(完整版)二元一次不定方程的通解
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
二元一次不定方程的解法及其应用
一次不定方程#
$&) 有整数解的条件
定理 $&$ 设 A!g4Bi%有一组整数解 !i!% "BiB% "且
( A"4) i8"A iA$ 8"4i4$ 8"则'$( 式的所有解可以表示成!
{!i!% j4$ " ( "i%"f$"f)"f("3) BiB% jA$ "
')(
定理 $&) 二元一次不定方程 A!g4Bi%有整数解的充
其中
.i)"("3"?#
C% i%"C$ i$"C.iE.C.j$ gC.j)
依次求出 D) "C) "D( "C( "3"D? "C? "即可得到'(( 式# )&( 降低系数法 逐步取整法
当方程的系 数 较 大 时" 以 较 小 的 系 数 作 除 数 辗 转 相
除"根据不定方 程 的 解 是 整 数 这 一 条 件" 把 所 求 不 定 方 程
则 A!g4Bi%与方程 A !g 4 Bi % 即 A !g4Bi ( A"4) ( A"4) ( A"4) 8 8
%同解"令 8
A
:8 iA$
"4:8 i4$ "%:8 i%$ "得
A$
!g4$ Bi%$ "此方
程中未 知 数 !和 B的 系 数 是 互 质 的" 所 以 只 需 求 出 A$ ! g4$ Bi$ 的一组整数解为 !i!% "BiB% "则 !i%$ !% "Bi%$ B% 为 方程 A$ !g4$ Bi%$ 的一组整数解"也即为 A!g4Bi%的一组 整数解#
二元一次不定方程整数解的两种常用解法
GAOJIAO 解的两种常用解法
◎迟文焕 （ 长春建筑学院，吉林 长春 130000）
【摘要】不定方程整数解问题由来已久． 公元 5 世纪，我 国数学家张丘 建 在《算 经 》中 记 载 的“百 鸡 问 题 ”就 是 不 定 方程整数解问题． 在本文中，我们介绍了二元一次不定方程 的三种解法———观察法和同余法，并给出相应例题，以便加 深对解题方法的理解．
解 取 模 4 可 得 原 方 程 等 价 于 同 余 式 7x ≡3x ≡0
（ mod4） ，此同余式的解为 x≡0 （ mod4） ，即 x = － 4t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ，把 x = － 4t 代入原方程得 y = 25 + 7t（ t = 0，
± 1，± 2，…） ．
由题意可知
原方程有整数解．
又因为 4 | 100，所以可得到方程的一组特解 x0 = 0，y0 = 25，并且 a1 = 7 / （ 7，4） ，b1 = 4 / （ 7，4） ，由定理 1． 2 知原方程 的一切整数解可以表示为
x = － 4t，y = 25 + 7t，t = （ 0，± 1，± 2，…） ．
用同余法求解不定方程可以避免复杂的求特解过程．
【参考文献】 ［1］ Schmidt W M Diophantine Approximation and Diophantine Equations［M］． Berlin： Springer － Verlag，1991． ［2］乐茂华． Gelfond － Baker 方法在丢番图方程中的应 用［M］． 北京： 科学出版社，1998． ［3］柯召，孙琦． 数论讲义（ 下册） ： 第 2 版［M］． 北京： 高 等教育出版社，2003． ［4］Burn Ｒ P． A Pathway into Number Theory ［M］． Cambridge： Cambridge University Press，1982． ［5］曹珍富． 不定方程及应用［M］． 上海： 上海交通大学 出版社，2000．
多元一次不定方程的完整讲义和练习
二元 一次不定方程知识要点和基本方法1．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数的一次不定方程2．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解 例1． 解方程83=-y x解：由原方程，易得y x 38+= 因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为⎩⎨⎧=+=k y kx 38 其中k 为任意数 整数解问题：例2． 求方程863=+y x 的整数解解：因为)2(363y x y x +⨯=+， 所以，不论x 与y 取何整数，总有,633y x +但3不能整除8，因此，不论x 与y 取何整数，y x 63+都不可能等于8，即原方程无整数解定理1：整系数方程c by ax =+有整数解的充分而且必要条件是a 与b 的最大公约数d 能整除c例3． 求方程34104=+y x 的整数解解：因为4与10的最大公约数为2，而34是2的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去2后，得,1752=+y x 故5217xy -=，因此，要使y 取得整数，1x 27-=15，3=y ，即我们找到方程的一组解,3,100==y x 设原方程的所有解的表达式为：⎩⎨⎧+=+=n y mx 31代入原方程，得05217)3(5)1(2=+⇒=+++n m n m （n m ,为整数）2与5互质，所以k k n k m (2,5-==为整数）由此得到原方程的所有解为⎩⎨⎧-=+=ky kx 2351（k 为任意整数）定理2。
若a 与b 的最大公约数为1（即a 与b 互质），00,y x 为二元一次整系数不定方程c by ax =+的一组整数解（也称为特解），则c by ax =+的所有解（也称通解）为⎩⎨⎧-=+=aky y bkx x 00其中k 为任意整数 但不定方程11051999=+y x 很难直接找到一组整数解 例4． 求方程1253=+y x 的整数解。
