高考数学复习考点知识专题讲解讲义10---基本不等式

类型三： 和定求和的最值
1、已知 a＞0，b＞0，1a＋1b＝4，则 a＋b 的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得41a＋41b＝1．
∴a＋b＝
41a＋41b
(a＋b)＝
1 2
＋
b 4a
＋
a 4b
≥
1 2
＋2
1．当且仅当a＝b＝12时取等号．
答案：1
ba 4a·4b
＝
2、已知正数 x，y 满足 x＋2y＝2，则x＋xy8y的最小值 为__________．
考向二、基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50≤x≤100(单位：千米/时)．假 设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗 油2＋3x620升，司机的工资是每小时 14 元．
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式； (2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出 最低费用的值．
－4 解析：∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0， ∴m1 ＋n1＝－(m＋n)m1 ＋n1
＝－2＋mn ＋mn ≤－2－2 mn ·mn ＝－4， 当且仅当 m＝n＝－12时，m1 ＋n1取得最大值－4.]
类型三： 和积相互转化型求最值
[由题悟法] 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积 为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求 解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、 整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
2．已知函数f(x)＝
x2＋ax＋11 x＋1
(a∈R)，若对于任意的x∈N*，
f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对任意 x∈N*，f(x)≥3，即x2＋xa＋x＋1 11≥3 恒成立，即
a≥－x＋8x＋3．设 g(x)＝x＋8x，x∈N*，则 g(x)＝x＋8x≥4 2， 当 x＝2 2时等号成立，又 g(2)＝6，g(3)＝137．∵g(2)＞g(3)， ∴g(x)min＝137．∴－x＋8x＋3≤－83， ∴a≥－83，故 a 的取值范围是－83，＋∞．答案：－83，＋∞
11
2
2
ab
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值
【概念辨析】
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
× (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)
× (2)函数 f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值等于 4.(
)
× (3)x>0，y>0 是xy＋xy≥2 的充要条件．(
2．基本不等式的两个变形：
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且
仅当 a＝b 时取等号)．
(2)
a2＋b2 a＋b 2 ≥2≥
ab
≥
2 1a＋1b
(a>0，b>0，当且仅当 a＝b 时取等号)．
Baidu Nhomakorabea
[易错与防范] 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相 等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当 a＝b 时等号成立”的含义是“a＝b”是 等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致 解题错误． 3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件 一致．
高考数学复习考点知识专题讲解讲义
第10讲 基本不等 式
【知识梳理】
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：
.
(2)等号成立的条件：当且仅当 .
a>0，b>0
a＝b
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)；（重要不等式） (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)； (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)；（基本不等式的变形） (4)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
[由题悟法] 求解含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从 而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等 式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[即时应用]
1．已知不等式(x＋y) 1x＋ay ≥9对任意的正实数x，y恒成立，则
[解] (1)设所用时间为 t＝1x30(h)，
y＝13x0×2×2＋3x620＋14×1x30，x∈[50,100].
2分
所以这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是
130×18 2×130
y＝
x
＋
360
x，x∈50，100.
(或 y＝2 3x40＋1138x，x∈50，100).
5分
(2)y＝130× x 18＋2×361030x≥26 10， 130×18 2×130
3．算术平均数与几何平均数 a＋b
设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为___2__，几何平均数
为__a_b_，基本不等式可叙述为：_两__个__正__数__的__算__术__平__均__数__不__
_小__于__它__们__的__几__何__平__均__数__．
4．利用基本不等式求最值问题 （注意：一正，二定， 三
2．(教材改编)若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [ 设矩形的一边为 x m，矩形场地的面积为 y， 则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m， 则 y＝x(10－x)≤x＋10－x2＝25，
2 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25. ]
【考点分析】 考向一：利用基本不等式求最值
类型一： 积定求和的最值
1．(2016·安徽合肥二模)若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7
B．8
C．9
D．10
C [∵a，b 都是正数，∴1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ba·4ba＝9， 当且仅当 b＝2a>0 时取等号，故选 C.]
)
× (4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.(
)
2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误；对于 B，C， 当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ∵ab>0，∴ab＋ba≥2 ba·ab＝2.]
