直线与直线方程经典例题

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直线与直线的方程(超经典)

课题：直线与直线方程考纲要求：① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；② 理解直线的倾斜角和斜率概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式和一般式），了解斜截式与一次函数的关系 •教材复习1.倾斜角：一条直线I 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0,.斜率：当直线的倾斜角不是 90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k tan ;当直线的倾斜角等于 90时，直线的斜率不存在。

若X i x ，则直线RP 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90 .3. （课本R 36）直线的方向向量：设 A, B 为直线上的两点，则向量 AB ^与它平行的向量都称为直线的方向向量.若AX|,y i ， B x 2, y 2 ，则直线的方向向量为 A B x 2为，『2 y i直线Ax By C 0的方向向量为 B,A .当x i x 2时，i,k 也为直线的一个方向向量. 4. 直线方程的种形式：基本知识方法1. 直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角 90时，k tan ，直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率.2. 求直线方程的方法：2.过两点 R X i ,y i , F 2 x 2, y 2x ix 2的直线的斜率公式：k tany 2 y i1直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数, 写出直线方程；2待定系数法：先根据已知条件设出直线方程•再根据已知条件构造关于待定系数的方程（组）求系数，最后代入求出直线方程.3. 1求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论.2在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.4. 直线方程一般要给出一般式.典例分析：考点一直线的倾斜角和斜率问题1.已知两点A 1,2，B m,3 . 1求直线AB的斜率k和倾斜角;2求直线AB的方程；3若实数m，求AB的倾斜角的范围.问题2. 1 （01河南）已知直线l过点P 0,0且与以点A 2, 2，B 1, 1为端点的线段相交，求直线I的斜率及倾斜角的范围.2求函数y 舸一1的值域.3 cos考点二求直线的方程I、可题3 .求满足下列条件的直线I的方程：L1 过两点A 2,3 , B 6,5 ;2 过A 1,2，且以了 2,3为方向向量;3过P 3,2，倾斜角是直线x 4y 3 0的倾斜角的2倍；4过A5,2，且在x轴，y轴上截距相等；5在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形面积为考点三与直线方程有关的最值问题问题4. 1 （06上海春）直线I过点P 2,1，且分别与x, y轴的正半轴于A,B两点，O 为原点•求厶AOB面积最小值时I的方程，2 PA PB取最小值时I的方程•6 ；考点四直线方程的应用内部有一文物保护区不能占用，经测量，AB 100m，BC 80m，AE 30m，问题5. 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪（如图），另外△ EFA课后作业：1. （01上海春）若直线xA.等于0B.等于一42. （95全国）如右图，直线1的倾斜角为，则C.等于一D.不存在211,12,13的斜率分别为k1,k2,k3，则k? C. k3 k? & D. & k3 k?3.（04合肥模拟）直线I的方向向量为1,2，直线1的倾斜角为，则tan26.（ 95上海）下面命题中正确的是：A. 经过定点P 0 x ）,y 0的直线都可以用方程 y y 0 k x x 0表示.B. 经过任意两个不同的点 R 为，如，F 2 x 2, y 2的直线都可以用方程yx y一 x x 1 y 2 %表示；C.不经过原点的直线都可以用方程 1表示a bD.经过点A 0,b 的直线都可以用方程 y kx b 表示4 33B.-C.-D.-3444. （ 2012西安五校联考）直线 2I 经过 A 2,1 , B 1,m( m R )两点, 倾斜角范围是A. 0,B. 0,, 4^2C. 0,4D.那么直线I 的J25.直线xcos R 的倾斜角范围是A.6E U 2,56B. 0,_6C.D. 6y 1 X 2 为7.已知三点A 3,1、B 2,k、C 8,11共线，则k的取值是A. 6 B. 7C. 8 D. 98. ( 2013常州模拟)过点P 2,3且在两条坐标轴上的截距相等的直线I的方程是9.直线xtan5 y 0的倾斜角为-----------------------------10. 一直线过点A 3,4，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是______________12.若两点A( 1, 5)，B(3, 2)，直线I的倾斜角是直线AB的一半，求直线I的斜率13.已知A a,3，B 5, a两点，直线AB的斜率为1,若一直线I过线段AB的中点走向高考：14. ( 04湖南文)设直线 ax by c 0的倾斜角为，且sin cos 0，则a,b满足： Aab1 B. a b 1 C.abO D. a b 01 115. ( 06北京)若三点A(2,2), B(a,0), C(O,b) (ab 0)共线，则的值等于________a b16.( 05湖南文)设直线的方程是 Ax By 0，从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A,B 的值，则所得不同直线的条数是 A. 20 B.19 C.18 D.16且倾斜角的正弦值为3 10求直线I 的方程.。

