二元一次不定方程
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元一次不定方程 PPT
学习目标
1.了解我国古代数学家在不定方程的研究方面取得的一 些成就； 2.理解二元一次不定方程有整数解的判别准则； 3.理解并掌握二元一次不定方程有整数解时，特解的求 法以及整数通解的表示。
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新知探究
二元一次不定方程是最简单的
不定方程合，它作的探一究般形式是为 ax by c (1)
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新知探究
设 a,b 1 ，则不定方程 ax by c 的 整所数有通解解为
x y
x0 y0
bt at
t
Z
x x0 , y y0 是不定方程 ax by c 的一个特解。
问题3
问题4
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新知反思
1、如何求一个不定方程的特解； 2、如何求一个不定方程的整数通解；
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人教A版选修4-6 第三讲
3.1 二元一次不定方程
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识一识
不定方程 是指未知数的个数多与方程个数的方程或方程组。
4x y 15
5x
3y
z 3
100
x y z 100
二元一次不定方程 三元一次不定方程
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预习反馈
问题1 问题2 问题3 问题4 问题5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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7x 4y 1 3x 6y 22
其中 a, b, c 为整数，且 a, b不等于零。
问问题题21
1 不定方程不（定1）方有程解（时1，）整不数一a定, b有, c整有数何解特点？ 2 整数 a, b, c的这种特征能否保证不定方程（1）有整数解？
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考一考
（1） 24x 66y 150 可化简为： 4x 11y 25 （2） 20x 12 y 40 可化简为： 5x 3y 10
二元一次不定方程
目录摘要 (1)1.不定方程 (2)1.1不定方程的概念及分类 (2)1.2不定方程的解法 (2)1.2.1 二元一次不定方程 (2)1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)1.2.3 不定方程组 (7)2.数学竞赛中的不定方程 (7)2.1二元一次不定方程的应用 (7)2.2不定方程组的应用 (10)3.结论 (12)参考文献 (13)致谢 (13)二元一次不定方程的解法及应用【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。
本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。
【关键词】不定方程解法应用【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
二元一次不定方程
m = 6 − 3t （t为整数） , n = 0 + 2t
m = 3 m = 0 n = 2 n = 4 m = −3 n = 6
m = 12 m = 9 m = 6 n = −4 n = −2 n = 0
…
二元一次不定方程解的形式和判定
若ax+by=c （其中a,b,c为整数 其中 为整数,ab≠0）有整 ） 为整数 数解 x = x 0
初中数学知识专题讲座
二元一次不定方程
问题的提出
1、〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三， 、 百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，
鸡雏三，值钱一。 鸡雏三，值钱一。 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？ 百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？” 分析： 分别表示鸡翁、 分析：设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数， 分别表示鸡翁 鸡母、鸡雏的只数， 则可列出方程如下： 则可列出方程如下：
脚虫和蜘蛛（ 只脚 若干， 只脚） 例：在一个盆内有6脚虫和蜘蛛（8只脚）若干， 在一个盆内有 脚虫和蜘蛛 共有46只脚 只脚， 脚虫和蜘蛛各有几只？ 共有 只脚，问6脚虫和蜘蛛各有几只？ 脚虫和蜘蛛各有几只
脚虫有x只 蜘蛛有y只 解：设6脚虫有 只，蜘蛛有 只，依题意可得 脚虫有 6x+8y=46 化简得 化简得3x+4y=23 由观察得知x=1,y=5是方程的一组解 由观察得知 是方程的一组解 所以方程的整数解为x=1+4t,y=5-3t,t为整数 所以方程的整数解为 为整数 因为x＞ ＞ 因为 ＞0,y＞0 所以1+4t ＞0, 5-3t ＞0 所以 解得-0.25＜t＜5/3 解得 ＜＜ 因为t为整数 所以t=0,1 为整数， 因为 为整数，所以 所以原方程的非负整数解为x=1,y=5或x=5,y=2 所以原方程的非负整数解为 或
二元一次不定方程整数解的两种常用解法
GAOJIAO 解的两种常用解法
◎迟文焕 （ 长春建筑学院，吉林 长春 130000）
