北航理论力学王琪
北航理论力学王琪
2009-10-9
23
理论力学
木桁架节点
§3-2 桁架
榫接
2009-10-9
24
理论力学
钢桁架节点
§3-2 桁架
铆接
2009-10-9
焊接
25
理论力学
钢筋混凝土桁架节点
§3-2 桁架
刚接
2009-10-9 26
理论力学
桁架模型简化的基本假设
§3-2 桁架
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接
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2009-10-9 10
F
理论力学
三、刚体系的平衡问题
§3-1 刚体系的平衡
刚体系平衡 ⇔ 系统中每个刚体平衡 例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F 作用在BC杆的中点， 求：A、C 处的约束力。 A
M
B
F
600
C
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11
理论力学
A
M
§3-1 刚体系的平衡
B
F
60
0
C
求：A、C 处的约束力。
理论力学
§3-2 桁架
假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心
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28
理论力学
§3-2 桁架
假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
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理论力学
桁架模型简化的基本假设：
§3-2 桁架
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接 假设2：各杆件轴线都是直线，并通过铰链中心 假设3：所有外力（荷载及支座约束力）都作用在节点上
例：已知 F，求 AG 杆上的约束力。
B 2a E a O a
A H
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch5A
O
vx = x &⎫ ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
2015-10-28
x
加速度
x & & = a x = 0(m/s 2 )
y & & = a y = −10(m/s 2 )
曲率半径 v2 v2 20 ρ= = = m 0 an a cos 30 3
20
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
2、P 点的速度和加速度
2015-10-28 8
理论力学
3、P点的运动轨迹
§5-1 点的运动学
y A P O
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
ϕ
x
l 2 ⎫ xp = R cosθ + L − R2 sin2 θ ⎪ L ⎬ R ⎪ y p = (L − l ) sinθ ⎭ L
消去上述方程中 参数θ可得 P 点 的轨迹方程。
z
&⎫ 解： v x = x ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
u
v= x &2 + y &2 + z & = R2ω2 + u2 = const &2 = s
2 a= & x y z &2 + & &2 + & &2 = Rω
ωR
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
T’
•曲率(curvature)
北航 王琪教授讲义
• 在实践的基础上创新
– 在解决问题的过程中“有问题可思考”，“有方法可推敲”, 善于提出自己的观点与方法，培养创新意识。
4
汇报的主要内容
• 目标与理念 • 内容与实践 • 体会与设想
5
内容与实践
1. 探究型课堂教学模式 2. 探究型实践教学平台 3. 科研与教学有机融合
6
1、探究型课堂教学模式 原有的课堂教学模式：
• 实验装置的来源：
– 购置和自制结合
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数值仿真实验
• 实验目的：
– 应用数值仿真揭示力学现象 – 解决数值仿真中遇到的力学和数学问题 – 定性分析与定量分析的结合
• 实验内容：
– 习题中的数值仿真算例 – 实际工程问题的数值仿真算例
28
数值仿真实验
非光滑质点动力学仿真: 数值 方法给出质点位置、速度和切 向加速度随时间的变化规律
θ 0 = 0 rad , θ 0 = 0 rad/s, f = 0 .1
O
θ
r
mg
θ (t ) θ (t ) θ (t )
t(s)
29
数值仿真实验
掌握应用定性分析 方法判断数值仿真 结果的正确性。
30
数值仿真实验 倒摆数值 仿真实验
A
1 2 1 mLθ + cθ + kθ − mgLsinθ = kbcost 3 2
实现4个结合
• 定性分析与定量分析结合 • 解析分析与数值分析结合 • 理论研究与实际应用结合 • 传授知识与能力培养结合
10
1、探究型课堂教学模式
定性分析与定量分析结合 解析分析与数值分析结合
11
1、探究型课堂教学模式
理论研究与实际应用结合
《理论力学》课程思政设计与实践探讨
《理论力学》课程思政设计与实践探讨 2中国民航大学航空工程学院天津 300300；）摘要：全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的有效措施。
《理论力学》对培养学生的专业认同感和自豪感起到重要作用。
本文对《理论力学》课程如何进行思政元素的有机融入与课堂实践进行了探讨。
