圆心坐标法
圆的普通方程化为标准方程
圆的普通方程化为标准方程
标准方程是一种表达圆的最常用方法，它可以表达圆的半径和圆心位置。
而普通方程有三种，如果要把普通方程化为标准方程，首先要知道的是普通方程的三个参数，即圆心坐标(x_0,y_0)，半径R，及其他系数a,b,c，根据它们可以把普通方程转化为标准方程： (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2
下面是具体的步骤：
第一步：将普通方程 ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 的系数a，b，c，d，e，f分别代入下面的公式：
x_0 = -(d/2a) y_0 = -(e/2c)
得到：x_0 = -(d/2a) y_0 = -(e/2c)
第二步：用上面得到的圆心代入普通方程：
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
然后得到：
a(x -(-d/2a))^2 + b(x -(-d/2a))(y -(-e/2c)) + c(y -(-e/2c))^2 + d(-d/2a) + e(-e/2c)+f=0
第三步：将上面的式子简化，消去系数d，e。
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数控铣床加工中心编程及加工教学教案—圆弧沟槽的加工
任务二圆弧沟槽的加工[教学目标]1.熟练掌握G02/G03圆弧插补指令的格式。
2.掌握G02/G03圆弧插补指令的使用方法。
[教学重点]圆弧沟槽件的编程方法[教学难点]圆弧沟槽件的编程方法[教学过程]新课教学一、圆弧插补指令（G02/G03）圆弧插补指令格式如下：G17 G02/G03 X Y R （I J ）F ；G18 G02/G03 X Z R （I K ）F ；G19 G02/G03 Y Z R （J K ）F ；说明：（1）G17为选择XY平面， G18为选择XZ平面，G19为选择YZ平面，此三个指令为同组模态指令，如图2-9所示。
（2）沿圆弧所在平面另一根轴的正方向向负方向看，顺时针圆弧插补为G02，逆时针圆弧插补为G03。
（3） X、Y、Z为圆弧的终点坐标，R为圆弧半径。
（4）I、J、K为起点到圆心的距离分别在X、Y、Z轴上的矢量值。
图2-9 圆弧插补平面选择示意图二、圆弧的表示方法圆弧的表示方法有圆心法和半径法两种。
（1）圆心法。
用I、J、K指定圆弧起点位置的方法称为圆心法。
I、J、K后面的数值定义为圆弧起点相对于圆心在X、Y、Z轴上的分向量。
图2-10所示为圆心法编程示意图。
图2-10 圆心法编程示意图(2)半径法。
以R指定圆弧半径的方法称为半径法。
半径法以起点、终点和圆弧半径来表示一段圆弧，在圆上会有两段圆弧出现，如图2-11所示。
R后面的数值是正值时，表示圆心角小于等于1800的圆弧；R后面的数值是负值时，表示圆心角大于1800的圆弧。
半径法圆弧加工程序如下：加工圆弧A：G17 G02 X_ Y_ Ra_ F _;加工圆弧B：G17 G02 X_ Y_ -Rb_ F_;图2-11 半径法编程示意图三、整圆编程对于铣削一整圆，只能用圆心法进行加工（见图2-12），半径法无法执行。
如果用半径法以两个半圆相接，其真圆度误差会太大。
整圆的加工程序为G03 X40. Y0. I-40. J0 F100；练习过程：一、布置练习任务独立完成下图零件的加工二、老师讲解加工中心自动加工圆形槽零件的操作步骤及方法。
圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版
圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程． 重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（ ） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
高三第一轮复习圆的方程及求法
圆的方程及求法【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 主干知识归纳1．圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 2．圆的方程：方法规律总结1．待定系数法求圆的方程(1) 若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；(2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值． 2．几何法求圆的方程：利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”、“半径， 弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等．3．求与圆有关的轨迹问题的四种方法【指点迷津】【类型一】确定圆的方程【例1】：求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程 【解析】： 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-=+013211222222b a r b a r b a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-==534r b a ,∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 答案：(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.【例2】：已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆的标准方程．【解析】：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2.