完整版)直线与方程测试题及答案解析

完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。

30° B。

45° C。

60° D。

90°2.如果三个点A(3,1)。

B(-2,b)。

C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。

2 B。

3 C。

9 D。

-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。

y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。

y - 2 = 3/2(x - 1) C。

3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。

3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。

相交 B。

平行 C。

重合 D。

异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。

(-2,1) B。

(2,1) C。

(1,-2) D。

(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。

第一、二、三象限 B。

第一、二、四象限 C。

第一、三、四象限 D。

第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。

√(23/2) B。

√(2/23) C。

√(23+5) D。

√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。

y = -2x + 4 B。

y = (1/2)x + 4 C。

y = -2x - 3 D。

y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。

2 B。

1 C。

-1 D。

-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。

3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。

直线与方程经典例题与课时训练(含答案版)

直线与方程例题一、直线的倾斜角与斜率1．判定(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( )(2)一个倾斜角α不能确信一条直线．( )(3)斜率公式与两点的顺序无关．( )【解析】(1)错误．倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应．(2)正确．确信平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.(3)正确．斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的顺序能够同时调换．【答案】(1)×(2)√(3)√2．斜率不存在的直线必然是( )A．过原点的直线B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于过原点的直线【解析】只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．【答案】B3．假设过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，那么y等于()A．－3 2C．－1D．1【解析】k AB＝y＋34－2＝tan 45°＝1，即y＋32＝1，∴y＝－1.【答案】C4．如图11所示，直线l1，l2，l3的斜率别离为k1，k2，k3，那么k1，k2，k3之间的大小关系为________．图11【解析】设l1，l2，l3的倾斜角别离为α1，α2，α3，那么由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°，因此tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1<k3<k2.【答案】k1<k3<k25．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，那么实数m的值为________．【解析】∵A、B、C三点在同一直线上，∴k AB＝k BC，∴2－(－1)0－(－3)＝4－2m－0，∴m＝2.【答案】26．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求y＋1x＋1的取值范围.【解】y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，设直线NA，NB的斜率别离为k NA，k NB.∵k NA＝53，k NB＝－16，∴－16≤y＋1x＋1≤53.∴y＋1x＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.2、直线的方程1．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．【解析】将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2)．【答案】 (3,2)2．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过必然点，那么那个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)D ．(－2,0)【解析】直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0. 由⎩⎨⎧x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，因此直线过定点(－2,3)．【答案】 B3．方程y ＝ax ＋1a 表示的直线可能是图中的( )【解析】直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距1a >0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距1a <0，那么直线y ＝ax ＋1a 过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．【答案】 B4．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0【解析】 k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，因此所求方程为：y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0.【答案】 B3、直线的交点坐标和距离公式1．已知点A (－1,2)，点B (2,6)，那么线段AB 的长为__________．【解析】由两点间距离公式得|AB |＝(2＋1)2＋(6－2)2＝5. 【答案】 52．假设点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，那么|OP |的最小值是________. 【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 223．已知x ＋y －3＝0，那么(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________．【解析】设P (x ，y )，A (2，－1)，那么点P 在直线x ＋y －3＝0上，且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|P A |.|P A |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝ 2. 【答案】24．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，那么l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1D ．2【解析】法一：在l 1上取一点(1，－2)，那么点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.法二：d ＝|1－(－1)|12＋12＝ 2. 【答案】 B5．点P (－3,4)关于直线4x －y －1＝0对称的点的坐标是________.【解析】设对称点坐标为(a ，b )，那么⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＋3·4＝－1，4×－3＋a 2－4＋b 2－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝2，即所求对称点的坐标是(5,2)．【答案】 (5,2)直线与方程练习题1．直线x＋3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为() A．30°B．60°C．150° D．120°解析：选C.∵直线的斜率k＝－33，∴tan α＝－33.又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率别离为k1、k2、k3，那么()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，因此0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，应选D.3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1解析：选D.由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，那么倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象能够是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y －a ＝1.假定l 1，判定a ，b ，确信l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，那么x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，因此k AB ＝k AC 即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－37．直线l 通过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．那么直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，那么tan α≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α知足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，那么直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2)即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原先位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13 B ．－3D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，应选A.10．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，那么直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，因此直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，因此k AB ＝－k OA ＝－3，因此直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)． 11．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要通过第一、第二、第四象限，那么a ，b ，c 应知足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0通过第一、二、四象限，因此直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－ab ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.12．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，那么a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或a ＜－1或a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)。

