2021年福建省漳州一中高考数学一模试卷
2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷(一模) (解析版)

2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷(一模)一、选择题(共8小题).1.已知集合A={x∈N|log2x<3},B={x|x≥3},则A∩B=()A.{4,5,6,7}B.{4,5,6,7,8}C.{3,4,5,6,7}D.{2,3,4,5,6,7,8}2.已知i为虚数单位,复数z满足z(1+2i)=1+i2021,则=()A.B.C.D.3.若实数x,y满足约束条件,则z=4x+3y的最大值为()A.90B.100C.118D.1504.已知向量=(2,3),=(k,5),且=3,则|2|=()A.4B.3C.5D.65.已知a2﹣3a+2=0,则直线l1:ax+(3﹣a)y﹣a=0和直线l2:(6﹣2a)x+(3a﹣5)y ﹣4+a=0的位置关系为()A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交D.垂直或重合6.函数y=的图象可能是图中的()A.B.C.D.7.已知sin(θ﹣)=,则sin2θtanθ=()A.B.C.D.8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)﹣f(x)>0,f(2021)=e2021,则不等式f(lnx)<的解集为()A.(e6063,+∞)B.(0,e2021)C.(e2021,+∞)D.(0,e6063)二、选择题(共4小题).9.在数列{a n}中,a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4=0的两个根,下列说法正确的是()A.实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4B.若数列{a n}为等差数列,则数列{a n}的前7项和为4bC.若数列{a n}为等比数列且b>0,则a1=±2D.若数列{a n}为等比数列且b>0,则a2+a6的最小值为410.已知在正三棱锥P﹣ABC中,PA=3,AB=2,点D为BC的中点,下面结论正确的有()A.PC⊥ABB.平面PAD⊥平面PBCC.PA与平面PBC所成的角的余弦值为D.三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为11.已知双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)的一条渐近线的方程为y=x,且过点(1,),椭圆C2:=1的焦距与双曲线C1的焦距相同,且椭圆C2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交C2于A,B两点,若点A(1,y1),则下列说法中正确的有()A.双曲线C1的离心率为2B.双曲线C1的实轴长为C.点B的横坐标的取值范围为(﹣2,﹣1)D.点B的横坐标的取值范围为(﹣3,﹣1)12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[﹣,]和[]上单调递增,下列说法中正确的是()A.ω的最大值为3B.方程f(x)=log2πx在[0,2π]上至多有5个根C.存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数D.存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数三、填空题(共4小题).13.已知二项式(2x﹣)n的展开式的二项式的系数和为256,则展开式的常数项为.14.2020年新冠肺炎肆虐,全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”,医药科研工作者积极研制有效抗疫药物,中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液;“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液,甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗,则两人选取药方完全不同的概率是.15.如图,在梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AB=1,BC=1,AD=2.取AD的中点E,将△ABE沿BE折起,使二面角A﹣BE﹣C为120°,则四棱锥A﹣BCDE的体积为.16.定义关于x的曲线f(a,b,c)=ax2+bx+c,则与曲线f(1,2,0)和f(﹣1,2,0)都相切的直线l的方程为,F(x)=,已知a>0,若关于x的方程F(x)=f(0,a,0)有三个不同的实根,则a=.四、解答题(共6小题).17.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且2S2=9a1﹣2,a3=2a2+3a1.(Ⅰ)若等差数列{b n}满足b i=a i(i=1,2),求{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)若c n=______,求数列{c n}的前n项和T n.在①+1;②;③这三个条件中任选一个补充到第(Ⅱ)问中,并对其求解.18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=c cos B+b.(Ⅰ)若c=1,求△ABC面积的最大值;(Ⅱ)若D为BC边上一点,DB=4,AB=5,且=﹣12,求AC.19.如图,四边形BEDC为正方形,AE⊥BE,AE=BE,M,N分别是边DE,BE的中点,直线DE与平面ABE所成的角为.(Ⅰ)求证:DN⊥平面ACM;(Ⅱ)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值.20.为迎接2020年国庆节的到来,某电视台举办爱国知识问答竞赛,每个人随机抽取五个问题依次回答,回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级,回答错误可以上升一个等级,最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为,答错的概率为.(Ⅰ)若甲回答完5个问题后,甲上的台阶等级数为X,求X的分布列及数学期望;(Ⅱ)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2)个等级的概率为P i,证明:{P i﹣P i﹣1}为等比数列.21.已知函数f(x)=lnx﹣x2+2x,g(x)=x2+(a﹣2)+2.(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+g(x)=0至少有两个不相等的实根,求a的最大值.22.已知直线l:2x﹣y﹣4=0与x轴交于点E,且=,其中O为坐标原点,F为抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点.(Ⅰ)求拋物线Ω的方程;(Ⅱ)若直线l与抛物线Ω相交于P,B两点(P在第一象限),直线PA,PC分别与抛物线相交于A,C两点,与x轴交于D,G两点,且E为DG中点,设直线PA,PC的斜率分别为k1,k2,求证:为定值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△PBC的面积的取值范围.参考答案一、选择题(共8小题).1.已知集合A={x∈N|log2x<3},B={x|x≥3},则A∩B=()A.{4,5,6,7}B.{4,5,6,7,8}C.{3,4,5,6,7}D.{2,3,4,5,6,7,8}【分析】可求出集合A,然后进行交集的运算即可.解:∵A={x∈N|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},B={x|x≥3},∴A∩B={3,4,5,6,7}.故选:C.2.已知i为虚数单位,复数z满足z(1+2i)=1+i2021,则=()A.B.C.D.【分析】由i4=1,i2021=(i4)505•i=i,再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出.解:∵i4=1,i2021=(i4)505•i=i,∴z(1+2i)=1+i2021=1+i,∴z===,则=,故选:B.3.若实数x,y满足约束条件,则z=4x+3y的最大值为()A.90B.100C.118D.150【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示,目标函数z=4x+3y可转化为直线y=﹣x+z,由图可知当直线经过点A时,z取得最大值,联立,解得点A(16,18),所以z max=4×16+3×18=118,故选:C.4.已知向量=(2,3),=(k,5),且=3,则|2|=()A.4B.3C.5D.6【分析】根据可得出2k+15=3,解出k=﹣6,然后即可求出的坐标,进而可求出的值.解:∵,∴,解得k=﹣6,∴,,∴.故选:C.5.已知a2﹣3a+2=0,则直线l1:ax+(3﹣a)y﹣a=0和直线l2:(6﹣2a)x+(3a﹣5)y ﹣4+a=0的位置关系为()A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交D.垂直或重合【分析】由a2﹣3a+2=0,得a=1或a=2.当a=1时,两直线垂直;当a=2时,两直线重合.解:因为a2﹣3a+2=0,所以a=1或a=2.当a=1时,l1:x+2y﹣1=0,斜率为k1=﹣,l2:4x﹣2y﹣3=0,斜率为k2=2,∵k1k2=﹣1,∴两直线垂直;当a=2时,l1:2x+y﹣2=0,l2:2x+y﹣2=0,两直线重合.故选:D.6.函数y=的图象可能是图中的()A.B.C.D.【分析】先判断函数是偶函数,然后利用分式性质判断函数的单调性,进行排除即可.解:因为y=为偶函数,故排除选项B,D;易知y==在(0,+∞)上单调递增,故排除选项C,故选:A.7.已知sin(θ﹣)=,则sin2θtanθ=()A.B.C.D.【分析】由已知利用诱导公式可求得cosθ的值,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求解.解:由sin(θ﹣)=,得cosθ=﹣,则sin2θtanθ==2sin2θ=2(1﹣cos2θ)=2×(1﹣)=.故选:B.8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)﹣f(x)>0,f(2021)=e2021,则不等式f(lnx)<的解集为()A.(e6063,+∞)B.(0,e2021)C.(e2021,+∞)D.(0,e6063)【分析】设F(x)=,得到函数F(x)在R上单调递增,F(2021)=1,不等式转化为F(lnx)<F(2021),求出不等式的解集即可.解:由题可设F(x)=,∵f′(x)﹣f(x)>0,则F′(x)=>0,∴函数F(x)在R上单调递增,F(2021)==1,将不等式f(lnx)<转化为•=•<,可得F(lnx)<1,即F(lnx)<F(2021),∴lnx<2021,∴0<x<e6063,∴不等式f(lnx)<的解集为(0,e6063),故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.在数列{a n}中,a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4=0的两个根,下列说法正确的是()A.实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4B.若数列{a n}为等差数列,则数列{a n}的前7项和为4bC.若数列{a n}为等比数列且b>0,则a1=±2D.若数列{a n}为等比数列且b>0,则a2+a6的最小值为4【分析】由题意利用韦达定理、基本不等式、等差数列和等比数列的性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.解:因为关于x的一元二次方程x2﹣bx+4=0有两个根,所以△=b2﹣4×1×4≥0,解得b≤﹣4或b≥4,故选项A正确;若数列{a n}为等差数列,且a2+a6=b,则S7===,故选项B错误;若数列{a n}为等比数列且b>0,由可得a2>0,a6>0,所以,a1>0,∴a2+a6=b≥2=4,当且仅当a2=a6=2时,等号成立,故选项C错误,选项D正确,故选:AD.10.已知在正三棱锥P﹣ABC中,PA=3,AB=2,点D为BC的中点,下面结论正确的有()A.PC⊥ABB.平面PAD⊥平面PBCC.PA与平面PBC所成的角的余弦值为D.三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为【分析】对于AB.如图,连接PD,AD,可得PD⊥BC,AD⊥BC,利用线面、面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误;对于C.∠APD为PA与平面PBC所成的角,在△APD中,根据余弦定理可得cos∠APD,即可判断出正误;对于D.取△ABC的重心为O1,连接PO1,设外接球的球心为O,半径为R,连接AO,在Rt△AOO1中,可得R2=+,解得R,即可判断出正误.解:对于AB.如图,连接PD,AD,易得PD⊥BC,AD⊥BC,∵AD∩PD=D,∴BC⊥平面APD,∵BC⊂平面PBC,∴平面APD⊥平面PBC,∴PA⊥BC,同理PC⊥AB,故选项A,B正确;对于C.∠APD为PA与平面PBC所成的角,在△APD中,PD==2,AD==,根据余弦定理得cos∠APD==,故选项C错误;对于D.取△ABC的重心为O1,连接PO1,设外接球的球心为O,半径为R,连接AO,在Rt△AOO1中,可得R2=+,解得R=,故选项D错误,故选:AB.11.已知双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)的一条渐近线的方程为y=x,且过点(1,),椭圆C2:=1的焦距与双曲线C1的焦距相同,且椭圆C2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线交C2于A,B两点,若点A(1,y1),则下列说法中正确的有()A.双曲线C1的离心率为2B.双曲线C1的实轴长为C.点B的横坐标的取值范围为(﹣2,﹣1)D.点B的横坐标的取值范围为(﹣3,﹣1)【分析】根据双曲线C1渐近线的方程为,及过点(1,可得双曲线C1的方程为4x2﹣=1,从而求得椭圆C2焦点F1(﹣1,0),F2(1,0),设A(1,y1)(y1>0),可得直线AB的方程为y=,联立,根据韦达定理可得x B=﹣=﹣3+,即可求解.解:双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)的一条渐近线的方程为,则可设双曲线C1的方程为x2﹣=λ,∵过点(1,),∴1﹣=λ,解得,∴双曲线C1的方程为4x2﹣=1,即﹣=1,可知双曲线C1的离心率e=,实轴的长为1,故选项A正确,选项B错误;由可知椭圆C2:=1的焦点F1(﹣1,0),F2(1,0),不妨设A(1,y1)(y1>0),代入=1得+=1,∴y1=,直线AB的方程为y=,联立,消去y并整理得(a2+3)x2+2(a2﹣1)x﹣3a2﹣1=0,根据韦达定理可得1•x B=﹣,可得x B=﹣=﹣3+,.又a2>1,∴a2+3>4,1<2,∴﹣3<x B<﹣1,故选项C错误,选项D正确,故选:AD.12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[﹣,]和[]上单调递增,下列说法中正确的是()A.ω的最大值为3B.方程f(x)=log2πx在[0,2π]上至多有5个根C.存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为偶函数D.存在ω和φ使f(x)=sin(ωx+φ)为奇函数【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质,逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.解:由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[﹣,]和[]上单调递增,可得当周期T最小时,==﹣=,∴ω=3,满足条件.当周期T最大时,==﹣,∴ω=1,满足条件.∴ω=1,2,3 都可,故A正确;若方程f(x)=log2πx在[0,2π]上的根最多,则函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期最小,即ω=3,画出两个函数的图象,由图中可知至多有五个交点,故选项B正确;因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω∈N)在区间[﹣,]上单调递增,故不可能存在ω和φ使f(x)为偶函数,故选项C错误;当ω=2和φ=0时,f(x)=sin2x为奇函数,满足题意,故选项D正确,故选:ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知二项式(2x﹣)n的展开式的二项式的系数和为256,则展开式的常数项为112.【分析】先利用二项式系数的性质求得n,在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项.解:∵二项式(2x﹣)n的展开式的二项式的系数和为2n=256,∴n=8,则展开式的通项公式为T r+1=•(﹣1)r•28﹣r•x12﹣2r,令12﹣2r=0,求得r=6,故常数项为•22=112,故答案为:112.14.2020年新冠肺炎肆虐,全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”,医药科研工作者积极研制有效抗疫药物,中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液;“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液,甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗,则两人选取药方完全不同的概率是.【分析】将三药分别记为A,B,C三方分别记为a,b,c,选择一药一方的基本事件共有9个组合,求出两名患者选择药方完全不同的情况的种数和两名患者可选择的药方的种数,由此能求出两人选取药方完全不同的概率.解:将三药分别记为A,B,C三方分别记为a,b,c,选择一药一方的基本事件如表所示,共有9个组合,A B Ca{A,a}{B,a}{C,a}b{A,b}{B,b}{C,b}c{A,c}{B,c}{C,c}则两名患者选择药方完全不同的情况有m==24(种),两名患者可选择的药方共有n==54(种),所以两人选取药方完全不同的概率是P=.故答案为:.15.如图,在梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,AB=1,BC=1,AD=2.取AD的中点E,将△ABE沿BE折起,使二面角A﹣BE﹣C为120°,则四棱锥A﹣BCDE的体积为.【分析】取BE的中点H,连接AH,CH,则∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角,从而∠AHC=120°,过点A作CH的垂线,交CH的延长线于点KV A﹣BCDE=,由此能求出结果.解:梯形ABCD的面积S==,,S BCDE==1,如图,取BE的中点H,连接AH,CH,AH⊥BE,CH⊥BE,∴∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角,∴∠AHC=120°,过点A作CH的垂线,交CH的延长线于点K,则AH=,AK=AH sin60°==,所以V A﹣BCDE===.故答案为:.16.定义关于x的曲线f(a,b,c)=ax2+bx+c,则与曲线f(1,2,0)和f(﹣1,2,0)都相切的直线l的方程为y=2x,F(x)=,已知a>0,若关于x的方程F(x)=f(0,a,0)有三个不同的实根,则a=8.【分析】由已知可得F1(x)=f(1,2,0)与F2(x)=f(﹣1,2,0),分别求导数,得到F1′(0)与F2′(0),再求出F1(0)与F2(0),即可求得与曲线f(1,2,0)和f(﹣1,2,0)都相切的直线l的方程;写出分段函数F(x))=,再求出f(0,a,0),联立方程组,利用判别式大于等于0求得a的范围,进一步分析可得满足条件的a值.解:令,,知F1′(x)=2x+2在R上单调递增,F2′(x)=﹣2x+2在R上单调递减,F1(0)=F2(0)=0,且F1′(0)=F2′(0)=2,即两函数有一个公共点,两曲线有过该点的公切线,公切线方程为y=2x;∵,∴,令g(x)=f(0,a,0)=ax,由,整理可得x2+ax+a=0,由△=a2﹣4a≥0,可得a≥4或a≤0,则a≥4;由,整理可得x2﹣ax+2a=0,由△=4a2﹣8a≥0,可得a≥8或a≤0,则a≥8.若方程F(x)=f(0,a,0)有三个根,则直线y=ax与F(x)的图象有三个交点,得当y=ax(a>0)与F(x)左侧图象相交于F(x)右侧图象相切时,方程F(x)=f (0,a,0)有三个不同的实根,则a=8.故答案为:y=2x;8.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,且2S2=9a1﹣2,a3=2a2+3a1.