由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-+-+=+--0205)5(106)6(222E D F E D F E ,消去F 得⎩⎨⎧ D ＋E －10＝0D －E －2＝0，解得⎩⎨⎧D ＝6E ＝4，代入求得F ＝－12，所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0，标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－112，直线AB 的斜率k AB ＝1)6(5----＝1，因此线段AB 的垂直平分线l 的方程是y ＋112＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＋5＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎨⎧x ＝－3y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r ＝|AC |＝22)26()30(+-++＝5，所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.【类型二】与圆有关的轨迹问题【例1】：已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【例2】：已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1. 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．答案：(1) x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2) (x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．例3．(2010·山东烟台调研)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0D ．y 2－2x －y －1＝0【解析】：由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)，所以过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理即得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案：C.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题1. 已知两点A (9，4)和B (3，6)，则以AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x －6)2＋(y －5)2＝10B ．(x ＋6)2＋(y ＋5)2＝10C ．(x －5)2＋(y －6)2＝10D ．(x ＋5)2＋(y ＋6)2＝10【解析】：线段AB 的中点坐标(6，5)为圆心坐标，半径=21|AB|=10答案：A.2. (2014·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1【解析】：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B.3. 若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】：曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a ＞2. 答案：D.4. 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞32B ．－32 ＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜32【解析】：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0转化为(x +2a )2＋(y ＋a )2＝－43a 2－a ＋1，所以若方程表示圆，则有－43a 2－a ＋1＞0，∴3a 2＋4a －4＜0，∴－2＜a ＜32 .答案：D.5. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( )A ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B ．⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13【解析】：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：C. 二、填空题6. 经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________． 【解析】：由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1.7. 已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________． 【解析】： ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1).8. 圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为______________． 【解析】：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2. 三、解答题9. 已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0， (1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆． 【解析】：(1)配方得：(x ＋m －1)2＋(y －2m )2＝9∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且⎩⎨⎧x ＝1－my ＝2m ，∴2x ＋y ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．答案：(1) 圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3. (2) 圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．10. (2010·辽宁抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．【解析】：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． ∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.