直线与直线方程经典例题

必修2 第二章解析几何初步第一节：直线与直线方程（王建明）一、直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角。

（0°≤α<180°）（2）斜率k=tan α=1212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。

（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。

例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为。

例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。

例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。

例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为。

练习：1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( B ) A ．4 B ．3 C ．1或3 D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直1.平行的判定：2. 垂直的判定：例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。

直线与直线方程-练习

直线与直线方程
索引
1.直线 x＋ 3y＋3＝0 的倾斜角 α 为( D )
A.30° C.120°
B.60° D.150°
解析由已知得斜率 k＝－ 33＝tan α，
又倾斜角 0°≤α<180°，所以 α＝150°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.直线ax2－by2＝1 在 y 轴上的截距是( B )
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(2)若直线l在x轴、y轴上的截距均不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值. 解由题意及(1)得l的方程为x＋y－3＝0， ∵点P(a，b)在直线l上， ∴a＋b＝3， ∴3a＋3b≥2 3a·3b＝2 3a＋b＝6 3，当且仅当 a＝b＝32时等号成立.
∴3a＋3b 的最小值是 6 3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.(多选)若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m
可以取下列哪些值( ACD )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，
所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，
两式同时成立时解得m＝1，所以m≠1.故选ACD.
7.过点(1，3)且在x轴上的截距为2的直线方程是__3_x_＋__y_－__6_＝__0. 解析由题意知直线过点(2，0)和点(1，3)，由两点式可得3y－－00＝x1－－22，整理得 3x＋y－6＝0.
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8.若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为___32_，__＋__∞__ . 解析方程可化为 y＝(3－2t)x－6，因为直线不经过第一象限，所以 3－2t≤0，得 t≥32.

直线与方程练习题

直线与方程练习题一、填空题1. 直线斜率为2，过点(-1, 3)，则直线方程为__________。

2. 直线过点(2, -5)和点(4, 1)，则直线方程为__________。

3. 直线过点(-3, 4)且与x轴垂直，则直线方程为__________。

4. 直线过点(0, 7)且平行于y轴，则直线方程为__________。

5. 直线过点(3, -2)且平行于直线2x + 3y = 1，则直线方程为__________。

二、选择题1. 斜率为3，过点(1, 2)的直线方程可能是：A. y = 3x + 1B. y = 3x - 1C. y = -3x + 1D. y = -3x - 12. 过原点(0, 0)且垂直于直线2x + 3y = 6的直线方程可能是：A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 过点(2, -5)且平行于直线3x - 2y = 9的直线方程可能是：A. 3x - 2y = 19B. 3x - 2y = -19C. 3x - 2y = 4D. 3x - 2y = -44. 过点(3, 4)且平行于x轴的直线方程可能是：A. x = 3B. x = -3C. y = 3D. y = -35. 过点(-2, 1)且与直线4x + 5y = 10垂直的直线方程可能是：A. 5x - 4y = 10B. 5x - 4y = -10C. 4x + 5y = 2D. 4x + 5y = -2三、应用题1. 设直线L过点(1, 2)和点(4, 7)，求直线L的斜率和截距，并写出直线L的方程。

2. 已知直线L过点(-3, 5)且与x轴垂直，求直线L的方程。

3. 直线L过点(1, -4)且平行于直线2x - 3y = 6，求直线L的方程。

4. 直线L过点(-2, -1)且平行于y轴，求直线L的方程。

5. 直线L过点(3, 2)且与直线3x - 4y = 5垂直，求直线L的方程。

第三章直线与方程知识点及典型例题

第三章直线与⽅程知识点及典型例题第三章直线与⽅程知识点及典型例题1. 直线的倾斜⾓定义：x 轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。

特别地，当直线与x 轴平⾏或重合时,我们规定它的倾斜⾓为0度。

因此，倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜⾓不是90°的直线，它的倾斜⾓的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常⽤k 表⽰。

即k=tan α。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平⾏或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0例.如右图，直线l 1的倾斜⾓α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜⾓是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下⾯四点：(1)当21x x =时，公式右边⽆意义，直线的斜率不存在，倾斜⾓为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序⽆关；(3)以后求斜率可不通过倾斜⾓⽽由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜⾓可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)，当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线⽅程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的⽅程是y =y 1。