利用现代信息技术进行多维度、多层次思政设计，通过开展特殊作业、实时更新思政案例、创新课堂授课方式、改进教学模式等措施，丰富课程思政内涵，起到“如盐化水”的教学效果。
关键词：理论力学，思政设计，思政案例，课堂实践随着国家大飞机和发动机专项的快速推进，民航运输业和航空制造业呈现融合发展的态势，对民航维修工程高端人才培养提出了更高的要求[1]。
《理论力学》课程作为航空维修类专业的基础课程，在专业认同感和民族自豪感培养中起到重要作用。
将思想政治育人元素融入课程教学各个环节，培养学生爱国主义情怀与对科学不懈追求的精神，塑造学生正确的人生观、价值观、工程伦理观。
一、《理论力学》课程思政目标《理论力学》是大部分工科专业课的基础，能使学生了解所学专业的重要性，产生专业认同感和自豪感。
《理论力学》课程思政的主要目标为：1、培养学生逻辑和创新意识。
《理论力学》课程知识具有很强的逻辑性和系统性[2]，可以有效培养学生的逻辑思维和创新意识。
纵观各个工程应用“大国重器”的研制历程不难发现，力学在探索自然规律、突破技术瓶颈中起到的重要作用，学好力学可以使学生在知识赋予的力量下，具备敢于探索未知、追求真理的勇气。
2、激发学生航空报国的家国情怀。
随着国家大飞机和发动机专项的快速推进，航空运输业和制造业对民航维修工程人才提出了更高的要求。
通过开展课程思政，将爱国情怀和民族自豪感与课程内容有效融合，可以激发学生航空报国的家国情怀。
二、《理论力学》课程思政改革的实施路径1、多维度、多环节一体化课程思政建设。
将思政教育理念融入理论力学教学环节的每一部分，构建教学大纲、教案、课件、讲稿、考核等多维度一体化思政教育授课体系。
北航理论力学王琪
理论力学
上次课的主要内容
§3-1 刚体平面运动的运动学
研究刚体平面运动速度问题的几种方法： 1、基 点 法： v B = v A + v BA
y
ω
y'
vBA
B
vB β B vA vA
2、速度投影法： [v B ]AB = [v A ]AB
v M = v MP = ω × rPM 3、速度瞬心法：
A r0
上式在铅垂轴上投影： aBA cosθ = aB =
t n
上式在水平轴上投影：
t aBA sin
θ
t = aB
u L u
2
A
B
θ
α AB =
t aBA
u = 2 AB L cosθ
2
α BC
t aB u2 = = 2 tan θ BC L
u2 aB = α AB L = L cosθ
8
2009-12-11
α
ω
vr O ar
a
vr ω= R
u
v &r − ar α =ω &= = R R
v rB = v rO + v rBO v aB = v eB + v rB v aB = v e + v rO + v rBO
12
2、求圆盘最高点B的速度
A
vaB = u − vr − ωR = u − 2vr
2009-12-11
16
理论力学
§3-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度 u 匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，套
筒D 位于AB杆的中点，DE杆水平。
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习题课II北航理论力学王琪
A: 速度的模增加;
2009-11-18
B: 速度的模减小
10
理论力学
讲解过
A
演示过
o
过
θ
u
x
2009-11-18
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理论力学
试题：已知图示瞬时圆盘中心O的速度和加速度，求此瞬时 AB 杆的角速度和角加速度。
动点：圆盘中心O A 动系：AB杆 速度分析
aa
vr a n e o ve t a e v B Ra a
2009-11-18 2
理论力学
•元功(elementary work):
虚位移原理
δW = F • vd t = F • d r
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即：{F1 , F2 , L , Fn } = { P1 , L , Pm } = {FR , M O } 则
n m
∑W (F ) = ∑W ( P ) = W (F ) + W ( M
• 点的复合运动
– 绝对运动、相对运动、牵连运动 – 绝对速度、相对速度、牵连速度 – 绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度
• 基本定理与方程
– 速度合成定理、加速度合成定理 – 质点动力学方程（惯性参考系和非惯性参考系）
2009-11-18 6
理论力学
基本公式
&⎫ vx = x ⎪ &⎬ vy = y ⎪ &⎭ vz = z
反映速度方向的变化
mar = ∑ F + Fe + FC
7
理论力学
• •
解决问题的方法与基本步骤
受力分析－根据约束条件和已知量,，确定力的方向、分析哪些是未知量 运动分析－利用几何性质和约束条件，建立运动学（包括几何、速度和 加速度）关系，确定系统的自由度和未知量数目。
1999-2016年北京航空航天大学951力学基础考研真题及答案解析-汇编
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理论力学高等教育出版社谢传峰王琪第十一章课件
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
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2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。 解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件）。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）