答案：(1) (x －1)2＋y 2＝1. (2) x 2＋y 2－x －y －1＝0.【二级目标】能力提升题组一、选择题1. 已知二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，是方程表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解析】：取A ＝C ＝4，D ＝2，E ＝2，F ＝1时，满足⎩⎨⎧A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4F ＞0，但是4x 2＋4y 2＋2x ＋2y ＋1＝0不表示圆；方程13x 2＋13y 2＋x ＋y ＋1＝0表示圆，其中A ＝13，C ＝13，D ＝1，E ＝1，F ＝1，但不满足D 2＋E 2－4F ＞0.综上可知，选D ． 答案：D.2. (2010·浙江宁波调研)若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14【解析】：由题意知，圆C 的圆心坐标为(－4，－1)．又直线l 始终平分圆C ，所以直线l 必过圆心，故4＝4a ＋b ≥24ab ，故ab ≤1. 答案：C. 二、填空题3. (2009·扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．【解析】：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )， ∴ab ＋ab ＝1， ∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π， ∴面积的最小值为π.答案：π.【高考链接】1. （2016年浙江省文科第10题）已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a +2)y 2+4x+8y +5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 【解析】：由题可得a 2=a +2，解得a =－1或a =2当a =－1时，方程为x 2＋y 2+4x+8y －5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5 当a =2时，方程不表示圆 答案：(－2，－4)，5.2. （2009年上海第题）点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【解析】：设中点M 的坐标为(x ，y )，与之对应的圆上动点Q 的坐标为(x 0，y 0)，显然M 与Q 的对应关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋(－2)2，同时Q 满足在圆x 2＋y 2＝4上，即x 20＋y 20＝4；利用M 与Q 的对应关系将x 、y 代入，得中点M 的轨迹方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A.3. （2015年湖北省第16题）如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【解析】:试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1， 即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即0y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B .设圆C 在点B处的切线方程为1)kx y -=，则圆心C到其距离为：d ==，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=，即圆C 在点B 处的切线在x轴上的截距为1--故应填22(1)(2x y -+=和1--答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）1--。
知识讲解_圆的方程_基础
【解析】
（1）法一：设圆的方程为： ，则
，解得：
所以所求圆的方程为： ，即 ，所以圆心为（4，1），半径为 ．
法二：线段 的中点为为 ，
线段 的中垂线为 ，即
同理得线段 中垂线为
联立 ，解得
所以所求圆的方程为（4，1），半径
所以 ．
（2）法一：设圆的方程为： ，则
，解得：
所以圆的方程为 ．
法二：过点 与直线 垂直的直线是 ，
线段 的中垂线为 ，
由 得：圆心坐标为 ，由两点间距离公式得半径 ，
所以圆的方程为 ．
【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+4y=0（a≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．
【答案】 ，
类型三：点与圆的位置关系
例6．判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x―5)2+(y―6)2=10的位置关系．
（1）2x2+y2―7y+5=0；
（2）x2―xy+y2+6x+7y=0；
（3）x2+y2―2x―4y+10=0；
（4）2x2+2y2―5x=0．
【答案】（1）不能表示圆（2）不能表示圆（3）不能表示圆（4）表示圆
【解析】（1）∵方程2x2+y2―7y+5=0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4）上，半径是 ；
（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．
【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．
【答案】（1）x2+y2=9（2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案圆的标准方程教案1教学目标(一)知识目标1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。
(二)能力目标1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；2. 通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；3. 通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。