【摘要】不定方程整数解问题由来已久． 公元 5 世纪，我 国数学家张丘 建 在《算 经 》中 记 载 的“百 鸡 问 题 ”就 是 不 定 方程整数解问题． 在本文中，我们介绍了二元一次不定方程 的三种解法———观察法和同余法，并给出相应例题，以便加 深对解题方法的理解．
解 取 模 4 可 得 原 方 程 等 价 于 同 余 式 7x ≡3x ≡0
（ mod4） ，此同余式的解为 x≡0 （ mod4） ，即 x = － 4t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ，把 x = － 4t 代入原方程得 y = 25 + 7t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ．
由题意可知
原方程有整数解．
又因为 4 | 100，所以可得到方程的一组特解 x0 = 0，y0 = 25，并且 a1 = 7 / （ 7，4） ，b1 = 4 / （ 7，4） ，由定理 1． 2 知原方程 的一切整数解可以表示为
x = － 4t，y = 25 + 7t，t = （ 0，± 1，± 2，…） ．
用同余法求解不定方程可以避免复杂的求特解过程．
【参考文献】 ［1］ Schmidt W M Diophantine Approximation and Diophantine Equations［M］． Berlin： Springer － Verlag，1991． ［2］乐茂华． Gelfond － Baker 方法在丢番图方程中的应 用［M］． 北京： 科学出版社，1998． ［3］柯召，孙琦． 数论讲义（ 下册） ： 第 2 版［M］． 北京： 高 等教育出版社，2003． ［4］Burn Ｒ P． A Pathway into Number Theory ［M］． Cambridge： Cambridge University Press，1982． ［5］曹珍富． 不定方程及应用［M］． 上海： 上海交通大学 出版社，2000．
（完整版）二元一次不定方程的通解
（完整版）⼆元⼀次不定⽅程的通解
⼆元⼀次不定⽅程的通解
七年级下册学习了⼆元⼀次⽅程组，有⼀类题是求⼆元⼀次⽅程的整数解的问题，这在数学上有⼀专门名称叫做“不定⽅程”。
如下题：
⼆元⼀次⽅程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是⽤的“枚举法”。
但是为了防⽌遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究⼆元不定⽅程的通解。
当我们通过观察找出了该⽅程的⼀对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该⽅程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-②∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因⼦b，y0-y必含因⼦a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定⽅程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到⽅程x+2y=6的⼀对特解为x=2 y=2，
则该⽅程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定⽅程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余⼒的学⽣研究。
用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧
用辗转相除法解二元一次不定方程的技巧辗转相除法是一种解决二元一次不定方程的有力工具。
该方法利用了两个数的公因数和最大公因数的性质，从而得出方程的解。
具体步骤如下：
1. 将方程中的两个未知数分别表示为a和b，将方程变形为
ax+by=c。
2. 用欧几里得算法求出a和b的最大公因数g，即g=gcd(a,b)。
3. 如果c不能被g整除，那么方程无解；否则，将c除以g得到c'=c/g。
4. 对于方程ax+by=c'，用扩展欧几里得算法求出一组特解
(x0,y0)。
5. 原方程的通解可以表示为x=x0+k(b/g)，y=y0-k(a/g)，其中k为任意整数。
这种方法的优点在于其简单明了，可以迅速得出解，但需要注意的是，如果a和b不互质，那么方程可能会有无数个解。
因此，在使用此方法时需要注意条件的限制。
- 1 -。
二二元一次不定方程的特解
（5）写出原方程的特解和通解．
所以方程63x+8y=1有一组特解
x 1
y
8
，
方程63x+8y=－23有一组特解
y
x 23 ，
8 23
所以原方程的所有整数解为 x 23 8t
y
8
23
63t
2、求方程12x+8y=100的所有整数解．
y=6-11t
应用二
例一、求二元一次不定方程13x+37y=4 解析： 的一个特解.
因为（13，37）=1，且1︱4， 所以 不定方程有解.
由 13=37×0+13 37=13×2+11 13=11×1+2 11=2×5+1
因此 q2=2，q3=1，q4=5. 再由递推关系式依次计算得：
k2=-2×1+0= -2 k3=-1×（-2）+1 =3 k4=-5 ×(3)+(-2)=-17 x0=-68， y0=24，
即37×（-83）+256×12=1 上式各项乘以3得37×（-249）+256×36=3 x0=-249 ∴原方程的一个整数解是 y0=-36 x=-249+256t 通解为 （t为任意整数）① y=-36-37t
课堂练习
1、判断不定方程2x+4y=5是否有整数解（ B ）.
A、有 B、没有
2、不定式方程ax+by=c有解的条件（ D ）.
讨论
然后由递推关系式ki=ki-2-qiki-1（i=2，…，n）.
