电磁场与电磁波第7章、导行电磁波
电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
电动力学教程 第7章 导行电磁波
对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )
1 2
m n a b
2
2
截止波长
c
fc
2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。
《电磁场与电磁波》课件第七章
1
0 0
ln
D
d
120 ln
D
D d
2
2
d
300
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7-3 无损传输线的工作状态
• 一、波的反射 • 二、传输线中电压波的特点
• 三、传输线与负载的阻抗匹配
• 四、例题
一、波的反射
V ( z ) V0 e
I (z)
j z
V ( z ) V0 e
a
E 0 ( x , y ) dl V0e
jkz
任一导体在位置z处的电流为：
H ( x , y , z ) H 0 ( x , y )e
jk z z
I(z)
H ( x , y , z ) dl
l
I(z) e
jkz
l
H 0 ( x , y ) dl I 0e
I (z)
j z
V
0
e
j z
V0
e
j z
ZC
Rg
ZC
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Eg
ZC
ZL
z
V V
定义终端电压反射系数为：
(z 0) (z 0)
V0 V0
z0
传输线上各点的电压和电流分别为： 在z=0处
V ( z ) V (e
0 j z
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e
j
j z
)
E 1 x E 0 (e
i
jk 1 z
Re
j
电磁场与电磁波第七章
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
电磁场与电磁波理论第7章
7-3
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 常见的传输线的——平行双线、同轴线、微带线、波导管、 介质棒等等.
7-4
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 传输线〔波导〕——用来引导电磁波做定向传播的一种导 波结构.
♥ 导行电磁波〔导波〕——在传输线引导下做定向传播的电 磁波.
第7章均匀波导中的导行电磁波
横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
广义柱坐标系 四点假设 纵向场和横向场的导波方程
7-7
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
纵向场和横向场的导波方程
♥ 导行电磁波的纵向场和横向场
——导行电磁波的纵向场 ——导行电磁波的横向场
7-8
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
♥ 矩形波导中传播的模式必须满足的条件是
〔〕
◘ 对于给定频率的激励源,有可能产生许多的模式,但是只有 满足传播条件的模式才能在波导中传播.反之,要使某一种 模式能在波导中传播,其工作频率必须满足传播条件.
◘ 矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关,还与模指数有 关.因此,当波导的尺寸一定时,随着工作频率的的改变,矩形 波导可以多模传播,也可以单模传播,甚至也可以处于截止 状态〔没有模式可以传播〕.
7-24
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
1. 矩形波导中的TE模
♥ 矩形波导中的TE模的纵向场的解的特点
◘ 由于有无穷多组解,所以有无穷多个TE模；
◘ 每一对 值都对应着一种波型,故称之为 模；
◘
被称为波型指数或模指数；
2020年电磁场与电磁波第七章
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：
Ex Hy
j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H
1 ZTM
ez
E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx
kc
2
H z x
,Hy
kc2
H z y
Ex
j
kc2
H z y
, Ey
j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y
jEx
H z x
H x
jE y
H y x
H x y
jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx
1 kc2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
1 kc2
f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2
ZTM
电磁场与波课件教学PPT-第七章 导行电磁波-精品文档
