数列习题及答案
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
高中数学数列知识及练习题附答案
数列的概念和性质（一）练习题及时反馈1.（1）2+n n ；（2）1)1(2+-n n 一.巩固提高 1.C.；2.A ； 3D. 二.能力提升 5.（1）n a ＝)12)(12(+-n n n ：（2）n a ＝)1()1(1+--n n n（3）n a ＝n 3174－（为了寻求规律，将分子统一为4，则有144，114，84，54，……；所以n a ＝n3174－）（4）n a ＝110-n （5）n a ＝9934（1102-n ）. 由（4）的求法可得1a ＝9934（102－1）， 2a ＝9934（104－1），3a ＝9934（106－1），……故n a ＝9934（1102-n ）6.(1))12(3--n ； (2)1)1()1(+++n n n n ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=为正偶数）为正奇数）（n n n n a n (221；或41)1(2--+=n n n a .（评注：⎩⎨⎧=为正偶数）为正奇数）（n n g n n f a n ()()(，则：)(4)1(1)(2)1(1n g n f a nn n -++--=）数列的概念和性质（二）答案：即时反馈1. ⎩⎨⎧∈≥--==),2(22)1(1*N n n n n a n 即时反馈2.分析：)32)(12(2232)11(1211+++=+++=++n n n n a n b bn nn 138448422>++++=n n n n ，所以数列}{n b 是单调递增数列.即时反馈3.数列}{n a 中最小的项是7a ＝8a ＝16 分析：法1：直接由二次函数性质求出法2：由n a >1－n a 且n a <1＋n a 求出： 及时反馈4.(1)21(2) 1+n a 43=n a （),1*N n n ∈≥1+n S 43=21+n S （),1*N n n ∈≥ 巩固提高.1.Ｄ 2.Ｄ 3.Ｂ 4.Ｂ能力提升.5.D. 分析：n a ＝2212121)1(-=⋯⋯⋯⋯-n n a a a a a a n n ，所以5a ＝16256. B. 分析：经计算可知每6个数数列将会重复出现，2008a ＝4a ＝－17.⎩⎨⎧==12b c 或⎩⎨⎧=-=63b c ;. 8. 320-=a分析：计算出32-=a ，33=a ，4a ＝0，所以20a ＝32-=a 9.n a =n110. 3a ＝2 分析：当n ＝3时，3a 4a ＝（3＋2）（0＋2）＝10，由于n a 为非负整数，所以3a 的可能取值为1，2，5，10.当3a ＝1时，4a ＝10，4a 5a ＝（1＋2）（3＋2）＝15，得5a ＝23，不合题意； 当3a ＝2时，4a ＝5，4a 5a ＝（2＋2）（3＋2）＝20，得5a ＝4；此时5a 6a ＝（5＋2） （2＋2）＝28，6a ＝7，……当3a ＝5时，4a ＝2，4a 5a ＝（5＋2）（3＋2）＝35，得5a ＝235不合题意； 当3a ＝10时，4a ＝1，4a 5a ＝（10＋2）（3＋2）＝60，得5a ＝60；此时5a 6a ＝（1＋2）（10＋2）＝36，6a ＝53，不合题意 综合可知：3a ＝211.(1)1,21, 31,41,51. (2) n a =n 1. 12.⎪⎩⎪⎨⎧∈≥+==),2(12)1(0＋n N n n n n a等差数列概念和性质等差数列性质应用答案即时反馈1. B; 即时反馈2. ；即时反馈3. ；即时反馈4. 5个 巩固提高 1：B. 由于奇偶－S S ＝5d ＝15，所以d ＝32：B. 由15321=++a a a 可知52=a ，所以5（5－d ）（5＋d ）＝80，故d ＝3而=++131211a a a 312a ＝3（d a 102＋）＝105 3：B. 由于25a ＝1264=+a a ，所以5a ＝6，所以9S ＝95a ＝544： B. 由于41a a ＋＝1332=+a a 且21=a 得4a ＝11，所以d ＝3，而=++654a a a 35a ＝3（4a ＋d ）＝425：=m 0；公差d ＝2. 由公式Bn An S n +=2（2dA =）直接可得 能力提升 6. C7. 130. 由于230a ＝15a ＋45a ，所以30a ＝50，而60a ＋15a ＝30a ＋45a ，所以60a ＝130 8.11-+n n . 由于有21+n 个奇数项，21-n 个偶数项，所以项数之比为11-+n n 9. 5 . 由3227=偶奇S S 得奇偶奇偶＋－S S S S ＝27322732＋－，即5953546=d ，所以d ＝5 10. 10. 由于奇偶－S S ＝50d ＝25，且奇偶S S +＝45，所以奇S ＝1011. d ＝－1 .10S －5S ＝++76a a ……＋10a ＝－15，（10S －5S ）－5S ＝5×5d ＝－25，所以d ＝－112. 16. 奇偶－S S ＝nd ＝6，=--112a a n 2（d n )1-＝10.5，相除得n ＝8因此项数为16 13.72-. 1991955512()99,2192a a S a a a a a a +⨯==-+=⇒=-∴+=-，11651216()16()1691672222a a a a S +⨯+⨯-⨯====-等差数列性质应用（二）等差数列性质应用（二）练习答案：即时反馈1.（1）当1,231==d a 时，n n n n n S n +=-+=2212)1(23，由2)(2k k S S =得，2224)21(21k k k k +=+，即0)141(3=-k k ，又0≠k ，所以4=k ． （2）设数列{}n a 的公差为d ，则在2)(2k k S S =中分别取2,1=k 得⎩⎨⎧==224211)()(S S S S 即⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=211211)2122(2344 d a d a a a ，由（1）得01=a 或11=a ．当01=a 时，代入（2）得：0=d 或6=d ；当0,01==d a 时，0,0==n n S a ，从而2)(2k k S S =成立；当6,01==d a 时，则)1(6-=n a n ，由183=S ，216,324)(923==S S 知，239)(S S ≠，故所得数列不符合题意；当11=a 时，0=d 或2=d ，当11=a ，0=d 时，n S a n n ==,1，从而2)(2k k S S =成立；当11=a ，2=d 时，则2,12n S n a n n =-=，从而2)(2k k S S =成立，综上 共有3个满足条件的无穷等差数列；0=n a 或1=n a 或12-=n a n ．另解：由2)(2k k S S =得22221111[(1)][(1)]22k a k d k a k d +-=+-，整理得12222211111111()()()042242d d k da d k a a d d da -+-+-++-=对于一切正整数k 都 成立，则有12212211110421*******d d da d a a d d da ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-++-=⎪⎩解之得：100d a =⎧⎨=⎩或101d a =⎧⎨=⎩或121d a =⎧⎨=⎩所以所有满足条件的数列为：0=n a 或1=n a 或12-=n a n ．即时反馈2不是.提示：令1=n 得，321=+a a ，所以a a -=32当3≥n 时，12-=n a n ，若数列}{n a 是等差数列，则1a ＝a 1=，a a -=323=此时0=a 故这样的a 不存在.所以数列}{n a 不是等差数列即时反馈3.n a ＝）－（）（－1211n n +（*N n ∈） 分析：（1）当n ＝1时，1a ＝1S ＝1（2）当2≥n 时，n a ＝n S －1-n S ＝）－（）（－1211n n +，当n ＝1时，也适合， 所以n a ＝）－（）（－1211n n +（2≥n ），（*N n ∈） 即时反馈4. A巩固提高：1. B 2.C 3.D 4.B 5.C能力提升：6.证明略7. 解+++963a a a ……99a +＝66分析：设1T ＝+++741a a a ……97a +，2T ＝+++852a a a ……98a +，3T ＝+++963a a a ……99a +，则3T －2T ＝33d ，2T －1T ＝33d ，即2T ＝3T －33d ，1T ＝3T －66d所以1T ＋2T ＋3T ＝33T －99d ＝99，所以3T ＝668. 变式1.即n ＝7或n ＝8，n S 取最大值.分析：若用解法1，当n ＝215时，取最大值，但是215*N ∉,因此需取距215较近的正整数， 即n ＝7或n ＝8，n S 取最大值. 另两种解法略（同学们一定自己认真完成）变式2.（1）若n m +为偶数，则2n m k +=*N ∈，所以2n m S +最大 （2）若n m +为奇数，则2n m k +=*N ∉，所以21++n m S ＝21-+n m S 最大 分析：用解法3非常简单，另两种解法略（同学们一定自己认真完成） 解：由)(n m S S n m ≠=可知，对称轴为2n m k +=（1）若n m +为偶数，则2n m k +=*N ∈，所以2n m S +最大 （2）若n m +为奇数，则2n m k +=*N ∉，所以21++n m S ＝21-+n m S 最大9.①228n a n =+②21n a n =+③21n a n =④121(2)33n n a -=+⋅- 10. 4(1)n a n n =+。
高中数列经典习题含答案
高中数列经典习题 ( 含答案 )1、在等差数列 {a n}中,a1=－250,公差 d=2,求同足以下条件的全部 a n的和 , (1)70≤n≤ 200;(2)n 能被7 整除 .2、等差数列 {a n}的前 n 和 S n.已知 a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差 d 的取范；(Ⅱ)指出S1,S2,⋯,S12,中哪一个最大 ,并明理由.3、数列 { a n }是首23，公差整数的等差数列，且前 6 正，从第 7 开始的，回答以下各： (1)求此等差数列的公差d;(2) 前n和 S n,求 S n的最大;(3)当 S n是正数,求n的最大 .4、数列 { a n}的前 n 和S n.已知首1a =3,且S n 1+ S n=2a n 1,求此数列的通公式a n及前n 和Sn .5、已知数列 { a n }的前 n 和S n13n(n＋1)(n＋2),求数列 { 1a n}的前 n 和 .6、已知数列 { a n}是等差数列 ,此中每一 及公差d均不 零 ,a i x 2 2a i 1xa i 2=0(i=1,2,3,⋯)是对于x 的一 方程 .回答： (1)求全部 些方程的公共根;(2) 些 方 程 的 另 一 个 根m i, 求m1, m1, m1,⋯ ,1 ,⋯也成等差数列 .112131m n17、假如数列 { a n} 中 ,相 两 a n和 a n 1是二次方程 x n23nx n c n=0(n=1,2,3⋯)的两个根 ,当 a 1=2 , 求c 100 的 .8、有两个无 的等比数列 { a n }和{ a n }, 它 的公比的 都小于 1,它 的各 和分 是 1 和 2, 而且 于全部自然数 n,都有 a n 1, 求 两个数列的首 和公比 .9、有两个各 都是正数的数列{ a n},{ b n}. 假如a =1,b =2,a =3.且, ,an 1 成等差数列 ,,an 1 , bn 1 成112a nb nb n等比数列 ,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列 {log2x n}的第 m 项等于 n，第 n 项等于 m(此中 m n)，求数列 {x n}的前 m＋n 项的和。
数列章节课后习题及答案
数列习题及答案详解一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( )． A ．30 B ．31 C ．32 D ．33解析 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案 B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )． A ．15 B ．16 C ．49 D ．64解析 由于S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又a 1＝1适合上式． ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15. 答案 A3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )．A ．31B ．32C ．33D ．34解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )．A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案 D5．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( )． A ．4 B ．8 C ．16 D ．32解析 由等比数列的性质得：a 2a 6＝a 24＝16. 答案 C6．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )． A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4D ．n 2＋n 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析 设等比数列的首项为a 1，公比为q .因为8a 2＋a 5＝0，所以8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S5S 2＝)1(11)1(2151q a q q q a --⋅-- ＝1－q 51－q 2＝－11. 答案 A8．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )．A ．120B ．70C ．75D ．100 解析 ∵)2(2)123(+=++=n n n n S n ，S n n＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.答案 C9．设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )．A.2]1)1[(--nn B.2]1)1[(1+--n C.2]1)1[(+-nD.2]1)1[(--n解析 因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝)1(1])1(1)[1(------n＝2]1)1[(--n.答案 D10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则S 4＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．