解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
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④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运
动的初始条件，求出质点的运动。 如力是常量或是时间及速度函数时， dv 可直接分离变量 dt 积分 。 如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dv v , 再分离变量积分。 dt ds
12
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速 度v0 ? (2)初速 v0 与水平的夹角a0？ 解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch1B
非自由体实例
非自由体的运动受到了限制
2015-9-16 5
理论力学
一、约束与约束力
•约
§1-3 平衡问题的解法
束(constraint)：限制物体运动的条件。
•约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。 • 列车是非自由体 ？ ？ • 铁轨是约束体 • 铁轨作用在车轮 上的力为约束力
北京南站顶棚拱架支座
2015-9-16
13
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B A FBy C
FBx
B
' FBy
C
注意：作用力与反作用力的关系
A
B
' FBx
思考题：试画出作用在AB杆B端的约束力（不计销钉质量）
2015-9-16 14
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
2015-9-16
15
理论力学
作业要求：
作业：1-3、1-4、1-8
画出研究对象的受力图、速度图和加速度图 一个研究对象画一个受力图 计算题要画相应的图，列写方程，给出计算结果 作业不符合要求的，无作业成绩
每周一 交 前一周的作业
平时成绩占总成绩的20%左右 作业由课代表收齐后，作业放到讲台上的资料袋内
2015-9-16 1
• 基本方法
– 共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法） – 受力分析：根据约束的类型和特点画受力图
2015-9-16 27
3、Α.Π.马尔契夫著，李俊峰（清华大学）译《理论力学》高 教育出版社
俄罗斯高校教材（理论深入，内容丰富；是一本很好的力学专业的 教材，例题较少，无习题）
2015-9-16 2
北航《理论力学(第二学期)》考题整理
,
aC
=
；
8、质量为 m，边长为 L 的正方形均质板静止放在光滑的水平
A
B
地面上。若在板上作用一水平冲量 I，使板获得最大的动能， 该冲量将如何作用在板上，则板获得的最大动能
5
D
图 10
C
北京航空航天大学交通科学与工程学院《理论力学（第二学期） 》复习资料
T=
。
2 （将冲量 I 的作用点和作用线画在图上，已知板对质心的转动惯量为 mL ）
3
系中的运动微分方程为：
。
mg cx ； A： mx
3
B： mx
D： mx
3 ； mg cx
3 ； mg cx
M mg
x
mg cx ； C： mx
3
E: A、B、C、D 中没有给出正确答案。
图1
o
2、圆盘 A 放在光滑的水平地面上运动，杆 AB 通过圆柱铰链与圆盘中心 A 连 接，系统在图示铅垂面内运动，如图 2 所示。若圆盘和杆为非匀质刚体，则 有: A:系统的机械能守恒； B:系统的动量在水平方向的投影守恒； C:圆盘对铰链 A 的动量矩守恒； D:AB 杆对铰链 A 的动量矩守恒。
O
A
图 11
B
10、质量为 m0 的物块放在水平面上，其上有一半径为 R 的半圆槽，质量为 m 的小 球 B 可在槽内运动，忽略所有摩擦，如图 12 所示。 （1）若取 , 作为系统的广义坐标，用广义速度和广义坐标给出系统在任意位 置时动能和势能的表达式（取坐标原点为势能零点,即 x0 （2）若初始时，小球在 A 处，系统从无初速 开始运动。给出系统拉格朗日方程的首次 积分。 系统的动能 T= 系统的势能 V= 广义动量积分： 广义能量积分：
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
n a
根据矢量形式的质点运动微分方程有：
m(aat aan ) F FO mg
将该式分别在 x 轴上投影：
m(aat sin aan cos ) FO cos
ve
va
r
M vr
O
r aan
ar
aat
M
根据速度合成定理有 由此可求出： va
va ve v r
ve v 。再根据加速度合成定理有： aa ae ar cos cos
由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以 ae 0 ，并且上式可写成：
aat aan ar
由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 va2 va1 ，由上两式可得：
ve1 v r1 ve2 vr2
(a)
4
2014-北航考研-永爱渣渣
将（a）式在向在 x 轴投影,可得：
ve1 sin 300 ve2 sin 300 vr2 cos 300
由此解得：
vr2 tan 300 (ve2 ve1 ) OM tan 300 ( 2 1 )
vB v A cos
因为
（a）
cos
x2 R2 x
（b）
将上式代入（a）式得到 A 点速度的大小为：
v A R
2
x x R2
2
2
（c）
， x R Rx ，将该式两边平方可得： 由于 v A x （c）式可写成： x