二元一方程式解法
二元一方程式解法
二元一次方程式是指含有两个未知数的方程式，其一般形式为ax + by = c，其中a、b和c为已知实数（a和b不能同时为零），x和y为未
知数。
解决二元一次方程的方法有以下几种：
1. 消元法：通过适当的代数运算使方程中的一个未知数与系数相对应
的项消失，然后求解另一个未知数。
可以通过将一个方程的倍数加到
另一个方程上，或者将一个方程的倍数与另一个方程相减，来实现消元。
最后得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，从而求解该未
知数。
2. 代入法：从一个方程中解出一个未知数，并将其代入另一个方程，
从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。
然后求解该未知数。
这种方法适用于一个方程中的系数与另一个方程中的系数相等或成比
例的情况。
3. 矩阵法：将方程组的系数写成矩阵形式，然后应用矩阵的运算进行
求解。
通过行变换将矩阵化简为最简形式，可以得到方程组的解。
无论采用哪种方法，最终都能求得方程组的解。
在实际问题中，我们
可以利用这些方法解决包含两个未知数的方程组，找到未知数的具体值，从而得到问题的解答。
第17讲二元一次不定方程的解法
第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组J K+ y + z = 100i+ 2;=180等，它们的解是不确定的•像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组.不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富•我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.近年来，不定方程的研究又有新的进展•学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.我们先看一个例子.例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50.这是一个二元一次不定方程•从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组.但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解.因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1, 2，3，4支，即y的取值只能是0，1, 2, 3, 4这五个.若y = 则盟=斗，不是整数,不合题意；若y = 贝Ik二13,符合题意；若汗厶贝肛二孚，不是整数*不合题意；若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意.所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔.像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了.但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明.例求不定方程x-y=2的正整数解.解我们知道：3-1=2, 4-2=2, 5-3=2，,，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是ii + 2,其中n可以取一切自然数.因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的.上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦•那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理.定理如果a, b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解X。
二元一次不定方程的解法
后 的影响 ,有不良 的心理特 征和行为表 现 , 在 学习 , 思想
品德等方 面需要特殊 教育的一 类学生 , 这类学生 一般在班 上为数 不多 , 但 他们能量 不小 , 破 坏性很强 , 成为班 上的消 极因 素 .因 此 , 班 主任应特别 注意了解 后进生心理 上的特 殊矛盾 , 努力摸索 他们发展变化的过程 , 用心点燃他们的心 灵之火 , 给后进生 留一个 " 充氧 " 的空间 , 让他在集体的氛围 中自由地呼吸 , 看 到自己潜在的希望 , 并发出璀璨的光辉 . 后 进生不 是先 天注定 . 探究 后进 的原 因往 往多 种多 样: 有的受社会环境 的不良影响 , 认为 " 读书无用 " 知识贬 , " 值" 有的属于学校教育的偏差 , 使差生厌师拒学 , 自暴自 ;
�
� =2 5 +1 9 �
( � �� )
很 多数论问题 可以从经 验中归纳出 来 , 并 且能用 三言两语 向任何一个 路过的人 解释清楚 , 但是要 证明它们 却远非容易 , 这也 正是数论所特有的奇妙的魅力 , 使得它既 被专业数学家所重视 , 又被业余研究者所宠爱 , 甚至使有些 人象 吃了 忘忧果 似的 , 一次 吃了 这种 果实 , 就再 也离 不开 了. 数论对我们如此重要 , 那么 , 作为数论中一部分的不定 方程固然也很重要了 , 理所当然我们有必要学好它 , 本文介 绍的几种解二元一次不定方程的方法 , 各有其利弊 , 大家在 解题时要不断摸索经验 , 从中选择适当的方法来解 , 这样既 不费时又能较轻松地完成任务 .