16解析 设数列{a n }的公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，∴q＝2.∴S 4＝1－241－2＝15.答案 C 11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( )． A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定解析 10476518218218121932222)(b b b a q a q q a q q a q a q a a a +====≥+=+=+12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且7,373=-=S S ，那么数列{}n a 的公差=d （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A二、填空题13．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，S 50＝________. 解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25＝－25. 答案 －2514．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析 设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以0)]61)(14(1[)]61)(1(1[=--++--+k ，即k ＝10.答案 1015.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析 设竹子从上到下的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d＝766，a 1＝1322a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 答案 676616. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥217. 等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案 －2 2n －1－12三、解答题18. 知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．(1)解 设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得：A ＝2，B ＝－4，C ＝0.∴S n ＝2n 2－4n .(2)证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)] ＝4n －6.∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．当n ＝1时符合上式，故a n ＝4n －6， ∴a n ＋1－a n ＝4，∴数列{a n }成等差数列．19. 知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144.20. d 为非零实数，a n ＝1n[C 1n d ＋2C 2n d 2＋…＋(n －1)C n －1n d n －1＋n C n n d n ](n ∈N *)．(1)写出a 1，a 2，a 3并判断{a n }是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设b n ＝nda n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由已知可得a 1＝d ，a 2＝d (1＋d )，a 3＝d (1＋d )2.当n ≥2，k ≥1时，k nC k n ＝C k －1n －1，因此 a n ＝∑n k ＝1k n C k n d k ＝∑n k ＝1C k －1n －1d k ＝d ∑n －1k ＝0C k n －1d k ＝d (d ＋1)n －1. 由此可见，当d ≠－1时，{a n }是以d 为首项，d ＋1为公比的等比数列； 当d ＝－1时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }不是等比数列． (2)由(1)可知，a n ＝d (d ＋1)n －1，从而b n ＝nd 2(d ＋1)n －1S n ＝d 2[1＋2(d ＋1)＋3(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －2＋n (d ＋1)n －1]．①当d ＝－1时，S n ＝d 2＝1.当d ≠－1时，①式两边同乘d ＋1得(d ＋1)S n ＝d 2[(d ＋1)＋2(d ＋1)2＋…＋(n －1)(d ＋1)n －1＋n (d ＋1)n ]．② ①，②式相减可得－dS n ＝d 2[1＋(d ＋1)＋(d ＋1)2＋…＋(d ＋1)n －1－n (d ＋1)n ]＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+n n d n d d d )1(1)1(2. 化简即得S n ＝(d ＋1)n(nd －1)＋1. 综上，S n ＝(d ＋1)n (nd －1)＋1.21. 知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设n n a b 41log32=+ (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .[尝试解答] (1)由题意，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)，又2log 341-=n n a b ，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)． ∴S n ＝1×14＋4×⎝⎛⎭⎫142＋7×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ， 于是14S n ＝1×⎝⎛⎭⎫142＋4×⎝⎛⎭⎫143＋7×⎝⎛⎭⎫144＋…＋(3n －5)×⎝⎛⎭⎫14n ＋(3n －2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， 两式相减，得 34S n ＝14＋3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －(3n －2)×⎝⎛14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝⎛⎭⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝⎛⎭⎫14n (n ∈N *)．22. 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15， 又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1. (2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9， 由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d ＞0，∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n n －1 2×2＝n 2＋2n .。
数列练习题_附答案
数列练习题_附答案强⼒推荐⼈教版数学⾼中必修5习题第⼆章数列1．{a n }是⾸项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等⽐数列{a n }中，⾸项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都⼤于零的等差数列，公差d ≠0，则( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知⽅程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成⼀个⾸项为41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等⽐数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．若数列{a n }是等差数列，⾸项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成⽴的最⼤⾃然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等⽐数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ．－108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等⽐数列，则212b a a 的值是( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．4110．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9⼆、填空题11．设f (x )＝221+x ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和公式的⽅法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等⽐数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝．(3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插⼊三个数，使这五个数成等⽐数列，则插⼊的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平⾯内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤f (n )表⽰这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列.18．设{a n }是公⽐为 q 的等⽐数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为⾸项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，⽐较S n 与b n 的⼤⼩，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2 S n (n ＝1，2，3…)．求证：数列{nS n }是等⽐数列．第⼆章数列参考答案⼀、选择题1．C解析：由题设，代⼊通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：本题考查等⽐数列的相关概念，及其有关计算能⼒．设等⽐数列{a n }的公⽐为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，⼜a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．⼜a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，⽽⽅程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是⼀个⽅程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另⼀个⽅程的两个根．∴167，1615分别为m 或n ，∴｜m －n ｜＝21，故选C ．解法2：设⽅程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：若＋s ＝p ＋q ，则a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设x 1为第⼀项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47，∴m ＝167，n ＝1615，∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27，∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有⼀正数⼀负数，⼜a 1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0，∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0，故4 006为S n ＞0的最⼤⾃然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最⼤值．∵S n 是关于n 的⼆次函数，如草图所⽰，∴2 003到对称轴的距离⽐2 004到对称轴的距离⼩，∴20074在对称轴的右侧．根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右侧，S n ＞0的最⼤⾃然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，⼜由a 1，a 3，a 4成等⽐数列，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．(第6题)8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ??＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 分别为公差和公⽐，则－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2，∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，⼜a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，⽽a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．⼆、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ，∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222?+＝x x 22221+，∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋x x 22221+?＝x x 222211+?+＝x x 22)22(21++＝22．设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121==+=+q q a a a a ，∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216．解析：本题考查等⽐数列的性质及计算，由插⼊三个数后成等⽐数列，因⽽中间数必与38，227同号，由等⽐中项的中间数为22738?＝6，∴插⼊的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413?＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)．解析：同⼀平⾯内两条直线若不平⾏则⼀定相交，故每增加⼀条直线⼀定与前⾯已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)．三、解答题17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满⾜从第2项开始每项与其前⼀项差为常数．证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦满⾜，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．⾸项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋cb a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋，∴a c b ＋，b a c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21．（2）若q ＝1，则S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ．若q ＝－21，则S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ．当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ，故对于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ，所以1＋1＋n S n ＝n S n 2．故{n S n }是以2为公⽐的等⽐数列．。
