离散数学课程作业(2)

《离散数学》课程作业（2）-------数理逻辑部分
一、 填空题
1. 将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、 、 、 和等值。

2、命题公式G=（P ∧Q ）→R ，则G 共有 个不同的解释；把G 在其所有解释下所
取真值列成一个表，称为G 的 ；解释（⌝P ，Q ，⌝R ）或（0，1，0）使G 的真值为 。

3、 已知命题公式R Q P G →∧⌝=)(，则G 的析取范式是 。

4、 求公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式 。

5、 设命题公式)(R Q P G →⌝→=，则使公式G 为假的解释是 、 和 。

6、在谓次词逻辑中将下面命题符号化：在北京工作的人未必都是北京人（提示：设F （x ）：x
在北京工作。

G （x ）：x 是北京人。

） 。

7、将公式化成等价的前束范式，=→∃→⌝∃∃)))()((),((x R z zQ y x yP x 。

8、设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式)()(x xS x xR ∃∧∀中的量词消除，写成与之等价的
命题公式是 。

二、 单项选择题
1、下列语句中，（ ）是命题。

A ．下午有会吗？
B ．这朵花多好看呀！
C ．2是常数。

D ．请把门关上。

2、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取范式
B ．合取范式
C ．主析取范式
D ．以上答案都不对
3、设命题公式P Q P G →∧=)(，则G 是（ ）。

A. 恒假的
B. 恒真的
C. 可满足的
D. 析取范式
4、设命题公式)(),
(P Q P H Q P G ⌝→→=→⌝=，则G 与H 的关系是（ ）。

以上都不是。

.;.;.;.D H G C G H B H G A =⇒⇒
5、已知命题))((R Q P G ∧→⌝=，则所有使G 取真值1的解释是（ ）。

A （0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）
B （1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）
C （0，1，0），（1，0，1），（0，0，1）
D （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1）
6、设I 是如下一个解释，0
101),(),(),()
,(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =， 则在解释I 下取真值为1的公式是（ ）。

),(.);,(.);,(.);,(.y x yP x D x x xP C y x yP x B y x yP x A ∃∀∀∀∀∀∃
7、下面给出的一阶逻辑等价式中，（ ）是错的。

)).
(()(.));
(()(.);
()())()((.);
()())()((.x B A x x xB A D x A x x xA C x xB x xA x B x A x B x xB x xA x B x A x A →∀=∀→⌝∃=⌝∀∀∨∀=∨∀∃∨∃=∨∃
三、 计算题 1. 求命题公式⌝（P ∨Q ）↔（P ∧Q ）的析取范式与合取范式。

2、通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。

（1）（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）；
（2）（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））；
3、用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？
（1）（P∧⌝P）↔Q
（2）⌝（P→Q）∧Q
（3）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）
4、设解释I为：
（1）定义域D={-2，3，6}；
（2）F（x）：x≤3；
G（x）：x>5。

在解释I下求公式∃x（F（x）∨G（x））的真值。

5、设I 是如下一个解释：
1
)3,3(1)2,3(1)3,2(1)2,2(1)3(0)2(2)3(3)2(2},3,2{G G G G F F f f a D =，试求下列公式在I 下的真值：
))).
(,())((()2));,()(()1x f x G x f F x a x G x F x ∧∃∧∀
6、设F （x ，y ）：x 对y 过敏；M （x ）：x 是人；G （y ）：y 是食物。

试将命题“某些人对某些
食物过敏”符号化。

四。

证明题
1. 利用基本等价式证明下列命题公式为恒真公式。

（（P →Q ）∧（Q →R ））→（P →R ）
（（P ∨Q ）∧⌝（⌝P ∧（⌝Q ∨⌝R ）））∨（⌝P ∧⌝Q ）∨（⌝P ∧⌝R ）
2. 证明等价式R R P R Q R Q P =∧∨∧∨∧⌝∧⌝)()())((。

3. 利用形式演绎法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。

4. 利用形式演绎法证明：},
,,,{T R S T S R P Q P ⌝→⌝→⌝→∨蕴涵Q 。

5 .判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果小王是理科生，他的数学成绩必好。

如果小王不是文科生，他必为理科生。

小王没学好数学（即数学成绩不好）。

所以，小王是文科生。

（提示：先将命题符号化，再用形式演绎法推出正确与否。

）
6. 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：
∀x∀y（F（x）→G（y））=∃xF（x）→∀yG（y）
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。