导数知识点归纳及其应用

导数知识点归纳及其应用

●知识点归纳

一、相关概念 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x

y

∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。如果当0→∆x 时，x

y ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0

处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim →∆x x

y

∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。 说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。如果x

y

∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；

② 求平均变化率

x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00；

③ 取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ∆∆→∆0lim

。

例：设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim

0000

=∆=∆∆∆=∆∆=∆-∆+→∆→∆→∆→∆x x

x

x x x f x f x f x x x x ∴f ′

( 0)=0

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /

（x 0）（x －x 0）。 例：在函数x x y 83

-=的图象上，其切线的倾斜角小于

4

π

的点中，坐标为整数的点的个数是

( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

[解析]：切线的斜率为832

/

-==x y k 又切线的倾斜角小于4

π

，即10<

8383<<-

<<-x x 或 故没有坐标为整数的点

3.导数的物理意义

如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）

答：A 。

练习：已知质点M 按规律322

+=t s 做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）。

（1） 当t=2，01.0=∆t 时，求t s

∆∆； （2） 当t=2，001.0=∆t 时，求t

s

∆∆；

（3） 求质点M 在t=2时的瞬时速度。

答案：（1）8.02s cm （2）8.002s cm ；（3）8s

cm

二、导数的运算

1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）

②()1

;n

n x

nx

-'=

A ．

B ．

C ．

D ．

③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x

x

e e '= ⑥()ln x

x

a a a '=;

⑦()1

ln x x '=

; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

例1：下列求导运算正确的是 ( )

A ．(x+2

11)1x x +

=' B ．(log 2x)′=

2ln 1x C ．(3x

)′=3x

log 3e D ． (x 2

cosx)′=-2xsinx [解析]：A 错，∵(x+21

1)1x x

-

=' B 正确，∵(log 2x)′=2

ln 1

x

C 错，∵(3x

)′=3x

ln3

D 错，∵(x 2cosx)′=2xcosx+ x 2

(-sinx)

例2：设f 0(x ) ＝ sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x ) ＝ f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝ ( )

A ．sinx

B ．－sinx

C ．cos x

D ．－cosx [解析]：f 0(x ) ＝ sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )=cosx ，f 2(x )＝f 1′(x )= -sinx ，

f 3(x )＝f 2′(x )= -cosx ， f 4(x ) ＝ f 3′(x )=sinx ，循环了 则f 2005(x )＝f 1(x )＝cosx

2．导数的运算法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'

'

'

v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('

'

'

uv v u uv +=

若C 为常数,则'

'

'

'

'

0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)('

'

Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，