2Exk2Ex0， 2Hxk2Hx0 —— 横向场方程 2Eyk2Ey0， 2Hyk2Hy0
2 E z k 2 E z 0 ， 2 H z k 2 H z 0—— 纵向场方程
利用解形式化简为：
由于
Ez(x,y,z)Ez(x,y)ez Hz(x,y,z)Hz(x,y)ez
xa
O
边界条件：Ez |x00 Ez |xa0 Ez |y00 Ez |yb0
分离变量法求解偏微分方程： E z(x,y)f(x)g(y)
第七章 导行电磁波
16
电磁场与电磁波
偏微分方程化为微分方程求解：
f
(x)kx2
f
(x)
0
g(y)ky2g(y) 0
f(0)0, f(a)0 g(0)0, g(b)0
H z y
)
Ex
k
1
2 c
(
E z x
j
H z) y
Ey
1
k
2 c
(
E z y
j
H z) x
kc2 2 k2
9
电磁场与电磁波
2. 场方程（分析方法）
根据亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0 ， 2 H k 2 H 0 其场分量形式即为：
电磁场与电磁波
分类分析时变电磁场问题
共性问题
个性问题
0 t
电磁波的
j 典型代表 t
均匀平面波
电磁波的 传输
波导
电磁波的 辐射
天线
第4章
√
第5、6章
√√
第7章
第七章 导行电磁波
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第7章 导行电磁波【圣才出品】
第7章 导行电磁波（一）思考题7.1 什么是导波系统？什么是均匀导波系统？答：导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置。
均匀导波系统是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截面上，导波装置具有相同的截面形状和截面面积及介质特性。
7.2 写出均匀导波系统中的纵向场分量与横向场分量的关系。
答：均匀导波系统中纵向场分量与横向场分量的关系：7.3 写出矩形波导中纵向场分量Ez 、H z 满足的方程和边界条件。
答：矩形波导中E z 满足下面的波动方程和边界条件：H z 满足下面的波动方程和边界条件：7.4 沿均匀波导传播的波有哪三种基本模式？答：横电磁波（TEM），横磁波（TM），横电波（TE）。
7.5 波阻抗的定义是什么？答：波阻抗在数值上等于与传播方向垂直的横截面内，相互垂直的电场与磁场分量之比。
7.6 试叙述均匀导波系统中的TEM波、TM波和TE波的传播特性。
答：在均匀导波系统中，（1）TEM波的传播特性：传播常数相速度波阻抗（2）TM波的传播特性：E z满足标量波动方程其传播条件f＞f c（或λ＜λc）传播常数波导波长相速度波阻抗（3）TE波的传播特性H z满足标量波动方程，其传播条件，传播常数，波导波长，相速度和TM波的形式相同。
波阻抗7.7 写出a×b矩形波导中TM波和TE波的截止波数、截止频率、相位常数、波导波长、相速度、波阻抗及传播条件。
答：a×b矩形波导中TM波和TE波截止波数截止频率相位常数波导波长相速度波阻抗传播条件f＞f c（或λ＜λc）7.8 矩形波导中的波是否存在色散？答：矩形波导中的波存在色散。
7.9 试说明为什么单导体的空心或填充电介质的波导管不能传播TEM波。
答：如果空心或填充电介质的波导管内存在TEM波，则磁场矢量应在横截面内，磁力线在横截面内形成闭合曲线，沿闭合磁力线的磁场积分应等于与之交链即轴向的电流，波导管不存在轴向的传导电流，因此必要求有轴向位移电流，这就要求存在轴向电场，而TEM波在传播方向上不存在电磁场。
电磁场与电磁波七章讲解
的频率为矩形波导的截止频率或临界频率， 用 fc 表示。
对于尺寸为a×b的矩形波导，其传播常数为
k
2 x
k
2 y
k2
m
a
2
n
b
2
2
c
1
( m )2 ( n )2
a
b
fc
2
1
( m )2 ( n )2
a
b
尺寸为a×b的矩形 波导截止频率
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
关于矩形波导截止频率的说明：
cos
n
b
x
cos
n
b
y
e
z
y
e
z
H
y
j
kc2
m
a
E0
cos
m
a
x
sin
n
b
y
e
z
式中：
kc2
kx2
k
2 y
2
k2
( m
a
)2
( n
b
)2
14:01
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2 TEM
k2
0
TEM
k2 jk j
相速度：v p
k
《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波前面我们讨论了电磁波在无界空间的传播以及电磁波对平面分界面的反射与透射现象。
在这一章中我们将讨论电磁波在有界空间的传播，即导波系统中的电磁波。
所谓导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置，被引导的电磁波称为导行波。
常见的导波系统有规则金属波导（如矩形波导、圆波导）、传输线（如平行双线、同轴线）和表面波波导（如微带线），图7.0.1给出了一些常见的导波系统。
导波系统中电磁波的传输问题属于电磁场边值问题，即在给定边界条件下解电磁波动方程，这时我们可以得到导波系统中的电磁场分布和电磁波的传播特性。
在这一章中，将用该方法讨论矩形波导、圆波导和同轴线中的电磁波传播问题以及谐振腔中的场分布及相关参数。
