为；221410a a ∆=-⋅⋅=∴=±21y x 24=+()2,3A∴，，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ [][]2sin 233,4,4,8y x θ=+∈∴∈即22222π1cos 2π1sin 22sin ,4222a x a x a a a θθθ⎛⎫-+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎝⎭=+∴=⋅=⋅∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以2242,224a a a ⎧≤⎪⎡⎡⎤∴∈⋃--⎨⎣⎣⎦⎪≥⎩【点睛】一般把看成点到的距离，再求与在那两个函数上，()()22m n p t -+-(),m p (),n t (),m p (),n t 就可以转化为两个函数上点的距离的最值问题.。