当且仅当 x ＝ 360 x， 即 x＝18 10，等号成立.8 分
故当 x＝18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为
26 10元.
12 分
[由题悟法] 解实际应用题的3个注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义 为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用 基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题 有意义的自变量的取值范围)内求解．
[解] (1)由题意得，
100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2x
y＝
x
，
即 y＝x＋1x00＋1.5(x∈N*).5 分
(2)由基本不等式得：
y＝x＋1x00＋1.5≥2 x·1x00＋1.5＝21.5，8 分 当且仅当 x＝1x00，即 x＝10 时取等号．
故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备. 12 分
x＝3，即 a＝3，选 C.]
变式：
（1）.已知x 1,求f (x) x2 x 1的最小值. x 1
(2)当x
0时，f
(x)
x
2x 2
的最大值（）. 1
A. 1 2
B.1
C.2
D.4
3．函数 f(x)＝x＋1x的值域为____________________． 答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)
类型四：利用基本不等式解决参数问题
[变式训练 1] (1)(2016·湖北七市 4 月联考)已知 a>0，b>0，且 2a＋b
＝1，若不等式2a＋1b≥m 恒成立，则 m 的最大值等于( )
A．10
B．9
C．8
D．7
B 解析∵a2＋b1＝22aa＋b＋2a＋ b b＝4＋2ab＋2ba＋1 ＝5＋2ba＋ba≥5＋2×2 ba×ab＝9，当且仅当 a＝b＝31时取等号．又2a＋1b≥m，∴m≤9，即 m 的最大值等于 9，故选 B.
4．(2017·郑州质检)已知正数 x，y 满足 x2＋2xy－3＝0，则 2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y＝3－2xx2， ∴2x＋y＝2x＋3－2xx2＝3x22＋x 3＝32x＋1x≥3， 当且仅当x＝y＝1时， 等号成立． 答案：3
类型二： 和定求积的最值
1．设 0＜x＜32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________． 解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋23－2x2＝92， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时，等号成立． 又∵34∈0，32， ∴函数y＝4x(3－2x)0＜x＜32的最大值为92．答案：92
[变式训练 3] 某化工企业 2016 年年底投入 100 万元，购入一套污水处理设 备．该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费， 第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增 加 2 万元．设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为 y(单位：万元)． (1)用 x 表示 y； (2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设 备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．
正实数a的最小值为
()
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：
(x＋y)
1x＋ay
＝1＋a＋
y x
＋
ax y
≥1＋a＋2
a ＝(
a＋
1)2(x，y，a＞0)，当且仅当y＝ a x时取等号，所以(x＋
y)·1x＋ay 的最小值为( a ＋1)2，于是( a ＋1)2≥9恒成立．所 以a≥4，故选B． 答案：B
2．已知正数 x，y 满足 x＋2 2xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数 λ 的 最小值为________． 解析：依题意得 x＋2 2xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即 x＋x2＋y2xy≤2(当且仅当 x＝2y 时取等号)，即x＋x2＋y2xy的 最大值为 2．又 λ≥x＋x2＋y2xy，因此有 λ≥2，即 λ 的最 小值为 2． 答案：2
已知x>0，y>0，则
相等缺一不可）
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是
_2___p_(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是 q2 _4__(简记：和定积最大)．
补充公式完整的均值不等式
设a,b R ,则 2 ab a b a2 b2
[思想与方法] 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的 证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等 式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基 本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进 行求解．
解析：由已知得x＋22y＝1. 则x＋xy8y＝1y＋x8＝1y＋8xx＋22y ＝1210＋xy＋1x6y≥12(10＋2 16)＝9， 当且仅当 x＝43，y＝13时取等号．]
3、(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数 m，n 满足 m·n>0， m＋n＝－1，则m1 ＋n1的最大值为__________．
2．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(
)
【导学号：31222209】
A．1＋ 2 C．3
B．1＋ 3 D．4
C [当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ 1 ＋2≥2
x－2
x－2× 1 ＋2＝4， x－2
当且仅当 x－2＝ 1 (x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时， x－2