直线与方程例题与练习（含答案）

级名倾斜角α的取值范围： . 角α与斜率 pp 平行的直线方程可设为， ⇔PP的距离为 “直线定界，特殊点定域＝－a b x ＋z b ，距z b距zb取距z b取距zb 取距z b取22()()x a y b -+-表示表示22x y +示示示示的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是 [[3π，)a －2a ＋1＝a ＋，－2≤0，－a ＋＝－2≤0，≤－≤－1. 1.103)线所在的直线方程为0104=+-y x ，求BC 边所在的直线方程。

边所在的直线方程。

答案：得B （10，5），A 的对称点（1，7），故BC 方程为06592=-+y x例6 6 ．设．设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +³ìï-³-íï-£î则则z x y =+（）A ．有最小值2,2,最大值最大值3 3B B ．有最小值2,无最大值C ．有最大值3,3,无最大值无最大值无最大值D D D．既无最小值．既无最小值．既无最小值,,也无最大值也无最大值此题中，y x 的最大值是的最大值是2 最小值是最小值是 0 22x y +的最小值是的最小值是 165例7．若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +³ìï-³-íï-£î，目标函数2z ax y =+仅在点（仅在点（11，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（）(A) (A) （（1-，2 2 ）） (B) (B) （4-，2 ） (C) (4,0]- (D) (2,4)-作业：作业：1．已知点A (1(1，－，－，－2)2)2)，，B (m,2)2)，且线段，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是的值是( ( )A ．－．－2B 2 B 2 B．－．－．－7 7 7C C ．3D D．．12．直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点变化时，所有的直线恒过定点 ( ( )A ．(1,3)B (1,3) B．．(－1，－，－3) 3) 3)C C ．(3,1)D D．．(－3，－，－1) 1) 3、直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是所得的直线方程是( ( ) A ．x －2y ＋4＝0 B B．．x ＋2y －4＝0 C 0 C．．x －2y －4＝0 0 D D ．x ＋2y ＋4＝04、在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点内，过点(0,1)(0,1)(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是的最短弦所在直线的倾斜角是( ( )A.π6B.B.π4C.π3 D.3π45、已知变量,x y 满足约束条件2823y xx y x y £ìï-£íï+³î,则目标函数62z x y =-的最小值为的最小值为（）A ．32B ．4C ．8D ．26、若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-³ìï--£íï-+³î且x y +的最大值为9，则实数m =( )（A ）2- （（B ）1- （（C ）1 （（D ）27．直线l 过点P (－2,3)2,3)，且与，且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为________________．．3x －2y ＋1212＝＝08．在直角坐标系中，若不等式组ïîïíì++££-³1)1(00x k y y x x 表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是___（-1，1）__ 9、给出平面区域如图所示给出平面区域如图所示..若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是围是（－（－（－ 125，－，－ 310）. .1010．已知直线．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4(4－－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，平行，则k= 3或5 l 1与l 2的距离为的距离为________________________．．55210或1111．已知两条直线．已知两条直线l 1：(3(3＋＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5(5＋＋m )y ＝8.8.当当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)(1)相交？相交？相交？ (2) (2) (2)平行？平行？平行？ (3) (3) (3)垂直？垂直？垂直？[解析] (1)(1)当当m ＝－＝－55时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－≠－55时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m . 由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，即m ≠－≠－77，且m ≠－≠－1. 1.∴当m ≠－≠－77，且m ≠－≠－11时，l 1与l 2相交．相交．(2)(2)由由îïíïìk 1＝k 2，b 1≠b 2，得îïíïì－3＋m 4＝－25＋m，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－＝－7. 7.∴当m ＝－＝－77时，l 1与l 2平行．平行．(3)(3)由由k 1k 2＝－＝－11，得－3＋m 4·(－25＋m)＝－＝－11，m ＝－133.＝－时，11，使得y O A xBP(3, 1)【答案】【答案】AB=AB=22(16)(42)29-+-=，直线AB 的方程为264216y x --=--，即25220x y +-=，假设在直线x-3y+3=0上是否存在点C ，使得三角形ABC 的面积等于1414，，设C 的坐标为(,)m n ，则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C 到直线AB 的距离为|2522|29m n d +-=，由于三角形ABC 的面积等于1414，则，则11|2522|29142229m n AB d +-××=××=，|2522|28m n +-=，即2550m n +=②或256m n +=-③.联立①②解得13511m =，5611n=；联立①③解得3m =-，0n =.综上，在直线x-3y+3=0上存在点C 13556(,)1111或(3,0)-，使得三角形ABC 的面积等于14.。