用辗转相除法求特解 U0, J 0 . 由S 2 =2 T V1 +1 3 2 T =1 3 V2 +3 1 3 =3 VS +1 3 =1 V3 +0 逆推得 : 1=1 3 -3 VS =1 3 -( 2 T -1 3 V2 ) VS =1 3 VT -2 T VS =( S 2 -2 T V1 ) VT -2 T VS =S 2 VT -2 T V3 IS 2 VT -2 T V1 3 =1 两边乘以 5得 : S 2 VS 5 -2 T V6 5 =5 即: � 0 =S 5 � 0 =6 5 I 方程的一般解是 : =S 5 -2 T � � =6 5 -S 2 �W ) � � ( � 这就是用辗转相除法解二元一次不定方程 , 当然了 , 除 这种方法外 , 解二 元一次不定方程还有另外的方法 . 参数法 X , 这种方 法是解出系 数绝对值 较小的未知 数 , 将 其写成 几部分和的形式 , 然后引进参数 , 于是便又得到一个新的不 定方程 , 这时用观 察法便可得出新方程的特解 , 然后再用代 入法就 可得出原 方程的特解 , 进而 求出通解 . 下面 用例子 说明此种方法的解题过程 : 例: 求7 � +1 T � =2 1 3整数解 解: 从系数绝 对值较小的 �解之得 : 2 1 3 -1 T � 3 -5 � =3 0 -2 + Y � 7 7 -5 � 令3 =Z Z �� 7 于是得到新不定 程 7 Z +5 � =3 [ 这时用观察法便知 Z 是 程 [ 的特解 =-1 � =2 = � 将� =的 个数少于未 知量的个 数的
关于二元一次不定方程的整数解相关结论的推导
关于⼆元⼀次不定⽅程的整数解相关结论的推导整数解的通解公式推导⼆元⼀次不定⽅程的⼀般形式为：ax + by = c ①这⾥，a、b和c都是正整数，且满⾜(a,b) = 1由(a,b) = 1知，存在⼀对整数u和v，满⾜ au + bv = 1。
取m = cu，n = cv，则m, n这⼀对整数是⽅程①的⼀组特解，即有am + bn = c ②由①②，有a(x-m) = -b(y-n)(x-m)/b = -(y-n)/a := tx = m + bt, y = n - at ③由(a,b) = 1知，b | x-m，a | y-n，即⽅程①的任意⼀组整数解都有唯⼀对应的整数t，于是③便是①的所有整数解的通解公式，t可为任意整数。
易知这些整数解在平⾯直⾓坐标系中处在同⼀条直线（斜率为 -a/b）上。
实际上，通解公式③只要求a、b、c为整数且满⾜(a,b)=1即可。
⾮负整数解的相关结论推导考虑①的⾮负整数解，则③⾥的 t 需要满⾜：m + bt ≥ 0 和 n - at ≥ 0，即t ≥ -m/b = -[m/b] - {m/b} ④t ≤ n/a = [n/a] + {n/a} ⑤由于t为整数，⑤等价于 t ≤ [n/a]；④等价于 -t ≤ m/b = [m/b] + {m/b}，即等价于 -t ≤ [m/b]，即 t ≥ -[m/b]于是有-[m/b] ≤ t ≤ [n/a] ⑥只要[n/a] ≥ -[m/b]，⽅程①就⼀定存在⾮负整数解。
事实上，①的⾮负整数的解数为M := [n/a] + [m/b] + 1 ⑦例如就8x + 15y = 2⽽⾔，x = 4, y = -2是其⼀组特解，代⼊⑦，有M = [-2/8] + [4/15] + 1 = -1 + 0 + 1 = 0即8x + 15y = 2没有⾮负整数解。
