等腰三角形单元测试题(含答案)

等腰三角形典型例题练习

等腰三角形典型例题练习

一．选择题（共2小题）

1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定

2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且

在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．

给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB

其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，

DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之

比等于_________．

三．解答题（共15小题）

4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上

的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，

分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，

垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．

（1）∠E等于多少度？

（2）△DBE是什么三角形？为什么？

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，

且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，

过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

11．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，

PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，

∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．

∵AB=AC，

∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=_________．点P到AB边的距离PE=_________．

12．数学课上，李老师出示了如下的题目：

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE_________DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD 的长（请你直接写出结果）．

13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．

（2）求∠BFD的度数．

15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF 和CF，

求证：AE=CF．

16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．

17．（2006•郴州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．

（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；

（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．

18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．

等腰三角形典型例题练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）

A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定

考点：角平分线的性质．

分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD 的长，问题可解．

解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D

∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．

2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD 和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：

①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得

△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．

解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD，故①正确；

∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，

∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；

又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于1：3．