高中数学《直线与直线方程》练习题

高中数学《直线与直线方程》练习题A 组——基础对点练1．直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的倾斜角的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：直线x ＋3y ＋a ＝0(a 为实常数)的斜率为－33，令其倾斜角为θ，则tan θ＝－33，解得θ＝150°，故选D. 答案：D2．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，∵AB <0，BC <0，∴－A B >0，－CB >0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D. 答案：D3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4] B ．[3π4，π) C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是[3π4，π)．答案：B4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．答案：D5．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C. 答案：C6．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线l 的方程，可得斜率k ＝－1cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，所以k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4，综上知，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案：C7．(2018·开封模拟)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．4x ＋3y ＋6＝0 C ．3x ＋y ＋6＝0D ．3x －4y ＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 答案：A8．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)解析：2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.则直线过定点(3,1)，故选C. 答案：C9．(2018·张家口模拟)直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0≤α≤π4 B ．π2<α<π C.π4≤α<π2D ．π2<α≤3π4解析：直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α<π2.答案：C10．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( ) A ．0B ．2 C.2 D ．1解析：直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D. 答案：D11．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)解析：∵点N 在直线x －y ＋1＝0上， ∴可设点N 坐标为(x 0，x 0＋1)．根据经过两点的直线的斜率公式，得k MN ＝(x 0＋1)＋1x＝x 0＋2x 0.∵直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，直线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，∴k MN ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，即x 0＋2x 0＝2，解得x 0＝2.因此点N 的坐标是(2,3)，故选B.答案：B12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴上的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2. 答案：1或－214．(2018·武汉市模拟)若直线2x ＋y ＋m ＝0过圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心，则m 的值为________．解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x ＋y ＋m ＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m ＝0，m ＝0. 答案：015．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，求b 的取值范围．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．B 组——能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( ) A.π3 B ．π6 C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝a b ＝－1，其倾斜角为3π4.故选D. 答案：D2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0. 答案：A3．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点连线所在直线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2，故选A. 答案：A4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1－22，12) C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a >0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点(－b a ，0)，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×(1＋b a )＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a >0，∴b 21－2b >0，解得b <12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b＝1－22，故选B. 答案：B5．已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当π2<α≤π时，tan α≤0，即k ≤0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6．若经过点(1,0)的直线l 的倾斜角是直线x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －4＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x ＋4y －3＝0D ．4x ＋3y －4＝0解析：设直线x －2y －2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝12，直线l 的斜率tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43.又因为l 经过点(1,0)，所以其方程为4x －3y －4＝0，故选A. 答案：A7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35 B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.答案：D8．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( )A.103 B ．－103 C.1013D ．－1013解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，所以23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1＝1013，故选C. 答案：C9．(2018·天津模拟)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．16解析：∵直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，∴2n ＝m (n －1)，∴m ＋2n ＝mn ，两边同除以mn 可得2m ＋1n ＝1，∵m ，n 为正整数， ∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋22n m ·2m n ＝9.当且仅当2n m ＝2mn 时取等号．故选B. 答案：B10．直线x cos θ－y －1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．解析：直线的斜率为k ＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，π4]∪[34π，π)．答案：[0，π4]∪[34π，π)11．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为________．解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0. 答案：2x ＋y －4＝012．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.答案：513．已知直线x ＝π4是函数f (x )＝a sin x －b cos x (ab ≠0)图象的一条对称轴，求直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角．解析：f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，将x ＝π4代入，得sin(π4－φ)＝±1，即π4－φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝－k π－π4，k ∈Z.所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k π－π4＝－1＝b a ，所以直线ax ＋by ＋c ＝0的斜率为－a b ＝1，故倾斜角为π4.高中语文《椭圆》练习题 A 组——基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 解析：由4＝25－m 2(m >0)⇒m ＝3，故选B.答案：B2．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，可得0<k <4，故选D. 答案：D3．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B ．x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 答案：A4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) A.12 B ．55 C.14D ．5－2解析：由题意可得2|F 1F 2|＝|AF 1|＋|F 1B |，即4c ＝a －c ＋a ＋c ＝2a ，故e ＝c a ＝12. 答案：A5．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A.12 B ．22 C ．1D ． 2解析：如图，假设F 1，F 2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.设|F 1F 2|＝2c ，又∠F 1PF 2＝π4，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos π4，化简得，(2－2)a 21＋(2＋2)a 22＝4c 2，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，∴2－2e 21＋2＋2e 22＝4，又2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21·2＋2e 22＝22e 1·e 2，∴22e 1·e 2≤4，即e 1·e 2≥22，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为22.故选B. 答案：B6．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k ＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，所以2k >2，解得0<k <1. 答案：(0,1)7．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8. 答案：4或88．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B .C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA |＋|CB |＝2a ，而|AB |＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3. 答案：39．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，过F 2作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，满足|AF 2|＝36c . (1)求椭圆C 的离心率；(2)M ，N 是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点(异于椭圆C 的顶点)，直线MP ，NP 分别和x 轴相交于R ，Q 两点，O 为坐标原点．若|OR →|·|OQ →|＝4，求椭圆C 的方程．解析：(1)∵点A 的横坐标为c ，代入椭圆，得c 2a 2＋y 2b 2＝1. 解得|y |＝b 2a ＝|AF 2|，即b 2a ＝36c ， ∴a 2－c 2＝36ac .∴e 2＋36e －1＝0，解得e ＝32. (2)设M (0，b )，N (0，－b )，P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y ＝y 0－bx 0x ＋b .令y ＝0，得点R 的横坐标为bx 0b －y 0.直线NP 的方程为y ＝y 0＋bx 0x －b .令y ＝0，得点Q 的横坐标为bx 0b ＋y 0. ∴|OR →|·|OQ →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2x 20b 2－y 20＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2b 2－a 2y 20b 2－y 20＝a 2＝4，∴c 2＝3，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．(2018·沈阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中e ＝12，焦距为2，过点M (4,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在A ，M 之间．又线段AB 的中点的横坐标为47，且AM →＝λMB →. (1)求椭圆C 的标准方程． (2)求实数λ的值．解析：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝4，不合题意．则AB 所在直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝322k 4－4(4k 2＋3)·(64k 2－12)＝144(1－4k 2)>0，解得k 2<14，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3.由x 1＋x 22＝16k 23＋4k 2＝47，可得k 2＝18，将k 2＝18代入方程①，得7x 2－8x －8＝0. 则x 1＝4－627，x 2＝4＋627.又因为AM →＝(4－x 1，－y 1)，MB →＝(x 2－4，y 2)， AM →＝λMB →，所以λ＝4－x 1x 2－4，所以λ＝－9－427.B 组——能力提升练1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)解析：由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 答案：D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1)B ．(22，1) C ．(0，22)D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝ac .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点， F 1，F 2是该椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然，|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a 2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0， ∴e 2＋2e －1>0，解得e >2－1，又e <1，∴2－1<e <1，故选D. 答案：D3．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝04．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|<2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)5．(2018·保定模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程．(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．解析：(1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① 把①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1. 直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．。