数列求通项公式练习题及答案
数列求通项公式练习题及答案练题
1. 求等差数列的通项公式，已知公差为3，首项为5。
2. 求等差数列的通项公式，已知首项为2，末项为20，公差为2。
3. 求等差数列的通项公式，已知首项为10，公差为-2，求第6项。
4. 求等差数列的通项公式，已知首项为1，公差为0.5，求第10项。
5. 求等差数列的通项公式，已知首项为3，公差为-1/2，求第8项。
答案
1. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
公差为3，首项为5，代入公式得：$a_n = 5 + (n-1) \cdot 3$
2. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为2，末项为20，公差为2，代入公式得：$20 = 2 + (n-1) \cdot 2$
化简为：$18 = (n-1) \cdot 2$
3. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为10，公差为-2，求第6项，代入公式得：$a_6 = 10 + (6-1) \cdot -2$
4. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为1，公差为0.5，求第10项，代入公式得：$a_{10} = 1 + (10-1) \cdot 0.5$
5. 等差数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
首项为3，公差为$-\frac{1}{2}$，求第8项，代入公式得：$a_8 = 3 + (8-1) \cdot -\frac{1}{2}$
以上是数列求通项公式练习题及答案。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
(完整版)《数列》练习题及答案
欢迎阅读《数列》练习题姓名_________班级___________一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．12 2 C ．13 2 D ．14 22．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．23．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.1745．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]6．小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( )A ．0B ．－ 3 C. 3D.328．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ3n}为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12D.129．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A．S17 B．S18 C．S19D．S2010．将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A．34 950 B．35 000 C．35 010D．35 050二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.12．设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝________.．)100项2,0，n2n1232n－1<3.18．(本小题满分8分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.19．(本小题满分10分)已知单调递增的等比数列{a n}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n ＝n n a log a 21，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m 的取值范围．参考答案选择题答案题号 12345678910答案C A B C C C B C C A填空题答案第11题 24第12题第13题 a n ＝2·3n第14题-7【第15题】S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?a 1＋5?2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝5－15－1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n ?n ＋1?.设{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1100×101 ＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101 ＝1－1101＝100101. 【第16题】(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .【第17题】(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数． 又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)由已知得b n ＝12])1(1[8+--n n ，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n . 即b n ＝⎩⎨⎧0，?n ＝2k ，k ∈N *?，a n ，?n ＝2k －1，k ∈N *?.∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1T n T n n ⎪⎩≥+-)7(,460112n n n 【第19题】(1)n n 2a =(2)∵b n ＝2n ·log 12 2n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21)21(2--n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立． ∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
数列练习题及答案
数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a2=3，且满足an+1 = an + 2n，求S5的值。
A. 25B. 28B. 30D. 312. 对于数列{bn}，若b1=2，且bn+1 = 2bn + 1，求b4的值。
A. 17B. 15C. 13D. 113. 已知数列{cn}是等差数列，其公差为3，且c5=23，求c1的值。
A. 2B. 5C. 8D. 114. 数列{dn}的通项公式为dn = 2n - 1，求d10的值。
A. 19B. 17C. 15D. 135. 若数列{en}满足en = 3en-1 - 2，e1 = 1，求e3的值。
B. 5C. 3D. 1二、填空题6. 已知数列{fn}的前n项和为Sn，且满足Sn = n^2，求f3的值。
7. 对于数列{gn}，若g1=4，且满足gn+1 = 3gn - 2，求g3的值。
8. 已知等比数列{hn}的首项为h1=8，公比为2，求h5的值。
9. 若数列{in}满足in = 2^n - 1，求i5的值。
10. 对于数列{jn}，若j1=1，且满足jn+1 = jn^2，求j4的值。
三、解答题11. 某工厂生产的产品数量构成一个等差数列，第一年生产了100件，每年生产量比上一年多20件。
求第5年的产量，并求这5年的总产量。
12. 某公司的股票价格构成一个等比数列，第一年价格为10元，每年价格是上一年的2倍。
求第3年的股票价格，并求这3年的平均价格。
13. 已知数列{kn}的前n项和为Sn，且满足Sn = 2n^2 + n，求k5的值。
14. 对于数列{ln}，若l1=1，且满足ln+1 = ln + ln-1，l2=3，求l4的值。
15. 某数列{mn}的通项公式为mn = 3^n - 2^n，求m5的值。
1. B2. A3. D4. A5. A6. 67. 108. 1289. 3110. 25511. 第5年产量为180件，5年总产量为700件。
数列练习题及解析
数列练习题及解析题目1：求以下数列的第n项。
1, 4, 7, 10, 13, ...解析1：这是一个等差数列，公差为3。
数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
所以，an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2。
题目2：求以下数列的前n项和。
2, 4, 6, 8, 10, ...解析2：这是一个公差为2的等差数列。
数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和。
首项a1为2，第n项an为2n，代入公式得到：Sn = (2 + 2n) * n / 2 = n(n+1)。
题目3：已知数列的通项公式an = 2^n，求第6项及前6项和。
解析3：根据通项公式an = 2^n，可得到第6项为a6 = 2^6 = 64。
前6项和可以表示为：S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6。
利用等比数列求和公式，S6 = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。
代入公式得到：S6 = (2 * (1 - 2^6)) / (1 - 2) = 127。
题目4：已知等差数列的首项为3，公差为-2，求满足an < 0的最小n值。
解析4：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到：3 + (n-1)(-2) < 0。
化简不等式得到：-2n + 5 < 0。
解得：n > 5/2，即n的最小取值为3。
题目5：已知等差数列的前4项和为20，首项为a1，公差为d，求a1与d的值。
解析5：根据等差数列的前n项和公式Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件得到：20 = (4/2)(2a1 + 3d)。
化简得到：10 = 2a1 + 3d。
数列的概念练习题(有答案)
一、数列的概念选择题1．已知数列265n a n n =-+则该数列中最小项的序号是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则10a ＝（ ）A ．35B ．40C ．45D ．503．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项4．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+5．已知数列{}n a 的通项公式为()()211nn a n=--，则6a =（ ）A ．35B ．11-C ．35-D ．116．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ）A ．504B ．294C ．294-D ．504-8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．1609．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．373210．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．3011．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17613．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1014．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202215．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3n n N≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．016．数列{}n a 满足：12a =，111nn na a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ，则2018T =（ ） A ．6-B ．16-C ．16D ．617．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23D ．21118．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17219．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-20．若数列{a n }满足1112,1nn na a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2B ．－3C ．12-D ．13二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54C ．S 2020＝a 2022－1D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝a 202222．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=23．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值25．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.26．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S > D ．若67S S >则56S S >.28．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1230．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值31．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列34．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．A 解析：A 【分析】首先将n a 化简为()234n a n =--，即可得到答案。