(Ⅰ)若等差数列{b n}满足b i=a i(i=1,2),求{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)若c n=______,求数列{c n}的前n项和T n.在①+1;②;③这三个条件中任选一个补充到第(Ⅱ)问中,并对其求解.【分析】(Ⅰ)利用等比数列的通项公式与求和公式求出a1和q,得到数列{a n}的通项公式,再求出对应等差数列{b n}的前两项和公差,即可得数列{b n}的通项公式;(Ⅱ)根据已知条件进行整理,得出数列{c n}的通项公式,进而利用裂项相消法即可求解.解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,则q>0.∵2S2=9a1﹣2,∴2a2=7a1﹣2,①∵a3=2a2+3a1,∴q2﹣2q﹣3=0,解得q=3(舍负),代入①得a1=2,a2=6,∴a n=2•3n﹣1;则b1=a1=2,b2=a2=6,②设数列{b n}的公差为d,∴d=b2﹣b1=6﹣2=4,则b n=2+4(n﹣1)=4n﹣2;(Ⅱ)选择①:∵b n=4n﹣2,∴b n+1=4n+2,则c n=+1=+1=﹣+1,∴T n=(﹣+﹣+…+﹣)+n=﹣+n=.选择②:∵b n=4n﹣2,b1=2,则b1+b2+…+b n===2n2,∴c n====﹣,∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=;选择③:由(Ⅰ)知a n=2•3n﹣1;∴S n==3n﹣1.∴c n===(﹣).∴T n=(﹣+﹣+﹣+…+﹣)=.18.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=c cos B+b.(Ⅰ)若c=1,求△ABC面积的最大值;(Ⅱ)若D为BC边上一点,DB=4,AB=5,且=﹣12,求AC.【分析】(Ⅰ)根据正弦定理求出角C,再根据余弦定理及基本不等式求出ab的最大值,即可确定三角形的面积的最大值;(Ⅱ)首先求出cos B,再求出sin B,再在△ADC中利用正弦定理即可求出AC的长.解:(Ⅰ)根据a=c cos B+b及正弦定理,可得sin A=sin C cos B+sin B,即sin(B+C)=sin C cos B+sin B,可得sin B cos C+cos C sin B=sin C cos B+sin B,∵sin B≠0,∴cos C=.∵0<C<π,∴C=.根据余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2ab cos C≥2ab﹣ab=ab,∴ab≤1,当且仅当a=b时等号成立,∴△ABC的面积为ab•sin C×1×=,∴△ABC的面积的最大值为.(Ⅱ)由=﹣12可得=5×4×cos(π﹣B)=﹣12,∴cos B=,0<B<π,∴sin B=.在△ABC中,利用正弦定理可得=,即AC==.19.如图,四边形BEDC为正方形,AE⊥BE,AE=BE,M,N分别是边DE,BE的中点,直线DE与平面ABE所成的角为.(Ⅰ)求证:DN⊥平面ACM;(Ⅱ)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值.【分析】(Ⅰ)先证明∠AED为直线DE与平面ABE所成角,得到△ADE为等边三角形,再证明DN⊥AM,DN⊥CM,最后由线面垂直的判定定理得证;(Ⅱ)分别取AE,AB的中点为O,P,连接DO,PO,以O为原点建立空间直角坐标系,求出平面ACM和平面ABC的法向量,再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可.【解答】(Ⅰ)证明:∵AE⊥BE,BE⊥DE,AE∩DE=E,AE、DE⊂平面ADE,∴BE⊥平面ADE,∴平面ABE⊥平面ADE,∴点D在平面ABE的射影在线段AE上,∴∠AED为直线DE与平面ABE所成的角,即∠AED=,又AE=BE=DE,∴△ADE为等边三角形,连接AM,DN,∵M为DE的中点,∴AM⊥DE,∵BE⊥平面ADE,AM⊂平面ADE,∴BE⊥AM,又BE∩DE=E,BE、DE⊂平面BCDE,∴AM⊥平面BCDE,∵DN⊂平面BCDE,∴AM⊥DN,∵CD=DE,DM=EN,∠CDE=∠DEN=,∴△CDM≌△DEN,∴∠DMC=∠END,∴∠DMC+∠EDN=,∴DN⊥CM,∵CM∩AM=M,CM、AM⊂平面ACM,∴DN⊥平面ACM.(Ⅱ)解:分别取AE,AB的中点为O,P,连接DO,PO,则OP∥BE,由(Ⅰ)知,BE⊥平面ADE,∴OP⊥平面ADE,∴OP⊥AE,∵△ADE为等边三角形,∴DO⊥AE,∵BE⊥平面ADE,DO⊂平面ADE,∴BE⊥DO,又BE∩AE=E,BE、AE⊂平面ABE,∴DO⊥平面ABE,∴DO⊥OP,∴OP,OA,OD两两垂直,故以O为原点,OP,OA,OD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系,设OA=1,则A(0,1,0),P(1,0,0),D(0,0,),E(0,﹣1,0),B(2,﹣1,0),N(1,﹣1,0),∴=(2,﹣2,0),==(0,1,),设平面ABC的法向量为=(x,y,z),则,即,不妨设z=﹣1,则=(,,﹣1),由(Ⅰ)可得=(1,﹣1,)为平面ACM的一个法向量,∴cos<,>===,由图知,二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角,∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为.20.为迎接2020年国庆节的到来,某电视台举办爱国知识问答竞赛,每个人随机抽取五个问题依次回答,回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级,回答错误可以上升一个等级,最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为,答错的概率为.(Ⅰ)若甲回答完5个问题后,甲上的台阶等级数为X,求X的分布列及数学期望;(Ⅱ)若甲在回答过程中出现在第i(i≥2)个等级的概率为P i,证明:{P i﹣P i﹣1}为等比数列.【分析】(Ⅰ)首先确定X的所有可能取值,根据概率公式分别求出对应发生的概率,列出分布列,即可求出数学期望;(Ⅱ)根据已知的关系,求出P i+1与P i,P i﹣1的关系式,再通过化简和等比数列的定义求解即可.解:(Ⅰ)依题意可得,X可取5,6,7,8,9,10,P(X=5)==,P(X=6)==,P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==,p(x=10)==,则X的分布列如表所示.X5678910PE(X)=5×+6×+7×+8×+9×+10×=,证明:(Ⅱ)处于第i+1个等级有两种情况:由第i等级到第i+1等级,其概率为;由第i﹣1等级到第i+1等级,其概率为;所以P,所以P,所以数列{P i﹣P i﹣1}为等比数列.21.已知函数f(x)=lnx﹣x2+2x,g(x)=x2+(a﹣2)+2.(Ⅰ)求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+g(x)=0至少有两个不相等的实根,求a的最大值.【分析】(Ⅰ)对函数求导,根据导函数正负判断函数的单调性,确定函数的极值点即可;(Ⅱ)根据f(x)+g(x)=0,可以分离出参数a,构造新函数,求导确定新函数的最值,进而确定参数a的最大值.解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=﹣3x+2==.令f′(x)=0,得x=1或x=﹣(舍).当x∈(0,1)时,f′(x)>0,∴f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,∴f(x)单调递减,则当x=1时,函数f(x)取得极大值,故函数f(x)的极大值点为x=1,不存在极小值点.(Ⅱ)由f(x)+g(x)=0可得lnx+x2+ax+2=0,所以﹣a=+x+(x>0).设F(x)=+x+,则F′(x)=.令h(x)=x2﹣lnx﹣1.则h′(x)=2x﹣=,令h′(x)=0,可得x=或x=﹣(舍).所以h(x)在(0,)上,h′(x)<0,h(x)单调递减;在(,+∞)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以函数h(x)的最小值为h()=()2﹣ln﹣1<0.又h(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,又当x=时,h()=()2﹣ln﹣1>0,因此必存在唯一x0∈(,),使得h(x0)=0,当x变化时,h(x),F′(x),F(x)的变化情况如表:x(0,x0)x0(x0,1)1(1,+∞)h(x)+0﹣0+F′(x)+0﹣0+F(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x=x0时,F(x)有极大值F(x0),当x=1时,F(x)有极小值F(1).又F(1)=3,F()=<F(1),且当x→+∞时,F(x)→+∞,所以F(1)≤﹣a≤F(x0),可得﹣F(x0)≤a≤﹣F(1)时,直线y=﹣a与函数y=F(x)至少有两个交点,所以a的最大值为﹣3.22.已知直线l:2x﹣y﹣4=0与x轴交于点E,且=,其中O为坐标原点,F为抛物线Ω:y2=2px(p>0)的焦点.(Ⅰ)求拋物线Ω的方程;(Ⅱ)若直线l与抛物线Ω相交于P,B两点(P在第一象限),直线PA,PC分别与抛物线相交于A,C两点,与x轴交于D,G两点,且E为DG中点,设直线PA,PC的斜率分别为k1,k2,求证:为定值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△PBC的面积的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出点E的坐标,进而求出点F的坐标,从而即可求出抛物线方程;(Ⅱ)把直线和抛物线方程联立,解得P,B的坐标,再通过设点D,G的坐标,表示出k1,k2,再代入求出定值即可;(Ⅲ)先表示出直线PC的方程,得到点C的坐标以及点C到直线PB的距离,从而表示出△PBC的面积,再根据定点的切线方程求参数的取值范围,进而确定面积的取值范围.解:(Ⅰ)由已知得E(2,0),F为OE的中点,所以F(1,0).故抛物线Ω的方程为y2=4x.(Ⅱ)证明:联立,解得P(4,4),B(1,﹣2),由E为DG的中点得=.设D(2﹣t,0),G(2+t,0),其中t>0.则k1=,k2=.所以=1,即为定值.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知直PC的方程为y﹣4=(x﹣4),即4x﹣(2﹣t)y﹣4t﹣8=0,可得C,故点C到直线PB的距离d=.设过点P的抛物线的切线方程为y﹣4=k(x﹣4),联立得ky2﹣4y+16﹣16k=0,由△=0,得k=,所以切线方程为x﹣2y+4=0,令y=0,得x=﹣4,所以要使过P点的直线与抛物线有两个交点,则有0<t<6,又|PB|==3,所以△PBC的面积:=,即0<S△PBC<54,故△PBC的面积的取值范围为(0,54).。
福建省漳州市2021届新高考数学模拟试题含解析

福建省漳州市2021届新高考数学模拟试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()A.1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了C.8月是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差.【答案】D【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天,5月份的空气质量最差.故本题答案选D.2.2019年10月1日,为了庆祝中华人民共和国成立70周年,小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会,这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”,为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的,村支书对三人进行了问话,得到回复如下:小明说:“鸿福齐天”是我制作的;小红说:“国富民强”不是小明制作的,就是我制作的;小金说:“兴国之路”不是我制作的,若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“鸿福齐天”的制作者是()A.小明B.小红C.小金D.小金或小明【答案】B【解析】【分析】将三个人制作的所有情况列举出来,再一一论证.【详解】依题意,三个人制作的所有情况如下所示:若小明的说法正确,则均不满足;若小红的说法正确,则4满足;若小金的说法正确,则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红, 故选:B. 【点睛】本题考查推理与证明,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于基础题. 3.曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为( ) A .3 B .2C .32D .1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,求导后结合基本不等式,即可求出切线斜率3k ≥,即可得出答案. 【详解】 解:由于312ln 3y x x =+,根据导数的几何意义得:()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>, 即切线斜率3k ≥, 当且仅当1x =等号成立, 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选:A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值,考查计算能力. 4.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A .1+i B .1−iC .−1+iD .−1−i【答案】B【解析】分析:化简已知复数z ,由共轭复数的定义可得.详解:化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B .点睛:本题考查复数的代数形式的运算,涉及共轭复数,属基础题.5.已知a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a β⊂,b αβ=I ,则“//a α”是“//a b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】若//a α,根据线面平行的性质定理,可得//a b ; 若//a b ,根据线面平行的判定定理,可得//a α. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理,属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为( )A .438π+B .238π+C .434π+D .834π+【答案】A 【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为21311434234238323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整. 7.已知1111143579π≈-+-+-L ,如图是求π的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A .121i n =-- B .12i i =-+ C .(1)21ni n -=+D .(1)2ni i -=+【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由于111113579-+-+-L 中正项与负项交替出现,根据S S i =+可排除选项A 、B ;执行第一次循环:011S =+=,①若图中空白框中填入(1)21n i n -=+,则13i =-,②若图中空白框中填入(1)2ni i -=+,则13i =-,此时20n >不成立,2n =;执行第二次循环:由①②均可得113S =-,③若图中空白框中填入(1)21ni n -=+,则15i =,④若图中空白框中填入(1)2ni i -=+,则35i =,此时20n >不成立,3n =;执行第三次循环:由③可得11135S =-+,符合题意,由④可得13135S =-+,不符合题意,所以图中空白框中应填入(1)21ni n -=+,故选C .8.“”αβ≠是”cos cos αβ≠的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ (逆否命题)必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=,不充分 故是必要不充分条件,答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件,属于简单题.9.已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩,,<([]x 表示不超过x 的最大整数),若()0f x ax -=有且仅有3个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .12,23⎛⎤⎥⎝⎦B .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据[x]的定义先作出函数f (x )的图象,利用函数与方程的关系转化为f (x )与g (x )=ax 有三个不同的交点,利用数形结合进行求解即可. 【详解】当01x ≤<时,[]0x =, 当12x ≤<时,[]1x =, 当23x ≤<时,[]2x =, 当34x ≤<时,[]3x =,若()0f x ax -=有且仅有3个零点, 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根,即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点, 作出函数()f x 和()g x 的图象如图,当a=1时,()g x x =与()f x 有无数多个交点,当直线()g x 经过点21A (,)时,即()221g a ==,12a =时,()f x 与()g x 有两个交点, 当直线()g x 经过点()32B ,时,即()332g a ==23a =,时,()f x 与()g x 有三个交点, 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点,则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间,即1223a ≤<, 故选:A .【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域(最值)问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 10.集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A .1个 B .3个C .4个D .7个【答案】B 【解析】 【分析】由题意,结合集合,A B ,求得集合M ,得到集合M 中元素的个数,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=,,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=,所以集合M的真子集的个数为2213-=个,故选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解,其中作出集合的运算,得到集合M,再由真子集个数的公式21n-作出计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.11.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最先见于《周礼·春官·大师》,分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”,则含有打击乐器的概率为()A.314B.1114C.114D.27【答案】B【解析】【分析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C=种取法;“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C-=种取法;∴所求概率22112814 p==.故选:B.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.12.设1i2i1iz-=++,则||z=A.0B.12C.1D【答案】C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数z,然后求解复数的模.详解:()()()()1i1i1i2i2i 1i1i1iz---=+=+ +-+i2i i=-+=,则1z=,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