2 (x2 R2 ) 2 R2 x2 x
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-习题课I15
B
A
M1 > M 2
2015-10-12 10
BUAA
题14：确定各杆端点约束力的方向 （不计构件自重和所有摩擦）
A
M
M
O
B
2015-10-12
11
BUAA
题15：确定铰链 A、B 处 约束力的方向，不计构件 自重和所有摩擦。
先研究AD杆 再研究整体
A
D
F
B
L L L
2015-10-12
C
12
BUAA
0
AC tan(450 − ϕ m ) = BC tan(450 + ϕ m )
1− tanϕm 1+ tanϕm AC = BC 1+ tanϕm 1− tanϕm
2015-10-12
1− tanϕm BC =± 1+ tanϕm AC
0 < ϕm < 450
tan ϕm1 ≈ 0.224
22
三力汇交有：
O
（AB、BCD、DE）构成的系统相对 OC轴具有几何对称性，且刚体BCD上 作用有一力偶M，不计构件自重。
B
O M
D
B
O M
D
C A
2015-10-12
C E A 瞬态机构不能平衡 G 静定结构 E
28
G
题26: 试确定下图结构中铰链A、B约束力的方向。 注：该结构是25题图1所示系统中增加了一个T字形刚体而构成
BUAA
题22：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 方法一 M P
FN 1 FS 1 FN 2
平衡条件
FS 2
无滑动临界条件
∑ ∑ ∑
理论力学第三版课后习题答案
理论力学第三版课后习题答案【篇一：理论力学教程思考题答案第三版.doc】2r?.。
这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才?2，a??rar??r??r?能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而an垂直于v指向曲线凹陷一方，故an总是沿助法线方向。
质点沿空间曲线运动时，ab?0,fb?0z何与牛顿运动定律不矛盾。
因质点除受作用力f，还受到被动的约反作用力r，二者在副法线方向的分量成平衡力fb?rb?0，故ab?0符合牛顿运动率。
有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。
有人也许还会问：某时刻若fb与rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足fb?rb?0即ab?0。
这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
1.4答：质点在直线运动中只有a?而无an，质点的匀速曲线运动中只有an而无a?；质点作变速运动时即有at又有an。
1.5而dr即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，dtdrdr?j而dr?r?i?r??。
在直线运动中，?r只表示r大小的改变。
如在极坐标系中，dtdtdt规定了直线的正方向后，drdrdrdr。
且的正负可表示的指向，二者都可表示质点dtdtdtdt的运动速度；在曲线运动中drdrdrdr?，且也表示不了的指向，二者完全不同。
dtdtdtdtdvdv表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而只是质点运动速度大小dtdtdvdvaan,而?a?。
dtdt的改变。
在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6v球对人v人对地题1-6图图所示，故人以速度v向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。
3理论力学__课后答案_（范钦珊_刘燕_王琪_著）_清华大学出版社.pdf
(a-2)(a-3)(b-1)第1篇工程静力学基础第1章受力分析概述1－1图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。
试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。
习题1－1图解：（a ）图（c ）：11 sin cos j i F ααF F +=分力：，11 cos i F αF x =11 sin j F αF y =投影：，αcos 1F F x =αsin 1F F y =讨论：=90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。
ϕ（b ）图（d ）：分力：，22)cot sin cos (i F ϕααF F x −=22sin sin j F ϕαF y =投影：，αcos 2F F x =)cos(2αϕ−=F F y 讨论：≠90°时，投影与分量的模不等。
ϕ1－2试画出图a 和b 习题1－2图比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D值大小也不同。
（c）（d ）1－3试画出图示各物体的受力图。
习题1－3图或(a-2)(a-1)(b-1)(c-1)或(b-2)(e-1)(a)1－4图a 所示为三角架结构。
荷载F 1作用在铰B 上。
杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。
试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。
习题1－4图1－5图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。
试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。