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。
高中数学数列与极限练习题及参考答案
高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。
参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。
参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。
参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。
参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。
参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。
高三数学练习题及答案：数列
【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼三数学练习题及答案：数列，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！ ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分. 1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()A.6B.7C.8D.9 解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6. 答案：A 2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33-S22=1，则数列{an}的公差是()A.12B.1C.2D.3 解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代⼊S33-S22=1，得d=2，故选C. 答案：C 3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2011等于()A.1B.-4C.4D.5 解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2011=a6×335+1=a1=1. 答案：A 4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的值 解析：∵S5 ⼜S7>S8，∴a8<0. 假设S9>S5，则a6+a7+a8+a9>0，即2(a7+a8)>0. ∵a7=0，a8<0，∴a7+a8<0.假设不成⽴，故S9 答案：C 5.设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公⽐q的值为()A.-12B.12C.1或-12D.-2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意. 当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3•a1q2， ∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0， 解得q=1(舍去)，或q=-12. 综上，q=1，或q=-12. 答案：C 6.若数列{an}的通项公式an=5•252n-2-4•25n-1，数列{an}的项为第x项，最⼩项为第y项，则x+y等于() 解析：an=5•252n-2-4•25n-1=5•25n-1-252-45， ∴n=2时，an最⼩;n=1时，an. 此时x=1，y=2，∴x+y=3. 答案：A 7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25 解析：∵3an+1=3an-2， ∴an+1-an=-23，即公差d=-23. ∴an=a1+(n-1)•d=15-23(n-1). 令an>0，即15-23(n-1)>0，解得n<23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23>0，⽽a24<0，∴a23a24<0. 答案：C 8.某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为()A.1.14aB.1.15aC.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1=a，w an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6). ∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a. 答案：C 9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7•a14的值为()A.25B.50C.100D.不存在 解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10. ⼜a7>0，a14>0，∴a7•a14≤a7+a1422=25. 答案：A 10.设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn() A.在直线mx+qy-q=0上 B.在直线qx-my+m=0上 C.在直线qx+my-q=0上 D.不⼀定在⼀条直线上 解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，② 由②得qn=y-1，代⼊①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0. 答案：B 11.将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为()A.n2-nB.n2+n+2 解析：因为前n-1组占⽤了数列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n-1)n2+1项，等于2+(n-1)n2+1-1•2=n2-n+2. 答案：D 12.设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()A.8204B.8192C.9218D.以上都不对 解析：依题意，F(1)=0， F(2)=F(3)=1，有2个 F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22个. F(8)=…=F(15)=3，有23个. F(16)=…=F(31)=4，有24个. … F(512)=…=F(1023)=9，有29个. F(1024)=10，有1个. 故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10. 令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，① 则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.② ①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210= 2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2， ∴T=8×210+2=8194，m] ∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204. 答案：A 第Ⅱ卷(⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分. 13.若数列{an}满⾜关系a1=2，an+1=3an+2，该数列的通项公式为__________. 解析：∵an+1=3an+2两边加上1得，an+1+1=3(an+1)， ∴{an+1}是以a1+1=3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an+1=3•3n-1=3n，∴an=3n-1. 答案：an=3n-1 14.已知公差不为零的等差数列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，则M与N的⼤⼩关系是__________. 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)] =an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0，∴M 答案：M 15.在数列{an}中，a1=6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an-1)在直线x-y=6上，则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________. 解析：∵点(an，an-1)在直线x-y=6上， ∴an-an-1=6，即数列{an}为等差数列. ∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n， ∴an=6n2. ∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1 ∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1. 答案：6nn+1 16.观察下表： 1 234 34567 45678910 … 则第__________⾏的各数之和等于20092. 解析：设第n⾏的各数之和等于20092， 则此⾏是⼀个⾸项a1=n，项数为2n-1，公差为1的等差数列. 故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20092，解得n=1005. 答案：1005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分. 17.(10分)已知数列{an}中，a1=12，an+1=12an+1(n∈N*)，令bn=an-2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn; (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12， ∴{bn}是等⽐数列. ∵b1=a1-2=-32， ∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n. (2)an=bn+2=-32n+2， Sn=a1+a2+…+an =-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2 =-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3. 18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满⾜b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an•bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn. 解析：(1)由题意Sn=2n， 得Sn-1=2n-1(n≥2)， 两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2). 当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2. ∴an=2(n=1)，2n-1(n≥2). (2)∵bn+1=bn+(2n-1)， ∴b2-b1=1， b3-b2=3， b4-b3=5， … bn-bn-1=2n-3. 以上各式相加，得 bn-b1=1+3+5+…+(2n-3) =(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2. ∵b1=-1，∴bn=n2-2n， ∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1(n≥2)， ∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1， ∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n. ∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n =2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n =2n-2-(n-2)×2n =-2-(n-3)×2n. ∴Tn=2+(n-3)×2n. 19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等⽐数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n 项和为Tn，求Tn的表达式. 