然而，当边界比较复杂时，用这种方法得到解析解就很困难，这时如果是双导体（或多导体）导波系统且传播的电磁波频率不太高，就可以引入分布参数，用“电路”中的电压和电流等效前面波导中的电场和磁场，这种方法称为“等效传输线”法。
这一章我们还将用该方法讨论平行双线和同轴线中波的传播特性。
7.1导行电磁波概论任意截面的均匀导波系统如图7.1.1所示。
为讨论简单又不失一般性，可作如下假设： （1）波导的横截面沿z 方向是均匀的，即导波内的电场和磁场分布只与坐标x ,y 有关，与坐标z 无关。
（2）构成波导壁的导体是理想导体，即σ=∞。
（3）波导内填充的媒质为理想介质，即0σ=，且各向同性。
（4）所讨论的区域内没有源分布，即0ρ=0=J 。
a 矩形波导b 圆柱形波导c 同轴线传输线d 双线传输线e 微带线图7.0.1 常见的几种导波系统（5）波导内的电磁场是时谐场，角频率为ω。
设波导中电磁波沿+z 方向传播，对于角频率为ω的时谐场，由假设条件（1）和（2）可将其电磁场量表示为()()()(),,,,,,,z z x y z x y e x y z x y e γγ--==E E H H (7.1.1)式中γ称为传播常数，表征导波系统中电磁场的传播特性。
垂直极化波
E1 xˆEi0e jk1z
H1
yˆ
Ei0
1
e
jk1z
透射波为： E1 xˆEi0Te jk1z
H1
yˆ
Ei0
1
Te jk1z
电磁场与电磁波 第七章 平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
①区中任一点的合成电场强度和磁场强度可表为
E1 xˆEi 0 (e jk1z e jk1z )
,
v Ei
v vv
Hi
Hr
1
1
(zˆ) Er
yˆ
Er0
1
e jk1z
O v
z
Er
k1
11
2 1
,1
1 1
在介质空E间内xˆ任(E一i0e点 j的k1z 电 E场r0：e jk1z )
v v v
Hr
边界条件：理想导体表面上电场强度切向分量为零。
z0 时
Ei0 Er0 0
Er0 Ei0
yˆ
Et0
2
e jk2z
根据边界条件： 在 z 0 处有：
x
1 ,1
v Ei
v v v1
Hi vO Er
v v1 v
Hr
2 ,2
v Et
v v v2
Ht
z
E1t E2t
H1t H2t
电磁场与电磁波 第七章 平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
则：
Ei0 Er0 Et0
Ei0 Er0 Et0
H1
yˆ
Ei0
1
(e jk1z
e jk1z )
②区中任一点的电场强度和磁场强度分别为
E2 Et xˆTE i 0e jk2z
电磁场与电磁波(第4版)第7章 导行电磁波
C.Y.W@SDUWH
2010
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
18
7.2.2 矩形波导中波的传播特性 在矩形波导中，TEmn 波和TMmn 波的场矢量均可表示为
Emn ( x, y, z ) = Emn ( x, y )e −γ mn z
H mn ( x, y, z ) = H mn ( x, y )e −γ mn z
H x ( x, y, z ) = H x ( x, y )e −γ z H y ( x, y, z ) = H y ( x, y )e −γ z H z ( x, y, z ) = H z ( x, y )e −γ z
Ex ( x, y, z ) = Ex ( x, y )e −γ z E y ( x, y, z ) = E y ( x, y )e −γ z Ez ( x, y, z ) = Ez ( x, y )e −γ z
13
设 Ez 具有分离变量形式，即 问题，即
代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值
⎧ f ′′( x) + k x2 f ( x) = 0 ⎨ ⎩ f (0) = 0, f (a ) = 0
2 ⎧ g ′′( y ) + k y g ( y ) = 0 ⎨ ⎩ g (0) = 0, g (b) = 0
C.Y.W@SDUWH
2010
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
10
2. 场方程 根据亥姆霍兹方程 故场分量满足的方程
∇ 2 E + k 2 E = 0，∇ 2 H + k 2 H = 0
∇ 2 E x + k 2 E x = 0，∇ 2 H x + k 2 H x = 0 ∇ 2 E y + k 2 E y = 0，∇ 2 H y + k 2 H y = 0
电磁场与电磁波(第7章)1
＝0 这时 0,
<<1（一般取 0.1）这时
2
,
3、理想导体 ： ，这时 , ，说明电磁 波在理想介质中立刻衰减到零， 说明波长为零，相速 为零。这些特点表示电磁波不能进入理想导体内部。 4、良导体：
2 － H y
这里的 k 称为传播常数或波数
这时，一维波动方程的形式就变成
2 Ex z 2
2 － Ex
2 H y z 2
解的形式为
Ex Aeikz A2eikz 1
ikz
A eikz 1
项表示了离开原点向正z方向传播的波，反之，A2 e
则表示了沿负z方向传播的波。 对于无界、均匀、理想介质 中的电磁波 ，可取 A2 0
相速：
