全等三角形题型总结

全等三角形得判定题型

类型一、全等三角形得判定１——“边边边”

例题、已知:如图，ＡＤ＝BＣ，AＣ＝ＢD、试证明：∠CAＤ=∠DBC、

（答案)证明:连接DC,

在△ACD与△BDC中

∴△AＣＤ≌△BDC（ＳSＳ)

∴∠CＡD＝∠DBC（全等三角形对应角相等)

类型二、全等三角形得判定2——“边角边”ﻫ例题、已知,如图，在四边形ＡBＣＤ中,AC平分∠BAD，CE⊥AB于E,并且

ＡE=（AB+ＡD)，求证:∠B＋∠Ｄ=1８0°、

(答案)证明:在线段AＥ上,截取EF=ＥB,连接FC,

∵CE⊥AB,∴∠CＥB=∠CＥF＝90°

在△CBＥ与△ＣFE中,

∴△CBＥ与△CFE(SAS)∴∠B＝∠CFE

∵ＡＥ＝(AB＋AＤ),∴2AＥ= ＡB＋ＡD ∴AＤ＝2AE-AB

∵AE=AF＋EF,

∴AD＝2(AF+EＦ)－AB＝２ＡF+2EF-AB=AF+AF＋ＥＦ+ＥＢ－AＢ＝ＡF＋AB-AB,即AD＝AF

在△AFC与△ADC中

∴△AFC≌△ADC(SＡＳ)∴∠AＦC=∠D

∵∠ＡFC+∠CFE＝１８0°,∠B＝∠CＦＥ、∴∠AFC+∠B＝１80°,∠B+∠D＝180°、

类型三、全等三角形得判定3——“角边角”

例题、已知:如图,在△ＭPN中,H就是高MＱ与NR得交点,且ＭQ＝NQ．

求证:ＨＮ=PM、

证明:∵MQ与NR就是△MPＮ得高，∴∠ＭQN＝∠ＭRN＝90°,

又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4 ∴∠1=∠2

在△MＰQ与△NHQ中，

∴△MPＱ≌△ＮHQ(ASA) ∴PM＝HＮ

类型四、全等三角形得判定4——“角角边”

例题、已知Rt△ＡBC中,ＡC=BC,∠C＝9０°,D为AB边得中点，∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转，它得两边分别交AC、ＣB于Ｅ、F.当∠ＥDＦ绕D点旋转到DE⊥AＣ于E时(如图1)，易证;当∠EDF绕D点旋转到ＤE与AC不垂直时,在图2情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立，请写出您得猜想,不需证明、

解:图2成立; 证明图2:过点作

则

在△AＭＤ与△DＮB中,∴△AMD≌△DＮB(AAS)∴DM＝DＮ

∵∠ＭDE＋∠EDN=∠NDF＋∠ＥDＮ=90°,∴∠MDE＝∠NDF

在△DME与△DNF中,

∴△DME≌△DNF(ＡSA)∴∴

可知,∴

类型五、直角三角形全等得判定——“ＨL”

下列说法中,正确得画“√”;错误得画“×”,并举出反例画出图形、

(１)一条直角边与斜边上得高对应相等得两个直角三角形全

等.( )

（２)有两边与其中一边上得高对应相等得两个三角形全等．（)

(3)有两边与第三边上得高对应相等得两个三角形全等.（)

(答案)(1)√;(2)×;在△ＡBC与△ＤBC中,ＡＢ＝DＢ,AE与DF就是其中一边上得高，AE＝ＤF

(3)×、在△ＡBC与△ABＤ中,AＢ＝ＡＢ，ＡＤ＝ＡＣ，ＡH为第三边上得高,如下图：

1、已知:如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AＤ=ＢC,ＤE=BＦ、求证:AＢ∥DＣ、

（答案与解析)证明:∵DＥ⊥AＣ，BF⊥AＣ,

∴在Ｒt△ＡDE与Rt△CＢＦ中∴Rｔ△ADE≌Rt△CＢF （HL) ∴AＥ=CF,DE＝ＢF

∴AE+ＥF=ＣF+EF,即AF=ＣE

在Ｒt△CDE与Rt△ABF中,

∴Ｒt△CDE≌Rt△ＡBＦ(SAS)∴∠DCE=∠BAＦ∴ＡB∥DC、

(点评)从已知条件只能先证出Rt△AＤE≌Rt△CBＦ，从结论又需证Rt△CＤＥ≌Rt△ABF、我们可以从已知与结论向中间推进,证出题目、

2、如图,△ＡＢC中,∠ACＢ=9０°,ＡC＝BC,AE就是BＣ边上得中线,

过Ｃ作ＣF⊥AE,垂足为F,过Ｂ作BD⊥BＣ交CF得延长线于D、

(1）求证:AE＝ＣD；

(2)若AC＝１２,求ＢD得长、

(答案与解析)(１）证明:∵DＢ⊥ＢC,CF⊥AE，∴∠DCＢ＋∠Ｄ=∠DCB+∠AEC＝９０°.

∴∠D＝∠ＡEC．

又∵∠DBC＝∠ECA＝９0°,且BC＝CＡ，∴△ＤBC≌△ECA(AAＳ）.∴AE=CD.

(2）解:由(１)得AＥ＝ＣD,ＡC=BC,∴△ＣDB≌△AEC(HL）∴BD=EＣ=ＢC＝AC,且AＣ=12.

∴BD＝6.

(点评）三角形全等得判定就是中考得热点,一般以考查三角形全等得方法为主,判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证得结论确定三角形，然后再根据三角形全等得判定方法,瞧缺什么条件，再去证什么条件

三角形角平分线得性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形得内心且这一点到三角形三边得距离相等、

三角形得一内角平分线与另外两顶点处得外角平分线交于一点、这点叫做三角形得旁心、三角形有三个旁心、所以到三角形三边所在直线距离相等得点共有４个、如图所示:△ABＣ得内心为,旁心为,这四个点到△ABC三边所在直线距离相等、

角得平分线得性质及判定

1、如图,ＡＤ就是∠BAC得平分线,DＥ⊥ＡB,交AB得延长线于点Ｅ,ＤF⊥AC于点F,且DB＝D Ｃ、求证:BE＝ＣF、

(答案)证明:∵DＥ⊥AE,DF⊥AC,ＡD就是∠BAC得平分线, ∴DE＝DF,∠BED=∠DFC=90°在Rt△BDＥ与Rt△ＣDF中,，∴Ｒt△BDＥ≌Rt△CＤF(HL) ∴ＢE＝CF

2、如图,AＣ＝ＤB，△PAC与△PBＤ得面积相等.求证:OP平分∠AＯＢ.

(答案与解析)

证明:作PM⊥ＯA于M,ＰN⊥OＢ于N

,，且

∴

又∵AC=BＤ∴PM＝PN

又∵ＰM⊥OA,ＰN⊥OB ∴OP平分∠ＡＯB

(点评)观察已知条件中提到得三角形△ＰAC与△PBＤ,显然与全等无关,而面积相等、底边相等,于就是自然想到可得两三角形得高线相等，联系到角平分线判定定理可得、跟三角