福建省漳州市2021届新高考数学一模考试卷含解析

福建省漳州市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点,则4AB 的最小值为( ) A .5ln 2+ B .5ln 2- C .3ln 2+ D .3ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>,用a 表示出1x ,2x ,求出4||AB ,令2()2ln f a a a =+-,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出4||AB 的最小值. 【详解】解:设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>,则1ln 21a x =+,11(ln 1)2x a ∴=-, 而2x 满足2221a x =-,2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦设2()2ln f a a a =+-,则221()a f a a -'=,函数()f a 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减,在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,所以min min 42()25ln 2AB f a f ===+⎝⎭故选:A . 【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.2.在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,P 为A 1D 1的中点,若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为( ) A .12π B .21π2C .41π4D .10π【答案】C 【解析】 【分析】取B 1C 1的中点Q ,连接PQ ,BQ ,CQ ,PD ,则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱,此直三棱柱和三棱锥P−ABC 有相同的外接球,求出等腰三角形QBC 的外接圆半径,然后利用勾股定理可求出外接球的半径 【详解】如图,取B 1C 1的中点Q ,连接PQ ,BQ ,CQ ,PD ,则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱,所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上,QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠,球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=,所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4, 故选:C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系,及球的表面积公式,解题时要注意审题,注意空间思维能力的培养,属于中档题.3.已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有( ). A .0 B .1 C .2 D .3【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()00x ,y ,则300y x =,由于直线l 经过点()1,1,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率,建立关于0x 的方程,从而可求方程. 【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠,则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--, 又∵2y'3x =,∴200y'x x 3x ==,∴2002x x 10--=,解得0x 1=,01x 2=-, ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=, 故选C . 【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.4.若函数()ln f x x x h =-++,在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ,b ,c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形,则实数h 的取值范围是( )A .11,1e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B .11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D .()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+,()'111x f x x x-=-+=,所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减,在()1,e 上递增,()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值,()1ln111f h h =-++=+,1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭,()ln 1f e e e h e h =-++=-+,()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭, 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ,b ,c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形,则需()()()f a f b f c +>恒成立,且()10f >,也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦,也即当1a b ==、c e =时,()()21e f f >成立, 即()211h e h +>-+,且()10f >,解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选:D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.5.如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中,点P 是平面1111D C B A 内一点,则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为( )A .2B .3C .4D .5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状,结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】由三视图的性质和定义知,三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形,其面积都是11212⨯⨯=,正视图与侧视图的面积之和为112+=, 故选:A. 【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和,解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状,考查空间想象能力与计算能力,属于基础题.6.定义两种运算“★”与“◆”,对任意N n *∈,满足下列运算性质:①2★2018=1,2018◆11=;②(2n )★2018=[2(22)n +★]2018 ,2018◆(1)2(2018n +=◆)n ,则(2018◆2020)(2020★2018)的值为( ) A .10112 B .10102C .10092D .10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值,可得选项. 【详解】 由(2n )★2018=[2(22)n +★]2018 ,得(2n +2)★2018=(122n ★)2018, 又2★2018=1,所以4★12018=2,6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭,8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭,L ,以此类推,2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ,2018◆11=,所以2018◆22=,2018◆232=,2018◆342=,L ,以此类推,2018◆202020192=,所以(2018◆2020)(2020★2018)10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭,故选:B. 【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题. 7.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a –1,2a]上的偶函数,那么a+b 的值是A .13-B .13 C .12-D .12【答案】B 【解析】 【分析】依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f (﹣x )=f (x ),且定义域关于原点对称,a ﹣1=﹣2a ,即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f (x )是定义在[a –1,2a]上的偶函数, 得a –1=–2a ,解得a=13,又f (–x )=f (x ), ∴b=0,∴a+b=13.故选B . 【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f (﹣x )=f (x );奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.8.已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ,2x ,且12x x π-≥,则实数m 的取值范围是( ) A .10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .[)1,2C .[)0,1D .[]0,1【答案】C 【解析】【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数2sin()6y x π=+,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合12x x π-≥,解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=,2sin()6m x π=+,作出2sin()6y x π=+的图象,又由12x x π-≥易知01m ≤<. 故选:C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题. 9.函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示,则()f x 可能是( )A .()ln sin f x x =B .()()ln cos f x x =C .()sin tan f x x =-D .()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可; 【详解】解:当0x =时,sin00=,ln sin0无意义,故排除A ;又cos01=,则(0)tan cos0tan10f =-=-≠,故排除D ; 对于C ,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,tan 0x >,所以()sin tan f x x =-不单调,故排除C ; 故选:B 【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式,这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择,属于基础题. 10.在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ,若3,4,120a b C ︒==∠=,则c =( )A .37B .13C D【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可. 【详解】解:∵3,4,120a b C ︒==∠=,∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=,∴c = 故选:D . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,属于基础题. 11.已知函数321()(0)3f x ax x a =+>.若存在实数0(1,0)x ∈-,且012x ≠-,使得01()()2f x f =-,则实数a 的取值范围为( ) A .2(,5)3B .2(,3)(3,5)3⋃ C .18(,6)7D .18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+,令()0f x '=,得10x =,22x a=-.其单调性及极值情况如下:x2,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2a-2,0a⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x'+ 0 _ 0 +()f x Z极大值]极小值Z若存在0111,,022x⎛⎫⎛⎫∈--⋃-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得()012f x f⎛⎫=-⎪⎝⎭,则()21221112aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩(如图1)或3122a a-<-<-(如图2).(图1)(图2)于是可得()18,44,67a⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭,故选:D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.12.若31nxx⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()A.85 B.84 C.57 D.56【答案】A【解析】 【分析】先求n ,再确定展开式中的有理项,最后求系数之和. 【详解】解:1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =,8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项,则258r =,,则二项式展开式中有理项系数之和为:258888++=85C C C 故选:A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定,基础题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021届福建省漳州市普通高中高三毕业班高考适应性测试(一)(一模)数学试题及答案解析

绝密★启用前福建省漳州市普通高中2021届高三毕业班第一次高考适应性测试(一模)数学试题2021年1月(考试时间:120分钟;满分:150分)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题。
第Ⅰ卷(选择题60分)一.单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}3,2,1,2-=M ,{}2,2-=N ,下列结论成立的是A .N M ⊆B .∅=N MC .M N M =D .{}1=N C M 2.若复数321z i =+(i 为虚数单位),则复数z 在复平面上对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.平面直角坐标系xOy 中,角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点()3,4Q 的位置,则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .35- B .35 C .45- D .454.已知F 为抛物线x y 82=的焦点,M 为抛物线上任意一点,点()4,4A ,则MF MA +的最小值为A .6B .24C .52D .45.原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载:“端 午时, 贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l 上取长度为1的线段AB ,做一个等边三角形ABC ,然后以点B 为圆心,AB 为 半径逆时针画圆弧,交线段CB 的延长线于点D ,再以点C 为圆心,CD 为半 径逆时针画圆弧,交线段AC 的延长线于点E ,以此类推,当得到的“螺旋蚊 香”与直线l 恰有5个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最大值为A .π14B .356π C .π24 D .π30 6.已知ABC ∆中,5==AC AB ,8=BC ,点O 是ABC ∆的重心,则=⋅AC BOA .10B .223C .13D .229 7.正实数a ,b ,c 满足22=+-a a ,33=+b b ,4log 4=+c c ,则实数a ,b ,c 之间的大小关系为A .c a b <<B .c b a <<C .b c a <<D .a c b <<8.正四面体ABCD 的体积为4,O 为其中心,正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称,则这两个正四面体公共部分的体积为A .3B .83C .2D .43二.多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.)9.小王于2016年底贷款购置了一套房子,根据家庭收入情况,小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式,且截止2020年底,他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图:2017年各项支出 2020年各项支出。
福建省漳州市2021届高三数学第一次教学质量检测卷 理(含解析).doc