dz 2 1 [1 1 ( ) ] p dt 8
分别讨论δ<<ωε、δ>>ωε两种极端的情况
与上述低损耗介质相反， 1导体是一种高损耗媒质。在这 种媒质中，传导电流比位移电流大得多。 其衰减系数和相移常数分别为
2 H ( H ) 2 H 2 t
J
同理得
H 2 H 2 t
2
无界、线性、均匀和各向同 性的一般媒质中的磁波方程 无界、线性、均匀和各向同 性的一般媒质中的电波方程
E 2 E 2 t
2
与波动方程的一般形式比较可知在一般介质中， 电磁波的传播速度
1. 等效介电系数
对于随时间按照正弦规规律变化的电磁场，其复数形式的麦克斯韦方程中有
电磁场与电磁波答案
电磁场与电磁波答案第7章导⾏电磁波1、求内外导体直径分别为0.25cm和0.75cm 空⽓同轴线的特性阻抗；在此同轴线内外导体之间填充聚四氟⼄烯( r 2.1)，求其特性阻抗与300MHz时的波长。
解：空⽓同轴线的特性阻抗b 0.75Z0 601 n 601 n =65.917a 0.25聚四氟⼄烯同轴线：_60_ in 075=41.4041n3 45.487.2.1 0.252、在设计均匀传输线时，⽤聚⼄烯( & r = 2.25 )作电介质，忽略损耗⑴对于300Q的双线传输线，若导线的半径为0.6mm,线间距应选取为多少？⑵对于75Q的同轴线，若内导体的半径为0.6mm,外导体的内半径应选取为多少?解：⑴双线传输线，令d为导线半径，D为线间距，则D in 3.75, D 25.5mm d⑵同轴线，令a为内导体半径，b为外导体内半径，则波⽐VSWR及距负载0.15处的输⼊阻抗Z in。
3 108300 106..2.10.69mL1oi b2 ln a' C121 b inaZ O5丄I1---ln b75C12■ r ain b 1.875, b 3.91mma3、设⽆耗线的特性阻抗为100 ,负载阻抗为50 j50试求：终端反射系数解:Z L Z O 50 j50 100Z L Z O 50 j50 1001 2j51 I L|1⼩2.6181 .5 5Z043.55 +j 34.164、⼀特性阻抗为50Q 、长2m 的⽆耗线⼯作于频率 200MHz 终端阻抗为40 j30 , 求其输⼊阻抗Z in 。
解：输⼊阻抗：z in Z 0Z LjZ °tan z⼩ 8 8 / “ 1.5, z2 ,tan 1.732f33Z in 26.32 j9.875、在特性阻抗为200的⽆耗双导线上,测得负载处为电压驻波最⼩点，V min 为8V,距负载/4处为电压驻波最⼤点，V 为10V,试求负载阻抗 Z L 及负载吸收的功率maxP L 。
电磁场与电磁波问题详解
第7章 导行电磁波1、 求内外导体直径分别为0.25cm 和 0.75cm 空气同轴线的特性阻抗； 在此同轴线内外导体之间填充聚四氟乙烯（ 2.1r ε=），求其特性阻抗与300MHz 时的波长。
解：空气同轴线的特性阻抗00.7560ln60ln =65.9170.25b Z a ==Ω 聚四氟乙烯同轴线:00.75=41.404ln345.487 0.25b Z a ===Ω80.69v m f λ==== 2、在设计均匀传输线时，用聚乙烯（εr ＝2.25）作电介质，忽略损耗⑴ 对于300Ω的双线传输线，若导线的半径为0.6mm ，线间距应选取为多少？⑵ 对于75Ω的同轴线，若内导体的半径为0.6mm ，外导体的内半径应选取为多少？ 解：⑴ 双线传输线，令d 为导线半径，D 为线间距，则0110 ln , ln1 300 ln3.75, 25.5D L C D d dDZ dDD mm dμπεππ=====∴== ⑵ 同轴线，令a 为内导体半径，b 为外导体内半径，则0112 ln , 2lnb L C b a aμπεπ==01 ln 752 ln1.875, 3.91bZ abb mm aπ===∴==3、设无耗线的特性阻抗为100Ω, 负载阻抗为5050j -Ω, 试求：终端反射系数L Γ驻波比VSWR 及距负载0.15λ处的输入阻抗in Z 。
解：005050100112505010035L L L Z Z j j j Z Z j j ---++Γ===-=-+-+-1 2.6181L L S+Γ===-Γ()()000250501000.15100210050500.15L in L j j tan Z jZ tan d Z d Z Z jZ tan d j j tan πλβλπβλλ⎛⎫-+⨯ ⎪+⎝⎭==⨯+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭43.55 +34.16j =4、一特性阻抗为50Ω、长2m 的无耗线工作于频率200MHz ，终端阻抗为4030j +Ω，求其输入阻抗in Z 。
电磁场与电磁波第七章
上式表明，电流元的远区场具有以下特点： （1）远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r
E Z 。 垂直，可见远区场为TEM波，电场与磁场的关系为 H
（2）电场与磁场同相，复能流密度仅具有实部。能流密度矢量的方向
为传播方向 r 。这就表明，远区中只有不断向外辐射的能量，所以远 区场又称为辐射场。
l Pr 80 π 2 I 2
2
式中I 为电流强度的有效值。 为了衡量天线辐射功率的大小，以辐射电阻Rr表述天线的辐射功率
的能力，其定义为
Rr
Pr I2
那么，电流元的辐射电阻 Rr 为
l Rr 80 π
2 2