解：由受力图1－5a ，1－5b 和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ，则A 端受力改变，因为HG 与ABC为不同的刚体。
(f-1)(f-2)(f-3)F1(d-2)(c-1)F(b-2)(b-3)F习题1－5图(b-3)(a-3)(b-2)(b-1)(c)1－6试画出图示连续梁中的AC 和CD梁的受力图。
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习.ppt
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
理论力学习题答案 谢传峰、王琪 高等教育出版社
M A = P (1 + cosα )l （逆时针方向）
法2 FA y 解： 设滑轮半径为 R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程：
FAx
∑Fx = 0
∑Fy = 0 ∑M = 0
A
FAx + P sin α = 0 FAy − P − P cos α = 0 M A − P (l − R) − P cos α (l − R) − P sin α
fs 。
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 M =0 ∑ O
补充方程：
0 F1 + p cos 45 − N 2 = 0 0 F2 − p sin 45 + N 1 = 0 D ( F1 + F2 ) ⋅ − M = 0 2
F1 = f s N1 F2 = f s N 2
解： 当 α = 45 时，取杆 AB 为研究对象，受力如图所示。 列平衡方程：
0
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 M =0 ∑ A
方向如左图所示。由于 FR ⊥ M A ，可进一步简化为一个不过 A 点的力(绿色的)，主矢不变，其作 用线距 A 点的距离 d = 2-6b 同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过 A 点的力（绿色的） ，主矢为： FR = −2 Fi 其作用线距 A 点的距离 d =
3 a ，位置如左图所示。 4
3
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杆 AB 受到主动力偶 M 的作用，A 点和 B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆 AB 保持平衡。 AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正） ：
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= L (t 0 ) 则有：ω z ' 0 ≈ ω z ' (t ),
' k0 ≈ k'
21
理论力学
§6-3 陀螺近似理论 飞行器惯性导航
2010-5-17
22
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
高速旋转物体的其它动力学特性
2010-5-17
23
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上， AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理 论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。
理论力学
作业：6-13、6-14、6-15
§6-3 陀螺近似理论
• 什么是陀螺？ • 为什么要研究陀螺 近似理论？ • 用什么方法研究？
2010-5-17
1
理论力学
什么是陀螺？
•陀 螺(gyroscope)： 绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。 结构特性：陀螺转子为旋转体 运动特性：绕旋转体的旋转轴高速转动（角速度大小为常量）
A、B、C 同号
2 C = Aω x2' (t 0 ) + Bω y ' (t 0 )
Aω & x 'ω x ' + B ω & y 'ω y ' = 0
由（4）式可得：
C < ε ⎛ A + B ⎞ < Mε = ε * | ωx ' (t ) |≤ ⎜ ⎟ A ⎝ ⎠ A C ⎛ A+ B ⎞ | ω y ' (t ) |≤ <ε ⎜ < Mε = ε * ⎟ B ⎝ B ⎠
2010-5-17
9
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
M g = J z 'ω × ωψ 1 M g = mR 2ω1ω 2 2
MO + M g = 0
陀螺力矩
FD
ωψ
FC
轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力
ω
Mg
Mg 1 FD = FC = = mR 2ω1ω 2 2L 4 L
当转子高速转动时，若转轴也转 动，则陀螺力矩会产生附加动反力。 陀螺力矩产生的作用效应称为 陀螺效应。
L O = J x 'ω x ' i ' + J y 'ω y ' j ' + J z 'ω z ' k '
ωψ
ωψ
ω a = ωψ x ' i '+ ωψ y ' j '+ (ω + ωψ z ' ) k '
Lo = J x 'ωψx 'i '+ J y 'ωψy ' j '+ J z ' (ωψz ' + ω ) k '
J x'ω & x' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = 0 (1) ⎫ ⎪ J y'ω & y' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = 0 (2)⎬ J z'ω & z' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = 0 (3)⎪ ⎭