⑦给出的⽅程①的⾮负整数解数M的判别式需要借助⼀组特解，以下试图只⽤常数a、b和c来表⽰M：M = n/a - {n/a} + m/b - {m/b} + 1= c/(ab) + 1 - {n/a} - {m/b}= [c/(ab)] + 1 + {c/(ab)} - {n/a} - {m/b}由 Δ:= {r+s} - {r} - {s} = [r] + [s] - [r+s]，可知Δ = 0或-1，于是M = [c/(ab)] 或 [c/(ab)] + 1 ⑧⑧这个表⽰式⾥没有特解，⽽只有a、b和c；和⑦同样，⑧也是对①的⾮负整数解数的⼀个刻画，但⑦是确定刻画，⑧是不确定刻画。
二元一次不定方程
二元一次不定方程知识链接掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。
我们知道，一般的一个方程只能解答一个未知数，而有的题目却必须设两个未知数，且列不出两个方程，类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。
在我们研究不定方程的解时，常常会附有其他一些限制条件，有的条件是明显的，也有隐蔽的，但它们对解题至关重要，这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。
例题解析：例1、小明要买一只4元9角的钢笔，他手上有贰角和伍角的硬币各10枚，请问他可以怎样付钱？由例1可以看出，对于二元一次不定方程，尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性，最值和尾数来帮助解决例2、大汽车能容纳54人，小汽车能容纳36人，现有378人要乘车，问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。
为了便于管理，要求车辆数最少，应该选择哪个方案？分析：解答不定方程时，能够把方程化简就尽量化简。
注意加了限制条件以后，答案的变化。
试一试：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于几月几日？例3、现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析：根据条件用不定方程可以求出卡车的台数，但是要注意问题求运费最省。
例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，请问这个学生1991年时多少岁？（二）能力拓展例5、一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。
分析：路标上的数字是累计数。
由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程。
试一试：一个两位数，如果把数字1放在它前面可得一个三位数，放在它后面也可得一个三位数。
如何解二元一次不定方程
如何解二元一次不定方程意思就是说求方程a x+by=c 中x,y 的整数解。
对于这个问题，数论中有专门的解法，一般是采用辗转相除法来做，就是类似于求最大公因子的相除过程。
因为可能直接用辗转相除法大家可能不好理解，我先用普通的解方程的方法来做，然后再跟大家介绍数论中的做法。
为了简化问题，我们先求7x +4y =1的一切整数解。
