勾股定理的方程思想
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勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算?-华宇考试网在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
假设设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，既然如此那，可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明请看下方具体内容答：勾股定理公式：a的平方＋b的平方＝c的平方。
勾股定理：在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△abc中，∠c=90°，则a²+b²=c²。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目标明珠，被称为“几何学的基石”，而且，在高等数学和其他学科中也有着非常广泛的应用。
1发展历程中国是发现和研究勾股定理古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，故此，勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五是谓积矩。
”因为这个原因，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
2主要意义1、勾股定理是联系数学中基本也是原始的两个对象-数与形的第一定理。
2、勾股定理致使不可通约量的发现，以此深入透彻揭示了数与量的区别，即这里说的“无理数与有理数的差别，那就是这里说的首次数学危机。
3、勾股定理启动把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是早得出完整解答的不定方程，它一个方面引导到各式各样的不定方程，另外一个方面也为不定方程的解题程序培养了一个范式。
两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理计算：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
公开课-勾股定理中的方程思想
《勾股定理中的方程思想》教学设计
（七）作业布置.（多媒体课件11和12）1、、有一根高为16米的电线杆在点A 处断裂，电线杆顶部C落到离电线杆底部B点8米远的地方，求电线杆的断裂处A离地面的距离。
2、在一棵树BD的5m高A处有两只小猴子，其中一只猴子爬到树顶D后跳到离树10m的地面C处，另外一只猴子爬下树后恰好也走到地面C处，如果两个猴子经过的距离相等，
问这棵树有多高？
小溪边长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树高30尺，另外一棵树高20尺；
两棵树干间的距离是50尺，每棵树
上都停着一只鸟，忽然两只鸟同时
看到两树间水面上游出一条鱼，它
们立刻以同样的速度飞去抓鱼，结
果同时到达目标。
问这条鱼出现在
两树之间的何处？学案上完成
加强知识的应用。
巩固知
识。
数学勾股定理论文
数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文，欢迎阅读。
数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想，能够有效地提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B 与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少?分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732).(2004年天津市中考题)分析：图中无直角三角形，怎么办?联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中，S△ABC= 10(2015)米2.说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.分析：设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边为，则= 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆;也可以点D为圆心，OD为半径作圆.解：由C(10，0)可知OD=5.(1)以点O为圆心，OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想，供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有一小虫从A出发，沿长方体表面爬行，到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米?分析：求几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.对于此题，可将该长方体的右表面翻折至前表面，使A、C两点共面，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.分析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.这里不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。
勾股定理解方程
勾股定理解方程
勾股定理解方程是数学中的一个经典问题，其主要思想是利用勾股定理来解决方程的求解问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，如果三角形的直角边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么有:
a2 + b2 = c2
这是一个关于 c 的二次方程，可以使用勾股定理解方程方法来解决。
具体来说，可以将方程变形为:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
其中 C 是直角三角形的斜边与一条直角边之间的角度差，即 C =
arctan(b/a)。
然后将方程两边同时除以 a2 + b2，得到:
c = sqrt(a2 + b2) / (a2 + b2)
这意味着，如果我们有一个二次方程，其根为 c，那么我们可以使用勾股定理解方程方法来求解 c 的值。
例如，考虑以下方程:
x2 + 2x + 1 = 0
这个方程有一个解为 x = 1，我们可以使用勾股定理解方程方法来解决: c2 = x2 + 2x + 1
c2 = 1 + 2 + 1
c2 = 5
因此，c 的值为 sqrt(5)。
勾股定理解方程方法的主要思想是利用勾股定理将方程转化为一个关于 c
的二次方程，然后求解 c 的值。
这种方法可以用于解决许多不同类型的方程，特别是在解决线性方程组时非常有用。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理中的方程思想和参数方法复制
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只 猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到 树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的 距离相等,试问这棵树有多高?
C
15米
D
10米
┏
20米
B
A
方程思想：
•方程的思想是分析问题中的变量间的等量关系，构建 方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解 决问题。
Δ ABC中，周长是24，∠C=90°，且AB=9，则三角 形的面积是多少？ 解：设BC=a,AC=b,依题意得：
B
c
A b a C
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与 B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm, 你能求出CE的长吗？
B D
A E
C
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知：DA=15km， CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购 站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在 离A站多少km 处？
B
x
8
D
C
如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，F为BD上一 点，且BF=3FD，试猜想线段AE,EF的位置关系并证明.