由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。
F ( , ) sin
若采用极坐标，以 为变量在任何 等于常数的平面内，函数 F ( , )
的变化轨迹为两个圆，如左上图示。
z
由于与 无关，在 π 的平面内，以
为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图
y
2
示。
z
电流元 H
r
将左上图围绕 z
轴旋转一周，即构成
H E
y x
由此可见，对于 x 方向电流元，不同场分量具有不同的方向性
因子。此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同。由此可见， 改变天线相对于坐标系的方位，其方向性因子的表示式随之改变。 但是，并不以为意味天线的辐射特性发生变化，只是数学表达 式不同而已。
正如前述，电流元在其轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的
H j
I l sin jkr e 2r
E j
ZI l sin jkr e 2r
（3）远区场强振幅与距离 r 一次方成反比，场强随距离增加不断衰减。 （4）远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的方位也有关， （5）电场及磁场的方向与时间无关。可见，电流元的辐射场具有线极化 由于电流元沿Z 轴放臵，具有轴对称特点，场强与方位角 无关，方 这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是球面波固有的扩散特性导致的。 这种特性称为天线的方向性。场强公式中与方位角 及 有关的函数称为 向性因子仅为方位角 的函数，即 f ( , ) sin 。可见，电流元在 = 0 的 特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。 方向性因子，以 f (, ) 表示。 轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 = 90方向上辐射最强。 除了上述线极化特性外，其余四种特性是一切尺寸有限的天线远区 场的共性，即一切有限尺寸的天线，其远区场为TEM波，是一种辐射场， 其场强振幅不仅与距离r 成反比，同时也与方向有关。 当然，严格说来， 远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形 成能量交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而构成能量辐射部分 的场强振幅与距离r 成反比，因此，远区中能量的交换部分所占的比重 很小。相反，近区中能量的辐射部分可以忽略。
《电磁场与电磁波》第7章
γ为0时，导波处于传播和截止的分界点。
截止波数 kcmn
( m )2 ( n )2
a
b
与介质的参数无关，仅与波导的结构尺寸有关,即截止波数是反映
波导本身尺寸特征的参数。
15:44
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
TE波、TM波的传播特性：
kc2 k2 j
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
)
Ex
1 kc2
(
Ez x
j
H z y
)
Ey
1 kc2
(
Ez y
j
H z x
)
kc2 2 k2 k
kc称为截止波数，不同于： jkc
证明思路：从麦克斯韦方程组出发
15:44
电磁场与电磁波
证明：
第7章 导行电磁波
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
波导中时谐场的数学模型—以直角坐标系为例
对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
场分量：
振幅方向任意，振幅大小与Z无关。
Ex (x, y, z) Ex (x, y)e z Ey (x, y, z) Ey (x, y)e z Ez (x, y, z) Ez (x, y)e z 其中：
—— 横向场方程
2Ez k 2Ez 0，2Hz k 2Hz 0 —— 纵向场方程
如果电磁场的横向分量可用纵向分量表示，即可只求解纵向场方程。
将直角坐标系下的模型代入纵向场方程：
第7章-导行电磁波-I 电磁场与电磁波课件
—— 横向场方程
2Ez k 2Ez 0，2Hz k 2Hz 0 —— 纵向场方程
因为电磁场的横向分量可用纵向分量表示，先求解纵向场方程。
由：Ez ( x, y, z) Ez ( x, y)e z
Hz
( x,
y,
z)
H z (x,
y)e
z
kc2 2 k 2
2 ( x2
2 y 2
kc2 )Ez (x,
第7章 导行电磁波
7.1 导行电磁波概论
分析均匀波导系统时，为了方便分析，作如 下假定：
（1）波导横截面形状可以任意，但沿z轴 方向时均匀的，是无限长的规则直波导。
沿z 轴方向放置，导波电磁场与坐标z无关。
（2）波导内壁是理想导体，即 = 。 （3）波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质-理想煤质， = 0,其参
当Ez=0，Hz0时（横电波，TE波或M波) 特点:在波传播的方向上有Hz分量，但没有Ez分量，即电场垂直于电磁波传播方 向。