解：我们对等式进行变形，得到y =1−7x 4=−x +1−3x 4式①因为y 是整数，所以1−3x 4也必须是整数，再另y′=1−3x 4，变形得到4y ′+3x =1，再次变形表达成x =1−4y′3=−y′+1−y′3式②因为x 是整数，所以1−y′3也必须是整数，然而1−y′3是整数的条件就是1−y ′是3的倍数，所以y ′=3m +1 式③ 这样1−y′3是整数才能满足。
从式③反推回式②，得到 x =−1−4m再反推回式①得到 y =2+7m至此，我们就得到了不定方程7x +4y =1的全部整数解x =−1−4m ，y =2+7m 式中m 可以取任意的整数。
对结果表示怀疑？那么我们试几个m 值：当m =0时，x =−1，y =2；7x +4y =7×(−1)+4×2=1 当m =1时，x =−5，y =9；7x +4y =7×(−6)+4×9=1如果还想试的话，自己去试吧，如果找到不对的情况请立刻去买彩票！ O(∩_∩)O~我们来分析一下这种计算方法，看看这么巧妙是如何实现的：式①之中，我们通过变形把系数大的项移动到等式右边，然后把左边的系数除过去，得到y =1−7x 4式中x y 都为整数，所以我们又变形得到y =−x +1−3x 4，为何要这样呢？这就是关键所在！因为这样做就逐步的把系数减小了，前面的式子分子系数为7，而后面的变成了3！而根据1−3x 4是一个整数，所以我们又可以列出新的不定方程，这个方程就要比我们最早的方程更简单，这样一直演算下去，最后分子系数肯定会变成1，比如x =−ay′+a−y′c，这时因为a−y′c是整数，假设等于m ，得到a−y′c=m ，变形得到y′=a −cm ，这就是最愉快的时候的，我们再一路反推回去，就可以得到原始的x y 的通解表达式了。
第一节二元一次不定方程教程文件
Q P0 1, P1 q1 2, P2 q2P1 P0 1 2 1 3, P3 q3P2 P1 8 3 2 26, 37 (26) 107 9 1,即(-26,9)是37x 107 y 1的解. 37x -107 y 1的一组解是(-26, -9), 从而(-26 25, -9 25)是37x -107 y 25的一组解,
若d c ,则存在整数q,使c dq, 可知存在整数x0 , y0 , 适合ax0 by0 d , 则ax0q by0q dq, 即方程ax by c有整数解(qx0 , qy0 ).
定理2
若 (a,b)1,如 果 (x0,y0)是 方 程 axbyc的 一 组 解 , 则 它 所 有 整 数 解 都 可 写 成 x y x y0 0 b att,其 中 t为 任 意 整 数 .
证 明 :由 定 理 1知 ,当 ( a , b ) 1时 , 方 程 (1)有 解 ,
如 果 ( x 0 , y 0 )是 方 程 (1)的 解 ,
Q ax by a(x0 bt) b(y0 at)
ax0 abt by0 abt ax0 by0 c,
x
y
x0 bt 为 y0 at
• 中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的 问题:
• “鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱 一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何？”
• 此题系《张丘建算经》卷下的最后一题,作 者生卒年代已不易考,该书今传本在《算经 十书》之内.
设用x, y, z分别表示鸡翁, 鸡母, 鸡雏的数目, 得到下列方程 :
5x 3y 1 z 100, 3
x y z 100 化简,得7x 4y 100.
