勾股定理与方程思想

A
B
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
C
小结：
A
D
B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直 角三角形; 2. “斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16， AC=14，BC=6，求△ABC的面积.
2.思想方法：
（1）方程思想 （2）数形结合思想 （3）转化思想 （4）建模思想 注意：
在总结本节课学习了哪些知识时，教师 可以引导学生总结，比如说，“如果题 目中出现了... ...，那么我们就考虑......”.
A
C
D
B
本题也可以过A或B作对边的高. E C
A B A
C F
B
【问题4】如果题目中没有直角三角形，但存在直角， 怎么利用勾股定理求解？
例4.一块四边形的土地，其中ABC 120，AB AD， BC CD，AB 3 3，CD 5 3，求这块土地的面积.
A B
D
C
E
A B G A H B E
C D
6
A
B
E
6
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8， AB=4，求DE的长.
C' A E D
B
C
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？ 例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
（三）总结
1.本节课学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些思想方法？
1.本节课学习了哪些知识？
（1）解决与勾股定理有关的实际问题 时，先要抽象出几何图形，从中找出直 角三角形，再设未知数，找出各边的数 量关系，最后根据勾股定理求解； （2）如果一道题目中有多个直角三角 形，要选择能够用一个未知数表示出三 条边的直角三角形（边也可为常数）， 在这个三角形中利用勾股定理求解. “斜 化直”即：斜三角形化为直角三角形求 解.
A
AB的中垂线DE交BC于点D AD=BD
B
E D
x 3-x
C
在直角三角形 中（已知两边 的数量关系）
设其中 一边为x
求各边长
解 方 程
利用勾股定理 列方程
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？
例1
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD 的长.
A
2 1 B C
D C D
C
D
小结：
题目中没有直角三角形，但存在直角， 可以考虑“补”出直角三角形求Байду номын сангаас.实际上， 本题利用“割”也有多种做法.
【问题5】如果将勾股定理中“直角三角形”改 a 2 b 2与c 2 为“斜三角形”， 的关系会是怎样呢？
思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若 ∠C=90°，如图①，根据勾股定理，则 a 2 b2 =c 2 ， 若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你类 2 2 2 比勾股定理，试猜想 a b 与c 的关系，并证明你 的结论.
1.本节课学习了哪些知识？
（3）解决折叠问题的关键：在动、静的转 化中找出不变量； （4）题目中既没有直角三角形，也没有直 角，可考虑利用作垂线段，分割图形的方法， 构造直角三角形； （5）题目中没有直角三角形，但存在直角， 可以考虑“补”出直角三角形求解.实际上， 或者利用分割图形的方法，构造直角三角形.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
b
C
c
a
2 2
B
2
a b c
勾股定理的常见表达式和变形式
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
感受新知1
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.