x
E TEM波
k
yH
x zy H
TM波
E
k
x
TE波
E
k
zy H
z
北航仪器光电学院 《电磁场理论》课程组
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第13页
《电磁场理论》
第7章 导行电磁波
7.1.1 TEM波的传播特性
Ex
E
y
1 kc2
1 kc2
( (
Ez x Ez y
j j
H z ) y H z ) x
H
x
H
y
1
kc2 1
kc2
( (
H z x H z y
j j
Ez ) y Ez ) x
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2 kc
k
2
2
k
2 2
2 kc
mπ nπ a b
2
2
得到矩形波导中的传播常数为
mπ nπ 2 2 kc k2 k a b
2 2
0 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）
为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示
为
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
，
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
。
j
为传播常数
E 2 E 2 E 2 k E 0 2 2 2 y z x 2 2 2 H H H 2 k H 0 2 2 2 y z x
2 Es z2 0 ，因此
2 xy E s 0
比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分 方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场 结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统 必然能够维持TEM波。 平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因 此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因 此金属波导不可能传播TEM 波。
E E E
es
H TEM波 H
es
H
es
TM波
TE波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波
双导线 同轴线 带状线
TEM波 TEM波 TEM波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ H z H 0 cos x cos a b y e jk z z
Hx j
k z H 0 mπ mπ nπ x cos sin 2 kc a a b
1 Ex 2 kc
1 Ey 2 kc
E z H z x j y
E z H z y j x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
TE01 TE20 TM1
1
TE10 截
止 区
2a
0
a
c
2a
时，全部模式被截止，是截止区。
a 2a 时，只能传播波 T E10 ，是单模工作区。
0 a 时，传播多个模式的波，称为多模工作区。
要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满 足
取
。工程上常 ，窄壁尺寸应满足 a b 2 2 a 0.7 ， b (0.4 ~ 0.5)a 。
（1）m 和 n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式 （7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 TMmn 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。
（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n 表 示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由 E z 的表达 式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式 是 T M11 波。 （3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行 波分布。
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
mπ nπ jk z z E z E0 sin x sin ye a b
k z E0 mπ mπ nπ jk z z Ex j 2 cos x sin y e kc a a b
第7章、导行电磁波
7.1
7.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
矩形波导
7.3
7.4
圆波导
同轴线
7.5
7.6
波导中的传输功率与损耗
谐振腔
第7章、导行电磁波
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、