依次计算出k2，…，kn.根据大衍求一术的算法
第十六讲 一次不定方程
第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。
3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。
（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。
二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。
(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。
（1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。
二元一次不定方程
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
例2、求321x 111y 75的一切整数解.
解： (321,111) 3 75, 方程有解，且同解于方程 107x 37 y 25
而方程107x 37 y 1的一解是： x (1) 2 9 9, y (1)3 26 26, 故原方程的一组整数解为：x 9 25, y 26 25,
(a, b) a,
(a, b) b,
(a, b) ax0 by0 c.
（充分条件）若(a, b) c, 设c c1 (a, b), c1 Z , 而对a, b Z , 且a 0，b 0，则存在s, t Z , 使得 as bt (a, b) (2)
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（ 1 ）式有一组整数解x0，y0 .
由例2方程107x 37 y 25的一解是： x 9 25, y 26 25,
故方程37x 107 y 25的一解是： y x 9 25, x y 26 25,
则原方程111x 321y 75的一切整数解是： x 26 25+107t, y 9 25 37t (t 0, 1, 2, )
(6)
25 37 y 25 4 y 同理 x y 33 33
（6）
25 4 y 令 x ， 33 1 x 则y=6 8 x 4
(7)
(8)
1 x 再令 y ，最后得到x 4 y 1 4 则x 1 4t , y t (t 0, 1, 2, )
二元一次不定方程的解法
后 的影响 ,有不良 的心理特 征和行为表 现 , 在 学习 , 思想
品德等方 面需要特殊 教育的一 类学生 , 这类学生 一般在班 上为数 不多 , 但 他们能量 不小 , 破 坏性很强 , 成为班 上的消 极因 素 .因 此 , 班 主任应特别 注意了解 后进生心理 上的特 殊矛盾 , 努力摸索 他们发展变化的过程 , 用心点燃他们的心 灵之火 , 给后进生 留一个 " 充氧 " 的空间 , 让他在集体的氛围 中自由地呼吸 , 看 到自己潜在的希望 , 并发出璀璨的光辉 . 后 进生不 是先 天注定 . 探究 后进 的原 因往 往多 种多 样: 有的受社会环境 的不良影响 , 认为 " 读书无用 " 知识贬 , " 值" 有的属于学校教育的偏差 , 使差生厌师拒学 , 自暴自 ;
�
� =2 5 +1 9 �
( � �� )
很 多数论问题 可以从经 验中归纳出 来 , 并 且能用 三言两语 向任何一个 路过的人 解释清楚 , 但是要 证明它们 却远非容易 , 这也 正是数论所特有的奇妙的魅力 , 使得它既 被专业数学家所重视 , 又被业余研究者所宠爱 , 甚至使有些 人象 吃了 忘忧果 似的 , 一次 吃了 这种 果实 , 就再 也离 不开 了. 数论对我们如此重要 , 那么 , 作为数论中一部分的不定 方程固然也很重要了 , 理所当然我们有必要学好它 , 本文介 绍的几种解二元一次不定方程的方法 , 各有其利弊 , 大家在 解题时要不断摸索经验 , 从中选择适当的方法来解 , 这样既 不费时又能较轻松地完成任务 .
用辗转相除法求特解 U0, J 0 . 由S 2 =2 T V1 +1 3 2 T =1 3 V2 +3 1 3 =3 VS +1 3 =1 V3 +0 逆推得 : 1=1 3 -3 VS =1 3 -( 2 T -1 3 V2 ) VS =1 3 VT -2 T VS =( S 2 -2 T V1 ) VT -2 T VS =S 2 VT -2 T V3 IS 2 VT -2 T V1 3 =1 两边乘以 5得 : S 2 VS 5 -2 T V6 5 =5 即: � 0 =S 5 � 0 =6 5 I 方程的一般解是 : =S 5 -2 T � � =6 5 -S 2 �W ) � � ( � 这就是用辗转相除法解二元一次不定方程 , 当然了 , 除 这种方法外 , 解二 元一次不定方程还有另外的方法 . 参数法 X , 这种方 法是解出系 数绝对值 较小的未知 数 , 将 其写成 几部分和的形式 , 然后引进参数 , 于是便又得到一个新的不 定方程 , 这时用观 察法便可得出新方程的特解 , 然后再用代 入法就 可得出原 方程的特解 , 进而 求出通解 . 下面 用例子 说明此种方法的解题过程 : 例: 求7 � +1 T � =2 1 3整数解 解: 从系数绝 对值较小的 �解之得 : 2 1 3 -1 T � 3 -5 � =3 0 -2 + Y � 7 7 -5 � 令3 =Z Z �� 7 于是得到新不定 程 7 Z +5 � =3 [ 这时用观察法便知 Z 是 程 [ 的特解 =-1 � =2 = � 将� =的 个数少于未 知量的个 数的