(三)情感目标通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论________于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。
教学重、难点(一)教学重点圆的标准方程的理解、掌握。
(二)教学难点圆的标准方程的应用。
教学方法选用引导?探究式的教学方法。
教学手段借助多媒体进行辅助教学。
教学过程Ⅰ.复习提问、引入课题师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。
请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ?p（M）｝；③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；④化简方程f(x,y)=0为最简形式。
⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。
［多媒体演示］师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。
用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。
［给出标题］师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25.若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。
即，亦即x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合，由两点间的距离公式得即：（x-a）2+(y-b)2= r2Ⅱ.讲授新课、尝试练习师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。
极坐标系下圆方程的圆心和半径的求法
坐标法
“坐标法——直线与圆、圆锥曲线（下）”一、高考趋势解析几何以其独特的研究内容及研究方法在中学数学中占有独特的地位，而“直线和圆”在解析几何中又有举足轻重的分量，具体表现在：“曲线的方程”、“方程的曲线”是解析几何的基本概念，而“两点间的距离公式”、“点到直线的距离公式”、“定比分点公式”、“斜率公式”、“交角公式”又是解析几何中用得最多的公式。
“直线”和“圆”是解析几何的重要内容。
“线性规划”是解析几何联系实际的重要渠道。
数形结合的思想是解析几何乃至整个中学数学的重要思想。
此外，“坐标法”、“对称法”、“参数法”也是解析几何的重要方法。
本章知识与中学数学的其他聿节如函数方程、不等式、平面几何、三角等，有着很广泛、很紧密的联系。
复习要抓住六个字：深刻、灵活、熟练。
首先，要正确地理解基本概念，尤其是对“方程的曲线”、“曲线的方程”、“直线的倾斜角”、“直线的斜率”、“两直线的关系”、“直线的截距”等概念要力求“深刻”而全面地理解。
基本公式很多，直线的方程、圆的方程又有多种形式。
解题中这些知识不但使用的概率很大，而且要求使用得很灵活。
要做到这一点，就必须弄清楚它们的适用范围。
“数形结合法”、“坐标法”、“对称法”、“轨迹求法”这些方法要熟练掌握。
此外，解题中还应把知识结合起来，尤其要充分利用图形的几何性质和方程的消元技巧，以减少计算量。
解析几何是高中数学的重要内容，而圆锥曲线又是解析几何的核心内容，基本内容有：椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线的定义、标准方程币几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系。
有以下主要特点：是历年高考的重点。
纵观近年高考试题，圆锥曲线内容在试卷中所占6<比例一直稳定在15％左右，可见，在高中占有举足轻重的地位。
是中学数学各骨干知识的交汇点。
圆锥曲线与中学数学的许多内容如函数方程、不等式、三角函数均有紧密联系。
是各种数学思想方法的综合点。
解析几何的基本方法是“坐标法”，即用代数的方法研究几何图形的基本性质。
高中数学 第四章 圆与方程 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用学
4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。
确定圆心位置的四种方法
确定圆心位置的四种方法
介绍
圆的圆心位置的确定是永恒的数学课题，一般有四种方法。
首先是经典的三点法。
通过三个点确定圆心的坐标，它们共线而且必须满足向心力方程，其次是以圆的截距和半径的圆的方程，它的圆心的坐标就是圆的半径向量分解得出；其次是以圆的周长和面积对函数，它来自于固有关系，也用来确定圆心坐标；最后，借助饱和增广椭圆方程可以求出相应的圆心坐标。
上述四种方法可以用来确定圆心位置。
三点法已经被普遍采用，简单实用，但用圆的截距和半径来确定圆心位置更易于实现，而以圆的周长和面积对函数求得的圆心坐标更根据实际情况，最后，通过椭圆方程确定圆心也是一有效的方法。
以上四种方法，不仅体现出数学的丰富性，也有利于确定圆心位置。
当进行圆或椭圆的求解时，这些方法都是非常有效的，而且可以很快得出结果，尤其是在计算机时代，电脑能够实现这些方法，极大地为我们计算带来了便利。
找圆心的方法
找圆心的方法
在几何学中，圆心是圆的重要部分，也是确定圆的位置和形状的关键点。
那么，如何找到圆心呢？下面将介绍几种常见的方法。
1. 利用直径。
圆的直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段。
因此，我们可以通过测量圆
的直径来找到圆心。
首先，我们可以在圆的周围画一条直径线，然后测量直径线的长度，将长度一分为二，交叉点即为圆心。
2. 利用圆的对称性。
圆具有很强的对称性，通过利用这一特点，我们也可以找到圆心。
我们可以在
圆上任意选择三个点，然后连接它们的中点，这三条线段的交叉点即为圆心。
3. 利用圆的切线。
圆的切线与半径垂直，并且它们的交点在圆上。
因此，我们可以通过画一条切线，然后找到切线与圆的交点，再连接交点与切线的垂线，交点即为圆心。
4. 利用圆的内切四边形。
圆内切四边形的对角线交点即为圆心。
我们可以在圆内画一个四边形，然后连
接对角线，交点即为圆心。
5. 利用圆的弦。
圆的弦是连接圆上任意两点的线段。