直线与方程习题(带答案)

直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。

等于0B。

等于π/2C。

等于πD。

不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。

k1＜k2＜k3B。

k3＜k1＜k2C。

k3＜k2＜k1D。

k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。

2B。

－2C。

4D。

14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。

π/3B。

2π/3C。

π/4D。

3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。

x＋y－5＝0B。

2x－y－1＝0C。

2y－x－4＝0D。

2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。

19x－9y＝0，19y＝0B。

9x＋19y＝0C。

19x－3y＝0D。

3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。

3B。

－3C。

1D。

－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。

a/(a＋1)B。

－a/(a＋1)C。

(a＋1)/aD。

－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。

(－6，8)B。

(6，－8)C。

(－6，－8)D。

(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。

直线与直线的方程

14．解：(1)当 x，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令 m2―2m―3＝0，解得 m＝－1 或 m＝3；令 2m2＋m－1＝0，解得 m＝－1 或 m＝
1 ． 2
所以方程表示一条直线的条件是 m∈R，且 m≠－1．
(2)由(1)易知，当 m＝此时的方程为 x＝ (3)依题意，有
1 时，方程表示的直线的斜率不存在， 2
4 ，它表示一条垂直于 x 轴的直线． 3
2m － 6 ＝－3，所以 3m2－4m－15＝0． m － 2m － 3
2
所以 m＝3 或 m＝－
5 5 ，由(1)知当 m＝-1 或 m＝3 时，m2－2m－3＝0，故 m≠3，即所求 m 的值为－． 3 3
(4)因为直线 l 的倾斜角是 45°，所以斜率 k=1．故由－
14．已知方程(m ―2m―3)x＋(2m ＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)求该方程表示一条直线的条件. (2)当 m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程. (3)已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为－3，求实数 m 的值. (4)若方程表示的直线 l 的倾斜角是 45°，求实数 m 的值
6.D
10－ c 6 2 ＋ 82
＝3，解得 c＝－20 或 c＝40．所以 b＋c＝－12 或 48．
7.B
解析：方法 1：因为 a＋2b＝1，所以 a＝1－2b．所以 ax＋3y＋b＝0 可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得(1－2x)b＋(x＋3y)＝0．当 x＝
1 1 ，y＝－时上式恒成立， 2 6
A．(2，1)，(－1，－2)B．(－1，2)，(1，－2) C．(1，－2)，(－1，2) D．(－1，－2)，(2，1) 6．已知两条平行直线 l1 : 3x＋4y＋5＝0，l2 : 6x＋by＋c＝0 间的距离为 3，则 b＋c＝( A．－12 B．48 C．36 ) D．－12 或 48 )