第二章 不定方程
第一节 二元一次不定方程
不定方程组的通解
不定方程组的通解【原创实用版】目录一、不定方程组的概念二、通解的定义三、求解不定方程组的方法四、举例说明正文一、不定方程组的概念不定方程组是指包含两个或两个以上未知数的方程组，且未知数的系数不全为常数。
例如，x + y = 3 和 2x - y = 1 就是一个包含两个未知数 x 和 y 的不定方程组。
二、通解的定义不定方程组的通解是指能够同时满足所有方程的变量的值。
比如，对于上面的例子，x = 1, y = 2 就是这个不定方程组的通解。
三、求解不定方程组的方法求解不定方程组的方法通常有以下两种：1.代入法：先从一个方程中解出一个变量，然后将其代入到另一个方程中，从而解出另一个变量。
例如，对于 x + y = 3 和 2x - y = 1，我们可以先从第一个方程中解出 y = 3 - x，然后将其代入到第二个方程中，得到 2x - (3 - x) = 1，从而解出 x = 1，再代入到 y = 3 - x 中，得到 y = 2。
2.消元法：通过加减消去一个变量，从而得到一个新的方程，然后再通过代入法解出另一个变量。
例如，对于 x + y = 3 和 2x - y = 1，我们可以将第一个方程乘以 2，得到 2x + 2y = 6，然后将其与第二个方程相减，得到 3y = 5，从而解出 y = 5/3，再代入到 x + y = 3 中，得到x = 4/3。
四、举例说明假设我们有以下不定方程组：x + y = 52x - y = 3我们可以使用代入法或者消元法来求解。
代入法的步骤如下：1.从第一个方程中解出 y = 5 - x2.将 y = 5 - x 代入到第二个方程中，得到 2x - (5 - x) = 3，解出 x = 23.将 x = 2 代入到 y = 5 - x 中，得到 y = 3所以，这个不定方程组的解是 x = 2, y = 3。
二元一次不定方程.ppt
6x 8y 46
二、新课
（一）有关概念
1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
3.二元一次不定方程的整数解
（二）不定方程ax by c在什么条件下有整数解？
1.先考察下面几个方程有没有整数解：
（1）2x y 10
x 5, y 0
（2）4x 2 y 20 2x y 10 x 5, y 0
（3）4x 2 y 25 （2 2x y） 25 没有整数解
2.再进一步考察这些方程x，y的系数a, b与方程 的解是否存在相互间的关系
d c.
（2）充分性
（a，b) d 存在两个整数x0，y0，使得ax0 by0 d
ax0q by0q dq
d c 可令c dq
不定方程ax
by
c
ax
by
dq
不定方程ax by c有整数解x x0q, y y0q
3.定理2.1 不定方程ax by c有整数解的必要 且充分条件是d c,这里（a，b) d.
四、小结
（一）有关概念 1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
（二）定理2.1 不定方程ax by c有整数解的 必要且充分条件是d c,这里（a，b) d.
高中数学解题技巧之不定方程
高中数学解题技巧之不定方程不定方程是高中数学中的一个重要题型，它涉及到数学中的方程与不等式的求解。
在解不定方程的过程中，我们需要运用一些特定的技巧和方法，才能得到正确的解答。
本文将介绍一些常见的不定方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一题型。
一、一元一次不定方程一元一次不定方程是最简单的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
解一元一次不定方程的关键在于找到x和y 的整数解。
下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程2x + 3y = 10。
解法：根据题目给出的方程，我们可以通过观察发现，当x取2时，y取2，方程左边等于10，符合题意。
因此，x = 2，y = 2是方程的一个解。
此外，我们还可以通过找规律的方法，找到该方程的所有解。
观察方程的系数2和3，我们可以发现，当x增加3，y减少2时，方程左边的值不变。
因此，我们可以得到以下解集：{(2, 2), (5, 0), (8, -2), ...}。
通过以上的解题过程，我们可以总结出解一元一次不定方程的技巧：1. 观察法：通过观察方程的特点，找到一个或多个解；2. 找规律法：通过观察方程的系数，找到方程的所有解。
二、二元一次不定方程二元一次不定方程是稍微复杂一些的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
解二元一次不定方程的关键在于找到x和y的整数解。
下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程3x + 5y = 19。