关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
【七年级奥数】第26讲 二元一次不定方程（例题练习）
第26讲二元一次不定方程——例题一、第26讲二元一次不定方程1.解方程2x-3y=8．【答案】解：由原方程易得2x=8+3y，x=4+．因此，对y的任意一个值，都有一个x（=4+）与之对应，此时x与y的值满足原方程，是原方程的一组解．即原方程的解可表示为(k为任意数)．【解析】【分析】由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解。
一般地，二元一次不定方程总有无穷多组解．将其中的一个未知数看作常数，解出另一个未知数：看作常数的未知数取为任意数．对二元一次不定方程，我们通常研究它的整数解．只需取k为偶数，则x、y都是整数.2.求方程2x+6y=9的整数解．【答案】解：∵2x+6y=2(x+3y)，∴不论x和y取何整数，都有2|2x+6y，又∵29，∴不论x和y取什么整数，2x+6y都不可能等于9．即原方程无整数解．【解析】【分析】并非所有的二元一次方程都有整数解．二元一次方程什么时候有整数解，什么时候没有整数解呢?我们有下面的定理：定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分而且必要条件是a与b的最大公约数d能整除c．定理1告诉我们，若d|c，则原方程有整数解；若d c,则原方程没有整数解．3.求方程4x+10y=34的整数解．【答案】解：因为4与10的最大公约数为2，而2|34，由定理1得原方程有整数解．两边约去2后，得2x+5y=17，故．因此，要使y为整数，必须2(1-x)是5的倍数，因为2与5互质，所以x-1是5的倍数，即x=1+5k，k为任意整数．代入得y=3-2k．即原方程的整数解为(k为任意整数)．【解析】【分析】由定理1整系数方程ax+by=c有整数解的充分且必要条件是a与b的最大公约数d 能整除c，我们知道，若ax+by=c有解，则a与b的最大公约数d|c．这时，我们可以在原方程的两边同时约去d，得x+y=．令=a1，=b1，=c1得到一个同解的二元一次方程a1x+b1y=c1．这时a1与b1的最大公约数为1．因此，只要讨论d=1的情况即可．我们有如下的定理：定理2若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为(k为任意整数)．因此，当d=1时，ax+by=c有解，并且解这个二元一次方程的关键在于找它的一组特解x0、y0.4.求方程2x+3y=5的整数解．【答案】解：我们很容易发现，x=1，y=1是方程的一组解，又因为(2，3)=1，由定理2，若a与b的最大公约数为1(即a与b互质)，x0、y0为二元一次整系数不定方程ax+by=c的一组整数解(也称为特解)，则ax+by=c的所有整数解(也称通解)为，(k为任意整数)．方程的所有整数解为，(k为任意整数)．【解析】【分析】通过观察，容易发现一组解．但有时，不定方程的特解是不容易获得的，如不定方程1999x+105y=1就很难直接找到一组整数解．5.求方程3x+5y=12的整数解。
第二章不定方程
不定方程
1、什么是不定方程？
顾名思义即方程的解不定.一般地有 定义：不定方程是指未知数的个数多于方程 的个数，或未知数受到某种限制(如整数 ， 正整数等）的方程和方程组。
2、主要研究问题
a.不定方程有解的条件 b.有解的情况下，解的个数 c.有解的情况下，如何解
3、本章学习内容
(1）二元一次不定方程 （2）多元一次不定方程 （3）勾股数组 （4)费马大定理简介
(5)几类特殊的不定方程
§1 二元一次不定方程
定义：形如 ax by c
其中 ( a 0,b 0)a,b,c为整数的方程称为二元 一次不定方程。
例：2X+3Y=5
5U+6V=21
定理： ax by c 有解的充要条, y0则有 ax0 by0 c
推论：单位圆上的有理点可写成
2ab a2 b2
,
a2 a2
b2 b2
及
a2 a2
b2 b2
,
2ab a2 b2
证：由 x2 y 2 z 2 两边同除 z 2
有
(
x z
)2
(
y z
)
2
1 ，令X
x z
,Y
y z
所以有 X 2 Y 2 1 即为单位圆的方程
而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数 的分子正好为x2+y2=z2的x和y分母为z，且正负都可，又可 交换即有
2ab a2 b2
,
a2 a2
b2 b2
及
a2 a2
b2 b2
,
2ab a2 b2
例1：勾股数的勾股中至少有一个是3的倍数。
证：设N=3m 1，（m为整数），则
二次不定方程的一些初等解法
二次不定方程的一些初等解法
求解二元一次不定方程一般利用下面定义定理分成以下步骤求整数。
第一步：判断是否有解。
(用定理1)
第二步：找出方程一组特解(x0,y0).一般对于系数较小时可试根得到。
如果系数较大，可用辗转相除法来求。
第三步：写出不定方程通解式。
(用定理二).