福建省漳州市2021届高三数学第一次教学质量检测卷 理(含解析)一、选择题:1.已知集合{}2|40A x x =->,102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,则A B =( ) A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B ,利用并集的定义可求出集合A B .【详解】{}{2402A x x x x =->=<-或}2x >,11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭,因此,{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭.故选:B.【点睛】本题考查并集的运算,同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题. 2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+,则z 的共轭复数z 的虚部为( )A.65B. 25-C.25i D.25【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法求出复数z ,利用共轭复数的概念可得出复数z ,由此可得出复数z 的虚部. 【详解】()505202041i i ==,在等式()202033z i i+=+两边同时除以3i +得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-,6255z i ∴=+,因此,复数z 的虚部为25. 故选:D.【点睛】本题考查复数虚部的求解,涉及复数的除法以及共轭复数的概念,考查计算能力,属于基础题.3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表:利用分层抽样抽取部分学生观看演出,已知高一年级抽调15人,则该学校观看演出的人数为( ) A. 35 B. 45C. 60D. 80【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样每人被抽到的概率相同,计算可得. 【详解】解:由高一年级抽调15人,可知150010015=,即每100人中选1个人,则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=(人), 故选:C .【点睛】本题考查统计的相关知识,考查运算求解能力、数据处理能力,属于基础题. 4.已知,αβ是两个不重合的平面,a ,b 是两条不同的直线,可以断定αβ∥的条件是( )A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥C. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理对选项分别分析得答案. 【详解】解:由a α⊥,b β⊥无法得到//αβ,A 错误;由,a α⊥,b β⊥a b ⊥可得αβ⊥,B 错误;由,a α⊥,b β⊥//a b ,可得a α⊥,a β⊥,可知两平面同垂直于一条直线,则两平面是平行的,故C 正确;由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ,α,β还可能是相交,D 错误. 故选:C .【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系,考查学生的空间想象能力和思维能力,属于基础题.5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===,则( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】分别求出a ,b ,c 的大概范围,比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=,0sin 21<<,0.20221>= 所以a c b <<. 故选:B【点睛】本题主要考查了指数,对数,三角函数的大小关系,找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键,属于简单题.6.已知数列{}n a 为等比数列,且21064a a a =,数列{}n b 为等差数列,n S 为等差数列{}n b 的前n 项和,610,S S =67a b =,则9b =( ) A.43B. 43-C. 83-D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ,根据等比中项的性质可得64a =,即74b =,又610S S =则789100b b b b +++=,由下标和性质得7100b b +=,即可求出10b ,求出公差即可求得9b .【详解】解:设等差数列{}n b 的公差为d ,21064a a a =2664a a ∴=解得64a =,610S S =789100b b b b ∴+++=,则7100b b +=674a b ==104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选:B【点睛】本题考查等比数列与等差数列的通项公式与性质、等差数列的求和公式,考查运算求解能力、推理论证能力,属于基础题.7.若实数x ,y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩,则z x y =+的最大值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线z x y =+,观察该直线在x 轴上截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域,如下图中的阴影部分区域所示:则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距,平移直线z x y =+,当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时,直线z x y =+在x 轴上的截距最大, 此时z x y =+取得最大值,即max 022z =+=. 故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找出最优解,考查数形结合思想的应用,属于中等题.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数,则函数()y g x =的部分图象是( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数即()g x 的解析式,可判断函数为奇函数,即可排除AB ,再由特殊值可排除C ,即可得解. 【详解】解:()sin cos 2020,f x x x x =++()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-()g x ∴为奇函数,图象关于原点对称,故排除AB ;02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭,故排除C ;故选:D【点睛】本题考查函数的求导、函数图象的判断,考查推理论证能力,属于基础题. 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足3n n a S n +=+,则n a =( ) A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D.1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】当1n =时,求得1a ,当2n ≥时,1n n n a S S -=-,得到11122n n a a -=+,即可得到{}1n a -是以1为首项,12为公比的等比数列,求出{}1n a -的通项公式,即可得解. 【详解】解:3n n a S n +=+①,当1n =时,1113a S +=+解得12a =, 当2n ≥时,1113n n a S n --+=-+②,①减②得,()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴ 则{}1n a -是以111a -=为首项,12为公比的等比数列, 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选:B【点睛】本题考查递推数列、等比数列的定义与通项公式,考查运算求解能力、化归与转化思想,属于基础题.10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点,斜率大于0的直线l过点(1,P -和点F ,且交抛物线于A ,B 两点,满足||2||FA FB =,则抛物线的方程为( ) A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =【答案】A 【解析】 【分析】设直线l 的斜率为()0k k >,则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线与抛物线方程,消去x ,列出韦达定理,由||2||FA FB =则122y y =-即可求出k ,又由直线过点(1,P -,代直线方程求出p ,即可求出抛物线方程.【详解】解:由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线l 的斜率为()0k k >,则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()11,A x y ,()22,B x y ,联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=,222440p k p ∆=+>,则122p y y k+=,212y y p =-, ||2||FA FB =122y y ∴=-,则22p y k-=,2222y p -=-,解得k =k =-(舍去),所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -,代入可得5p =,则抛物线的方程为210y x = 故选:A【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质,考查运算求解能力、化归与转化思想,属于中档题.11.已知函数2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭02πα<<时,1()3f α=,则cos2=α( )A. --C.36-D. 36±-【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将函数化简为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,因为1()3f α=,得到1sin 233πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,根据同角三角函数的基本关系求出cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭,再用两角差的余弦公式求出cos2α.【详解】解:由题可知2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2cos sin 2x x x =+1sin 2cos 2)2x x =+ sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<,所以22333ππαπ-<-<, 所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<,则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=, 则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123=-36=-, 故选:C.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、三角恒等变换,考查运算求解能力、化归与转化思想,属于中档题.12.在外接球半径为4的正三棱锥中,体积最大的正三棱锥的高h =( ) A.143B.134C.72D.163【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱锥底面的边长为a ,高为h ,由勾股定理可得22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,则22183h h a -=,三棱锥的体积()23384V h h =-,对其求导,分析其单调性与最值即可得解.【详解】解:设正三棱锥底面的边长为a ,高为h ,根据图形可知22234(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又正三棱锥的体积2133V h =)238h h h =-)2338h h =-, 则)23163V h h '=-, 令0V '=, 则163h =或0h =(舍去),∴函数)238V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,∴当163h =时,V 取得最大值, 故选:D.【点睛】本题考查球与多面体的关系、三棱锥的体积公式、导数的综合应用,考查空间想象能力及运算求解能力,属于难题. 二、填空题:13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+,则a b +=______.【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出()()1114f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩,可得出关于a 、b 的方程组,解出这两个量,即可得出+a b 的值.【详解】()2ln f x a x bx =+,则()2af x bx x'=+, 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+,则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,因此,3a b +=.故答案为:3.【点睛】本题考查利用切线方程求参数的值,解题时要抓住以下两点:①切点处的导数值等于切线的斜率;②切点为函数与切线的公共点.考查计算能力,属于基础题. 14.已知二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)n x +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++,则0a =________.【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式系数求出n ,得二项式为6(21)x +,令1x =-即可求出0a 的值.【详解】解:由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64可知264,n=解得6n =,则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++,令1x =-, 则01a =. 故答案为:1【点睛】本题考查二项式定理,考查运算求解能力.15.已知等边ABC 的边长为2,点G 是ABC 内的一点,且0AG BG CG ++=,点P 在ABC 所在的平面内且满足||1PG =,则||PA 的最大值为________.【答案】2313+ 【解析】 【分析】由0AG BG CG ++=,可知点G 为ABC 的重心,以AB 所在的直线为x 轴,中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,表示出,,A B G 的坐标,设(,)P x y ,由||1PG =可知P 在以G 为圆心,1为半径的圆上,根据点与圆上的点的距离最值求出||PA 的最大值. 【详解】解:由0AG BG CG ++=,可知点G 为ABC 的重心. 以AB 所在的直线为x 轴,中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则(1,0)A -,(1,0),B 3G ⎛ ⎝⎭.设(,)P x y ,由||1PG =可知P 为圆22313x y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的动点,所以||PA的最大值为||113AG +==+.故答案为:13+ 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形重心的性质、圆的性质,考查数形结合思想与运算求解能力.16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ,左顶点为A ,O 为坐标原点,以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ,且||||PA PF =,则双曲线的离心率e =________.【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知(c,0)F ,则以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,取其中一条渐近线by x a=,联立直线与圆的方程,求出P 的坐标,再由||||PA PF =即可得到a 、c 的关系式,求出双曲线的离心率.【详解】解:由题可知(,0),A a -(c,0)F ,双曲线的渐近线的方程为b y x a =±,可取b y x a=, 以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩(舍去) 可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =,222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=,即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=,解得2e =或1e =-(舍去), 故双曲线的离心率2e =. 故答案为:2【点睛】本题考查双曲线的定义与性质、圆的方程、直线与圆的位置关系,考查化归与转化思想及运算求解能力. 三、解答题:17.高三学生为了迎接高考,要经常进行模拟考试,锻炼应试能力,某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试,下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表:(1)已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+,若高考看作第11次模拟考试,试估计该考生的高考数学成绩;(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ,求出ξ的分布列与数学期望.参考公式:1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】(1)120分, (2)分布列见解析,期望为95【解析】 【分析】(1)计算出x 和y 的值,然后将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b 和a 的值,可求出回归直线方程,然后将11x =代入回归直线方程计算即可;(2)由5次模拟考试的数学成绩有2次与平均成绩一致,即可得随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,分别计算出概率,列出分布列求出数学期望. 【详解】(1)由表可知1234535x ++++==,901001051051001005y ++++==,511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=,522222211234555ii x==++++=∑,则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=,a y bx =-100 2.5392.5=-⨯=,故回归直线方程为 2.592.5y x =+. 当11x =时, 2.51192.5120y =⨯+=, 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.(2)由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3,则212335C C 3(1)C 10P ξ===;122335C C 3(2)C 5P ξ===;3335(3)110C P C ξ===,故随机变量ξ的分布列为:随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 【点睛】本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望,考查数据处理能力、运算求解能力,属于基础题.18.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足sin(2)22cos()sin A C A C A+=++.(1)当sin 2sin B A =时,求cos A 的值;(2)若D 为AC 的中点,且4,AC =2BD =,求ABC 的周长.【答案】(1)78,(2)4+ 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换将sin(2)22cos()sin A C A C A+=++化简为sin 2sin C A =,再由正弦定理将角化边,最后利用余弦定理即可求出cos A 的值.(2)设BDC α∠=,则BDA a π∠=-,在BDC ∆和BDA ∆中,分别利用余弦定理求出边a ,即可求出三角形的周长. 【详解】解:(1)由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++,sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+, sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =,sin 2sin C A ∴=,由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=222(2)(2)222a a a a a+-=⨯⨯78=. (2)设BDC α∠=,则BDA a π∠=-.在BDC 和BDA 中,利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅,2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-,结合(1)可得22222222cos a α=+-⨯⨯,222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-, 两式相加可得2516a =, 即455a =, 故ABC 的周长125244l a a =++=+. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理,考查化归与转化的思想及运算求解能力,属于中档题.19.