直线与方程练习题及答案详解

直线与方程练习题直线与方程练习题一、选择题一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为a ，且sin cos 0a a +=，则,a b 满足（满足（）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，平行，则m 的值为（的值为（）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（通过（）A ．第一、二、三象限．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（的倾斜角和斜率分别是（）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在，不存在D ．0180，不存在，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（）A ．0¹mB ．23-¹m C ．1¹mD ．1¹m ，23-¹m ，0¹m二、填空题二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

直线与方程(含直线方程交点坐标与距离公式),高考历年真题

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【考点26】直线与方程（含直线方程、交点坐标与距离公式）2009年考题1.（2009安徽高考）直线过点（-1，2）且与直线23x y -+4=0垂直，则的方程是 A ． B.C.D.【解析】选A.可得l 斜率为33:2(1)22l y x -∴-=-+即3210x y +-=，选A 。

2.（2009上海高考）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则K 得值是（）（A ） 1或3 （B ）1或5 （C ）3或5 （D ）1或2【解析】选C 。

当k ＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：kk--43＝k －3，解得：k ＝5.3.（2009广东高考）若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【解析】1)2(2-=-⨯-k，得1-=k . 答案:-14.（2009广东高考）若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = .【解析】将1223x t y t=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-,当k ≠0时，直线4x+4y=1的斜率,24k k =-由1234-602k k k k k =-⨯-==（）（）=-1得;当时，3741622y x x k =-+==-直线与直线不垂直，综上，答案:6-5.（2009江西高考）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点 B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d ==即M 为圆C :22(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中存在两条平行直线,所以A 错误又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B 正确对任意3n ≥,存在正n 边形使其内切圆为圆C ,故C 正确M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错误, 故命题中正确的代号是 B,C 答案:,B C6.（2009江西高考）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对于下列四个命题： A ．存在一个圆与所有直线相交 B ．存在一个圆与所有直线不相交 C ．存在一个圆与所有直线相切D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．【解析】因为cos (2)sin 1x y θθ+-=所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离1d ==即M 为圆C :22(2)1x y +-=的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与M 中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交, 也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M 中所有直线相切, 故ABC 正确,又因M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D 错误, 故命题中正确的代号是ABC 答案:ABC7.（2009全国Ⅰ）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）【解析】两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于304575o +=或453015o -=。

直线方程经典练习题

直线方程经典练习题直线方程是解析几何中的基础知识之一，它在很多数学问题中都起到了重要的作用。

本文将为您介绍几个经典的直线方程练习题，通过解题过程，帮助您更好地理解直线方程的概念和应用。

1. 题目一：通过两点求直线方程已知直线上两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），求直线的方程。

