电磁场与电磁波第7章、导行电磁波

2 现分别令 X k x X
Y 2 k y Y
这里，kx 和ky 称为分离常数。利用边界条件即 可求解这些分离常数。
2 显然 kc2 kx2 k y
由上可见，原来的二阶偏微分方程，经过变量
分离后变为两个常微分方程，因此求解简便。
两个常微分方程的通解分别为
X C1 cos k x x C 2 sin k x x
E z H z j x y
1 Hy 2 kc
式中 k 2 2 k 2 c
k 2 2
这种方法称为纵向场法。
7.1.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的 关系如下图示。
y e jk z z
Hy j Ex j
k z H 0 nπ mπ nπ x sin cos 2 kc b a b kc2
kc2
y e jk z z y e jk z z
H 0 nπ
mπ nπ cos x sin b a b
k z E0 nπ mπ nπ jk z z E y j 2 sin x cos y e kc b a b
Hx j
E0 nπ mπ nπ jk z x cos y e sin 2 kc b a b
Y C3 cosk y y C4 sin k y y
式中常数C1，C2，C3，C4取决于导波系统的边界条件。
已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在x =0, a 及y = 0,b 的边界上Ez =0。由此决定上述常数，再根 据这些结果求出分离常数为
mπ kx , m 1,2,3, b nπ ky , n 1,2,3, b
E E E
es
H TEM波 H
es
H
es
TM波
TE波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波
双导线 同轴线 带状线
TEM波 TEM波 TEM波
代入波动方程得 即 对于TEM波，当
2 xy E
2E 2 2 2 k 2 E 2 xy E ( k ) E 0 z
2 2 xy E k c E 0
2 kc 0
2 xy E 0
表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。
已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 2 E 0 s 对于沿Z方向均匀一致的导波系统
2 2
电磁波在波导中的相速度为
vp

kz

v fc 1 f
2

v 1 c
2
电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，
g
vp f

fc 1 f
2


1 c
由
2 kc
k
2
2
k
2 2
2 kc
mπ nπ a b
2
2
得到矩形波导中的传播常数为
mπ nπ 2 2 kc k2 k a b
2 2
0 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）
为了求解上述方程，采用分离变量法。令 E z 0 ( x、y) X ( x)Y ( y)
代入上式，得
X Y kc2 X Y
式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。
X Y kc2 X Y
由于上式中的第二项仅为y 函数，而右端为常数， 因此，若将此式对x 求导，得知左端第一项应为常数。 若对y 求导，得知第二项应为常数。
2 Es z2 0 ，因此
2 xy E s 0
比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分 方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场 结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统 必然能够维持TEM波。 平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因 此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因 此金属波导不可能传播TEM 波。
7.2 矩形波导
7.2.1 矩形波导中的场量表达式 矩形波导形状如下图示，宽壁的内尺寸为a，窄壁的 内尺寸为b。 已知金属波导中只能传输 TE 波及TM波，现在分别讨论 他们在矩形波导中的传播特性。 y
b
z
,
a x
若仅传输TM波，则Hz=0。 按照纵向场法，此时仅需求出 Ez分量，然后即可计算其余各 个分量。
2
式中为电磁波在参数为
也称为工作波长。
，
的无限大媒质中的波长，
波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。
TM波的波阻抗为 Z E x TM
Hy
Ey Hx

。 fc kz 1 1 f c
Ey j
H 0 mπ
mπ nπ jk z z x cos y e sin a a b
与TM波一样，TE波也具有前述多模特性，但此时m 及n不 能同时为零。因此，TE波的最低模式为TE01波或TE10波。
7.2.2
矩形波导中的电磁波传播特性
（1）m 和 n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式 （7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 TMmn 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。
（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n 表 示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由 E z 的表达 式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式 是 T M11 波。 （3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行 波分布。
TE01 TE20 TM1
1
TE10 截
止 区
2a
0
a

c
2a
时，全部模式被截止，是截止区。
a 2a 时，只能传播波 T E10 ，是单模工作区。
0 a 时，传播多个模式的波，称为多模工作区。
要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满 足
取
。工程上常 ，窄壁尺寸应满足 a b 2 2 a 0.7 ， b (0.4 ~ 0.5)a 。
微
带
准TEM波
TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
差
好 好 差
厘米波
厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
矩形波导 圆波导 光 纤
证明：
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有 关的 2 和与纵坐标有关的 xy
2 z
两部分，即
2 2 2 2 2 2 xy z x2 y2 z2
第7章、导行电磁波
7.1
7.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
矩形波导
7.3
7.4
圆波导
同轴线
7.5
7.6
波导中的传输功率与损耗
谐振腔
第7章、导行电磁波
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、
微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。
2
2
TE波的波阻抗为 Z TE
kz

fc 1 f
2


1 c
2
在矩形波导中下标m 和n（ m , n 1 , 2 , ）相同的和模 具有相同的截止波长，截止波长相同的模式称为简并模，所 以和模简并。
7.2.3 矩形波导中的主模 具有最低截止频率的模式称为主模，所以波是矩形波导的主模。
Hale Waihona Puke Baiduz z
E0 mπ mπ nπ jk z H y j 2 cos x sin y e kc a a b
式中
2 kc
2 kx
2 ky
m n a b
2
2
由式（7-32）可见：
2 kc k 2 2 (2f c ) 2
即
fc
kc 2π

1 2
m n a b
2
2
当
f f c 时， k z 为实数，因子 e jk z z 代表向正z 方
fc kz f 1
由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 E x , E y , E z
及
Hx, Hy , Hz
，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这 些方程。
但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们
不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x 分量 及y 分量和z 分量的关系为
为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示
为
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
，
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
。
j
为传播常数
而且应该满足下列矢量亥姆霍兹方程
2 E 2 E 2 E 2 k E 0 2 2 2 y z x 2 2 2 H H H 2 k H 0 2 2 2 y z x
2
向传播的波。 当 f f c 时， k z 为虚数，因子 e jk z z e
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z 方向不断衰
减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是 f f c 。
相应的截止波长为
c
v fc 2 m n a b
1 Ex 2 kc
1 Ey 2 kc
E z H z x j y
E z H z y j x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ H z H 0 cos x cos a b y e jk z z
Hx j
k z H 0 mπ mπ nπ x cos sin 2 kc a a b
已知电场强度的z 分量可以表示为 Ez Ez 0 ( x, y)e jk z z
它应满足齐次标量亥姆霍兹方程，即
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 x 2 y 2
其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程，即
2 Ez 0 2 Ez 0 kc2 Ez 0 0 2 2 x y
尤其是矩形金属波导的传播特性。
这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
7.1
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
横向场分量与纵向场分量之间的关系
7.1.1
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横
截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其
沿z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
mπ nπ jk z z E z E0 sin x sin ye a b
k z E0 mπ mπ nπ jk z z Ex j 2 cos x sin y e kc a a b