已知四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,PD ⊥平面ABCD ,且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.(1)求证:BC ⊥平面PBD ;(2)若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒,求二面角D -PC -B 的余弦值.【答案】(1)证明见解析,(2)12【解析】 【分析】(1)取CD 的中点E ,连接AE ,BE ,BD ,证明四边形ABED 为正方形,得到AE BD ⊥,再由线面垂直可得PD AE ⊥,即可证明AE ⊥平面PBD ,再证四边形ABCE 为平行四边形,即可得证.(2)以点D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】解:(1)证明:取CD 的中点E ,连接AE ,BE ,BD .2,CD AB =AB DE ∴=.又,AB AD =AD DC ⊥,∴四边形ABED 为正方形,则AE BD ⊥.PD ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,PD AE ∴⊥.,PD BD D =PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =//AB EC ,∴四边形ABCE 为平行四边形,//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .(2)PD ⊥平面ABCD ,PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角,即45PBD ︒∠=,则PD BD =.设1AD =,则1,AB =2,CD =PD BD ==以点D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DP 所在直线为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0),D (1,0,0),A 2),P (1,1,0)B ,(0,2,0)C.DA ⊥平面PDC ,∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =.设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =,(1,1,2),PB =(1,1,0)BC =-,则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩11111200x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩,取11x =,则2)m =. 设二面角D -PC -B 的平面角为θ,cos ||||m DA m DA θ⋅∴=2111=++⨯12=.由图可知二面角D -PC -B 为锐角, 故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角和二面角的计算,考查空间想象能力、运算求解能力,属于中档题.20.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =,过点1F 且斜率2的直线和以椭圆的右顶点为圆心,短半轴为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程;(2)椭圆的左、右顶点分为A ,B ,过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ,Q 两点,求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=,(2)6 【解析】 【分析】(1)依题意可得c ,即可求出过点1F且斜率为2的直线的方程,设以右顶点(,0)a 为圆心,b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=,根据直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于半径得到方程组,解得.(2)设直线l 的方程为1x my =+,()11,,P x y ()22,Q x y ,联立直线与椭圆方程,消去x ,列出韦达定理,四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-,又12y y -=234S m=+t =,则2413S t t=+即可求出函数的最大值.【详解】解:(1)设椭圆的焦距为2c ,故由题可知22c =,则椭圆的左焦点1(1,0)F -,故直线方程为1)2y x =+, 以右顶点(,0)a 为圆心,b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=,则221b a b =-=⎩,220a a ⇒--=, 解得2a =或1a =-(舍去),故24,a =23b =,∴椭圆方程为22143x y +=.(2)设直线l 的方程为1x my =+,()11,,P x y ()22,Q x y ,联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2234690m y my ++-=,显然>0∆,则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+,12y y -==, 故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-=.1t =≥,则22431t S t =+2413t t=+, 可设函数1()3f t t t =+,则21()30f t t '=->, ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增,则134t t +≥,则2464S ≤=, 当且仅当0m =时等号成立,四边形APBQ 的面积取得最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系,考查函数与方程的思想及运算求解能力,属于中档题.21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R .(1)当1a =时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点,求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为()2log ,e +∞,单调递减区间为()20,log e .(2)()22ln 2,(ln 2)e --【解析】 【分析】(1)求出函数的定义域、导函数,当1a =时,即可求出函数()f x 的单调区间;(2)由22()(ln 21)ln 2x a f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭,可知2log x e =为()f x '的一个零点,要使()f x '在(1,4)上有三个零点,即方程220ln 2x ax x +=在(1,4)上有2个不同的实数根,参变分离将问题等价转化为函数2ln 2()x g x x ⋅=-与直线y a =有2个交点,利用导数分析2ln 2()xg x x⋅=-的单调性与最值,即可得到a 的取值范围. 【详解】解:(1)()22()log xf x a x x x=+-22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当1a =时,221()(ln 21),ln 2x f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞,令()0f x '=,得ln 210x -=,则2log e x =,故当()20,log e x ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当()2log ,x e ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞,单调递减区间为()20,log e .(2)由22()(ln 21)ln 2x a f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭,可知2log x e =为()f x '一个零点,则方程220ln 2x ax x +=在(1,4)上有2个不同的实数根,即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根,问题等价于函数2ln 2()x g x x⋅=-与直线y a =有2个交点,()22ln 22ln 2()xx x g x x ⋅⋅-'=-22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=, 令()0g x '=,则2log x e =,∴当()21,log e x ∈时,()0g x '>,函数()g x 单调递增,当()2log e,4x ∈时,()0g x '<,函数()g x 单调递减,max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-.(1)2ln 2,g =-(4)4ln 2g =-,且(1)(4)g g >,22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-,故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,考查运算求解能力、函数与方程思想,属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.(1)写出曲线C 的直角坐标方程;(2)直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,且点()0,2P ,求PA PB +的值.【答案】(1)()()22125x y -+-=;(2【解析】 【分析】(1)在曲线C 的极坐标两边同时乘以ρ得22cos 4sin ρρθρθ=+,再由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为普通方程;(2)设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ,将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,列出韦达定理,由此可计算出1212t t t t PA B P =+-+==.【详解】(1)曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+,即22cos 4sin ρρθρθ=+,将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式,可得22240x y x y +--=, 所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=;(2)把直线l的参数方程1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中,得240t t --=,显然>0∆,设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ,则124t t =-,121t t +=, 因为点()0,2P 在直线l 上, 所以1212P t t t t A PB =+=-=+==【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数方程几何意义的应用,对于这类问题,一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,利用韦达定理进行求解计算,考查计算能力,属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--. (1)求不等式()23f x x ≥-的解集;(2)若函数()f x 的最大值为m ,且正实数a 、b 满足a b m +=,求1111a b +++的最小值. 【答案】(1)[)0,+∞;(2)23. 【解析】 【分析】(1)去绝对值,分3x <-、31x -≤≤-、1x >-三种情况解不等式()23f x x ≥-,由此可得出该不等式的解集;(2)由题意可得出4a b +=,进而得出()()1116a b +++=,然后将代数式1111a b +++与代数式()()116a b +++相乘,展开后利用基本不等式可求出1111a b +++的最小值.【详解】(1)因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩,当3x <-时,由()23f x x ≥-可得出234x -≤-,解得2x ≥,此时x ∈∅;当31x -≤≤时,由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-,解得0x ≥,此时01x ≤≤; 当1x >时,由()23f x x ≥-可得出234x -≤,解得23x ≥-,此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞;(2)根据(1)可知,函数()y f x =的最大值为4,即4a b +=,所以()()1116a b +++=.()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=, 当且仅当2a b ==时,等号成立,所以1111a b +++的最小值为23. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式的求解,同时也考查了基本不等式求和的最小值,考查分类讨论思想的应用与计算能力,属于中等题.。
福建省漳州市2021届新高考一诊数学试题含解析

福建省漳州市2021届新高考一诊数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ,若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤,则实数a 的取值范围是( ) A .[2,4] B .72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .[2,3]【答案】D 【解析】 【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =,所以|1|1n -≤,∴02n ≤≤,问题转化为:使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解,而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3],∴23a ≤≤. 故选D . 【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.2.已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ,则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A .1,2m n ==- B .1,2m n =-= C .1,2m n == D .1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1),再利用点对称的性质,即可求出m 和n . 【详解】根据题意,201x y -=⎧⎨=⎩,所以点P 的坐标为(2,1),又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+, 所以1,2m n ==-. 故选:A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题. 3.已知(0,)απ∈,且tan 2α=,则cos2cos αα+=( )A .35B .35C .35D .35【答案】B 【解析】分析:首先利用同角三角函数关系式,结合题中所给的角的范围,求得cos α的值,之后借助于倍角公式,将待求的式子转化为关于cos α的式子,代入从而求得结果. 详解:根据题中的条件,可得α为锐角,根据tan 2α=,可求得cos α=,而22cos 2cos 2cos cos 115αααα+=+-=+-=,故选B. 点睛:该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用,在解题的过程中,需要对已知真切求余弦的方法要明确,可以应用同角三角函数关系式求解,也可以结合三角函数的定义式求解.4.已知,m n 为两条不重合直线,,αβ为两个不重合平面,下列条件中,αβ⊥的充分条件是( ) A .m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B .m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C .m n m ,⊥∥,n α∥β D .m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可. 【详解】对于A ,当//m n ,m α⊂,n β⊂时,则平面α与平面β可能相交,αβ⊥,//αβ,故不能作为αβ⊥的充分条件,故A 错误;对于B ,当//m n ,m α⊥,n β⊥时,则//αβ,故不能作为αβ⊥的充分条件,故B 错误; 对于C ,当m n ⊥,//m α,//n β时,则平面α与平面β相交,αβ⊥,//αβ,故不能作为αβ⊥的充分条件,故C 错误;对于D ,当m n ⊥,m α⊥,n β⊥,则一定能得到αβ⊥,故D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题. 5.已知集合2{|1}A x x =<,{|ln 1}B x x =<,则 A .{|0e}A B x x =<<I B .{|e}A B x x =<I C .{|0e}A B x x =<<U D .{|1e}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<, 所以{|01}A B x x =<<I ,{|1e}A B x x =-<<U ,故选D .6.已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+,其中i 为虚数单位,则实数a 等于( ) A .1- B .1C .2-D .2【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法表示出z ,然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+,所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+, 又因为z 是纯虚数,所以220a -=,所以1a =. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数,则有0,0a b =≠.7.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y (其中1,2,,300i =L ),求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+,则下列说法正确的是( )A .至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B .若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量同的相关系数为1 C .对所有的解释变量i x (1,2,,300i =L ),ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D .若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >,则变量x 与y 正相关 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误;所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上,则变量间的相关系数为1±,故B 错误; 若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上,则ˆˆbx a +的值与y i 相等,故C 错误;相关系数r 与ˆb符号相同,若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >,则0r >,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x 与y 正相关,故D 正确. 故选D . 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻)若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为( )A .356B .328C .314D .14【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦;从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个,再取没有阳爻的坤卦,计算满足条件的种数,利用古典概型即得解. 