解析：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

首先我们需要求解斜率k。

根据两点的坐标计算斜率公式：k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。

其次，我们可通过其中一个点的坐标和斜率求解直线的截距b。

将点A的坐标代入直线方程，得到y₁ = kx₁ + b，将斜率k代入，得到b = y₁ - kx₁。

综上，我们求得直线的方程为y = kx + b，其中k和b的值可根据两点的坐标得出。

2. 题目二：通过斜率截距求直线方程已知直线的斜率k和截距b，求直线的方程。

解析：直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

已知斜率k和截距b后，直接代入方程即可求得直线的方程。

3. 题目三：通过点斜式求直线方程已知直线上一点A（x₁，y₁）和斜率k，求直线的方程。

解析：点斜式表示直线的方程为y - y₁ = k(x - x₁)。

已知点A的坐标和斜率k后，直接代入方程即可求得直线的方程。

4. 题目四：通过截距式求直线方程已知直线的x截距a和y截距b，求直线的方程。

解析：直线的方程为x / a + y / b = 1。

已知x截距a和y截距b后，直接代入方程即可求得直线的方程。

通过以上四个经典练习题的解析，我们对直线方程的计算和求解有了更深入的理解。

在实际应用中，直线方程经常被用于解决各种几何问题，如求两条直线的交点、判断点是否在直线上等等。

因此，掌握直线方程的概念和求解方法对于数学学习和应用都具有重要意义。

总结：本文通过经典直线方程练习题的解析，详细介绍了通过两点求直线方程、通过斜率截距求直线方程、通过点斜式求直线方程以及通过截距式求直线方程的方法。

高考数学专题《直线与直线方程》习题含答案解析

专题9.1 直线与直线方程1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线x +y =0和直线x−ay =0互相垂直的充要条件是1×(−a)+1×1=0，即a =1，故选C 2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-==故选C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0练基础B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x = 2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++= 两直线1l 与2l间的距离是：2d ==　.故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是 ___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，练提升即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（）A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q （1,3），所以动点M 在以PQ5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D 3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线的倾斜角为且过点，其中，则直线的方程为( )C.【答案】B 【解析】，，则直线方程为：故选l θ1sin(22p q-=l 20y --=40y +-=0x -=360y +-=122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1cos 2θ∴=-23πθ=tan θ=1y x -=-40y +-=B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+= (0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ，解得724k =-. 故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=. （2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2) 3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m 2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，=，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB V 是等腰直角三角形，||AB =l 过点(1,1)P 与AOB V 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN V 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k kk k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2) 由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S V 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k +=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k …时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩…，当1k …时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）.A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2【答案】C 【解析】练真题由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =- 和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得 k=5．综上，k 的值是 3或5，故选 C ．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y -=B 20y -=C 310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d =，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（） A.（0，1） B.112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， C.113⎛⎤⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=．②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜．③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b ，化简可得 b ＞1，故有1b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线为：，则直线经过整点，②错误；③令直线为：，过两个不同的整点，则，两式作差得：即直线经过整点x y (,)x y k b y kx b =+l l y kx b =+k b l 12y x =+l y =-()2,0l y kx =()11,x y ()22,x y 112y kx y kx =⎧⎨=⎩()1212y y k x x -=-l ()1212,x x y y --直线经过无穷多个整点，③正确；④令直线为：，则不过整点，④错误；⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤∴l l 1132y x =+ll y =()0,0。

直线方程典型例题

<第三章直线与方程 > 典型例题1、求斜率的范围及倾斜角的范围:已知直线I过点C( 1,2)且与以A (-2,-3)、B线I的斜率的取值范围。

解:如图：直线I的边界直线为直线CA，直线CB其中的特殊直线为直线CE1I斜率取值范围是(-，-2)(5,)2、考查两直线的垂直关系：已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆与x轴交于点C，求交点C的坐标解：设C点坐标为(a,0)因为AB为直径，所以CA与CB垂直&A ? k CB 1解得a=1或2C(1,0)或C(2,0)3、考查两直线的平行关系：已知两条直线l1: x ysin 1 0, l2: 2xsin y 1 0试求的值，使得l1 //12。

解：若I1//I2则12sin20,即 cos2 022k 2 或 2k 2(k Z)k 或 k -(k Z)4 44、已知直线h：2x+y-6=0和点A(1,-1),过点A作直线J与已知直线h相交于B点,5，且|AB|=5,求直线12的方程。

当 12 的斜率不存在时，12：x=1 此时 B(1,4)， |AB|=|4-(-1)|=5 ••• 12 的方程为3x+4y+1=0 或 x=1 5、过点(-2,-1)且在两坐标轴上截距相等，求直线方程。

1 解:若直线在两坐标轴上的截距为 0时，设L 的方程y=kx 将(-2,-1)代入得y ； x若两截距不为0，则可设L 的方程为x $ 1，将(-2,-1)代入得a= -3a a 1所求方程为x+y+3=0或y ?x& 一直线I 被两直线h : 4x y 6 0，l 2 : 3x 5y 6 0截得的线段的中点恰好是原点，求l 的方程。

解：当斜率不存在时，不合题意。

当斜率存在时可设l 的方程为y kx ，与l 1联立可求交点为(一6 , 生)，与12 k 4 k 4联立可求交点为(一6 ，-^)，由题意知： 6 6 0,可得k=-3 5k 3 5kk 4 3 5k 61l 的方程为y -x67、已知(k 1)x (k 1)y 2k 0为直线I 的方程，求证：不论k 取何实数值，直解：当12的斜率存在时，设12的方程为y+1=k(x-1),由 2x y 6 0 y 1k(x 1) 得交点B k 7 4k 2k 2 ' k 2 由已知得AB 牯1)2 (廿1)2 12的方程为y 13(x 1)，即 3x+4y+1=0。