我们可以在圆上任意选择两个点，然后连
接它们，再连接弦的中点和圆心，交点即为圆心。
总结。
通过以上几种方法，我们可以找到圆心。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来找到圆心。
希望以上方法能够帮助你更好地理解圆心的概念，并且在实际问题中运用到这些方法。
祝你在几何学的学习中取得更好的成绩！。
瑞典圆弧法圆心坐标
瑞典圆弧法圆心坐标瑞典圆弧法圆心坐标的研究和应用是土木工程领域中的一个重要课题。
瑞典圆弧法是一种常用的路径设计方法，用于设计道路、铁路和运河等线性基础设施的曲线部分。
它的独特之处在于将直线段和圆弧段组合起来，以实现舒适、安全且高效的交通流动。
1. 介绍瑞典圆弧法圆心坐标瑞典圆弧法圆心坐标是研究和应用瑞典圆弧法的重要基础。
在瑞典圆弧法中，曲线由一系列连续的圆弧段和直线段组成。
每个圆弧段都有一个特定的圆心，该圆心坐标的确定对于曲线路径的设计和计算非常关键。
瑞典圆弧法圆心坐标的计算涉及到诸多因素，包括曲线段的长度、半径、旋转角度和圆心坐标的变化等。
2. 瑞典圆弧法的应用领域瑞典圆弧法广泛应用于道路、铁路和运河等线性基础设施的设计和规划中。
它可以用于设计平缓的弯道，使驾驶员在行驶过程中感到舒适并减少驾驶的疲劳。
瑞典圆弧法还可以在有限的空间内实现高效的交通流动，提高路段的通行能力。
在土木工程领域中，瑞典圆弧法圆心坐标的计算和应用是工程设计中不可或缺的一部分。
3. 瑞典圆弧法的设计原则瑞典圆弧法的设计原则是在保证舒适和安全的前提下，使曲线段的长度最短。
为了实现这一原则，设计师需要合理选择曲线的半径和旋转角度，并同时考虑曲线段的过渡长度。
瑞典圆弧法的设计方法是一项复杂的工程任务，需要综合考虑土地利用、交通需求和环境保护等因素。
4. 瑞典圆弧法的优势和不足瑞典圆弧法具有许多优势，例如可以在既定空间内实现更弯曲和更流畅的路径设计，提高路段的通行能力和安全性。
然而，瑞典圆弧法也存在一些不足之处，如设计复杂、计算量大和对设计师技术要求较高等问题。
在实际应用中，设计师需要综合考虑现实条件和使用要求，进行合理的曲线设计和路径规划。
5. 对瑞典圆弧法圆心坐标的个人理解和观点在我看来，瑞典圆弧法圆心坐标是瑞典圆弧法设计中的一个重要环节。
通过合理计算和确定圆心坐标，可以实现曲线段的平滑过渡和路径规划的灵活性。
瑞典圆弧法的设计理念和原则给予了设计者在有限空间内实现高效和安全交通流动的机会，对于改善城市交通状况具有积极的作用。
圆度测量
圆度测量方法: 回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。
(1)回转轴法: 利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。
回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式（图1）。
前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。
按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。
（2）三点法：常将被测工件置于V形块中进行测量（图2）。
测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。
此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。
（3）两点法：常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。
此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。
（4）投影法：常在投影仪上测量，常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆(图3)比较,从而得到被测件的圆度误差。
此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。
（5）坐标法：一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。
按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。
圆度误差评定就是将双绞线导线横截面的实际轮廓与理想圆比较的过程。
圆度误差评定方法：①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。
②最小二乘圆法：以被测圆轮廓上相应各点至圆周距离的平方和为最小的圆的圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆的半径差即为圆度误差。
③最小外接圆法：只适用于外圆。
以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学考点归纳之 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D.2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝02．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6. 答案：6考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．[课时跟踪检测]A 级1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24 C ．± 2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24. 6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r 2－d 2＝2555. 答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3； 圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离， 所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． 