解析：(1)依题意，得 3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2. ∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1， 即an=2n+1. (2)由已知，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1， ∴Tn=b1+b2+…+bn =(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1) =4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n. 20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban-2n=(b-1)Sn. (1)证明：当b=2时，{an-n•2n-1}是等⽐数列; (2)求通项an.新课标第⼀ 解析：由题意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn， ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1， 两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1， 即an+1=ban+2n.① (1)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n. 于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n =2an-n•2n-1. ⼜a1-1•20=1≠0， ∴{an-n•2n-1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列. (2)当b=2时， 由(1)知，an-n•2n-1=2n-1，即an=(n+1)•2n-1 当b≠2时，由①得 an+1-12-b•2n+1=ban+2n-12-b•2n+1=ban-b2-b•2n =ban-12-b•2n， 因此an+1-12-b•2n+1=ban-12-b•2n=2(1-b)2-b•bn. 得an=2，n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]，n≥2. 21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线.经计算，如果有20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作.问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由. 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an-an-1=-13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为-13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车. 设还需组织(n-1)辆车，则 a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25. 所以n2-145n+3000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin=25，n-1=24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线. 22.(12分)已知点集L={(x，y)|y=m•n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式; (3)设cn=5n•an•|PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值. 解析：(1)由y=m•n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)， 得y=2x+1，即L：y=2x+1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1=0，b1=1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an=n-1(n∈N*). 代⼊y=2x+1，得bn=2n-1(n∈N*). (2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1). =5n2-n-1=5n-1102-2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n-1,2n-1)， ∴c2+c3+…+cn =1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.。
数列综合经典练习题(含详细答案)
数列综合经典练习题（含详解答案）一、选择题1.已知等差数列{}n a 中79416,1,a a a +==则12a 的值是( ) A ．15B ．30C ．31D ．642.如果等差数列{}n a 中，，34515a a a ++=，那么127a a a +++=（ )A.14B.21C.28D.353.已知首项为正数的等差数列{}n a 满足:20052006200520060,.0a a a a +><.则使0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A. 4009B.4010C. 4011D.4012 4.在等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和,若34825a a a ++=,则9S = ( ) A.60 B.75 C.90 D.1055.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,且关于x 的方程21320a x a x a -+=有两个相等的实根,则93S S 的值为( ) A.27B.21C.14D.56.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若488,20S S ==，则13141516a a a a +++=( ) A.12B.8C.20D.167.若数列{}n a 的首项112a =,且*1(1)(N )n n n a a a n +=+∈,则200300a a =( )A.32B.23 C.201301D.3012018.古时有如下问题:今有肖司差夫一丁八万六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.其大意为:官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,每个修筑堤坝的人每天分发到3升大米.在该问题中第三天共发了大米( ) A. 234升B.405升C. 639升D.894升9.一个有限项的等差数列，前4项的和为40,最后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为( ) A.12B.14C.16D.1810.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥，则n nS 的最小值为( ) A.-3B.-5C.-6D.-911.在等比数列{}n a 中，已知151,20192019a a ==,则3a =( ) A.1B.3C.±1D.±312.设{}n a 是首项为1a ,公差为2-的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2B.-2C.1D.-113.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,103010,130S S ==,则40S =( ) A.-510B.400C.400或-510D.30或4014.已知数列{}n a 是等比数列，2511,8a a ==，则*12231...(N )n n a a a a a a n ++++∈的最小值为( ) A.83B.1C.2D.315.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1111,(N )3n n a S a n +==∈,则7a =( ) A. 74B. 534⨯C.634⨯D. 641+16.已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a =( ) A ．2±B ．2C ．2-D ．417.已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则20192014a a = （ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．3或618.已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．17619.2+2的等比中项是（ ） A ．1 B ．2 C ．1± D ．2±20.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A.253 B. 503 C. 507D. 100721.若1既是2a 与2b 的等比中项,又是1a 与1b 的等差中项,则22a ba b++的值是（ ） A ．1或12B ．1或12-C ．1或13D ．1或13-22.如果等差数列{}n a 中34512a a a ++=，那么7S =( ) A.28 B.21 C.35D.14二、填空题23.在等比数列{}n a 中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 . 24.设数列{}n a 是递减的等比数列,且满足2712a a =,3694a a +=,则1232n a a a a ⋅⋅⋅的最大值为__________.25.已知等比数{}n a 中, 171,2727a a ==,求n a = 26.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,13n n a S +=,*N n ∈,则n a =_____________. 27.设数列{}n a 满足121,3a a ==,且112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥，则20a 的值为___________.28.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且*2log (1)1(N )n S n n +=+∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.29.等比数列{}n a 的公比大于1，514215,6a a a a -=-=，则3a =_______. 三、解答题30.已知数列{}n a 是等差数列，且1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根. 1.求数列{}n a 的前n 项和n S ; 2.在1中，设n n S b n c =+，求证:当12c =-时，数列{}n b 是等差数列.31.已知等差数列{}n a 中，1242,16a a a =+=. 1.设2n an b =，求证:数列{}n b 是等比数列； 2.求{}n n a b +的前n 项和.32.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足443321,21S a S a =-=-. 1.求{}n a 的通项公式； 2.记161n n b S =+,求12...n b b b +++的最大值. 参考答案一、选择题1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B解析：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数, 则()()40101401020052006200520050S a a a a =+=+>,14011401120064011()401102a a S a +==<故n 的最大值为4010. 故选B 4.答案：B解析：因为等差数列{}n a 中, n S 为其前n 项和, 348153(4)325a a a a d a ++=+==,所以131225a d +=,所以512543a a d =+=,所以()9195925997523S a a a =+==⨯=.故选B. 5.答案：B解析：因为{}n a 为等比数列,所以23211,a aq q a a ==,故原方程可以化为220x q x q -+=.又该方程有两个相等的实数根,故440q q -=,解得0q =（舍）或34q =，所以9933116421114S q S q --===--,故选B. 6.答案：C解析：∵4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列,∴由4848,12S S S =-=,得128161216,20S S S S -=-=,即1314151620a a a a +++=.故选C.7.答案：D解析：由1(1)n n n a a a +=+,得11n n n n a a a a ++-=且0n a ≠,所以1111n n a a +-=,即1{}na 是以2为首项,1为公差的等差数列,所以11nn a =+,所以20030011201,301a a ==，从而200300301201a a =. 8.答案：C解析：根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ,它是首项164a =,公差为7的等差数列,则第二天派出的人数为2a ,且264771a =+=,第三天派出的人数为3a ,且3642778a =+⨯=.又每人每天分发到3升大米,则第三天共分发大米(647178)3639++⨯=(升)，故选C.9.答案：B解析：设等差数列共有n 项,记该数列为{}n a , 则123440a a a a +++=,12380n n n n a a a a ---+++=, 相加得14()120n a a +=,所以130n a a +=.1()152102n n n a a S n +===,解得14n =.故选B. 10.答案：D解析：由112,0,3,2m m m S S S m -+=-==≥,后式减前式知12,3m m a a +==.设等差数列{}n a 的公差为d,则1d =.∵0m S =,∴12m a a =-=-,则3n a n =-,(5)2n n n S -=,2(5)2n n n nS -=.设22(5)3(),0,'()5,022x x f x x f x x x x -=>=->, 则当1003x <<时, ()f x 单调递减,当103x >时, ()f x 单调递增, ∴()f x 的极小值点为103x =,在此处()f x 取得最小值. 又(3)9,(4)8f f =-=-,∴n nS 的最小值为-9,故选D. 11.答案：A解析：由等比数列的性质可得23151201912019a a a ==⨯=,解得31a =±.又2310a a q =>,所以31a =.