微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。
代入波动方程得 即 对于TEM波，当
2 xy E
2E 2 2 2 k 2 E 2 xy E ( k ) E 0 z
2 2 xy E k c E 0
2 kc 0
2 xy E 0
表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。
已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 2 E 0 s 对于沿Z方向均匀一致的导波系统
2 kc k 2 2 (2f c ) 2
即
fc
kc 2π
1 2
m n a b
2
2
当
f f c 时， k z 为实数，因子 e jk z z 代表向正z 方
fc kz f 1
微
带
准TEM波
TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
差
好 好 差
厘米波
厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
矩形波导 圆波导 光 纤
证明：
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有 关的 2 和与纵坐标有关的 xy
2 z
两部分，即
2 2 2 2 2 2 xy z x2 y2 z2
尤其是矩形金属波导的传播特性。
这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
7.1
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
横向场分量与纵向场分量之间的关系
7.1.1
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横
截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其
沿z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标
由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 E x , E y , E z
及
Hx, Hy , Hz
，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这 些方程。
但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们
不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x 分量 及y 分量和z 分量的关系为
z z
E0 mπ mπ nπ jk z H y j 2 cos x sin y e kc a a b
式中
2 kc
2 kx
2 ky
m n a b
2
2
由式（7-32）可见：
2 2
电磁波在波导中的相速度为
vp
kz
v fc 1 f
2
v 1 c
2
电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，
g
vp f
fc 1 f
2
1 c
E z H z j x y
1 Hy 2 kc
式中 k 2 2 k 2 c
k 2 2
这种方法称为纵向场法。
7.1.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的 关系如下图示。
为了求解上述方程，采用分离变量法。令 E z 0 ( x、y) X ( x)Y ( y)
代入上式，得
X Y kc2 X Y
式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。
X Y kc2 X Y
由于上式中的第二项仅为y 函数，而右端为常数， 因此，若将此式对x 求导，得知左端第一项应为常数。 若对y 求导，得知第二项应为常数。
2
式中为电磁波在参数为
也称为工作波长。
，
的无限大媒质中的波长，
波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。
TM波的波阻抗为 Z E x TM
Hy
Ey Hx
。 fc kz 1 1 f c
k z E0 nπ mπ nπ jk z z E y j 2 sin x cos y e kc b a b
Hx j
E0 nπ mπ nπ jk z x cos y e sin 2 kc b a b
y e jk z z
Hy j Ex j
k z H 0 nπ mπ nπ x sin cos 2 kc b a b kc2
kc2
y e jk z z y e jk z z
H 0 nπ
mπ nπ cos x sin b a b
2
向传播的波。 当 f f c 时， k z 为虚数，因子 e jk z z e
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z 方向不断衰
减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是 f f c 。
相应的截止波长为
c
v fc 2 m n a b
2
2
TE波的波阻抗为 Z TE
kz
fc 1 f
2
1 c