例1.求3x+21y=118的整数解。
解：由于3与21的最大公约数(3,21)=3,而118不能被3整除，故方程无整数解。
例2.求3x+21y=117的正整数解。
解：去除x,y系数的最大公约数：x+7y=39
因x系数为1较小，试根，显然x=39,y=0是一组解(特解)。
因此，方程的通解为：x=39-7t,y=t.
要使解为正整数，t只能取为1，2，3，4，5.代入后就能得到相应的5组解。
例3.求119x-38y=887的整数解。
解：因系数较大，用辗转相除法求解。
(119,38)=(38*3+5,38)=(5,38)=1,故方程有整数解。
方程变形为：5x+38(3x-y)=887=38*23+13;5x+38(3x-y-23)=13.
若令x1=x,y1=3x-y-23,那么上面方程变为：5x1+38y1=13
又38=5*7+3，13=5*2+3，将方程变形为：5(x1+7y1-2)+3y1=3
再令x2=x1+7y1-2,y2=y1,则5x2+3y2=3.
这个方程系数已很小，容易观察或试根得：x2=0,y2=1是一个特解，往回代得，x1=-5,y1=1,进而x=-5,y=-39.
最后写出通解式：x=38t-5,y=119t-39,t为任意整数。
二元一次不定方程
二元一次不定方程知识精解：1. 不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2. 二元一次不定方程的一般形式：c by ax =+。
3. 二元一次不定方程c by ax =+有整数解的判定。
定理1 二元一次不定方程c by ax =+中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如：542=+y x 没有整数解。
为什么？定理2 如果a 、b 互质，则方程1=+by ax 有整数解，同时c by ax =+有整数解。
例如：753=+y x ，3与5互质，1-=x ，2=y 是这个方程的一组整数解。
定理3 如果a 、b 互质，且方程c by ax =+有一组整数解0x 、0y ，则此方程的所有整数解可以表示为()为整数t at y y bt x x ⎩⎨⎧-=+=00或()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧+=-=00 例如：753=+y x 的所能整数解可以表示为()为整数t t y t x ⎩⎨⎧+=--=3251 4. 一次不定方程的整数解的求法：分离整数法；观察法；辗转相除法。
例题精讲：例1、 解不定方程2654731=+y x练习：解不定方程97875=+y x ，并求出正整数解的个数。
例2、 求方程2510737=+y x 的整数解。
练习：求方程417741=+y x 的所有整数解。
例3、 在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种水管，问两种水管长度的水管各用多少根（不截断），正好铺足整个路段？练习：在1500年前的“张立建算经”里曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？例4、“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物至少有几个？（《孙子算经》）练习：今有物不知其数，七七数之剩一，八八数之剩二，九九数之剩三，问物至少有几个？例4、有一次射箭比赛中，已知小王与小张三次中靶环数的积都是36，且总环数相等地，又已知小王的最高环数比小张的最高环数多（中的环数是不超过10的自然数），则小王的三次射箭环数从小到大排列是多少？练习：1、一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽车空车开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？2、某人计划使用不超过100元的资金购买单价分别为7元和9元的光盘x张和y张，每种光盘至少买3张，问购买的方式共有多少种？3、甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都解出了其中60道题，其中只有1人解出的题叫做难题，3人解出的题叫做容易题，试问难题多还是容易题多？多的比少的多几道题？。
(六)不定方程
不定方程一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。
如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。
不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如6x+4y= 36。
解二元一次不定方程一般分为3个步骤：(1) 把方程中的系数约化成最简比；(2) 找出方程的一组特解；(3) 通过一组特解找出方程所有的解。
含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。
例如我们来解：6x+4y= 36先化简系数，得到：3x+2y= 18可以用x来表示出y：1832xy-=经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如：x=4，y=3这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。