【详解】由图可知,仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦,从中取两卦满足条件,其种数是233C =;仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦,没有阳爻的是坤卦,此时取两卦满足条件的种数是133C =,于是所求的概率2833314P C +==. 故选:C 【点睛】本题考查了古典概型的应用,考查了学生综合分析,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.9.若()*3n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项,且n 的最小值为a,则aa-=( ) A .36π B .812πC .252πD .25π【答案】C 【解析】()*3x nn N ∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rrn r r r n n T C x C x r n ---+===L ,因为展开式中含有常数项,所以502n r -=,即25r n =为整数,故n 的最小值为1.所以5252aπ--⎰=⎰=.故选C 点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项,再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第1r +项,由特定项得出r 值,最后求出其参数.10.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八 边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边 形的边长为10m ,阴阳太极图的半径为4m ,则每块八卦田的面积约为( )A .247.79mB .254.07mC .257.21mD .2114.43m【答案】B 【解析】 【分析】由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的18,两面积作差即可求解. 【详解】由图,正八边形分割成8个等腰三角形,顶角为360458=oo ,设三角形的腰为a ,由正弦定理可得10135sin 45sin 2a =o o,解得1351022a =o , 所以三角形的面积为:)211351cos135102sin 455022521222S ⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭o o o ,所以每块八卦田的面积约为:)212521454.078π-⨯⨯≈.故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题. 11.设01p <<,随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时,( ) A .()E ξ减小,()D ξ减小 B .()E ξ减小,()D ξ增大 C .()E ξ增大,()D ξ减小 D .()E ξ增大,()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-,22()()()D E E ξξξ=-,判断其在23(,)34内的单调性即可.【详解】解:根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增, 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭,是以12p =为对称轴,开口向下的抛物线,所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,故选:C . 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.12.已知数列{}n a 满足12n n a a +-=,且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ,则n S 的最小值为( ) A .–10 B .14-C .–18D .–20【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得n S ,再利用二次函数的性质,可得当4n =或5时,n S 取到最小值. 【详解】根据题意,可知{}n a 为等差数列,公差2d =,由134,,a a a 成等比数列,可得2314a a a =,∴1112()4(6)a a a ++=,解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性,可知当4n =或5时,n S 取到最小值,最小值为20-. 故选:D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当4n =或5时同时取到最值. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
福建省漳州市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

福建省漳州市2021届新高考数学第一次调研试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知()f x 为定义在R 上的奇函数,且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时,2()2f x x =,则(3)f =( ) A .18- B .18C .2-D .2【答案】C 【解析】 【分析】由题设条件()()4f x f x +=,可得函数的周期是4,再结合函数是奇函数的性质将()3f 转化为()1f 函数值,即可得到结论. 【详解】由题意,()()4f x f x +=,则函数()f x 的周期是4, 所以,()()()3341f f f =-=-,又函数()f x 为R 上的奇函数,且当()0,2x ∈时,()22f x x =,所以,()()()3112f f f =-=-=-. 故选:C. 【点睛】本题考查函数的周期性,由题设得函数的周期是解答本题的关键,属于基础题.2.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos2tan 1sin 2βαβ=-,则( ) A .22παβ+=B .4παβ+=C .4αβ-=πD .22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭, 所以4παβ=+,即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易. 3.已知复数z 534i=+,则复数z 的虚部为( ) A .45B .45-C .45iD .45-i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】()()()53453434343455i z i i i i -===-++-,则复数z 的虚部为45-. 故选:B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 4.已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ,则“//αβ ”的充分不必要条件是( ) A .α内有无数条直线与β平行 B .l α⊥ 且l β⊥C .αγ⊥ 且γβ⊥D .α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行,则,αβ相交或//αβ,排除;B. l α⊥ 且l β⊥,故//αβ,当//αβ,不能得到l α⊥ 且l β⊥,满足;C. αγ⊥ 且γβ⊥,//αβ,则,αβ相交或//αβ,排除;D. α内的任何直线都与β平行,故//αβ,若//αβ,则α内的任何直线都与β平行,充要条件,排除. 故选:B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面,平面和平面的位置关系,意在考查学生的综合应用能力.5.已知抛物线C :28x y =,点P 为C 上一点,过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,又知点()5,2A ,则PQ PA+的最小值为( )A .132B .2C .3D .5【答案】C 【解析】 【分析】由2PQ PF =-,再运用,,P F A 三点共线时和最小,即可求解. 【详解】22523PQ PA PF PA FA +=-+≥-=-=.故选:C 【点睛】本题考查抛物线的定义,合理转化是本题的关键,注意抛物线的性质的灵活运用,属于中档题. 6.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm )服从正态分布()280,5N ,则直径在(]75,90内的概率为( )附:若()2~,X N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<+=„,()220.9544P X μσμσ-<+=„.A .0.6826B .0.8413C .0.8185D .0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=,5σ=,将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+,结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意,80μ=,5σ=,则()75850.6826P X <=„,()70900.9544P X <=„, 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„,()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185.故选:C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.7.使得()3nx n N x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A .4B .5C .6D .7【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x ()n rr C x x (),若展开式中有常数项,则3--=02n r r ,解得5=2n r ,当r 取2时,n 的最小值为5,故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用.8.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI (居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是( )A .CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B .CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C .猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D .猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】 【分析】A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI 一篮子商品中,还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误. 故选:D 【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.9.如图是计算11111++++246810值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )A .5k ≥B .5k <C .5k >D .6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S 前循环体的n 的值为12,k 的值为6,进而可得判断框内的不等式. 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12,k 的值为6, 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.10.设全集U =R ,集合{}02A x x =<≤,{}1B x x =<,则集合A B =U ( ) A .()2,+∞B .[)2,+∞C .(],2-∞D .(],1-∞【解析】∵集合{}02A x x =<≤,{}1B x x =<, ∴A B ⋃= (],2-∞点睛:本题是道易错题,看清所问问题求并集而不是交集.11.在区间[]1,1-上随机取一个实数k ,使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( )A .12B .14C.2D.4【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=1<,解得44k -<<.因此,所求概率为2424P ==. 故选:D. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题. 12.已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„,则()R A B U ð=( ) A .{|0}x x < B .{|01}x x 剟 C .{|10}x x -<„ D .{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ,B ,再求集合B 的补集,然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟,所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选:D此题考查的是集合的并集、补集运算,属于基础题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
福建省漳州市华安一中2021届高考数学模拟试题 理 新人教A版

2021年高中毕业班质量检测理科数学试理科数学备课组(完卷时刻:120分钟;总分值:150分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1、已知集合M ={(x ,y )|x +y =2},N ={(x ,y )|x -y =4},那么集合M ∩N 为( )(A).x =3,y =-1(B).(3,-1) (C).{3,-1} (D).{(3,-1)}2.a 为正实数,i 为虚数单位,|a +i i|=2,那么a =( ) (A)2 (B) 3 (C) 2 (D)13.运行下面的程序:当输入168,72时,输出的结果是( )(A)168 (B)72 (C)36 (D)244. 已知命题p : n ∈N ,2n >1 000,那么 非p 为( )(A) n ∈N ,2n ≤1 000 (B) n ∈N ,2n >1 000(C) n ∈N ,2n <1 000 (D) n ∈N ,2n ≥1 0005. 已知等比数列{an}的前n 项积为∏n,假设8843=⋅⋅a a a ,那么∏9=( ).A.512B.256C.81D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,假设OC =λOA +μOB ,且λ≥μ≥1,那么用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的选项是( )7. 函数f (x )的部份图象如下图,那么f (x )的解析式能够是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8.概念:离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”, 51-已知E : + =1(a>b>0)的一个核心为F(c,0)(c>0),那么E为“黄金椭圆”是“a 、b 、c 成等比数列”的( )(A)既不充分也没必要要条件 (B)充分且必要条件(C)充分没必要要条件 (D)必要不充分条件9函数 ()x 231f x ()x 2-=- 的零点所在的区间为( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取极小值,那么22)3()21(-++c b 的取值范围是( ).A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每题4分,共20分11. 从4名男生和3名女生当选出3人,别离从事三项不同的工作,假设这3人中至少有1名女生,那么选派方案共有________种.12. 假设 展开式中第6项的系数最大,那么不含x 的项等于____________.13. 假设直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,那么CA CB ⋅的值为 14. 假设某几何体的三视图(单位:cm)如下图,那么此几何体的侧面积=_________cm 2.15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩ ,假设数列{am}知足))(2(+∈=N m m f a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解许诺写出文字说明、证明进程和演算步骤.16. (13分) 某同窗参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同窗语文课程取得优秀成绩的概率为45,数学、英语课程取得优秀成绩的概率别离为m,n(m>n),且该同窗3门课程都取得优秀成绩的概率为24125,该同窗3门课程都未取得优秀成绩的概率为6125,且不同课程是不是取得优秀成绩彼此独立.(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率.(2)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数,求ξ的散布列及数学期望E(ξ).17. (13分)已知函数f(x)=sin2x+acos 2x(a ∈R,a 为常数),且π4是函数y=f(x)的零点.(1)求a 的值,并求函数f(x)的最小正周期;(2)假设x ∈[0,π2],求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x 的值.18. (13分) 如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.(Ⅰ)求证:PB ⊥AC;(Ⅱ) 当PD=2AB,E 在何位置时, PB ⊥平面EAC;(Ⅲ) 在(Ⅰ)的情形下,求二面E-AC-B 的余弦值.19(13分) 如图1,已知:抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点C ,其中B C 、两点坐标别离为B (4,0)、C (0,-2),连结AC .(1)求抛物线的函数关系式;(2)判定ABC △的形状,并说明理由;(3)假设ABC △内部可否截出面积最大的矩形DEFC (极点D E F 、、、G 在ABC △各边上)?假设能,求出在AB 边上的矩形极点的坐标;假设不能,请说明理由.20 (14分) 20. (本小题总分值14分)已知函数1()ln +)f x x ax a =-(,其中a R ∈且0a ≠(Ⅰ)讨论()f x 的单调区间;(Ⅱ)假设直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方,求a 的取值范围; (Ⅲ)假设存在110x a -<<,20x >,使得()()f x f x 120,求证:120x x +>.21. 此题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,总分值14分.若是多做,那么按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题总分值7分)选修4-2:矩阵与变换.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c A 33,假设矩阵A 属于特点值6的一个特点向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111α,属于特点值1的一个特点向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=232α.(Ⅰ)求矩阵A 的逆矩阵;(Ⅱ)计算A3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41的值. (2)(本小题总分值7分)选修4-4:坐标系与参数方程.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l 的参数方程是:{x =−√5+√22t y =√5+√22t(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的一般方程;(2)将曲线C 横坐标缩短为原先的12,再向左平移1个单位,取得曲线C 1,求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值.