A C
解： ∠AEF=900,证明如下: 设ＦＤ＝a,则ＢＦ＝３a，ＢＤ＝ＡＢ＝ ＡＣ＝ＣＤ＝４a， ＤＥ＝ＣＥ＝２a, 在ＲtΔ ABF中，ＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢF２＝２５a2
E
B
F
D
在ＲtΔ DEF中，ＥＦ２＝ＤＦ２＋ＤＥ２＝５a2
在RtΔ AEC,AE2=AC2+EC2=20 a2 ∴EF2+AE2=AF2 ∴∠AEF=900
勾股定理的方程思想总结
勾股定理的方程思想总结勾股定理是数学中的一条重要定理，由中国古代数学家所发现和证明。
它为解决直角三角形中的问题提供了重要的数学工具，也是数学推理中的一种经典的思想方法。
在这1000字的总结中，我将详细介绍勾股定理的方程思想，包括其背景、推导过程和应用领域。
首先，我们来介绍一下勾股定理的背景。
在古代，古希腊的毕达哥拉斯学派和古中国的《周髀算经》中都有类似的关于直角三角形的边长的关系。
然而，勾股定理最早的证明是由中国古代的《周髀算经》所给出的，可以追溯到约公元前500年左右。
根据《周髀算经》中的记载，古代算术家商高在解题时发现了直角三角形中三边的关系，并用文字形式进行了描述。
这一发现被后来的数学家所发扬光大，成为了后来的勾股定理。
接下来，我们探讨一下勾股定理的推导过程。
勾股定理的推导思想可以用几何和代数方法进行证明。
首先，我们以直角三角形的三个边为对象进行分析。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
为了证明这个定理，我们可以使用几何方法进行推导。
具体步骤如下：1. 通过画图，我们可以得到一个直角三角形，其中直角边a和b构成直角，斜边c位于直角边的对面。
2. 将直角边a和b延长，分别延长到直角边b的竖直延长线和直角边a的水平延长线上。
3. 直角边a和b所延长后的部分构成一个正方形和一个长方形。
4. 根据几何性质，我们可以得到正方形的边长为a+b，长方形的边长为a和b。
5. 正方形的面积可以表示为边长的平方，即(a+b)²。
长方形的面积可以表示为a*b。
6. 根据几何性质，正方形的面积可以等于两个长方形面积之和。
7. 将上述两个公式相等，我们可以得到(a+b)² = a² + b²。
8. 展开上述式子后，我们可以得到一个等式 a² + 2ab + b² = a² + b²。
勾股定理的题型与解题方法
勾股定理的题型与解题方法一、知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2） 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、典型题型题型1、求线段的长度例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。
练习1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（ ）A 、6厘米；B 、 8厘米；C 、 80/13厘米；D 、 60/13厘米；5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长题型2、判断直角三角形例2、如图己知13,12,4,3,====⊥AD CD BC AB BC AB 求四边形ABCD 的面积DABC1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，72. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 3. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
勾股定理与数学思想方法
勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
因此，勾股定理体现了数形结合的思想。
除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思 想求解的题目随处可见。
例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图1（单位：cm ）。
将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A 、B 、E 三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O 及A 、B 、E 三点的截面示意图。
已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点E ，CD AC ⊥，CD BD ⊥。
请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。
图2解：连结OA 、OE ，设OE 与AB 交于点P ，如图3。
∴⊥⊥=,CD BD ,CD AC ,BD AC 四边形ACDB 是矩形。
CD 与⊙O 切于点E ，OE 为⊙O 的半径，4PE ,4BD AC 8PA ,16CD AB AC PE ,PB PA ABOE ,CD OE =∴===∴===∴=⊥∴⊥∴ 在OAP Rt ∆中，由勾股定理得22PA OA =2OP +，即222)4OA (8OA -+=，解得10OA =。
所以这种铁球的直径为20cm 。
2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得对问题完整的解答。
在这里充分体现了分类讨论的思想。
勾股定理
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（）
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
.
（二）求面积
例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
（2）写出各数都大于30的两组商高数．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是.