故选A.解析：由题意得111212(1),,22n a a n S a S a =--==-,41412S a =-.∵124,,S S S 成等比数列,∴2111(22)(412)a a a -==-,解得11a =-.故选D.13.答案：B解析：设等比数列{}n a 公比为q,∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,∴10201030204030,,,S S S S S S S ---也成等比数列,∴21030202010()()S S S S S -=-，即2202010(130)(10)S S -=-,解得2040S =或2030S =-.∵10100S =>,10201030203,90S S q S S =+=-=,4030270S S -=,∴40400S =.故选B.14.答案：C解析：由已知得数列{}n a 的公比满足35218a q a ==,解得12q =,∴1312,2a a ==,∴数列1{}n n a a +是以2为首项,公比为231214a a a a =的等比数列.由于数列1{}n n a a +各项均为正,∴12231...n n a a a a a a ++++的最小值为122a a =.故选C.15.答案：B 解析：由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=≥,两式相减可得111,233n n n a a a n +=-≥,即14,2n n a a n +=≥.又113n n S a +=,所以2133a S ==,所以数列{}n a 是从第2项起的等比数列,公比为4.所以72572434a a -==⨯,故选B.16.答案：B 解析： 17.答案：B 解析： 18.答案：B 解析： 19.答案：C 解析： 20.答案：D 解析： 21.答案：D 解析：解析：二、填空题 23.答案：4解析：24.答案：64 解析：25.答案：43n n a -=或()43.n n a -=--解析： 26.答案：21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩解析：当1n =时,211333a S a ===. 当2n ≥时,∵13n n a S +=,∴13n n a S -=,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=,即14n n a a +=,当2n ≥时,{}n a 是以3为首项,4为公比的等比数列,得234n n a -=⨯.综上,21,134,2n n n a n -=⎧⎨⨯≥⎩. 27.答案：245解析：因为112(1)(1)(2)n n n na n a n a n -+=-++≥,所以数列{}n na 为等差数列,首项为1,公差为2125a a -=.所以1(1)554n na n n =+-⨯=-,则204245,54205n n a a =-=-=. 28.答案：3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩解析：由2log (1)1n S n +=+,得112n n S ++=.当1n =时, 113a S ==;当2n ≥时,12n n n n a S S -=-=.则数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.29.答案：4 解析：三、解答题30.答案：1.解方程2650x x -+=得其两个根分别为1和5, ∵1212,()a a a a <分别为方程2650x x -+=的两个根,∴121,5a a ==,∴等差数列{}n a 的公差为4, ∴2(1)1422n n n S n n n -=⋅+⋅=-. 2.当12c =-时, 22212n n S n n b n n c n -===+-, ∴112(1)22,2n n b b n n b +-=+-==, ∴{}n b 是首项为2,公差为2的等差数列. 解析：31.答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d .由2416a a +=可得11()(3)16a d a d +++=,即12416a d +=. 又12a =,可得3d =.故1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 依题意, 312n n b -=,因为3231312282n n n n b b ++-===(常数),所以{}n b 是首项为4，公比为8的等比数列. 2.因为{}n a 的前n 项和为1()(31)22n n a a n n ++=, {}n b 的前n 项和为313324221421877n n -+-⋅=⋅--.所以{}n n a b +的前n 项和为32(31)142277n n n +++⋅-. 解析：32.答案：1.设等比数列{}n a 的公比为q , 由434S S a -=得43422a a a -=, 所以432a a =,所以2q =. 又因为3321S a =-,所以11112481a a a a ++=-,所以11a =.所以12n n a -=.2.由1知122112nn n S -==--,所以416()2821n n n b n S -===-+,所以12n n b b +-=-,所以{}n b 是首项为6,公差为-2的等差数列, 所以12346,4,2,0b b b b ====,当5n ≥时, 0n b <,所以当3n =或4n =时, 12...n b b b +++有最大值,且最大值为12. 解析：。
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数列综合题一．选择题1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( )A.14 B ．21 C ．28 D ．35 2.设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为( )A.15 B ．37 C ．27 D ．64 3.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A ．2B ．4C ．215 D ．217 4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.已知,231,231-=+=b a 则b a ,的等差中项为（ ）A ．3B ．2 C．3D．26.已知}{n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ）A ．32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- D ．32(14)3n -- 7.若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅+= ( )A ．30B ．29C ．-30D ．-298.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 9.设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） A ．12B. 24C. 36D. 4810.数列{}n a 中，123,6,a a ==且12n n n a a a ++=+，则2004a =（ ） A.3 B.－3 C.－6 D.611.在等差数列{}n a 中，1031531=++a a a ，则5a 的值为( ) .A.2B.3C.4D.512.等比数列{}n a 的前n 项和为n s ，若6542s s s +=，则数列{}n a 的公比q 的值为( )A.－2或1B.－1或2C.－2D.113.已知{}n a 为等差数列，其公差为－2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n s 为{}n a 的前n 项和，∈n N *，则10s 的值为( )A.－110B.－90C.90D.110 14.等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n s 等于( )A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n n D.2)1(-n n 15.在正项等比数列{}n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则2013201220152014a a a a ++等于( )A.3或－1B.9或1C.1D.916.已知数列,,1617,815,413,211 则其前n 项和n s 为( )A.n n 2112-+ B.n n 2122-+ C.12211--+n n D.12212--+n n17.若数列{}n a 的通项公式为)2(2+=n n a n ，则其前n 项和n s 为( )A.211+-n B.11123+--n n C.21123+--n n D.211123+-+-n n18.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个 19.设)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数∈y x ,R ，都有)()()(y x f y f x f +=⋅，若)(,211n f a a n ==(∈n N *)，则数列{}n a 的前n 项和n s 的取值范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2120.小正方形按照如图所示的规律排列：每个图中的小正方形的个数构成一个数列{}n a ，有以下结论：①155=a ；②数列{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列的递推公式为：11++=+n a a n n (∈n N *)．其中正确的命题序号为( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．① 21.已知数列{}n a 满足133,011+-==+n n n a a a a (∈n N *)，则=20a ( )A ．0B ．3- C.3 D.23 22.数列{}n a 满足递推公式)2(1331≥-+=-n a a n n n ，又51=a ，则使得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 3λ为等差数列的实数=λ( )A ．2B ．5C ．21-D.21 23.在等差数列{}n a 中，0,01110><a a ，且1011a a >，则{}n a 的前n 项和n s 中最大的负数为( )A ．17sB ．18sC ．19sD ．20s 24.将数列{}13-n 按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．49503B ．50003C ．50103D ．50503 25.已知{}n a 为等比数列，,8,26574-==+a a a a 则=+101a a ( )A ．7B ．5C ．－5D ．－726.已知等差数列{}n a 的前n 项和为s ，,15,555==s a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前100项和为( )A.101100 B.10199 C.10099 D.10010127.已知1,111+==+n nn a a a a ，则=n a ( ) A.n 1 B.n C.1+n n D.n n 1+ 28.在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a ( )A.n ln 2+B.n n ln )1(2-+C.n n ln 2+D.n n ln 1++ 二．填空题29.已知数列{}n a 满足: 35a =,121n n a a +=- (n ∈N*)，则1a = ________. 30.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=________. 31.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =______.32.设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若,729=s 则=++942a a a ________. 33.设数列{}n a 中，,1,211++==+n a a a n n 则通项=n a ________. 34.若数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足323-=n n a s ，则数列{}n a 的通项公式是________.35.若数列{}n a 的前n 项和3132+=n n a s ，则{}n a 的通项公式是=n a ____. 36.数列{}n a 满足13313131221+=+++n a a a n n ，∈n N *，则=n a ________.37.在等比数列{}n a 中，,24,341==a a 则543a a a ++等于________.38.若等差数列{}n a 满足,0,0107987<+>++a a a a a 则当=n ________时，{}n a 的前n 项和最大.39．等比数列{}n a 的各项均为正数，且,451=a a 则=++++5242322212log log log log log a a a a a ________.40.设数列{}n a 满足,11=a 且11+=-+n a a n n (∈n N *)，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和___.41.设数列{}n a 中，若21+=+=n n n a a a (∈n N *)，则称数列{}n a 为“凸数列”，已知数列{}n b 为“凸数列”，且2,121-==b b ，则数列{}n b 的前2013项和为________．42.将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一个新的等差数列，并且新的等差数列所有项的和为781，则k =________．43.定义一种运算“*”，对于正整数n 满足以下的运算性质：（1）1*11=；（2）()()1*13*1n n +=，则*1n 用含有n 的代数式表示为________．44.设等差数列{}n a 的公差,4,01d a d =≠若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则k 的值为________．45.设n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，且m a a a 252=+，则=m ________.46.将正偶数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示为ij a (∈j i ,N *)，（例如1813=a ）若2014=ij a ，则j i +=________.2 468101214161820…47.