(3)(本小题总分值7分)选修4-5:不等式选讲设函数f(x)=|x -4|+|x -3|,(Ⅰ)求f(x)的最小值m(Ⅱ)当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.数学(理科)试卷参考答案及评分标准1 D2 B 3D 4A 5A 6D 7C 8B 9B 10D11. 186 12. 210 13. 0 14. 15π 15 804216. 【解析】设事件A i 表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3.由题意可知P(A 1)=45,P(A 2)=m,P(A 3)=n.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未取得优秀成绩”是对立的,因此该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-6125=119125……………………………..6分(2)由题意可知,P(ξ=0)=P(A 1̅̅̅̅·A 2̅̅̅̅·A 3̅̅̅̅)=(1-45)(1-m)(1-n)=6125. P(ξ=3)=P(A 1·A 2·A 3)=45mn=24125.又m>n,解得m=35,n=25.P(ξ=1)=P(A 1·A 2̅̅̅̅·A 3̅̅̅̅+A 1̅̅̅̅·A 2·A 3̅̅̅̅+A 1̅̅̅̅·A 2̅̅̅̅·A 3)=37125. P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=58125. ∴ξ的散布列为因此数学期望 E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=95………13分 17. 【解析】(1)由于π4是函数y=f(x)的零点, 即x=π4是方程f(x)=0的解, 从而f(π4)=sin π2+acos 2π4=0,那么1+12a=0,解得a=-2.因此f(x)=sin2x-2cos 2x=sin2x-cos2x-1,那么f(x)=√2sin(2x-π4)-1,因此函数f(x)的最小正周期为π………………..6分(2)由x ∈[0,π2],得2x-π4∈[-π4,3π4],那么sin(2x-π4)∈[-√22,1], 那么-1≤√2sin(2x-π4)≤√2, -2≤√2sin(2x-π4)-1≤√2-1,∴函数f(x)的值域为[-2,√2-1].当2x-π4=2k π+π2(k ∈Z),即x=k π+38π时,f(x)有最大值,又x ∈[0,π2],故k=0时,x=38π, f(x)有最大值√2-1. ………………………………………13分18【答案】以D 为原点DA 、DC 、DZ 别离为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系D xyz - 设 ,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h , (Ⅰ)∵AC =)0,,(a a -,PB =),,(h a a - ∴PB AC •=)0,,(a a -•),,(h a a -=0∴AC ⊥P C………………………………………………4分(Ⅱ)当PD=2AB时,)2,0,0(a P ,)2,,(a a a PB -=由(Ⅰ)知AC ⊥PB ,故只要PB AE ⊥即可设PB PEλ=,),,(z y x P ,那么 )2,,()2,,(a a a a z y x -=-λ,∴)22,,(a a a a E λλλ- ∴)22,,(a a a a a AE λλλ--= 由PB AE ⊥得•--)22,,(a a a a a λλλ)22,,(a a a a -=0 ∴65=λ 因此PB PE 65=,PB ⊥平面EAC;……………………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知)31,65,65(a a a E ,设O DB AC = ,那么 AC OE AC OB ⊥⊥, , )0,21,21(a a O ∴〉〈OE OB ,等于二面E-AC-B 的平面角 ∴)0,21,21(a a OB =,)31,31,31(a a a OE =∴36,==〉〈OE OB COS ∴二面角E-AC-B 的余弦值为36…………………………………..13分 .19【答案】(1)213222y x x =--.……………………….3分 (2)ABC △是直角三角形.证明:令0y =,那么2132022x x --=. 1214x x ∴=-=,.(10)A ∴-,.5AB AC BC ∴===,.22252025AC BC AB ∴+=+==.ABC ∴△是直角三角形.………………………………….7分(3)能.①当矩形两个极点在AB 上时,如图1,CO 交GF 于H .GF AB ∥,CGF CAB ∴△∽△.GF CH AB CO ∴=. 设GF x =,那么DE x =,25CH x =, 225DG OH OC CH x ==-=-. 2222255DEFG S x x x x ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭矩形·=2255522x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 当52x =时,S 最大.512DE DG ∴==,. ADG AOC △∽△,11222AD DG AD OD OE AO OC ∴=∴=∴==,,,.102D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,,(20)E ,. ②当矩形一个极点在AB 上时,F 与C 重合,如图2,DG BC ∥,AGD ACB ∴△∽△.GD AG BC AF∴=. 设GD x =,5,25AC BC ∴==, 52x GF AC AG ∴=-=-. =()215522x --+. 当5x =时,S 最大.552GD AG ∴==,, 2252AD AG GD ∴=+=. 综上所述:当矩形两个极点在AB 上时,坐标别离为102⎛⎫- ⎪⎝⎭,,(2,0);当矩形一个极点在AB 上时,坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭, …………………………..13分 20. 解:(I)f(x)的概念域为),1(+∞-a .其导数'()a x f x a ax x a 2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a 上是增函数;…………2分②当0a >时,在区间(,)a 10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <. 因此()f x 在(,)a 10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a =-,则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a -=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,那么1()2ln()h x ax x a =-+………6分 问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围. 由于'12()12()211a x a h x a x x a a +=-=++ ………7分∴在区间(,)a a 112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,因此只需1()02h a -> 即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2e a ∴>………9分 (Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a 上是增函数,不知足题意,因此0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a -<<) 11()ln()ln()2g x x x ax a a ∴=--++………11分 则2'22112()20111ax g x a x x x a a a =-+=<-+- 因此函数)(x g 在区间1(,0)a -上为减函数.110x a -<<,那么1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x 110,又1()0f x =,()()f x f x 120,由()f x 在,)+∞(0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题总分值7分)选修4-2:矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4233A . ………… 2分因此⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A …………4分(Ⅱ):⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 (2)(本小题总分值7分)选修4-4:坐标系与参数方程.解.(1)将曲线C:ρ=4cos θ化为一般方程为(x-2)2+y 2=4,直线l 的一般方程是x-y+2√5=0………………………………………3分(2)将曲线C:(x-2)2+y 2=4横坐标缩短为原先的12,取得曲线的方程为(2x-2)2+y 2=4,即4(x-1)2+y 2=4,再向左平移1个单位,取得曲线C 1的方程为4x 2+y 2=4,即x 2+y 24=1.设曲线C 1上的任意一点为(cos θ,2sin θ),它到直线l 的距离为d=√5|√2 =√5−√5sin √2.∵√5≤|2√5-√5sin(θ+ϕ)|≤3√5,故√102≤d ≤3√102…………………..7分(3) )(本小题总分值7分)选修4-5:不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x -4|+|x -3|≥|(x -4)-(x -3)|=1,故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分 故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分故a2+b2+c2≥141-…………6分当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。
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2021年福建省漳州一中高考数学一模试卷日期:2021年2月24日课程名称:数学一模试卷2021年福建省漳州一中高考数学一模试卷一、选择题(本大题包括12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意).1.(5分)给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为正实数;q:存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命题中的真命题是()A.p且q B.p或q C.¬p且q D.¬p或q 2.(5分)已知函数,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为()A.4B.2C.1D.3.(5分)省博物馆在下周内要接待甲、乙、丙三所学校的学生参观,每天只安排一所学校,双休日不安排,其中由于甲学校学生人数多,要连续参观两天,其余两学校各参观一天,则不同的安排方案共有()A.12种B.24种C.48种D.60种4.(5分)某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,100),则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为(已知Φ(2)=0.9772)()A.2.28%B.10%C.22.8%D.以上均不对5.(5分)甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3:1的比分获胜的概率为()A.B.C.D.6.(5分)已知两定点A(2,0)、B(0,1),O为坐标系原点,动点P满足:,则的最大值是()A.1B.2C.3D.47.(5分)过抛物线y2=2Px(P>0)的焦点F作直线l,交抛物线于A、B两点,且点A在第一象限,着|AF|=3|BF|,则直线l的斜率为()A.B.C.D.38.(5分)设等比数列{a n}的首项a1=2,公比为q,前n项和为S n,记,则当﹣1<q<0时,S的取值范围是()A.(1,2)B.(0,2)C.(0,1)D.(﹣1,0)9.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB 上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是()A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线10.(5分)对任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如[3.4]=3,[﹣3.4]=﹣4等),设函数f(x)=x﹣[x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数,其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.411.(5分)△ABC内有任意三点不共线的2015个点,加上A、B、C 三个顶点,共有2018个点,把这2018个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为()A.4000B.4008C.4031D.4028 12.(5分)已知x,y,z∈R+,且,则(x+y)(y+z)的最小值为()A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.(4分)(理)设复数z=1﹣i,若为纯虚数,则实数a的值为.14.(4分)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,则这样的直线有条.15.(4分)若函数,(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是.16.(4分)在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D 是A点在BC边上的射影,则AB2=BD•BC.拓展到空间,在四面体A﹣BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.已知△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,且a2+b2=2c2(Ⅰ)求角C的最大值;(Ⅱ)求的取值范围.18.设常数a>0,函数(Ⅰ)当时,求函数f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围.19.如图,矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直.(Ⅰ)若AB=2,AD=DE=1,P为AB的中点,求二面角D﹣EC 一P的正切值,并判定△EPC的形状;(Ⅱ)若AB=a,AD=DE=1时,试确定在线段AB上是否存在点P,使得?若存在,求出a的取值范围,否则说明理由.20.某工厂统计资料显示,一种产品次品率p与日产量x(件)(x∈N,0<x≤100)之间的关系如表:123...x (9899100)日产量x次品率……P已知生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元.(Ⅰ)试将该厂的日盈利额y(元)表示为日产里x(件)的函数;(Ⅱ)为获取最大盈利,该厂的日产里x应定为多少件?21.(如图)过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB;若点M在x轴上,且使得MF为△AMB 的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆=1的“左特征点”M的坐标.(2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆=1(a>b>0)的“左特征点”M是一个怎么样的点?并证明你的结论.22.已知数列{a n} 满足:a1=2,a n+1=2(1+)2a n(n∈N+).(1)求数列{a n} 的通项公式;(2)设b n=(An2+Bn+C)•2n,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切n∈N+都有a n=b n+1﹣b n成立?说明你的理由;(3)求证:a1+a2+…+a n<(n2﹣2n+2)•2n+2.2018年福建省漳州一中高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题包括12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意).1.(5分)给出两个命题:p:|x|=x的充要条件是x为正实数;q:存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命题中的真命题是()A.p且q B.p或q C.¬p且q D.¬p或q 【分析】首先判断两个命题的真假,再由真值表选择答案.p中,由绝对值得意义,考虑x=0的情况;q中可取特殊函数.【解答】解:p中x=0时有|x|=x,故p为假命题,﹣p为真命题,所以﹣p或q一定为真命题;q中若f(x)=在定义域上不是单调函数,但存在反函数,故q 为假命题,由真值表知A、B、C均为假命题.故选:D.【点评】本题考查命题和复合命题真假判断,属基础知识的考查.2.(5分)已知函数,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1﹣x2|的最小值为()A.4B.2C.1D.【分析】先确定|x1﹣x2|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值也就是半周期,由此可得结论.【解答】解:函数,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,所以f(x1)是最小值,f(x2)是最大值,|x2﹣x1|为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值.∴|x1﹣x2|的最小值为半周期:=2.故选:B.【点评】本题考查三角函数的性质,确定|x1﹣x2|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值就是函数的半周期是关键,属于中档题.3.(5分)省博物馆在下周内要接待甲、乙、丙三所学校的学生参观,每天只安排一所学校,双休日不安排,其中由于甲学校学生人数多,要连续参观两天,其余两学校各参观一天,则不同的安排方案共有()A.12种B.24种C.48种D.60种【分析】根据题意,分2步进行分析:①,先用列举法分析甲学校的安排方法数目,②,再由排列数公式计算两所学校各参观一天的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①,先安排甲学校参观,由于甲学校连续参观两天,从5天中找连续的两天,可以是周一周二,可以是周二周三,可以是周三周四,可以是周四周五,有4种情况,②,另两所学校各参观一天,从剩下的3天中任选2天,有A32=6种方法,则一共有4×6=24种安排方法;故选:B.【点评】本题考查排列、组合的应用,注意优先分析受到限制的元素.4.(5分)某校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,100),则此校数学成绩不低于120分的考生占总人数的百分比为(已知Φ(2)=0.9772)()A.2.28%B.10%C.22.8%D.以上均不对【分析】用X表示此中学数学高考成绩,则X~N(100,102),根据X~N(μ,σ2),可得P(X≥120)=1﹣P(X<120)=1﹣Φ(2),则答案可求.【解答】解:∵用X表示此校数学高考成绩,则X~N(100,102),P(X>x0)=1﹣Φ(x0).X~N(μ,σ2),记P(X<x0)=F(x0)=Φ().∴P(X≥120)=1﹣P(X<120)=1﹣Φ()=1﹣Φ(2)=0.0228.∴数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比为2.28%.故选:A.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,属于基础题.5.(5分)甲乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3:1的比分获胜的概率为()A.B.C.D.【分析】以甲3胜1败而结束比赛,甲只能在1、2、3次中失败1次,第4次胜,即可得出结论.