勾股定理折叠问题,方程思想
第一讲 勾股定理本章知识要点导航 ：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．（4）勾股数：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．（5）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．课堂笔记：_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆：在Rt △中，已知两边求第三边；(1)在ABC Rt ∆中，已知ο90=∠C ，8,6==b a ，则c=______________；(2)在ABC Rt ∆中，12,5==b a ，则c=______________；变式1：直角三角形的两直角边分别为5,12，则斜边上的高为______________；变式2：若一个直角三角形两直角边之比为4:3，斜边的长为20，则这个三角形的周长是___________； 变式3：已知在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，4,12==+b c a ，则ABC ∆的面积为___________；➢ 知识考点2☆☆☆：利用勾股定理求面积；思考：“问号正方形”的面积是多少？这个类型的问题还有哪些拓展呢？【经典例题1】有一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94【变式1】如图，直线l 上依次放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1，正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ，则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积是_____________.（例1） （变1） （变2）➢ 知识考点3☆☆☆：应用勾股定理，求等腰三角形底边上的高；1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________；2、一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，以底边为边长的正方形的面积为_________；3、等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．➢ 知识考点4☆☆☆：利用方程思想求线段长（含双勾股）1、在ABC ∆中，AD 是高线，若4=AB ，2=AD ，3=AC ，则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中，17=AB ，10=AC ，9=BC ，则BC 边上的高为_____________;3、如图，小溪边有两棵树隔岸相望，一棵树高m 9，另一棵树高m 6，两棵树之间的距离是m 15，在两棵树顶上各停着一只水鸟，两只鸟同时看到水面上有一条小鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，求小鱼离较高那棵树有多远？4、如图，点P 是长方形ABCD 内一点，7,5,1===PC PB PA ，求PD 的长。
勾股定理中的数学思想
勾股定理中的数学思想勾股定理是平面几何相关胸怀的最基本定理 ,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点 .同学们在学习时 ,不单要灵巧运用该定理及逆定理 ,并且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想 .比方数形联合思想、转变思想、方程思想等 .现举出几例进行剖析 ,供同学们参照 .一、数形联合思想例 1. 在直线L上挨次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、S2、S3、S4 ,则 S1 +S2 +S3 +S4 =. 312S4 S2 S3S1L图 1剖析 :经过察看图形 ,能够看出正放着正方形面积与斜搁置的正方形之间关系为 : S 1 +S2 =1;S 2 +S3 =2; S 3 +S4 =3; 这样数形联合可把问题解决.解: S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方 , S2代表的面积为S2的正方形边长的平方 , 所以 S1 +S2 =斜搁置的正方形面积为1; 同理 S3 +S4 =斜搁置的正方形面积为 3, 故 S1 +S2 +S3 +S4 =1+3=4.二、转变思想例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是5cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少 ?剖析:蚂蚁其实是在长方体的侧面上爬行,假如将长方体的侧面睁开 (如图 2-1),依据“两点之间线段最短 .”所以求得的路径就是侧面睁开图中线段 AC 之长 ,但睁开方式有 3 种,这样经过侧面睁开图把立体图形转变为平面图形,结构成直角三角形,利用勾股定理即可求解 .解:如下图 ,把长方体睁开后获得如图 2-1、图 2-2 、图 2-3 三种情况 , 蚂蚁爬行的路径为睁开图中的 AC长 , 依据勾股定理可知 :2222 2在图 2-1 中 ,AC =AB BC =30 5 =925图 2-3 中, AC 2 = AD2CD 2=252102=725于是 , 依据上边三种睁开情况中的 AC长比较 , 最短的路径是在图 2-2 中, 故蚂蚁从 A 点爬行到点 C,最短距离为 25cm.三、方程思想例 3. 如图 3, 铁路上 A、B 两点相距 25km,C、 D两点为乡村， DA⊥AB于 A，CB ⊥AB于 B，已知 DA=15km， CB=10km。
勾股定理及方程思想的综合应用
典型问题分析与解决策略
典型问题一
已知直角三角形两条直角边，求 斜边。
解决策略
直接应用勾股定理，建立方程并 求解。
典型问题二
已知直角三角形一条直角边和斜 边，求另一条直角边。
解决策略
验证三边是否满足勾股定理条件 。
典型问题三
判断一个三角形是否为直角三角 形。
解决策略
通过勾股定理建立方程，并化简 求解。
XX
PART 02
方程思想在勾股定理中应 用
REPORTING
方程建模与求解过程
勾股定理描述
求解过程
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
通过代入已知数值，解三角形两条边时，可建立 方程求解第三边。例如，已知直角边 $a$和$b$，求斜边$c$，则方程为 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 方程思想在复杂问题中的应用：对于更复杂的数学问题，如多元函数、微分方 程等，方程思想仍然具有重要的应用价值。通过建立适当的方程或方程组，可 以将复杂问题转化为相对简单的求解问题。
• 勾股定理与方程思想的跨学科应用：除了在数学领域中的应用外，勾股定理和 方程思想还可以在其他学科中找到广泛的应用。例如，在物理学中，勾股定理 可以用于计算物体的位移、速度等；在化学中，方程思想可以用于解决化学反 应中的平衡问题；在经济学中，方程思想可以用于分析市场供需关系等。因此 ，掌握勾股定理和方程思想对于提高跨学科解决问题的能力具有重要意义。
结合勾股定理和方程思想，可以建立化学反应中物质质量、 物质的量和反应速率等物理量之间的关系式，进而进行化学 计算。
经济问题中价格、数量和总收入关系分析
价格与数量关系
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
[1]推广定理：勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
勾股定理的数学思想
勾股定理中的数学思想《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。
在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
下面举例说明。
1. 整体思想例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。
图1分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。
但由ab S 21=联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a 所以42)6(2=-ab解得1=ab 所以2121==ab S 2. 转换思想例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且40'20==BC AB ，。
根据勾股定理，得22''BC AB AC +=)(7.44402022cm ≈+=壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得图4912152222=-=-=AD AB BD1612202222=-=-=AD AC CD所以25169=+=+=CD BD BC（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得图5169==CD BD ，此时7916=-=-=BD CD BC综上所述，BC 的长为25或7。
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学生读题解题
出示练习
出示解答过程
小结
今天我们学习了已知直角三角形一边及另两边的数量关系求各边长的这类问题，解决这类问题的关键是先从数量关系入手设未知数，再根好的，同学们理清思路了吗我们一起来完成解答过程。
解：设水深有x尺，则芦苇长(x+1) 尺。由题意，得
x2+52=(x+1)2
解得： x=12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
读题思考
幻灯片：出示例3题目
出示示意图
出示解答过程
随堂解题
师：刚才老师举了几个例子，同学们是否都掌握了呢下面请大家做一个随堂练习。
幻灯片：出示例1题目
出示解答过程
出示解答过程
出示流程图
讲解例2
师：我们再来看一个例子。请同学们先读一下题目。
例2如图，在Rt△ABC中，∠C=900, AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D,连结AD，求AD的长.