解法：通过观察方程的系数，我们可以发现3和5的最大公约数为1，因此该方程有整数解。
为了找到方程的解，我们可以使用扩展欧几里得算法。
具体步骤如下：1. 列出方程：3x + 5y = 19；2. 使用欧几里得算法计算3和5的最大公约数：5 = 3 * 1 + 2；3. 反复使用欧几里得算法，直到余数为1为止：3 = 2 * 1 + 1；4. 逆向计算系数：1 = 3 - 2 * 1 = 3 - (5 - 3 * 1) * 1 = 3 * 2 - 5；5. 将逆向计算得到的系数乘以方程两边的常数项：19 * 2 = 3 * 2 * 2 - 5 * 2 = 12 - 10；6. 得到方程的一个特解：x = 2，y = -2；7. 方程的通解为：x = 2 + 5 * t，y = -2 - 3 * t，其中t为整数。
不定方程
不定方程一、 概念1、 不定方程2、 一次不定方程二、 二元一次不定方程定理1 二元一次不定方程c by ax =+ （c b a ,,为整数） （1） 有整数解的充分必要条件是),(b a ︱c 。
证明：（必要性）设00,y x 是（1）的解，则有 c by ax =+00 设),(b a d =，则有d ︱0ax ，d ︱0by ，所以d ︱00by ax + 则d ︱c ，即),(b a ︱c 。
（充分性）设),(b a d =，且d ︱c ，有c c d 1=因为),(b a d =，则存在),(00y x ，使得00by ax d +=，于是有01011y bc x ac d c c +==，0101,y c x c 是（1）的解。
定理2 若1),(=b a ，且00,y x 是（1）的一个解，则方程（1）全部解为bt x x +=0，at y y -=0（t 为整数）。
证明：设00,y x 为（1）的一个解，则有c by ax =+00 （2）设y x ,是（1）的任意解，用（1）-（2）得0)()(00=-+-y y b x x a因为1),(=b a ，所以b ︱0x x -，即bt x x +=0同理a -︱0y y -得at y y -=0从而有bt x x +=0，at y y -=0（t 为整数）三、 二元一次不定方程的解法1、 观察法例1、解不定方程982515=+-y x解：（-15，25）=5，5不能整除98所以该方程无解。
例2、解不定方程1002515-=+-y x解：（-15，25）=5，5︱-100，所以有解原方程可化为2053=-y x ，（3，5）=1经观察100=x ，20=y 为此方程的一个特解，所以通解为 t x 510-=，t y 32-=（z t ∈）2、辗转相除法例3、求二元一次不定方程591103=-y x 的整数解。
解：因为103=91×1+1291=12×7+712=7×1+57=5×1+25=2×2+1所以1=5-2×2=5-2×（7-5）=3×5-2×7=3×（12-7）-2×7=3×12-5×7=3×12-5×（91-12×7）=38×12-5×91 =38×（103-91）-5×91=38×103-43×91，即103×38-91×43=1，103×38×5-43×91×5=5 即1900=x ，2150=y所以通解为t x 91190+=，t y 103215+=（)Z t ∈（)2(918++=u x ，)2(1039++=u y ）例4、求75321111=-y x 的一切整数解。
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二元一次不定方程的通解
七年级下册学习了二元一次方程组，有一类题是求二元一次方程的整数解的问题，这在数学上有一专门名称叫做“不定方程”。
如下题：
二元一次方程x+2y=6的正整数解的个数是（）
A.4个
B. 3个
C. 2个
D.1个
初中阶段这个问题，都是用的“枚举法”。
但是为了防止遗漏，我们现在要系统解决这个问题，就需要研究二元不定方程的通解。
当我们通过观察找出了该方程的一对特解x=x0
y=y0后，就可
以写出该方程的所有解了。
∵ ax+by=c……①
ax0+by0=c……②
①-② ∴a（x-x0）+b（y-y0）=0
即a（x-x0）=b(y0-y)
设a、b互质，那么，x-x0必含因子b，y0-y必含因子a。
∴x-x0=kb，y0-y=ka（k∈Z）
∴不定方程的通解为x=x0+bk
y=y0-ak （k∈Z）
以上题为例，观察得到方程x+2y=6的一对特解为x=2 y=2，
则该方程的通解为
x=2+2k
y=2-k（k∈Z）。
由于是求正整数解，
故
2+2k＞0
2-k＞0（k∈Z）得 -1＜k＜2（k∈Z）, ∴k=0,1
∴对应的解有两个：k=0时，x=2
y=2；k=1时，
x=4
y=1.
∴选择C。
这就系统解决了不定方程的相关问题。
避免了解的遗漏问题。
当然这不属于教学内容，可作为课外知识给学有兴趣、学有余力的学生研究。