【解答】解:甲以3:1的比分获胜,甲只能在1、2、3次中失败1次,第4次胜,因此所求概率为:P==.故选:A.【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率,等可能事件的概率,属于基础题.6.(5分)已知两定点A(2,0)、B(0,1),O为坐标系原点,动点P满足:,则的最大值是()A.1B.2C.3D.4【分析】设P(x,y),则(x﹣2,y)=(﹣2λ,λ),从而=(2,0)•(2﹣2λ,λ)=2(2﹣2λ)=4﹣4λ,由0≤λ≤1,能求出的最大值.【解答】解:设P(x,y),∵两定点A(2,0)、B(0,1),O为坐标系原点,动点P满足:,∴(x﹣2,y)=(﹣2λ,λ),解得x=2﹣2λ,y=λ,∴P(2﹣2λ,λ),∴=(2,0)•(2﹣2λ,λ)=2(2﹣2λ)=4﹣4λ,∵0≤λ≤1,∴的最大值是4.故选:D.【点评】本题考查向量的数量积的最大值的求法,考查向量加法定理、向量的数量积等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.7.(5分)过抛物线y2=2Px(P>0)的焦点F作直线l,交抛物线于A、B两点,且点A在第一象限,着|AF|=3|BF|,则直线l的斜率为()A.B.C.D.3【分析】设直线L交准线于C,根据相似三角形列比例式依次求出BC,p,即可得出抛物线方程.【解答】解:设抛物线准线交x轴于F′,分别过A,B作准线的垂线,垂足为A',B',直线L交准线于C,如图所示:则|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,|AF|=3|BF|,|AN|=2|BF|,|AB|=4|BF|,cos∠NAB=,∠NAB=60°.则直线l的斜率为:.故选:C.【点评】本题考查了抛物线的性质,属于基本知识的考查.8.(5分)设等比数列{a n}的首项a1=2,公比为q,前n项和为S n,记,则当﹣1<q<0时,S的取值范围是()A.(1,2)B.(0,2)C.(0,1)D.(﹣1,0)【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可.【解答】解:等比数列{a n}的首项a1=2,公比为q,前n项和为S n,=,当﹣1<q<0时,可得S=,又1﹣q∈(1,2),∈(,1)=∈(1,2).故选:A.【点评】本题考查数列的极限,数列极限的综合应用,考查计算能力.9.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是()A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线【分析】作PQ⊥AD,作QR⊥D1A1,PR即为点P到直线A1D1的距离,由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1,又已知PR2﹣PM2=1,故PQ=PM,即P到点M的距离等于P到AD的距离.【解答】解:如图所示:正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,作PQ⊥AD,Q为垂足,则PQ⊥面ADD1A1,过点Q作QR⊥D1A1,则D1A1⊥面PQR,PR即为点P到直线A1D1的距离,由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1.又已知PR2﹣PM2=1,∴PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离,根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,故选:B.【点评】本题考查抛物线的定义,求点的轨迹方程的方法,体现了数形结合的数学思想,得到PM=PQ是解题的关键.10.(5分)对任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数(例如[3.4]=3,[﹣3.4]=﹣4等),设函数f(x)=x﹣[x],给出下列四个结论:①f(x)≥0;②f(x)<1;③f(x)是周期函数;④f(x)是偶函数,其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【分析】由[x]为不大于x的最大整数,可得[x]≤x<[x]+1,可得f (x)=x﹣[x]≥0,且f(x)<1,得①②正确,对于③则看f(x)与f(x+1)的关系即可,对于④,取特殊值即可说明其不成立.【解答】解:由题意有[x]≤x<[x]+1∴f(x)=x﹣[x]≥0,且f(x)<1∴①②正确∵f(x+1)=x+1﹣[x+1]=x+1﹣([x]+1)=x﹣[x]=f(x)∴f(x)为周期函数∵f(﹣0.1)=﹣0.1﹣[﹣0.1]=﹣0.1﹣(﹣1)=0.9,f(0.1)=0.1﹣[0.1]=0.1﹣0=0.1≠f(﹣0.1)∴f(x)不是偶函数,故选:C.【点评】本题考查了在新定义下,判断函数的取值范围,单调性,奇偶性.关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题.11.(5分)△ABC内有任意三点不共线的2015个点,加上A、B、C 三个顶点,共有2018个点,把这2018个点连线形成互不重叠的小三角形,则一共可以形成小三角形的个数为()A.4000B.4008C.4031D.4028【分析】根据题意,分析易得:△ABC中有1个点时,△ABC中有2个点时,△ABC中有3个点时,可以形成小三角形的个数,由归纳推理的方法可得当三角形中有n个点时,可以形成三角形的个数,将n=2015代入可得答案.【解答】解:△ABC中有1个点时,可以形成小三角形的个数为2×1+1=3个,△ABC中有2个点时,可以形成小三角形的个数为2×2+1=5个,△ABC中有3个点时,可以形成小三角形的个数为2×3+1=7个,………分析可得,当△ABC的内部每增加一个点,可以形成小三角形的数目增加2个,则三角形中有n个点时,三角形的个数为(2n+1)个;当△ABC内有任意三点不共线的2015个点时,应有点2×2015+1=4031;故选:C.【点评】本题考查归纳推理的应用,注意分析三角形的个数与三角形内点的个数的变化规律.12.(5分)已知x,y,z∈R+,且,则(x+y)(y+z)的最小值为()A.4B.3C.2D.1【分析】由题意可得xyz(x+y+z)=1,即为y(x+y+z)=,则(x+y)(y+z)=xz+y(x+y+z)=xz+,由基本不等式即可得到所求最小值.【解答】解:x,y,z∈R+,且,可得xyz(x+y+z)=1,即为y(x+y+z)=,则(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=xz+y(x+y+z)=xz+≥2=2,当且仅当xz=1取得等号,则(x+y)(y+z)的最小值为2,故选:C.【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查变形能力和化简运算能力,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.(4分)(理)设复数z=1﹣i,若为纯虚数,则实数a的值为1.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0求得a值.【解答】解:∵z=1﹣i,且=为纯虚数,∴,即a=1.故答案为:1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.14.(4分)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,则这样的直线有3条.【分析】右焦点为(,0),当AB的斜率不存在时,经检验满足条件,当AB的斜率存在时,设直线AB方程为y﹣0=k(x﹣),代入双曲线化简,求出x1+x2和x1•x2的值,由|AB|=4=,解得k=±,得到满足条件的斜率存在的直线有两条,故总共有3条.【解答】解:右焦点为(,0),当AB的斜率不存在时,直线AB 方程为x=,代入双曲线的方程可得y=±2,即A,B两点的纵坐标分别为2 和﹣2,满足|AB|=4.当AB的斜率存在时,设直线AB方程为y﹣0=k(x﹣),代入双曲线的方程化简可得(2﹣k2)x2 +2k2x﹣3k2﹣2=0,∴x1+x2=﹣,x1•x2=,∴|AB|=4=,平方化简可得6k2﹣3=0,∴k=±,都能满足判别式△=12﹣4(2﹣k2)(3k2﹣2)>0.所以,满足条件的且斜率存在的直线有2条.综上,所有满足条件的直线共有3条,故答案为:3.【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,求出满足条件的直线的斜率,是解题的关键和难点,属于中档题.15.(4分)若函数,(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].【分析】函数,(a>0且a≠1)的值域为R,则其真数在实数集上恒为正,将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可.【解答】解:函数,(a>0且a≠1)的值域为R,其真数在实数集上恒为正,即恒成立,即存在x∈R使得≤4,又a>0且a≠1故可求的最小值,令其小于等于4∵∴4,解得a≤4,故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4]故应填(0,1)∪(1,4]【点评】考查存在性问题的转化,请读者与恒成立问题作比较,找出二者逻辑关系上的不同.16.(4分)在平面几何里有射影定理:设△ABC的两边AB⊥AC,D 是A点在BC边上的射影,则AB2=BD•BC.拓展到空间,在四面体A﹣BCD中,DA⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形射影定理,△ABC,△BOC,△BDC三者面积之间关系为(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC.【分析】这是一个类比推理的题,在由平面图形到空间图形的类比推理中,一般是由点的性质类比推理到线的性质,由线的性质类比推理到面的性质,由已知在平面几何中,(如图所示)若△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,D是垂足,则AB2=BD•BC,我们可以类比这一性质,推理出若三棱锥A﹣BCD中,AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,则(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC【解答】解:由已知在平面几何中,若△ABC中,AB⊥AC,AE⊥BC,E是垂足,则AB2=BD•BC,我们可以类比这一性质,推理出:若三棱锥A﹣BCD中,AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,则(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC.故答案为:(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC【点评】类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.已知△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,且a2+b2=2c2(Ⅰ)求角C的最大值;(Ⅱ)求的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用余弦定理表示出cos C,将得出的关系式利用基本不等式变形求出cos C的最小值,根据C为三角形的内角,求出C的最大值.(Ⅱ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知,根据余弦函数的性质可求其取值范围.【解答】解:(Ⅰ)△ABC中,a2+b2=2c2,∴cos C=≥==,当且仅当a=b时取等号,∵C为三角形的内角,∴0<C≤,∴C的最大值为.(Ⅱ)∵π﹣C=A+B,∴=cos(2π﹣2C)﹣[1+cos(π﹣C)]=cos2C ﹣(1﹣cos C)=2(cos C+)2﹣,∵0<C≤,可得:cos C∈[,1),∴cos C+∈[,),∴y=2(cos C+)2﹣∈[﹣1,1).【点评】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用问题,考查了三角函数恒等变换的应用和余弦函数性质的应用,属于中档题.18.设常数a>0,函数(Ⅰ)当时,求函数f(x)的极大值和极小值;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间,可得极值;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,可得f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立,运用参数分离和可化为二次函数的最值求法,可得a的范围.【解答】解:(Ⅰ)当时,f(x)=﹣ln(x+)的导数为f′(x)=﹣==,当<x<时,f′(x)<0,f(x)递减;当x>或0<x<时,f′(x)>0,f(x)递增,可得f(x)的极大值为f()=;f(x)的极小值为f()=﹣ln3;(Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,可得f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立,即为:﹣≥0在[0,+∞)恒成立,可得a≥﹣x+2的最大值,由﹣x+2=﹣(﹣1)2+1,可得x=1时,取得最大值1,则a≥1.【点评】本题考查导数的运用:求单调性和极值,考查参数分离和可化为二次函数的最值求法,以及运算能力,属于中档题.19.如图,矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直.(Ⅰ)若AB=2,AD=DE=1,P为AB的中点,求二面角D﹣EC 一P的正切值,并判定△EPC的形状;(Ⅱ)若AB=a,AD=DE=1时,试确定在线段AB上是否存在点P,使得?若存在,求出a的取值范围,否则说明理由.【分析】(Ⅰ)过P做PM垂直CD于M,过P做PN垂直CE于N,连接MN推导出∠PNM是二面角D﹣EC﹣P的平面角,由此能求出二面角D﹣EC一P的正切值;求出PD=PC=,PE=,CE =,由此得到△EPC是直角三角形.(Ⅱ)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)过P做PM垂直CD于M,过P做PN垂直CE于N,连接MN,∵平面ABCD⊥平面CDEF,且CD为交线,平面ABCD内,直线PM⊥CD,∴PM⊥平面CDEF,∴PM⊥CE,又∵PN⊥CE,∴CE⊥平面PMN,即CE⊥MN,平面CDE∩平面PCE=CE,PN和MN分别在两个平面内,且PN⊥CE,MN⊥CE,∴∠PNM是二面角D﹣EC﹣P的平面角,∵tan∠NCM===,∴sin,P是AB中点,∴M是CD中点,即CM=1,∴在Rt△CNM中,MN=CM•=,在Rt△PMN中,PM=AD=1,MN=,∴tan∠PNM==,∴二面角D﹣EC一P的正切值为,PD=PC==,PE==,CE==,∴PC2+PE2=CE2,∴PC⊥PE,∴△EPC是直角三角形.(Ⅱ)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DE为z轴,建立空间直角坐标系,设在线段AB上存在点P(1,t,0)(0≤t≤a),使得,E(0,0,1),C(0,a,0),则=(﹣1,﹣t,1),=(﹣1,a﹣t,0),∴=1﹣ta+t2=0,∴a==t+≥2=2,当且仅当t=时,取等号,∴a≥2,即a的取值范围是[2,+∞).【点评】本题考查二面角的正切值的求法,考查三角形开头的判断,考查实数的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.20.某工厂统计资料显示,一种产品次品率p与日产量x(件)(x∈N,0<x≤100)之间的关系如表:123...x (9899100)日产量x……次品率P已知生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元.(Ⅰ)试将该厂的日盈利额y(元)表示为日产里x(件)的函数;(Ⅱ)为获取最大盈利,该厂的日产里x应定为多少件?【分析】(Ⅰ)由生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元,可得y=ax•(1﹣)﹣•x•,化简可得所求函数式;(Ⅱ)令t=108﹣x,可得x=108﹣t,转化为t的函数,运用基本不等式,即可得到所求最大值,相应的x的值.【解答】解:(Ⅰ)生产一件正品盈利a元,生产一件次品损失元,可得y=ax•(1﹣)﹣•x•=•,x∈N,0<x≤100;(Ⅱ)令t=108﹣x,可得x=108﹣t,可得f(t)=a(108﹣t)•(1﹣)﹣﹣(108﹣t)•=﹣a(t+)+≤﹣a•2+=a.当且仅当t=12,即x=96时,上式取得等号,为获取最大盈利,该厂的日产里x应定为96件.【点评】本题考查函数在实际问题中的运用,考查基本不等式的运用:求最值,以及化简运算能力,属于中档题.21.(如图)过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB;若点M在x轴上,且使得MF为△AMB 的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”.(1)求椭圆=1的“左特征点”M的坐标.(2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆=1(a>b>0)的“左特征点”M是一个怎么样的点?并证明你的结论.【分析】(1)设M的左特征点,由椭圆左焦点F(﹣2,0),可设直线AB方程为x=ky﹣2(k≠0),代入,得(k2+5)y2﹣4ky﹣1=0,由∠AMB被x轴平分,k AM+k BM=0,即整理可求.(2)对于椭圆,,结合椭圆的性质特征可猜想:椭圆的左特征点是椭圆的左准线与x轴的交点,然后可以利用第二定义给与证明.【解答】解:(1)设M的左特征点因为,椭圆的左焦点F(﹣2,0),可设直线AB的方程为x=ky﹣2(k≠0)代入,得:(ky﹣2)y2+5y2=5,即(k2+5)y2﹣4ky﹣1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)得,由于,∠AMB被x轴平分,k AM+k BM=0,即y1(x2﹣m)+y2(x1﹣m)=0,即y1(ky2﹣2)+y2(ky1﹣2)﹣(y1+y2)m=0所以,2ky1y2﹣(y1+y2)(m+2)=0于是,因为k≠0,所以1+2(m+2)=0,即(2)对于椭圆,,于是猜想:椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点证明:设椭圆的左准线l与x轴相交于M点,过A、B分别作l的垂线,垂足为C、D.据椭圆的第二定义:由于AC∥FM∥BD,所以于是所以,∠AMC=∠BMD⇒∠AMF=∠BMF则MF为∠AMB的平分线故M为椭圆的“左特征点”.【点评】本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用,直线与椭圆相交关系的处理,要注意解题中直线AB得方程设为x=ky﹣2(k≠0)的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在.22.已知数列{a n} 满足:a1=2,a n+1=2(1+)2a n(n∈N+).(1)求数列{a n} 的通项公式;(2)设b n=(An2+Bn+C)•2n,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切n∈N+都有a n=b n+1﹣b n成立?说明你的理由;(3)求证:a1+a2+…+a n<(n2﹣2n+2)•2n+2.【分析】(1)由已知可得=2•,从而可判断{}是公比为2的等比数列.利用等比数列通项公式可得a n;(2)b n+1﹣b n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n.由a n=b n+1﹣b n恒成立,得,解出可作出判断;(3)由(2)知,及a n=b n+1﹣b n,可求得a1+a2+…+a n=(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(b n+1﹣b n)=b n+1﹣b1,结合不等式右边式子进行放缩可证明;【解答】解:(1)由已知,得=2•,则数列{}是公比为2的等比数列.又a1=2,所以=2n,即.(2)∵b n+1﹣b n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n.若a n=b n+1﹣b n恒成立,则,解得,故存在常数A,B,C,满足条件.(3)由(2)知:,a n=b n+1﹣b n,∴a1+a2+…+a n=(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(b n+1﹣b n)=b n+1﹣b1=(n2﹣2n+3)•2n+1﹣6<(n2﹣2n+3)•2n+1=(﹣n+)•2n+2=[(﹣]•2n+2≤(n2﹣2n+2)•2n+2.【点评】本题考查数列与不等式的综合、数列递推式,考查学生分析问题解决问题的能力,综合性强,难度较高.第31页(共31页)。