通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解：x=0，y=9x=2，y=6x=4，y=3x=6，y=0我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。
这样就可以找到另一组解了：x=6，y=0类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解：x=2，y=6这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：x=4±2k，y=3 3k，其中k可以是任何整数。
类似地，我们可以写出方程3x-2y=18的所有解：x=6±2k，y=9±3k（k为任何数）例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？[分析与解答]设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z个则可以列得不定方程x+2y+5z=100z的取值范围为0～20之间的整数。
当z取20，18，16，…，0时，对应y有1，6，11，…，51种取值，故分别有1，6，11，…，51个解；当z取19，17，15，…，1时，对应y有3，8，13，…，48种取值，故分别有3，8，13，…，48个解。
由（1+6+11+…+51）+（3+8+13+…+48）=541知，共有541种凑法。
[评注]此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。
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二元一次不定方程一、教学内容分析
4-6》的第三讲。
它是对第一讲整除本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修和第二讲同余中相关知识的应用。
也是之后多元一次不定方程的基础。
本节课程体现数学文化的特色，百钱买百鸡问题使学生对二元一次不定方程产生浓厚的兴趣。
学生通过分析，试验，猜想、验证等，
从中获得新的知识，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程，感受数学的魅力。
二、
学生学情分析
学生之前可能通过课后阅读或资料，故事书听说过百钱买百鸡问题，或曾经尝试过此类问题进行解决，难度较大。
现在是第一次系统性的学习，学生的兴趣浓厚，积极性很高，有热情和新鲜感。
通过课前导学能对有解性和整数通解提出猜想，但难以给出证明。
所以需要教师精心设计，做好引导工作，充分体现教师的“引路人”角色。
特别小组合作学习中在分。
组时注意学生的合理
搭配（成绩的好坏、分析解决问题能力、口头表达能力等）三、教学目标
知识目标：1; 、掌握二元一次不定方程有解的充要条件2. 、会求二元一次不定方程的整数通解能力目标1渗透从特殊到一般，先猜后证的数学方法。
培养观察、分析、归纳、总结、证明．; 的能力2. ．培养学生的口头表达能力和合作意识情感目标1．了解不定方程的发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；2. .
使学生感受到数学来源于生活，体会数学的实用价值并应用于实践四、教学重点和难点重点：1. 二元一次不定方程有解的充要条件；2. 二元一次不定方程的整数通解的证明。
难点：引导学生利用整除的知识对二元一次不定方程的整数通解进行证明。
五、教法与学法
. 学生成为课堂的主人，教师层层引导，关键地教法：以问题为驱动，以学生为主体方点拨的教学模式。
学法：鼓励学生“动脑想、大胆猜、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法。
六、教学过程设计
埋下伏笔历史名题，激发学生学习兴趣。
（视频体验）学生表演神童“百钱买百鸡问题”
展示成果学生动手1、判断下列方程是否有整数解问题4??6y6?y?28x8x?6y?18x (2)(3) (1)，，c?ax?byc,a,b 2 得到新知合作探究问题：若方程有整数解，则整数满足什么关系？1?3y4x? 33组）问题的整数解（至少、写出不定方程1?b)c(a，ax?by?yy?x?x,4为不定方程整数解问题求不定方程，：，00
得到新知合作探究c|,b)b,)|c(a?axby?c(a，不定方有整数解，那么。
反过来，当结论1：如果不定方程c?ax?by!
一定有整数解程bt??xx?0cby??1ax?)(a，b?Z，t?的整数通解为2：设，则不定方程结论
at?y?y?0c??axby y?,x?xy为不定方程的一个特解。
00
解决名题利用新知10?3x5?y 1: 的整数通解求不定方程例
1?5x?3y?z?100?3 2: 的非负整数解例求下列不定方程??x?y?z?100?
巩固提高课堂练习判断下列不定方程是否有整数解，若有，求出整数通解
5x?4y?113x?2y?5 (1) (2) ,
小结收获整理思路知识收获方法能力收获情感体会
七.板书设计
八、教学反思小组合作学习，提升学生的学习积极性。
课堂模式为课前预习，本节课通过
学生的表演，培养学生的团队精神，体验合作学猜想并解决问题，并由学生讲解的方式进行。
发现问题，在参与中体验成功，体会学习的快习。
让学生感受到数学知识产生、发展和应用的全过程，但由于时间关系，问题的猜想仅通过代数的方法进乐，感受古人的智慧，感受数学的奇妙。
行，没有将数形结合的思想渗透其中。