已知数列{}n a 的首项12a =，122nn n a a a +=+，1,2,3,n =…,则 2012a = ________.三、解答题1、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.2、已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.3、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()122n n S p n N +*=+∈. （1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()132n n a bn a p +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令设数列{}n c 的前n 项和n T ，求2n T ．5、已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足n n n c b 2=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.6、已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（1）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n.n 为奇数， n 为偶数，2,,n n n S c b ⎧⎪=⎨⎪⎩7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.n N *∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n T ．8、若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，点()1,n n a a +在函数()222f x x x =+的图象上，其中n 为正整数． (1)证明数列{}21n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 21n a +为等比数列； (2)设(1)中 “平方递推数列 ”的前n 项之积为n T ，即()()()12212121n n T a a a =+++，求数 列{}n a 的通项及 n T 关于n 的表 达 式；(3)记21log n n a n b T ＋＝，求数 列{}n b 的前n 项和 n S ，并求使2012n S >的n 的 最小 值．9、已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且222n n S a n =+（n *∈N ）．()1求n a ，n S ；()2若k a ，22k a -，21k a +（k *∈N ）是等比数列{}n b 的前三项，设112233n n n a b a b a b a b T =+++⋅⋅⋅+，求n T ．10、数列{}n a 的前n 项和记为n S 11=a ，点),(1+n n a S 在直线12+=x y 上*N n ∈ . (1)求证：数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设13log +=n n a b ，n T 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和，求2015T 的值．11、已知数列{}n a 满足前n 项和12+=n S n ，数列{}n b 满足12+=n n a b ，且前n 项和为n T ，设n n n T T c -=+12. (1)求数列{}n b 的通项公式 (2)判断数列{}n c 的单调性； (3)当2≥n 时，)1(log 1275112--<-+a T T a n n 恒成立,求a 的取值范围．12、已知二次函数)()(2R x c bx ax x f ∈++=满足0)21()0(==f f ，且)(x f 的最小值是－18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈ ，点),(n S n 在函数)(x f 的图像上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)通过cn S b nn +=构造一个新的数列{}n b ，是否存在非零常数c ，使得{}n b 为等差数列？13、已知数列{}n a 的前n 项和2)21(1+--=-n n n a S ．(1)令n n n a b 2=，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令n n a nn c 1+=，n n c c c T +++= 21 ，求n T 并证明：3<n T .14、数列{}n a 的前n 项和为n S ，)(12321*2N n n n a S n n ∈+--=+．(1)设n a b n n +=，证明：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n nb 的前n 项和n T ；(3)若n nn a c -=)21(，∑=+++=20151221i i i i i c c c c P ，求不超过P 的最大的整数值．15、在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且2222,12b S q S b ==+. (1)求n a 与n b ； (2)设数列{}n c 满足nn S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T .16、数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 为等差数列，且9,353==b b .(1)求数列{}{}n n b a ,的通项公式；(2)若对任意的n n b k S N n ≥⋅+∈)21(,*恒成立，求实数k 的取值范围．17、已知数列{}n a 满足),2(1,1*1211N n n a a a a a n n ∈≥-=-+++=- ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令)1,0(5log 12221≠>++=++a a a a d n n a n ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，若nn S S 2恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.18、设函数x xx f sin 2)(+=的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x ． (1)求数列{}n x 的通项公式；(2)设{}n x 的前n 项和为n S ，求n S sin .19、已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，11=a ，且))(1()1(22*1N n n n S n nS n n ∈+=+-+，数列{}n b 满足5),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n ，其前9项和为63. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令nnn n n b a a b c +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意正整数n ，都有[]b a n T n ,2∈-，求a b -的最小值．20、已知函数x x x x f )296(cos ln )(--+=π的导数为)(/x f ，且数列{}n a 满足)(3)6(*/1N n nf a a n n ∈+=++π．(1)若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；(2)若对任意*N n ∈，都有022≥+n a n 成立，求1a 的取值范围．参考答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题1、解：依题意，230a =，355a =-，故1d =-，所以11a =，所以1(1)n a n =--，即2n a n =-； （2）21211111111(1)(21)(23)2232122121n n na a n n n n n n -+-⎛⎫==-=--= ⎪------⎝⎭； 2、解：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==.设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =，从而132a =.所以{}n a 的通项公式为112n a n =+. （2）设{}2n n a 的前n 项和为n S ，由（1）知1222n n n a n ++=，则23134122222n n n n n S +++=++++，34121341222222n n n n n S ++++=++++.两式相减得23412131112()222222n n n n S +++=++++- 123112(1)4422n n n +++=+--所以1422n n n S ++=-. 3、解：（Ⅰ）由2,2222211≥=--+=-=+-n p p S S a n n n n n n22411=+==p S a ，由321,,a a a 成等比得1-=p ； （Ⅱ）由,)3(21n n b a n p a +=+可得n n n b 2=，n n nT 222212+++= ，1322222121++++=n n nT ， 13222121212121+-++++=n n n n T ，12211)2112121+---=n n n n T （，n n n n T 22121--=-. 4、解： (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由2252310,2,b S a b a +=⎧⎨-=⎩得610,34232,q d d q d ++=⎧⎨+-=+⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩所以32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=． (Ⅱ)由13a =，21n a n =+得(2)n S n n =+，则即21321242()()n n n T c c c c c c -=+++++++32111111[(1)()()](222)3352121n n n -=-+-++-++++-+12(14)12114n n -=-++-22(41)213n n n =+-+． 5、解： (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题知0d >.由315210a a a =+=,又可得35a =.由2421a a =,得(5)(5)21d d -+=,可得2d =. 所以1321a a d =-=.可得21(*)N n a n n =-∈ ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n S a n =+=，当2n ≥时,122(1)2n n n c S S n n -=-=--= 当1n =时,112c S ==满足上式，所以2(*)N n c n =∈，所以12222n n n n n b c +==⨯=，即12n n b +=,因为211222n n n n b b +++==，14b =，所以数列{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列.所以前n 项和24(12)2412n n n T +⨯-==--. 6、解：（Ⅰ）设232n n b a =-，因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，111,22,n n c n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩n 为奇数， n 为偶数， n 为奇数，n 为偶数， 12,(2)2,n n n n c -⎧⎪+=⎨⎪⎩由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+，所以12121111[()()]692()692333n n n n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+- 2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减，又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0；22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．7、解：（Ⅰ）∵22n n S a =- ①， 当2≥n 时，1122--=-n n S a ②， ①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当n=1时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a . 又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ， ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴62)23(1-⋅-=-+n n n T ， ∴62)32(2+⋅-=+n n n T ， ∴数列{}n c 的前n 项和62)32(1+⋅-=+n n n T .8、解 (1)∵()()222112221222121n n n n n n n a a a a a a a ++=++=++=+，∴数列{}21n a +是“平方递推数列”．由以上结论()()()lg 211lg 2122lg 21n n n a a a ++=+=+，∴数列(){}lg 21n a +为首项是lg 5，公比为2的等比数列.(2)()()11211lg 21lg 2122lg5lg5nn n n a a ---+=+⨯==⎡⎤⎣⎦，∴12215n n a -+=，∴()121512n n a -=-．∵()()()1lg lg 21lg 2121lg 5n n n T a a =++++=- ，∴215nn T -=.(3)∵()()1121lg 5lg 12lg 212lg 52nn n n n n T b a ---===-+，∴11222nn S n -=-+. ∵2014n S > 4， ∴112220142n n --+>.∴110082nn +>. ∴min 1008n =.9、解：（1）2*22()n n S a n n N =+∈． 1122S a ∴=+，又11S a =，故12a =；又2228S a =+，故22428a a +=+，得24a =；等差数列{}n a 的公差21422d a a =-=-=．