解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.B 级1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B.3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0，则有x 20＋y 20＝1，且切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2，当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．2．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________．解析：因为AB ―→·CD ―→＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝π4，设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tan θ＝2，k ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以 直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立直线AB 与直线l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3. 答案：33．(2018·安顺摸底)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)． (1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥3或a ≤－ 3.(2)设MN 与AC 交于点D ，O 为坐标原点． ∵|MN |＝455，∴|DM |＝255.又|MC |＝2，∴|CD |＝4－2025＝45， ∴cos ∠MCA ＝452＝25，|AC |＝|MC |cos ∠MCA ＝225＝5，∴|OC|＝2，|AM|＝1，∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.。
离散点求圆心坐标
离散点求圆心坐标全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散点求圆心坐标是一个在数学与计算几何中常见的问题，其在实际生活与工作中也有着广泛的应用。
通过对给定的离散点进行处理与计算，我们可以求得这些点构成的圆心坐标，从而更好地理解与利用这些数据。
接下来，我们将详细介绍离散点求圆心坐标的相关知识、应用和计算方法。
一、离散点求圆心坐标的概念与意义在计算几何中，我们常常遇到一组离散的点，需要根据这些点的位置关系来求解一个圆的半径和圆心坐标。
离散点求圆心坐标是一种常见的数学问题，它的解决方法可以帮助我们更好地理解和分析数据。
求解圆心坐标的目的在于确定一个圆，使得这个圆包含了所有给定的离散点，同时尽可能地贴近这些点。
通过求解圆心坐标，我们可以根据这些点的分布特征来确定一个最佳的拟合圆，从而为数据分析和处理提供有效的依据。
离散点求圆心坐标在实际生活与工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 图像处理：在图像处理中，离散点求圆心坐标可以帮助我们识别图像中的圆形物体，从而实现图像的分析与识别。
2. 测量与控制：离散点求圆心坐标可以用于测量与控制系统中的数据处理，例如机器视觉和自动化系统中的图像定位与跟踪。
3. 数据拟合与分析：通过求解圆心坐标，我们可以建立一个合适的数学模型来拟合离散点数据，从而更好地分析数据的特征和规律。
4. 地理定位与导航：离散点求圆心坐标可以用于地理定位与导航系统中，帮助我们确定某个位置的坐标信息。
5. 机器人与无人系统：离散点求圆心坐标在机器人和无人系统中有着重要的应用价值，帮助机器人实现路径规划与导航。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，可用于求解离散点的圆心坐标。
通过最小化离散点到拟合圆的距离，我们可以得到一个最优的圆心坐标。
3. 几何算法：几何算法是一种直观且快速的求解方法，可以通过对给定离散点的位置关系进行几何分析，求解圆心坐标和半径。
下面我们通过一个简单的实例来演示离散点求圆心坐标的计算过程。
等分圆坐标 求圆心
等分圆坐标求圆心
要等分一个圆的圆心，可以使用以下步骤：
1. 找到圆上两个相邻的等分点，可以选择任意两个点作为起始点。
2. 将这两个点的坐标相加并除以2，得到连接两点的中心点。
3. 以中心点为起点，再选择一个等分点，将中心点与该点的坐标相加并除以2，得到连接中心点和该点的中心点。
4. 重复步骤3，直到连接所有等分点的中心点都找到。
5. 最终得到的中心点即为等分圆的圆心。
需要注意的是，等分点的个数决定了需要求得的中心点的个数。
例如，将一个圆等分成4个部分，需要求得3个中心点。
三点法定圆及其圆心坐标简易求解
三点法定圆及其圆心坐标简易求解当我们给定三个点在x-y坐标系上时，就可以根据三点法定圆，并且求出其圆心坐标。
这里，我们以下面三个点为例，来演示求解三点法定圆及其圆心坐标。
例如，给定三点P1(x1,y1), P2(x2,y2) , P3(x3,y3)，我们在平面上可以画出一个方程：(x-x1)²+(y-y1)²=(x-x2)²+(y-y2)²（1）改写成通式：(x-x1）²+(y-y1)²=[(x2-x1)²+(y2-y1)²]令A = (x2-x1)²+(y2-y1)²令B = (x3-x1)²+(y3-y1)²根据点P3，向式子(1）中加入另一个等式(x-x1)²+(y-y1)²=B，最后可得等式(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)+A-B=0，（2）因此，方程（2）也就是椭圆的标准方程：A(x-x0)²+2B(x-x0)(y-y0)+C(y-y0)²=0（3）其中，A= (x2-x1)²+(y2-y1)²,B= 0, C= (x3-x1)²+(y3-y1)²根据式子(3)求出圆心坐标，x0=-(B/A)(x1+x2)+x1+(A/A)(x3-x1)y0=-(B/C)(y1+y2)+y1+(A/C)(y3-y1)为了得到圆的半径，只需将圆心坐标代回式子(1)中即：可得[(x-x0)²+(y-y0)²]=(x2-x1)²+(y2-y1)²=A圆半径为sqrt(A)最后，根据上述公式，计算出：圆心为(x0,y0)，圆半径=sqrt（A）完美求解了三点法定圆及其圆心坐标。
从上面的计算过程可以看出，通过三点法定圆及其圆心坐标，我们只需将给定三点坐标代数，便可以轻松求出圆心坐标及其半径长度。