2010-5-17
B = J y' ( J z' − J y' )
2010-5-17 4
理论力学
LO = J x'ωx'i '+ J y'ωy' j'+ J z 'ωz 'k'
d LO = ∑ M O ( F ( e) ) dt
用什么方法研究
z z'
定点运动刚体的欧拉动力学方程
⎫ J x'ω & x' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = ∑Mx' ⎪ ⎪ ⎪ J y'ω & y' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = ∑M y' ⎬ ⎪ J z'ω & z' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = ∑Mz' ⎪ ⎪ ⎭
ωψ
ω
MO
问题：如何确定陀螺转 子的自转角速度方向？
mg
2010-5-17
M O = ωψ × J z 'ω
17
理论力学
陀螺的定向性
§6-3 陀螺近似理论
证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小 惯量转轴（k’ 轴）的转动是稳定的（k’的方向是稳定的）。
2010-5-17
18
理论力学
当t>t0时，由（6）式可知：
ω x ' (t ) < ε *,
ω y ' (t ) < ε *
LC (t ) = J x 'ω x ' (t ) i '+ J y 'ω y ' (t ) j '+ J z 'ω z ' (t ) k ' ≈ J z 'ω z ' (t ) k ' (9)
因为对质心的动量矩守恒： LC (t ) 2010-5-17
由于外力对质心之矩为零，则
(1) × ( J z' − J x' ) ω x' ( 2 ) × ( J z' − J y' ) ω y'
然后两式相加得：
+ J y ' ( J z ' − J y ' )ω & y 'ω y ' = 0
设： A = J x ' ( J z ' − J x ' )
J x ' ( J z ' − J x ' )ω & x 'ω x '
Z’
M O = ωψ × J z 'ω 解：应用陀螺近似理论：
y' D
Z
B x'
O
M g = J z 'ω ×ωψ
J x' = J y'
ω
Z’
A
C
2010-5-17
ωψ
25
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
例题：质量为m的陀螺在地面上作定点运动，绕自身对称轴的 转动惯量为 J，绕该轴的角速度为ω，z’ 轴与铅垂轴z的夹角 为α=300。陀螺质心C 到与O 点的距离为L。求陀螺的进动角 速度Ω和地面的约束力。
M O = ωψ × J z 'ω M O − ωψ × J z 'ω = 0 M O + J z 'ω × ωψ = 0
作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡 MO + M g = 0
2010-5-17 8
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
例：已知 ω1 , ω 2 的大小为常量，均质圆盘质量为m，半径为R CD＝2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。
2010-5-17
ωψ z'
' ωψl l'
y'
ωψ y'
l' ωψ l ' O ωψ x '
6
x'
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
dl ' dk ' dl ' dk ' & = ωψ × l ' , = ωψ × k ' LO = Jωψl ' + J z ' (ωψz ' + ω ) dt dt dt dt & O = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ω × (ωψ z ' + ω ) L d LO ψ Q MO = dt & O = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ωψ × ωψ z ' + J z 'ωψ × ω L
2010-5-17
10
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
动点: 圆盘边缘上的一点M 观察的现象： ω > ωψ 下半圆盘向里斜, 上半圆盘向外斜。动系: 固连在电机定子的 o’x’y’z’
ωψ
ω
z'
o
y'
ωψ
x'
M g = J z 'ω × ωψ 陀螺力矩
可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏 惯性力对O点之矩的矢量和。 2010-5-17
2010-5-17 2
理论力学
陀螺的进动性
陀螺的动力学特性
陀螺的定向性
如何解释“骑车撒把”的稳定性
2010-5-17 3
理论力学
为什么要研究近似理论
问题: 1、如何定性分析陀螺的动力学特性？ 2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？ 3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？ 目的：要建立陀螺的运动与其作用力间的简洁关系式
其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是陀螺的质心。 2010-5-17
7
理论力学
陀螺的动力学特性： • 陀螺（力矩）效应
§6-3 陀螺近似理论