所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=,21()(22)22n n n a a n n S n n ++===+． （2）由已知有22221k k k a a a -+=⋅，故24(22)22(21)k k k -=⋅+，即22940k k -+=．解得4k =，或12k =，又*k N ∈，故4k =． ∴等比数列{}n b 的公比为6214263242a b q b a ⨯====⨯，首项为148b a ==．所以11138()2n n n b b q --==⨯．所以1332328()()232n n n n a b n n -=⋅=⋅．23323333[12()3()()]32222n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯．2313323333[1()2()(1)()()]232222n n n T n n +=⨯+⨯++-+⨯．23323333[()()]16()232222n n n n T T n ∴-=+++-⨯．33[1()]1323332216()32[1()]16()32322212n n n n n T n n -∴-=⨯-⋅=---⋅-332(1632)()2n n =---⋅．36432(2)()2n n T n ∴=+-⋅．10、解(1)由题意得a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n≥2)．∵a 1＝1，∴a 2＝2S 1＋1＝3，∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列．∴a n＝3n －1.(2)由(1)得知a n ＝3n －1，b n ＝log 3a n ＋1＝n ，1b n b n ＋1＝1＋＝1n －1n ＋1， T 2 015＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 015b 2 016＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12 015－12 016)＝2 0152 016. 11、解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1. ∴数列{b n}的通项公式为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ，n≥2.(2)∵c n ＝T 2n ＋1－T n ， ∴c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1. ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1＋＋<0.∴数列{cn}是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c2＝13＋14＋15为最大，∴13＋14＋15<15－712loga(a－1)恒成立，即loga(a－1)<－1.由真数a－1>0，得a>1，∴a－1<1 a .整理为a2－a－1<0，解得1<a<5＋1 2.∴a的取值范围是 (1，5＋12)．12、解：(1)∵f(0)＝f(12)＝0，∴f(x)的图像的对称轴为直线x＝0＋122＝14.又∵f(x)的最小值是－18，由二次函数图像的对称性可设f(x)＝a(x－14)2－18.又∵f(0)＝0，∴ a＝2.∴f(x)＝2(x－14)2－18＝2x2－x.∵点(n，Sn )在函数f(x)的图像上，∴Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝4n－3.经验证，当n＝1时也符合上式，∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)bn ＝Snn＋c＝2n2－nn＋c＝2－12n＋c，令c＝－12，得bn＝2n，此时数列{bn}为等差数列，∴存在非零常数c＝－12，使得{bn}为等差数列．13、解 (1)在Sn ＝－an－(12)n－1＋2中，令n＝1，得S 1＝－a1－1＋2＝a1，∴a1＝12.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－(12)n－2＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋(12)n－1，∴2an ＝an－1＋(12)n－1，即2n an＝2n－1an－1＋1.∵bn ＝2n an，∴当n≥2时，bn－bn－1＝1.又∵b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．于是bn ＝1＋(n－1)·1＝2n an，∴an＝n2n.(2)由(1)得cn ＝n＋1nan＝(n＋1)(12)n，所以T n ＝2×12＋3×(12)2＋4×(12)3＋…＋(n＋1)·(12)n.1 2Tn＝2×(12)2＋3×(12)3＋4×(12)4＋…＋(n＋1)(12)n＋1，两式相减，得12Tn＝1＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n－(n＋1)·(12)n＋1＝1＋14[1－12n－1]1－12－(n＋1)(12)n＋1＝3 2－n＋32n＋1，∴Tn＝3－n＋32n.∵n＋32n>0，∴Tn<3.14、解： (1)因为an ＋Sn＝－12n2－32n＋1，所以，当n＝1时，2a1＝－1，则a1＝－12；当n≥2时，an－1＋Sn－1＝－12(n－1)2－32(n－1)＋1，所以2an －an－1＝－n－1，即2(an＋n)＝an－1＋n－1.所以bn ＝12bn－1(n≥2)，而b1＝a1＋1＝12.所以数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，所以b n ＝(12)n.(2)由(1)得nb n ＝n2n .所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，∴T n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n . (3)由(1)知a n ＝(12)n －n ，又∵c n ＝(12)n －a n ，∴c n ＝n.∴c 2n ＋c n ＋1c 2n ＋c n ＝1＋1c 2n ＋c n＝1＋1＋＝1＋1n －1n ＋1.所以P ＝∑i ＝12 013c 2i ＋c i ＋1c 2i ＋c i ＝(1＋11－12)＋(1＋12－13)＋(1＋13－14)＋…＋(1＋12 013－12 014)＝2 014－12 014.故不超过P 的最大整数为2 013.15解： (1)设{a n }的公差为d ，因为⎩⎨⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S2b 2，所以⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3. 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知S n ＝＋2，所以c n ＝1S n＝2＋＝23(1n －1n ＋1)．故Tn ＝23[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)]＝23(1－1n＋1)＝2n＋.16、解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an ＝2Sn－1＋1(n≥2)．②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)．∴an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，也满足上式，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.∵{bn }为等差数列，∴b5－b3＝2d＝6，∴d＝3.∴bn＝3＋(n－3)×3＝3n－6.(2)Sn ＝a1－q n1－q＝1－3n1－3＝3n－12，∴(3n－12＋12)·k≥3n－6对任意的n∈N*恒成立，∴k≥6n－123n＝2(3n－63n)对任意的n∈N*恒成立．令cn ＝3n－63n，cn－cn－1＝3n－63n－3n－93n－1＝－2n＋73n－1，当n≤3时，cn >cn－1，当n≥4时，cn<cn－1，∴(cn)max＝c3＝19.所以实数k的取值范围是k≥2 9 .17、解： (1)∵a1＋a2＋…＋an－1－an＝－1，①∴a1＋a2＋…＋an－an＋1＝－1.②①－②，得an＋1－2an＝0，即an＋1an＝2(n≥2)．当n＝2时，a1－a2＝－1.∵a1＝1，∴a2＝2，∴a2a1＝2.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵a n ＝2n －1，∴d n ＝1＋log a a 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2nlog a 2.∵d n ＋1－d n ＝2log a 2，∴{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列． ∴S 2nS n＝＋2log a ＋－2a＋2log a＋－2a＝2＋＋a21＋＋a 2＝λ.∴(λ－4)nlog a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0. ∵S 2nS n 恒为一个与n 无关的常数λ， ∴⎩⎨⎧λ－a2＝0，λ－＋log a＝0.解得⎩⎨⎧λ＝4，a ＝12.18、解：(1)f(x)＝x 2＋sinx ，令f′(x)＝12＋cosx ＝0，得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．f′(x)>0⇒2k π－2π3<x<2k π＋2π3(k ∈Z )，f′(x)<0⇒2k π＋2π3<x<2k π＋4π3(k ∈Z )，当x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f(x)取得极小值，所以x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)得x n ＝2n π－2π3，S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2π(1＋2＋3＋…＋n)－2n π3＝n(n ＋1)π－2n π3.当n ＝3k(k ∈N *)时，sinS n ＝sin(－2k π)＝0； 当n ＝3k －1(k ∈N *)时，sinS n ＝sin 2π3＝32； 当n ＝3k －2(k ∈N *)时，sinS n ＝sin4π3＝－32. 所以sinS n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝3k ，k ∈N *，32，n ＝3k －1，k ∈N *，－32，n ＝3k －2，k ∈N *.19解： (1)由2nS n ＋1－2(n ＋1)S n ＝n(n ＋1)，得S n ＋1n ＋1－S n n ＝12. 所以数列{S n n }是以首项为1，公差为12的等差数列．因此S n n ＝S 1＋(n －1)×12＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，即S n ＝＋2.于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝＋＋2－＋2＝n ＋1.因为a 1＝1，所以a n ＝n.又因为b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，所以数列{b n }是等差数列． 由S 9＝3＋b 72＝63，b 3＝5，得b 7＝9.所以公差d ＝9－57－3＝1. 所以b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n ＋2.(2)由(1)知c n ＝b n a n ＋a n b n ＝n ＋2n ＋n n ＋2＝2＋2(1n －1n ＋2)，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝2n ＋2×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝2n＋2(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝3－2(1n＋1＋1n＋2)＋2n.所以Tn －2n＝3－2(1n＋1＋1n＋2)．设An ＝Tn－2n＝3－2(1n＋1＋1n＋2)．因为An＋1－An＝3－2(1n＋2＋1n＋3)－[3－2(1n＋1＋1n＋2)]＝2(1n＋1－1n＋3)＝4＋＋>0，所以{An }单调递增，故(An)min＝A1＝43.因为An ＝3－2(1n＋1＋1n＋2)<3，所以43≤An<3.因为对任意正整数n，Tn －2n∈[a，b]，所以a≤43，b≥3，即a的最大值为4 3，b的最小值为3，所以(b－a)min＝3－43＝53.20、解f′(x)＝1x－sinx－6π＋92，则f′(π6)＝4，故a n＋1＋an＝4n＋3.(1)若数列{an }是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n＋3，得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n＋3.解得d＝2，a1＝52.(2)方法一由an＋1＋an＝4n＋3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋7.两式相减，得an＋2－an＝4.故数列{a2n－1}是首项为a1，公差为4的等差数列；数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．又∵a1＋a2＝7，∴a2＝7－a1.∴an ＝⎩⎨⎧2n－2＋a1，n为奇数，2n＋3－a1，n为偶数.①当n为奇数时，an ＝2n－2＋a1，an＋2n2≥0即2n－2＋a1＋2n2≥0，转化为a1≥－2n2－2n＋2对任意的奇数n(n∈N*)恒成立．令f(n)＝－2n2－2n＋2＝－2(n＋12)2＋52，∴f(n)max ＝f(1)＝－2，∴a1≥－2.②当n为偶数时，an ＝2n＋3－a1，an＋2n2≥0，即2n＋3－a1＋2n2≥0，转化为－a1≥－2n2－2n－3对任意的偶数n(n∈N*)恒成立．令g(n)＝－2n2－2n－3＝－2(n＋12)2－52，∴g(n)max ＝g(2)＝－15，∴－a1≥－15，解得a1≤15.综上，a1的取值范围是[－2,15]．方法二∵an＋1＝－an＋4n＋3，∴an＋1＋2(n＋1)2＝－an＋4n＋3＋2(n＋1)2，a n ＋2n2≥0对任意的n∈N*都成立，∴an＋1＋2(n＋1)2≥0，即－an＋4n＋3＋2(n＋1)2≥0，∴－2n2≤an≤4n＋3＋2(n＋1)2对任意的n∈N*都成立．故当n＝1时也成立，即－2≤a1≤15.。