直线与直线方程经典例题
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必修2 第二章 解析几何初步
第一节:直线与直线方程(王建明)
一、直线的倾斜角和斜率
(1)倾斜角定义:平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,
把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角,
叫作直线l 的倾斜角。(0°≤α<180°)
(2)斜率k=tan α=1
212x x y y -- (0°≤α<180°),当α=90时,k 不存在。(两种求法,注意21x x =的情况)(3)函数y=tanx 在)90,0[0增加的,在)180,90(00也是增加的。
例1:过点M (-2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为 。 例2:过两点A (m 2+2,m 2-3),B (3-m-m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。
例3:已知直线l 经过点P (1,1),且与线段MN 相交,又M (2,-3),N (-3,-2),求直线l 的斜率k
的取值范围。
例4:已知a >0,若平面内三点A (1,—a ),B (2,a 2),C(3,a 3)共线,则a 值为 。 练习:
1经过点P (2,m )和Q (2m ,5)的直线的斜率等于12
,则m 的值是( B ) A .4 B .3 C .1或3 D .1或4
变:的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--
2. 已知直线l 过P(-1,2),且与以A(-2,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围.
点评:要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系!答案: ⎝ ⎛⎦
⎥⎤-∞,-12∪[5,+∞) 3.已知坐标平面内三点A (-1,1),B (1,1),C (2,3+1),若D 为△ABC 的边AB 上一动点,求直线CD 斜率k 的变化范围.
答案:⎝
⎛⎦⎤-∞,-12∪[5,+∞) 二、两直线的平行与垂直
1.平行的判定:
2. 垂直的判定:
例(1)l 1 经过点M (-1,0), N (-5,-2),l 2经过点R (-4,3),S (0,5),l 1与l 2是否平行?
(2)l 1 经过点A (m ,1), B (-3,4), )l 2 经过点C (1,m ), D (-1, m+1),确定m 的值,使l 1//l 2。 练习:
例(1) l 1的倾斜角为45,l 2经过点P (-2,-1),Q (3,-6).
例(2)已知点M (2,2)和N (5,-2),点P 在x 轴上,且∠MPN 为直角,求点P 的坐标。
练习:
1.求a 为何值时,直线l 1:(a +2)x +(1-a )y -1=0与直线l 2:(a -1)x +(2a +3)y +2=0互相垂直? 答案:a=-1
2.求过点P (1,-1),且与直线l 2:2x +3y +1=0垂直的直线方程.
答案:3x -2y -5=0.
三、直线的方程
1、点斜式: y-y 0=k (x -x 0) (斜率存在,可为0)
1、 斜截式: y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在,可为0)
2、 两点式: 121y y y y --=1
21x x x x -- (斜率存在,不能为0) 3、 一般式:A x +B y +C=0 (任意直线)
4、 截距式:a x +b
y =1 (斜率存在且不过原点且不为0) 典型例题
例2.求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
例3.已知△ABC 的顶点A (1,-1),线段BC 的中点为D (3,2
3). (1)求BC 边上的中线所在直线的方程;
(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程.
例4.方程(m 2-2m -3)x +(2m 2+m -1)y =2m -6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m 的值.
(1)方程能够表示一条直线;(答案:m 1-≠)
(2)方程表示一条斜率为-1的直线.(答案:m 2-=)
例5.直线l 的方程为(a -2)y =(3a -1)x -1(a ∈R).
(1)求证:直线l 必过定点;(答案:(15,35
)) (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程;(答案:5x +5y -4=0)
(3)若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围.(答案:分斜率存在与不存在)
练习:
1.若直线7x +2y -m =0在两坐标轴上的截距之差等于5,则m =( )
A .14
B .-14
C .0
D .14或-14
2、直线过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
3、经过点A (-1,8),B (4,-2)的直线方程。
4、已知A(1,2), B (3,1),求线段AB 的垂直平分线方程。
5、一条光线从点P (6,4)射出,与x 轴相交于点Q (2,0)经x 轴反射,求入射光线和反射光线所在的直线方程。
四、直线的交点坐标与距离公式
1、求两条直线的交点(联立方程组)
例(1)若三条直线:2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+2
1=0相交于一点,则k= (2)已知直线l 1:x+y+2=0, l 2:2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱= 212212)()(y y x x -+-
例(1)已知点A (a,-5)与B (0,10)间的距离是17,求a 的值。
例(2)已知点A (-1,2),B (2,7),在x 轴上求一点P ,使︱PA ︱=︱PB ︱,并求的 ︱PA ︱值。
例.直线l 的方程为(a -2)y =(3a -1)x -1(a ∈R).
(1)求证:直线l 必过定点;(答案:(15,35
)) (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程;(答案:5x +5y -4=0)
(3)若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围.(答案:分斜率存在与不存在)
五、点到直线的距离
例1:求点A(-2,3)到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= 。
例2:已知点(a,2)到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= 。 (a <0)
例3:求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
练习:
1.已知△ABC 中,A (-2,1),B (3,-3),C (2,6),试判断△ABC 的形状
2.求过点M (-2,1)且与A (-1,2),B (3,0)两点距离相等的直线方程.