师：首先我们来分析一下条件.已知AB的中垂线DE交BC于点D,即D在线段AB的中垂线上，则有AD=BD.根据BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长.
师：首先我们根据题意画出示意图。芦苇可以用线段AD来表示，其中BD表示露出水面的部分，拉动芦苇后的位置用线段AC来表示。根据拉动后芦苇的顶端恰好到达水面可以知道，若连结BC，则有BC⊥AD. 根据题意，BD=1尺，BC=丈=5尺，特别地，在芦苇拉动过程中长度不改变，即AC=AD. 这个时候我们来看Rt△ABC，BC的长已知，AC比AB长1尺，那么我们不妨设AB=x尺,则AC=(x+1) 尺，根据勾股定理列方程就可以求出x的值.
【授课内容】勾股定理的方程思想
【适用年级】八年级上
【执教教师】宁波镇海蛟川书院 滕丽
【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。
【教学过程】
教学板块
教师教学
学生活动
媒体插入
揭示课题，
明确任务
师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就称为勾股定理，即如果 为直角三角形的两条直角边长， 为斜边长，则 。在直角三角中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢这就是今天我们所要学习内容。
幻灯片：勾股定理
讲解例1
师：我们先来看一个简单的问题。
例1在△ABC中，∠C=Rt∠,
(1)如果BC=16,AB:AC=5:3,求AB、AC的长.
(2)如果AC=5,AB=BC+1,求AB、BC的长.
师：在第(1)小题中，已知了直角三角形ABC的一条边BC的长及另两边的数量关系: AB:AC=5:3，根据这个数量关系，可以把AB设成5x, AC为3x,根据勾股定理得 就能列出含x的方程，从而求出x的值。下面我们一起来解答这个小题。
练习如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.
师：请同学们先独立思考完成。（停顿）
师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE＝AC＝6cm，CD＝DE,∠C= ∠AED=90°。在Rt△BDE中，BE＝ABAE 106＝4cm,而BD+DE=BD+CD=BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。
解：(1)设AB=5x,则AC=3x(x>0)
由勾股定理得162+(3x)2=(5x)2
解得： x2=16
∵x>0∴x=4
∴AB=20,AC=12.
师:下面我们来看第(2)小题,同学们你们会求吗(停顿)
师:是的。我们可以从AB=BC+1这个数量关系入手，设BC= x, 则AB=x+1，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个小题。
读题思考
幻灯片：出示例2题目
依次出现两个结论
出示解答过程
讲解例3
师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。
例3在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何”这道题的意思是说：有一个边长为1丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问水有多深芦苇多长请解这道题。
解：在Rt△ABC中, AC=6cm，BC=8cm
∴ AB=10cm
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90°
∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90°
设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
在Rt△BDE中,由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42
解得x＝3
∴ CD=DE=3cm
师：好的，同学们理清思路了吗我们一起来完成解答过程。
解：∵D在线段AB的中垂线上
∴AD=BD
∵BC=3
∴BD+CD=AD+CD=3
设AD=x,则CD=3- x，
由勾股定理得：x2=(3-x)2+12
解得: x=
∴AD=
师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。
(2)设BC= x, 则AB=x+1(x>0)
由勾股定理得x2+52=( x+1)2
解得： x=12
∴BC=12,AB=13.
师：我们总结一下步骤：
在直角三角形中（已知两边的数量关系）
设其中一边为x利用勾股定理列方程
解方程求各边长
这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》，你掌握了吗
读题思考